teoria de juegos fin
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ÍNDICE
INTRODUCCIÓN
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En la vida cotidiana se presentan muy a menudo fenómenos o situaciones que involucran a
dos o más partes con intereses diferentes y con la posibilidad de llevar a cabo diversas
acciones para lograr su objetivo. Este tipo de situaciones se llaman situaciones conflictivas o,
para abreviar más, conflictos. Un conflicto típico se caracteriza por tres componentes básicos
que son: las partes interesadas, las decisiones posibles y los intereses de las partes
Las situaciones conflictivas extraídas de la vida cotidiana suelen ser bastante difíciles de
analizar por su complejidad. Por eso, para analizar estos conflictos es necesario olvidarse de
los factores secundarios, de manera que si las condiciones son óptimas se pueda construir
un modelo normal y simplificado. Dicho modelo se suele denominar juego.
El estudio de los juegos ha inspirado a científicos a lo largo del tiempo para el desarrollo de
teorías y modelos matemáticos. La estadística surgió precisamente de los cálculos para
diseñar estrategias vencedoras en juegos de azar. Conceptos tales como probabilidad,
media ponderada y distribución o desviación estándar, son términos acuñados por la
estadística matemática y que tienen aplicación en el análisis de juegos de azar o en
situaciones sociales y económicas en las que hay que adoptar decisiones y asumir riesgos
ante componentes aleatorios.
El objetivo de la Teoría de Juegos no es el análisis del azar o de los elementos aleatorios
sino de los comportamientos estratégicos de los jugadores. Lo que es mas importante, la
teoría de juegos ayuda a comprender las reglas de decisión que deben emplearse en
situaciones conflictivas. En el mundo real, tanto en las relaciones económicas como en las
políticas o sociales, son muy frecuentes las situaciones en las que, al igual que en los
juegos, su resultado depende de la conjunción de decisiones de diferentes agentes o
jugadores. Se dice de un comportamiento que es estratégico cuando se adopta teniendo en
cuenta la influencia conjunta sobre el resultado propio y ajeno de las decisiones propias y
ajenas.
La Teoría de Juegos ha alcanzado un alto grado de sofisticación matemática y ha mostradouna gran versatilidad en la resolución de problemas. Muchos campos de la Economía
(Equilibrio General, Distribución de Costos, etc.), se han visto beneficiados por las
aportaciones de este método de análisis. En el medio siglo transcurrido desde su primera
formulación el número de científicos dedicados a su desarrollo no ha cesado de crecer. Y no
son sólo economistas y matemáticos sino sociólogos, biólogos o psicólogos. Existen también
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aplicaciones jurídicas: asignación de responsabilidades, adopción de decisiones de pleitear o
conciliación, etc.
En este trabajo desarrollaremos la Teoría de Juegos exponiendo diferentes conceptos
relacionados con el tema así como también aplicaciones para así tener una mejor comprensión del mismo.
TEORÍA DE JUEGOS
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I. HISTORIA DE LA TEORÍA DE JUEGOS1
La primera discusión conocida de la teoría de juegos aparece en una carta escrita por James
Waldegrave en 1713. En esta carta, Waldegrave proporciona una solución minimax de
estrategia mixta a una versión para dos personas del juego de cartas le Her. Sin embargo nose publicó un análisis teórico de teoría de juegos en general hasta la publicación de
Recherches sur les principes mathématiques de la théorie des richesses, de Antoine
Augustin Cournot en 1838. En este trabajo, Cournot considera un duopolio y presenta una
solución que es una versión restringida del equilibrio de Nash. A éstos también se sumaron
otras posteriores ideas de los matemáticos Borel y Zermelo que en uno de sus trabajos
(1913) muestra que juegos como el ajedrez son resolubles.
La teoría de juegos como tal fue creada por el matemático húngaro John Von Neumann
(1903-1957) y por Oskar Morgenstern (1902-1976) en 1944 gracias a la publicación de su
libro “The Theory of Games Behavior”. Este trabajo contiene un método para encontrar
soluciones óptimas para juegos de suma cero de dos personas. Durante este período, el
trabajo sobre teoría de juegos se centró, sobre todo, en teoría de juegos cooperativos. Este
tipo de teoría de juegos analiza las estrategias óptimas para grupos de individuos,
asumiendo que pueden establecer acuerdos entre sí acerca de las estrategias más
apropiadas. No fue hasta la aparición del libro de Von Neumann y Morgenstern cuando se
comprendió la importancia de la teoría de juegos para estudiar las relaciones humanas.
Von Neumann y Morgenstern investigaron dos planteamientos distintos de la Teoría de
Juegos. El primero de ellos el planteamiento estratégico o no cooperativo. Este
1 Charles A. Gallagher y Hugh J. Watson "Métodos Cuantitativos Para La Toma De Decisiones En Administración", 1ra Edición,Español, Editorial McGRAW-HILL/INTERAMERICANADE MEXICO, S.A. DE C.V., 1982.
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planteamiento requiere especificar detalladamente lo que los jugadores pueden y no pueden
hacer durante el juego, y después buscar cada jugador una estrategia óptima.
En la segunda parte de su libro, Von Neumann y Morgenstern desarrollaron el planteamiento
coalicional o cooperativo, en el que buscaron describir la conducta óptima en juegos conmuchos jugadores. Puesto que éste es un problema mucho más difícil, sus resultados fueran
mucho menos precisos que los alcanzados para el caso de suma cero y dos jugadores.
En los años 50 hubo un desarrollo importante de estas ideas en Princeton, con Luce and
Raiffa (1957), difundiendo los resultados en su libro introductoria, Kuhn (1953) que permitió
establecer una forma de atacar los juegos cooperativos, y por fin John Nash (1950)
desarrolló una definición de una estrategia óptima para juegos de múltiples jugadores donde
el óptimo no se había definido previamente, conocido como equilibrio de Nash. Este
equilibrio es suficientemente general, permitiendo el análisis de juegos no cooperativos
además de los juegos cooperativos. Durante esa época, el Departamento de Defensa de los
EE.UU. fue el que financió las investigaciones en el tema, debido a que la mayor parte de las
aplicaciones de los juegos de tipo suma-cero se concentraban en temas de estrategia militar.
Es esta época también aparecieron las primeras discusiones del dilema del prisionero, y se
emprendió un experimento acerca de este juego en la corporación RAND. Alrededor de la
misma, John Nash desarrolló una
La teoría de juegos experimentó una notable actividad en la década de 1950, momento en el
cual los conceptos bases, el juego de forma extensiva, el juego ficticio, los juegos repetitivos,
y el valor de Shapley fueron desarrollados. Además, en ese tiempo, aparecieron las primeras
aplicaciones de la teoría de juegos en la filosofía y las ciencias políticas.
John Forbes Nash (1928- ) es el nombre más destacado relacionado con la teoría de juegos.
A los 21 años escribió una tesina de menos de treinta páginas en la que expuso por primera
vez su solución para juegos estratégicos no cooperativos, lo que desde entonces se llamó "el
equilibrio de Nash", que tuvo un inmediato reconocimiento entre todos los especialistas.
El punto de equilibrio de Nash es una situación en la que ninguno de los jugadores siente la
tentación de cambiar de estrategia ya que cualquier cambio implicaría una disminución en
sus pagos. Von Neumann y Oskar Morgenstern habían ya ofrecido una solución similar pero
sólo para los juegos de suma cero. Para la solución formal del problema, Nash utilizó
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funciones de mejor respuesta y el teorema del punto fijo de los matemáticos Brouwer y
Kakutani.
En los años siguientes publicó nuevos escritos con originales soluciones para algunos
problemas matemáticos y de la teoría de juegos, destacando la "solución de regateo de
Nash" para juegos bipersonales cooperativos. Propuso también lo que se ha dado en llamar
"el programa de Nash" para la reducción de todos los juegos cooperativos a un marco no
cooperativo. A los veintinueve años se le diagnosticó una esquizofrenia paranoica que lo
dejó prácticamente marginado de la sociedad e inútil para el trabajo científico durante dos
décadas. Pasado ese lapsus, en los años setenta, recuperó su saludmental y pudo volver a
la docencia y la investigación con nuevas geniales aportaciones, consiguiendo en 1994 el
Premio Nóbel de Economía compartido con John C. Harsanyi y Reinhart Selten por sus
pioneros análisis del equilibrio en la teoría de los juegos nocooperativos.
En los 60 y 70 Harsany (1967) extendió la teoría de juegos de información incompleta, es
decir, aquellos en que los jugadores no conocen todas las características del juego: por
ejemplo, no saben lo que obtienen los otros jugadores como recompensa. Ante la
multiplicidad de equilibrios de Nash, muchos de los cuales no eran soluciones razonables a
juegos, Selten (1975) definió el concepto de equilibrio perfecto en el subjuego para juegos deinformación completa y una generalización para el caso de juegos de información imperfecta.
En 2005, los teóricos de juegos Thomas Schelling y Robert Aumann ganaron el premio
Nobel de Economía. Schelling trabajó en modelos dinámicos, los primeros ejemplos de la
teoría de juegos evolutiva. Por su parte, Aumann contribuyó más a la escuela del equilibrio.
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En The Strategy of Conflict , Schelling, aplica la teoría del juego a las ciencias sociales. Sus
estudios explican de qué forma un partido puede sacar provecho del empeoramiento de sus
propias opciones de decisión y cómo la capacidad de represalia puede ser más útil que la
habilidad para resistir un ataque Aumann fue pionero en realizar un amplio análisis formal de
los juegos con sucesos repetidos. La teoría de los juegos repetidos es útil para entender losrequisitos para una cooperación eficiente y explica por qué es más difícil la cooperación
cuando hay muchos participantes y cuándo hay más probabilidad de que se rompa la
interacción. La profundización en estos asuntos ayuda a explicar algunos conflictos, como la
guerra de precios y las guerras comerciales.
En el 2007, Roger Myerson, junto con Leonid Hurwicz y Eric Maskin, recibieron el premio
Nobel de Economía por "sentar las bases de la teoría de diseño de mecanismos.
II. APLICACIONES DE LA TEORÍA DE JUEGOS
La Teoría de Juegos actualmente tiene muchas aplicaciones, sin embargo, la economía es el
principal cliente para las ideas producidas por los especialistas en Teoría de Juego. Entre las
disciplinas donde hay aplicación de la Teoría de Juegos tenemos:
2.1ECONOMÍA Y NEGOCIOS2
Los economistas han usado la teoría de juegos para analizar un amplio abanico deproblemas económicos, incluyendo subastas, duopolios, oligopolios, la formación de redes
sociales, y sistemas de votaciones. Estas investigaciones normalmente están enfocadas a
conjuntos particulares de estrategias conocidos como conceptos de solución. Estos
conceptos de solución están basados normalmente en lo requerido por las normas de
racionalidad perfecta. El más famoso es el equilibrio de Nash. Un conjunto de estrategias es
un equilibrio de Nash si cada una representa la mejor respuesta a otras estrategias. De esta
forma, si todos los jugadores están aplicando las estrategias en un equilibrio de Nash, no
tienen ningún incentivo para cambiar de conducta, pues su estrategia es la mejor que
pueden aplicar dadas las estrategias de los demás.
Las recompensas de los juegos normalmente representan la utilidad de los jugadores
individuales. A menudo las recompensas representan dinero, que se presume corresponden
a la utilidad de un individuo. Esta presunción, sin embargo, puede no ser correcta.
2 www.es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_juegos
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Un documento de teoría de juegos en economía empieza presentando un juego que es una
abstracción de una situación económica particular. Se eligen una o más soluciones, y el
autor demuestra qué conjunto de estrategias corresponden al equilibrio en el juego
presentado. Los economistas y profesores de escuelas de negocios sugieren dos usos
principales.
No debería sorprender que la Teoría de Juegos haya encontrado aplicaciones directas en
economía. Esta triste ciencia se supone que se ocupa de la distribución de recursos
escasos. Si los recursos son escasos es porque hay más gente que los quiere de la que
puede llegar a tenerlos. Este panorama proporciona todos los ingredientes necesarios para
un juego. Además, los economistas neoclásicos adoptaron el supuesto de que la gente
actuará racionalmente en este juego. En un sentido, por tanto, la economía neoclásica no es
sino una rama de la Teoría de Juegos. Los economistas que no se dan cuenta de ello soncomo el monsieur Jourdain de Le Bourgeois Gentilhomme, de Moliere, que se sorprendió de
saber que había estado hablando en prosa durante toda la vida sin saberlo. Sin embargo,
aunque los economistas pueden haber sido desde siempre especialistas camuflados en
Teoría de Juegos, no podían progresar por el hecho de no tener acceso a los instrumentos
proporcionados por Von Neumann y Morgenstern. En consecuencia sólo podían analizar
juegos particularmente simples. Esto explica por qué el monopolio y la competencia perfecta
se entienden bien, mientras a todas las demás variedades de competencia imperfecta que se
dan entre estos dos extremos sólo ahora se les está empezando a dar el tratamientodetallado que merecen.
La razón por la que el monopolio es simple desde el punto de vista de la Teoría de Juegos
es que puede ser tratado como un juego con un único jugador. La razón por que la
competencia perfecta es simple es que el número de jugadores es de hecho infinito, de
manera que cada agente individual no puede tener un efecto sobre agregados de mercado si
el o ella actúa individualmente.
2.2 DESCRIPTIVA3
Un juego del ciempiés de tres fases
3 página citada: www.es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_juegos
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El uso principal es informar acerca del comportamiento de las poblaciones humanas
actuales. Algunos investigadores creen que encontrar el equilibrio de los juegos puede
predecir cómo se comportarían las poblaciones humanas si se enfrentasen a situaciones
análogas al juego estudiado. Esta visión particular de la teoría de juegos se ha criticado en la
actualidad. En primer lugar, se la critica porque los supuestos de los teóricos se violan
frecuentemente. Los teóricos de juegos pueden suponer jugadores que se comportan
siempre racionalmente y actúan para maximizar sus beneficios (el modelo homo o
economicus), pero los humanos reales a menudo actúan irracionalmente o racionalmente
pero buscando el beneficio de un grupo mayor (altruismo).
Los teóricos de juegos responden comparando sus supuestos con los que se emplean en
física. Así, aunque sus supuestos no se mantienen siempre, pueden tratar la teoría de juegos
como una idealización razonable, de la misma forma que los modelos usados por los físicos.
Sin embargo, este uso de la teoría de juegos se ha seguido criticando porque algunos
experimentos han demostrado que los individuos no se comportan según estrategias de
equilibrio. Por ejemplo, en el juego del ciempiés, el juego de adivinar 2/3 de la media y el juego del dictador, las personas a menudo no se comportan según el equilibrio de Nash.
Esta controversia se está resolviendo actualmente.3
Por otra parte, algunos autores aducen que los equilibrios de Nash no proporcionan
predicciones para las poblaciones humanas, sino que proporcionan una explicación de por
qué las poblaciones que se comportan según el equilibrio de Nash permanecen en esa
conducta. Sin embargo, la cuestión acerca de cuánta gente se comporta así permanece
abierta.
Algunos teóricos de juegos han puesto esperanzas en la teoría evolutiva de juegos para
resolver esas preocupaciones. Tales modelos presuponen o no racionalidad o una
racionalidad acotada en los jugadores. A pesar del nombre, la teoría evolutiva de juegos no
presupone necesariamente selección natural en sentido biológico. La teoría evolutiva de
juegos incluye las evoluciones biológica y cultural y también modela el aprendizaje individual.
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2.3NORMATIVA4
Por otra parte, algunos matemáticos no ven la teoría de juegos como una herramienta que
predice la conducta de los seres humanos, sino como una sugerencia sobre cómo deberían
comportarse. Dado que el equilibrio de Nash constituye la mejor respuesta a las acciones deotros jugadores, seguir una estrategia que es parte del equilibrio de Nash parece lo más
apropiado. Sin embargo, este uso de la teoría de juegos también ha recibido críticas. En
primer lugar, en algunos casos es apropiado jugar según una estrategia ajena al equilibrio si
uno espera que los demás también jugarán de acuerdo al equilibrio. Por ejemplo, en el juego
adivina 2/3 de la media.
El dilema del prisionero presenta otro contraejemplo potencial. En este juego, si cada jugador
persigue su propio beneficio ambos jugadores obtienen un resultado peor que de no haberlo
hecho. Algunos matemáticos creen que esto demuestra el fallo de la teoría de juegos como
una recomendación de la conducta a seguir.
2.4EN LA CIENCIA POLÍTICA5
La Teoría de Juegos no ha tenido el mismo impacto en la ciencia política que en economía.
Tal vez esto se deba a que la gente conduce menos racionalmente cuando lo que está en
juego son ideas que cuando lo que está en juego es su dinero. Sin embargo, se ha
convertido en un instrumento importante para clarificar la lógica subyacente de un cierto
número de problemas más paradigmáticos.
Un ejemplo de Teoría de Juegos en la Ciencia Política es el siguiente:
4 www.monografias.com/trabajos5/teorideju/teorideju.shtml
5 página citada: www.monografias.com/trabajos5/teorideju/teorideju.shtml
Cooperar Traicionar
Cooperar 2, 2 0, 3
Traicionar 3, 0 1, 1
El dilema del prisionero
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La elección de programa: Hay dos partidos, los Formalistas y los Idealistas. Ninguno de los
dos se preocupa en absoluto por cuestiones de principio. Sólo se preocupan por el poder y,
por tanto, eligen el programa con el programa con el único objetivo de maximizar el voto en
las próximas elecciones. Los votantes, por otra parte, sólo se preocupan por cuestiones de
principio y, por ende carecen por completo de fidelidad a los partidos. Para simplificar, lasopiniones que un votante puede tener se identifican con los números reales en el intervalo
(0. 1), en otras palabras, el conjunto de valores de x que satisfacen 0 menor igual a x menor
igual a 1. Podemos imaginarnos que este intervalo representa el espectro político de
izquierda a derecha. Así, alguien con la opinión x = 0, se cree que la sociedad debería estar
organizada como un hormiguero, mientras que alguien en la opinión x = 1 cree que debería
estar organizada como una piscina llena de tiburones.
Cada partido centra su programa en algún punto del espectro político y no puede cambiar suposición posteriormente. Los votantes votan por el partido que se encuentra más cerca de su
posición. Dado que se supone que los votantes se encuentran distribuidos uniformemente
sobre el espectro político, es decir, que una fracción l de la población sostiene opiniones que
se encuentran en cualquier intervalo de longitud l, es fácil ver cuántos votos conseguirá cada
partido una vez que han elegido programa. El secreto está en buscar el votante mediano
entre aquellos cuyas opiniones se encuentran entre los programas de ambos partidos. El
votante mediano se encuentra a medio partido entre las posiciones políticas de los dos
partidos. Luego los que se encuentran a la derecha del mediano votante votarán por unpartido, y los que se encuentran a la izquierda lo harán por el otro.
Supongamos que los partidos bajan al ruedo político uno a uno. Los Idealistas escogen en
primer lugar, y luego lo hacen los Formalistas. ¿Dónde debería colocarse cada uno?
Problemas como éste puede ser resueltos por inducción hacia atrás. Para cada programa
posible x, los Idealistas se preguntan qué ocurriría si se colocarán en x. Si x es menor a ½,
los Formalistas responderían colocándose inmediatamente a la derecha de x. Entonces los
Idealistas recogerían una fracción x de los votantes y los Formalistas recogerían 1-x. Por
tanto, los Idealistas ganarían menos de la mitad del voto. Lo mismo ocurre si los Idealistas se
sitúan en x menor a ½, excepto que ahora los Formalistas responderán colocándose
inmediatamente a su izquierda. Por tanto, lo mejor para los Idealistas es colocarse en el
centro del espectro político. Los Formalistas también se colocarán en x = ½, y el voto se
dividirá mitad y mitad.
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Este modelo puede tener sentido en la escena política americana. Ciertamente es difícil para
muchos europeos encontrar diferencias significativas entre Demócratas y Republicanos. El
modelo, sin embargo, tiene poco parecido con la escena política europea. ¿Deberían los
americanos deducir, por tanto, que los partidos políticos europeos de verdad se toman en
serio los principios que hacen suyos? Una conclusión así seria prematura porque es dudosoque la situación europea pueda ser razonablemente analizada con un modelo de dos
partidos, y esto es cierto incluso para un país como Gran Bretaña en el que sólo dos de los
partidos consigue un número importante de votos en la mayoría de elecciones. Para explorar
esta cuestión veamos como cambiarían las cosas si tuviéramos que tomar en consideración
un tercer partido.
En este modelo el partido Institucionistas escoge programa después de los Idealistas y
Formalistas. Esto cambia mucho las cosas. Los Idealistas y los Formalistas ciertamente nose colocarán ahora en el centro del espectro político. Si lo hicieran los Institucionistas se
podrían colocar inmediatamente a su derecha o a su izquierda. Entonces recogerían la mitad
del voto dejando que los primeros partidos se dividan la otra mitad. Un razonamiento por
inducción hacia atrás, algunas sutilezas surgen debido al hecho que disponemos de un
número infinito de opiniones políticas, lo cual hace ver que los Idealistas y los Formalistas se
colocarán en x = ¼ y x = ¾, dejando que los Institucionalistas adopten la posición centrista x
= ½, como se muestra en la Figura anterior parte (b). Los primeros partidos recibirán
entonces 3/8 de los votos cada uno, y los Institucionalistas sólo recogerán ¼.
Pero ¿Por qué querrían los Institucionalistas entrar en la arena política está condenados al
papel de Cenicienta, con los primeros partidos en el papel de Hermanas Feas?.
Modifiquemos, por tanto, el modelo de manera que los instuticionistas consideren que vale la
pena formar un partido sólo si pueden prever que recibirán más del 26% de los votos. En
este caso los Idealistas se moverán un poco hacia el centro, aunque no lo bastante como
para que los Institucionalistas puedan entrar flanqueándolos por la izquierda. Por tanto, sólo
se moverán desde x = 0,25 a x = 0,26. Análogamente, los Formalistas se moverán desde x =
0.75 a x = 0.74. El resultado será una elección con dos partidos como lo muestra la parte (c)
de la Figura anterior. En esta elección los Idealistas y los Formalistas se dividen el voto a
partes iguales y los Institucionalistas se quedan fuera.
Un comentarista político ignorante de la amenaza supone la entrada de los Institucionalistas
podría fácilmente malinterpretar las razones por las que los Idealistas y los Formalistas han
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elegido sus programas. El comentarista podría incluso llegar a pensar que cada partido ni
siquiera intenta hacerse con el centro por cuestiones de principio. Pero es sólo tras un
análisis estratégico que la conducta de los dos partidos puede ser evaluada correctamente.
Obsérvese, en particular, que su conducta ha sido determinada por algo que de hecho no
llegó a ocurrir. Como Sherlock Holmes explicaba, a menudo lo importante es que el perro noladró aquella noche.
2.5EN LA BIOLOGÍA6
Es imposible igualar el entusiasmo con que los biólogos evolucionistas que usan la teoría de
juegos explican de conducta animal. No sé si escogen historias poco delicadas
deliberadamente, para dar un poco de sabor a sus relatos con implicaciones sexuales, o si
éstos son realmente los mejores ejemplos para ilustrar de qué manera la teoría de juegos es
relevante. En cualquier caso, lo que los biólogos dicen sobre el pez sol es esto.
Hay dos clases de machos en esta especie. El primero es un individuo regularmente
hogareño que necesita siete años para alcanzar la madurez. Una vez alcanzada, construye
un nido que atrae a las hembras que ponen que ponen huevos. Cuando los huevos han sido
puestos, no sólo los fertiliza, sino que defiende la familia resultante lo mejor que puede
mientras, la hembra continua su vida independientemente. La otra clase de macho es un
golfo. Por lo que dicen los biólogos, es poco más que un órgano sexual autopropulsado. Este
posee ventaja sobre los machos normales, que consiste en alcanzar la madurez en sólo dos
años. Sin embargo, es incapaz de responsabilizarse por su familia. En lugar de ello, espera
escondido hasta que una hembra ha puesto sus huevos respondiendo a las señales de un
macho normal tenga la oportunidad de hacerlo. Si el golfo tiene éxito, el macho normal
defiende una familia que no está relacionada con él en absoluto y que lleva por el contrario
los genes del golfo.
La teoría de juegos sirve para explicar por que las dos clases de machos pueden coexistir en
proporciones fijas.
Para que una historia de teoría de juegos se aguante en este contexto, necesitamos una
explicación de cómo los genes se distribuyeron exactamente en la forma necesaria para
asegurar a cada pez optimizaría, dada la mezcla actual en la población de hogareños golfos.
6 página citada: www.monografias.com/trabajos5/teorideju/teorideju.shtml
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No basta con decir que la Naturaleza, "con las garras y las fauces llenas de sangre", actuará
de forma que sólo quienes se adaptan sobreviven. Esta respuesta rehuye el problema de
cómo y por qué resulta que a veces adaptarse implica actuar racionalmente. Esta parece ser
una de esas grandes cuestiones que no tienen respuestas fáciles.
2.6EN LA FILOSOFÍA7
Los especialistas en Teoría de Juegos creen que pueden demostrar formalmente por qué
incluso el individuo más egoísta puede descubrir que con frecuencia, cooperar con sus
vecinos en una relación a largo plazo redundará en su propio interés ilustrado. Con este fin
estudian los equilibrios de juegos con repetición –juegos que los mismos jugadores juegan
una y otra vez-. Pocas cosas han descubierto en esta área hasta el presente que hubieran
sorprendido a David Hume, quien hace ya unos doscientos años articuló los mecanismos
esenciales. Estas ideas, sin embargo, están ahora firmemente basadas en modelos
formales. Para avanzar más, habrá que esperar progresos en el problema de la selección de
equilibrios en juegos con múltiples equilibrios. Cuando estos progresos se den, sospecho
que la filosofía social sin teoría de juegos será algo inconcebible – y que David Hume será
universalmente considerado como su verdadero fundador.
2.7 INFORMÁTICA Y LÓGICA
La teoría de juegos ha empezado a desempeñar un papel importante en la lógica y lainformática. Muchas teorías lógicas se asientan en la semántica de juegos. Además, los
investigadores de informática han usado juegos para modelar programas que interactúan
entre sí.
III. DEFINICION SOBRE TEORÍA DE LOS JUEGOS
“La teoría de los juegos (también denominada “Teoría de la toma de decisiones
interpersonal”) es un conjunto de herramientas que permite analizar el proceso de toma de
decisiones cuando:
Existe más de un agente tomando decisiones;
7 página citada: www.monografias.com/trabajos5/teorideju/teorideju.shtml
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El pago (payoff) de cada agente puede depender de las acciones llevadas a cabo
por los demás agentes.” 8
“La teoría de juegos es un área de la matemática aplicada que utiliza modelos para estudiar
interacciones en estructuras formalizadas de incentivos (los llamados juegos) y llevar a caboprocesos de decisión”.9
IV. LA MATRIZ DE PAGOS PARA UN JUEGO
La herramienta básica para analizar los juegos es la matriz de pagos. Para los problemas de
decisión bajo riesgo. No obstante, en los juegos, la probabilidad de ocurrencia en los eventos
esta controlada por el oponente. El tamaño de la matriz esta determinado por el número de
jugadores y el número de estrategias disponibles. Un juego de 2 * 4, por ejemplo, tendrá dos
jugadores y cuatro estrategias. Tal como sucede, los juegos con mas de dos estrategias se
llama juegos de 2 x M, ya que no hay diferencia analítica en relación con el numero de
estrategias.
La matriz de pagos para un juego de 2 x 2 se ilustra en la siguiente figura. Esta podría
describir la situación a la que se enfrenta 2 gasolineras colocadas en contra esquina en la
misma intersección. Los compradores están bastante pendientes del precio y cada
gasolinera debe decidir si cobrar un precio alto o bajo por su gasolina.
La matriz de la izquierda muestra los pagos con respecto a la gasolinera 1. Si ambas
gasolineras poner precios altos (o amabas bajos), cada una obtendrá un porcentaje igual del
negocio. Pero si la gasolinera 1 pone precios altos la 2 pone un precio bajo, entonces la
gasolinera 2 atraerá algunos clientes de la 1, con lo cual le causa cierta perdida. De igual
manera, la gasolinera 1 ganará un parte adicional del negocio si tiene precios más bajos que
la 2.
La matriz de pagos
Para la gasolinera 1
8 Gardner, R. (1996): Juegos para empresarios y economistas. Antoni Bosh editores9 Página citada http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_juegos
15
A l t o B a j o
a
a j a
l i n e r a
1
G a s o l i n e r
0 - 0 . 2
+ 0 . 2 0
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Para la gasolinera 2
En el lado derecho de la figura anterior se muestra la misma situación desde el punto de
vista de la gasolinera 2. Como puede observarse, la única diferencia es el signo de los
pagos. Esto se cumplirá siempre de manera que solo se necesita una matriz para describir
un juego. Por convención, los pagos se muestran para el jugador en la izquierda de la matriz,en el ejemplo, la gasolinera 1.
Podría el lector preguntarse si el ejemplo es real. Si cada gasolinera puede ver el precio que
pone la otra, cada una podria cambiar el precio para perjudicar la competencia.
Esto llega a suceder, en especial durante las “guerras de precios” en el que cada jugador
muestra 1 ó 2 dedos, asiéndolo todos en forma simultanea.
La matriz crece si hay más de dos estrategias. Aun mas, los jugadores pue4den tener
diferentes numero de estrategias.
Así, si el primer jugador tuviera cuatro estrategias y el segundo solo tres, la matriz tendría 4
reglones y tres columnas.
¿Qué pasa cuando hay más de dos jugadores?
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A l t o B a j o
a
a j a
r a 1
0 + 0 . 2
- 0 . 2 0
G a s o l i n e
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Se necesitan una dimensión para cada jugador. 3 jugadores requerirían una matriz de 3
dimensiones: 4 jugadores, 4 dimensiones. Aunque esto es imposible gráficamente, si puede
escribirse en forma algebraica. Es necesario analizar otro aspecto de la matriz de pagos: los
números que se usan para los pagos en si. Nos se han hablado de lo que + 0.2 significa en
realidad. La teoría de juegos requiere que los pagos expresen la utilidad o preferencia delevento para ambos jugadores. El 0.2 puede representar 2000 galones de gasolina o $ 2000
de ingreso, 0.2 unidades en una escala de utilidad. La escala real que se use carece de
importancia, ya que multiplicar por una constante no tiene ni un efecto. Para los propósitos
que aquí se persigue seguirá y son unidades. Es importante notar que ambos jugadores
deben tener las mismas funciones de utilidad.
¿Cómo se gana un juego? Pueden emplearse dos métodos para ganar: una estrategia pura
y una estrategia mixta. El juego en si se emplearse cual debe usarse
V. TEORÍA DE JUEGOS Y EL TEOREMA DEL PUNTO FIJO
El teorema del punto fijo fue establecido en 1910 por el matemático Jan Brower, y establece
que toda función continua y acotada que solo toma valores finitos, admite al menos un punto
fijo.
Teorema 1: Sea F una función continua en [a,b] tal que F ([a , b]) [a , b] entonces la
ecuación x = F(x) tiene al menos una solución en el intervalo [a,b]. A esta solución se ledenomina punto fijo.
Von Newmann fue el primero que estableció un nexo entre la noción de equilibrio y la de
punto fijo de una función, tal como se emplea en matemáticas; realmente de la misma
manera que un punto fijo x de una función f permanece constante mientras se le aplica la
función (el punto fijo es tal que (f(x)=x)); un equilibrio “no se mueve”, es fijo, cuando está
sometido a distintas “fuerzas” de las cuales él es la resultante. De tal manera en una
situación de “juego” dónde los individuos toman decisiones, anticipándose a las de otros
agentes, hay equilibrio si sus anticipaciones son confirmadas en el momento en el cual las
decisiones de cada uno las conocen todos; ahora este equilibrio puede ser considerado
como un punto fijo de la función que hace corresponder las selecciones antes que las
decisiones “de los otros” sean conocidas a las selecciones -eventuales- después de que
estas han sido anunciadas.
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Mediante el empleo de esta especie de analogía John Nash prueba en 1950, que todo juego
no cooperativo, es decir, aquél en el cual cada uno sólo se preocupa por sus propias
ganancias, admite al menos un equilibrio. Además, su demostración se apoya de manera
decisiva en el teorema del punto fijo
El procedimiento de Nash fue retomado y adaptado por los microeconomistas que se
preguntaban sobre los equilibrios de sus modelos; en la medida en que el teorema del punto
fijo permite generalmente responder a una cuestión como aquella, se puede decir que la
microeconomía actual se construye de tal manera que se cumplan las hipótesis de aquel
teorema y se asegure en consecuencia la existencia de equilibrios. Esta explicación vale
particularmente para el modelo de Arrow-Debreu, que es el modelo básico para la
microeconomía.
VI. TIPOS DE JUEGOS
Los juegos se clasifican en muchas categorías que determinan qué métodos particulares se
pueden aplicar para resolverlos (y, de hecho también cómo se define “resolución” en una
categoría particular). En general, se pueden considerar cuatro clases de juegos:
Juegos en forma extensiva (árbol)
Juegos en forma estratégica (normal)
Juegos en forma gráfica
Juegos en forma coalicional
Las tres primeras clases de juegos se analizan en la teoría de juegos no cooperativos y la
cuarta corresponde a los juegos cooperativos.
6.1 JUEGOS EN FORMA DE ÁRBOL
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En la figura 1, tenemos dos jugadores 1 y 2, que participan en el siguiente juego. En primer
lugar, el jugador 1 decide ir a la izquierda (I) o a la derecha (D). Entonces, el jugador 2
decide ir a la derecha o a la izquierda. Los pagos que corresponden al primer (segundo) jugador son la primera (segunda) componente del vector que tiene asignada cada situación.
Analicemos como deben jugar 1 y 2. El jugador 2, teniendo en cuenta los pagos que recibiría
al terminar el juego, debe elegir la siguiente estrategia: si el jugador 1 elige I, ir a la derecha
eligiendo d1; y si 1 elige D; elegir i2: Esta estrategia se denotará d1i2: El jugador 1 conoce el
árbol y los pagos, luego puede anticipar la conducta del jugador 2 y debe elegir D: El par de
estrategias (D; d1i2) da lugar a un escenario en el que el jugador 1 recibe 4 y el jugador 2
recibe 8.
¿Puede alguno de los jugadores mejorar sus pagos?
6.2 JUEGOS EN FORMA ESTRATÉGICA
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En el ejemplo que estamos analizando, el jugador 1 tiene dos estrategias I y D; mientras que
el jugador 2 tiene cuatro estrategias dadas por
i1i2, i1d2, d1i2, d1d2
Podemos representar los pagos en la siguiente matriz, cuyas entradas son los vectores de
pagos,
Notemos que las matrices de pagos para los jugadores 1 y 2 son, respectivamente,
El par de estrategias (D; d1i2) es un equilibrio de Nash porque ninguna desviación unilateralde los jugadores les permite mejorar sus pagos, dados por (4; 8).
Definición: Sea N = {1,2,…., n} un conjunto de jugadores. Un juego estratégico de n
personas se representa por , donde Xi es el espacio de las estrategias
del jugador i, y es la función de pagos del jugador i.
Cada combinación estratégica se denomina un escenario o resultado del juego.
Dados un escenario x = (x1; : : : ; xn) y una estrategia del jugador i; denotamos
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mediante (x-i; y) el escenario que obtenemos de x; reemplazando su i-ésima componente x i
por y: Usando esta notación, vamos a definir el concepto más importante de la teoría de
juegos no cooperativos.
6.2.1. EL EQUILIBRIO DE NASH
A cada conjunto de estrategias denominado con frecuencia combinación de estrategias,
que es una por jugador, se le asocia una salida del juego, caracterizada por las
ganancias expresadas en forma de números que le toca a cada uno. Entre estas salidas
puede haber unas más “interesantes” que otras, por ejemplo las que “reportan más”. Sin
embargo, como regla general, la mayoría de las salidas, si no la totalidad, no son
comparables entre ellas en el sentido que el paso de una a otra se traduce en un
aumento de ganancias para unos y una baja para otros.
Frente a la ausencia de una clasificación de las salidas que logre la unanimidad de los
participantes, los teóricos de juegos adoptan un punto de vista mas limitado, que se
puede calificar de “local” en el sentido de estudiar separadamente cada una de las
salidas y las combinaciones de estrategias de las cuales ellas son el resultado; se le
acuerda un estatuto privilegiado a las que son de “equilibrio”, esto es a las que los
individuos, tomados uno a uno no tienen interés en desechar. El matemático John Nashestableció un importante resultado en 1950 sobre la existencia de situaciones de este
tipo, se habla entonces de la existencia de equilibrios de Nash.
Así, por definición, se dice de una combinación de estrategias (una por jugador) que está
en equilibrio de Nash si ningún jugador puede aumentar sus ganancias por un cambio
unilateral de estrategia. Con frecuencia se identifica, por abuso del lenguaje y sin que ello
tenga consecuencias, un equilibrio de Nash con la salida que le corresponde.
En la definición del equilibrio de Nash el adjetivo “unilateral” ocupa un lugar esencial, en
tanto ello traduce el carácter no cooperativo de las elecciones individuales (el “cada cual
para sí mismo”). Así es bastante posible que en un equilibrio de Nash la situación se
puede mejorar para todos por medio de un cambio simultáneo de estrategia por parte de
varios jugadores.
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El equilibrio de Nash ocupa un lugar central en la teoría de juegos; constituye de alguna
manera una condición mínima de racionalidad individual ya que, si una combinación de
estrategias no es un equilibrio de Nash, existe al menos un jugador que puede aumentar
sus ganancias cambiando de estrategia, y en consecuencia, ésta se puede considerar
difícilmente como una “solución” del modelo en la medida en que el jugador interesadoen cambiar descarta su elección, después de conocer la de los otros.
Ahora, el recíproco de esta proposición no es generalmente verdad: si un juego admite
un equilibrio de Nash no existe una razón a priori para que éste aparezca como la
“solución” evidente, que se impone a los ojos de todos los jugadores. Ello al menos por
una razón: con frecuencia los juegos admiten varios equilibrios de Nash.
Definición: Un escenario es un equilibrio de Nash del juego
si para todo jugador ; y para toda estrategia ; se
verifica .
6.2.2. ESTRATEGIA MAXIMIN.
En el concepto de equilibrio de Nash es fundamental es supuesto de racionalidad de los
agentes. Si un agente sospechara que su adversario no se comporta racionalmente,
podría tener sentido que adoptara una estrategia maximin, esto es, aquella en la que semaximiza la ganancia mínima que puede obtenerse.
Vamos a considerar un juego de suma cero. Cada jugador dispone de tres estrategias
posibles a las que designaremos como A, B, y C (supongamos que son tres tarjetas con
dichas letras impresas). Los premios o pagos consisten en la distribución de diez
monedas que se repartirán según las estrategias elegidas por ambos jugadores y se
muestran en la siguiente tabla llamada matriz de pagos, en la que para cualquier
combinación de estrategias, los pagos de ambos jugadores suman diez
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Por ejemplo. Si yo juego la tarjeta C y el otro jugador elige su tarjeta B entonces yo
recibiré ocho monedas y el otro jugador recibirá dos.
Para descubrir qué estrategia me conviene más vamos a analizar la matriz que indica mis
pagos. Ignoro cuál es la estrategia (la tarjeta) que va a ser elegida por el otro jugador.Una forma de analizar el juego para tomar mi decisión consiste en mirar cuál es el
mínimo resultado que puedo obtener con cada una de mis cartas. En la siguiente tabla se
ha añadido una columna indicando mis resultados mínimos.
En efecto,
· Si yo elijo la tarjeta A, puedo obtener 9, 1 o 2, luego como mínimo obtendré un
resultado de 1.
· Si elijo la tarjeta B, puedo obtener 6, 5 o 4, luego como mínimo obtendré 4. · Si elijo la tarjeta C, puedo obtener 7, 8 o 3, luego como mínimo obtendré 3.
De todos esos posibles resultados mínimos, el que prefiero es 4 ya que es el máximo de
los mínimos. La estrategia MAXIMIN consiste en elegir la tarjeta B ya que esa estrategia
me garantiza que, como mínimo, obtendré 4.
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6.3 JUEGOS EN FORMA GRÁFICA
Fang, Hipel y Kilgour proponen el siguiente modelo gráfico para un juego no cooperativo.
Este consiste en un conjunto N = {1; 2;:::; n} de jugadores, un conjunto U = {1;
2;:::;u} de escenarios, una familia de grafos dirigidos Di = (U;Ai) para cada
jugador , y una familia de funciones de pago .
El modelo se completa definiendo el conjunto de movimientos que un jugador
puede realizar para cambiar (unilateralmente) de escenario y así obtener los
grafos dirigidos Di.
Dado que en el juego el objetivo es aumentar los pagos que recibe el jugador,
tenemos las siguientes definiciones:
Dado un escenario g y un jugador i, el conjunto de los escenarios que el jugador
puede alcanzar unilateralmente desde g se denota por Si(g). Si además, i recibe
un pago estrictamente mayor, los escenarios de mejora unilateral para i son:
Introducimos los siguientes conceptos de estabilidad y equilibrio.
Definición: Un escenario es estable Nash para el jugador i si . Un
Escenario es secuencialmente estable para el jugador i si para cualquier
existe al menos un escenario con con .
Definición: Un equilibrio de Nash es un escenario que es estable Nash para todos los
jugadores. Un equilibrio secuencial es un escenario que es secuencialmente estable para
todos los jugadores.
6.4. JUEGOS EN FORMA COALICIONAL.
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Un juego coalicional o cooperativo se caracteriza por un contrato que puede hacerse cumplir.
La teoría de los juegos cooperativos da justificaciones de contratos plausibles. La
plausibilidad de un contrato está muy relacionada con la estabilidad.
Si los jugadores pueden comunicarse entre sí y negociar un acuerdo antes de los pagos, laproblemática que surge es completamente diferente. Se trata ahora de analizar la posibilidad
de formar una coalición de parte de los jugadores, de que esa coalición sea estable y de
cómo se deben repartir las ganancias entre los miembros de la coalición para que ninguno
de ellos esté interesado en romper la coalición.
Juego 1.- Empecemos con el ejemplo más sencillo. Supongamos que tres jugadores, Ana,
Benito y Carmen, tienen que repartirse entre sí cien euros. El sistema de reparto tiene que
ser adoptado democráticamente, por mayoría simple, una persona un voto. Hay cuatro
posibles coaliciones vencedoras: ABC, AB, BC y AC, pero hay infinitas formas de repartir los
pagos entre los tres jugadores.
Supongamos que Ana propone un reparto de la forma A=34, B=33 y C=33. Benito puede
proponer un reparto alternativo de la forma A=0, B=50 y C=50
Carmen estará más interesada en la propuesta de Benito que en la de Ana. Pero puede
proponer una alternativa aún mejor para ella: A=34, B=0 y C=66. A Benito es posible que se
le ocurra alguna propuesta mejor para atraer a Ana.
El juego puede continuar indefinidamente. No tiene solución. No hay ninguna coalición
estable. Sea cual sea la propuesta que se haga siempre habrá una propuesta alternativa que
mejore los pagos recibidos por cada jugador de una nueva mayoría.
Definición: En los juegos con transferencia de utilidad se llama solución a una propuesta de
coalición y de reparto de los pagos que garantice estabilidad, es decir, en la que ninguno de
los participantes de una coalición vencedora pueda estar interesado en romper el acuerdo.
Juego 2.- Modifiquemos ahora el ejemplo. En vez de "un hombre un voto" consideremos que
hay voto ponderado. Ana tiene derecho a seis votos, Benito a tres y Carmen a uno. Las
posibles mayorías son las siguientes: ABC, AB, AC, A.
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En esta situación Ana propondrá un reparto de la siguiente forma: A=100, B=0 y C=0. Ese
reparto se corresponde con una coalición estable en la que los seis votos de Ana estarán a
favor. Es una solución única. Ana no aceptará ningún reparto en el que ella obtenga menos
de 100 euros y sin la participación de Ana no hay ninguna coalición vencedora.
Definición: Se llama "valor del juego" al pago que un jugador tiene garantizado que puede
recibir de un juego si toma una decisión racional, independientemente de las decisiones de
los demás jugadores. Ningún jugador aceptará formar parte de una coalición si no recibe
como pago al menos el valor del juego.
En el juego 1, el valor del juego es cero para los tres jugadores. En el juego 2 el valor del
juego para Ana es cien y para Benito y Carmen es cero.
Juego 3.- Pongamos un ejemplo algo más realista y, por tanto, un poco más complejo.
Supongamos un municipio en el que cinco partidos políticos se han presentado a las
elecciones: el Partido Austero (PA), el Partido Benefactor (PB), el Partido Comunal (PC), el
Partido Democrático (PD) y el Partido de la Esperanza (PE). En las elecciones, han obtenido
el siguiente número de concejales:
PA =11PB = 8
PC = 5PD = 2PE = 1
Como ningún partido ha conseguido la mayoría absoluta, es necesario que se forme una
coalición para gobernar el municipio. El presupuesto anual del municipio es de 520 millones
de euros. La coalición gobernante debe asignar los cargos y las responsabilidades del
ayuntamiento a los diferentes partidos. En las negociaciones se debe acordar el reparto del
presupuesto, cargos y responsabilidades entre los partidos. Suponemos que no hay
simpatías ni antipatías ideológicas y que los cargos y responsabilidades son valorados
exclusivamente según el presupuesto económico que controlan. Supondremos, para
simplificar, que hay disciplina de voto y que no son posibles las traiciones internas.
Análisis del juego 3. Como el número total de concejales es 27, la coalición vencedora
debe disponer al menos de 14 votos. A diferencia del juego 2, no hay ningún jugador
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imprescindible para ganar. Si utilizamos la definición que dimos arriba, el valor del juego para
todos los jugadores es cero ya que ninguno tiene garantizada su pertenencia a la coalición
vencedora.
Definición: Se llama "valor de Shapley" a la asignación que recibe cada jugador en una propuesta de reparto según un criterio de arbitraje diseñado por Lloyd S. Shapley. El criterio
consiste en asignar un pago a cada jugador en proporción al número de coaliciones
potencialmente vencedoras en las que el jugador participa de forma no redundante.
Un jugador es redundante en una coalición si no es imprescindible para que esa coalición
resulte vencedora.
VII. JUEGOS BIPERSONALES DE SUMA NULA
En los juegos de suma nula o cero el beneficio total para todos los jugadores, en cada
combinación de estrategias, siempre suma cero, es decir, un jugador se beneficia solamente
a expensas de otros. El póker o el ajedrez son ejemplos de juegos de suma cero, porque un
jugador gana exactamente la cantidad que pierde su oponente. Por tanto, un juego en forma
estratégica es un juego de suma cero si Un juego de dos
personas se denota con (X, Y, K, L) ; donde las estrategias son X={1;2;:::m} e Y = {1; 2; : : :n}
: Entonces este juego bipersonal se puede representar mediante una matriz m×n cuyasentradas son vectores de ℜ2 ,
Las filas (columnas) corresponden a las m (n) estrategias del jugador 1 (2). En el caso deque el juego bipersonal sea de suma nula, tenemos que L = -K; y se representa con la matriz
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Veamos un ejemplo de juego bipersonal de suma nula para introducir los principales
conceptos.
El jugador I elige una carta de un mazo de tres cartas numeradas 1, 2, 3. El jugador II intenta
adivinar la carta que ha elegido I. Después de cada conjetura el jugador I informa al II
diciéndole alto, bajo o correcto, dependiendo de la conjetura de I. El juego termina cuando el
jugador II acierta la carta y paga al jugador I una cantidad igual al número de tentativas que
ha hecho. En el siguiente juego, I y II intercambian sus papeles.
Las estrategias del jugador I son X ={α , β , γ } , donde α es elegir la carta 1, β la carta 2 y γ la
carta 3. Las estrategias del jugador II (excluyendo algunas tontas) son Y = {a; b; c; d; e};
dadas por:
a : Decir 1, si el oponente dice bajo, decir 2 en la siguiente ronda. Si de nuevo
dice bajo, decir 3.
b : Decir 1, si el oponente dice bajo, decir 3 en la siguiente ronda. Si dice alto,
decir 2.
c : Decir 2, si el oponente dice bajo, decir 3; si dice alto, decir 1.
d : Decir 3, si el oponente dice alto, decir 1 en la siguiente ronda. Si después
dice bajo, decir 2.
e : Decir 3, si el oponente dice alto, decir 2 en la siguiente ronda. Si de nuevo
dice alto, decir 1.
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La matriz de pagos de este juego es:
Definición 5: Un par de estrategias (i*; j*) para una matriz de pagos K = (K(i; j)) es un punto
de silla si .
Si existe, un punto de silla K (i*; j*) es el pago seguro que tiene el jugador I contra la elección
racional del jugador II (que busca minimizar el pago a I). En general, una matriz no tienepuntos de silla y si existe alguno, no necesariamente es único. Si K(i*; j*) es un punto de silla,
entonces se verifica:
El juego de adivinar la carta numerada no tiene punto de silla porque
Cuando un juego no tenga puntos de silla, es posible elegir estrategias mixtas, obteniendo
un nuevo juego, denominado extensión mixta. Las estrategias mixtas consisten en una
combinación de varias estrategias escogidas al azar, una cada vez, según determinadas
probabilidades.
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Para un juego m×n matricial A = (aij); el conjunto de estrategias mixtas para el jugador I es:
Cada estrategia mixta consiste en jugar la estrategia de la fila i con
probabilidad xi: De manera análoga, las estrategias mixtas para el jugador II son:
Definición: Sea A un juego matricial n×m . Entonces, la extensión mixta de A es el juego
infinito ( Δm , Δn , K , L); definido mediante:
Teorema (von Neumann): Sea A un juego matricial n×m . Entonces, existen un par de
estrategias mixtas tales que
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La existencia de estrategias mixtas óptimas no nos da un método para calcularlas. Elteorema minimax también puede probarse usando programación lineal, lo que permite
obtener un algoritmo eficiente mediante el método del simplex.
UN EJEMPLO POLITICO
Con la estrategia maximin podemos calcular equilibrios de Nash, para ello vamos a ver un
ejemplo:
En un año electoral, dos partidos políticos A; B deben pronunciarse sobre una disputa entre
dos comunidades X; Y relativa a ciertos derechos de aguas, y cada partido debe decidir si
favorece a una de las dos o soslaya la cuestión.
En la siguiente tabla se representan por filas las estrategias del programa de A, y por
columnas las estrategias del programa de B. Los pagos al partido A, en porcentaje de votos,
se dan en las entradas de la tabla, y la suma de porcentajes de A y B es 100.
El método para encontrar los equilibrios de Nash es el siguiente. Supongamos que B conoce
la decisión de A: Entonces, B elige la columna donde se hace mínimo el pago de A, con lo
que A elegiría la fila que la proporcione el máximo de dichos mínimos. Este valor,
denominado maximin es la cantidad que con seguridad puede obtener A y en este juego es
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Si cambiamos los papeles de A y B; siendo A el que conoce la estrategia de B; tenemos que
A elige la fila que maximiza su pago, con lo que B se decidiría por la columna que minimice
dichos máximos. El valor minimax de este juego es
En este juego, hemos obtenido un par de estrategias (Y;X) con pago a21 = 45; que
constituye el único equilibrio de Nash de este juego.
VIII. JUEGOS BIPERSONALES DE SUMA NO NULA
En los juegos de suma no cero la ganancia de un jugador no necesariamente se
corresponde con la perdida del otro. La mayoría de ejemplos reales en negocios y política
corresponden a este tipo. Por ejemplo, un contrato de negocios involucra un desenlace de
suma positiva, donde cada oponente termina en una posición mejor a laque tendría si no se
hubiera dado el negocio.
El dilema del prisionero es un claro ejemplo de juego de suma no cero El teorema de Von
Neumann se generaliza a los juegos bipersonales de suma no nula, que denominamos
juegos bimatriciales, considerando la extensión mixta de un juego bimatricial (A;B) ; que
denotamos ; dada por K(x; y) := xTAy; L(x; y) := xT By; donde :
El resultado fundamental que garantiza la existencia de equilibrios de Nash es:
Teorema (Nash): La extensión mixta de un juego bimatricial tiene al menos un equilibrio de
Nash.
EJEMPLO DE LA DECISÓN DE INVERTIR
Dos empresas compiten por la venta de un programa para codificar ficheros. Las dos utilizan
el mismo procedimiento de codificación, por lo que los ficheros codificados por el programa
de una de ellas pueden ser leídos por el de la otra, lo que constituye una ventaja para los
consumidores. Además la empresa 1 tiene una cuota de mercado mucho mayor que la
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empresa 2. Ambas empresas están planeando invertir en un nuevo procedimiento de
codificación.
La estrategia dominante de la empresa 2 es invertir. Si la empresa 2 no invierte la empresa 1
contraería pérdidas considerables, por tanto si las dos empresas actúan racionalmente
decidirán invertir, y entonces se producirá un equilibrio de Nash. Si la empresa 2 no actúa de
esta manera la estrategia maximin de la empresa 1 es no invertir. Si 1 sabe que 2 está
utilizando una estrategia maximin, entonces 1 decidirá invertir.
IX. MODELOS IMPORTANTES DE JUEGOS
9.1. EL DILEMA DEL PRISIONERO
Dos delincuentes son detenidos y encerrados en celdas de aislamiento de forma que no
pueden comunicarse entre ellos. El alguacil sospecha que han participado en el robo del
banco, delito cuya pena es diez años de cárcel, pero no tiene pruebas. Sólo tiene pruebas y
puede culparles de un delito menor, tenencia ilícita de armas, cuyo castigo es de dos años
de cárcel. Promete a cada uno de ellos que reducirá su condena a la mitad si proporciona las
pruebas para culpar al otro del robo del banco, pero ellos han prometido no delatarse. Las
alternativas para cada prisionero pueden representarse en forma de matriz de pagos. La
estrategia "lealtad" consiste en permanecer en silencio y no proporcionar pruebas para
acusar al compañero. Llamaremos "traición" a la estrategia alternativa.
Los pagos a la izquierda o a la derecha de la barra indican los años de cárcel a los que es
condenado el preso X o Y respectivamente según las estrategias que hayan elegido cada
uno de ellos.
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Para que una matriz de pagos represente un “dilema del prisionero” deben concurrir las
siguientes circunstancias:
a) Confesar uno sólo debe ser mejor para él que no confesar mutuamente.
b) No confesar mutuamente debe ser e su vez mejor que confesar ambos.
c) Cuando cada uno elige una estrategia diferente, confesar y no confesar, la ganancia
media entre estas dos estrategias no puede ser mejor que las estrategias de confesar
ambos.
Consideremos al prisionero X. Supongamos que cree que el prisionero Y respeta sus
promesas anteriores y no confiesa. Si el prisionero X confiesa, se reduciría su pena a un
año, lo que es preferible a la opción de no confesar, que acarrea un de condena (dado que el
otro prisionero no confiesa). Si por el contrario, cree que el prisionero Y va a confesar, noimportando sus promesas anteriores, confesar le da 5 años de cárcel, lo que es mejor que
cargar con todas las culpas y 10 años de cárcel al no confesar.
Por lo tanto, no importando lo que haga el prisionero Y, el prisionero X está mejor
confesando: es su estrategia dominante. Lo mismo ocurre con el prisionero Y, por lo que el
único equilibrio en estrategias dominantes es aquel en que ambos prisioneros confiesan. Es
notable que a pesar que cooperando les habría ido mejor, ambos confiesan y terminan peor.
El dilema del prisionero es un juego de enorme importancia. Proporciona una explicación
para las dificultades para establecer la cooperación entre agentes económicos. Tiene
aplicaciones en pesquería, donde la falta de respeto a los compromisos de restringir la pesca
puede llevar a sobreexplotación del recurso, como ocurre actualmente en las pesquerías en
Chile. El dilema del prisionero también es relevante en la formación de carteles (acuerdos
entre firmas) para subir los precios, ya que las firmas se ven tentadas a vender más de lo
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acordado a los altos precios que resultan de los carteles, lo que reduce los precios. El dilema
del prisionero muestra las dificultades para establecer la colaboración en cualquier situación
en la que hacer trampa beneficia a las partes.
9.2. MODELO HALCÓN PALOMA
En el lenguaje ordinario entendemos por "halcón" a los políticos partidarios de estrategias
más agresivas mientras que identificamos como "paloma" a los más pacifistas.
El modelo Halcón-Paloma sirve para analizar situaciones de conflicto entre estrategias
agresivas y conciliadoras. Este modelo es conocido en la literatura anglosajona como el
"hawk-dove" o el "chicken" y en español es conocido también como "gallina".
Dos vehículos se dirigen uno contra otro en la misma línea recta y a gran velocidad. El quefrene o se desvíe ha perdido. Pero si ninguno de los dos frena o se desvía...Este sería un
modelo halcón paloma
También se ha utilizado este modelo abundantemente para representar una guerra fría entre
dos superpotencias. La estrategia Halcón consiste en este caso en proceder a una escalada
armamentística y bélica. Si un jugador mantiene la estrategia Halcón y el otro elige la
estrategia Paloma, el Halcón gana y la Paloma pierde. Pero la situación peor para ambos es
cuando los dos jugadores se aferran a la estrategia Halcón. El resultado puede modelizarse
con la siguiente matriz de pagos.
Podemos observar las sutiles pero importantes diferencias de este modelo con el Dilema del
Prisionero. En principio la matriz es muy parecida, simplemente se han trocado las
posiciones de los pagos 3º y 4º, pero la solución y el análisis son ahora muy diferentes.
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Aquí hay dos resultados que son equilibrios de Nash: cuando las estrategias elegidas por
cada jugador son diferentes; es decir, cuando uno elige halcón y el otro paloma. Por el
contrario, en el Dilema del Prisionero el equilibrio de Nash está en el punto en que ambos
jugadores traicionan.
Otra notable diferencia de este juego con otros es la importancia que aquí adquiere el orden
en que los jugadores eligen sus estrategias. Como tantas veces en la vida real, el primero
que juega, gana. El primero elegirá y manifestará la estrategia Halcón con lo que el segundo
en elegir se verá obligado a elegir la estrategia Paloma, la menos mala.
9.3. LA GUERRA DE LOS SEXOS
El modelo de "La guerra de los sexos" es un ejemplo muy sencillo de utilización de la teoría
de juegos para analizar un problema frecuente en la vida cotidiana. Hay dos jugadores: "ÉL"
y "ELLA". Cada uno de ellos puede elegir entre dos posibles estrategias a las que
llamaremos "Fútbol" y "Discoteca".
Supongamos que el orden de preferencias de ÉL es el siguiente:
1. (Lo más preferido) EL y ELLA eligen Fútbol.
2. EL y ELLA eligen Discoteca.
3. EL elige Fútbol y ELLA elige Discoteca.
4. (Lo menos preferido) El elige Discoteca y ELLA elige Fútbol.
.
Supongamos que el orden de preferencias de ELLA es el siguiente:
1. (Lo más preferido) ÉL y ELLA eligen Discoteca.
2. EL y ELLA eligen Fútbol.
3. EL elige Fútbol y ELLA elige Discoteca.4. (Lo menos preferido) Él elige Discoteca y ELLA elige Fútbol.
La matriz de pagos es la siguiente, donde los pagos representan el orden de preferencias:
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Este juego, tal como lo hemos descrito, es un juego sin repetición y sin transferencia de
utilidad. Sin repetición significa que sólo se juega una vez por lo que no es posible tomar
decisiones en función de la elección que haya hecho el otro jugador en juegos anteriores.
Sin transferencia de utilidad significa que no hay comunicación previa por lo que no es
posible ponerse de acuerdo, negociar ni acordar pagos secundarios ("Si vienes al fútbol te
pago la entrada").
El problema que se plantea es simplemente un problema de coordinación. Se trata de
coincidir en la elección. Al no haber comunicación previa, es posible que el resultado no sea
óptimo. Si cada uno de los jugadores elige su estrategia maximín el pago que recibirán (3\3)
es subóptimo. Esa solución, no es un punto de equilibrio de Nash ya que los jugadores están
tentados de cambiar su elección: cuando ELLA llegue a la discoteca y observe que ÉL se ha
ido al fútbol, sentirá el deseo de cambiar de estrategia para obtener un pago mayor.
El modelo que hemos visto es un juego simétrico ya que jugadores o estrategias son
intercambiables sin que los resultados varíen. Podemos introducir una interesante
modificación en el juego convirtiéndolo en asimétrico a la vez que nos aproximamos más al
mundo real. Supongamos que las posiciones 2ª y 3ª en el orden de preferencias de ÉL se
invierten. EL prefiere ir solo al Fútbol más que ir con ELLA a la Discoteca. La matriz de
pagos queda como sigue:
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Si ELLA conoce la matriz de pagos, es decir, las preferencias de ÉL, el problema de
coordinación desaparece. Está muy claro que ÉL elegirá siembre la estrategia Fútbol, sea
cual sea la elección de ELLA. Sabiendo esto ELLA elegirá siempre la estrategia Fútbol
también, ya que prefiere estar con ÉL aunque sea en el Fútbol que estar sola aunque sea en
la Discoteca. La estrategia maximín de ambos jugadores coincide. El resultado, marcado con
un asterisco, es un óptimo, un punto de silla, una solución estable, un punto de equilibrio de
Nash. Obsérvese que esta solución conduce a una situación estable de dominación social
del jugador que podríamos calificar como el más egoísta.
X. EXPERIENCIAS DEL MUNDO REAL
Para el administrador actual, la teoría de juegos proporciona algunas ideas útiles para la
toma de decisiones en conflicto, pero muy pocas aplicaciones reales. Para entender por qué
ha habido pocas aplicaciones en la administración, se examinara la teoría en sí y después elmarco de referencia de los negocios.
La teoría de juegos de dos personas suma cero esta bastante completa. Los juegos de
estrategia pura pueden resolverse aplicando el criterio maximin para determinar las
estrategias óptimas para los dos jugadores. Esto es fácil independientemente del número de
estrategia disponible para cada jugador. Los juegos de estrategia mixta también pueden
resolverse con el método analítico que se ha descrito o con programación lineal, si hay más
de dos estrategias. Así, pueden encontrarse estrategias óptimas para cualquier juego de dospersonas suma cero.
Cuando el número de jugadores es mayor que dos o cuando los pagos son de suma distinta
de cero, la teoría se debilita. Debido a la posibilidad de coaliciones, de soborno o de
amenaza, los juegos son únicos y se frustran los esfuerzos por realizar teorías generales. No
se trata de asegurar que no es posible la teoría, sino que todavía no se ha desarrollado una.
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Ahora considérese el marco de referencia típico al que se enfre4nta una empresa para la
Vtoma de decisiones. Muy pocas veces existe un solo competidor; casi siempre existen
muchos, ya sea en forma directa o vía productos sustitutos. Por otro lado, los
administradores deben representar a varios comités o grupos, no solo a si mismos.
Accionistas, empleados, clientes, proveedores, la comunidad, el gobierno y el publico engeneral, presionan sobre las decisiones de los administradores.
Por ultimo, la mayoría de los juegos son de suma distinta de cero. Dos competidores hacen
una fuerte publicidad y bajan los precios. Es típico que esto atraiga nuevos clientes y
aumente las ventas de cada uno. O considérense los tratos entre la administración y el
sindicato. Además de los salarios y las prestaciones, estos con frecuencia incluyen
contratación, publicidad, disciplina, procedimientos de indemnización, seguridad y escalafón.
Cuando por las medidas de seguridad se reducen los accidentes, por ejemplo, ambas partesganan. Aun los aumentos de salario los financia en general el cliente mas que el accionista.
Aunque se han realizado algunas aplicaciones, como por ejemplo a la postura competitiva y
a estrategias de publicidad, el número de estas aplicaciones es pequeño.
¿Por qué se incluye el tema en este texto si se han encontrado tan pocas aplicaciones?
Como se analizó en el capitulo 1, con frecuencia los métodos cuantitativos sirven de guía al
pensamiento, aun cuando no se generen numeros específicos. La noción de que el criterio
maximin conduce a estrategias óptimas es una idea útil en situaciones competitivas.
También la idea de que las estrategias mixtas se deben seleccionar al azar no es del todo
obvia. Por último, el método para clasificar los juegos por lo menos proporciona un punto de
partida para un análisis mas profundo. Se piensa que estas ideas servirán bien al lector en
el futuro.
CONCLUSIONES
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La
Teoría de Juegos consiste en razonamientos circulares, los cuales no pueden ser
evitados al considerar cuestiones estratégicas. La intuición no educada no es muy fiable
en situaciones estratégicas, razón por la que se debe entrenar.
La
Teoría de Juegos fue creada por Von Neumann y Morgenstern en 1944. Otros habían
anticipado algunas ideas. Los economistas Cournot y Edgeworth fueron particularmente
innovadores en el siglo XIX. Otras contribuciones posteriores mencionadas fueron
hechas por los matemáticos Borel y Zermelo.
A
principio de los años cincuenta, en una serie de artículos muy famosa el matemático
John Nash rompió dos de las barreras que Von Neumann y Morgenstern se habían auto-
impuesto.
La
Teoría de Juegos actualmente tiene muchas aplicaciones, entre las disciplinas tenemos:
la Economía, la Ciencia Política, la Biología y la Filosofía.
Según
el Filósofo Hobbes un hombre se caracteriza por su fortaleza física, sus pasiones, su
experiencia y su razón.
Hay dos
tipos de respuesta, la del tipo educativo, los jugadores suponen que tienen al equilibrio
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como el resultado de razonar cuidadosamente y un segundo tipo de respuestas, las
evolutivas, según éstas, el equilibrio se consigue, no porque los jugadores piensan todo
de antemano, sino como consecuencia de que los jugadores miopes ajustan su conducta
por tanteo cuando juegan y se repiten durante largos períodos de tiempo.
Raciona
bilidad: es la forma que se comporta alguien bayesiano-racional cuando ha de tomar una
decisión en situaciones donde el resultado de la decisión a tomar depende de sucesos
inciertos para quien ha de tomarla.
Los
jugadores son bayesianos-racionales, sus estados mentales se pueden resumir en dos
cosas: lo que saben y lo que creen.
Las
estrategias maximin y minimax conducen a los dos jugadores del juego a situaciones en
las que ningún jugador tiene razón o incentivo alguno para cambiar su posición.
Se dice
que un jugador posee una estrategia dominante si una estrategia particular es preferida a
cualquier otra estrategia a disposición de él.
Estrategia mixta es una combinación de dos estrategias escogidas a azar, una cada vez, según
determinadas probabilidades, en contraste con una estrategia pura que no contiene tales
elementos de azar.
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