UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MEXICO

FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ARAGÓN

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Y SISTEMAS

INDICE

Capítulo:

Objetivo:

1.0.0 Introducción a la Teoría de Juegos.

1.1.0 Definición.

1.2.0 Antecedentes.

1.3.0 Importancia y sus aplicaciones.

2.0.0 Árbol de juego

3.0.0 Tipos de juegos

2.1.0 Características

2.2.0 Ejemplos.

Conclusiones:

Referencias:

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1.1.0 INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE JUEGOS

Una definición de la Teoría de Juegos puede ser “como el estudio de modelos matemáticos sobre el conflicto y la cooperación entre agentes racionales e inteligentes. Usando otras palabras, puede caracterizarse el objeto de esta rama de la matemática corno el análisis de modelos formales de "comportamiento estratégico".

La Teoría de Juegos estudia de manera formal y abstracta las decisiones óptimas que deben tomar diversos adversarios en conflicto, pudiendo definirse como el estudio de modelos matemáticos que describen el conflicto y la cooperación entre entes inteligentes que toman decisiones. Tales decisiones se consideran estratégicas, es decir, que los entes que participan en el juego actúan teniendo en cuanta las acciones que tomarían los demás.

Básicamente es una herramienta que permite estudiar, analizar y predecir el comportamiento esperado de los individuos que interactúan en un juego, lo cual es conocido como comportamiento estratégico, los cuales deben tomar ciertas decisiones que determinarán los resultados que obtendrán. El principal objetivo de cada jugador es maximizar su utilidad, la cual es determinada por los cursos de acción que hayan escogido. De particular interés son las situaciones en las que se puede obtener un resultado mejor cuando los jugadores cooperan entre sí, en lugar de procurar sólo maximizar su propia utilidad.

Un juego es un proceso en que dos o más personas toman decisiones y acciones, la estructura de las cuales está inscrita en un conjunto de reglas (que pueden ser formales o informales), a fines de obtener beneficio.

FIG. 1.0 Decisiones y acciones.

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Antecedentes

La Teoría de Juegos fue creada por Von Neumann y Morgenstern, y descriptas en su libro clásico The Theory of Games Behavior, publicado en 1944. Otros habían anticipado algunas ideas. Los economistas Cournot y Edgeworth fueron particularmente innovadores en el siglo XIX. Otras contribuciones posteriores mencionadas fueron hechas por los matemáticos Borel y Zermelo. El mismo Von Neumann ya había puesto los fundamentos en el artículo publicado en 1928. Sin embargo, no fue hasta que apareció el libro de Von Neumann y Morgenstern que el mundo comprendió cuán potente era el instrumento descubierto para estudiar las relaciones humanas. Von Neumann y Morgenstern investigaron dos planteamientos distintos de la Teoría de Juegos. El primero de ellos el planteamiento estratégico o no cooperativo. Von Neumann y Morgenstern resolvieron este problema en el caso particular de juegos con dos jugadores cuyos intereses son diametralmente opuestos. A estos juegos se les llama estrictamente competitivos, o de suma cero, porque cualquier ganancia para un jugador siempre se equilibra exactamente por una pérdida correspondiente para el otro jugador. El ajedrez, el backgammon y el póquer son juegos tratados habitualmente como juegos de suma cero. En el segundo de ellos desarrollaron el planteamiento coalicional o cooperativo, en el que buscaron describir la conducta óptima en juegos con muchos jugadores. Puesto que éste es un problema mucho más difícil, no es de sorprender que sus resultados fueran mucho menos precisos que los alcanzados para el caso de suma cero y dos jugadores. En particular, Von Neumann abandono todo intento de especificar estrategias óptimas para jugadores individuales. En lugar de ello se propuso clasificar los modelos de formación de coaliciones que son consistentes con conductas racionales.

Importancia y sus aplicaciones

La Teoría de Juegos actualmente tiene muchas aplicaciones, sin embargo, la

economía es el principal cliente para las ideas producidas por los especialistas en

Teoría de Juego. Entre las disciplinas donde hay aplicación de la Teoría de

Juegos tenemos: La economía, la ciencia política, la biología y la filosofía.

Algunas aplicaciones de la Teoría de Juegos a la vida real son las siguientes:

Contratos

Guerras militares

Guerras comerciales

Marketing para la competencia en los mercados

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Negociaciones domésticas

Negociaciones comerciales

Negociaciones colectivas

Alianzas.

Informática y lógica.

Debe incluirse e n la lista a cualquier otra situación en que dos o más individuos requieran interactuar a fines de obtener ganancias económicas.

2.0.0 ARBOL DE JUEGOS

El árbol de juegos es una representación gráfica que describe la estructura total de un juego. Está compuesto por:

Nodos, los cuales representan los posibles movimientos en el juego y son asignados cada uno a un sólo jugador.

Las acciones (ramas) disponibles para los jugadores en cada uno de sus nodos.

El primer movimiento del juego se identifica con un nodo distintivo que se llama la raíz del juego. Una jugada consiste en una cadena de ramas conectadas que comienza en la raíz del árbol y termina, si el juego es finito, en el nodo terminal. Las ramas que parten de los nodos representan las elecciones o acciones disponibles en cada movimiento. A cada nodo distinto del nodo terminal se le asigna el nombre de un jugador con el fin de distinguir quién hace la elección en cada movimiento. El nodo terminal informa sobre las consecuencias para cada jugador si el juego termina en ese nodo.

FIG. 2.0.0 Árbol de juegos.

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3.0.0 TIPOS DE JUEGOS

Existen diversas formas de clasificar los juegos. Algunos de los tipos de juegos más importantes son:

Por el número de jugadores: existen juegos de 2 jugadores, de tres jugadores o de más jugadores.

Por la suma de los pagos: En muchos juegos lo que un jugador gana lo pierde otro. A estos juegos se les conoce como juegos de suma cero. También existen juegos que no son de suma cero, donde lo que gana un jugador no necesariamente lo pierde otro.

Por el número de estrategias: se pueden tener juegos con 2 o más estrategias. Generalmente se estudian más los de 2 estrategias por ser más sencillos.

Juegos de Estrategia Pura: Los juegos de estrategia pura son los juegos en que cada jugador tiene una y sólo una estrategia óptima. En algunos juegos los jugadores no tienen una única estrategia óptima.

Juegos Cooperativos o con transferencia de utilidad: los jugadores pueden comunicarse entre ellos y negociar los resultados; ambas partes deben analizar las condiciones y los beneficios de cooperar entre sí, y las consecuencias y riesgos de traicionar las negociaciones. Un ejemplo de esta situación es el caso de los supermercados que se analiza más adelante en este documento.

Juegos No Cooperativos o sin transferencia de utilidad: los jugadores no tienen la posibilidad de comunicarse para llegar a acuerdos previos. Este el caso del "dilema de los prisioneros".

Juegos repetidos: En este tipo de juego un grupo fijo de jugadores juega un juego dado repetidamente, y cada vez toman en cuenta el resultado de todas las jugadas anteriores antes de hacer la siguiente jugada. Esto les permite a los jugadores evaluar las acciones pasadas y determinar si deberían repetirla o cambiarlas. De este modo, basados en la información precedente y los resultados que hayan obtenido, surgen estrategias que no surgirían en los juegos simples no repetidos

Maximín y Minimax en juegos de estrategia pura:

Estos criterios sirven para obtener la solución de un juego y determinar la estrategia óptima de un jugador:

Criterio Maximín: Identifica los mínimos por renglón y selecciona el mayor. Criterio Mínimax: Identifica los máximos por columna y selecciona el

menor.

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Si el valor maximín del primer jugador es igual al mínimax del segundo jugador, entonces el juego es de estrategia pura (existe un punto de silla de montar). El valor del juego para el primer jugador es su valor maximín.

Ejemplo:

Dos gasolineras se encuentran una frente a la otra. Los consumidores están

pendientes del precio y cada gasolinera debe decidir si cobra un precio alto o uno

bajo. La matriz de recompensas es la siguiente:

Fig.3.1.0

Resolviendo y aplicando los criterios maximín y minimax:

Fig.3.2.0

Dado que el valor maximín del primer jugador es igual al mínimax del segundo jugador, entonces el juego es de estrategia pura (existe un punto de silla de montar). Ambos jugadores escogen bajar sus precios. El valor del juego para el primer jugador es 0 y para el segundo jugador también.

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Juegos de estrategia mixta:

Un jugador usa una estrategia pura si usa la misma acción a cada turno del juego. El jugador usa una estrategia mixta si a cada turno escoge al azar un acción para que cada acción se está usado una fracción determinada del tiempo.

Representamos una estrategia mixta (o pura) del jugador reglón por una matriz con un solo renglón (vector probabilidad):

R = [a b c . . . ]

con lo mismo número de entradas que renglones, y en cual cada entrada representa la fracción de tiempo que está usada la correspondiente acción (o la probabilidad de usar aquel acción) y donde a + b + . . . = 1.

Una estrategia mixta para el jugador renglón se represente por un vector probabilidad similar, pero en forma de columna C. Para ambos jugadores, estrategias puras son representadas por vectores probabilidad con un solo 1 y el resto de las entradas 0.

El valor esperado del juego con matriz de pagos P que resulta por las estrategias mixtas R y C es dado por

e = RPC

El valor esperado del juego es el pago promedio por turno si cada jugador usa su estrategia mixta especificada por R y C después de un gran número de turnos.

Ejemplo:

Aquí es una variante de "piedra, papel, tijera" en la que "papel/papel" y "piedra/piedra" ya no está un empate.

2 -1 1

1 0 -1

-1 1 -2

Suponga el jugador de renglón usa la estrategia mixta

R = [0.75   0   0.25]

(Juega papel 75% del tiempo, tijeras 0% del tiempo y piedra 25% del tiempo) y el jugador columna juega tijeras y piedra 50% del tiempo cada uno;

7

C =

0

0.5

0.5 .

Entonces el valor esperado del juego es

Juegos con Pagos Cualitativos

En muchas ocasiones la variable considerada no es cuantitativa, sino cualitativa. Este podría ser el caso de considerar, por ejemplo, la satisfacción que se obtiene al consumir un bien. Una alternativa en estos casos es emplear alguna escala subjetiva para asignar algún valor a cada resultado.

Ejemplo: Gerardo desea ir a pasear con su novia Andrea, pero él prefiere la playa y ella la montaña. Ambos obtendrán distintos niveles de satisfacción en cada caso. Si están tratando de tomar la decisión podrían idear una escala para asignar un cierto grado de satisfacción y luego tomar la decisión:

Fig.3.4.0

Estrategias Dominantes:

Se dice que una estrategia domina a otra, si todos los resultados de esta estrategia son preferibles a los resultados de la otra estrategia, independientemente de lo que haga el oponente. Si cada jugador tiene una estrategia dominante es posible predecir el resultado del juego.

Ejemplo: Observe la siguiente matriz de resultados:

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Fig.3.5.0

Independientemente de lo que haga el Jugador 1, para el jugador 2 siempre será preferible la estrategia X. Se dice que la estrategia X domina a la estrategia Y. el jugador 2 nunca escogerá la estrategia Y.

Punto de silla, juego estrictamente determinado

Un punto de silla es un pago que es simultáneamente un mínimo de su renglón y un máximo de su columna. Para encontrar puntos de silla, Encierre en círculo los mínimos de todos los renglones y meta en caja las máximas de todas las columnas. Los puntos de silla son aquellas entradas que son simultáneamente en círculo y en caja.

Un juego es estrictamente determinado si tiene por lo menos uno punto de silla. Las siguientes declaraciones se aplican a los juegos estrictamente determinados:

A. Todos los puntos de silla en un juego tienen los mismos valores de pago.B. Elegir el renglón y la columna que pasan por cualquier punto de silla de

estrategias minimax para ambos jugadores. Es decir, el juego es solucionado por el uso de estas estrategias puras.

El valor de un juego estrictamente determinado es el valor del punto de silla. Un juego justo tiene un valor igual a cero, si no, es injusto o parcial.

Ejemplo.

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En el juego más arriba, hay dos puntos de silla, mostrados en color.

Pues son cero los puntos de silla, es un juego justo.

Juegos bipersonales de suma cero

En un juego bipersonal de suma cero, cada uno de dos jugadores tiene que escoger entre unas acciones dictadas a cada turno, y la pérdida de cada jugador es igual al beneficio del su contrincante.

La matriz de pagos de un juego bipersonal de suma cero tiene reglones etiquetados por las acciones del "jugador renglón" y columnas etiquetadas por las acciones del su contrincante, el "jugador columna." La entrada ij de la matriz es el pago que gana el jugador renglón en caso de que el jugador renglón usa acción i y el jugador columna usa acción j.

Equilibrios de estrategia dominante y Equilibrio de Nash:

Existe un equilibrio de estrategia dominante cuando hay una estrategia dominante para cada jugador. El equilibrio de Nash fue formulado en 1951 por el matemático norteamericano John Nash. Existe un equilibrio de Nash cuando se presenta un par de estrategias (a*, b*) en un juego de dos jugadores, en las que a* es una estrategia óptima para A frente a la estrategia b* y b* es una estrategia óptima para B frente a la estrategia a*. El equilibrio de Nash se diferencia del equilibrio de las estrategias dominantes en que, en el equilibrio de las estrategias dominantes, se exige que la estrategia de A sea óptima en el caso de todas las elecciones óptimas de B, y viceversa. El equilibrio de Nash es menos restrictivo: el equilibrio se da si A representa la mejor estrategia del jugador 1 cuando el jugador 2 juega B, y B representa la mejor estrategia de 2 cuando 1 juega A.

Si el equilibrio de Nash está presente en un juego, aun cuando uno de los jugadores revele la estrategia que utilizará, el hecho de conocerla no beneficia al otro. Esto no sucede igualmente en estrategias de no equilibrio, pues si uno de los jugadores sabe cuál será la estrategia del otro, puede beneficiarse de ese conocimiento y tomar ventaja e incluso perjudicar al otro jugador (Nicholson, 2001). Un juego puede tener más de un equilibrio de Nash así como también existen juegos en los no existe un equilibrio de Nash.

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Ejemplo: Retomando el ejemplo del dilema de los prisioneros, cuya matriz de recompensas se muestra a continuación:

Fig.3.6.0

Este caso del dilema de los prisioneros permite ejemplificar un juego sin transferencia de utilidad, ya que los prisioneros no pueden comunicarse y llegar a acuerdos previos. De igual manera evidencia la presencia de estrategias en equilibrio pues la mejor estrategia para ambos sería no confesar, de modo que alcanzaran el mejor resultado posible (maximización de su utilidad) pues tendrían que cumplir una condena de tan sólo 1 año, sin embargo, está no es la estrategia óptima para cada jugador de manera individual (equilibrio de Nash), ya que no puede estar completamente seguro de la decisión que tomará el otro. Así, Chómpiras sabe que si Botija confiesa el delito, entonces sería mejor confesar ya que la pena de 3 años es menor que la pena de 10 años, y si Botija negara el crimen, entonces también sería mejor confesar ya que la pena de 1 año es preferible a la de 2 años. De ese modo, Chómpiras decide confesar. Analizando de modo similar para Botija, este también decide confesar.

En otras palabras, se dice que un conjunto de estrategias constituye un equilibrio de Nash si, manteniendo constantes las estrategias de los demás jugadores, ningún jugador puede obtener recompensa mayor eligiendo una estrategia distinta. Esto quiere decir que, en un equilibrio de Nash, ningún jugador quiere cambiar su estrategia, porque está empleando su mejor respuesta (aquella que maximiza su beneficio dadas sus creencias sobre las estrategias de sus rivales).

Muchas veces en un equilibrio de Nash la suma de los beneficios de los jugadores no es el máximo (como en el caso del dilema de los prisioneros). Esto se da, principalmente, en los juegos de un único período, debido a la falta de confianza entre los jugadores.

CONCLUSIONES:

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La Teoría de Juegos se desarrolló con el simple hecho de que un individuo se

relacione con otro u otros. Hoy en día se enfrenta cotidianamente a esta teoría, en

cualquier momento. Para el hombre la importancia que representa la Teoría de

Juegos es evidente, pues a diario se enfrenta a múltiples situaciones que son

juegos.

Dicha teoría se ha destacado su aplicación en diferentes áreas como en la

economía que toma un papel muy importante en la distribución de recursos

escasos.

Con el avance tecnológico en el sector informático, cada vez más, las grandes

infraestructuras tecnológica de la información (Google, Amazon, Facebook…)

contractan con más frecuencia a periodistas, matemáticos, economistas y

expertos en teoría de juegos para analizar la realidad social y política.

La teoría de juegos describe las situaciones envueltas en conflictos en los cuales

el beneficio es afectado por las acciones y contra-reacciones de oponentes

inteligentes.

Para finalizar, me quedo con el siguiente concepto de Teoría de Juego “es el

estudio del comportamiento estratégico cuando dos o más individuos interactúan y

cada decisión individual resulta de lo que él (o ella) espera que los otros hagan.

Es decir, que debemos esperar que suceda a partir de las interacciones entre los

individuos”.

Gabriel Quiroga Maldonado.

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REFERENCIAS:

1.- TAHA, HAMDY A., Investigación de Operaciones, Novena Edición, PEARSON EDUCACIÓN, México, 2012, pp. 824

2.-Antoni Marlet Tomas et al Clara Ponsati, TEORIA DE JUEGOS, McGraw –Hill, pp. 70

3.- Augusto Rufasto, MANUAL DE TEORIA DE JUEGOS, Infometrics & Business Protocol. 21-04-2015.

http://www.territoriochile.cl/modulo/web/teoria_juegos/gametheory.pdf

4.- Sctm05, Teoría de Juegos: análisis matemático de conflictos, 19-04-2015.

http://www.academia.edu/5883311/Teor%C3%ADa_de_juegos_an%C3%A1lisis_matem%C3%A1tico_de_conflictos

5.- Universidad de la República, Facultad de Ciencias Sociales, Introducción a la teoría de juego. 21-04-2015.

http://decon.edu.uy/publica/Notas/Nota03.pdf

6.- Universidad Nacional Autónoma de México (FCA), LA TEORÍA DE JUEGOS Y LOS OLIGOPOLIOS, 18-04-2015.

http://fcasua.contad.unam.mx/apuntes/interiores/docs/2012/administracion/3/1355_anex

o_1.pdf

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Conclusión:

Después de analizar la teoría de decisiones, nos damos cuenta que es uno de los aspectos más importantes en la vida de cada persona, ya que todos y cada uno de nosotros pasamos los días y las horas de nuestra vida teniendo que tomar decisiones; algunas decisiones tienen una importancia relativa en el desarrollo de nuestra vida, mientras otras no son tan importantes en ella. Una buena decisión es aquella que ha sido tomada siguiendo un proceso que nos hace considerar todo lo necesario para conseguir lo que valoramos y/o necesitamos.

Muchas veces las decisiones deben tomarse en entornos con mayor incertidumbre.

El análisis de decisiones está diseñado para estudiar estos tipos de decisiones con una gran incertidumbre. El análisis de decisiones proporciona un marco de trabajo y una metodología para la toma de decisiones racional cuando los resultados son inciertos.

El desarrollo de árboles de decisión beneficia en dos formas. Primero que todo, la necesidad de describir condiciones y acciones llevan a los analistas a identificar de manera formal las decisiones que actualmente deben tomarse. De esta forma, es difícil para ellos pasar por alto cualquier etapa del proceso de decisión, sin importar que este dependa de variables cuantitativas o cualitativas. Los árboles también obligan a los analistas a considerar la consecuencia de las decisiones.

Se ha demostrado que los árboles de decisión son eficaces cuando es necesario describir problemas con más de una dimensión o condición. También son útiles para identificar los requerimientos de datos críticos que rodean al proceso de decisión, es decir, los árboles indican los conjuntos de datos que la gerencia requiere para formular decisiones o tomar acciones. El analista debe identificar y elaborar una lista de todos los datos utilizados en el proceso de decisión, aunque el árbol de decisión no muestra todo los datos.

La Toma de Decisiones nos indica que un problema o situación es valorado y considerado profundamente para elegir el mejor camino a seguir según las diferentes alternativas y operaciones.

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