CURSODEMETODOSDELAFISICAMATEMATICATEORIADEGRUPOSH. FALOMIRDEPARTAMENTODE FISICAFACULTADDE CIENCIAS EXACTAS - UNLPActualizadoel5defebrerode2008.2IndiceNOTASSOBRETEORIADEGRUPOS 41. Generalidades 42. Grupodepermutaciones 43. Homomorsmo-Representaciones 84. Subgrupos 115. Clasesdeelementosconjugados 156. Subgruposinvariantes 187. Elgrupocociente 198. Productodirectodegrupos 209. Automorsmo-Centrodeungrupo 2110. Espaciosclasicos 2211. Operadoresisometricos 2412. Principalesgruposdematrices 26NOTASSOBREREPRESENTACIONESMATRICIALESENMECANICACUANTICA 2813. Elcasodeunapartculaenunpotencialpar 2814. Elcasodeunapartculaenunpotencialcentral 3015. Gruposdesimetras 36NOTASSOBREREPRESENTACIONESMATRICIALESDEGRUPOSDEORDENFINITO 3916. Representacionesequivalentes-Caracteres 3917. Representacionesirreducibles 4018. Representacionesunitarias 4419. Relacionesdeortogonalidadparagruposdeordennito 4620. Caracteressimples-TeoremadeBurnside 4921.Algebradeungrupodeordennito 5722. Productodirectoderepresentaciones 60NOTASSOBREGRUPOSCONTINUOS 6423. Gruposcontinuos 6424. Gruposconexos-GruposdeLie 6825. Propiedadesglobalesdegruposconexos 69326. Grupodecubrimientouniversal 75NOTASSOBREALGEBRASYGRUPOSDELIE 7927. IntroduccionalasalgebrasdeLie 7928. AlgebrasdeLiedelosgruposSU(2)ySO(3) 9329. AlgebrasdeLiedeotrosgruposdematrices 9630. Medidadeintegraci oninvariante 9931. MedidainvarianteparalosgruposSO(3)ySU(2) 10232. RepresentacionesunitariasirreduciblesdelgrupoSU(2) 10633. Productodirectoderepresentaciones. DescomposiciondeClebsh-Gordan 11134. ClasicaciondelasalgebrasdeLiesimples 117NOTASSOBREELGRUPODELORENTZ 12035. ElgrupodeLorentz 12036.AlgebradeLiedelsubgrupopropioortocrono L+12237. Representacionesirreducibles(delgrupodecubrimiento)de L+12438. Grupodecubrimientode L+12739. AlgebradeLiedelgrupoSL(2, C).Representaciones 1284NOTASSOBRETEORIADEGRUPOS1. GeneralidadesUngrupoGesunconjuntodeelementossobreloscualeshaydenidaunaleydecomposicion,: GG G,queesasociativa,conneutroeinverso,esdecir,a)f(gh) = (fg)h, f, g, h G,b) e G, llamadoelementoneutrooidentidad, quesatisfaceeg =ge = g, g G,c) g G, g1 G,llamadosuinversa,quesatisfacegg1= g1 g= e.Evidentemente, si f g= hg entonces f= h. En efecto, (f g)g1= f (gg1) =(hg)g1= h(gg1) f= g.Similarmente, sepuededemostrar queel neutroyel inversodecualquier el-ementoson unicos. Por ejemplo, si gf =e g1 (gf) =(g1 g)f =ef =g1 e f =g1. Enconsecuencia, (fg)1=g1 f1, puestoque(fg)(g1 f1) = f(gg1)f1= ff1= e.Engeneral,laleydecomposicionnoesconmutativa:fg = gf.UngrupoGparaelcualfg= gf, f, g GsediceAbeliano.Ejemplos:el grupo aditivo de los enteros respecto de la operacion de suma usual, Z;el conjuntode los racionales nonulos, Q`0, respectode laoperacionusualdemultiplicaci on;elconjunto 1, 1respectodelaoperaciondemultiplicaci ondereales;elconjuntodelasrotacionesdeuncuerpo.Elordendeungrupoeseln umerodeelementosquecontiene.Elordenpuedenitooinnito.2. GrupodepermutacionesConsideremosunapermutaci ondecincoelementos,(2.1) a1, a2, a3, a4, a5 a2, a3, a1, a5, a4 .Independientementedelanaturalezadeesoselementos,estaoperacionpuedeserrepresentadaporelsiguientecuadroden umerosqueindica,sobrecadacolumna,Teoradegrupos 5laposicioninicialynaldeunelemento,(2.2) =

1 2 3 4 53 1 2 5 4

2 3 1 5 41 2 3 4 5

(o bien, con identico signicado, por cualquier otro cuadro que diera de los ante-rioresenunapermutaci ondesuscolumnas).Laoperaciondecomposiciondeconotrapermutacion(2.3)

=

1 2 3 4 55 3 1 2 4

sedenepor(2.4)

=

1 2 3 4 55 3 1 2 4

2 3 1 5 41 2 3 4 5

:=

2 3 1 5 45 3 1 2 4

.Estaoperacionsatisfacelosaxiomasdegrupo. Enefecto, puedeconstatarsequeesaoperacionesasociativa,queelelementoneutroestadadopor(2.5) e =

1 2 3 4 51 2 3 4 5

yque, porejemplo, lainversadeen(2.2)estadadaporel mismocuadroden umerosconsuslasintercambiadas,(2.6) 1=

3 1 2 5 41 2 3 4 5

.EstegrupoesnoAbeliano,comosurgedevericarque

=

.Generalizandoesasdeniciones,resultaqueelconjuntodelaspermutacionesdepelementosseestructuracomoungrupo(noAbeliano),denotadoporSp.Consideremoslapermutaci on S9(2.7) =

1 2 3 4 5 6 7 8 94 3 9 6 1 7 5 8 2

.Ellapuedeserdescompuestaenlaspermutacionescclicasindependientes(2.8)

1 4 6 7 5 1,2 3 9 2,8 8.Notesequecadacicloinvolucraauncierton umerodeelementosquenoapareceenlosdemasciclos.6 H. FalomirLapermutaci on puedeser caracterizadamediantesudescomposicionenciclos,ydenotadapor(2.9) = (14675)(239)(8) (239)(14675),dado que los ciclos independientes conmutan entre s, como puede vericarse facil-mente.Losciclosdeunelementopuedenserdescartadosdelcuadro,yaquenotienenning un efecto en la permutacion. Tampoco importa por cual elemento comienza adescribirsecadaciclo,yaqueconelmismosignicadotenemos(2.10) = (67514)(923).Unciclodedoselementossellamatransposicionsimple. Todociclopuedeserdescompuestoenunproductodetransposicionessimples.Porejemplo,(2.11) (14675) = (15)(17)(16)(14).Una permutaci on se dice par o impar de acuerdo a que sea posible descomponerlaenunn umeroparoimpardetransposicionessimples.Tambien es posible representar una permutacion de p elementos mediante unamatrizcuyoselementossontodos0exceptopdeellosigualesa1, dispuestosdemodo tal que solo aparezca un 1 por la y por columna. Por ejemplo, para S5en(2.2)tenemos(2.12)

a2a3a1a5a4

=

0 1 0 0 00 0 1 0 01 0 0 0 00 0 0 0 10 0 0 1 0

a1a2a3a4a5

= M()

a1a2a3a4a5

,donde hemos introducido un producto de elementos akpor 1 o 0 cuyo signicadoes,respectivamente,seleccionaronoadichoelemento.Enestarepresentaci ondel grupoS5, laoperaciondecomposicionsereducesimplementealproductousualdematrices,M(

) = M(

) M().Notese que latrazade M(), tr M(), es el n umerode elementos que dejainvarianteslapermutacion,mientrasquesudeterminante,det M(),esiguala+1 para permutaciones pares y a -1 para las impares. Por ejemplo, para en (2.2)Teoradegrupos 7yM()en(2.12),(2.13)= (132)(45) = (45)(12)(13),tr M() = 0, det M() = 1.Ejemplo: Latabladelaoperaciondecomposicionenel grupoS3= e, a=(123), b = (132), = (23), = (31), = (12)estadadaporelcuadro(2.14) e a b e e a b a a b e b b e a e b a a e b b a eSi nosrestringimosalasentradascorrespondientesal neutroeyaunatrans-posicionsimple,digamos,tenemoslatabladeS2,(2.15) e e e eque coincide formalmente con la tabla del grupo aditivo de los enteros modulo2, Z2,(2.16)(+)mod 20 10 0 11 1 0conlaidenticacione 0, 1.Similarmente,lasentradasdelatabladeS3correspondientesalacomposiciondelaspermutacionescclicasdetreselementos,(2.17) e a be e a ba a b eb b e a8 H. Falomirnoinvolucranalastransposicionessimples,ycoincidenformalmenteconlatabladelgrupoaditivodelosenterosmodulo3, Z3,(2.18)(+)mod 30 1 20 0 1 21 1 2 02 2 0 1conlaidenticacionentreelementose 0, a 1, b 2.Dos grupos entre cuyos elementos existe una correspondencia biunvoca de modoquesustablasdecomposicionresultenidenticas,sedicenisomorfos.UnsubconjuntoH Gquecontienealaidentidadyalainversadecadaunode sus elementos, y que es cerrado respecto de la operacion de composicion en G,constituyeunsubgrupodeG.TodogrupoGtienedossubgruposimpropios:Gy e.Todootrosubgruposedicepropio.Laintersecci ondesubgrupostambienconstituyeunsubgrupo,comopuedeve-ricarsefacilmente.Ejemplos:a)Losenteros Zformanunsubgrupodelgrupoaditivodelosreales R.b)Las rotaciones sobre un plano forman un subgrupo del grupo de rotacionesenelespacio.c)Las rotaciones alrededor deunejeenangulos 0, /2, , 3/2formanunsubgrupodelgrupoderotacionesenelplano.3. Homomorfismo-RepresentacionesUnhomomorsmoesunaaplicacionentregrupos, : G H,quesatisface(3.1) (gg

) = (g)(g

) H, g, g

G.Dos grupos G y Hse dicen isomorfos, lo que se denota por G H, si entre suselementos existe una aplicacion biunvoca (uno a uno y sobreyectiva) que preservalas operaciones de composicion como en (3.1). En ese caso la aplicacion : G Hconstituyeunisomorsmo.Independientementedelanaturalezadecadagrupo, unavezidenticadossuselementosmedianteelisomorsmo,gruposisomorfospresentanlamismatabladecomposicion.Teoradegrupos 9El isomorsmo establece una relacion de equivalencia entre grupos. En efecto, esevidente que G G; que si G H H G; y que si G Fy F H G H.Estopermitedenir clases de equivalencia, dondedos grupos estanenlamismaclasesi sonisomorfosentres. Todoslosgruposdentrodeunaclasepre-sentanlamismatabladecomposicion, laqueentoncescaracterizaalaclasedeequivalenciaogrupoabstracto.Los diversos grupos pertenecientes a una misma clase constituyen distintas rea-lizaciones de ese grupo abstracto (cuyos elementos no estan especicados). Cadaclasedeequivalenciapuedeseridenticadaporunocualquieradelosgruposquecontiene.Ejemplos:Existeun unicogrupoabstractodeorden2,denominado Z2ycarac-terizadoporlatablaen(2.16).Distintasrealizacionesdeesegruposon Z2,S2,elgrupo +1, 1respectodelproductodereales,oelgrupo(3.2)

1 00 1

,

0 11 0respectodelproductousualdematrices.Similarmente, existeun unicogrupoabstractodeorden3, denominadoZ3ycaracterizadoporlatablaen(2.18). Distintasrealizacionesdeestegruposonelpropio Z3o el subgrupo de S3correspondiente a las permutaciones cclicas de treselementos, e, a, b,cuyatablaestadadaen(2.17).Paraordenesmayoresde3esposibleconstruirvariastablasquesatisfacenlosaxiomasdegrupo.Unhomomorsmode ungrupoGsobre ungrupode operadores lineales H(denidos sobre cierto espacio lineal E) constituye una representaci onlineal deG.Cuandoestaaplicacionesunisomorsmo,larepresentacionsediceel.SielespaciodelarepresentacionEesdedimensionnita,Hesungrupodematrices(cuandolosoperadoressonreferidosaciertabasedeE).Enesecasose tiene una representacionmatricial de G, donde la operacion de composicionenelgrupoHsereducealproductousualdematrices.Ejemplo: LaasignaciondeunamatrizM() acadapermutaci on, comoen(2.12),constituyeunarepresentacionmatricialeldelgrupoSp,llamadarepre-sentaci onregular,(3.3) : Sp M() [ Sp .10 H. FalomirPorejemplo,paraelgrupoS3tenemos(3.4)M(e) =

1 0 00 1 00 0 1

, M(a) =

0 0 11 0 00 1 0

, M(b) =

0 1 00 0 11 0 0

,M() =

1 0 00 0 10 1 0

, M() =

0 0 10 1 01 0 0

, M() =

0 1 01 0 00 0 1

.Todogrupotiene unarepresentaciontrivial, enlacual todoelementoesrepresentadoporeloperadoridentidad.Lamnimadimensionposibleparaeles-paciodeestarepresentacionesdimE=1, encuyocasotenemos: G 1.Estarepresentaci onnoesel(exceptoparaelgrupotrivial Z1= e).ParalosgruposdepermutacionesSpexisteunasegundarepresentaci onunidi-mensional, llamada representaci onalternada, en la que cada permutacion esrepresentada por (la matriz de 11) +1 o 1, de acuerdo a que sea par o imparrespectivamente.Estarepresentaci ontampocoes el, exceptoparaS2. Por ejemplo, paraS3tenemos(e) = (a) = (b) = +1y() = () = () = 1.Ejemplo: Las rotaciones en un plano forman un grupo (subgrupo del grupo de lasrotaciones en el espacio R3). Ellas pueden ser representadas como matrices de 22que act uan sobre vectores reales del mismo plano R2(espacio de la representacion).Larotacionenunangulo [0, 2)alrededordelorigen,R(),correspondealaacciondelamatriz(3.5) (R()) = D() =

cos() sin()sin() cos()

.Setratadeunarepresentaci onel, puestoquelarelacionentreR()yD()esbiunvoca,satisfaciendoque(3.6) (R(1)R(2)) = (R([1 + 2]mod 2)) = (R(1))(R(2)) ,comosecompruebafacilmentedelcalculodelproductodematrices(3.7) D(1) D(2) = D([1 + 2]mod 2) .Teoradegrupos 11Porotraparte, todaslasmatricesD()en(3.5)puedensersimult aneamentediagonalizadas,parallevarlasalaforma(3.8) D()

ei00 ei

.Evidentemente, el conjuntodelosbloquesdiagonales(de11)constituyeunarepresentaci onunidimensionaleldelgrupoderotacionesenelplano,(3.9) R() D() := ei,queact uasobreunespacioderepresentacioncomplejounidimensional, yenlacuallaoperaciondelgruposereducealproductousualdecomplejos.Puedenconstruirse otras representaciones unidimensionales no eles de estegrupomediantelaasignacionR() Dm() =eim, conm Zym = 1.Enefecto,Dm(2m) = eim2m= 1 = Dm(0),con2m = 0mod 2.4. SubgruposRecordemosqueunsubconjuntoH GesunsubgrupodeGsielelementoidentidade H,sih H h1 H, h1, h2 H,setienequeh1 h2 H.Conesaspropiedades, Hseestructuracomoungruporespectodelamismaleyde composiciondel grupoG. Enefecto, Hes cerradorespectode unaleydecomposicionasociativa,conneutroeinverso.Teorema4.1. El subconjuntoH Ges unsubgrupodel grupoGsi ysolosi a, b Hresultaqueab1 H.Demostracion:Porunaparte, resultaevidentequesi HesunsubgrupodeG,entoncesab1 H, a, b H.Supongamosahoraque a, b Hresultaqueab1 H.Entonces,ComoHnoesvaco,sia H aa1= e H.Ademas,sie, a H ea1= a1 H.Finalmente,sia, b H a, b1 H a(b1)1= ab H.Porlotanto,HesunsubgrupodeG. Eln ucleo(okernel)deunhomomorsmo : G H,denotadopor1(eH),es el conjunto de los elementos deG que tienen por imagenal elemento neutro en12 H. FalomirH,(4.1) (g) = eH, g 1(eH) .El n ucleodeunhomomorsmo: G HesunsubgrupodeG. Enefecto,si a, b 1(eH) (a)=eHy(b1)=(b)1=e1H=eH (ab1)=(a)(b1) = eHeH= eH.Por lotanto,ab1 1(eH)que,enconsecuencia,esunsubgrupo.Sea Hun subgrupo propio del grupo G, y sea a1 H. Consideremos el subcon-junto de G formado por los elementos de la forma a1 h, con h H, que denotamospor a1H. Si a2 Ha1H, formamos el subconjunto a2H= a2h, con h H,yassiguiendohastaagotarloselementosdelgrupo.ElsubgrupoHpuededenotarsecomoeH.LossubconjuntosdeGas construidos, llamadoscosetsizquierdos1del sub-grupo H, son disjuntos. En efecto, si dos de ellos tuvieran un elemento en com un,ai h1= ak h2, con h1, h2 H. Entonces, ak= (ai h1) h12= ai (h1 h12) = ai h3,donde h3= h1 h12 H ak ai H, lo que (por construccion) no puede ocurrirsiak = ai.Porlotanto,ai H ak H= parak = i.Por otra parte, los cosets aHson independientes del elemento a = ae aHque se emplea en su construccion. En efecto, supongamos que b a H b = a h,para alg un h H. Pero entonces, a = b h1 b H. Sea ahora c = a h1 a H c=bh1 h1 bH. Enesascondiciones, aH bH. SepruebademanerasimilarquebH aH.Enconsecuencia,aH= bH.Enesascondiciones,elconjuntoGpuedeexpresarsecomolauniondeloscon-juntosdisjuntoscorrespondientesaloscosetsizquierdosdeH,(4.2) G =kak H .Enparticular, si Gesdeordennito, #G=n, tambienloesH G, yloscosetstienentodosel mismon umerodeelementosqueH, #H=m. Comoloscosetssondisjuntos, loshayenunn umeronitoktal quen=mk. Conestoquedaestablecidoelsiguienteteorema.Teorema4.2. (deLagrange)ElordendeunsubgrupoHdeungrupodeordennitoGesundivisordel ordendeG,(4.3)#G#H= k N.1De manera similar se denen los cosetsderechos deH.Teoradegrupos 13Unaconsecuenciainmediatadeesteteoremaesqueungrupodeordenprimosolotienesubgruposimpropios.Sea G un grupo de orden nito, y sea a G uno de sus elementos. Consideremosel conjuntodeelementosdeGdelaformae, a, a2=aa, . . . , ak+1=aak, . . . .Como#G < ,loselementosaknopuedensertodosdistintos.Supongamosqueap= aq, con p > q; entonces apq= e. Sea n el menor n umero natural para el cualan= e.Enesecaso,elelementoasedicedeordenn.Enesa condiciones, el conjunto e, a, a2, . . . , an1 forma ungrupo llamadogrupocclicodeordenn,queesisomorfoa Zn.Enefecto,ak al= ak+l|mod n.Teorema4.3. (deCayley)Todogrupodeordennitonesisomorfoaun sub-gruporegulardeSn.Demostracion:ConsideremoslatabladelaleydecomposicionenungrupoGdeordenniton,(4.4) a1a2. . . ak. . . ana1a1a2. . . ak. . . ana2a2 a1a2 a2. . . a2 ak. . . a2 an. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .alal a1al a2. . . al ak. . . al an. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .anan a1an a2. . . an ak. . . an andondea1= e.Primero se nalemos que los elementos no se repiten en la las ni en las columnasde esa tabla. En efecto, si, por ejemplo, un elemento se repitiera en la i-esima la,ai ak= ai al ak= al,loquenopuedeserdadoqueloselementosdeGtienenuna unicaentradaenlatablaparalamultiplicaci onaderecha.En consecuencia, la l-esima la (que corresponde a la multiplicacion a izquierdaporal, yenlaqueaparecenlosnelementosdel grupo)seobtienedelaprimera14 H. Falomirmedianteunapermutaci onregular(esdecir,unapermutacionquenodejain-variantening unelemento):(4.5)(al) = l=

1 2 . . . k . . . nl(1) l(2) . . . l(k) . . . l(n)

=

1l(1) 1l(2) . . . 1l(k) . . . 1l(n)l(1l(1)) l(1l(2)) . . . l(1l(k)) . . . l(1l(n))

==

1l(1) 1l(2) . . . 1l(k) . . . 1l(n)1 2 . . . k . . . n

,dondel: 1, 2, . . . , n 1, 2, . . . , nesunaaplicacionbiunvocaquenotienepuntosjos.Estacorrespondenciaes unoauno, puestoquesi (al) =l=k=(ak),entonceslaslasl-esimayk-esimasonidenticas al= ak.Dada la asociatividad del producto, la la correspondiente al elemento ak alseobtiene de multiplicar a izquierda poraklos elementos enla laal a1, . . . , al an.Para poder describir esta operacion en terminos de la permutacion k, esa l-esimala debe ser llevada primero al orden correspondiente a la primera la,a1, . . . , an:(4.6)(ak al) =

1l(1) 1l(2) . . . 1l(n)k(1) k(2) . . . k(n)

==

1 2 . . . nk(l(1)) k(l(2)) . . . k(l(n))

==

1 2 . . . nk(1) k(2) . . . k(n)

1l(1) 1l(2) . . . 1l(n)1 2 . . . n

==

1 2 . . . nk(1) k(2) . . . k(n)

1 2 . . . nl(1) l(2) . . . l(n)

== (ak)(al) .Porlotanto, : G 1, . . . , nesunisomorsmo.Elrangodeesteisomor-smo es un subgruporegulardeSn(cuyos elemento son permutaciones que nodejanposicionesinvariantes,aexcepciondelelementoidentidad1). Teoradegrupos 15SiendoSnungrupodeordennito, resultaqueel n umerodesubgruposquecontieneesnecesariamentenito. Estoimplicaquehaysolounn umeronitodegruposdeordenn Nquenosonisomorfosentres.5. ClasesdeelementosconjugadosDos elementos a, b G se dicen conjugados si existe un tercer elemento g Gtalquea = gbg1.Estadenicionestableceunarelaciondeequivalencia.Enefecto,a)todoelementoesconjugadodesmismo:a = eae1;b)siaesconjugadodeb,entoncesbesconjugadodea:a = gbg1 b =g1 a(g1)1;c)siaesconjugadodeb,ybloesdec,entonceselprimeroesconjugadodel ultimo:a = gbg1, b = hch1a = (gh)c(gh)1.MedianteestarelacionpuedenorganizarseloselementosdelgrupoGenclasesdeequivalencia,llamadasclasesdeelementosconjugados.Algunasconsecuencias:Elelementoneutroformaunaclaseporssolo:sia = geg1a = e.Si GesungrupoAbeliano, cadaelementoformaunaclaseporsmismo:a = gbg1= bgg1= b.Todosloselementosdeunaclasesondelmismoorden:Supongamosquebes de orden n y que a = gbg1; entonces an= gbn g1= geg1= e.Ejemplo:ParadeterminarlasclasesdeelementosconjugadosdelgrupoSn,con-sideremosdospermutaciones(5.1) =

1 2 . . . n(1) (2) . . . (n)

, =

1 2 . . . n(1) (2) . . . (n)

.Lainversadeestadadapor(5.2) 1=

(1) (2) . . . (n)1 2 . . . n

,16 H. Falomirdemodoque(5.3)1=

1 2 . . . n(1) (2) . . . (n)

(1) (2) . . . (n)(1) (2) . . . (n)

=

(1) (2) . . . (n)((1)) ((2)) . . . ((n))

(1) (2) . . . (n)(1) (2) . . . (n)

=

(1) (2) . . . (n)((1)) ((2)) . . . ((n))

.Esteresultadocorrespondearealizarlamismapermutaci ondeelementosque,pero a partir de un ordenamiento distinto, dado por (1) (2). . . (n). Esto puedeversefacilmentesiseconsidera,porejemplo,unatransposicionsimple,= (12);enesecaso,(5.4) 1=

(1) (2) (3) . . . (n)(2) (1) (3) . . . (n)

= ((1)(2)) .Enel casogeneral, sepuedecomprobarquey1sedescomponenenciclosdelamismalongitud,sibienloselementosinvolucradosporellosenunoyotrocasoson,engeneral,diferentes.Recprocamente, se puede mostrar que dos permutaciones que presentan la mis-maestructuraenciclossonconjugadasunadelaotra.De ese modo, ladescomposicionenciclos permite caracterizar las clases deelementosconjugadosenelgrupoSn.Porejemplo,(5.5) S2:

e = (1) (2)= (12)2clases,(5.6) S3:

e = (1) (2) (3)a = (123), b = (132) = (23), = (31), = (12)

3clases,(5.7) S4:

e(12), (13), . . .(12) (34), (13) (24), . . .(123), (124), . . .(1234), (1324), . . .

5clases(dondehemosomitidolosciclosdelongituduno).Teoradegrupos 17Tambiensevequeeln umerodeclasesdeSnesigualaln umerodeparticionesden.Porejemplo,paraS4(5.8)4 = 1 + 1 + 1 + 1,4 = 2 + 1 + 1,4 = 2 + 2,4 = 3 + 1,4 = 4.Esto permite representar gracamente las clases mediante diagramas de Young,enlosquecadacicloesrepresentadoporunn umerodecuadroscontiguos, dis-puestoshorizontalmente,igualasulongitud.(5.9)e

, (12) (3) (4), . . .

,(12) (34), . . .

, (123)(4), . . .

,(1234), . . . .Tambien podemos calcular el n umero de permutaciones en cada clase consideran-do las posibles disposiciones de los cuatro elementos en los cuadros del correspon-dientediagrama, teniendoencuentaquedisposicionesquedierenenunaper-mutaci on cclica de los elementos de un ciclo, o en el intercambio de los elementosdedosciclosdelamismalongitud,correspondenalamismapermutacion:(5.10)#

=4!4!= 1, #

=4!2 2!= 6,#

4!222!= 3, #

=4!3= 8,#

=4!4= 6,cuyasumacorrespondealordendelgrupo,#G = 4!.18 H. FalomirLageneralizacional casodeSnesinmediata: si enundiagramasetienenr1ciclosdelongitud1,r2ciclosdelongitud2,etc,elordendelaclasees(5.11) #(. . . ) =n!1r12r2 r1! r2! . . . .6. SubgruposinvariantesSellamasubgrupoconjugadodeunsubgrupoH Gaaquel subgrupodeGcuyoselementosseobtienendelosdeHporconjugacionconunelementojog G,(6.1) H

= gHg1= h

G [h

= ghg1, conh H.Este conjunto constituye efectivamente un subgrupo: sean h

1, h

2 H

, entoncesh

1,2= gh1,2 g1h

1 (h

2)1= gh1 (h2)1 g1 H

, dado que h1 (h2)1 H.Unsubgruposediceinvariantesicontieneatodossussubgruposconjugados,gHg1 H, g G.SiHesinvariante,entoncescontieneasuselementosenclasescompletas: h H ghg1 H, g G.Ejemplos:Lossubgruposimpropios eyG, as comolaintersecciondesubgruposinvariantes,soninvariantes.TodosubgrupodeungrupoAbelianoesinvariante.Eln ucleo1(eH)deunhomomorsmo:G Hesunsubgrupoinva-riante. Enefecto, supongamosquea 1(eH) (a)=eH. Entonces, g G tenemos que (ga g1) = (g) (a) (g1) = (g) eH (g)1=eH.Enconsecuencia,elsubgrupo1(eH)(verSec.4)contieneasusele-mentosenclasescompletas.Elconjuntodelasmatricesregulares(coninversa)dennformanelgrupolineal GL(n) (respecto del producto usual de matrices). El conjun-todelasmatricesden ncondeterminanteiguala1constituyeelsub-grupoespeciallineal SL(n), que es invariante. En efecto, si M SL(n),det(N M N1) = detNdetM(detN)1= 1, N GL(n).Si HesunsubgrupoinvariantedeG, entoncessuscosetsizquierdoscoincidenconloscosetsderechos. Enefecto, seaaH= ah[ h H, entoncesah=(aha1)a=h

a Ha, h H, puestoqueh

=aha1H. Enconsecuencia, aH Ha. DemanerasimilarsedemuestraqueHa aH.Porlotanto,siHesinvariante aH= Ha, a G.Teoradegrupos 19Ungruposedicesimplesinocontienesubgrupospropiosinvariantes.Ungruposedicesemi-simplesinocontienesubgrupospropiosAbelianosin-variantes.Ejemplo: los unicosgrupos Abelianos simples sonlos grupos cclicos deordenprimo,quenotienensubgrupospropios.7. ElgrupococienteSea H un subgrupo invariante de G. Podemos descomponer a G en cosets izquier-dosdeH,demodoqueG = eH a1 H a2 H . . . ,dondeak H, k.Consideremosdoselementoscualesquieraai h1 ai Hyakh2 akH.Sucomposiciones(7.1) (ai h1)(ak h2) = (ai ak)(a1k h1 ak)h2 (ai ak)H,puestoque(a1k h1 ak) H, h1, h2 H.Entoncesresultanaturaldenirunaoperacionentrecosetsdemodoque(7.2) (ai H)(ak H) = (ai ak)H .Puesto que ella se basa en la composicion en G, esta operacion es asociativa. ExisteunelementoneutroquecorrespondeaH=eH, ytodocosetakHtieneuninversocorrespondientealcosetquecontienealelementoa1k,a1k H(7.3)(aH)(eH) = (ae)H= (aH) ,(aH)(a1 H) = (aa1)H= (eH) .Asestructurado,elconjuntodecosetsdelsubgrupoinvarianteHconformaungrupollamadogrupocociente,ydenotadoporG/H.Es posible establecer un homomorsmo : G G/H, cuyo n ucleo es 1(eG/H) =H.Enefecto,seaunaaplicacionqueasigneacadaelementodeGelcosetquelocontiene,(7.4) (h) := eH, (ah) := aH, h H, a H .Entonces,(7.5)(ai h1)(ak h2) = (ai H)(ak H) = (ai ak)H== ((ai ak)h3) = ((ai h1)(ak h2)) ,dondeh3= a1k h1 ak h2 H.Entoncesesunhomomorsmoden ucleoH.20 H. FalomirTeorema 7.1. Sea : GG

un homomorsmo sobreyectivo y de n ucleo1(e

) = H G. Entonces, Hes un subgrupo invariante de G, y el grupo cocienteG/HesisomorfoaG

.Demostracion:Yasabemosqueeln ucleodeunhomomorsmoesunsubgrupoinvariante,respectodelcualpodemosconstruirelgrupococienteG/H.Denamos ahora una aplicacion : G/H G

de modo que(aH) =(a). Dadoque dos elementos enaHdierenenlacomposicionconunelementodeH, estaasignacionesindependientedel elementoempleadoparacaracterizarelcoset:(ah) = (a)(h) = (a)e

= (a), h H.Entonces,(7.6)((aH)(bH)) = ((ab)H) = (ab) == (a)(b) = (aH)(bH) .Porlotanto, : G/H G

esunhomomorsmo.Como el rango de (g) es todo G

, g

G

g G tal que (g H) = (g) = g

.Porlotanto, : G/H G

tambienessobreyectivo.Finalmente,si(aH)=(bH) (a)(b)1=(ab1)=e

.Entonces,ab1H a=hb Hb=bH, porserHinvariante. PeroentoncesaH= bH,yelhomomorsmoesunoauno(esdecir,esunisomorsmo).Porlotanto,G/H G

. 8. ProductodirectodegruposA partir de dos grupos G1 y G2 es posible construir un tercer grupo G = G1G2,llamadoproductodirecto,delasiguientemanera.Sean a1, b1, c1, G1y a2, b2, c2, G2. El grupo G1G2es el conjunto delosparesordenados 'g1, g2`estructuradoconlaleydecomposicion(8.1) 'a1, a2`'b1, b2` := 'a1 a2, b1 b2` .Puede vericarse que esta ley es asociativa, tiene por elemento neutro al par 'e1, e2`,yelinversode 'g1, g2`eselpar 'g11, g12`.SiG1yG2sondeordennito,#G = #G1 #G2.Los elementos de la forma 'e1, g2` forman un subgrupo invariante G2 de G1G2,isomorfoaG2. Similarmente, losparesdelaforma 'g1, e2`formanunsubgrupoTeoradegrupos 21invariante G1deG1 G2,isomorfoaG1.Evidentemente,elementosdeesossub-gruposconmutanentres,(8.2) 'e1, g2`'g1, e2` = 'g1, g2` = 'g1, e2`'e1, g2` ,y todo elemento deG1G2puede escribirse enla forma de unproducto como en(8.2).PuedevericarsefacilmentequeG/

G2 G1,yqueG/

G1 G2.Recprocamente, si ungrupoGtienedossubgruposinvariantesG1yG2talesque(8.3)G1 G2= e ,g1 g2= g2 g1, g1 G1, g2 G2,y si todo elemento g G tiene una descomposicion ( unica2) como un producto dela forma g= g1 g2, con g1 G1, g2 G2, entonces G = G1G2. Tambien en estecasoG/G2 G1yG/G1 G2.9. Automorfismo-CentrodeungrupoUnautomorsmoesunisomorsmodeungrupoensmismo, : G G.Elconjuntodetodoslosautomorsmosformaungruporespectodelacomposicionusualdeaplicaciones.Suelementoneutroeslaaplicacionidentidad.Ejemplo:Paraelgrupocclico e, a, a2,laaplicacion(9.1) (e) = e , (a) = a2, (a2) = a ,esunautomorsmo.Unendomorsmoesunautomorsmodenidomediantelaconjugacionporunelementojodelgrupo,(9.2) a: G G [a(g) = aga1, g G.2En efecto, si un elemento de G puede expresarse como g = g1 g2, y tambien como g = g

1 g

2,dondeg1, g

1 G1yg2, g

2 G2, entonces(g

1)1 g1=g

2g12=e, dedonderesultaqueladescomposicion es unica.22 H. FalomirElconjuntodelosendomorsmossobreGformaunsubgrupodelgrupodelosautomorsmos,queresultaserhomomorfoalpropiogrupoG.Enefecto,(9.3)(a b)(g) = a (b(g)) = a (bgb1) == a(b)a(g)a(b1) = abgb1 a1== (ab)g(ab)1= ab(g), g G.Porlotantoa b=ab, ylaaplicaciona aesunhomomorsmo. Enparticular,e e,laidentidadenelgrupodeautomorsmos.El n ucleodeestehomomorsmoestaconstituidoporloselementosdeGparaloscualesa a= e,esdecir,talesque(9.4) a(g) = aga1= e(g) = g ag= ga, g G.Estocorrespondeal centrodelgrupoG,esdecir,alconjuntoCdeaquellosele-mentosqueconmutancontodootroelementodeG.Porserel n ucleodeunhomomorsmo, CesunsubgrupoinvariantedeG, yentonceselgrupodeendomorsmosesisomorfoaG/C(verTeorema7.1).10. EspaciosclasicosEnloquesigueestaremosinteresadosenrepresentacionesmatricialesdegru-pos, es decir, en homomorsmos con grupos de operadores lineales denidos sobreespaciosdedimensionnita.En un espacio eucldeo de dimension n, E, generado por la base e1, e2, . . . , en,losvectorestienendesarrollosdelaforma(10.1) x =nk=1xk ek , y=nk=1yk ek ,yelproductoescalar(hermticoypositivodenido)puedeescribirsecomo(10.2) (x, y) =nk,l=1xk (ek, el) yl=nk,l=1xk gklyl,dondegkl= (ek, el) = glk.Enesascondiciones,lametricadelespaciog=(gkl)deneunaformacua-dratica, hermticaypositivadenida,sobre Cn,(10.3) xg y= (x, y) =

yg x

,dondex, y CntienenporcomponentesaloscoecientesdeFourieren(10.1).Teoradegrupos 23Como la metrica es una matriz autoadjunta, g= g, ella puede ser diagonalizadaparallevarlaalaformadiag(1, 2, . . . , n),conlosk> 0.Uncambioadecuadoenlasescalasdelosvectoresdelabasepermitereducirlaalamatrizidentidad,g= 1n(loquecorrespondeaadoptarunabaseortonormalparaE).En el caso de espacios eucldeos reales, la metrica gdene una formabilineal,simetricaypositivadenidasobre Rn,(10.4) xtg y= (x, y) = ytg x,dondex, y Rn,ygt= g.Ahora bien, en la Fsica tambien tienen aplicacion espacios lineales mas generalesque los espacios eucldeos. Por ejemplo, el espacio de Minkowsky M4, que es un es-pacio real con metrica simetrica pero no positiva denida, g= diag(+1, 1, 1, 1).UnespacioEconunproductointeriorhermticoquenoespositivodenidoesllamadopseudo-eucldeo.TambienenestecasopuedeelegirseunabaseparaEformada por vectores unitarios ortogonales, e1, e2, . . . , en con (ek, el) = 0, parak = l.Perocomolanormanoespositivadenidasetieneque(10.5) (ek, el) = (el, ek)= gkl=

+kl, 1 k p ,kl, p + 1 k p + q= n,donde el par de enteros 'p, q`, cuya suma es la dimension de E, es la signatura delespacio.Estasignaturaesunapropiedaddelespacio,ynodependedelaelecciondeunsistemaortonormalenE.Lametricadelos espacios pseudo-eucldeos, dadapor lamatrizautoadjuntag=(gkl)=g=g1, deneunaformahermticasobre Cn, quenoespositivadenida:(10.6) xg y= (x, y) =

yg x

.Enestosespaciosexistenvectoresnonulosquetienennormanula.Enespaciospseudo-eucldeosrealesdedimensionn, lametricag=gtesunamatrizrealysimetricaquedeneunaformacuadraticabilineal simetrica,nopositivadenida,sobre Rn,(10.7) xtg y= (x, y) = ytg x.Sienunespaciolineal(realocomplejo)setieneunproductointeriorbilinealyantisimetrico,(10.8) (a x, b y) = a b (x, y) , (x, y) = (y, x) ,24 H. Falomirseestaenpresenciadeunespaciosimplectico.Sepuedemostrar(vermasadelante)queestosespaciostienendimensionpar,yqueenellossiemprepuedeseleccionarseunsistemacompletodevectoresuni-tariosdelaforma e1, e2, . . . , en, f1, f2,. . . , fn,losquesatisfacen(10.9)(ek, el) = 0 = (fk, fl) ,(ek, fl) = kl= (fl, ek) ,parak, l = 1, 2, . . . , n.Desarrollandolosvectoresrespectodeesabasetenemos(10.10) (x, y) = xtg y= ytg x,dondelametrica(10.11) g=

0 1n1n0

= gtdeneunaformabilineal antisimetricasobre Rno Cn,seg unelcaso.Todovectordeunespaciosimplecticotienenormanula,(10.12) xtg x = xtg x = 0 .11. OperadoresisometricosUnoperadorlineal queconservalosproductosinterioresenunespacioclasicoE,(11.1) (Ax, Ay) = (x, y) , x, y E,sediceisometrico.Un operador isometrico es llamado unitario,pseudo-unitarioosimplecticoseg unqueelespacioseaeucldeo,pseudo-eucldeoosimplecticorespectivamente.Deladeniciondeloperadoradjuntotenemosque(11.2)

AAx, y

= (Ax, Ay) = (x, y) , x, y E,dedonderesultaqueA=A1(endimensionnita, el inversoaizquierdaestambienelinversoaderecha).El conjuntodelosoperadoresisometricos(oisometras)sobreunespacioEforma un grupo respecto de la composicion usual de operadores. En efecto, tenemosqueeloperadoridentidadesunaisometra,Teoradegrupos 25cada isometra tiene una inversa dada por suadjunto, que es tambienisometrico:(11.3)

Ax, Ay

=

AAx, AAy

= (x, y) , x, y E,siAyBsonisometricos,entoncesABestambienunaisometra:(11.4)

(AB) x, (AB) y

=

A(Bx), A(By)

== (Bx, By) = (x, y) , x, y E.Referido a una base de E, el operador A esta descrito por una matriz / = (Akl).Silametricaeshermtica,tenemos(11.5)(Ax, Ay) = (Akixi)gkl (Alj yj) == x/g /y= xg y, x, y Cn(o Rn) /g / = g ,Enconsecuencia, lasisometraspreservanlametricadel espacio. Enterminosdelamatrizadjunta,lainversaestadadapor /1= g1/g.Deesarelacionsededuceinmediatamenteque(11.6) det

/g /

= det /det gdet / = det g = 0 [det /[2= 1 ,esdecir,det / = eisielespacioescomplejo,odet / = 1sielespacioesreal.Silametricaesbilinealyantisimetrica,(11.7)(Ax, Ay) = (Akixi) gkl (Alj yj) == xt/tg /y= xtg y, x, y Cn(o Rn) /tg / = g .Tambien en los espacios simplecticos las isometras preservan la metrica. La matrizinversaestadadapor /1= g1/tg.Ademas(11.8) det

/tg /

= (det /)2det g= det g = 0 (det /)2= 1 ,peroenestecasosepuedemostrarquedet / = 1.Enparticular, el operador correspondiente a la matriz =g1gtes unaisometraenlosespaciossimplecticos.Enefecto,(11.9) tg = g

g1

tg g1gt= g .Estamatrizestambienunimodular,(11.10) det = det

g1gt

= (det g)1det g= 1 .26 H. FalomirPerocomolametricaes antisimetrica, =g1gt= g1g = 1dimEdet = (1)dimE.Enconsecuencia,ladimensiondelosespaciossimplecticosesnecesariamentepar.12. PrincipalesgruposdematricesYahemosmencionadoanteriormenteal grupogeneral linealGL(n, Ro C),formado por las matrices (reales o complejas) regulares den n, y a su subgrupoespeciallinealSL(n, Ro C),dematricesunimodulares.De acuerdo a los resultados de la seccion anterior, podemos introducir distintosgruposdeisometras.Enunespacioeucldeocomplejodedimensionnymetricag= 1n,lasmatricesunitarias3,UU= 1nformanelgrupoU(n).SiU U(n) [det U[ = 1.Estegrupocontieneunsubgrupo(invariante)unimodularSU(n),formadoporlasmatricesunitariasdedeterminanteiguala1.En un espacio eucldeo real de dimension n, el conjunto de las matrices ortogo-nalesden n,RtR = 1nconformanelgrupoO(n).SiR O(n) det R = 1.Estegrupocontieneunsubgrupo(invariante)SO(n),formadoporlasmatricesortogonalesdedeterminanteiguala1.Enelcasodeespaciospseudo-eucldeosconmetrica(12.2) g=

1p00 1q

,el grupo de isometras corresponde al de las matrices pseudo-unitarias U(p, q) opseudo-ortogonalesO(p, q),seg unseaelespaciocomplejooreal,(12.3)Ug U= g [det U[ = 1 ,Rtg R = g det R = 1 .Esos grupos contienen subgrupos unimodulares invariantes, denotados por SU(p, q)ySO(p, q)respectivamente.3La aplicacion exponencial de una matrizMse dene por la serie(12.1) eM=n=0Mnn!,que converge en el sentido de la norma de los operadores.SiA =Aes una matriz autoadjunta, entonceseiAes unitaria. En efecto, eiA

=eiA=

eiA

1.Similarmente,si K= Ktesantisimetrica,entonceseKesunamatrizortogonal: eK

t=eK=

eK

1.Teoradegrupos 27Finalmente,enunespaciosimplecticodedimension2nconmetrica(12.4) g=

0 1n1n0

,el grupo de isometras corresponde al grupo de matrices simplecticas Sp(2n, R o C),Mtg M= g,lasque(comosedijo)tienendeterminantedet M= 1.Bibliografa:H. Bacry, LeconssurlaTheoriedesGroupeset lesSymmetriesdesPar-ticulesElementaires.M. Hammermesh, Group Theory and its Applications to Physical Problems.28 H. FalomirNOTASSOBREREPRESENTACIONESMATRICIALESENMECANICACUANTICA13. ElcasodeunapartculaenunpotencialparConsideremosunapartcula cuantica quesedesplazaenunalnea rectabajolainuenciadeunpotencialpar,V (x) = V (x).EloperadorHamiltonianodeesesistemaes(13.1) H= 22md2dx2+ V (x),denido sobre el subespacio denso T(H) de las funciones (x) L2(R) que tienenunaderivadasegundalocalmentesumableytalesqueH(x) L2(R).Consideremosunvectordeestado(x) T(H),entonces(13.2) H(x) = (x) L2(R).Supongamos ahoraque preparamos al sistemaconlaorientaci oncontraria, demodoque suestadoeste descritopor el vector (x). Dadoque el potencialespar, podemosreferir el operador Hal sistemadecoordenadasinvertido: seay= x,entonces(13.3) Hx= 2md2d(x)2+ V (x) = Hy,dedonderesultaque(13.4) Hx(x) = Hy(y) = (y) = (x).Podemosintroducirunoperadorlineal {denidosobretodoL2(R),quetrans-formalosvectoresseg un(13.5) {(x) = (x).Noteseque {: T(H) T(H).Laecuacion(13.5)puedeserinterpretadacomo(13.6) H{(x) = {(x) = {H(x).Esdecir, (x) T(H),densoenL2(R),es(13.7) ({H H{) (x) = 0 [{, H] = O.Teniendo en cuenta que {2(x) = {(x) = (x), vemos que {2= I, es decir,{1= {.Tambiensevefacilmenteque {= {.RepresentacionesmatricialesenMecanicaCuantica 29Enconsecuencia,tenemosungrupodeoperadoresdenidossobretodoL2(R),(13.8) G = I, { Z2,los que conmutan con Hen el dominio denso T(H). Esto corresponde a un grupodesimetras del sistema, puesto que las probabilidades de transicion no cambianporlaaplicaciondeesastransformaciones4:(13.11)

{1, exp(i

Ht){2

=

1, { exp(i

Ht){2

==

1, exp(i

Ht)2

.ConsideremosahoraunautovectordeH(quesupondremosnodegenerado),(13.12) HE(x) = EE(x).Como el correspondiente subespacio caracterstico es unidimensional, todo otro au-tovector correspondiente al mismo autovalor debe ser proporcional a E. Ademas,como {conmutaconH, {dejainvarianteesesubespaciocaractersticodeH,demodoque(13.13) H{E= {HE= E {E.Enconsecuencia, {E(x) =(x) =c(x), donde c es una constante cuyocuadradoesc2= 1.Dependedelautovectorconsideradoquec = +1oc = 1,loque corresponde al hecho bien conocido de que las autofunciones de Hamiltonianosparessondeparidaddenida.Pero desde el punto de vista de la teora de grupos, se puede decir que la acciondel operador {en el subespacio caracterstico considerado esta representada porlamultiplicacionpor+1opor 1. Masprecisamente, paraaquellossubespaciosparalos cuales c =1quedaestablecidounhomomorsmoentreGyel grupotrivial Z1, mientras que para aquellos en los cualesc = 1 se esta en presencia deunarepresentaci oneldelgrupoG Z2.4El operadordeevolucionU(t) = exp(i

Ht) es la solucion de la ecuacion diferencial(13.9) tU(t) =

HU(t) , conU(0) = I .Si [{, H] = O entonces [{, U(t)] = O. En efecto,(13.10) t

{U(t){

= {

HU(t)

{ =

H

{U(t){

;y como {U(0){ = {2= I, resulta que {U(t){ = U(t).30 H. Falomir14. ElcasodeunapartculaenunpotencialcentralConsideremosahoraunapartculacuanticaen R3sometidaalainuenciadeunpotencialcentral,V= V ([x[).EloperadorHamiltonianoparaesteproblemaes(14.1) H= 22mx + V ([x[),donde xes el Laplaciano en R3. Su dominio de denicion T(H) es el subespaciode las funciones (x) L2(R3) tales que x(x) es localmente sumable y H(x) L2(R3).Consideremosvectordeestado(x) T(H),entonces(14.2) H(x) = (x) L2(R3) .Supongamosahoraquepreparamosel sistemaconunaorientaci ondistintaenelespacio,demodoquesuestadoesterepresentadoporelmismovector(y)perorespectode unsistemade coordenadas rotadorespectodel inicial. Larelacionentre las coordenadas de un mismo punto del espacio en el sistema de coordenadasinicial,x R3,yenelsistemarotado,y R3,eslineal:x = Ry,dondeResunamatrizrealde3 3.Encomponentes,(14.3) xk= Rklyl.Unarotaciondel sistemade coordenadas preservalas distanciaentre el puntoconsideradoyelorigen,demodoqueResunamatrizortogonal:(14.4) (x, x) = (Ry, Ry) = (y, RtRy) = (y, y), y R3,loqueimplicaqueRtR= 13.ComoResunafuncioncontinuadelosangulosdeEuler,det R = +1.Enconsecuencia,R SO(3),conRt= R1.Lafunciondeondaquedescribealsistemafsicorotado,referidaalsistemadecoordenadasinicial,es(suponiendoquesetransformacomounescalar)(14.5)(x) = (y) = (R1x).Podemos ahora referir el Hamiltoniano al sistema de referencia rotado, teniendoencuentaqueel potencial escentral. Enefecto, paray=R1xtenemosporunladoV ([x[) = V ([y[),mientrasquexk=ylxkyl=

Rt

lkyl= Rklyl(14.6)x=xkxk=ylRklRkmym=ylkmym= y.RepresentacionesmatricialesenMecanicaCuantica 31Entonces,(14.7) Hx(R1x) = Hy(y) = (y) = (R1x).En este caso tambien podemos introducir operadores denidos sobre L2(R3) que,paracadaR SO(3),transformenlosvectoresdeestadoseg un(14.8) 1(R)(x) = (R1x).Noteseque 1(R) : T(H) T(H).Enesas condiciones, (x) T(H) densoenL2(R3), podemos reescribir laeq.(14.7)como(14.9) H1(R)(x) = 1(R)(x) = 1(R)H(x).Enconsecuencia,(14.10) 1(R) H H 1(R) = [1(R), H] = O, R SO(3).Losoperadores 1(R)tienenlassiguientespropiedades: 1(R)eslineal:(14.11)1(R) ( + ) (x) = (R1x) + (R1x) == 1(R)(x) + 1(R)(x).32 H. Falomir 1(R)esunitario5:(1(R), 1(R)) =

(R1x)(R1x) d3x ==

(y)(y) (det R1)d3y = (14.12)= (, ), , L2(R3), y R SO(3). El conjunto de los operadores 1(R) con R L2(R3), respecto de la composiciondeoperadores, seestructuracomoungrupoisomorfoaSO(3): seaR1R2=R3,entonces, (x) L2(R3)(14.13)1(R1)1(R2)(x) = 1(R1) (1(R2)(x)) == 1(R1)(R12x) = (R12R11x) == ((R1R2)1x) = (R13x) = 1(R3)(x),1(R1)1(R2) = 1(R1R2), R1, R2 SO(3).Por lotanto, el grupode operadores es homomorfoaSO(3) (constituyenunarepresentacionlinealdeSO(3)).Perolarelacionentreambosgruposesunoauno. Enefecto, si 1(R1)= 1(R2)entonces, paratodo(x) L2(R3)setieneque(14.14) 1(R1)(x) = (R11x) = (R12x) = 1(R2)(x),5En particular, 1(R) preserva las normas,| 1(R) |2= (1(R), 1(R)) = (, ) =| |2.Su rango es todo el espacio de Hilbert, pues (x) L2(R3)(x) = (RR1x) = 1(R)(x), con(x) = (R x) L2(R3).Tambien es inyectivo, ya que1(R)(x) = 1(R)(x) 1(R) ((x) (x)) = 0 ((x) (x)) = 0.Entonces, siendo 1(R) una biyeccion de L2(R3) en L2(R3), tiene inversa. Ademas, por ser aco-tado, su adjunto esta denido en todo L2(R3), y coincide con su inversa:(1(R), 1(R)) = (, 1(R)1(R)) = (, ) , (x), (x) L2(R3)11(R) = 1(R).RepresentacionesmatricialesenMecanicaCuantica 33y eso es posible solo si R1= R2. En consecuencia, el grupo de operadores as obtenido,que act ua sobre un espacio de funciones escalares a valores en L2(R3), es isomorfoalgrupoderotacionesenelespacio,SO(3).Dadoquelos operadores 1(R) sonunitarios yconmutanconel Hamiltonia-noH, setratadeungrupodesimetrasdel sistemacuantico. Enefecto, lastransformaciones queproducenpreservanlas probabilidades detransicionentreestados,(1(R), exp(i

Ht)1(R)) = (, 1(R) exp(i

Ht)1(R)) =(, 1(R1) exp(i

Ht)1(R)) = (, exp(i

Ht)). (14.15)Consideremos ahora el subespacio caracterstico correspondiente al autovalor EdeH. Engeneral, seradegeneradocondegeneracionnitan. Entoncespodemosseleccionarunconjuntodenautovectoreslinealmenteindependientescorrespon-dientesalautovalorE,quegeneranesesubespacio:(14.16) HkE(x) = EkE(x), conk = 1, 2, ..., n.Todoautovector deesesubespaciocaractersticodeHsepuedeexpresar co-mounacombinacionlineal de los kE(x). Por otraparte, los operadores 1(R)dejaninvarianteaesesubespacio,puestoqueconmutanconelHamiltoniano.Enconsecuencia,paracadaR SO(3)yparacadak = 1, ..., n,(14.17) 1(R)kE(x) =nl=1lE(x)Dlk(R),conciertoscoecientesDlk(R)quedependendelarotacionconsideradaR.Por aplicacion sucesiva de las transformaciones enL2(R3) asociadas a dos rota-ciones,R1, R2 SO(3),obtenemos1(R1)1(R2)kE(x) =nl=11(R1)lE(x)Dlk(R2) =nl=1nm=1mE(x)Dml(R1)Dlk(R2). (14.18)Perotambienes(14.19) 1(R1)1(R2)kE(x) = 1(R1R2)kE(x) =nm=1mE(x)Dmk(R1R2).34 H. FalomirYcomolosmE(x)sonlinealmenteindependientes,resulta(14.20)nl=1Dml(R1)Dlk(R2) = Dmk(R1R2),obien, deniendomatrices D(R) de dimensionn ncuyos elementos sonloscoecientesDlk(R),(14.21) D(R1)D(R2) = D(R1R2).Enconsecuencia, el conjuntodematricesD(R)conformanungrupohomomorfoaSO(3). Esdecir, constituyenunarepresentaci onmatricialdeSO(3), cuyasmatrices describen la accion de los operadores 1(R) en el subespacio caractersticocorrespondientealautovalorE.Lasanterioresconsideracionesimponen(enelcasogeneral)restriccionessobrelos subespacios de degeneracion de los autovalores del Hamiltoniano, pues estable-cenquedebenser espacios derepresentaciondelos grupos desimetradelsistemafsicoconsiderado(esdecir,espaciosenlosqueseaposibleconstruirunarepresentacionmatricialdeesosgrupos).Enefecto, noes a-priori evidentequedadoungrupopuedaconstruirseunarepresentacionmatricial deunadimensionarbitraria(masadelanteveremosquela dimension de las representaciones matriciales irreducibles del grupo SO(3) esimpar,n = 2j + 1,conj N).Enesesentido, el conocimientodelas representaciones matriciales del grupodesimetrasdeunHamiltonianopermiteprever, enalgunamedida, el gradodedegeneracionde sus autovalores (es esperable que enel espectrode Hse dendiversasrepresentacionesmatricialesdeesosgrupos).Volviendo al ejemplo anterior, se nalemos que la eleccion de una base en el subes-pacio caracterstico correspondiente al autovalor E de H es arbitraria. SupongamosqueadoptamosunnuevosistemacompletodenautofuncionesdeH,(14.22) HkE(x) = EkE(x), conk = 1, 2, ..., n.relacionadasconlasanteriorespor(14.23) kE(x) =nl=1lE(x)Alk,dondelamatrizA = (Alk)esregular.Entonces,larelacioninversaes(14.24) kE(x) =nl=1lE(x)A1lk.RepresentacionesmatricialesenMecanicaCuantica 35Laacciondelosoperadores 1(R)sobrelosvectoresdelanuevabasees1(R)kE(x) =nl=11(R)lE(x)A1lk=nl=1nm=1mE(x)Dml(R)A1lk==np=1pE(x)nm=1nl=1ApmDml(R)A1lk. (14.25)PerodeniendomatricesD

comosehizoantes,tambientenemos(14.26) 1(R)kE(x) =np=1pE(x)D

pk(R),demodoquelasmatricesdelanuevarepresentacionmatricialseobtienendelasanterioresporunatransformaciondesimilitud:(14.27) D

(R) = AD(R)A1, R SO(3),donde A no depende de R. Notese que ambas representaciones describen la mismatransformaciondevectoresenel subespaciocaractersticodel autovalorE,peroreferidasadosbasesdistintas.Dosrepresentacionesmatricialesquepuedenobtenerseunadelaotraporunatransformaciondesimilitudsedicenequivalentes.Tambien es posible elegir un sistema ortonormal como base del subespacio con-siderado.Enesecaso,(14.28) (kE(x), lE(x)) = kl.Ycomolosoperadoresdelarepresentaci onlinealdeSO(3)antesconstruidasonunitarios,kl= (1(R)kE(x), 1(R)lE(x)) == (np=1pE(x)Dpk(R),nq=1qE(x)Dql(R)) ==np=1nq=1Dpk(R)(pE(x), qE(x))Dql(R) ==np=1nq=1Dpk(R)pqDql(R) =np=1Dpk(R)Dpl(R), (14.29)esdecir,lasmatricesD(R)sonunitarias,(14.30) D(R)D(R) = 1n, R SO(3).36 H. FalomirEnconsecuencia, referidaaunabaseortonormal, larepresentaci onobtenidaesunitaria.Se nalemos nalmenteque, como[1(R), H] =O, aquellos observables queseexpresencomofunciondelosoperadores 1(R) unicamentesonconstantes demovimiento, de modo que cada grupo de simetras tiene asociado uncierton umerodemagnitudesconservadas.EnelsubespaciocaractersticocorrespondientealautovalorE,queesinvarian-tefrenteal grupodetransformaciones, esosobservablesseexpresanenterminosdelasmatricesD(R) unicamente. Deesemodo, deellasdependeunciertocon-juntoden umeroscuanticosadicionalesquepermitendistinguirentrelosdiversosautovectoresdeHcorrespondientesalautovalorE.15. GruposdesimetrasDesdeunpuntodevistamasgeneral,diremosqueunaoperacionqueserealizasobre un sistema fsico (que no necesariamente involucra un cambio de coordendas)es una operaciondesimetra si ella no afecta el resultado de las mediciones queseefect uensobreel sistema. Cuandoestas operaciones seestructurencomoungrupohablaremosdegrupodesimetras.EnMecanicaCuantica, acadaestadodeunsistemafsicolecorrespondeunvectordenorma1enunespaciodeHilbert, H,denidoamenosdeunafasearbitraria.Frenteaunaoperaciondesimetrasobreelsistemafsicoelvectordeestadocambiaseg un

H. Podemos pensar queesatransformacionesefectuadaporlaaplicaciondeunoperador |denidosobre H, queestablecelacorrespondencia

= | .Ahorabien,sisetratadeunasimetra,esatransformacionnoafectalasproba-bilidadesdetransicionentreestados,demodoque |debepreservarlosmodulosdelosproductosescalares,(15.1) [(

,

)[ = [(| , | )[ = [(, )[ , , H.Esaigualdadsesatisfacetrivialmentesi |esunoperadorlineal yunitario,encuyocaso(15.2) (| , | ) = (, ) .Peronoesesala unicaposibilidad. ExisteunteoremadebidoaWignerquees-tablece que siempre es posible elegir las fases (arbitrarias) de los vectores de estadonormalizadosdemodotalquesedeunodelossiguientescasos,RepresentacionesmatricialesenMecanicaCuantica 37|eslinealyunitario:| (a +b ) = a | + b | ,(| , | ) = (, ) . (15.3)|esantilinealyunitario(antiunitario)6:| (a +b ) = a| + b| ,(| , | ) = (, ). (15.4)No obstante, solo el caso de transformaciones que involucran la inversion tempo-ralestanrealizadasenterminosdeoperadoresantiunitarios.Dejandodeladoesecasomuyparticular, solotendremosqueconsiderarrepresentacioneslinealesdegrupos,esdecir,transformacionesdelsistemafsicorealizadasenelespaciodeHilbertenterminosdeoperadoreslinealesyunitarios.Consideremos doselementos deungrupoG,g1 g2= g3 G.Cadaunodeesoselementostendraasociadounoperadorlineal |(g)sobre H, demodoqueporlaaplicacionsucesivadedostransformacionesalvectordeestado Hobtenemos(15.5) |(g1)|(g2)= |(g1)

|(g2)

= ,mientrasqueaplicandoel operador asociadoag3(quecorrespondealamismaoperacionfsicasobreelsistema)(15.6) |(g1 g2)=

.Los vectores y

representan el mismo estado del sistema fsico, por lo que solopuedendiferirenunafase.Comoesunvectorarbitrariode H,seconcluyequeesafaseesindependientede,ysolopuededependerdeloselementog1yg2,(15.7) |(g1 g2) = exp

i(g1, g2)

|(g1) |(g2).En consecuencia, a cada operacion fsica sobre el sistema puede corresponder unconjuntodeoperadoresquedierenentres enunafase. Si esosfactoresdefaseadicionales no pueden ajustarse todos ellos a 1 eligiendo convenientemente las fases6El adjunto de un operador antilineal debe ser denido como

|,

= (, | ),de manera consistente con la antilinealidad de |,

|, a

= a

|,

= a (, | ) = (, a| ) = (, | a ).38 H. Falomirdelosoperadores |(g), sedicequeseestaenpresenciadeunarepresentacionproyectivadelgrupodetransformaciones.Enlas representaciones proyectivas existeunhomomorsmodeungrupodeoperadoresGsobreelgrupoGdetransformacionesconsideradas, : G G.Enparticular,hayunconjuntodeoperadores 1=I, exp

i(g, g1)

I, ...quesolodierendelaidentidadenunafase,yquesonaplicadosporefectodelhomomor-smoenel elementoidentidadedeG. Esteconjuntoconstituyeel n ucleodelhomomorsmo,1(e),que,comotal,esunsubgrupoinvariante.Deladeniciondegrupocociente,yasabemosqueGesisomorfoaG/1.Enesascondiciones,elestudiodelasrepresentacionesproyectivasdeungrupoG se reduce al estudio de las representaciones ordinarias de un grupo mas amplio,G,llamadogrupodecubrimientodeG,alcualGeshomomorfo.Del conjuntodelas representaciones del grupodecubrimientoG, sonrepre-sentacionesordinariasdel grupoGaquellasqueaplicanel n ucleo 1enlamatrizidentidaddelarepresentacion.Bibliografa:E.Wigner,GroupTheory.H. Bacry, LeconssurlaTheoriedesGroupeset lesSymmetriesdesPar-ticulesElementaires.Representacionesmatriciales-Caracteres 39NOTASSOBREREPRESENTACIONESMATRICIALESDEGRUPOSDEORDENFINITO16. Representacionesequivalentes-CaracteresConsideremos dos copias del espacio Cn, E y E

, y sea A una matriz regular (dedimensionnn)querepresenteunaaplicacionconinversaentreesosespacios,A:E E

.Dadaunarepresentaci onmatricialdeungrupoGestablecidasobreelespacioE,(16.1) D : G D(G) = D(g) : E E, g G(donde Des un homomorsmo de G en un grupo de matrices de n n, D(G)), esposibleconstruirunarepresentaci onmatricialdeGsobreE

demodoque(16.2) D

(G) :=D

(g) = AD(g)A1: E

E

, g G.Enefecto, g1, g2 Gtenemos(16.3)D

(g1)D

(g2) = AD(g1)A1AD(g2)A1== AD(g1 g2)A1= D

(g1 g2) .Denicion16.1. Dosrepresentacionesdelamismadimensioncuyasmatricesserelacionanporunatransformaciondesimilitud,(16.4) D

(g) = AD(g)A1, g G, conAjo ,sedicenequivalentes.Esto constituye una relacion de equivalencia que permite agrupar las representa-ciones matriciales de un grupo G en clasesderepresentacionesequivalentes.Denicion16.2. Sellamacaracterdel elementog Genlarepresentaci onD(G)alatrazadelamatrizquelorepresenta,(16.5) (g) := trD(g) , conD(g) D(G) .Estaes unapropiedaddel elementog Gencadaclasederepresentacionesequivalentes.Enefecto,loscaracteresdeunmismoelementog Gendosrepre-sentacionesequivalentecoinciden,(16.6)

(g) = trD

(g) = trAD(g)A1 = trD(g) = (g) ,40 H. Falomirdadalainvarianzadelatrazafrenteapermutacionescclicasdelasmatricesensuargumento.Enparticular,elcaracterdelneutroesladimensiondelarepresentaci on(16.7) (e) = trD(e) = tr1dimE = dimE.Por otra parte, a elementos conjugados de Gles corresponde el mismo caracter encada clase de representaciones equivalentes de ese grupo. En efecto, si g

= aga1,(16.8)(g

) = trD(aga1) = trD(a)D(g)D(a1) == trD(g) = (g) .Enconsecuencia, el n umerodecaracteresdiferentesnopuedesuperaral n umerode clases de elementos conjugados en el grupo (que es nito si el grupo es de ordennito).Por lo tanto, cada clase de representaciones equivalentes de un grupo G esta car-acterizadaporunconjuntodecaracteres,unoporcadaclasedeelementosconju-gadosenG.17. RepresentacionesirreduciblesDenicion17.1. Dada una representacion D(G) de un grupo G sobre un espacioE, un subespacio F E se dice invariante frente la accion del grupo si, x F,y g G,esD(g) x F.Toda representaci on deja invariantes a los dos subespaciosimpropios, F = EyF = 0.Denicion17.2. Unarepresentaci onD(G)sedicereduciblesidejainvarianteaalg unsubespaciopropiodeE.Encasocontrario,D(G)sediceirreducible.Deesadenicionresultaquelarepresentaci onD(G)esreduciblesi esposibleelegir una base en el espacio de la representacion E de manera tal que las matricesdelarepresentacionpresentenunaestructuraenbloquesdelaforma(17.1) D(g) =

D(1)(g) B(g)O D(2)(g)

, g G,donde(Oesunamatriznulay)losconjuntosdematrices D(1,2)(g) , g GconstituyenrepresentacionesmatricialesdeGdedimensionmenorquedimE.EnRepresentacionesmatriciales-Caracteres 41efecto,(17.2)D(g1)D(g2) =

D(1)(g1)D(1)(g2) D(1)(g1)B(g2) + B(g1)D(2)(g2)O D(2)(g1)D(2)(g2)

= D(g1 g2) =

D(1)(g1 g2) B(g1 g2)O D(2)(g1 g2)

.Denicion 17.3.Una representacion reducible se dice completamente reduciblesi todosubespacioinvariantedeD(G)tieneporcomplementoortogonal enEaotrosubespacioinvariante.Enestecaso,lasmatricesdelarepresentaci onpuedenserllevadasalaforma(17.3) D(g) =

D(1)(g) OO D(2)(g)

, g G.Masgeneralmente, unarepresentaci oncompletamentereduciblepuedeserlle-vadaalaformadiagonal enbloques(17.4) D(g) =

D(1)(g) O O . . . O OO D(2)(g) O . . . O O...............O O O . . . O D()(g)

, g G,donde los conjuntos de matrices D()(g) , g G, para = 1, 2, . . . , , son repre-sentacionesirreduciblesdeG.Enesesentido, sepuededecirquelarepresentacioncompletamentereducibleD(G)eslasumadirectaderepresentacionesirreducibles(17.5) D(G) =

=1D()(G) .Si entre las representaciones irreducibles que aparecenenel miembro de laderechade(17.5)lashayequivalentesentres enn umeroa1, a2, . . . , a, entoncesunatransformacionde similitud(uncambioapropiadode labase de E) hacequeaparezcanenel miembrodeladerechade(17.4) abloquesidenticos, con = 1, . . . , .Enesascondiciones,podemosescribir(17.6) D(G) =

=1aD()(G) ,dondelosasonenterospositivos.42 H. FalomirEjemplo: El grupode rotaciones enel plano, SO(2) tiene lasiguiente repre-sentacionel(17.7) D() =

cos sin 0sin cos 00 0 1

, [0, 2).Evidentemente,esarepresentaci onescompletamentereducible.En un espacio complejo, resulta inmediato mostrar que todas esa matricespuedensersimultaneamentellevadasalaformadiagonal(17.8) D

() = AD()A1= diag

ei, ei, 1

medianteunamatrizAquenodependede. Enconsecuencia, Dpuedeexpre-sarsecomosumadirectadetresrepresentaciones(irreducibles)unidimensionalesnoequivalentes.Lema17.4.Sean D(G) y D

(G) dos representaciones irreducibles no equivalentesdel grupo G, denidas sobre los espacios de representacion E y E

respectivamente.Entonces,unoperadorA : E

Equesatisface(17.9) D(g)A = AD

(g) , g G,esnecesariamenteel operadornulo,A = O.Demostracion: Primerose nalemos queel rangodeA, F=Rank(A) E, esunsubespacioinvariantefrentealaacciondelarepresentaci onD(G).Enefecto, x Fexisteunx

E

talquex = Ax

,demodoque(17.10) D(g) x = D(g)Ax

= AD

(g) x

F, g G,dadoqueD

(g) x

E

.Ycomo,porhipotesis,D(G)esirreducible,FesunsubespacioimpropiodeE.Enparticular,siF = 0 A = O.Supongamos entonces que F = E, y llamemos F

al n ucleo de A, F

= Ker(A) E

.Paratodovectorx

F

y g Gtenemos(17.11) AD

(g) x

= D(g)Ax

= 0 D

(g) x

F

,loqueimplicaqueF

esunsubespacioinvariantefrentealaacciondeD

(G). Ycomo,porhipotesis,D

(G)esirreducible,entoncesF

esunsubespacioimpropiodeE

.Enparticular,siF

= E

A = O.Representacionesmatriciales-Caracteres 43Supongamos entonces que F

= 0

. En esas condiciones, tenemos que Rank(A) =EyKer(A) = 0

,esdecir,Aesunaaplicacionbiunvocaque,enconsecuencia,tieneinversa.Peroenesecasopodemosescribirque(17.12) D(g) = AD

(g)A1, g G,encontradiccionconlahipotesisdequeD(G)yD

(G)sonrepresentacionesnoequivalentesdeG.Porlotanto,comoAnopuedeserinvertible,debeserA = O. Lema17.5. SupongamosahoraqueD(G)seaunarepresentacionmatricial irre-ducibledel grupoG, denidasobreel espacioderepresentacionEdedimensionn,ysupongamosqueel operador(matrizden n)A : E Esatisface(17.13) D(g)A = AD(g) , g G.Enesascondiciones,siA = O,entoncesAesunm ultiplodelamatrizidentidad,A = 1n.Demostracion:SeaF =Rank(A).DeigualmodoqueenelLemaanterior,FesunsubespacioinvariantefrentealaacciondeD(G).Comoesarepresentacionesirreducible, F es un subespacio impropio de E. En particular, si F = 0 A = O.SupongamosentoncesqueF = E,yseaF

=Ker(A).F

estambienunsubes-pacioinvariantefrenteaD(G)y, porlotanto, tambienimpropio. Enparticular,siF

= E A = O.Porlotanto,A = OrequierequeRank(A) =EyKer(A) = 0,esdecir,queAseainvertible.Ahorabien, consideremosel polinomiocaractersticodelamatrizA, P() =det(A1n). Sea 0 uno de sus ceros, y denamos una nueva matriz A

= A01n.Resultainmediatomostrarque(17.14) D(g)A

= A

D(g) , g G,loqueimplicaque,obienA

esinvertible,oA

= O.Perocomo, porconstruccion, A

noesunamatrizregular, entoncesnecesaria-menteA

= O A = 01n. Los resultados establecidos en los Lemas 17.4 y 17.5 constituyen lo que se conocecomoTeoremadeSchur.Unaconsecuenciainmediataeselsiguientecorolario.Corolario 17.6.Las representaciones irreducibles de un grupo Abeliano son todasunidimensionales.44 H. FalomirEnefecto,siGesAbelianotenemosque(17.15) D(g)D(g

) = D(g

)D(g) , g, g

G.Entonces, D(g) =(g) 1dimE, gG. Ysi la representaci ones irreducible,dimE = 1.18. RepresentacionesunitariasDenicion18.1. UnarepresentacionlinealD(G)sediceunitariasilasmatricesdelarepresentacionsonunitarias,(18.1) D(g)= D(g)1, g G.Teorema 18.2. Todarepresentacionmatricial de ungrupode ordennitoesequivalenteaunarepresentacionunitaria.Demostracion:SeaGungrupodeordennito, #G=n, yseaD(G)unarep-resentacionmatricialdeGdedimensionr.Lasmatricesdelarepresentacionsonoperadores queact uansobreelementos del espacioE=Cr, quees unespacioeucldeorespectodelproductoescalarusualder- uplascomplejas,(18.2) (x, y) = xy=

x1. . . xr

y1...yr

, x, y Cr.Losvectores(18.3) e1=

10...0

, e2=

01...0

,. . ., er=

0...01

,formanunabaseortonormal del espacioE

(ek, el) =kl

, demodoquetodovectorx Crpuedeescribirsecomox = xk ek,conxk= (ek, x).Con esos mismos elementos podemos construir un segundo espacio eucldeo, E

,introduciendocomoproductoescalarlaformahermtica(18.4) x, y :=1ngG

D(g) x, D(g) y

.En efecto, resulta inmediato mostrar que con esa denicion se satisfacen todos losaxiomasdelproductoescalar(hacerlocomoejercicio!).Representacionesmatriciales-Caracteres 45El espacio E

puede ser generado por r vectores, e

1, . . . , e

r Cr, ortonormalesenelsentidodequesatisfacen e

k, e

l = kl.SeaAlamatrizregularquetieneporcolumnasalasr- uplas(linealmenteinde-pendientes)e

k,(18.5) A := (e

1, e

2, . . . , e

r).EntoncesAek= e

k,demaneraqueAx = xk Aek= xk e

k.Enesascondiciones,(18.6) Ax, Ay = xkAek, Ael yl= xk klyl= (x, y), x, y Cr.Denamos ahora una representaci on equivalente D

(G) cuyas matrices se obten-gandelasdeD(g)porlatransformaciondesimilitud(18.7) D

(g) := A1D(g)A, g G.Estasmatricessonunitarias.Enefecto, x, y Crtenemos(18.8)xD

(g)D

(g) y=

D

(g) x, D

(g) y

==

A1D(g)Ax, A1D(g)Ay

==D(g)Ax, D(g)Ay==1nhG

D(h)D(g)Ax, D(h)D(g)Ay

==1nhG

D(hg)Ax, D(hg)Ay

==1ng

G

D(g

)Ax, D(g

)Ay

=Ax, Ay==

x, y

= x1r y ,dondehemosusadoquelamultiplicaci onaderechaporg(jo)esunaaplicacionbiunvocadeGenG.Porlotanto(18.9) D

(g)D

(g) = 1r D

(g)= D

(g)1= D

(g1) , g G,ylarepresentacionD

(G)esunitaria. Podremosgeneralizaresteresultadoal casodegruposdeordeninnitoenlamedidaenqueseaposibledenir sobreellosunpromediosimilar al delaec.46 H. Falomir(18.4).MasadelanteveremosqueesoesposibleenelcasodelosgruposdeLiecompactos(verNotassobregruposdeLie).Teorema18.3. TodarepresentacionunitariareducibledeungrupoGescomple-tamentereducible.Demostracion: Sea D(G) una representacion unitaria del grupo G, denida sobreel espacioderepresentaci onE. SeaF

Eunsubespacioinvariantefrentealaacciondelgrupo,yllamemosF

asucomplementoortogonalenE.Entonces, x

F

y x

F

, y dado que D(g) x

F

, g G, tenemos que(18.10) 0 =

x

, D(g) x

=

D(g)x

, x

=

D(g1) x

, x

, g1 G.Porlotanto,(18.11) D(g) x

F

, x

F

y g G,demodoqueelsubespacioF

tambienesinvariantefrentealaacciondeG. Corolario18.4. TodarepresentacionunitariareducibledeungrupoGpuedeex-presarsecomosumadirectaderepresentacionesunitariasirreducibles.Estosimplicael problemadehallarlasrepresentacionesmasgeneralesdeungrupodeordennito(ytambien,comoveremos,delosgruposdeLiecompactos,que son de orden innito), pues basta con identicar sus representaciones unitariasirreduciblesytomarsumasdirectasdeestasparaconstruirunrepresentantedecadaclasederepresentacionesequivalentesdelgrupo.19. RelacionesdeortogonalidadparagruposdeordenfinitoConsideremosprimerodosrepresentacionesmatricialesirreduciblesnoequiva-lentesdeungrupoGdeordenniton, quellamaremosD()(G)yD()(G), dedimensionryrrespectivamente.SeaAlamatrizdedimensionrrdenidapor(19.1) A :=gGD()(g)BD()(g1) ,dondeBesciertamatrizderrqueespecicaremosmastarde.LamatrizAsatisfacelarelacion(19.2)D()(h)A =gGD()(h)D()(g)BD()(g1) ==gGD()(hg)BD()

(hg)1)D()(h) = AD()(h) ,Representacionesmatriciales-Caracteres 47 h G.Entonces,porelTeoremadeSchur(verLema17.4),resultaqueA = O,cualquieraquesealamatrizB.La matriz Bes un elemento de un espacio lineal de dimension rr, que puedesergeneradoporlabasedematricesBklcuyoselementosdematrizestandadospor(19.3)

Bkl

ij= ik jl, 1 i, k r, 1 j, l r .En esas condiciones, vemos que las matrices de las representaciones consideradassatisfacenlasrelaciones(independientes)(19.4)gGD()ik(g)D()lj(g1) = 0 ,paratodoi, k = 1, . . . , ryparatodoj, l = 1, . . . , r.Consideremos ahora el caso en que D()(G) = D()(G). Por el Teorema de Schur(ver Lema 17.5), A debe ser proporcional a la matriz identidad, A = 1r, cualquieraqueseaB.Entonces,siparaB= BklesA = kl1r,con1 k, l r,tenemosque(19.5)gGD()ik(g)D()lj(g1) = klij .Paradeterminarlosvaloresdelasconstantesklpodemostomarj =i enlaanteriorigualdad,ysumarsobrei = 1, . . . , r,paraobtener(19.6)gG

D()(g1)D()(g)

lk=gGlk= nlk= klr kl=nrlk .Porlotanto,(19.7)gGD()ik(g)D()lj(g1) =nrlk ij .Podemosescribirdemaneracondensadalasecuaciones(19.4)y(19.7)como(19.8)gGD()ik(g)D()lj(g1) =nrlk ij .Silasrepresentacionesconsideradassonunitariastenemosque(19.9) D()lj(g1) = D()jl(g)demaneraque(19.8)sereducealasrelacionesdeortogonalidad(19.10)gGD()ik(g)D()jl(g)=nrij lk .48 H. FalomirEstas relaciones tienenlasiguienteinterpretaci on: si denimos vectores dencomponentesidenticadasporloselementosdel grupo, arazondeunvectorporcada elemento de matriz de cada representaci on de un conjunto de representacionesunitariasirreduciblesnoequivalentes,(19.11) d()ik:=

D()ik(g1)D()ik(g2)...D()ik(gn)

Cn,entonces esos vectores son no nulos y ortogonales entre s (en el sentido del productoescalarusualenelespacioeucldeodelasn- uplascomplejas),(19.12) d()ikd()jl=nrij lk .Comoesos vectores sonlinealmente independientes, sun umeronosuperaladimensiondeeseespacio.Enconsecuencia,soloesposibleseleccionarunn umeronitoderepresentaciones unitarias irreducibles noequivalentes entres, ysusdimensionesdebensatisfacerque(19.13)r2 n = #G.Estodemuestraelsiguienteteorema.Teorema19.1. El n umerodeclasesdeequivalenciaderepresentacionesirredu-cibles deungrupodeordennitoes nito, ylasumadelos cuadrados desusdimensionesnosuperaal ordendel grupo7.Tambienpodemosobtenerunconjuntodecondicionessobreloscaracteresenlasdistintasclasesdeequivalenciaderepresentacionesirreduciblestomandolastrazasdelasmatricesenlaec.(19.10),(19.14)gGD()kk(g)D()ll(g)=gG()(g) ()(g)=nrr.TeniendoencuentaqueloselementosdeGpuedenserorganizadosenclasesdeelementosconjugados,Ki G,coni = 1, 2, . . . , s,yqueloscaracteresenunarepresentacionsonunapropiedaddecadaclase,podemosescribir(19.14)como(19.15)si=1gKi()(g) ()(g)=si=1ni()i()i= n,7Mas adelante mostraremos que estos dos n umeros son iguales.Representacionesmatriciales-Caracteres 49dondenieselordendelai-esimaclase,ni= #Ki,y()ieselcaractercom unatodosloselementosdelaclaseKienlarepresentacionD()(G),()i= ()(g) =trD()(g)cong Ki.En consecuencia, podemos denir los vectoresdecaracteres de cada clase derepresentacionesirreducibles,(19.16) c()=

n1n()1

n2n()2...

nsn()s

Cs, = 1, . . . , ,losque,deacuerdocon(19.15),sonortonormales8,(19.17) c()c()= .Como esos vectores son linealmente independientes, este resultado prueba el sigu-ienteteorema.Teorema19.2. El n umerodeclasesdeequivalenciaderepresentacionesirredu-ciblesdeungrupodeordennitoGnosuperaal n umerodeclasesdeelementosconjugadosenenel grupo9.20. Caracteressimples-TeoremadeBurnsideLos vectores de caracteres de las clases de representaciones irreducibles se dicensimples. Los vectores de caracteres de representaciones reducibles, llamados car-acterescompuestos,puedenexpresarseenterminosdeloscaracteressimples.Enefecto,si(20.1) D(G) =

=1aD()(G) , a Z+,donde es el n umero de clases de equivalencia de representaciones irreducibles delgrupoGyloscoecientesasonenterosnonegativos,entonces(20.2) (g) = trD(g) ==1a()(g) , g G.8En los gruposdeLiecompactos (grupos continuos de orden innito) es posible establecercondiciones de ortogonalidad para los caracteres similares a (19.15) a partir de la introduccionde ciertamedidadeintegracion sobre el grupo.9Mas adelante mostraremos que estos dos n umeros son iguales.50 H. FalomirEnconsecuencia,(20.3) i==1a()i, i = 1, . . . , s , cona Z+,demodoquelos caracteres compuestos puedenexpresarsecomocombinacioneslinealesdeloscaracteressimplesconcoecientesenterosnonegativos.Dado un vector de caracteres compuesto i, es posible determinar los coecientesadelacombinaci onlineal en(20.3)empleandolasrelacionesdeortogonalidaddelaecs.(19.15).Enefecto,(20.4)si=1nini()i==1asi=1nin()i()i==1a = a.El cuadrado de la norma de un vector de caracteres compuesto como en (20.3)resultaserlasumadeloscuadradosdeloscoecientesa:(20.5)si=1ninii==1asi=1nini()i==1a2.Esto permite establecer un criterio dereducibilidad de representaciones basadoensuscaracteres.En efecto, si la representacion es irreducible, entonces la suma en el miembro deladerechade(20.3)tieneun unicoterminoconcoecientea= 1,demodoque(20.6)si=1ninii= 1 .Engeneral,(20.7)si=1ninii= p N.Si p=2(o3), entonceslarepresentaci onconsideradaessumadirectadedos(resp.tres)representacionesirreduciblesnoequivalentesentres.Sip=4existendosposibilidades:larepresentacionessumadirectadecuatrorepsentacionesirreduciblesnoequivalentesentres, p=1 + 1 + 1 + 1, obienessumadirectadedosrepresentacionesirreduciblesequivalentes,p = 22.Mostraremosenloquesiguequeel n umerodeclasesderepresentacionesirre-ducibles deungrupoGdeordennes igual al n umerodeclases deelementosconjugadosenG, =s, yquelasumadeloscuadradosdesusdimensionesesigualalordendelgrupo,s=1r2= n.Representacionesmatriciales-Caracteres 51Paraellorecurriremosal TeoremadeCayley, queestablecequetodogrupodeordennesisomorfoaunsubgruporegulardel grupodepermutacionesSn. Enparticular, lasmatricescorrespondientesaesesubgrupoenlarepresentacionregulardeSn(queesel - verNotassobreteoradegrupos)ofreceunarepre-sentaci on matricial el de dimension n para G, Dreg(G), que tambien llamaremosrepresentaci onregular.Portratarsedepermutacionesregulares(que, salvolaidentidad,nodejanele-mentos invariantes), estas matrices tienen ceros en la diagonal principal, con la solaexcepciondelamatrizidentidad.Porlotanto,loscaracteresenlarepresentaci onregulardeGson(20.8) reg(e) = n, reg(g) = 0 , g = e .La representacion regular de G es reducible (si el grupo es no trivial), dado quelanormadesuvectordecaractereses(20.9)si=1ninregiregi=1n n2= n > 1 .En consecuencia, ella podra descomponerse como una suma directa de representa-cionesirreducibles,(20.10) Dreg(G) =

=1aD()(G) .Aplicadolaec.(20.4)obtenemosloscoecientesdeesadesarrollo,(20.11) a=si=1ninregi()i=1n reg(e) ()(e)=1n nr= r,donderesladimensiondelasrepresentacionesenla-esimaclasederepresen-tacionesirreducibles.Deesemodo, larepresentacionregular deGcontiene(ensudescomposicioncomosumadirecta)unn umeroderepresentantesdela-esimaclasedeequiv-alenciaderepresentaciones irreducibles igual aladimensiondesus espacios derepresentaci on,r.Finalmente,teniendoencuentaque(20.12) n = reg(e) ==1a()(e) ==1ar==1r2,probamoselsiguienteteorema:52 H. FalomirTeorema20.1. (deBurnside)Lasumadelos cuadrados delas dimensiones(del espacioderepresentaciondeunelemento)decadaclasedeequivalenciaderepresentacionesirreduciblesesigual al ordendel grupo,(20.13)=1r2= n = #G.Enefecto, lacotaestablecidaenlaec. (19.13) implicaque noexistenotrasrepresentacionesirreduciblesquelascontenidasenlarepresentaci onregulardelgrupo.Estoimplica, enparticular, que los vectores d()ikdenidos enlaec. (19.11)formanunabaseortogonalde Cn.Entonces,cualquierfunciondenidasobreG,(20.14)

f(g1)f(g2)...f(gn)

Cnpuedeserdesarrolladaenesabase,demodoque(20.15) f(g) ==1ri,k=1Cik D()ik(g) , g G,paraciertasconstantesCik .Consideremos ahora una funciondeclase, es decir, una funcion denida sobreGque tomael mismovalor sobre todos los elementos de unamismaclase deelementosconjugados,(20.16) f(g) = fi, g Ki, coni = 1, 2, . . . , s .Porsimilitudconladeniciondelosvectoresdecaracteres(verec.(19.16)),estafunciondeneunvectorde Cs,(20.17)

n1nf1

n2nf2...

nsnfs

Cs.Unafuncionconesaspropiedadessatisface(20.18) f(g) = f(hgh1) =1nhGf(hgh1) ,Representacionesmatriciales-Caracteres 53ycomof(g)tambienpuedeserdesarrolladacomoen(20.15)podemosescribir(20.19)nf(g) =hG=1ri,k=1Cik D()ik(hgh1) ==hG=1ri,k,j,l=1Cik D()ij(h)D()jl(g)D()lk(h1) ===1ri,k,j,l=1Cik D()jl(g)hGD()ij(h)D()lk(h1) ===1ri,k,j,l=1Cik D()jl(g)nrik jl== n=1

1rrk=1Ckk()(g) , g G,dondehemosusadolasrelacionesdeortogonalidaddelaec.(19.8).Por lotanto, todafunciondeclase(enlaformadadaen(20.17)) puedeserdesarrolladacomounacombinaci onlinealdelosvectoresdecaracteressimplesc()(dadosenlaec.(19.16)),quesonortonormales(verec.(19.17)).Peroestorequierequeloscaracteressimplesgenerentodoelespacio Cs,loqueimplicaquesun umero(unopor cadaclasedeequivalenciaderepresentacionesirreducibles)debecoincidirconel n umerodeclasesdeelementosconjugadosenG.Esdecir,= s.Estopruebaelsiguienteteorema:Teorema20.2. El n umero de clases de equivalencia de representaciones irreduci-blesdeungrupodeordennitoGcoincideconel n umerodeclasesdeelementosconjugadosenG.ComoconsecuenciadelosTeoremas20.1y20.2,podemosconstruirunatabladecaracteres para un grupo G de orden n con s clases de elementos conjugados,(20.20)G K1K2. . . KsD(1)(1)1(1)2. . . (1)sD(2)(2)1(2)2. . . (2)s......... . . ....D(s)(s)1(s)2. . . (s)s54 H. Falomirdondelasentradasdelatablasonlas(clasesdeequivalenciade)representacionesirreduciblesnoequivalentesentres,ylasclasesdeelementosconjugadosrespec-tivamente. Ademas, las dimensiones de las representaciones irreducibles satisfacen(20.21)s=1r2=s=1

()1

2= n.La-esimaladelatablacorrespondealvectordecaracteresc()denidoen(19.16), amenosdeunfactor

ninenlai-esimacomponente, parai=1, . . . , s.Comolosvectoresc()sonortonormales, conellospuedeconstruirseunamatrizunitaria,(20.22) |:=

c(1)c(2). . . c(s)

, con ||= 1s.Peroentoncestambienes | |= 1s,loqueimplicaquelosvectores(20.23) bi:=

nin

(1)i(2)i...(s)i

, 1 = 1, . . . , s ,tambiensonortonormales.Esto signica que las columnas de la tabla de caracteres son ortogonales entres,ydenormanni,(20.24)s=1()i()k=nniik , 1 i, k s .Estasigualdadesconstituyenunconjuntodes(s+1)2condicionessobreloscarac-teres,equivalentesalascondicionesdeortogonalidaddelaec.(19.15).Ejemplos: En un grupo abeliano G de orden n, cada elemento forma una clase por s mismo.Entonces,s = n,ytenemosque(20.25)n=1r2= n,donder 1. Porlotanto, r=1, paratodo=1, . . . , n, yel grupotienenrepresentacionesirreduciblesnoequivalentesunidimensionales.Porotraparte,comon < ,todoelementoa Gesdeordennito,esdecir,ak=e, paraalg unk N. Entonces, lamatriz correspondienteenla-esimarepresentacion irreducible, D()(a) = ()(a), es tal que ()(a)k= 1 D()(a) =()(a) =k1,yloscaracteressontodosracesdelaunidad.Representacionesmatriciales-Caracteres 55Paraelgrupocclicodeordenngeneradopora,isomorfoa Zn,lasrepresenta-cionesirreduciblesnoequivalentesestancaracterizadaspor(20.26) ()(a) = D()(a) = ei2n, = 1, . . . , n.Enparticular, = ncorrespondealarepresentaci ontrivial.YahemosvistoqueelgrupoS3(deorden#S3= 3! = 6)contienetresclasesdeelementosconjugados,(20.27) K1=

, K2=, K3=

,con#K1=1 , #K2=2 , #K3=3 . Entonces, S3tiene tres representacionesirreduciblesnoequivalentes,cuyasdimensionessatisfacen(20.28) r12+ r22+ r32= 6 ,ecuacion que tiene por unica solucion (con 1 r1 r2 r3) a r1= r2= 1, r3= 2.Esdecir, estegrupotienedosrepresentacionesunidimensionales(latrivial ylaalternada) y una representaci on bidimensional irreducibles y no equivalentes entres.Esa informacion es suciente para conocer los elementos de la tabla de caracterescorrespondientes a las dos primeras las y a la primera columna. Los dos elementosrestantes pueden ser calculados facilmente haciendo uso de la ortogonalidad de lascolumnas,paraobtenernalmente10(20.31)S3K1K2K3D(1)1 1 1D(2)1 1 1D(3)2 1 010Dado que las representaciones irreducibles de un grupo de orden nito estan contenidas ensu representacion regular un n umero de veces igual a su dimension, estudiando los subespaciosinvariantes de esta representacion puede determinarse un conjunto representativo de esas clasesde equivalencia.Por esa va se encuentra, por ejemplo, que(20.29) D(3)(e) =

1 00 1

, D(3)(a) =

0 11 1

, D(3)() =

1 01 1

,cuyas trazas son(20.30) (3)1= 2 , (3)2= 1 , (3)3= 0 ,en coincidencia con la tabla en (20.31).56 H. FalomirEjemplo: Consideremos la representacion regulardel grupo de permutaciones S3:(20.32) M(e) =

1 0 00 1 00 0 1

, M(a) =

0 1 00 0 11 0 0

, M() =

1 0 00 0 10 1 0

,etc.Loscorrespondientescaracteresson(20.33) (e) = 1= 3 , (a) = 2= 0 , () = 3= 1 .Enconsecuencia,teniendoencuentaquela-esimarepresentacionirreducibledeS3estacontenidaenestarepresentacionunn umerodevecesadadopor(20.34) 6 a= 1 1()1+ 2 2()2+ 3 3()3,delatabla(20.31)obtenemosdeinmediatoque(20.35) a1= 1 , a2= 0 , a3= 1 .Porejemplo,podemosdiagonalizarlamatrizM(a)seg unA1M(a)A,dondeAeslamatrizformadaporlosautovectoresdelaprimera,(20.36) A =

1i321+i3211+i321i3211 1 1

.Esa transformacion de similitud pone en evidencia ambos subespacios invariantes,identicandosefacilmentelarepresentaci ontrivial ylarepresentaci onbidimen-sionalD(3)cuyasmatricesresultan(20.37)D(3)(e) =

1 00 1

, D(3)(a) =

1i3200 1+i32

,D(3)(b) =

1+i3200 1i32

, D(3)() =

0 1i321+i320

,D(3)() =

0 1+i321i320

, D(3)() =

0 11 0

(vericarqueestarepresentacionesequivalenteasuconjugada). El caso del grupo S3 es particularmente simple, porque las condiciones que hemosdeducido, juntoconalgunainformacionadicional quetenemosacercadel grupo,nospermitedeterminarcompletamentesutabladecaracteres.Representacionesmatriciales-Caracteres 57Pero en el caso de grupos de mayor orden eso no sera posible en general, porquemientrasqueeln umerodeloselementosdelatabladecaracterescrececomos2,eln umerodecondicionesdeortogonalidadsolocrececomos22 .No obstante, en la proxima seccion veremos que existen condiciones adicionalessobre los caracteres simples que son sucientes para determinar completamente sutabladecaracteres.21.AlgebradeungrupodeordenfinitoDenicion21.1. ElalgebradeungrupoGdeordennesunespaciovectorialcomplejodedimensionn, cuyosvectorespuedenser representadoscomosumasformales(21.1)gGag g , conag C,queestaestructuradoconlasoperacionesdesuma(21.2)gGag g +gGbg g:=gG(ag + bg) gyproducto(bilineal,asociativoy,engeneral,noconmutativo11)(21.4)gGag g hGbhh :=g

GhGag bh (g

h) =gG

hGagh1 bhg .ConsideremosenelalgebradeGloselementosdelaforma(21.5) i:=gKig , i = 1, 2, . . . , s .Estoes,losvectoresconcomponentesag=1parag Kiyag=0entodootrocaso.Enparticular,1= e.Estosvectoressoninvariantesporconjugacion,(21.6) hi h1=gKihgh1=g

Kig

= i,11Enefecto, llamandof=gh1, el coecienteenlasumadel miembrodeladerechade(21.4) se escribe como(21.3)hGagh1 bh =fGaf bf1g =fGbgf1 afsi el grupo es no Abeliano.58 H. Falomirdadoquelaconjugacionporunelementojoh GesunaplicacionbiunvocadeKienesamismaclase. Estapropiedadhacequedichoselementosdel algebraconmutenentres,(21.7) i j=gKji g=gKjgg1 i g= ji, i, j= 1, . . . , s .Porsuparte,elproductodedosdetaleselementos,(21.8) ij=gKihKjgh,estambieninvarianteporconjugacion,(21.9) hi jh1= hi h1 hjh1= i j .En consecuencia, los elementos de G en el producto i jdeben aparecer sumadossobreclasesconjugadascompletas, todosellosenunadadaclaseasociadosaunmismocoeciente:(21.10) i j=sk=1cijk k ,dondelos coecientes cijkestandeterminados por laleydecomposicionenG,sonsimetricosenelprimerparde ndices,cjik= cijk,ytomanvaloresenterosnonegativos.Consideremos ahora una representaci on irreducible del grupo G, D(G). Ella nosproveedeunarepresentaci onmatricialparaelalgebradeG,(21.11)gGag g gGag D(g) ,dondelasumayel productoporn umerossonlasoperacionesusualessobrema-trices.Enefecto,paraelproductodedosvectorestenemos(21.12)gGag D(g)hGbhD(h) =gGhGag bhD(gh) ==gGhGagh1 bhD(g) ,encoincidenciacon(21.4).Enparticular,si(21.13) i Di=gKiD(g) ,Representacionesmatriciales-Caracteres 59entoncesde(21.10)obtenemos(21.14) DiDj=sk=1cijk Dk ,dondeloscoecientescijknodependendelarepresentacion.Porotraparte,(21.15) D(g)DiD(g1) =hKiD(g)D(h)D(g1) =h

KiD(h

) = Di,demodoque(21.16) D(g)Di= DiD(g) , g G.Por lo tanto, por el Teorema de Schur, debe ser Di= i1r, si res la dimension delarepresentaci onconsiderada.Paradeterminarlaconstantedeproporcionalidadtomamoslatraza(21.17) trDi =gKi(g) = nii= r ii=niri.Entonces,de(21.14)obtenemos(21.18) ij 1r=sk=1cijk k1rninjr2ij=sk=1cijknkrk ,donder = 1esladimensiondelarepresentacion.Porlotanto,loscaracteressimplesdeungrupodeordennitoGconsclasesdeelementosconjugadossatisfacenlasrelaciones(21.19) ninj ()i()j= ()1sk=1cijk nk()k, para1 i j s ,yparatodaslasclasesdeequivalenciaderepresentacionesirreduciblesdeG, =1 . . . , s.Estas igualdades imponenss(s+1)2condiciones sobre los s2caracteres simples. Noobstante, ellas no son incompatibles, sino que son en gran medida redundantes (y, asu vez, compatibles con las condiciones de ortogonalidad12), resultando sucientesparadeterminarcompletamentelatabladecaracteresdelgrupo.12Para ver que esto es as consideremos representaciones unitarias irreducibles, para las cuales()(g) = ()(g1), y llamemos Kj la clase que contiene a las inversas de los elementos g Kj.Notese que #Kj= nj= nj = #Kj.En esas condiciones, la ec. (21.19) se escribe como(21.20) ninj ()i()j

=sk=1cijk nk ()k()1.60 H. FalomirEjemplo:ParaelgrupoS3tenemos(21.22) 1= e , 2= a + b , 3= + + .Tomandoproductos entrelos vectores del algebradelaformai, i =1, . . . , s,obtenemosloscoecientescijk.Porejemplo,22= (a + b)(a +b) = a2+ ab + ba + b2== b + e +e + a = 21 + 2,2 3= (a + b)( + +) = 23= 3 2,32= ( + + )2= 31 + 32, etc.Resultaendenitiva(21.23)c111= 1 , c122= 1 , c133= 1 ,c221= 2 , c222= 1 , c223= 0 ,c231= 0 , c232= 0 , c233= 2 ,c321= 0 , c322= 0 , c323= 2 ,c331= 3 , c332= 3 , c333= 0 ,siendonuloselrestodeloscoecientes.Conocidosestoscoecientes, apartirde(21.19)puedeplantearseunconjuntode ecuaciones independientes que sean sucientes para determinar completamentelatabladecaracteressimples(20.31)(hacerlocomoejercicio!).22. ProductodirectoderepresentacionesDada una representaci on matricial D(G) de un grupo G, puede construirse unanueva representacion tomando las complejas conjugadas de las matrices de D(G)13.Entonces, intercambiandoj j

, sumandosobrelasclasesderepresentacionesirreduciblesyempleando las relaciones de ortogonalidad en su forma (20.24) obtenemos(21.21)ninjs=1()i()j= ninjnniij = nniij ==sk=1cij

k nks=1()k()1=sk=1cij

k nknn1k1 = ncij

1,cij

1 = niij .Porotraparte,sabemosqueelcoecientecij

1esnonulosolosienlaclaseKj aparecenloselementosinversosdelosquepertenecenaKi(esdecir, si j

=i

j =i)y, enesecaso,cij

1 = ni, en coincidencia con (21.21).13Tambien se obtiene una representacion tomando las traspuestas de las inversas de las ma-trices,D(g1)t.Representacionesmatriciales-Caracteres 61Enefecto,(22.1) D(g1)D(g2)= D(g1) D(g2)= D(g1 g2), g1, g2 G.Estaeslarepresentaci onconjugada,quepuedeonoserequivalenteaD(G).Otraformadegenerarnuevasrepresentacionesdeungrupoapartirdealgu-nasconocidasconsisteentomarel productodirectodeestas, procedimientoquedescribimosacontinuacion.Sean E()y E()los espacios de dos representaciones de un grupo G, D()(G) yD()(G),dedimensionr= ryr= r

respectivamente.Supongamos que los espacios de representacion E()y E()esten generados porlosconjuntoscompletos e1, . . . , ery e

1, . . . , e

r respectivamente,demodoquelosvectoresenesosespaciostienendesarrollosdelaforma(22.2) x = xiei E(), y= yj e

j E(),conxi, yj C.Referidosaesasbases,losoperadoresdelasrepresentacionesact uanseg un(22.3) D()(g) x =

D()kl(g) xl

ek , D()(g) y=

D()kl(g) yl

e

k .Denicion22.1. El espacioproductodirectooproductotensorial, E()E(), es un espacio lineal de dimension r r

generado por una base que denotare-mospor eie

j , 1 i r , 1 j r

.Unvectorarbitrariodeeseespaciotieneundesarrollodelaformaz=zij ei e

j, demodoquesuscomponentesformanunamatrizder r

.Denicion22.2. Dadosdosvectorescomoen(22.2),suproductotensorialeselvectorz= x y:= xiyj eie

j E()E().Denicion22.3. La representacion productodirecto, (D()D())(G), es unarepresentaci on matricial del grupo G cuyo espacio de representaci on es E()E(),sobreelqueact uaseg un(22.4)

D()D()

(g) z=

D()D()

(g)

ij,klzkleie

j ,donde(22.5)

D()D()

(g)

ij,kl= D()ik(g) D()jl(g) .62 H. FalomirEfectivamente, setratadeunhomomorsmo, porqueparael productodedosoperadorescualesquieratenemos(22.6)

D()D()

(g1)

D()D()

(g2)

ij,kl==

D()D()

(g1)

ij,uv

D()D()

(g2)

uv,kl== D()iu(g1)D()jv(g1) D()uk (g2)D()vl(g2) == D()ik(g1 g2) D()jl(g1 g2)=

D()D()

(g1 g2)

ij,kl, i, j, k, l , g1, g2 G.Propiedad22.4. El productodirectoderepresentaciones unitarias es tambienunarepresentaci onunitaria.En efecto, sean D()(G) y D()(G) dos representaciones unitarias de G. Entonces(22.7)

D()D()

(g)

kl,ij= D()ki(g)D()lj(g)= D()ik(g1) D()jl(g1) =

D()D()

(g1)

ij,kl.Propiedad 22.5.Los caracteres de la representaci on producto directo D()(G) :=

D()D()

(G) estandados por el productode los caracteres de D()(G) yD()(G).Enefecto,(22.8)()(g) = trD()D()

(g)=

D()D()

(g)

ij,ij== D()ii(g) D()jj(g) = ()(g) ()(g) .Engeneral,larepresentaci onD()(G)noserairreducible.Conocidos los caracteres simples, podremos identicar las representaciones irre-ducibles contenidas en D()(G) empleando las condiciones de ortogonalidad paravectoresdecaracteres.Paraelloaplicamoslarelaciondeducidaen(20.4),(22.9) a=si=1nin()i()i=si=1nin()i()i()i,Representacionesmatriciales-Caracteres 63loquenospermitiradeterminarladescomposiciondeClebsh-Gordan(22.10) D()(G) =s

=1a D()(G) ,queexpresael productodirectocomosumadirectaderepresentacionesirreduci-bles.Evidentemente,lasdimensionesdelasrepresentacionesen(22.10)debensatis-facerlarelacion(22.11) r= rr=s=1a r .Bibliografa:H. Bacry, LeconssurlaTheoriedesGroupeset lesSymmetriesdesPar-ticulesElementaires.M. Hammermesh, Group Theory and its Applications to Physical Problems.64 H. FalomirNOTASSOBREGRUPOSCONTINUOS23. GruposcontinuosConsideremos el grupo O(3), cuyos elementos son las matrices reales ortogonalesde3 3,(23.1) R =

R11R12R13R21R22R23R31R32R33

, Rij R.CadamatrizR O(3)correspondeunpuntoen R9queyacesobreunahiper-superciedeterminadaporlasseisecuacionesalgebraicas(23.2) RtR = 13 RikRil= kl, k l,lo que deja solo tres parametros reales independientes. Esa hipersupercie suave,dedimension3,esllamadavariedaddelgrupoO(3).Esteesunejemploparti-culardegrupocontinuo.En general, un grupo continuo de n parametros (reales) tiene sus elementos iden-ticadosdemanerabiunvocaconlospuntosdeunavariedadn-dimensional,inmersa en Rm(comm n) y determinada por unconjunto demn ecuacionesalgebraicas.Unaformadedescribir unahipersuperciedeesetipoconsisteenestablecersistemasdecoordenadaslocales, queponganencorrespondenciaunoaunolospuntosdelavariedadcontenidosenunaregionabiertade Rmconlospuntosdeunaregionabiertade Rn.Engeneralnoseraposibleestablecerun unicosistemaglobaldecoordenadas,sinoqueseranecesariocubrirlavariedadconunconjuntodeabiertos, cadaunoconsusistemalocal decoordenadas, losquedeberansercompatibilizadosdan-dolarelacionentreunas yotras coordenadas enlaregiondesuperposiciondedosabiertos. Estosconjuntosdeabiertos, ylasrelacionesentresuscoordenadas,describenlaspropiedadesglobalesotopologadelavariedad.Ejemplos: la esfera o2 R3, determinada por la ecuacion x2+y2+z2= 1, es unavariedad bidimensional que puede ser cubierta con dos abiertos, entornos del polonorte y del polo sur respectivamente, en los que se puede establecer sistemas localesde coordenadas mediante la proyeccionestereograca. Los puntos de la esferacontenidos enunabandaalrededor del ecuador tendranasignadas coordenadasGruposcontinuos 65enunoyotrosistema,pudiendoseescribiraunascomofuncionesdiferenciablesdelasotras.En ciertos casos es posible establecer un unico sistema de coordenadas si a el seagrega cierta informacion sobre la topologa de la variedad. Por ejemplo, los puntossobreunacircunferencia o1puedenserpuestosencorrespondenciabiunvocaconlosdelsegmento[0, 2]siemprequeademasseidentiquensusextremos,2 0.En general, una variedad diferenciable n-dimensional podra ser cubiertaporunconjuntodeabiertosUp, entornosdeciertospuntosp , talesque=pUp. Encada abierto tendremos unsistema local de coordenadas, esdecir, unaaplicacionp:Up Rnqueestableceunacorrespondenciabiunvocaentre los puntos de lavariedadenese entornoylos de unaregionabiertadeRn(porloque resultalocalmenteeucldea). Ademas, si Up Uq = , lascoordenadas xasignadas por paunpuntogenericodeesaintersecci onseranfunciones continuas ydiferenciablesdelascoordenadasyqueleasignalaaplicacionqaesemismopunto,x =

p 1q

(y).Denicion23.1. Ungrupo continuode dimensionnes unconjuntocuyoselementos estanencorrespondenciabiunvocaconlos puntos de unavariedaddiferenciablen-dimensional,yqueademasseestructuracomoungruporespectodeciertaleydecomposicionasociativa, conneutroeinverso. Ambasestructurasestanrelacionadas por el hechode que lacomposicionde elementos del grupo(descritaenterminosdesistemaslocalesdecoordenadasestablecidosenciertosentornosdecadaelemento)esunaaplicacioncontinuasobrelavariedad.Sean a, b, c G, elementos de un grupo continuo. Supongamos que, respectodeciertossistemaslocalesdecoordenadas, a(a)=, b(b)=, c(c)=, . . .Enesascondiciones, existenfuncionescontinuas(quedependendelaelecciondelossistemaslocalesdecoordenadas)talesque,sic = ab,entonces(23.3) = (, ), = 1, 2, . . . , n.Laspropiedadesdelaleydecomposiciondelgruporequierenquesesatisfaganlassiguientescondiciones.Asociatividad:como(23.4) a(bc) = (ab)c (, (, )) = ((, ), ) .66 H. FalomirExistenciadelelementoneutro:sean = e(e),lascoordenadaslocalesdee;entonces(23.5) ea = a = ae (, ) = = (, ).Existenciadel elementoinverso: sean=a1(a1), lascoordenadaslo-calesdelelementoinversodea;entonces(23.6) a1 a = e = aa1(, ) = = (, ).Ejemplo: Los elementos del grupo O(2) son matrices ortogonales de 22: RtR =12.Suscuatroelementosdematriz(reales)estanrelacionadosporlastrescondi-cionesRikRil= kl, k l,loquedejaun unicoparametrorealindependiente.Por otraparte, det R= 1. Perolavariaci ondeunparametrocontinuonopuedeproducirunadiscontinuidadeneldeterminante.LasmatricesdeO(2)condet R = 1puedenserrepresentadascomo(23.7) R() =

cos() sin()sin() cos()

,donde [0, 2).Sea(23.8) S=

1 00 1

= S1, condet S= 1.Entonces, si det R

= 1 det(SR

)=1. Porlotanto, todoelementodeO(2)condeterminante 1puedeescribirsecomo(23.9) R

() = SR() =

cos() sin()sin() cos()

= R()S.Los elementos de O(2) estan entonces unvocamente identicados por un anguloyel signodel determinante. Es inmediatovericar que lacomposicionde ele-mentosdeestegrupoescontinuaeneseparametro. Porejemplo, R(1)R(2)=R(1 + 2[mod2).En consecuencia, O(2) es un grupo continuo, y su variedad asociada esta consti-tuida por dos circunferencias o1, una para cada signo del determinante. En parti-cular, el elemento neutro esta contenido en la hoja de la variedad con determinanteiguala1,laquecorrespondealsubgrupoSO(2).Gruposcontinuos 67Denicion23.2. Unavariedadsediceconexasidoscualesquieradesuspuntospuedenserunidosporunacurvacontinuaqueyacesobrelamismavariedad. Lavariedad de un grupo continuo puede estar constituida por mas de una componenteconexa.Teorema23.3. LacomponenteconexadeungrupocontinuoGquecontienealelementoidentidadeformaunsubgrupoG0,delamismadimensionqueG.Enefecto, seana, b G0; entoncespuedevariarseconcontinuidadlascoorde-nadasdeesoselementos(eventualmentecambiandodesistemaslocalesdecoor-denadas)hastahacerloscoincidirconleidentidad.Esdecir,haycaminossobrelavariedad del grupo que llevan a e y b e. Como bb1= e, tambien b1 G0.Enconsecuencia, comolaleydecomposicionescontinua, esposiblecambiarcon continuidad las coordenadas del producto a b1de modo que a b1a e.Porlotanto,ab1 G0 G0esunsubgrupodeG.Porotraparte,dimG0=dimG,puestoquelaparteconexadelavariedadquecontieneaetienelamismadimensionquelavariedadcompleta.Teorema23.4. LacomponenteconexadeungrupocontinuoGquecontienealelementoidentidade,G0,esunsubgrupoinvariantedeG.Seaa G0yseab G. Entonces es posible cambiar concontinuidadlascoordenadasdel elementoconjugadobab1hastahacerlocoincidircone. Enefecto,comoaseconectaconcontinuidadcone bab1beb1=e bab1 G0, b G.Ejemplo:SO(2)esunsubgrupoinva