TEORIA DE CONJUNTOS••La teorfa de conjuntos es la rama de las matemati-

cas que estudia las propiedades de los conjuntos ylas operaciones a las que pueden ser sometidos. Laidea de agrupar objetos de una misma naturaleza paraclasificarlos en «colecciones» 0 conjuntos parece for-mar parte de la base misma del pensamiento humano;sin embargo, la nocion de conjunto encierra una di-ficultad: (,puede considerarse un conjunto como unobjeto matematico satisfactoriamente definido, cuan-do no es posible enumerar todos sus elementos? Lamatematica modern a ha mostrado su voluntad de res-ponder afirmativamente a esta cuestion, hasta el pun-to de adoptar la teorfa de conjuntos como ellenguajeen el que se fundamenta.

15.1 NOCIONES Y DEFINICIONESELEMENTALES

En la vida cotidiana se habla a menudo de obje-tos agrupados en conjuntos: el conjunto de los uten-silios de cocina, el conjunto de muebles de una ha-bitacion, el conjunto de libros de una biblioteca, etc.En todos estos casos, se usa la palabra «conjunto»con el significado de coleccion de varios objetos, quereciben el nombre de elementos del mismo. En ma-tematicas, se acostumbra a denotar los conjuntos conletras mayusculas A, B, C, ..., X, Y, Z, Y a los ele-mentos de los conjuntos con minusculas a, b, c, "',x, y, z. Un conjunto se puede definir enumerando to-dos sus elementos (definicion por extension 0 enu-meracion) 0 dando una propiedad comun a todos suselementos (definicion par comprension 0 propiedad).Tanto los elementos como la propiedad que define unconjunto, se suelen representar entre llaves ({ }). Porejemplo, dado el conjunto M de los dedos de una ma-no, su definicion par extension es M = {pulgar, fndi-ce, medio, anular, mefiique}, que se lee «El conjuntoformado por los dedos pulgar, fndice, medio, anulary mefiique». El mismo conjunto queda definido porcomprension como M {xix es dedo de la mano},

tos x tales que x es un dedo de una mano».Es habitual representar los conjuntos mediante los

llamados diagramas de Venn, en los que se delimi-

GEORGCANTOR(1845-1918)

Naci6 en San Petersburgo (Rusia) en 1845. A pesar de la insistenciade su padre por que estudiase ingenieria, se decant6 por lasmatematicas. En 1869 entr6 como profesor en la Universidad deHalle, en Alemania. Su deseo de ser profesor en alguna universidadde prestigio, como la de Berlin 0 la de Gotinga, nunca se realiz6 porsus enfrentamientos profesionales con el tambien matemaricoleopold Kronecker, quien habia sido su profesor un tiempo en laUniversidad de Berlin.Cantor estudi6 losconjuntos infinitos, untema que habia sidorechazado por el mundocientifico desde Arist6teles,a causa de los conflictosfilos6ficos y religiosos.Santo Tomas de Aquino, enel siglo XIII, consider6 quetal noci6n comportabaun desafio directo a lanaturaleza unica, infinita yabsoluta de Dios. En vistade ello los matematicosevitaban tratar el infinitocomo cantidad, y preferianhablar de el como una idealimite. EI primerdescubrimiento significativo de Cantor fue la demostraci6n de quehay el mismo numero de puntos en el plano que en la recta,una extensi6n del trabajo de Galileo, que habia demostradoque hay el mismo numero de puntos en segmentos de distintotamafio. Mas adelante, Cantor demostr6 que no todos los conjuntosinfinitos son del mismo tamafio, y que conjuntos que en aparienciatienen diferentes cantidades de elementos, en realidad son iguales.Muchas de sus hip6tesis no fueron verificadas hasta mediados delsiglo XX, algunas de ellas gracias a los trabajos de Kurt Godel.Basandose en los trabajos de Cantor, en 1903 Bertrand Russellformul6 una famosa paradoja sobre la teoria de conjuntos. DavidHilbert dijo: «del Paraiso que nos ha creado Cantor nadie nos

11 I t

I

En 1883Cantorpresent610s mimerostransfinitos, para los que propusola nomenclatura que se mantiene enla actualidad: la letra del alfabetohebreo aleph (X).

I

echara», y el propio Russellmanifest6 que el descubrimientode Cantor de las propiedades de los conjuntos infinitos fue«probablemente el mas importante que la epoca puede ostentar».

tan porciones de plano mediante llneas cerradas. Eldiagrama de Venn del conjunto M de los dedos deuna mana tiene el aspecto del dibujo siguiente:

Ellenguaje de la teorfa de conjuntos utiliza algunosterminos especfficos, cuyo significado es imprescin-dible conocer.

Se dice que a pertenece al conjunto A si a es unelemento de A, y se escribe como a E A. Si a no eselemento de A, se dice que a no pertenece a A y seescribe como art. A. Par ejemplo, 1 E {xix es mimeronatural}, pero d rt. {a, b, e}.

Dos conjuntos A y B son iguales si constan exacta-mente de los mismos elementos, sin que importe suorden ni sus repeticiones. Si los conjuntos A y B soniguales, se escribe A = B. En caso contrario, se de-nota mediante la expresi6n A "* B. Si, por ejemplo,A = {xix es mimero natural y x es par} y B = {xix esmimero natural y es divisible par 2}, entonces A = B,ya que todos los mimeros naturales y pares son divi-sibles por 2 (precisamente esta es una de las defini-ciones de « ser par)}).

Un conjunto finito es aquel del que, en principio,se pueden enumerar todos sus elementos, como su-cede con el conjunto B = {xix es mimero natural yx < 1 OOO}.Un conjunto es infinito en caso contrario,es decir, si no se pueden enumerar todos sus elemen-tos. En el caso de C = {xix es mimero natural}, setrata de un conjunto infinito, puesto que, aunque seenumere una cantidad n muy grande de mimeros na-turales, siempre habra otro par enumerar, el n + 1, por10 que resulta haber una cantidad infinita de mimerosnaturales.

Se llama conjunto vacio al que carece de elemen-tos, y se designa por el sfmbolo 0. El conjunto T == {xix es un alumno de primer ano de universidad de3 anos de edad} es igual al conjunto vacfo, ya que nohay en primer ano de universidad alumnos de 3 anosde edad. Por tanto, T = 0.

Se dice que un conjunto 5 esta incluido en otro con-junto C si y solo si to do elemento de 5 pertenece aC. Entonces, 5 es un subconjunto de C, y se denota5 c C. En caso que pueda darse la igualdad entre elsubconjunto 5 y el conjunto C, se escribe 5 <;;; C. Larelaci6n 5 c C se representa en un diagrama de Venncon el dibujo siguiente:

En particular, todo conjunto C es subconjunto desf mismo, y asf C c C. Ademas, el conjunto vacfo 0se considera que esta contenido en cualquier conjuntoC, par 10 que 0 c C.

El conjunto formado por todos los subconjuntos 5de un conjunto C se denomina conjunto de las partes deC, 0 conjunto potencia de C, y se simboliza par P(C).Para to do conjunto C, C E P(C) Y 0 E P(C). Asf,si C = {a, b, e}, sus subconjuntos son 51 = {a},52 = {b}, Y 53 = {e}, de un elemento; 54 = {a, b},55 = {a, e} y 56 = {b, e}, de dos elementos, y el mis-mo conjunto C, farmado por 3 elementos. En tal caso,P(C) = {0, 51, 52, 53, 54, 55, 56, C}.

Dos conjuntos se dicen disjuntos cuando no tienenningun elemento comun. Los conjuntos A = {a, b, s} YB = if, g, i,j}, representados en el diagrama de Vennsiguiente, son disjuntos, puesto que no tienen ningunelemento comun.

Al hablar del conjunto de los perros, por ejemplo,puede considerarse como incluido en el conjunto delos animales. Par 10 general, los conjuntos se conside-ran incluidos en algun conjunto de referencia, llama-do conjunto referencial 0 universal, que acostumbra adesignarse con la letra U. En el ejemplo inicial, el delos animales seria el conjunto referencial del de losperros.

Si un conjunto B esta contenido en otro conjunto A(B c A, en notaci6n de teoria de conjuntos), se llamacomplementario de B respecto A al conjunto de loselementos de A que no pertenecen a B, y se simbo-liza mediante CB;A. De esta definici6n se deduce queCB;A = {xix E A y x rt B}. En el caso de contar con losconjuntos A = {6,7, 8, 9, lO}y B = {7,8, 9}, entoncesCB;A = {6, lO}.

Cuando se considera un conjunto A contenido enun conjunto referencial, al complementario de A res-pecto de este se Ie llama, simplemente, complemen-tario de A, y se sobreentiende que esta formado porlos elementos del conjunto referencial que no perte-necen a A. As!, por ejemplo, cuando el conjunto Idelos numeros impares se considera como contenido enel conjunto de los numeros naturales, su complemen-tario sera el conjunto P de los numeros pares.

Es bastante sencillo representar mediante diagra-mas de Venn diferentes situaciones en las que in-tervienen los terminos introducidos. En el diagram aanterior, el conjunto referencial U se representa pormedio de un rectangulo, y los conjuntos A y B, de los

cuales A es subconjunto de B, con elipses. La relaci6nentre los tres conjuntos representados queda definidaen la expresi6n A ~ B ~ U.

Para los conjuntos A ~ U, B ~ U, si A y B notienen elementos comunes, es decir, si son conjuntosdisjuntos, se dibuja de la siguiente manera:

Para A ~ U, B ~ U, si A y B tienen elementoscomunes, pero ninguno de ambos conjuntos es sub-conjunto del otro, 0 10 que es 10 mismo, ningunoesta contenido en el otro, el diagrama de Venn ade-cuado es el siguiente:

Las operaciones entre conjuntos perrniten estable-cer nuevos conjuntos como resultado de las reglasque se aplican. Las principales son la uni6n, la in-tersecci6n y la diferencia entre conjuntos.

Se llama uni6n 0 reuni6n de dos conjuntos, A yB, al conjunto formado por los elementos que per-tenecen a A 0 a B. Por ejemplo, dados los conjuntosA = {2,3, 4, 6} y B = {4,5, 6, 7}, entonces su uni6n,representada par la expresi6n AU B, vendra dada porAu B = {2,3,4,5,6, 7}, es decir, Au B = {xix E A 0

X E B}, que se lee: «el conjunto A uni6n B esta forma-do par todos los elementos x, tales que x pertenece aA 0 x pertenece a B" .

Se llama intersecci6n de dos conjuntos, R y S, quese escribe R n S, al conjunto formado por los ele-mentos que pertenecen simultaneamente a R y S. En

notacion matematica, se expresa de la siguiente for-ma: R n 5 = {xix E R y X E 5}, y se lee: «el con-junto R intersecci6n 5 es el conjunto formado porlos elementos x, tales que x pertenece a R y x per-tenece a 5". Sean, por ejemplo, R = {m,n,r,s,t} y5 = {m,n,p,q} dos conjuntos; entonces su intersec-cion sera R n 5 = {m, nJ, puesto que solo estos doselementos pertenecen, a la vez, a R y a 5. El diagra-ma de Venn de este ejemplo tiene la configuracionsiguiente:

Se observa que el conjunto interseccion R n 5corresponde al area comtin a R y a 5, cuyos lirnitesse han destacado y donde se han situado los elemen-tos que comparten.

Se llama diferencia entre un conjunto A y otro con-junto B al conjunto formado por todos los elementosde A que no pertenecen a B. En el simbolismo de lateoria de conjuntos, se escribe A - B = {xix E Ay x rt. B}, que se lee: «El conjunto diferencia de A conB es el conjunto de los elementos x, tales que x per-tenece al conjunto A y x no pertenece al conjun-to B". Dados los conjuntos A = la, b, c, d, e,j} yB = {a, e, c, m, r, sJ, la diferencia entre estos dos con-juntos es A - B = Ib, d,j}, es decir, se eJirninan delos elementos del conjunto A aquellos que pertene-cen tambien a B, en este caso a, e y c.

En el marco de la teorfa de conjuntos, las relacionesperrniten establecer ciertos vfnculos entre los elemen-tos de dos 0 mas conjuntos. Los tipos mas frecuentesde relacion que se dan son las correspondencias y lasaplicaciones.

Una correspondencia entre un conjunto A y otroconjunto B es una ley que perrnite relacionar elemen-tos de A con otro u otros de B. Se designa por una

letra rninuscula, en general f, g, h 0 una de las le-tras siguientes. En el esquema siguiente se representauna correspondencia entre 10sconjuntos A = {Marfa,Pedro, Carlos, Pepa} y B = {M, P}:

La linea que une, por ejemplo, el elemento Pedrodel conjunto A con el elemento P del conjunto B re-presenta la correspondencia entre ambos, que se de-notaf(Pedro) = P. En tal caso, se dice que P es laimagen de Pedro, y que Pedro es una antiimagen deP. Es faci! deducir que, en el ejemplo, la correspon-dencia f relaciona cada nombre del conjunto A consu inicial en el conjunto B.

Las aplicaciones son un tipo particular, muy uti-lizado, de correspondencias. Una aplicacion es unacorrespondencia que asigna a cada elemento de A ununico elemento de B. Existen varias clases de apli-caciones: inyectivas, exhaustivas 0 suprayectivas, ybiyectivas.

Inyectivas: una aplicacion es inyectiva si cada ele-mento del conjunto de imagenes es imagen, comomaximo, de un elemento del conjunto de partida.A continuacion se representan graficamente las re-laciones f y g:

Se observa que la aplicacion f es inyectiva, puescumple la condicion que define este tipo, rnientrasque la aplicacion g no 10es, ya que el elemento dtiene dos antiimagenes diferentes.

Exhaustivas 0 suprayectivas: una aplicacion es ex-haustiva si todo elemento del segundo conjunto esimagen de algun elemento del primer conjunto. Enlos ejemplos anteriores, solo f es exhaustiva; g no10 es porque el elemento z no tiene antiimagen.

Biyectivas: se llama asf a toda aplicacion que es,a la vez, inyectiva y exhaustiva. Una aplicacion deMaN es biyectiva si ningun elemento de N es ima-

gen de mas de un elemento de M y todos los ele-mentos de N son imagen de algun elemento deM. Por tanto, en las aplicaciones biyectivas, tam-bien Ilamadas biyecciones, cada elemento del pri-mer conjunto tiene una y solo una imagen, y cadaelemento del segundo tiene una y solo una antiima-gen. Observese que, de las aplicaciones anteriorestomadas como ejemplo, solo f es una aplicacionbiyectiva.

SIMBOLOS DE LA TEORIA DE CONJUNTOS

Simbolo Significado Simbolo Significado

{xl ... } Conjunto de elementos x, tales que ... E Pertenece a

fl- No pertenece a (/) Conjunto vacio

U Conjunto referencial 0 universal Igual a

P(C) Conjunto de las partes de C CB:A Complementario de B respecto de A

A-B Diferencia entre A y B u Union 0 reunion

n Interseccion rex) = y Relacion de x a y

N Conjunto de los numeros naturales Z Conjunto de los numeros enteros

Ql Conjunto de los numeros racionales IR Conjunto de los numeros reales

1 Separar las palabras de la siguiente lista endos conjuntos distintos y dar el criterio utilizado:perro, armario, gato, pajaro, mesa, silla, raton, si-lIon, mesita, serpiente.Puede considerarse un conjunto de animales.

{perro, gato, pajaro, raton, serpiente}

y otro conjunto de muebles, igual a

{armario, mesa, silla, sillon, mesita}

2 Definir por comprension los conjuntos que serelacionan a continuacion:

A = {a, e, i, 0, u}B = {lunes, martes, miercoles, jueves, viernes,

sabado, domingo}C = {I, 3, 5, 7, 9}

Definir por comprension consiste en dar la propiedadcaracterfstica de los elementos de cada conjunto. Porella, se pueden definir par comprension los conjun-tos anteriores de la siguiente forma: A = {xix es unavocal}; B = {xix es un dfa de la semana}, y C = {xixes un numero impar de una cifra}.

3 Expresar por extension los conjuntos que serelacionan a continuacion:

D = {meses del ano}

E = {mimeros pares de una cifra}

F = {letras distintas que forman la palabra«montana» }

Para expresar por extensi6n los conjuntos D, E y F,deben enumerarse todos los elementos que componencada conjunto, es decir, indicar todos los que cum-plen las definiciones comprensivas dadas. Asi pues:D = {enero, febrero, marzo, abril, mayo, junio, julio,agosto, septiembre, octubre, noviembre, diciembre};E = {2, 4, 6, 8}, y F = {m, 0, n, t, a, fi}. En el ultimocaso, no debe repetirse la letra a, pues se pi den letrasdistintas.

4 Dar una definici6n por comprensi6n de cada unode los conjuntos siguientes:

G = {I, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8,9, 1O}

H = {Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Jupiter,

Saturno, Vrano, Neptuno, Plut6n}

I = {Ciudad de Mexico}

Soluci6n: G = {xix es natural y x ~ lO}

H = {xix es un planeta del sistemasolar}

I = {xix es la capital de Mexico}

5 Escribir par extensi6n los siguientes conjuntos:

a) A consta de las vocales de la palabra «Eucario».

b) B consta de los colares del arco iris.

c) C consta de las estrellas del sistema solar.

d) D consta de todos los numeros naturales menoresque 10.

Soluci6n: a) A = {a, e, i, 0, u}b) B = {rojo, naranja, amarillo, ver-

de, azul, violeta, indigo}

c) C = {Sol}

d) D = {I, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

6 ;,Han de ser siempre iguales el conjunto delos alumnos de la clase y el de los alumnos de laclase que llevan gafas? ;,Y siempre distintos? ;,Deque depende que sean iguales 0 no?

Estos conjuntos no tienen por que ser siempre igua-les, ni tampoco siempre distintos. Su igualdad depen-de del conjunto de referencia que tomen, es decir, dea que clase en particular se refieran: si en ella un s610alumno no lleva gafas, senin distintos, e iguales si to-dos las llevan.

7 ;,Son iguales los conjuntos {mimeros paresmenores de lO} y {2, 4, 6, 8, lO}? ;,Por que?

No, ya que para que sean iguales el segundo conjuntono deberfa tener el elemento 10, que no es menor que10, como pide la definici6n comprensiva del primerconjunto.

A = {10, 20, 30, 40, 50, 60, 70,80, 90}

B = {numeros de dos cifras}

C = {numeros que terminan en cero}

D= {10, 30,40, 50, 60, 20, 70,90, 80}

E = {numeros de dos cifras que acaban en cero}

Verificar si son verdaderas 0 falsas las siguientesigualdades:

a) A =B

b) B = C

c) A = C

d) B=D

e) A = D

f) D=E

g) A = E

h) B = E

Solucion: a) Falsa;c) Falsa;e) Verdadera;g) Verdadera;

b) Falsad) Falsa1) Verdaderah) Falsa

9 ;,Cuales de los siguientes conjuntos son finitosy cuales infinitos?

A = {xix es hoja de un arbol}B = {xix es palabra de la lengua espanola}C = {xix es numero natural multiplo de 4}

EI conjunto A, aunque muy numeroso, es finito, pueshay un numero finito de arboles, cada uno de elloscon un numero tambien finito de hojas, par 10 que,en principio, se pueden enumerar. Por parecidas ra-zones, B es finito: un metoda para obtener una enu-meracion seria tomar las palabras de todos los dic-cionarios y publicaciones en espanol del mundo. Enlos dos casos anteriores, cabe remarcar que no impor-ta que en la practica sea muy diffcilla enumeracionde los elementos del conjunto; basta con saber queserfa posible, por costoso que resultara. En cambio,C es infinito, pues por cada numero natural x existeun multiplo de cuatro, 4x: como hay infinitos nume-ros naturales, habra infinitos de ellos multiplos de 4.

10 LCuales de los siguientes conjuntos son finitosy cuales son infinitos?

a) A = {xix es un numero natural}b) B = {xix es un color}c) C = {xix es una letra de la palabra escalofrio}

Solucion: a) Infinito; b) Finitoc) Finito

A = {xix es un numero real y x2 < O}B = {xix es un numero real y x2 = 3}

C = {xix "* xl

12 Son ciertas las siguientes igualdades entre con-juntos?:

a) 0 = {xix es un numero natural y x < O}b) 0 = {xix es una persona con tres ojos}

A = {Paris, Londres}B = {Luis, Ana, Pedro}C = {mesa, silla, armario}D = {xix es un nombre de persona}E = {xix es un mueble}G = {xix es una capital de Europa}

;,Cuales pueden ser considerados subconjuntos deque otros?A es subconjunto de G, pues Paris y Londres son ca-pitales europeas; B es subconjunto de D, ya que todoslos elementos de B cumplen la condicion expresadapor D, y por una relacion similar, C es subconjuntodeE.

14 Expresar las relaciones de inclusion existentesentre los siguientes conjuntos:

A = {I, 3, 5, 7, 9}B = {xl x es un numero menor que 100}C = {xix es un numero de una cifra}D = {I, 3, 7, 19, 25}

15 Designar cuatro subconjuntos del conjunto de,por ejemplo, los alumnos de un curso.

Solucion: Pueden haber diversos, por ejemplo:A = {xix es rubio}B = {xix es rubio y x usa gafas}C = {xlel nombre de x contiene la

letra m}D = {xla x Ie gustan las matematicas}

16 Completar con los sfmbolos C 0 ct, segtin con-venga, las expresiones que acompanan a los siguien-tes diagramas de Venn:

F

oo

17 Sea A = {a, b, c}. Hallar todos los subconjun-tos deA.

o c A, ya que 0 es subconjunto de cualquier conjun-to. A tiene tres subconjuntos con un tinico elemen-to: {a}, {b}, {c}. Con dos elementos, tiene tres subcon-juntos: {a, b}, {a, c}, {b, c}, y un tinico subconjunto contres elementos, el mismo: {a, b, c}. Asf pues, A tiene8 = 23 subconjuntos, es decir, 2n, donde n es el ntime-ro de elementos del conjunto.

18 Indicar, de los siguientes conjuntos, cuales sonsubconjuntos de A = {I, 3, 5, 7, 9}:

B={1,3,5}D=0F= {I, 3, 5, 7, 9}

C={l}E={1,2,3,4}

19 En el conjunto A = {a, e, i}, indicar:

a) Todos los subconjuntos de 1 elemento.b) Todos los subconjuntos de 2 elementos.c) Todos los subconjuntos de 3 elementos.d) l.Falta considerar algun otro subconjunto?

Soluci6n: a) {a}, {e }, {i}b) {a,e},{a,i},{e,i}c) {a,e,i}d) Falta considerar el mismo con-junto A y el conjunto vacfo

20 Escribir las siguientes proposiciones en la nota-ci6n usual de la teona de conjuntos:

a) xes elemento de X.b) A es un subconjunto de B.

c) a no esta en A.

d) Y no es igual a X.

Soluci6n: a) x E X;c) a ~A;

b) A c;;.Bd) Y:tX

21 Indicar emlies de los pares de conjuntos quese citan a continuacion pueden considerarse nece-sariamente disjuntos:

a) A = {xIx es un caballo} y B, el conjunto de lasaves voladoras

b) C = {xIx es un ser humano} y D, el conjunto delos nacidos en Saturno

c) E = {xIx es ciudadano de Mexico} y F = {ylyes ciudadano espafiol}

Los pares de a) y de b) son siempre disjuntos, pues,en el primer caso, ningun caballo es un aye voladora,y en el segundo, nadie nacido en Satumo es humano;10 mismo sucede si se considera que el conjunto Des el conjunto vacfo, pues al no tener elementos, nopuede compartirlos con ningun conjunto, y siemprees disjunto. En la pareja de c), como existen perso-nas que gozan de la doble nacionalidad, pertenecen aambos conjuntos a la vez, con 10 que estos ya no sondisjuntos.

22 Decir cuales de los siguientes pares de conjun-tos son disjuntos:

a) {xIx es un numero par} y {xIx es un ntimero im-par}

b) {xIx es una vocal} y {xIx es una consonante}c) {yly es un nino} y {zl z es una nina}d) {yly es alumno de primer grado} y {xIx es alumno

de una escuela cualquiera}

23 Buscar el complementario de A = {lunes,miercoles} si se toma como referencial el conjuntode dias de la semana.EI complementario de A en este caso seran todos loselementos del referencial que no se encuentran en A.Asf, el complementario de A esta farmado por los si-guientes elementos: {martes, jueves, viemes, sabado,domingo}. Contiene los dfas de la semana que no sonlos de A, es decir, ni lunes ni miercoles.

24 l,CuaI es el complementario del conjunto de chi-cas de una clase, si se tiene como referencial el con-junto del alumnado de esa clase?

Solucion: El de los chicos de la clase, si esta esmixta, 0 el conjunto vacio {0}, en casocontrario

25 l,Cual es el complementario de {I, 2}, si el re-ferencial es {I, 2, 3, 4, 5}?

26 Buscar el complementario correspondiente a ca-da conjunto, e indicar, en cada caso, un conjunto re-ferencial que 10 contenga.

A = {xix es una niila}B = {Europa, Africa}C = {xix esta enfermo}D = {yly es un habitante masculino de Mexico}

Solucion: Entre las multiples soluciones posibles,se ofrecen:

CA; U = {xix es un nifi.o} con referen-cial U = {yly nacio un lunes}CB; U = {Asia, America, Oceania} conreferencial U = {xix es un continente}Cc; U = {xix esta sano} con referencialU = {zlz es una persona viva}CD;U = {yly es un habitante femeninode Mexico} para el referencial U igualal conjunto de la poblacion de Mexico

27 Se tienen los conjuntos A = {2, 4, 6, 8, 10} YB = {I, 2, 3, 4, 5}:

a) Expresar por extension A UB.b) Expresar por extension B UA.

c) ;,Es correcto escribir A U B = B UA?

es decir, un conjunto formado por todos los elemen-tos de A, mas todos los elementos de B. En el caso b),se obtiene de la misma forma:

En cuanto a la pregunta de c), como se ha podidoobservar, la union de A y Bode B y A es identica,pues no imparta en que orden se tomen los elementosde ambos conjuntos de partida.

28 Sean A = {a,b,c,d}, B = {a,b,x} y C = {x,y}.Calcular:

AuBBuC

AuCBuB

Solucion: A U B = {a, b, c, d, x}AU C= {a,b,c,d,x,y}B U C= {a,b,x,y}BUB={a,b,x}

A = {a,b,c,d}

B = {l,2,3,4}

C = {a,b, I,2}

Hallar A U B, A U C YB U C.

Soluci6n: AU B = {a, b, c, d, 1,2,3, 4}Au C= {a,b,c,d, 1,2}B U C = {I, 2, 3, 4, a, b}

A = {xix es un mimero natural par}B = {xix es un mimero natural impar}

31 l,Cmll es el conjunto union de A = {xix es unmimero real y 0 < x < lO} y B = {xix es un numeroreal y -2 < x < 5)?

Solucion: A UB = {xIx es numero real y-2 < x < 10}

32 Con los conjuntos A = {xIx es un dia de lasemana cuyo nombre acaba en s}, y B = {xIx esun dia de la semana cuyo nombre tiene 6 letras},expresar por comprension y por extension A nB.

Como A n B ha de ser el conjunto de elementos quepertenezcan, a la vez, a A y a B, por comprensionbasta reunir todas las condiciones de ambos conjun-tos: A nB = {xix es un dia de la semana cuyo nom-bre finaliza en s y x es un dfa de la semana cuyonombre tiene 6 letras}. Por extension se obtienenprimero las formas extensas de los conjuntos: A == {lunes, martes, miercoles, jueves, viernes}, y B == {martes, jueves, sabado}. A nB se obtendni agru-pando en un conjunto solo aquellos elementos queaparezcan en ambos conjuntos, es decir, A n B= {martes, jueves }.

33 Considerados los conjuntos A = {xix es unnumero natural menor que 6} y B = {yly es un nume-ro natural mayor que 3}, expresar por comprension ypor extension A nB.

Solucion: Por comprension A n B = {xIx es unnumero natural menor que 6 y mayorque 3};Por extension, A nB = {4, 5}

Escribir par extension los conjuntos A, B, A U B YAnB.

Solucion: A = {I, 2, 3, 4, 5, 6}B = {2, 4,6,8, to, 12}A UB= {1,2,3,4,5,6,8,10, 12}A n B = {2, 4, 6}

35 ;,Cual es el conjunto A nB, si A = {xIx es unavocal} y B = {xIx es una consonante} ?A nB = 0, ya que 10sdos conjuntos no tienen ningunelemento en comun, pues ninguna vocal es una con-sonante.

36 Sean A = {xIx es un natural par} y B = {xIxes un natural impar}. Encontrar su interseccion.;,Son A y B disjuntos?

A n B = 0, pues como ningun natural puede ser pare impar a la vez, los conjuntos A y B no poseen ele-mentos comunes. Como esta es, precisamente, la con-dicion para que dos conjuntos sean disjuntos, A y B10son.

37 Con A = {xix es numero real y 0 < x < 2) YB = {xix es numero real y I < x < 5), determinar suinterseccion.

Solucion: A nB = {xIx es numero real y1< x < 2}

38 Si A es el conjunto de los alumnos de primergrado de un instituto, y B el de las chicas de ese ins-tituto, l,quienes son del conjunto A n B?

Solucion: Las chicas de dicho instituto que cur-san el primer grado

39 Sean los conjuntos A = {I, 2, 3, 4, 5} Y B = {3,4, 6, 8, 1O}. (,CU<iles el conjunto diferencia A - B?

40 Dadas las palabras «montafia» y «mafioso», cons-truir los conjuntos correspondientes a sus letras parexpresion y el conjunto diferencia del primero menosel segundo.

Solucion: A = {m, 0, n, t, a, ii}B = {m, a, ii, 0, s}A -B = {n, t}

41 Representar mediante diagramas de Venn, laexpresion B cA.

Puesto que B c A, todo elemento de B, es decir, todasu extension en el diagrama, ha de ser tambien de A;par tanto, todo B habra de quedar dentro de A, comoen el diagrama siguiente:

42 Dibujar tres conjuntos que mantengan la si-guiente relacion: A c B c C.

43 Juan, Pedro, Maria y Ana son los encargadosde la biblioteca. Cada dia de la semana se acos-

tumbra a quedar uno para atenderla, segon la si-guiente distribucion:

Juan lunes

martesPedro

miercolesAna

jueves

Maria viernes

sabado

lQUe tipo de relacion se da entre los bibliotecariosy los dias de la semana?En este grafico se pueden interpretar las flechas comovinculos de una relacion entre dos conjuntos: par unaparte, el de los bibliotecarios, y por otra, el de losdias de la semana. Juan y Pedro estan en el origen dedos flechas cada uno, que se dirigen hacia el conjuntode llegada: par ello, se puede afirmar que la relacionno es una aplicacion, pues para que 10 fuera, cadaelemento del conjunto de salida solo podria tener unasalida hacia el conjunto de llegada.

44 Dados los diagramas de Venn siguientes, unircon flechas los elementos de uno de los conjuntos conlos del otro, de manera que la correspondencia seaaplicacion. l,Cual ha side el criterio utilizado?

EI criterio usado es unir el nombre decada figura geometrica con el numerode lados de dicha figura

45 Dibujar el diagrama de flechas de la correspon-dencia entre A = {I, 3, 5, 7} YB = {2, 6, 15, 14, 22},con el criterio «x tiene por doble y».

Solucion:A

46 Deducir cmU es el criterio que define cada unade las siguientes correspondencias:

Solucion: En la primera, se utiliza el criterio «xcon el numero anterior a el», 0 tam-bien «x con x-I»; en la segunda, <<fapalabra con su letra inicial»

47 Considerar la correspondencia de conjunto ini-cialA = {I, 2, 4,6, 8} y de conjunto final B = {3, 5, 7,9, II} que a cada numero de A Ie hace corresponderel siguiente.

a) Dibujar el diagrama de flechas.b) l.Hay algun elemento de A del que no parta nin-

guna flecha?c) l.Es una aplicacion esta correspondencia?

48 ;,Culiles de estas correspondencias son apli-caciones?

Unicamente a) es una aplicacion, ya que en b) masde una flecha parte de algun elemento del conjunto desalida, y en c) hay un elemento del conjunto de salidaque no tiene imagen.

49 l.Cuales de las siguientes correspondencias sonaplicaciones? Si alguna no 10 es, explicar por que su-cede esto.

a) A cada coche Ie hacemos corresponder su marca.b) A cada nacion, su capital.

c) A cada alumno, su edad.d) A cada alumno, su padre.e) A cada alumno, sus hermanos.f) A cada alumno, su nombre.

Soluci6n: Son aplicaciones a), b), c), d) y 1); noes aplicacion e), pues un alumno puedetener mas de un hermano

50 Dado el siguiente diagrama de Venn, ;,que ti-po de relacion seria la dada la representada, queasigna a cad a padre (conjunto de la izquierda) sushijos (conjunto de la derecha)?

Se observa que es una correspondencia, pero no esuna aplicaci6n, ya que se tienen elementos en el con-junto de salida con mas de una imagen en el de llega-da, pues hay padres con mas de un hijo.

51 Sea la aplicaci6n que a los elementos del con-junto A = {2, 4, 6, 8, 1O} les hace corresponder unelemento de B = {4, 8,12,16, 20}, con el criterio«ser el doble de». l,Cuales son las imagenes y las an-tiimagenes de esta aplicaci6n?

Soluci6n: Las imagenes son: 4, 8, 12, 16,20; y lasantiimagenes, 2, 4, 6, 8, 10

Expresar en lenguaje comun y con el simbolismode la teoria de conjuntos:

a) ;,Cual es la imagen de Pedro?

b) ;,Cual es la imagen de Roberto?

c) ;,Y la antiimagen de Pepa? ;,y la de Rosa?

En a) La imagen de Pedro es Maria, y se simbolizaj(Pedro) = Marfa; b) La imagen de Roberto es Ro-sa, y de manera similar, se expresaj(Roberto) = Ro-sa; c) La antiimagen de Pepa es Luis. Para expresarla antiimagen, puede hacerse de la siguiente forma:j-I (Pepa) = Luis. Se observa que Rosa tiene dos an-tiimagenes: Roberto y Mario, por 10 quej-I(Rosa) == Roberto, y tambienr1(Rosa) = Mario.

53 La siguiente aplicacion, ;,es inyectiva, exhaus-tiva 0 biyectiva?

Se trata de una aplicaci6n inyectiva, ya que no hayelementos diferentes en el conjunto de salida que ten-gan por imagen el mismo elemento del conjunto dellegada. En cambio, no es exhaustiva, ya que el 9no tiene antiimagen. Como consecuencia, esta apli-caci6n no es biyectiva, pues para serlo debe ser almismo tiempo inyectiva y exhaustiva, y la segundacondici6n no se da.

54 De las siguientes aplicaciones representadas gra-ficamente, hay una inyectiva, otra exhaustiva y otrabiyectiva. Indicar cual es cual.

1 a

2 b

3 cd

Solucion: a) es inyectiva; b) es exhaustivac) es biyectiva

55 ;,Puede establecerse una aplicacion biyectivade un conjunto de 2 elementos a otro de 3?No, ya que toda aplicacion biyectiva ha de tener elmismo numero de elementos en los conjuntos de sa-lida y llegada.

56 Se ha establecido una aplicacion biyectiva en-tre un conjunto A y otro B. Si A tiene 5 elementos,l,cwlntos debe tener B?

57 La aplicacion que asigna a cada mexicano sumimero de pasaporte de dicho pais, ;,es biyectiva?Sf, pues cada mexicano tiene uno y solo un pasapor-te, y cada numero de este corresponde siempre a lamisma persona.

58 Representa graficamente una aplicaci6n biyecti-va que relacione cada numero con el dfa de la semanaque Ie corresponde, si el lunes es el primer dfa de lasemana.

59 Establecer, si es posible, una aplicacion biyecti-va en cada caso: