UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERA FACULTAD DE INGENIERA MECNICA

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Lab. de Ingeniera de Control MT-221

Tercera prctica calificada

Alumna:Cabanillas Guarniz, Daphne Ivette20114537HDocente:Msc. Ing. Sotelo, FreedySeccin:A

Ciclo:2015-1

Fecha: 23 06- 2015

PROBLEMA:

Sea el siguiente sistema de pndulo dinmico:

Figura 1. Sistema fsico a modelar

Modelamos el comportamiento dinmico de un pndulo, determinando a partir de las ecuaciones fsicas un modelo no lineal que lo describe con precisin en todos sus puntos. Asimismo, se obtenemos mediante el procedimiento de linealizacin, un modelo lineal que lo aproximan en torno a sendos puntos de equilibrio.

Descripcin fsica del sistema:

El sistema se compone de una bola de masa m situada en el extremo de una barra de masa despreciable con una longitud l. Adems, se sabe que el momento de inercia del pndulo respecto a su punto de giro es J, el coeficiente de friccin viscosa es B y el par aplicado es T. El ngulo girado, que ser la variable de salida y, se toma segn indica la figura1.

Modelado matemtico:

Ecuacin fsica del sistema

El nguloqueda determinado por la ecuacin (1). El par T aplicado sobre el pndulo se invierte en incrementar la aceleracin angular, en vencer la friccin viscosa y en compensar el par generado por el peso del sistema.

T

=

J d2(t)

dt2+ B d(t)

dt+ m g l sen(t)

(1)

Esta ecuacin diferencial no lineal de segundo orden describe el comportamiento dinmico del pndulo.

Ecuaciones del espacio de estados

En este caso tomaremos el ngulo giradoy la velocidad angular, segn:

x1

=

(t)

x2

=

(t)

Las ecuaciones del espacio de estados sern:

X1

=

x2

(2)

X2

=

1

J[-Bx2-m g l senx1+ T]

(3)

y

=

x1

(4)

Diagrama de bloques del sistema

A partir de las ecuaciones anteriores se puede obtener fcilmente el diagrama de bloques de la figura2que define la variable de salidaante una entrada de par T.

Figura 2. Diagrama de bloquesSimulacin del modelo:

Los valores de las constantes que definen al sistema son:

l=1;longitudenmetrosB=2;coeficientedefriccinviscosaenN.m(rads/s)g=9.8;aceleracindelagravedadm.s2m=3;masaenkgJ=m*l2;momentodeinerciaenkg.m2

Para proceder a la simulacin del pndulo se usa la herramienta Simulink de MATLAB. La implementacin tiene el aspecto mostrado en la figura3. Hay que tener en cuenta que las condiciones iniciales quedan determinadas por los valores iniciales de los integradores. Asimismo, la presencia de integradores simplifica la obtencin de las derivadas y la eleccin de las variables de estado.

Figura 3: Simulacin del pndulo usando Simulink

Se utiliz el siguiente cdigo en matlab:

clc % Variables simblicas syms f1 f2 x1 x2 B m l uf1=x2 f2=(-B*x2-m*g*l*sin(x1)+u)/(m*l^2)f=[f1;f2]; % Clculo de jacobianos en Punto de Operacin v=[x1,x2]; w=[u]; x1=0;x2=0;u=0; As=subs(jacobian(f,v)) Bs=subs(jacobian(f,w)) % Dando valores a parmetros del sistema B=2;m=3;l=1;g=9.81; A=subs(jacobian(f,v)) B=subs(jacobian(f,w)) C=[1 0;0 1] D=[0] step(A,B,C,D) % Fin

Se obtuvo las siguientes grficas:

Respuesta al escaln unitario:

Simulacin del modelo usando Simulink:

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