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TEORÍA DE CONTROL

CONTROLADORES

Teoría de Control

CONTROLADORES

En ciertas ocasiones se requiere que los sistemas de control se comporten de

manera distinta a lo que lo hacen naturalmente.

Una forma de resolver esta situación es utilizar realimentación, este proceso

compara la medición de la salida real del sistema con la deseada y, en base a esa

diferencia se ejecuta una acción de control que busca minimizar la diferencia

entre las dos señales.

El elemento utilizado para llevar adelante este procedimiento se denomina

controlador.

INTRODUCCIÓN

CONTROLADOR PLANTA

SENSOR

ACCIÓNDE

CONTROLERROR

MEDICIÓN

SALIDA(VARIABLE

CONTROLADA)REFERENCIA

+-

Teoría de Control

CONTROLADORES

El controlador que se utiliza naturalmente es el denominado proporcional , en

el que el error es amplificado y utilizado como acción de control, sin embargo

generalmente con este tipo de control, no se logran los resultados deseados.

Cuando se requiere un mejor comportamiento que el obtenido por este tipo de

acción, se procede a diseñar controladores algo más complejos para lograr el

desempeño deseado.

INTRODUCCIÓN

+-

G(s)

H(s)

E(z)R(z) C(z)

B(z)

Teoría de Control

CONTROLADORES

REQUERIMIENTOS PARA EL DISEÑO DE CONTROLADORES

CONOCIMIENTO DEL SISTEMA O PROCESO A CONTROLAR.

MODELO MATEMÁTICO DEL SISTEMA.

DETERMINACIÓN DEL COMPORTAMIENTO DESEADO.

(ESPECIFICACIONES)

TIPO DE CONTROLADOR A UTILIZAR.

TÉCNICAS DE SINTONÍA DEL CONTROLADOR.

EVALUACIÓN DEL SISTEMA COMPENSADO. (SIMULACIÓN)

REAJUSTE DEL CONTROLADOR.

Para llevar adelante el diseño de controladores se deben ejecutar ciertas acciones para

llegar a resultados satisfactorios.

Teoría de Control

CONTROLADORES

ESPECIFICACIONES

La forma en la que debe comportarse el sistema en condiciones ideales debe ser

especificada por ciertos parámetros que sean fácilmente interpretados .

Las especificaciones más importantes que ha de satisfacer un sistema de control

se refieren a los siguientes aspectos de su comportamiento:

Estabilidad. La condición de estabilidad absoluta es esencial para todo

sistema de control. La estabilidad relativa es un índice del buen funcionamiento

del sistema.

Precisión. La respuesta de un servosistema debe seguir lo más fielmente

posible a la entrada de referencia y por tanto la diferencia entre ambas o error

debe ser mínima.

Rapidez de respuesta. La rapidez de respuesta de un sistema viene dada por

sus características de su respuesta temporal o bien de su respuesta de frecuencia.

Teoría de Control

CONTROLADORES

ESPECIFICACIONES

ESTABILIDAD

La estabilidad absoluta es un requerimiento indispensable para cualquier sistema

de control.

Sin embargo, al momento de especificar el comportamiento de un sistema de

control se debe poder cuantificar el grado de estabilidad necesaria para

determinar su robustez.

Los parámetros que normalmente se utilizan para especificar estabilidad son:

MARGEN DE FASE

MARGEN DE GANANCIA

Teoría de Control

CONTROLADORES

ESPECIFICACIONES

PRECISIÓN

La precisión de un sistema de control se determina a partir del error obtenido

entre la referencia y la señal del proceso medida, luego de extinguido el

transitorio, es decir en régimen permanente.

El error buscado en la totalidad de los sistemas de control es cero, pero es una

situación difícil de conseguir, por eso es necesario tener parámetros que

permitan ponderar la precisión de un sistema de control.

Teoría de Control

CONTROLADORES

ESPECIFICACIONES

Teorema del valor final

)(lim)(lim0

ssEteest

rp

)()(1

)( lim

0 sHsG

ssRe

srp

ERROR EN RÉGIMEN PERMANENTE

)()()( sBsRsE

)()(1

)()()()()(

sHsG

sHsGsRsRsE

)()(1

1)()(

sHsGsRsE

G(s)+

-H(s)

E(s) C(s)R(s) C(s)

B(s)

Teoría de Control

CONTROLADORES

Análisis para distintas entradas

Escalón unitario :

)()(lim1

1

)()(1

1 lim

00 sHsGsHsG

e

ss

rp

)()(lim0

sHsGKps

Kperp

1

1

por lo tanto

Kp : constante de error a la posición

ESPECIFICACIONES


1( )R s

s

Teoría de Control

CONTROLADORES


ESPECIFICACIONES


Rampa unitaria :

)()( lim

1

)()(1

1 lim

00 sHsGssHsGs

e

ss

rp

)()( lim0

sHsGsKvs

Kverp

1

por lo tanto

Kv : constante de error a la velocidad

2

1( )R s

s

Teoría de Control

CONTROLADORES


ESPECIFICACIONES


Parábola unitaria : 3

1)(

ssR

)()( lim

1

)()(1

1 lim

2

0

20 sHsGssHsGse

s

srp

)()( lim 2

0sHsGsKa

s

Kaerp

1

por lo tanto

Ka : constante de error a la aceleración

Teoría de Control

CONTROLADORES

ESPECIFICACIONES


Tipo de Sistema - Clasificación

Tipo de sistema = cantidad de polos en cero

Sistema tipo 0

...11

...11)( 21

bap sTsTs

sTsTKsG

Sistema tipo 1

Sistema tipo 2

...11

...11)( 21

ba sTsT

sTsTKsG

...11

...11)( 21

ba sTsTs

sTsTKsG

...11

...11)(

221

ba sTsTs

sTsTKsG

Teoría de Control

CONTROLADORES

ESPECIFICACIONES ERROR EN RÉGIMEN PERMANENTE

Sistema Tipo 0

KsTsT

sTsTKKp

bas

...11

...11lim 21

0

Kerp

1

1

0...11

...11lim 21

0

bas sTsT

sTsTKsKv

Error constante

0

1 rpe Error infinito

0...11

...11lim 212

0

bas sTsT

sTsTKsKa

0


Error

Error

Teoría de Control

CONTROLADORES

...11

...11lim 21

0 bas sTsTs

sTsTKKp

01

1

rpe

KsTsT

sTsTKKv

bas

...11

...11lim 21

0

Error =0

Kerp

1 Error constante

0...11

...11lim 21

0

bas sTsT

sTsTKsKa

0


Error


Sistema Tipo 1

Teoría de Control

CONTROLADORES


Sistema Tipo 2

...11

...11lim

221

0 bas sTsTs

sTsTKKp

01

1

rpe

...11

...11lim 21

0 bas sTsTs

sTsTKKv

Error =0

01

rpe Error =0

KsTsT

sTsTKKa

bas

...11

...11lim 21

0

Kerp

1 Error constante

cte

Teoría de Control

CONTROLADORES

Tipo de

sistema Kp Kv KaERROR

POSICIÓN

ERROR

VELOCIDAD

ERROR

ACELERACIÓN

0

1

2

)(lim0

sGKps

)(lim0

ssGKvs

)(lim 2

0sGsKa

s

Kperp

1

1 Kv

erp1

Ka

erp1

K

K

K

0 0

0

cteK

1

1

0

0 0

cteK

1

cteK

1

ESPECIFICACIONES


Teoría de Control

CONTROLADORES

ESPECIFICACIONES


Sistemas Discretos

s

sGHZZ zsGHROCzGH

)( 1 )( )( 1

)(1

)()(

zGH

zRzE

)(1

)(1lim)(1lim

11 zGH

zRz- zEz- e

zzrp

+-

G(s)

H(s)

E(z)R(z) C(z)

B(z)

Teoría de Control

CONTROLADORES

ESPECIFICACIONES

ERROR EN RÉGIMEN PERMANENTE Sistemas Discretos

Escalón unitario : 1

)(

z

zzR

)(lim1

1

1z GH

e

z

rp

)(lim1

z GHKpz

Rampa unitaria : 21

)(

z

TzzR

)(1lim1

1

1zGHz

T

e

z

rp

)(11

lim1

zGHzT

Kvz

Parábola unitaria : 3

2

12

)1()(

z

zzTzR

)(1lim1

1

2

12zGHz

T

e

z

rp

)(11

lim2

21zGHz

T Ka

z

Teoría de Control

CONTROLADORES

ESPECIFICACIONES

RESPUESTA A LAZO CERRADO

( ) ( )

( ) 1 ( ) ( )

C s G s

R s G s H s

Para el caso de : ( ) ( ) 1G s H s ( ) 1

( ) ( )

C s

R s H s

Para el caso de : ( ) ( ) 1G s H s ( )

( )( )

C sG s

R s

G(s)+

-H(s)

E(s) C(s)R(s) C(s)

B(s)

Teoría de Control

CONTROLADORES

ESPECIFICACIONES

RESPUESTA A LAZO CERRADO

Para el caso de H=1

|GH|>>1

|GH|<<1

ANCHODE

BANDA

|GH|

1/H

G

GH=G

Teoría de Control

CONTROLADORES

ESPECIFICACIONES

RECHAZO A PERTURBACIONES

( ) ( )

( ) 1 ( ) ( )

C s G s

R s G s H s

( ) 1

( ) 1 ( ) ( )

C s

N s G s H s

Para minimizar el efecto de las perturbaciones la ganancia de la

transferencia de lazo abierto debe ser grande.

( )Si ( ) ( ) 1 entonces 0

( )

C sG s H s

N s

G(s)+

-H(s)

E(s)

N(s)

R(s) C(s)++

Teoría de Control

CONTROLADORES

CONTROLADORES DIGITALES

( ) ( ) ( )( )

( ) 1 ( ) ( )

C z D z G zT z

R z D z GH z

1 ( )( ) (1 )

G sG z z

sZ

1 ( ) ( )( ) (1 )

G s H sGH z z

sZ

+-

G(s)

H(s)

E(z)R(z) C(s)

B(z)

D(z)

U(s)U(z)

Teoría de Control

CONTROLADORES


1 2

1 2

1 2

1 2

(1 ....) ( )( )

( ) (1 ....)

a z a zU zD z

E z b z b z

1 2 1 2

1 2 1 2(1 ....) ( ) (1 ....) ( )b z b z U z a z a z E z

1 2 1 2( ) ( 1) ( 2) .... ( ) ( 1) ( 2) ....u k bu k b u k e k a e k a e k

1 2 1 2( ) ( ) ( 1) ( 2) .... ( 1) ( 2) ...u k e k a e k a e k bu k b u k

Algoritmo de control:

+-

G(s)

H(s)

E(z)R(z) C(s)

B(z)

D(z)

U(s)U(z)

Teoría de Control

CONTROLADORES


TÉCNICAS DE COMPENSACIÓN ANALÓGICAS

En aquellos sistemas en los cuales las especificaciones tienen que ver con la

respuesta en frecuencia o con la estabilidad relativa se pueden utilizar

compensadores, que mediante la incorporación de polos y ceros en el lazo de

control, permiten aproximar al sistema a uno que cumpla con las

especificaciones solicitadas.

Existen técnicas originalmente aplicables a sistemas continuos cuya

implementación se puede realizar en forma digital. El procedimiento se aplica

considerando la planta discreta y realizando la transformación bilineal del

mismo para llevarlo a un plano con condiciones similares a la de los sistemas

continuos.

21

21

wT

wT

z

Teoría de Control

CONTROLADORES



La red de Adelanto de Fase es una red cuya transferencia está formada por un

cero en baja frecuencia y un polo en alta frecuencia y cuya ganancia en continua

es unitaria.

Red de Adelanto de Fase

1 ( ) 1

(1 )C

a sG s a

s

Teoría de Control

CONTROLADORES

1

1

2

1

a

asen

a

atg MAXMAX

0

1

a

Ecuaciones de diseño:



Red de Adelanto de Fase

MAX

o

20 log a

Teoría de Control

CONTROLADORES

La red de Adelanto de Fase es una red cuya transferencia está formada por un

polo en baja frecuencia y un cero en alta frecuencia y cuya ganancia en continua

es unitaria.

Red de Atraso de Fase

1 ( ) 1

(1 )C

a sG s a

s



Teoría de Control

CONTROLADORES



Red de Atraso de Fase

MIN

o

20 log a

Teoría de Control

CONTROLADORES



Luego, el compensador resultante se transforma al plano Z utilizando la

transformación bilineal inversa.

Finalmente, la transferencia del compensador D(z) se convierte en una ecuación

de diferencias que realiza la función del compensador diseñado.

12

( 1)

zw

T z

( )

( ) ( ) F ( 1), ( 2),..., ( ), ( 1), ( 2),... ( )

U zD z u k u k u k e k e k e k

E z

Teoría de Control

CONTROLADORES

El sistema de control de la figura tiene una planta cuya transferencia es:

El período de muestreo del procesador digital es T= 0.001 seg.

Se desea diseñar un controlador D(z), tal que el sistema posea : un margen de

fase de 60º, con un ancho de banda de 100 [rad/seg.] y una constante de

velocidad Kv 10 [1/seg.].

Halle el error en régimen permanente para una entrada en rampa del sistema

compensado.

10

( )31.6

Gp ss s

EJEMPLO

Teoría de Control

CONTROLADORES

EJEMPLO

1

2

1 10 10( ) 1

31.6 31.6

sTeG z z

s s s s sZ Z

64.948 10 ( 0.9895)( )

( 1)( 0.9689)

zG z

z z

8 51.317 10 ( 3.798 10 )( 2000)( )

31.6

w wG w

w w

8 5

0

1.317 10 ( 3.798 10 )( 2000)lim 0.3164557

31.6w

w wKv w

w w

( ) 31.64557 cK G z

Teoría de Control

CONTROLADORES

EJEMPLO

0 max100 45ºrad

seg

Teoría de Control

CONTROLADORES

EJEMPLO1 1

5.831 1

MAXMAX

MAX

senasen a

a sen

0 241.4p a 0 41.42ca

1

5.83( 41.42)( )

241.4c

wG w

w+

Teoría de Control

CONTROLADORES

EJEMPLO

1

5.83( 41.42) 2565.2( 41.42)( ) 440 ( ) 440

241.4 241.4CT c

w wG w G w

w+ w+

aplicando la transformación BILINEAL inversa queda:

2336( 0.9594)( )

0.7846CT

zG z

z

1

1

( ) 2336 2241 ( )

( ) 1 0.7846 CT

U z z G z

E z z

( ) 2336 2241 1 0.7846 1u k e k e k u k

El algoritmo de control queda:

La constante de velocidad del sistema compensado queda: 139.24Kv

Teoría de Control

CONTROLADORES

EJEMPLO

2 2

0.01156( 0.9594)( 0.9895)

[( 0.8937) 0.09585 ]( 0.9544

( ) ( )( )

1 ( ) )

)(

CT PLC

CT P

G z G zG z

G z

z

G zz

z

z

Teoría de Control

CONTROLADORES


COMPENSADORES POR CANCELACIÓN

Dado un sistema de control digital se desea encontrar una Transferencia D(z) tal

que la transferencia a lazo cerrado sea una dada T(z).

1 ( )( ) (1 )

G sG z z

sZ

+-

G(s)

E(z)R(z) C(s)

D(z)

U(s)U(z)

C(z)

( ) ( ) ( )( )

( ) 1 ( ) ( )

C z D z G zT z

R z D z G z

Teoría de Control

CONTROLADORES


COMPENSADORES POR CANCELACIÓN

Por lo tanto, lo más inmediato es despejar la transferencia del Compensador

D(z) de la ecuación de lazo cerrado T(z). Es decir:

1 ( )

( ) ( ) 1 ( )

T zD z

G z T z

Entonces conocida la Planta Gp(z) y la transferencia deseada T(z) se calcula el

compensador.

Sin embargo no siempre se logran resultados favorables debido a distintas

causas que se enumeran a continuación:

La transferencia del Compensador D(z) debe ser físicamente realizable, es

decir que para que la salida no anticipe a la entrada la cantidad de ceros debe se

a lo sumo igual a la cantidad de polos

La transferencia de la Planta Gp(z) no debe poseer singularidades fuera del

círculo unitario ya que esto originaría que el sistema compensado de esta forma

resulte inestable debido a que no se puede asegurar una cancelación perfecta.

Teoría de Control

CONTROLADORES


COMPENSADOR DEAD-BEAT

1

)(z

zT

Si tuviese retardo Td = Nd T 1

1( )

NdT z

z

Entonces:

( 1)

( 1)

1( )

( ) 1

Nd

Nd

zD z

Gp z z

Se busca una respuesta de lazo cerrado

equivalente a un retardo de una muestra

Teoría de Control

CONTROLADORES



Se pretende con este compensador, que el tiempo de respuesta para el sistema a

lazo cerrado sea mínimo. Esto provoca que la acción de control alterne entre

muestras valores de gran amplitud generando señales como la de la figura.

Teoría de Control

CONTROLADORES



El controlador se diseña considerando que el error entre la entrada y la salida sea

cero en los instantes de muestreo. Sin embargo, esta situación generalmente no

se cumple para la salida continua de la planta.

Teoría de Control

CONTROLADORES



Se desea diseñar un controlador D(z) que minimice el tiempo de respuesta del

sistema a lazo cerrado.

10

( )31.6

Gp ss s

EJEMPLO

Teoría de Control

CONTROLADORES

EJEMPLO64.948 10 ( 0.9895)

( ) ( 1)( 0.9689)

zG z

z z

La transferencia de la planta discretizada es:

Como se pide tiempo de respuesta mínimo se va a ensayar un compensador del

tipo Dead-Beat.

La transferencia discreta cumple con la condición de no tener polos ni ceros

fuera del círculo unitario, por lo tanto es posible diseñar el compensador.

No existe retardo en la planta.

La transferencia del compensador es :

5 52.021 10 ( 1)( 0.9689) 1 2.021 10 ( 0.9689)( )

( 0.9895) 1 ( 0.9895)

z z zD z

z z z

Teoría de Control

CONTROLADORES


COMPENSADOR DAHLIN

1

1

)(

Teq

qz

qzT

1( )

( )Nd

qT z

z z q

Entonces:1 (1 )

( ) ( ) ( 1)

Nd

Nd

z qD z

Gp z z q z q

Si tuviese retardo Td = Nd T

Debido a que el salto entre muestras sucesivas de la salida es menor que en

Dead-Beat, disminuye la amplitud de la acción de control.

Se busca una respuesta de lazo cerrado de primer

orden

Teoría de Control

CONTROLADORES


COMPENSADOR DAHLIN

En este caso se busca un sistema con un tiempo de respuesta mas grande. Esto

se logra ubicando el polo dominante a lazo cerrado a una frecuencia menor lo

que provoca una respuesta amortiguada. Sin embargo es posible que ocurra que

la respuesta continua tenga oscilaciones entre muestras.

Teoría de Control

CONTROLADORES



Se desea diseñar un controlador D(z) que permita que el sistema a lazo cerrado

responda sin sobrepico y con una constante de tiempo de 0.1 segundos.

10

( )31.6

Gp ss s

EJEMPLO

Teoría de Control

CONTROLADORES

EJEMPLO64.948 10 ( 0.9895)

( ) ( 1)( 0.9689)

zG z

z z

La transferencia de la planta discretizada es:

Se pide una respuesta que puede ser resuelta con un compensador Dahlin.

La transferencia discreta cumple con la condición de no tener polos ni ceros

fuera del círculo unitario, por lo tanto es posible diseñar el compensador.

No existe retardo en la planta.

52.021 10 ( 1)( 0.9689) 0.0099502 2011.05 ( 0.9689)( )

( 0.9895) 1 ( 0.9895)

z z zD z

z z z

La transferencia del compensador es :

10.1 seg.

0.99

T

q e

1 0.01

( )0.99

qT z

z q z

Teoría de Control

CONTROLADORES


COMPENSADOR DE TIEMPO FINITO

Se desea que D(z) debe ser tal que se cumplan simultáneamente las siguientes

especificaciones:

El sistema compensado debe tener error nulo para la entrada específica a

partir de un número finito de muestras .

D(z) debe ser físicamente realizable.

La salida continua del sistema en régimen permanente no debe poseer

oscilaciones entre muestras cuando el sistema discreto llegó a régimen

permanente.

Teoría de Control

CONTROLADORES



N

Teoría de Control

CONTROLADORES



La trasferencia de lazo cerrado T(z) que cumple con estas especificaciones tiene

la forma: 1

0 1 ... ( )

M M

M

M

z zT z

z

1

0 1( ) ... M

MT z z z

O también:

Donde M n , y n es el orden de la planta

Error en régimen permanente:

)()(1

)(1)()()()(zGpzD

R(z)zTzRzCzRzE

Teoría de Control

CONTROLADORES



R(z) es de la forma Pz

zAzR

11

)()(

A(z) es un polinomio sin singularidades en z = 1

P=1 (escalón)

P=2 (rampa)

P=3 (parábola)

1)( zA

1 )( zTzA

2 1 1 1( )

2

T z zA z

En régimen permanente:

1 1

11 1

( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 0lim lim lim

1P

k z z

A z T ze kT z E z z

z

Teoría de Control

CONTROLADORES



1

11

( ) 1 ( ) ( ) 1 0lim lim

1P

k z

A z T ze kT z

z

El error cero se cumple si:

N(z) debe contener al menos un término.

11 ( ) 1 ( )P

T z z N z

Con N(z)= polinomio en potencias de

)( )()( zNzAzE

1( ) 1 1 ( )P

T z z N z

1z

Teoría de Control

CONTROLADORES



Realizabilidad física:

Calculando la respuesta impulsiva de Gp(z):

- - -1 - -

1( ) ... ...r r r i

r r r iGp z g z g z g z

Lo mismo para T(z):

- - -1 - -

1( ) ... ...k k k j

k k k jT z t z t z t z

Entonces el compensador D(z):

1

1

1 1

1 1

...1( )

1 ... 1 ...

k k

k k

r r k k

r r k k

t z t zT(z)D z

Gp(z) T(z) g z g z t z t z

( ) ( 1)

1( ) ...k r k r

k r k rD z d z t z

Teoría de Control

CONTROLADORES



Ecuaciones de diseño:

1

0 1( ) ... M

MT z z z

1 1 2

1 21 ( ) 1 1 ...P

T z z b z b z

La transferencia T(z) debe ser tal que cumpla las dos ecuaciones y luego:

1 ( )

( ) ( ) 1 ( )

T zD z

Gp z T z

Teoría de Control

CONTROLADORES



Sistemas con polos y ceros inestables:

1

1min

min

1

( ) ( )1

i

i

Tér osjestables

j

Tér os inestables

c z

Gp z F zp z

1

1

1 ( )

( ) 1- ( ) ( )1

j

j

i

i

p zT z

D zT z F zc z

El compensador de cancelación resulta:

La transferencia del compensador no debe cancelar los polos o ceros fuera del

círculo unitario

Teoría de Control

CONTROLADORES



Entonces la expresión de T(z) debe incluir a los ceros con módulo mayor que 1:

1 -1

0 1( ) ... 1 M

M i

i

T z z z c z

1 1 2 1

1 21 ( ) 1 1 ... 1 P

j

j

T z z b z b z p z

Se ve que la cantidad mínima de términos ya no depende del orden de la

planta y de la entrada, sino también de los términos inestables

y la expresión de (1-T(z)) debe incluir a los polos con módulo mayor que 1:

Teoría de Control

CONTROLADORES

EJEMPLO

Considere el sistema de lazo cerrado mostrado en la figura:

El mismo posee una transferencia discreta de la planta :

Se desea encontrar un controlador digital D(z) tal que la salida c(k) siga sin

error en régimen permanente una entrada en forma de rampa de pendiente

unitaria. Además, se desea que se alcance el mencionado régimen permanente

en un número finito de muestras y, que a partir de de ese instante no existan

oscilaciones en la respuesta de c(t). Halle el controlador cuya expresión sea

mínima.

3 2

1 1 862 1 518( ) ( )

3 718 2 718

sT

p

e , z - ,Gp z G s

s z , z , zZ

Teoría de Control

CONTROLADORES

EJEMPLO

Para cumplir con las especificaciones se debe diseñar un compensador de

Tiempo Finito.1,862( 0,8153)

( )( 1)( 2,718)

zGp z

z z z

La relación entre polos y ceros es 2 y además uno de los polos esta fuera del

círculo unitario. El sistema debe tener error nulo a la rampa.

Por lo tanto las ecuaciones de diseño quedan:

2 3

2 3

21 1 2 3

( )

14.

( )

1 ( ) 1 1 2.718 1 718 6.436 2.718T z

z

T z z z

T z z z z z

los coeficientes 0 y 1 son cero debido al retardo.

Este sistema no tiene solución ya que en (1-T(z)) no puedo hacer cero el

término en z-1

Teoría de Control

CONTROLADORES

EJEMPLO

La solución para encontrar el compensador de tiempo finito es agregar un

término en la expresión de T(z).

2 3 4

2 3 4

21 1 1

( )

1 ( ) 1 1 2.718 1

T z z z z

T z z z z

Desarrollando las ecuaciones queda:

2 3 4

2 3 4

1 2 3 4

( )

( ) 4,718 4,718 6,436 2,718 6,436 2,718

T z z z z

T z z z z z

Resolviendo por igualación de coeficientes

2

3

4

4,718

15,823524

27,647048

12,823524

Teoría de Control

CONTROLADORES

EJEMPLO

La transferencia a lazo cerrado debe ser :

El compensador queda:

El controlador resulta inestable, pero no es crítico ya que la planta también lo es.

2

4

15,82 27,65 12 82( )

,z zT

zz

2 28,498 ( 0,8736) 0,21( )

( 0,8153)( 1)( 4,718

73

)D z

z z

z

z

z

2

2

215,82 ( 0,( 1)( 2,718)( )

8736) 0,217

1,862( 0,8153) ( 1) ( 2,718)( 4,718)

3zz z zD z

z z z z

2

4 2

1 ( ) ( 1)( 2,718)( )

( ) 1 ( ) 1,862( 0,815

15,82 27,65 12,82

15,82 27,65 12,3 82)

z zT z z z zD z

Gp z T z zz z z

teorÍa de control - fi.mdp.edu.ar 6 - controladores.pdf · en aquellos sistemas en los cuales las...

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