RELACIONES Y FUNCIONES

RELACIONES

Una relación se define como un subconjunto de un producto cartesiano. Simbólicamente:

Sean los conjuntos: A = {2, 4, 6}; B = { 1, 2, 3} A x B = {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (4, 1), (4, 2), (4,3), (6, 1), (6, 2), (6, 3)} Un subconjunto  S que satisfaga  x > y  será: S =  {(2, 1), (4, 1), (4, 2), (4,3), (6, 1), (6, 2), (6, 3)}

Relación inversa Sean los conjuntos:  A = { 1, 2, 3, 4}; B = { 1, 2} Definamos la relación, x es divisor de y. Luego:     R = { ( 1 , 1 ) , ( 1 , 2 ) , ( 2 , 2 ) } Gráficamente:

Encontremos ahora  la relación S  de B en A dada  por  "y es múltiplo de x" S = { ( 1 , 1 ) , ( 2 , 1 ) , ( 2 , 2 ) } Gráficamente:

FUNCIONES

Dos líneas se pueden cortar en forma perpendicular u oblicua. Cuando se cortan en forma perpendicular forman un eje de coordenadas rectangulares.

Este eje de coordenadas llamado plano cartesiano, sirve para graficar un conjunto de parejas ordenadas  generadas por un producto cartesiano.

Sean los conjuntos: A = { 2, 4, 6 }; B = { 3, 5 }

Realizar el producto cartesiano.Definir el dominio de la funciónDefinir el rango de la función.Representar las parejas ordenadas en un plano cartesiano.

Desarrollo:

Producto cartesiano  A x B = {(2, 3), (2, 5), (4, 3), (4, 5), (6, 3), (6, 5)} El dominio de la función es el mismo conjunto  A,   D = {2, 4, 6} El rango de la función es el mismo conjunto  B,   Rango= {3, 5} Plano cartesiano: Gráfica:

Función lineal   y = f(x)

En una función lineal representada por la relación   y = f(x), para cada valor que se le asigne a la variable  x, hay un valor de y. Los valores que se le asignen a  x  reciben el nombre de abscisas, y los valores que resulten de y los llamaremos: ordenadas de la función. Al realizar la gráfica de estos valores (puntos) nos resulta una línea recta o curva que será la gráfica de la función o ecuación   y= f(x).

En una función   Y = f(x)  como a  x  le asignamos valores independientes para obtener valores de  y, la llamaremos variable independiente, y como  el valor de  y depende de los valores que se le asignen a  x, entonces a  y  la llamaremos variable dependiente.

Representar gráficamente la función   y = 3x + 3

Dando valores a la variable  x, se obtienen valores correspondientes  de la variable y:

para   x = 0          y = 3(0) + 3 =  0 + 3 = 3               y =  3para   x = 1          y = 3(1) + 3 =  3 + 3 = 6               y =  6para   x = 2          y = 3(2) + 3 =  6 + 3 = 9               y =  9para   x = 3          y = 3(3) + 3 =  9 + 3 = 12             y = 12 para   x = -1        y = 3(-1) + 3 =  -3 + 3 = 0              y =  0para   x = - 2       y = 3(-2) + 3 =  -6 + 3 = -3             y =- 3para   x = - 3       y = 3(-3) + 3 =  -9 + 3 = -6             y =- 6 Representando los valores   de la variable x como abscisas y los valores correspondientes de la variable  y como ordenadas, se obtiene una serie de puntos. La recta que  se forma de la unión de

esos puntos es la gráfica de      y = 3x + 3Gráfica:

EJERCICOS

1. Trazar las líneas que pasan por los puntos:

a) (1, 2) y (3, 4) b) (-3, -2) y (-1, -4) c) (-4, 3) y (0, 3) d) (-2, -4) y (-3, -6) 2. Representa gráficamente las funciones:

a) y = 3x + 6 b) y = –2x – 4 c) y = 4x + 5 d) y = 8 - 3x e) y = -3x 3. Representa las funciones lineales sabiendo que y es la variable dependiente:

a) 2x = 3y b) 3y = 4x + 5 c) 2x = y – 1 d) 8x + 2y = 16 e) 6x - y = 2

Pendiente de la línea recta

La gráfica de una función lineal y = mx + b, donde m y b pertenecen a los números Reales (R) corresponden a una línea recta. La línea recta que resulta de graficar una función lineal puede tener una inclinación respecto del eje x, eje horizontal, que recibe el nombre de pendiente (m). En la fórmula y = mx + b, se tiene que: m = pendiente de la recta b = es el punto donde la línea recta corta el eje y.

1. Sea la función  y = 4x – 2, hallar su pendiente y el punto de corte.

Según la fórmula general   y = mx + b, se tiene que  m = 4   y  b = - 2 Por tanto, la pendiente de la recta es  4 y corta el eje  y  en el punto –2. Realizando la gráfica de la recta podemos comprobar estos valores:para   x = 0          y = 4(0) - 2 =  0 - 2 = -2              y = -2 para   x = 1          y = 4(1) - 2 =  4 - 2 =  2                y = 2 para   x = 2          y = 4(2) - 2 =  8 - 2 =  6                y = 6 para   x =-1          y = 4(-1) - 2 =  -4 - 2 = -6             y =-6 para   x =-2          y = 4(-2) - 2 =  -8 - 2 = -2             y =-10

Gráfica:

Sea el triángulo ABC: la altura BC = 8 unidades; el cateto AB = 2 unidades La pendiente viene dada por

Luego: m = 8/2 = 4 m = 4. Y observemos que la recta corta el eje y en el punto -2.

b = -2

EJERCICOS

1. En las siguientes funciones halla el valor de la pendiente y el punto en donde la recta corta al eje y. a) y = 2x + 3 b) y= – 3x – 2

Función constante

Si en la ecuación general, y = mx + b, m = 0, entonces, y = b, y como el valor de b es una constante la función lineal toma el nombre de función constante. Esto quiere decir que, el valor de y siempre va a ser el mismo, mientras los valores de x, serántodos los puntos que estén sobre la línea recta y paralelos al eje x.

Gráficamente:

Función cuadrática

Es una función cuyos valores están dados por la fórmula:

Donde a, b y c son números reales y a diferente de 0, c es el término independiente,

reciben el nombre de función cuadrática.

Representación gráfica

Ubicando los puntos en un plano cartesiano:

Sea la función cuadrática

Dándole valores a x, para obtener valores de y:

Ubicando los puntos en un plano cartesiano: