tercera parte

NORMAL SUPERIOR MARIA AUXILIADORA MATEMATICAS ONCE GRADO DOCENTE: MARLENY ALVAREZ DIAZ **** PRIMER TRIMESTRE 2.015

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3. LOS NUMEROS REALES ( ℝ )

El conjunto de los Números Reales ( ℝ ) está integrado por:

El conjunto de los Números Racionales ( ℚ ) que corresponden a la unión de todos los números cuya

expresión decimal es finita, infinita periódica o infinita semiperiódica.

El conjunto de los números enteros ( ℤ ) positivos y negativos, más el cero

El conjunto de los Números Irracionales ( 𝕀 ) que está formado por la unión de todos los números que

admiten una expresión infinita no periódica.

Entonces, se llaman Números Reales a todos aquellos que se pueden expresar en forma decimal finita o infinita;

es decir, el conjunto de los Números Reales ( ℝ) está formado por los elementos del conjunto ( ℚ ) unido con 𝕀 .


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Todos los números reales pueden ser representados en la recta numérica.

A cada punto de la recta numérica le corresponde un número real y viceversa; es decir, existe una correspondencia uno a uno entre los puntos de la recta numérica y los números reales.

Importante:

Con números reales pueden realizarse todo tipo de operaciones básicas con dos excepciones importantes:

1.- No existen raíces de orden par (cuadradas, cuartas, sextas, etc.) de números negativos en números reales, razón por la cual existe el conjunto de los números complejos donde estas operaciones sí están definidas.

2.- No existe la división entre cero, pues carece de sentido dividir entre nada o entre nadie; es decir, no existe la operación de dividir entre nada.

En otras palabras, no son reales las fracciones con denominador cero y las raíces de índice par y radicando negativo.

Infinito no es un número real, es una idea. Una idea de algo que no termina.

3.1 DESIGUALDADES EN ℝ

3.1.1 INTERVALO

Los intervalos son subconjuntos de los números reales que se pueden representar gráficamente en la recta numérica por un trazo o una semirrecta.

Existen intervalos abiertos, en los que no se incluyen los extremos; cerrados en los que se incluyen los extremos, y aquellos en que se combinan ambos.

Para representar los intervalos se utiliza una circunferencia vacía en el extremo, si este no se incluye, o rellena si se incluye.

El dibujo grafica el intervalo entre todos los números (x) mayores que 7 (x >7),

excluido el 7, hasta el infinito (+ ∞)


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Este dibujo grafica el intervalo entre los números (x)

mayores o iguales a 7 (x ≥ 7), incluyendo el 7, hasta el infinito (+ ∞).

Como vemos, la simbología que se utiliza en los casos abiertos (que no incluyen al extremo) son el signo

< (menor que) o > (mayor que); y para los casos cerrados (que incluyen al extremo) son el signo ≥ (mayor o

igual que) o el signo ≤ (menor o igual que).

De acuerdo con la simbología y las características, existen los siguientes tipos de intervalos:

ACTIVIDAD N° 1 :

1. Ubica los siguientes intervalos en la recta real:

a. ( 1, 8 ) b. ( -7, -1 ) c. [ 8 , -8 ]

d. ( -9, 0 ] e. ( 0,5 ; 6,3] f. [ 4, ∞ )

g. ( - ∞ , 3 ] h. [−1

2 ,

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2]

2. Escribe en forma de intervalo cada uno de los siguientes conjuntos:

a. G = { 𝑥|𝑥 ∈ ℝ , 𝑥 > −3 } b. H = { 𝑥|𝑥 ∈ ℝ , −4 < 𝑥 ≤ 3 } c. I = { 𝑥|𝑥 ∈ ℝ , 𝑥 ≤ −5 } d. J = { 𝑥|𝑥 ∈ ℝ , 𝑥 ≤ −3 ∨ 𝑥 ≥ 3 } e. G = { 𝑥|𝑥 ∈ ℝ , 𝑥 > 2 ∧ 𝑥 < 10 }


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3.1.1.1 OPERACIONES CON INTERVALOS :

Al operar con intervalos se aplica las definiciones de las operaciones entre conjuntos, pero el trabajo se realiza

en la recta numérica para los números reales.

Al operar con intervalos el conjunto universo es el conjunto de los números reales, a menos que se especifique

otra cosa.

1. UNION DE INTERVALOS :

2. INTERSECCION DE INTERVALOS :

3. DIFERENCIA DE INTERVALOS :

4. COMPLEMENTO DE INTERVALOS:

AC = ( − ∞ , − 3 ] ∪ ( 2 , ∞ )


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EJERCICIO N° 1

1. Para cada uno de los casos siguientes represente geométricamente los conjuntos A, B y .

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PREPARA LA EVALUACION N° 3 : INTERVALOS

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2. Para cada uno de los casos siguientes determine el

conjunto .

1. ;

3. Para cada uno de los casos siguientes determine el

conjunto y

4. Dados los siguientes intervalos:

A= [ -5 ,3 ] , B = ( -3 , 5 ) y C = ( - ∞, 2 )

Realizar las operaciones indicadas y escribir los intervalos resultantes:

a. A ∪ B b. B ∩ C c. B – A

d. ( A ∪ C ) − B e. B ∆ C


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3.1.2 INECUACIONES

Una inecuación es el enunciado de una desigualdad que incluye alguna de las siguientes relaciones de orden:

“mayor que”(>); “menor que” (<); “mayor o igual que” (≥), y “menor o igual que” (≤). En la desigualdad aparece

al menos una incógnita o valor desconocido y que se cumple para ciertos valores de ella.

ejemplos : ; ; ; ;

Si el grado de la inecuación es uno (de primer grado), se dice que la inecuación es lineal.

La solución de una inecuación es el conjunto de valores de la variable que la verifica. La solución de la inecuación se expresa mediante: 1. Una representación gráfica. 2. Un intervalo.

Resolver una inecuación es encontrar los valores de la incógnita para los cuales se cumple la desigualdad. La solución de una inecuación es, por lo general, un intervalo o una unión de intervalos de números reales, por ello es que se puede representar haciendo uso de intervalos en la recta numérica, la cual contiene infinitos números reales.

Las reglas para la resolución de una inecuación son prácticamente las mismas que se emplean para la resolución de ecuaciones, pero deben tenerse presentes las propiedades de las desigualdades.

PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES:


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3.1.2.1 INECUACIONES LINEALES

c)


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EJERCICIO N° 2 :

1. Resolver las siguientes inecuaciones y representar el conjunto solución en la recta real:

2. Resuelva:

a. ¿Cuáles son los números cuyo triplo excede a su duplo en más de 20? b. ¿Cuál es el menor entero múltiplo de 4, que satisface la siguiente inecuación: 𝑥 + 2 < 3𝑥 + 1 ? c. Si el lado de un cuadrado es mayor o igual que 7. ¿Qué se puede decir de su perímetro 𝑝 ?

d. El perímetro de un cuadrado no supera el perímetro del

rectángulo de la figura. ¿Qué se puede asegurar acerca de la

superficie 𝑆 del cuadrado?

e. Un padre y su hijo se llevan 22 años. Determinar en que períodos de sus vidas , la edad del padre excede en

más de 6 años al doble de la edad del hijo.

f. Un coche se desplaza por una carretera con una velocidad comprendida entre 100 Km/h y 150 Km/h. ¿Entre

qué valores oscila la distancia del coche al punto de partida al cabo de 3 horas?

g. Una fábrica paga a sus viajantes $10 por artículo vendido más una cantidad fija de $500. Otra fábrica de la

competencia paga $15 por artículo y $300 fijas. ¿Cuántos artículos debe vender el viajante de la competencia

para ganar más dinero que el primero?


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3.1.2.2 INECUACIONES CUADRATICAS

Una inecuación cuadrática o de segundo grado es una desigualdad donde la variable tiene exponente 2 y es en

su forma general de una de las formas siguientes :

ax2 + bx + c ≥ 0 , ax2 + bx + c ≤ 0 , ax2 + bx + c > 0 ó ax2 + bx + c < .

Para resolver una inecuación cuadrática seguiremos los siguientes pasos:

1. Escribir la inecuación en la forma general, es decir, realizar las operaciones necesarias para que la inecuación

quede de la forma ax2 + bx + c ≥ 0

2. Factorizar el lado izquierdo de la inecuación. O si no se puede factorizar, encontrar los puntos donde el lado

izquierdo de la inecuación es igual a cero, ya sea, completando al cuadrado o usando la fórmula cuadrática.

3. Usa las raíces (soluciones) del paso #2 como puntos críticos. Ordena las raíces en orden ascendente (de

menor a mayor) en una recta numérica. Las raíces dividirán la recta numérica en intervalos abiertos; el signo

algebraico del polinomio no puede cambiar en ninguno de estos intervalos.

4. Seleccionar un punto de prueba en cada intervalo para determinar el signo en cada intervalo..

5. La solución la conforman todos los intervalos que hacen que la desigualdad sea cierta. La solución se puede

expresar de distintas formas:

o Como intervalo

o Como conjunto

o Gráficamente

EJEMPLO 1 :

Resolver la siguiente inecuación x2 + 4x – 5 ≥ 0

1. La ecuación ya se encuentra escrita en su forma general .

2. Factorizamos el lado izquierdo de la inecuación : x2 + 4x – 5 = ( x – 1 ) . ( x + 5 )

3. Hallamos los intervalos de prueba, igualando cada factor a cero, estos puntos determinarán los límites de los

intervalos en la recta numérica: x – 1 = 0 entonces x = 1 y x + 5 = 0 entonces x = − 5

4. Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en

cada intervalo:

Seleccionamos un punto de prueba en cada intervalo para determinar el signo en cada intervalo:

PRUEBA DE MATEMÁTICAS


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Determinamos los intervalos que forman parte de la solución. La solución la conforman todos los intervalos que

hacen que la desigualdad sea cierta. En la tabla, vemos que los intervalos de la primera y tercera fila cumplen

con ser ≥ 0 .

+++++++++++++-------------------------------------+++++++++++++

5. La solución se puede expresar de distintas formas:

o Expresando la solución como conjunto: S = { 𝑥 | 𝑥 ≤ −5 ó 𝑥 ≥ 1 }

o Expresando la solución como intervalo : S : ( − ∞ , −5] ⋃ [ 1 , ∞ )

o Gráficamente :

ACTIVIDAD N° 2 :

Halla el conjunto solución escribiendo la solución de forma gráfica, por intervalo y por conjunto.

a. 3 x2 + 11x + 6 > 0

b. x2 - 100 > 0

c. t2 - 2t - 42 > 0

d. z2 + 22z + 120 > 0

e. y2 - 12y + 1 < 0

f. x2 - 22x + 121 < 0

g. x2 + 7x + 10 < 0

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3.1.2.3 INECUACIONES RACIONALES

Las inecuaciones fraccionarias o racionales tienen la incógnita en el denominador.

Las inecuaciones racionales se resuelven de un modo similar a las de segundo grado, pero hay que tener presente que el denominador no puede ser cero.

Para resolverlas se pasan a un miembro todos los términos para que en el otro miembro quede un cero,

obteniéndose así una inecuación equivalente. Luego se estudia en una tabla el signo de la fracción que se ha

obtenido, descomponiendo el numerador y denominador en producto de factores y teniendo en cuenta, como

condición, que el denominador no se puede anular.

EJEMPLO 1: Resolver

1º Hallamos las raíces del numerador y del denominador:

EJEMPLO 2:

Resolver

1º Pasamos el 2 al primer miembro y ponemos a común denominador.


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x − 2 = 0 entonces x = 2

x − 4 = 0 entonces x = 4

2º Representamos estos valores en la recta real, teniendo en cuenta que las raíces del denominador, independientemente del signo de la desigualdad, tienen que ser abiertas.

3º Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:

4º La solución está compuesta por los intervalos (o el

intervalo) que tengan el mismo signo que la fracción

polinómica. S = (-∞, 2] ∪ (4, ∞)

2º Hallamos las raíces del numerador y del denominador. − x + 7 = 0 entonces x = 7 x − 2 = 0 luego x = 2

3º Evaluamos el signo :

4º Solución :

EJEMPLO 4:

EJEMPLO 3:

Resolver


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ACTIVIDAD N° 3 : Halla el conjunto solución de las siguientes inecuaciones en ℝ.

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3.1.2.4 INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto de un número real a se denota por a y está definido por:

PROPIEDADES: Para cualquier número real x y cualquier número positivo k:


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Resolver la inecuación :


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c)


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ACTIVIDAD N° 4 :

1. Determina el valor de x que satisface cada ecuación: a. | 𝑥 + 5 | = 7

b. | 3 x | = 21

c. | -8x – 6 | = 40

d. |−4𝑥

3− 5| = 23

e. |x - 15 | = - 87 f. | 8x - 6 | = 10

g. |2𝑥

3 + 7 | = 11

h. | 3𝑥 + 11 | = 7

2. Determina el conjunto solución de las siguientes desigualdades. Expresa tu respuesta como un intervalo y represéntalo en la recta numérica: a. | x – 7 | < 18 b. | 7x + 3 | > 2

c. | 12

+ 3𝑥 | ≥ 6

d. | 2

3 𝑥 −

1

2 | <

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2

e. | 2x + 3 | ≤ 5 f. | 5x - 2 | ≤ 3

g. | 2 𝑥 − 1

3 | < 5

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PREPARA LA EVALUACION N° 4 : INECUACIONES

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ANALISIS DE IMAGEN

1. Identifique el volumen que se puede armar al plegar la figura de la izquierda:

2. Identifique como se vería el objeto de la izquierda si se observa en el sentido que indica la flecha:


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