tercera semana cap 2 anualidades tasas equivalentes inflacion y uvr

ESCUELA DE ECONOMA - UPTC

GUA DE CLASES - EVALUACIN DE PROYECTOS ROLANDO MEDINA M. 57

2.3 ANUALIDADES VENCIDAS, ANTICIPADAS Y PERPETUAS

En el planteamiento del autor Csar Aching, una anualidad es un flujo de caja en el que

los flujos de dinero son uniformes (es decir, todos los flujos de dinero son iguales) y los

movimientos de dinero ocurren a un intervalo regular. Los flujos de dinero de la anualidad

son los pagos de la anualidad o simplemente pagos. El nombre de anualidad es utilizado

como una generalizacin sobre el tema, no siempre son perodos anuales de pago.

Algunos ejemplos de anualidades son:

Pagos mensuales por renta

Cobro quincenal o semanal por sueldo

Abonos quincenales o mensuales por pago de un prstamo.

Pagos anuales de primas de plizas de seguro de vida, etc.

El diagrama siguiente muestra el flujo de una anualidad:

AOS 0 1 2 3 4 5

FC 25,000 25,000 25,000 25,000 25,000

El flujo siguiente, no es una anualidad porque al cuarto ao se interrumpe para reiniciarse

al quinto:

AOS 0 1 2 3 4 5

FC 25,000 25,000 25,000 25,000

Las anualidades son:

Vencidas: las anualidades vencidas, ordinarias o pospagables son aquellas en las cuales

los pagos son hechos a su vencimiento, es decir, al final de cada periodo. Ejemplo, en el

pago de salarios a los empleados, el trabajo es primero, luego el pago.

Anticipadas: las anualidades anticipadas o prepagables se efectan al principio de cada

periodo. Las anualidades anticipadas son el resultado de capitalizar en un perodo el valor



actual (VA) o valor futuro (VF) multiplicndolas por (1 + i). Es decir, se utilizan las mismas

frmulas del VA VF de las anualidades vencidas, multiplicando el resultado por (1 + i).

2.3.1 Valor actual de una anualidad vencida

Siguiendo con la explicacin que presenta el autor Csar Aching, el valor actual de una

anualidad es igual a la suma de los valores actuales de los pagos de la anualidad. Esto

puede calcularse a travs de la siguiente ecuacin:

++

=n

n

ii

iCVA

)1(

1)1( (Ecuacin 2.18)

Con la ecuacin anterior, se obtiene:

++

=1)1(

)1(n

n

i

iiVAC (Ecuacin 2.19)

+

=

)1(

1log

1log

i

iC

VA

n (Ecuacin 2.20)

Donde:

VA = valor actual de la anualidad

C = pago de una anualidad

i = inters o tasa de descuento

En las frmulas de anualidades de VA y VF, la tasa de inters no puede ser despejada,

por lo cual debe obtenerse por ensayo y error. Por esta razn, utilizando Excel, para

obtener la tasa de inters se utiliza la funcin TASA cuando se opera con flujos uniformes

y la funcin TIR cuando se opera con flujos variables.



Cuando se tiene un perfil de flujos iguales para cada perodo, es posible hacer una

formulacin que d el valor actual de los flujos de una sola vez, obviando el clculo del

descuento flujo por flujo.

Ejemplo 2.17

Se tiene el siguiente flujo de caja y se pide calcular el VA:

AOS 0 1 2 3 4 5

VA=? 45,000 45,000 45,000 45,000 45,000

Si se utiliza el mtodo de descuento flujo por flujo y se descuenta al 20% por perodo, se

tendran los valores indicados en el cuadro y despus se compararan con el mtodo

abreviado a travs de la frmula y la funcin VA:

Perodo n Flujo VF VA=VF/(1+i)^n Valor VA

1 45,000 45.000/(1+0.20)^1 37,5002 45,000 45.000/(1+0.20)^2 31,2503 45,000 45.000/(1+0.20)^3 26,0424 45,000 45.000/(1+0.20)^4 21,7015 45,000 45.000/(1+0.20)^5 18,084

134,578Valor Actual Neto (VAN)

Aplicando la ecuacin 2.18, se tiene:

578.134)20.01(20.0

1)20.01(000.5

5

5

=

++

4=VA

El mismo resultado se obtiene, al utilizar Portafolio:

Utilizando Excel (funcin VA), se obtiene:

Sintaxis: VA(tasa;nper;pago;vf;tipo)Tasa Nper Pago VF Tipo VA

0.2 5 -45,000 134,578



Como se puede observar, con los 4 mtodos se obtiene resultados iguales.

Ejemplo 2.18

Teniendo una anualidad de 250.000 anual, durante cuatro aos vencidos. Si la tasa de

descuento es igual a 15%, cul es el VA de la anualidad?

Solucin

?;15.0;4;000.250 ==== VAinC

Aplicando la ecuacin 2.18 se tiene:

745.713)15.01(15.0

1)15.01(000.250

4

4

=

++

=VA

Mediante el uso de Portafolio, el resultado es:

Con la funcin VA de Excel, se obtiene:


0.15 4 -250,000 713,745

Respuesta: El valor actual de los cuatro pagos iguales es 713.745.

Ejemplo 2.19

Una persona gana la lotera. Cuando va a cobrar, los ejecutivos de la lotera le proponen

lo siguiente: cobrar hoy 10.000.000 60.000 unidades monetarias mensuales durante los

prximos 20 aos. Qu elige usted?

Solucin

?;000.000.10 == iVA



En este caso, primero se determina la tasa de inters, que permita descontar las cuotas

mensuales y compararlo con los 10.000.000 que se recibiran el da de hoy. El dinero hoy

vale ms que en el futuro.

Se asume una inflacin del 15% anual proyectada para los prximos 20 aos.

0125.012/15.0 ==i

?;240)12*20(;000.60;0125.0 ===== VAnCi

Aplicando la ecuacin 2.18 se tiene:

537.556.4)0125.01(*0125.0

1)0125.01(000.60

240

240

=

++

=VA

Usando Portafolio el resultado es:

Utilizando la funcin VA de Excel, se tiene:


0.0125 240 -60,000 4,556,537

Respuesta: El VA de las 240 cuotas mensuales de 60.000 unidades monetarias

descontadas a la tasa de inflacin del 15% anual es de 4.556.537 unidades monetarias,

inferior a los 10.000.000 que se cobraran hoy, en consecuencia, la decisin ser cobrar la

loteras hoy.

2.3.2 Valor actual de una anualidad anticipada

Los siguientes ejemplos, ilustran casos prcticos sobre la forma de calcular el valor actual

de una anualidad anticipada:



Ejemplo 2.20

El dueo de una empresa contrae una deuda, para saldarla en cuatro pagos iguales de

1.300.000 unidades monetarias al inicio de cada ao, con una tasa de inters del 35%

anual. Calcular el valor actual de esta obligacin.

Solucin

?;35.0;4;000.300.1 ==== VAinC

Aplicando el concepto de las anualidades anticipadas en la ecuacin 2.18, se multiplica el

resultado de la frmula por (1 + i) y se obtiene el siguiente resultado:

644.504.3)35.01(*)35.01(*35.0

1)35.01(000.300.1

4

4

=+

++

=VA

Con Portafolio, se encuentra:

Al utilizar la funcin VA de Excel, al registrar 1 en el argumento Tipo, se obtiene el valor

actual de la anualidad anticipada. Ello indica que se est trabajando con anualidades

anticipadas, tal como se aprecia a continuacin:


0.35 4 -1,300,000 1 3,504,644

Respuesta: El valor actual anticipado de esta operacin es 3.504.644 unidades

monetarias, pero realizando el pago anticipado de cada cuota anual.

Ejemplo 2.21

Una inversin de 600.000 hoy, debe producir beneficios anuales por un valor de 225.000

durante 7 aos. Calcular la tasa de rendimiento del proyecto.



Solucin

?;7;000.225;000.600 ==== inCVA

Con el uso de Portafolio, se obtiene:

Recurriendo a Excel la respuesta es:

Sintaxis: Tasa(nper;pago;va;vf;tipo;estimar)Nper Pago VA VF Tipo Estimar Tasa

7 225,000 -600,000 1 10 55.81%

Respuesta12: La tasa anual de rendimiento del proyecto es 55.81%

2.3.3 Valor futuro de una anualidad

El autor Csar Aching, plantea que al tratar el clculo de las anualidades, se determinaba

el valor de los flujos en valor actual o del momento cero. Tambin es posible emplear esta

misma formulacin y plantear por ejemplo, cunto se tendr ahorrado en un momento

futuro si se deposita una determinada cantidad igual perodo a perodo, dada una cierta

tasa de inters por perodo. Es decir, lo que se est haciendo es constituir un fondo.

En ejemplos anteriores, se calcul el valor actual de una serie de pagos futuros. Lo que

ahora se busca, como monto futuro, es una expresin que responda al siguiente perfil

financiero:

0 1 2 3 4 5

45,000 45,000 45,000 45,000 45,000 VF=?

12 Para solucionar este ejemplo y otros similares que requieran el uso de frmulas o determinar la tasa de inters, utilizando el mtodo de interpolacin lineal, ver el anexo de equivalencias financieras.



Se deposita una suma ahora y se hace lo mismo con igual monto hasta el cuarto perodo,

es decir n-1 y con la misma tasa de inters por cada perodo.

La frmula del valor futuro de la anualidad y las derivadas de ella son:

+=

i

iCVF

n 1)1( (Ecuacin 2. 21)

+

=1)1( ni

iVFC (Ecuacin 2.22)

)1log(

1*log

i

iC

VF

n+

+

= (Ecuacin2. 23)

El valor, depende slo de las variables: tasa de inters (i), igual para cada perodo y el

valor correspondiente al nmero de periodos (n), para flujos realizados a comienzo de

cada uno de ellos.

Las anualidades tienen la caracterstica que siendo un pago constante en el caso de

amortizar una deuda, los intereses pagados en los primeros periodos son mayores,

destinndose el excedente al pago de amortizacin de capital, el cual aumenta

gradualmente, el inters posterior deber calcularse sobre un menor monto de capital por

la disminucin o amortizacin de ste.

Ejemplo 2.22

Un empresario deposita 5.000.000 ahora en una cuenta de ahorros que reconoce una

tasa de inters del 2.5% mensual y considera retirar 780.000 mensuales, empezando

dentro de 10 meses. Calcular por cunto tiempo podr realizar retiros completos?

Solucin

??;;10;000.780;025.0;000.000.5 ====== nVFnCiVA

Se calcula el VF de los 5.000.000 a 10 meses:

423.400.6)025.01(000.000.5 10 =+=VF



Haciendo uso de Portafolio, el resultado que se obtiene es:

Utilizando Excel, los resultados son:

Sintaxis: VF(tasa;nper;pago;va;tipo)Tasa Nper Pago VA Tipo VF

0.025 10 -5,000,000 6,400,423

Sintaxis: NPER(tasa; pago; va; vf; tipo)Factor: n (VA/VF, n=?, i)

Tasa Pago VA VF Tipo Nper

0.025 780,000 -6,400,423 7.5568

Respuesta: A partir del mes 10 puede hacer retiros completos por 8 meses.

2.3.4 Perpetuidades

Segn el autor Csar Aching, perpetuidad significa duracin sin fin; duracin muy larga o

incesante. A partir del valor actual (VA) de una anualidad (C), que representa una serie de

pagos, depsitos o flujo peridico uniforme para cada uno de estos periodos y efectuando

algunas modificaciones se pueden derivar las perpetuidades.

La caracterstica de una perpetuidad, es que el nmero de periodos es grande, de manera

tal que el valor de los ltimos flujos al descontarlos es insignificante. El valor de la

anualidad de muchos trminos, llamada perpetuidad (VAP), es calculada con la siguiente

frmula:



i

CVAP = (Ecuacin 2.24)

Las perpetuidades permiten clculos rpidos para determinar el valor de instrumentos de

renta fija (VAP) de muchos periodos. En este caso, (C) es el rendimiento peridico e (i) la

tasa de inters relevante para cada perodo. Ejemplos de perpetuidades son tambin las

inversiones inmobiliarias con canon de arrendamiento, dada la tasa de inters se

aproxima el valor de la inversin (C).

Por lo general, la tasa de inters es casi siempre anual y el canon de arriendo es

mensual, por lo cual deber establecerse la tasa de inters equivalente para este perodo

de tiempo. Otras aplicaciones importantes son las pensiones o rentas vitalicias.

Ejemplo 2.23

Para que dos jvenes estudien becados en una universidad prestigiosa, dentro de 10

aos, es requisito fundamental -entre otros- depositar el da de hoy una suma de dinero

en una institucin financiera que paga mensualmente por ahorros de este tipo el 2% y que

permite a la institucin disponer de 5.000 mensuales a perpetuidad. Cunto se debe

depositar el da de hoy?.

Solucin

?;02.0;000.5 === VAPiC

000.25002.0

000.5==VAP

Respuesta: Se debe depositar el da de hoy 250.000 unidades monetarias. Mensualmente

el dinero gana 5.000 de inters. Este inters constituye la beca.

2.4 INTERS, TASA DE INTERS Y TASAS EQUIVALENTES

Recopilando los planteamientos del autor Csar Aching, el inters (I) es el monto pagado

por la institucin financiera para captar recursos, igualmente es el monto cobrado por



prestarlos (colocar). El inters es la diferencia entre la cantidad acumulada menos el valor

inicial; sea que se trate con crditos o con inversiones.

El inters es un precio, el cual expresa el valor de un recurso o bien sujeto a intercambio,

es la renta pagada por el uso de recursos prestados, por perodo determinado.

Para su clculo se utilizan las siguientes frmulas:

inVAI **= (Ecuacin 2.1)

1))1(( += niVAI (Ecuacin 2.15)

VAVFI = (Ecuacin 2.16)

La tasa de inters, es el precio del tiempo, mientras que la tasa de rentabilidad es el

precio del tiempo cuando existe riesgo. La tasa de rentabilidad es el precio del tiempo

ms una prima por riesgo (precio del riesgo).

Se calcula la tasa de inters (i) dividiendo el monto futuro (VF) recibido o pagado por

perodo, por el monto inicial, VA; de modo que la tasa de inters ser:

1= nVA

VFi (Ecuacin 2.13)

Cuando se evalan prstamos e inversiones a inters simple y para casos de inversiones

a inters compuesto, se aplica la ecuacin 2.13 cuando se trata de un solo pago. No es

aplicable para el caso de las anualidades o flujos variables; en estos casos son de mucha

utilidad las funciones financieras TASA (flujos uniformes) y TIR (flujos variables) de Excel.

La tasa de inters corriente (ic), es la tasa del mercado, aplicada por los bancos y las

entidades financieras; la tasa efectivamente pagada por cualquier prstamo. Tiene tres

componentes o causas:

El efecto de la inflacin (F): medida del aumento del nivel general de precios,

valorada a travs de la canasta familiar; se nota su efecto en la prdida del poder

adquisitivo de la moneda. A mayor inflacin, mayor tasa de inters.



El efecto del riesgo, inherente al negocio o inversin. A mayor riesgo, mayor tasa

de inters. Elemento de riesgo (ip).

La tasa real (i) propia del negocio, lo que el inversionista desea ganar, libre de

riesgos e inflacin. Por lo general los bonos del tesoro de EE.UU., son tomados

como parmetro para la tasa libre de riesgo.

2.4.1 Tasas de inters y descuento equivalente

En el mundo real, segn el autor Csar Aching, las tasas de inters son en ms de un

perodo por ao. Por convencin, las tasas de inters son en base anual. La tasa de

inters expresada anualmente y con composicin en ms de una vez por ao es la tasa

nominal, es una tasa de inters simple; ignora el valor del dinero en el tiempo y la

frecuencia con la cual capitaliza el inters.

Tasa peridica: tasa de inters cobrada o pagada en cada perodo, por ejemplo, semanal,

mensual o anual; tiene la caracterstica de ser nominal y efectiva a la vez.

Tasa efectiva anual (TEA): la tasa que realmente se paga o cobra por una operacin

financiera, incluye todos los costos asociados al prstamo o inversin. Si el inters se

capitaliza en forma trimestral, semestral, mensual, la cantidad efectivamente pagada o

ganada es mayor que la compuesta en forma anual.

Inters anticipado (ia): es el inters liquidado al inicio del perodo, cuando se recibe o

entrega dinero.

Inters vencido (iv): liquidado al final del perodo, cuando ser recibe o entrega dinero.

Las frmulas de las tasas de inters nominal, efectiva y equivalente son:

Tasa nominal j:

nij peridica *= (Ecuacin 2. 25)

Tasa nominal j:

( )[ ] 11 /1 += mimj (Ecuacin 2.25A)



Tasa efectiva anual (TEA) i:

11

+=m

m

ji (Ecuacin 2.25B)

Tasa peridica i:

n

jiperidica = (Ecuacin 2.26)

Tasa peridica i:

( ) 11 += n efectivaperidica ii (Ecuacin 2.27)

Tasa efectiva anual (TEA):

( ) 11 += nperidicaefectiva ii (Ecuacin 2.28)

2.4.2 Tasas equivalentes: tasa nominal efectiva anual, tasa anticipada y vencida

Segn el autor Aching, dos tasas con diferentes periodos de capitalizacin sern

equivalentes, si al cabo de un ao producen el mismo inters compuesto.

Comn en operaciones bancarias y tambin en el caso de bonos del tipo cupn cero, el

uso de la tasa de descuento (d) en vez de (o junto con) la tasa de inters, como referencia

del rendimiento de la operacin. Usar la tasa de descuento o la tasa de inters es

puramente convencional y siempre se puede expresar una en trminos de la otra.

Esto se explica con las tasas equivalentes pagadas al vencimiento (iv) o por anticipado

(ia).

Muchas negociaciones pactan en trminos de inters anticipado y es deseable conocer,

cul es el equivalente en tasas de inters vencido. Un ejemplo corriente, lo constituyen los

prstamos bancarios y los certificados de depsito a trmino.

Cuando indican un pago de inters anticipado (ia), en realidad ello significa, que en el

caso de un prstamo, recibe un monto menor al solicitado.



Tasa de inters vencida:

anticipado

anticipado

i

iiv

=1

(Ecuacin 2.29)

Tasa de inters anticipada:

vencido

vencido

i

iia

+=1

(Ecuacin 2.30)

Estas dos frmulas slo son de aplicacin a tasas peridicas.

Ejemplo 2.24

Se tiene una tarjeta de crdito cuya tasa de inters es 3% mensual. Se pide determinar la

tasa anual que realmente cuesta.

Solucin

??;;12;03.0 ==== TEAjni

%3636.012*03.0 j ==

( ) %58.424258.0103.01)( 12 TEAi =+=

Utilizando Portafolio, se llega al mismo resultado, tal como se puede observar:

Para demostrar, se calcula la tasa peridica a partir de la tasa nominal y TEA:



%312

%36==peridicai

( ) %303.1)4258.01(12 iperidica 0=+=

Para esta demostracin utilizando Portafolio se obtiene:

Aplicando las funciones financieras de Excel:

int_nominal nm_per_ao INT. EFECTIVO

0.36 12 0.4258

Sintaxis: INT.EFECTIVO(int_nominal;nm_per_ao)

tasa_efectiva nm_per TASA NOMINAL

0.4258 12 0.36

Sintaxis: TASA.NOMINAL(tasa_efectiva; nm_per)

Respuesta: El costo nominal de la tarjeta de crdito es 36% y el costo real o tasa efectiva

anual (TEA) es 42.58%.

Ejemplo 2.25

Una entidad financiera paga por uno de sus productos el 36% anual y liquida

trimestralmente por anticipado.

Determine a cunto equivale el inters trimestral vencido.



Solucin

36.0=j

anticipadaperidicatasaia %909.04

36.0==

Haciendo uso de Portafolio, se obtiene:

vencidaperidicatasaiv %89.90989.009.01

09.0=

=

Utilizando Portafolio, se obtiene el mismo resultado:

2.4.3 Tasa de inters nominal e Inflacin

Como se observ al tratar los componentes de la tasa de inters, tal como explica el autor

Aching, la Inflacin es un alza sostenida en el nivel de precios, que hace disminuir el



poder adquisitivo del dinero. De esta forma en un futuro con la misma cantidad de dinero

se compran menos cantidades de bienes y servicios que en la actualidad.

Si se tuviera el caso, donde actualmente (hoy) una nevera cuesta 1.200.000 y est

calculado que dentro de un ao costar 1.600.000 unidades monetarias, en este caso se

dice que el precio ha subido un 33%.

%33.333333.0000.200.1

000.200.1000.600.1=

3333.01000.200.1

000.600.1=

1,200,000 1,600,000

Inflacin = (400.000/1.200.000)*400.000 = 33.33%0 Hoy 1 Futuro

Si la cantidad disponible de dinero es 24.000.000, en el momento actual en que cada

unidad vale 1.200.000 unidades monetarias, se pueden comprar 20 unidades, pero en el

momento futuro slo es posible adquirir 15 unidades con 24.000.000 unidades

monetarias, es decir, se ha perdido capacidad de compra o poder adquisitivo.

El inters ganado en un perodo de tiempo, se expresa como una determinada tasa de

inters i que se aplica sobre el capital inicial. Por lo tanto, en ausencia de inflacin, esta

tasa de inters es real, por cuanto explica el crecimiento existente en la capacidad de

consumo.

Frente a la presencia de un proceso inflacionario, se debe tener una tasa de inters

mayor, que compense el efecto inflacionario y adems recoja el inters real esperado;

ser por tanto una tasa nominal, que incluye inflacin e intereses:

IntereseseCapitalsobrerioInflacionaEfectoalTasaj += Re

Para explicar la determinacin de la tasa de inters nominal, se har a partir de un

ejemplo, primero sin la presencia de inflacin y despus con una inflacin esperada del

35%.



Ejemplo 2.26

Un determinado bien actualmente vale 320.000 unidades monetarias. El costo de

oportunidad por el uso del capital o rendimiento exigido es 25% por el perodo de un ao;

el capital disponible es 32.000.000 unidades monetarias.

Solucin caso sin Inflacin

?;25.0;1;000.000.32 ==== VFinVA

000.000.40)25.01(*000.000.32 1 =+=VF

Vale 320.000 c/u Vale 320.000 c/u32.000.000 de capital capital final 40.000.000compra 100 unidades compra 125 unidades

inters 25%perodo 1

0 Hoy 1 Futuro

Compra: 40.000.000/320.000 = 125 unidades

En estas condiciones, sin inflacin, el capital inicial de 32.000.000 unidades monetarias,

con un precio por cada unidad de 320.000 unidades monetarias, permite comprar 100

unidades. Al ganar un 25% de intereses en el perodo, aumenta su capacidad de compra

a 125 unidades (40.000.000/320.000 = 125 unidades).

Solucin caso con inflacin (F)

%35;1;000.000.32 === FnVA

para compra de Capital necesario para compra100 unidades de 125 unidades 125*432.000=54.000.000

0 Hoy 1 Futuro

Vale 320.000 c/u 320.000*1.35=432.000 c/u

inters 25% e inflacin 35%

perodo 1

compra 100 unidades 32.000.000*1.25=40.000.00032.000.000 de capital Se compran 93 unidades

El crecimiento nominal del capital durante el perodo es de:

000.000.22000.000.32000.000.54 =



Crecimiento relativo del capital:

%75.686875.0000.000.32/000.000.22 =

Esto significa que una tasa nominal de un 68.75% permite mantener el poder adquisitivo

del capital y ganar intereses, tambin cubiertos del efecto inflacionario, que aumenten la

capacidad real de consumo en un 10%, o bien ganarse realmente un 10%. Si actualmente

se compran 100 unidades del bien, con esta tasa nominal de un 68.75%, se podr

comprar al trmino del perodo 125 unidades.

As, la tasa de inters nominal debe recoger o sumar el inters del perodo de 25% ms la

tasa de inflacin del perodo de 35% y ms la tasa de inflacin sobre el inters 35% por

25%:

Inters nominal = 0.25 + 0.35 + (0.25 * 0.35) = 0.6875, con lo cual se corrobora lo

siguiente:

)( InflacinxrealTasaInflacinrealTasaj ++=

2.4.4 Uso de las unidades de valor real (UVR)

De acuerdo al autor Diego Navarro13, en Colombia se da el uso de tasa de inters

mltiple. La siguiente frmula, permite calcular la tasa de inters en trminos reales:

1))1/()1(( ++= InflacinTasacorrienteTasair

Tasa de inters mltiple: cuando sobre una inversin o prstamo actan

simultneamente dos tasas, la tasa resultante se conoce como la tasa mltiple de inters.

En Colombia hay dos casos de tasas de inters mltiple: Uno de estos casos, es el crdito

para vivienda en unidades de valor real (UVR) o anteriormente crdito de las

13 NAVARRO, C. Diego. Matemticas Financieras, Captulo 5. Universidad Nacional de Colombia, Programa Universidad Virtual, Sede Manizales, 2004.



corporaciones de ahorro y vivienda en unidades de poder adquisitivo constantes (UPAC) y

el otro caso es cuando se efectan negociaciones con el extranjero.

A continuacin se ilustra el funcionamiento de la tasa mltiple de inters en un crdito

para vivienda en UVR.

Ejemplo 2.27

Se supone un crdito para vivienda por la suma de 50 millones de pesos adquirido en

UVR. Este prstamo esta sometido al efecto de dos tasas: por un lado a la tasa en UVR y

por otro lado a la tasa de la inflacin. Para su ilustracin la tasa en UVR es del 14%

efectiva anual y la tasa de inflacin del 10% anual. Adems se supone que el valor de la

UVR en la fecha del desembolso es de $6.000.

La corporacin financiera, en este caso no concede el crdito en pesos sino en unidades

y sobre estas unidades prestadas aplica la respectiva tasa. El nmero de unidades

desembolsadas se calcula de acuerdo al valor de la unidad en el momento de efectuar el

desembolso. En la fecha de pago se calcula las unidades adeudadas y se convierten a

pesos segn el valor de la unidad en esa fecha. El valor de la unidad se ha indexado por

la tasa de inflacin en el periodo respectivo de duracin del crdito.

El anterior proceso es ms simple observarlo con los diagramas de flujo de caja:

VPu = valor presente del prstamo en UVR

iu = tasa de inters peridica en UVR

VFu = valor futuro del prstamo en UVR

VFu=8.333*(1.14)VFu= 9,500

0 iu= 14% 1

VPu=50.000.000/6.000VPu= 8,333.33

El prstamo en unidades es de 8.333,33, el cual se cancela con un valor futuro de 9.500

unidades.



TVP = tasa de cambio del valor de la unidad en la fecha del desembolso

Inflacini% = tasa de inflacin en el perodo.

TVF = tasa de cambio del valor futuro de la unidad en la fecha de pago.

TVF=6.000*(1.10)TVF= 6,600

0 i%Inflac= 10% 1

TVP=6.000

El valor de la unidad ascender a $6.600, en el momento de pagar el crdito. Para

conocer la tasa de inters efectiva, se elabora un flujo de caja en pesos y se establece la

tasa:

VF$=9.500*6.600VF$= 62,700,000

0 iE= ? 1

VP$=8.3333,33*6.000VP$= 50,000,000.00

NiEVPVF )1$($ +=

)1(*33,333.8600.6*500.9 iE+=

)1(*33,333.8)10.01(*000.6*)14.01(*33,333.8 iE+=++

)1()10.01(*)14.01( iE+=++

1)10.01(*)14.01( ++=iE

%40.25=iE

Generalizando la frmula para hallar la tasa mltiple:



1)21(*)11( ++= iiiE

1i = la tasa en UVR o la tasa en el extranjero si se est negociando con otro pas

2i = la tasa de inflacin o la tasa de devaluacin del peso colombiano frente a la moneda

del pas extranjero.

2*121 iiiiiE ++=

La anterior frmula indica que cuando existe endeudamiento o inversin en UVR o en

moneda extranjera se est sometido a dos tasas: i1, i2. El costo de la deuda es igual a la

suma de las dos tasas ms el producto de ambas, anlogamente sucede cuando se

invierte. Segn el autor Diego Navarro, cuando hay endeudamiento en UVR o en moneda

extranjera, no debe importar la tasa de cambio; esto quiere decir, que si la unidad vale

$100 o $5.000 o $20.000 no es malo o bueno, realmente lo que impacta son las tasas de

inters, tanto la tasa de inflacin que se refleja en la cotizacin de la unidad, como en la

tasa a la cual se pacta la deuda. Si se contrata un crdito de $50.000.000 cuando la

unidad vale $5.000, se estn prestando 10.000 UVR las que se deben pagar con 11.400

UVR, cotizadas a $5.500, si se sigue trabajando con las tasas propuestas en el ejemplo,

para un total a pagar de $62.700.000.

En resumen para tomar la decisin de endeudamiento es indispensable conocer el valor

de la tasa de inters efectiva y compararla con otras alternativas de financiacin, sin

importar el sistema de amortizar la deuda inicialmente. Lgicamente el flujo de caja, la

rentabilidad del proyecto y las condiciones de la entidad son tambin elementos

determinantes al tomar la decisin final.

2.5 OPERACIONES FINANCIERAS, TASAS ACTIVAS Y TASAS PASIVAS

2.5.1 Prstamos y operaciones financieras

Siguiendo con el planteamiento que hace el autor Csar Aching, se denomina prstamo,

al contrato en el que una de las partes (prestamista) entrega activos fsicos, financieros o

tercera semana cap 2 anualidades tasas equivalentes inflacion y uvr

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