Teoría de la Rotura.

Suposiciones y Consideraciones.

1. Conservación de las caras planas (Navier), distribución de las deformaciones

es lineal.

2. El concreto no resiste los esfuerzos de tracción.

3. No existe deslizamiento entre el concreto y acero.

4. No se aplica la Ley de Hooke, las deformaciones no son proporcionales a los

esfuerzos. (diferencia xon la teoría Clasica).

5. La falla de la sección ocurre cuando el concreto alcanza su deformación

máxima útil.

Como se pudo observar en el estudio de las deformaciones del concreto, el mismo

posee un comportamiento inelástico al momento de su falla al igual que el acero. Para

concretos corrientes este esfuerzo último del concreto es de 0.003. Esto lleva a una serie de

hipótesis al igual que en el caso de la Teoría Clásica:

El concreto no resiste esfuerzos de tracción.

No existe deslizamiento relativo  entre las barras de acero y el concreto.

No se aplica la Ley de Hooke, las deformaciones no son proporcionales a los

esfuerzos.

Se cumple la ley de Navier-Stokes .Se conservan las caras paralelas antes y después

de la deformación.

Se modela el problema para el punto de trituración del concreto. Deformación

última del concreto.

Coeficientes empleados necesarios para definir la teoría de rotura:

1.- Coeficiente de forma (b1). 

Este coeficiente se emplea para convertir el área del diagrama de esfuerzos en un

rectángulo equivalente.

b1=0,85 para f'c=280Kg/cm2

b1=0,85 - 0,05. Por cada exceso de 70 Kg para f'> 280 Kg/cm2

b1>0,65.

2.- Coeficiente para la ubicación del centro de compresión (b2).

Este coeficiente nos indica la profundidad de la resultante en compresión respecto al eje

neutro y su valor aproximado es igual a (1/2 b1).

3.- Coeficiente de relación (b3).

De este coeficiente se obtiene la relación entre la resistencia del concreto en la viga con el

cilindro de control su valor es 0,85.

Se define C como la Resultante en Compresión en el Concreto

http://150.185.88.253/civil/tesis/1132/b13.htmlC=b1·Ku·d·b3·f'c·b

y T como la Resultante en Tracción en el Acero

T=As·fy

Por equilibrio C = T

b1·Ku·d·b3·f'c·b = As·fy

De donde se obtiene Ku (Profundidad específica del eje neutro)

Ku = As·fy/b1·b3·f'c·b.d

Ku=(As/b·d)·(fy/b1·b3·f'c)

Por definición se define el porcentaje de acero.

r = (As/b·d)

Luego:

Ku= r·fy/(b1·b3·f'c)

Por definición se tiene la cuantía mecánica de la sección.

http://150.185.88.253/civil/tesis/1132/b13.htmlw = (r·fy/·f'c)

Entonces:

Ku= w/b1·b3

Luego se define el brazo mecánico específico último.

jud =d-b2·Kud

ju=1-b2·Ku

y con ello se obtiene el Momento Último resistente de la sección

Mu = f·T·ju·d

Sustituyendo T queda.

Mu = f·As·fy·ju·d (f = 0, 9).

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Luego multiplicando y diviendo por (b·d) y por (f'c) se tiene:

Mu = f·(As/b·d)·fy·ju·b·d2 = f r·fy·ju·b·d2·(f'c/f'c).

Agrupando terminos se sustituye w

Mu = f·w·ju·b·d2·f'c.

Luego se sustituye ju

Mu = f·w·f'c·(1-b2·Ku)·b·d2

Se tiene por definición el momento específico.

m = f·w·(1-b2·Ku).

Sustituyendo el Momento específico en la fórmula de Mu se tiene.

Mu = m·f'c·b·d2 (Momento último).

Por compatibilidad de deformaciones y semejanza de triángulos: (falla balanceada).

Eu/Kud=Esu/d-Kud 

Esu=Eu(1-Ku)/Ku 

Esu=Ey=fy/Es=0.002 

Ey=Eu(1-Ku)/Ku 

Ku=Eu/(Eu+Ey) 

w=Ku·b1·b3

y sustituyendo Ku se tiene la cuantía básica que es el valor de cuantía para el cual el

acero y el concreto alcanzan sus deformaciones máximas,

Wb= Eu/(Eu+Ey)·b1·b3

Luego se define la cuantía mecánica máxima.

wmax = 0,75·Wb (Zona No Sísmica)

wmax = 0,50·Wb (Zona Sísmica).

Sustituyendo en la formula de m se tiene el momento específico máximo.

mmax = f·wmax·(1-(b2·wmax)/(b1*b3)).

y con ello se tiene el Momento Último Máximo.

Mumax = mmax·f'c·b·d2

Si el Momento actuante es menor que el Momento último máximo de la sección se

dice que la sección es simplemente armada, pero si por el contrario resulta mayor la sección

será doblemente armada.

Si la sección resulta simplemente armada se tiene.

De la fórmula de Mu se despeja m,

m = Mu (actuante)/(f'c·b·d2)

Dado que la sección es simplemente armada y se desea determinar el Área de acero,

es necesario determinar el valor de la cuantía mecánica correspondiente mediante la

siguiente fórmula:

Con esta cuantía mecánica se determinar el valor de ju y de la fórmula

Mu = f·As·fy·ju·d (f = 0,9), se despeja As, donde Mu es el Momento actuante o momento

de diseño.

As = Mu (actuante)/f·fy·ju·d.