Matemáticas Financieras

Licenciatura en Relaciones Económicas Internacionales y Licenciatura en Economía

Facultad de Economía

Elaborado por:

M. en I. Heber Castañeda Martínez

Agenda

Conceptos básicos

Monto

Valor actual o presente

Interés

Tasa de interés

Plazo o tiempo

Descuento

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Conceptos básicos

Monto

Valor actual o presente

Interés

Tasa de interés

Plazo o tiempo

Descuento

EL SEÑOR GONZALES, CONSIGUE UN PRESTAMO POR $20,000 QUE SOLICITO A UN BANCO, Y ACUERDA PAGARLO DESPUÉS DE DOS MESES, ENTREGÁNDOLE AL BANCO $21,400

CONCEPTOS BÁSICOS EJEMPLO:

CONCEPTOS BÁSICOS

INCREMENTO:

$1,400

SR. GONZALEZ BANCO

VALOR INICIAL VALOR FINAL $20,000 $21,400

C= capital que es la cantidad que el señor Gonzales

pide prestado =$20,000

t = el tiempo o plazo = dos meses

I = el interés simple = $1,400

M= el monto= capital + intereses = $21,400

i = la tasa de interés

CONCEPTOS BÁSICOS ELEMENTOS QUE INTERVIENEN EN DICHA OPERACIÓN:

Donde:

Diferenciando:

a) Tasa de interés 0.07 (expresada en decimales)

b) Tipo de interés 7% (expresado en porcentaje)

CONCEPTOS BÁSICOS

Tomando la tasa de interés y tiempo en base a unidad de año se tiene:

CONCEPTOS BÁSICOS

Resumiendo:

C=$20,000

I = el interés simple = $1,400

t = 1/6

i = 0.42

M= $21,400

CONCEPTOS BÁSICOS

Se observa que:

M = C + I

21,400 = 20,000 + 1,400

I = C * i * t

1,400 = 20,000 * 0.42 * 1/6

CONCEPTOS BÁSICOS

Por lo que se deduce que:

M= C+Cit=C(1+it)

En donde al factor (1+it) se le conoce como factor de acumulación con interés simple

Sustituyendo:

M=20,000(1+(0.42)(1/6))= 21,400

CONCEPTOS BÁSICOS

Analíticamente

Por lo tanto:

M= C(1+it)

C

. . .

t veces

0 1 2 3 4 t

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Monto

Valor actual o presente

Interés

Tasa de interés

Plazo o tiempo

Descuento

Una persona deposita $150,000 en un fondo de inversión que garantiza un rendimiento del 2.8% de interés mensual simple. Si la persona retira su deposito 24 días después, ¿Cuánto recibe?

SOLUCIÓN:

DATOS

C=150,000

i= 2.8% mensual

t= 24/30 = 0.8 meses

M=?

MONTO EJEMPLO:

FORMULA:

M=C(1+it)

Sustituyendo:

M= 150,000(1+(0.028)(24/30))

M = 153, 360.00

Por lo que si la persona retira su dinero 24 días después recibirá $153,360

MONTO

Ejercicio:

Una persona deposita $150,000 en un fondo de inversiones bursátiles que garantiza un rendimiento de 0.8% mensual.

Si retira su deposito 24 días después. ¿Cuánto recibe?

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Conceptos básicos

Monto

Valor actual o presente

Interés

Tasa de interés

Plazo o tiempo

Descuento

Una persona participa en una tanda y le toca el decimoctavo mes para cobrar. Si dentro de 18 meses recibirá $30,000, ¿Cuál es el valor actual de su tanda, con interés simple de 20% anual?

SOLUCIÓN:

DATOS:

t = 18/12=1.5 años

M= 30,000

i = 0.20 anual

C=?

VALOR ACTUAL O PRESENTE EJEMPLO:

De la formula: M=C(1+it) Despejamos a C C=M/(1+it) Sustituyendo: C=30,000/(1+(0.20)(1.5)) C= 23,076.92 Por lo que$23,076.92 es el valor actual de $30,000, realizable dentro de 18 meses a una tasa de anual del 20%

VALOR ACTUAL O PRESENTE

Ejercicio Un individuo compró un terreno por el cual pagó $195,000 el primero de enero, y lo vende el primero de junio del año siguiente en $256,000. Considerando sólo valores de compra y venta.

¿Fue una inversión conveniente la operación que realizó si la tasa de interés de mercado era de 11%?

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Monto

Valor actual o presente

Interés

Tasa de interés

Plazo o tiempo

Descuento

Una persona obtiene un préstamo de $50,000 y acepta liquidarlo año y medio después. Acuerda que mientras exista el adeudo pagará un interés simple mensual de 3.5%. ¿Cuánto deberá pagar de intereses cada mes?

SOLUCIÓN:

DATOS:

C= 50,000

t = 1 MES

i = 0.035 MENSUAL

I=?

INTERÉS Ejemplo:

INTERÉS Formula:

I=Cit

Sustituyendo:

I=50,000(0.035)(1)= 1,750

Por lo que tendrá que pagar $1,750 mensuales

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Monto

Valor actual o presente

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Tasa de interés

Plazo o tiempo

Descuento

TASA DE INTERÉS Ejemplo Una persona compra un reproductor de discos

compactos que cuesta $1,500. Paga un enganche de $800 y acuerda pagar otros $750 tres meses después. ¿Qué tasa de interés simple pago?

Planteamiento:

0 3

Venta: $1,500

Menos enganche $800

Deuda al día de hoy

$700

Pago al 3er mes

$700

Solución:

Datos

C=1500-800=700, cantidad que se debe pagar al mes 3

t= 3/12=0.25 de año

I= $750-$700=$50

De la formula:

I=Cit

Despejamos a t:

i=I/Ct

TASA DE INTERÉS

Sustitución:

i=I/Ct=$50/(700)(0.25)=0.285714

Por lo tanto:

Pagó un interés de 28.57% anual

TASA DE INTERÉS

TASA DE INTERÉS Ejercicio Una persona compró un terreno el primero de enero de $195,00 y lo vendió 17 meses después en $256,000.

¿Qué tasa de interés simple anual le rindió su inversión?

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Monto

Valor actual o presente

Interés

Tasa de interés

Plazo o tiempo

Descuento

PLAZO O TIEMPO Ejemplo: ¿En cuanto tiempo se acumularían $5,000 si se depositan hoy $3,000 en un fondo de inversión que paga 1.2% simple?

Datos:

C= 5,000

M= 3,000

i=0.012 mensual

I=M-C=5,000-3000=2,000

t= ?

De la Formula:

I=Cit

Despejamos a t

t= I/Ci

Sustitución:

t= I/Ci= 2,000/[(3,000)(0.012)]= 5.56

Por lo que un capital de $3,000 se convierte en un monto de $5,000 en 5.56 años a una tas del 12% de interés simple

PLAZO O TIEMPO

PLAZO O TIEMPO Ejercicio

¿En cuanto tiempo se duplica un capital invertido a una tasa de 19% de interés simple?

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Conceptos básicos

Monto

Valor actual o presente

Interés

Tasa de interés

Plazo o tiempo

Descuento

DESCUENTO Es una operación financiera que se lleva a cabo en instituciones bancarias en las estas adquieren pagarés o letras de cambio de cuyo valor nominal se descuenta el equivalente a los intereses que generaría el papel entre su fecha de emisión y la fecha de vencimiento.

Con esta operación se anticipa el valor actual del documento

DESCUENTO Existen dos formas de calcular el descuento

a) Descuento comercial

b) Descuento comercial

Descuento Comercial La cantidad que se descuenta se calcula sobre el valor nominal del documento

Nota:

Se entiende por valor nominal a la cantidad que está establecida en el documento

Descuento comercial Ejemplo Si el banco realiza operaciones de descuento comercial a 20% anual, y si el señor Díaz desea descontar el documento (que se muestra abajo)el 15 de junio. ¿Cuál sería la cantidad que recibiría el señor Díaz por anticipar el valor del documento?

No. 000 Toluca, México a 10 de mayo de 2014 de 2014 $185,000

Por este PAGARÉ prometo(emos) pagar incondicionalmente a la orden

De Alfredo Díaz Villanueva el día 15 de agosto de 2014 la cantidad de

Ciento ochenta y cinco mil pesos 00/100 m.n. valor recibido en mercancía a mi entera satisfacción.

En caso de que no pague(mos) puntualmente, me(nos) obliga(amos) a cubrir 15% Mensualmente por conceptos de intereses moratorios…

Alma Gonzales Nava

Descuento comercial Solución Tenemos que este tipo de descuento se calcula sobre el valor nominal del documento, representemos a:

M como el valor nominal del documento

D como la cantidad del descuento que se aplicará al valor nominal del documento, y

d como la tasa de descuento aplicable

t como el tiempo que se anticipa el documento

Descuento comercial Por lo que:

D=Mdt

De los datos del problema tenemos:

M=$185,000

d= 0.20

t= 2 meses=2/12 años (el tiempo entre 15 de junio y el 15 de agosto)

Sustituyendo en la formula de D, tenemos que:

D=(185,000)(0.20)(1/6)=6,166.67

Descuento comercial La cantidad de 6,166.67 es lo que va descontar el banco sobre el valor nominal del documento, por lo que:

Valor nominal (M) $185,000.00

Menos descuento (D) $ 6,166.67

Valor anticipado (C) $178, 833.33

De esta analogía se deduce que:

M-D=C, por lo que: M=D+C

Descuento real o justo

A diferencia del descuento comercial, el descuento justo se calcula sobre el valor real que se anticipa y no sobre el valor nominal.

Descuento real o justo Ejemplo

Del ejemplo del señor Díaz, supóngase que se desea calcular el valor del documento, si se aplicará el descuento real o justo.

Datos

M=$185,000

d= 0.20

t= 2 meses=2/12 años (el tiempo entre 15 de junio y el 15 de agosto)

C=¿?

Descuento real o justo Ejemplo Se utiliza la formula de interés simple convencional:

M=C(1+dt)

Se despeja C, tenemos:

C=M/(1+dt)

Por lo que, si sustituimos los datos del ejercicio:

C=185,000/(1+(0.20)(1/6))=179,032.26

Conclusión

Si al señor Díaz descontará el documento con el descuento real o justo, recibiría la cantidad de $179,032.26.

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Conceptos básicos

Monto compuesto

Tasa nominal, tasa efectiva y tasas equivalentes

Valor actual o presente

Tiempo

Tasa de interés

Ecuaciones de valores equivalentes

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Conceptos básicos

Monto compuesto

Tasa nominal, tasa efectiva y tasas equivalentes

Valor actual o presente

Tiempo

Tasa de interés

Ecuaciones de valores equivalentes

En el interés simple el capital original sobre el que se calculan los intereses permanecen constantes sin variación alguna durante el lapso que dura la operación

En el interés compuesto, en cambio, los intereses que se generan se suman al capital original en periodos establecidos y, a su vez, van a generar un nuevo interés adicional en el siguiente lapso.

En este caso se dice que el interés se capitaliza (compone, convierte)y que se está en presencia de una operación de interés compuesto

Analíticamente

C

. . .

Por lo tanto, se tiene que:

M=C(1+i)n

Donde:

M= Monto compuesto o Valor futuro

C= Capital o Valor presente

i= tasa de interés

n= periodo o tiempo

Comparando interés simple VS interés compuesto

M=C(1+it)

M=C(1+i)n

1 2 n

M

Periodo de Capitalización Cuando el interés puede ser convertido en capital en

forma anual, semestral, trimestral, mensual, etc. A dicho periodo se le da el nombre de periodo de capitalización.

Al número de veces que el interés se capitaliza durante un año se le denomina frecuencia de conversión.

Nota:

El término “se capitaliza” también puede encontrarse como:

Se convierte

Se compone

Ejemplo ¿Cuál es la frecuencia de conversión de un depósito bancario que paga 5% de interés capitalizable trimestral mente?

Solución:

Tasa de interés compuesto Por lo general la tasa de interés se expresa de forma nominal en anual; junto ella se expresa, si es necesario, su periodo de capitalización: J12=0.5, se expresa como: tasa nominal de 50% anual capitalizable mensual mente

J6=0.5, se expresa como: tasa nominal de 50% anual capitalizable bimestralmente

J4=0.5,se expresa como: tasa nominal de 50% anual capitalizable trimestralmente

J3=0.5, se expresa como: tasa nominal de 50% anual capitalizable cuatrimestralmente

J2=0.5, se expresa como: tasa nominal de 50% anual capitalizable semestralmente

J1=0.5, se expresa como: tasa nominal de 50% anual capitalizable anualmente

Nota:

Si el interés se expresa sin mención alguna respecto a su capitalización, se entiende que está es anual.

Análisis El interés compuesto es mayor que el interés simple

después del primer periodo. Esto se debe a que el primero se comporta de forma exponencial, y el segundo de forma lineal.

A mayor frecuencia de conversión, mayor será el interés que se obtenga si la tasa nominal es igual; así un depósito bancario que obtenga intereses en forma mensual tendrá mayor rendimiento que uno que lo capitalice trimestralmente.

Análisis Es importante recalcar que para realizar operaciones

con interés compuesto, la tasa de interés debe estar en las mismas unidades que el tiempo o plazo, para poder realizar las operaciones con las mismas unidades.

Esto es:

Manzanas con manzanas

+

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Conceptos básicos

Monto compuesto

Tasa nominal, tasa efectiva y tasas equivalentes

Valor actual o presente

Tiempo

Tasa de interés

Ecuaciones de valores equivalentes

Ejemplo. Se depositan $50,000 en un banco a una tasa de interés de 18% capitalizable mensualmente.

¿Cuál será el monto acumulado en dos años?

Solución

Datos:

C=50,000

J12=0.18

n = 2 años

M= ¿?

Se tiene que esta operación se debe plantear en las mismas unidades, por lo que:

Datos:

C=50,000

J12=0.18 por lo tanto

n = 2 años = 24 meses

M= ¿?

De la formula:

M=C(1+i)n

Se sustituye:

M=50,000(1+0.015)24=71,475.14

Conclusión:

Por lo que si se depositan $50,000 al día de hoy, se tendrán $71,475.14 al cabo de dos años a una tasa del 18% capitalizable mensualmente

Ejercicio: Se depositan en una caja de ahorros $100,000 a una tasa de interés de 4.8% capitalizable mensualmente.

a) ¿Cuál será el monto acumulado a interés compuesto en un periodo de 9 meses?

b) Su poniendo que la caja de ahorros preste ese mismo dinero con una tasa de interés de 30% anual capitalizable mensualmente, ¿cuál sería el pago que se debe efectuar al cabo de los mismos 9 meses?

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Conceptos básicos

Monto compuesto

Tasa nominal, tasa efectiva y tasas equivalentes

Valor actual o presente

Tiempo

Tasa de interés

Ecuaciones de valores equivalentes

Cuando se realiza una operación financiera, regularmente se pacta una tasa de interés anual que rige durante el lapso que dure la operación, se le conoce como tasa nominal de interés.

Si el interés se capitaliza de en forma semestral, trimestral o mensual, la cantidad efectivamente pagada o ganada es mayor que si se compone en forma anual. Cuando esto sucede, se puede determinar una tasa efectiva anual.

Dos tasa de interés anuales con diferente periodo de capitalización serán equivalentes si al cabo de un año producen el mismo monto compuesto.

Ejemplo ¿Cuál es la tasa efectiva de interés que se recibe de un depósito bancario de $1,000 pactado a 4.8% de interés anual convertible mensualmente?

Solución:

Se tiene que saber que cantidad efectivamente se pagará de interés al año, por lo que se debe de calcular el monto compuesto al cabo de dicho periodo, y de ahí calcular la fracción que se incremento del capital original.

Datos:

C=1,000

n= 1 año = 12 meses

j12= 0.048 por lo que: i= 0.048/12= 0.004

M=¿?

De la formula M=C(1+i)n se tiene que:

M=1,000(1+0.004)12=1,049.07

Recordando que I=M-C, por lo que:

I=1,049.07-1,000=49.07

Si tenemos que:

i=I/C

Por lo que:

i=49.07/1,000=0.04907

Conclusión:

La tasa efectiva de 4.9% es equivalente a una tasa nominal del 4.8% convertible mensualmente

Otro modo es mediante tasas equivalentes.

Como se mencionó anteriormente, dos tasa son equivalente, sí producen el mismo monto compuesto al cabo de un año.

Se tiene:

Son equivalentes, sí:

Por lo tanto:

Si despejamos a i, se tiene:

Del ejemplo anterior, si sustituimos valores:

Ejercicio

¿Cuál es la tasa efectiva que se paga por un préstamo bancario de $250,000 que se pactó a 16% de interés anual convertible trimestralmente?

Ejemplo Determinar la tasa nominal j convertible trimestralmente, que produce un rendimiento de 40% anual.

Solución:

En este caso, es inverso al problema anterior. Debemos calcular la tasa nominal.

De la formula:

Tenemos de despejar el término jm

Por lo que tenemos:

Sustituyendo valores del problema, tenemos:

Conclusión:

La tasa nominal j convertible trimestralmente que produce 40% efectivo es 35.10%

Ejemplo ¿Cuál es la tasa nominal j convertible mensualmente equivalente a una tasa de 14% convertible trimestralmente?

Solución:

En este caso tenemos dos tasas nominales con diferentes periodos de capitalización.

Se tiene que:

Son equivalentes si:

Por lo que:

Tenemos que despejar a jn , por lo que:

Sustituyendo los datos del problema:

Conclusión:

Por lo tanto, una tasa nominal de 13.84% convertible mensualmente es equivalente a una tasa nominal de 14% convertible trimestralmente.

Ejercicio

¿Cuál es la tasa nominal j convertible trimestralmente equivalente a una tasa de 16% convertible bimestralmente?

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Conceptos básicos

Monto compuesto

Tasa nominal, tasa efectiva y tasas equivalentes

Valor actual o presente

Tiempo

Tasa de interés

Ecuaciones de valores equivalentes

El valor actual muestra, como su nombre lo indica, cuál es valor en un momento determinado de una cantidad que se recibirá en un tiempo posterior.

Para calcularlo, de la formula de monto compuesto:

Se despeja el valor de C:

Ejemplo ¿Cuánto debe de depositarse en el banco si se desea tener un monto de $50,000 dentro de 3 años y la tasa de interés es de 20% convertible semestralmente?

Datos

M=50,000

n= 3 años=6 semestres

jm= 0.20 por lo tanto i=0.20/2= 0.10 semestralmente

C=¿?

De la formula:

Sustituimos los valores del problema, tenemos:

Conclusión:

Se deben de depositar $28,223.70 a fin de contar con $50,000 en un plazo de 3 años a una tasa de 20% convertible semestralmente

Ejercicio Pedro Jiménez desea adquirir una casa con valor de $850,000. Le pidieron que entregue 50% de anticipo y 50% en un plazo de una año y medio, al término de la construcción y entrega del inmueble. ¿Cuánto dinero debe depositar en el banco en este momento para poder garantizar la liquidación de su adeudo, si la tasa vigente es de 6% anual capitalizable mensualmente?

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Conceptos básicos

Monto compuesto

Tasa nominal, tasa efectiva y tasas equivalentes

Valor actual o presente

Tiempo

Tasa de interés

Ecuaciones de valores equivalentes

En ciertas operaciones financieras de interés compuesto, se desea conocer el tiempo que tardará un capital en crecer en un monto determinado a una tasa de interés, por lo que de la formula:

Por lo que si se despeja a n, tenemos.

Ejemplo ¿En cuánto tiempo se duplicará una inversión $1,000 si se considera una tasa de interés de 36% convertible mensualmente?

Solución:

Datos

C=$1,000

M=$2,000 (se duplica la inversión 1,000x2)

j12 =0.36 por lo tanto i=0.03 mensual

n=¿?

De la formula:

Sustituimos valores:

Conclusión:

Se necesitan 23.45 meses para que el capital invertido se duplique dada una tasa de 3% mensual

Ejercicio ¿En cuanto tiempo reduce $1.00 su valor adquisitivo a

50% dada una inflación de:

a) 50%

b) 10%?

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Conceptos básicos

Monto compuesto

Tasa nominal, tasa efectiva y tasas equivalentes

Valor actual o presente

Tiempo

Tasa de interés

Ecuaciones de valores equivalentes

Para determinar la tasa de interés de una operación financiera, de la formula:

Se despeja i, tiene:

Ejemplo ¿A qué tasa de interés se deben depositar $15,000 para disponer de $50,000 en un plazo de 5 años?

Considere que los intereses se capitalizan semestralmente

Solución

Datos

C=15,000

M=50,000

n= 5 años= 10 semestres (en este caso se toma el tiempo en base a la tasa de interés)

i=¿?

De la formula:

Sustituimos datos:

Conclusión:

Dada una tasa de 12.79% semestral, $15,000 se convertirán en $50,000 en 5 años

Ejercicio

Del ejemplo anterior, considere que los intereses se capitalizan:

a) Trimestralmente

b) Mensualmente

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Conceptos básicos

Monto compuesto

Tasa nominal, tasa efectiva y tasas equivalentes

Valor actual o presente

Tiempo

Tasa de interés

Ecuaciones de valores equivalentes

En su forma más básica, la ecuación:

Puede ser vista como:

Es una ecuación de valor equivalente, esto quiere decir que dado un Capital C es equivalente a un monto M en un tiempo n a una tasa i

Ecuaciones de Valores Equivalentes

Una ecuación de valores equivalentes es la que se obtiene al igualar en una fecha de comparación o fecha focal dos o más flujos distintos de efectivo

Ecuaciones de Valores Equivalentes

Gráficamente

Suponga que se tiene los siguientes flujos de efectivo

0 1 2 3 4 5

Gráficamente

Si escogemos como fecha focal el periodo 3, se tiene:

0 1 2 3 4 5

Fecha Focal

Gráficamente

Por lo que todos los flujos de efectivo , debe de coincidir en la fecha focal

0 1 2 3 4 5

Una empresa tiene una deuda bancaria de $500,000 pagadera en dos abonos de $250,000 cada uno, a 3 y 6 meses. Sin embargo, desea liquidarla en 3 pagos bimestrales; si el primero es de $100,000 y el segundo es de $200,000, ¿cuánto importará el tercero considerando una tasa de 36% anual convertible mensualmente?

Ecuaciones de Valores Equivalentes Ejemplo

Ecuaciones de Valores Equivalentes Ejemplo

Si visualizamos todos los flujos en la siguiente línea de tiempo:

0 1 2 3 4 5

250,000 250,000

100,000

200,000

Lo pactado

X

Lo renegociado

6

Ecuaciones de Valores Equivalentes Ejemplo Identificamos fecha focal

Coincidimos todos los flujos en la fecha focal

0 1 2 3 4 5

250,000 250,000

100,000

200,000 X

Identificamos los flujos de lo pactado, en fecha focal:

250,000(1+0.36/12)3+250,000……………………………...(I)

Identificamos los flujos de lo renegociado, en fecha focal:

100,000(1+0.36/12)3+200,000(1+0.36/12)1+X………..(II)

Ecuaciones de Valores Equivalentes Ejemplo

Si igualamos I con II:

I=II

Tenemos que:

250,000(1+0.36/12)2+250,000= 100,000(1+0.36/12)3+200,000(1+0.36/12)1+X

Despejamos a “X”:

X=198,451

Ecuaciones de Valores Equivalentes Ejemplo

Conclusión

Por lo que el tercer pago para liquidar la deuda es de $198,451

Ecuaciones de Valores Equivalentes Ejemplo

Para comprar un automóvil se suscriben tres documentos de $150,000 a pagar en 30, 60 y 90 días. Se decide liquidar la deuda con dos pagos iguales a 30 y 60 días considerando una tasa de interés de 1.5% mensual. ¿cuál es el importe de cada pago?

Ecuaciones de Valores Equivalentes Ejercicio

Referencias

Díaz, M. y Aguilera, V.(2013). Matemáticas Financieras. Quinta Edición, México.

Vidaurri, H. (2008). Matemáticas Financieras. Cuarta Edición, México.

Guión Explicativo El tema que versa el presente trabajo es el de “Teoría del Interés” que forma parte de la unida de aprendizaje de “Matemáticas Financieras”, correspondiente al programa educativo de la Licenciatura en Relaciones Económicas Internacionales y de la Licenciatura en Economía, cuyo espacio académico es la Facultad de Economía.

Este material tiene como objetivo guiar al alumno sobre las distintas herramientas que brinda las Matemáticas Financieras para tener un conocimiento profesional de lo que implica el valor del dinero a través del tiempo.

Su estructura se conforma de la siguiente manera: Una parte teórica que explica la base de cada uno de los temas.

Un ejemplo de cada tema, el cual es desarrollado por el profesor

Y, un ejercicio para que el alumno lo realice como práctica en clase