TESELAS Y MOSAICOS

EL MATERIAL DE PROYECTO SUR:

Conjunto de polígonos, construidos en caucho EVA. Permite el estudio de la teselaciones en el plano.

Ejemplos de Actividades: construir los mosaicos regulares.Estudiar los mosaicos semiregulares, y obtener su simbolo de Schläfi.Mosaicos uniformes.Mosaicos duales.

PRIMERO: SEPAMOS QUÉ ES UN MOSAICO.

Un mosaico es un diseño formado por combinaciones de figuras geométricasplanas, que cubren el plano sin dejar huecos ni solaparse. También se llama teselación,del latín tessella, nombre que daban los romanos a los azulejos usadosen los pavimentos.

El mosaico se construye repitiendo, de forma ordenada, una o varias figuras geométricashasta completar una superficie.

HAY DISTINTOS TIPOS DE MOSAICOS:

RESPECTO A LOS POLÍGONOS QUE LO FORMAN:

REGULAR, si está construido usando únicamente un único polígono regular, y los vértices del mosaico son también vértices de todos los polígonos que concurren en él.

Para que un polígono regular cubra el plano, hay que tener en cuenta que en un vértice deben concurrir un número de teselas suficiente para cubrir 360º; esto implica que al menos, han de ser tres los polígonos que concurran en un mismo vértice.

Una manera de comprobar qué polígonos regulares pueden cubrir el plano es calcular los ángulos interiores de los mismos, y compararlos con los divisores de 360.

Sólo los polígonos de 3, 4 y 6 lados tienen un ángulo interior cuya medida es divisor de 360º. Así pues, sólo existirán 3 tipos de mosaicos regulares: los basados en el TRIÁNGULO EQUILÁTERO, EL CUADRADO Y EL HEXÁGONO.

N (número de lados polígono)

Ángulo central

Ángulo interior

3 120 60 4 90 90 5 72 108 6 60 120 8 45 135 9 40 140

10 36 144 12 30 150

SEMIRREGULAR si está construido con varios polígonos regulares distintos(por ejemplo, triángulos y cuadrados), con la condición de que todos sus vértices sean iguales. Que dos vértices del mosaico sean iguales quiere decir que la serie de polígonos que concurren en cada uno de ellos es la misma (por ejemplo, triángulo, triángulo, cuadrado, triángulo, cuadrado).

Hay que tener en cuenta que la suma de los ángulos interiores de los polígonos ha de ser 360º, y se puede comprobar que el número mínimo de polígonos es 3 y el máximo 6. Hay 17 combinaciones distintas:

(3,3,3,3,3,3)  3,3,3,3,6 3,3,3,4,4 3,3,4,3,4

3,6,3,6 3,3,6,6 4,4,6,3

3,4,3,12 3,3,4,12

3,4,6,4 4,4,4,4 3,7,42 3,9,18 3,8,24

3,10,15 3,12,12 4,5,20 4,6,124,8,8

5,5,10 6,6,6

RESPECTO A SUS VERTICES

UNIFORME: Son los mosaicos que tienen todos sus vértices iguales, es decir, en cualquiera de ellos concurren los mismos polígonos. Existen estas posibilidades.

3,3,3,3,3,3 4,4,4,4 6,6,6 3,3,3,3,63,3,3,4,4 3,3,4,3,4 3,4,6,4 3,6,3,63,12,12 4,6,12 4,8,8

UNIFORME DE TIPO 2 cuando está formado por polígonos regulares con dos tipos distintos de

vértices. Se pueden construir hasta 20 tipos de mosaicos distintos con estas características.

PARA DESCRIBIR LOS MOSAICOS UTILIZAMOS EL SÍMBOLO DE SCHLÄFI, que consiste en indicar qué polígonos concurren en cada vértice utilizando el número de lados como abreviatura del polígono regular correspondiente. Los números que aparecen debajo de cada composición de las de arriba forman el símbolo de Schläfi de cada mosaico.

EL MOTIVO MÍNIMO DE UN MOSAICO es la figura más pequeña a partir de la cual es posible construir el mosaico completo, mediante las traslaciones, giros y simetrías que dejan el mosaico invariante, es decir, mediante lo que se llama las autosimetrías, o simplemente las simetrías, del mosaico. En los mosaicos regulares, el motivo mínimo es el polígono respectivo, y en los semirregulares, el motivo mínimo es la composición que aparece en cada caso.

UN MOSAICO DUAL DE UNO DADO es el que se forma al unir los centros de los polígonos que lo componen:

Aquí se exponen algunas de las teselaciones duales de las semirregulares.