SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLES

Unsistema lineal de dos ecuaciones con dos incgnitases unsistema lineal de ecuacionesformado por slo dos ecuaciones que admite un tratamiento particularmente simple.

Una infinidad de problemas pueden ser resueltos con un sistema de dos ecuaciones. Veamos las distintas formas en las que se pueden encontrar sus soluciones.

Tipos de solucin

Consideremos un sistema como el siguiente:

En un sistema de ecuaciones se pueden dar los siguientes casos:

Sistema compatible

Sistema compatible determinadoSi admite soluciones. Si admite un nmero finito de soluciones; en el caso de dos ecuaciones lineales con dos incgnitas, si el sistema es determinado solo tendr una solucin. Su representacin grfica son dos rectas que se cortan en un punto; los valores de x e y de ese punto son la solucin al sistema.

Sistema compatible indeterminadEl sistema admite un nmero infinito de soluciones; su representacin grfica son dos rectas coincidentes. Las dos ecuaciones son equivalentes y una de ellas se puede considerar como redundante: cualquier punto de la recta es solucin del sistema.

Sistema incompatible

El sistema no admite ninguna solucin. En este caso, su representacin grfica son dos rectas paralelas y no tienen ningn punto en comn porque no se cortan. El cumplimiento de una de las ecuaciones significa el incumplimiento de la otra y por lo tanto no tienen ninguna solucin en comn.

Mtodos de resolucinMtodo de reduccinEl mtodo de reduccin consiste en multiplicar cada una de las ecuaciones por los valores necesarios, de forma que los coeficientes de una de las incgnitas sean los mismos cambiados de signo. Conseguido esto, se suman las dos ecuaciones y la incgnita que tiene los coeficientes opuestos se elimina, dando lugar a una ecuacin con una incgnita, que se resuelve haciendo las operaciones necesarias. Conocida una de las incgnitas se sustituye su valor en una de las ecuaciones originales y calculamos la segunda.

Tenemos como ejemplo el sistema:

En este caso lax, ya tiene el mismo coeficiente en las dos ecuaciones cambiado de signo y no es necesario hacer ninguna operacin para lograrlo; podemos sumar las dos ecuaciones directamente:

Como resultado de la suma tenemos una sola ecuacin con una incgnita:

Para calcular el valor dex, sustituimos el valor deyen una de las ecuaciones, por ejemplo la primera:

El resultado del sistema es el valor dexeyque satisface las dos ecuaciones simultneamente, que como ya sabamos es:

Mtodo de igualacinEl mtodo de igualacin para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas consiste en despejar una de las dos incgnitas en las dos ecuaciones. Sea cual sea el valor de esta incgnita, ha de ser el mismo en las dos ecuaciones, por tanto podemos igualar las dos expresiones obteniendo una ecuacin con una incgnita, que podemos resolver con facilidad. Una vez conocido el valor de una de las dos incgnitas lo sustituimos en una de las ecuaciones iniciales y calculamos la segunda. Aprovechando el mismo ejemplo anterior, veamos cmo se resuelve por igualacin:

Despejamos en las dos ecuaciones una de las incgnitas, por ejemplo lax:

El valor dexha de ser el mismo en las dos ecuaciones, por lo tanto tenemos:

Pasando todos los trminos conya un miembro de la ecuacin, y los trminos independientes al otro:

Operando tenemos:

Con lo que tenemos el valor dey. Sustituyendo este valor en la primera ecuacin y despejada lax, tenemos que si:

La solucin del sistema es:

Mtodo de sustitucinEl mtodo de sustitucin consiste en despejar una de las incgnitas en una de las ecuaciones y sustituirlo en la otra, dando lugar as a una ecuacin con una incgnita. Una vez resuelta sustituimos su valor en la ecuacin despejada y calculamos la segunda incgnita.

Empleando el mismo ejemplo de sistema veamos cmo se resolvera por el mtodo de sustitucin:

Podemos despejar cualquiera de las dos incgnitas en cualquiera de las dos ecuaciones. Probemos primero despejando laxde la primera ecuacin:

Si ahora sustituimos el valor dexdespejado de la primera ecuacin en la segunda, tenemos:

Resultando una sola ecuacin eny, que podemos resolver:

Con lo que ya tenemos el valor dey. Con este valor deyen la primera ecuacin, despejamos lax:

La solucin del sistema es, por tanto:

Regla de CramerLaRegla de Crameres un mtodo para resolver sistemas de ecuaciones. Su base terica no es tan sencilla como los mtodos vistos hasta ahora y emplea el clculo dedeterminantes ydematrices, dando lugar a una forma operativa sencilla y fcil de recordar, especialmente en el caso de dos ecuaciones con dos incgnitas.

Aqu slo veremos su forma de uso para resolver dos ecuaciones con dos incgnitas, sin entrar a discutir el origen de este mtodo. Primero veremos un caso general y luego resolveremos un ejemplo.

Partiendo de un sistema general de dos ecuaciones con dos incgnitas:

La matriz de los coeficientes de las incgnitas es una tabla de 2*2 en la que se encuentran los coeficientes de las incgnitas, ordenados por filas y columnas. En la primera fila los de la primera ecuacin y en la segunda, los de la segunda ecuacin. En la primera columna los de la primera incgnita y en la segunda, los de la segunda incgnita.

El coeficiente de una incgnita en una ecuacin ocupa una fila y columna determinadas; el cambio en el orden dentro de la matriz supone la modificacin del sistema de ecuaciones, las matrices se representan entre parntesis, como en el ejemplo:

El determinante de una matriz es una operacin sobre esa matriz que da como resultado un escalarE, que depende de los trminos de la matriz y el lugar donde estn situados:

En el caso de una matriz de 2*2, tenemos que es el producto de los trminos de la diagonal principal menos el producto de los de la diagonal secundaria:

Esta regla tan sencilla no se cumple en matrices de mayor dimensin y para su clculo hay que tener ciertos conocimientos de lgebra lineal.

Partiendo de todo esto tenemos que la Regla de Cramer dice que, en un sistema de ecuaciones lineales, el valor de cada incgnita es la relacin que existe entre el determinante de la matriz de los coeficientes de las incgnitas, donde se ha sustituido la columna de la incgnita a resolver por la columna de trminos independientes, entre el determinante de la matriz de los coeficientes de las incgnitas.

As si partimos del sistema:

Tendremos que las incgnitas valdrn:

Desarrollando los determinantes tendremos las operaciones a realizar para calcular lax:

y para el clculo de lay:

Como ejemplo vamos a resolver el sistema:

Calculamos primero lax:

y ahora calculamos lay:

Con lo que tenemos la solucin al sistema que, naturalmente, es:

Mtodo grficoConsiste en construir la grfica de cada una de las ecuaciones del sistema. El mtodo (manualmente aplicado) solo resulta eficiente en elplano cartesiano, es decir para un espacio de dimensin.

El proceso de resolucin de un sistema de ecuaciones mediante el mtodo grfico se resuelve en los siguientes pasos:

1. Se despeja la incgnita en ambas ecuaciones.

2. Se construye para cada una de las dos ecuaciones de primer grado obteniendo la tabla de valores correspondientes.

3. Se representan grficamente ambas rectas en los ejes coordenados.

4. En este ltimo paso hay tres posibilidades:

a) Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los nicos valores de las incgnitas (x,y). "Sistema compatible determinado".

b) Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden ambas. Sistema compatible indeterminado.

c) Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solucin en los reales pero si en los complejos.