COMBINATORIA

La combinatoria es la parte de las matematicas quese ocupa de problemas como el siguiente: «Dadas lasletras a, b, c, d, e,i, hallar el numero de grupos detres letras que pueden formarse con ellas»; 0 bien:«(,CWlntos capicuas de seis cifras existen? »; 0, des-de un punto de vista mas practico: «Si una ciudad deplanta rectangular esta formada por 100 calles hori-zontales y 300 verticales, averiguar el numero de tra-yectos posibles para trasladarse en automovil desdeun vertice de la ciudad hasta el opuesto.»

Es evidente que los resultados de estos problemaspueden encontrarse por medios rudimentarios, queexigen pocos conocimientos, pero mucho tiempo ypaciencia, basados en ir haciendo pruebas. No obs-tante, los matematicos han descubierto metodos querequieren mucho menos tiempo y paciencia.

La combinatoria es un potente auxiliar de la es-tadfstica, que muchas veces obtiene sus resultadosa partir de muestras aleatorias de una poblacion, lascuales no son sino combinaciones de un numero de-terminado de miembros de dicha poblacion.

La combinatoria tiene como objetivo el recuento delos subconjuntos que cumplen determinadas condi-ciones especiales. Muchos de esos recuentos puedenreducirse a tres modalidades: variaciones, permuta-ciones y combinaciones.

Se denominan variaciones los conjuntos de m ele-mentos tornados de n en n, (siendo m y n numerosnaturales) y donde dos conjuntos difieren en algunelemento 0 en el orden de colocacion de estos.

Las variaciones pueden ser de dos tipos: con repe-ticion 0 sin repeticion.

Se denominan variaciones sin repeticion de m ele-mentos tornados de n en n (con n :s; m) al numerode conjuntos distintos formados por n elementos dis-tintos, de modo que dos conjuntos difieran en algunelemento 0, si tienen los mismos, en el orden de sucolocacion.

Pascal naci6 en el seno de una familia ortodoxa francesa. Siendonino, fue educado por su propio padre, quien orientaba sus estudiosal aprendizaje de lenguas antiguas, lejos de las matematicas. Peroante la evidencia de descubrimientos hechos por el pequeno Blaise,su padre accedi6 a introducirlo en el estudio de la obra de Euclides.Anos mas tarde,disen6 una maquina decalcular con la que sepod fan efectuar sumas yrestas (1642), avanzadapara su tiempo, a la quelIam6 «Pascaline».Pero no fue este su unicoinvento; sus estudiosabarcaron diversoscampos de la fisicacomo la hidrodinamicay la hidrostatica, que10 lIevaron a formularconceptos como lapresi6n (cuya unidad esel Pascal) y el vado, la leysobre las presiones quetambien lIeva su nombre,y a la invenci6nde la prensa hidraulicay la jeringa.

Pascal, que ala edad de 14 anossolia reunirse con l1ersenne,Fermat y otros a discutir sobretemas matematicos, hizo enaquellos anos aportaciones muyvaliosas, en campos como lageometria proyectiva. A 10 largode su vida se interes6 tambienpor la (isica, la hidrodinamica,la hidrostatica, la (ilosoffa y lateologia.

Tras una larga enfermedad escribe su Traite du triangle arithmetiqueen el que describe el famoso triangulo aritmetico de los coeficientesbinomiales, conocido como triangulo de Pascal (0 de Tartaglia),aunque sus valores habfan sido estudiados con anterioridad porOmar Kayam y Tartaglia entre otros. Tambien trabaj6 en seccionesc6nicas, y en la cicloide.

Impulsado por un amigo, aficionado alas apuestas, mantuvocorrespondencia con Fermat, con planteamientos, estudios ydiscusiones sobre la teoria de los juegos de dados, que sentaron lasbases para la Teorfa de la Probabilidad.

Tras un accidente en el que casi pierde la vida, en 1654 Pascalabandon6 definitivamente las ciencias para dedicarse a la filosofiay la teologfa.

l,Cwintas variaciones sin repeticion hay? 0 dichode otro modo: l,Como se puede calcular el ntimeroposible de variaciones de m elementos agrupados den en n?

Esto se representa mediante la expresion VIII,n. En elcaso de n = 1 conjuntos de un elemento, la formulasera la siguiente:

Vm,! = m (en este caso se pueden formar m gruposde un elemento).

Cuando n = 2 (tambien pueden denominarse varia-ciones binarias), la formula sera:

Vm,2 = m· (m - 1).

Cuando n = 3, se denominan variaciones temarias,y la formula es:

En general, para calcular cuantas son las variacio-nes sin repeticion de m elementos tornados de n en n,se aplica la siguiente formula:

Vm,n = m· (m - 1) . (m - 2) ... (m - (n - 1)) == m· (m - 1) . (m - 2)· .. (m - n + 1)

m!V ----

m,n - (m - n)!

La expresion m!, que se lee «m factorial», 0

«factorial de m», consiste en la multiplicacion de mpor todos los naturales inferiores a dicho valor, hastael 1 (en el orden practico, hasta el 2, pues el produc-to por 1 no varia el resultado). De esta manera, porejemplo, 5! equivale al producto 5 . 4 . 3 . 2 = 120.Ha de recordarse que, pese a la definicion, se estable-ce que O! = 1.

Para calcular, por ejemplo, las variaciones sin repe-ticion de cinco elementos tornados de tres en tres, seusa la formula introducida, en la que se sustituyen lasvariables por los valores indicados en el enunciado,es decir, m = 5 Yn = 3:

VS,3 = 5! = 5! = 120 = 60

(5-3)! 2! 2

Existen, pues, sesenta variaciones sin repeticion po-sibles de cinco elementos, tornados de tres en tres.

En una uma hay, por ejemplo, seis bolas numera-das dell al 6. Se extraen grupos de tres bolas en or-den, que se devuelven a la uma despues de anotar el

ntimero formado en cada extraccion. Segtin eso,l,cuantos ntimeros distintos de tres cifras se puedenobtener de esta forma?

Para hacer este calculo, se utilizan las variacionessin repeticion, ya que el orden es importante (dosntimeros que tengan las mismas cifras, pero extraidasen distinto orden, forman ntimeros distintos) yen unamisma extraccion no se repite ninguna cifra.

En total hay seis elementos, que se toman de tresen tres. Esto significa que m es igual a 6 y que n esigual a 3. Al sustituir estos valores en la formula delas variaciones sin repeticion, se obtiene el siguienteresultado:

v = 6! = 6! = 720 = 1206,3 (6 - 3)! 3! 6

Se pueden formar, en total, ciento veinte ntimerosdistintos, a partir de las seis bolas tomadas en gruposde tres.

Se denominan variaciones con repeticion los con-juntos de m elementos tornados de n en n, de maneraque los elementos de un conjunto pueden estar repe-tidos 0 no. Esto significa que dos conjuntos difierenentre sf cuando tienen elementos diferentes, 0 cuandotienen los mismos elementos pero en distinto ordende colocacion. Notese que aquf los elementos puedenestar repetidos en los conjuntos.

Para calcular cuantas variaciones con repeticionexisten en cada caso (VRm,n), se aplican las siguientesformulas:

Un cansado caminante lIega a una posada con intencion de alojarseuna semana, a la espera de su compafiero. No lIeva dinero y proponeal posadero que Ie pagani aillegar su amigo.EI posadero no aceptaesta propuesta por miedo a ser defraudado. EI peregrino ofreceentonces entregar una cadena de oro de 7 eslabones, a razon deuno por dia, con la condicion de recuperar los eslabones en cuantoIlegue su compafiero. EI posadero acepta.i(ual sera el numero minimo de eslabones que tendra que abrir elperegrino para pagar al posadero?

Soludon al final del capitulo

Si n = 1, VRm, I = m; se pueden formar m gruposde un unico e1emento.

Si n = 2 (a1 igua1 que en 1as variaciones sin re-peticion, tambien se pueden Hamar binarias), se-n1 VRm,2 = m . m, pues son 10sm elementos de VRm,laiiadiendo los m elementos, pudiendo repetir el queya estaba incluido.

Si n = 3 (variaciones ternarias), la formula sera:

Un caso en el que se aplica el calculo de variacio-nes con repeticion es, por ejemplo, el analisis de losresultados posibles de lanzar tres dados a la vez. Ca-da dado tiene seis resultados posibles, y puesto quese lanzan tres dados, en cada tirada los resultados sepresentan de tres en tres.

El calculo se hace mediante las variaciones con re-peticion, puesto que una misma cifra (valor del da-do) puede darse mas de una vez en una misma tirada.Asf pues, en la formula establecida se sustituye m por6, y n por 3:

VR6,3 = 63 = 216En consecuencia, la formula nos dice que, allanzar

tres dados de forma simultanea, pueden darse dos-cientas dieciseis situaciones distintas.

Se denominan permutaciones los conjuntos de melementos tornados de m en m, (donde m es un nume-ro natural). Observese que las permutaciones son uncaso particular de las variaciones cuando se tomantodos los elementos; y, evidentemente, difieren en lacolocacion de estos dentro de cada conjunto.

Las permutaciones pueden ser sin repeticion 0 conrepeticion.

Las permutaciones sin repeticion son un caso par-ticular de las variaciones sin repeticion. Son, pues,conjuntos de m elementos y, por tanto, los conjuntossolo pueden diferir entre sf por el orden de colocacionde sus elementos. Se representan por Pm, que se lee:permutaciones sin repeticion de m elementos.

La formula se puede deducir a partir de la que se havisto en el caso de las variaciones sin repeticion. Enefecto, tenemos:

Y al considerar que las Pm son un caso particularde las Vm,l1 en el que n = m, es decir, Vm,m, se obtienela formula:

Pm = Vm,m == m· (m - 1) . (m - 2)··· . (m - m + 1)= m· (m - 1) . (m - 2) ..... 1 == m· (m - 1) ..... 1 = m!

Observese que para calcular las permutaciones,basta multiplicar m por todos los numeros naturalesen orden descendente hasta ell, es decir, calcular m!.

Veamos un problema que se resuelve mediante es-ta formula: en un maraton organizado por un puebloparticipan cinco personas. l,Cuales son todas las po-sibles clasificaciones que pueden darse?

En cada clasificacion hay que tener en cuenta ca-da uno de los cinco corredores, sin que ninguno deeHos pueda aparecer en dos posiciones distintas enla misma clasificacion. Se trata, por tanto, de permu-taciones sin repeticion, en las que los elementos sonsiempre los mismos pero en distinto orden.

La formula para calcular el numero de permutacio-nes sin repeticion consiste en calcular el factorial delnumero m de elementos implicados, que en este casoes igual a 5:

Por tanto, existen ciento veinte clasificaciones dis-tintas posibles de cinco corredores.

Resulta sumamente complicado explicar las per-mutaciones con repeticion directamente a traves dela teorfa por 10 que, en un primer momento, se ex-pondran mediante un ejemplo a partir del cual se de-ducira la formula general.

Supongamos que nos piden formar las permutacio-nes posibles con 10 elementos, pero que, en lugar deser todos diferentes en cada conjunto, como suced{aen el caso de las permutaciones sin repeticion, resul-ta que ahora, esos elementos son, por ejemplo, lossiguientes: (a, a, a) (b, b) (c, c, c, c, c).

Los f1exagonos son entretenidos juegos hechos en papel plegado u otro material flexible. Si la forma delobjeto terminado es cuadrada, se denomina tetraflexagono, si es hexagonal, hexaflexagono. Fueron ideadospor Arthur H. Stone en 1939. En una posicion determinada, el flexagono muestra un color en cada cara; trasalgunos movimientos de los pliegues se consigue cambiar los colores de las caras.

Consejos para la fabricacion de f1exagonos• Se recomienda utilizar un papel firme 0 carton fino. Con cuadrados de unos 5 cm se obtiene un flexagono

comodo de manipular.• Los numeros en los cuadrados pueden ser reemplazados por colores u otras marcas: a igual numero igual

color.• En algunos casos, una linea negra gruesa remarca parcial mente algunos cuadrados: por dicha linea debe

efectuarse un corte.• En las ilustraciones una y otra cara del papel se diferencian por el color gris y blanco.

Es recomendable remarcar los dobleces en ambos sentidos. Se doblan los cuatro lados de todos loscuadrados.

Tres coloresSe parte de una tira de cuadrados y se procede como indican las figuras.

----~

~

Cuatro coloresTomar un papel rectangular de proporciones 3 x 4 (observar que tiene un corte en forma de «C»).

1 1 2I

33 2 1 11 1:2 3

4 4 3 22 3 4 44 4 3 2

Mirando la cara frontal, doble la pestana central hacia atras. Luego, doble tambien hacia atras la columnaderecha (a 10 largo de a-b). Se repite 10mismo por la linea c-d.

Si completamos el plegado de la lengueta central, este ultimo pliegue sera hacia adelante. En este momentatoda la cara frontal debe mostrar el numero I.

Bastara con girar el f1exagono para encontrar una cara completa del color 2.

Plegando y desplegando se consigue que las caras muestren las otras combinaciones de colores.

Seis coloresPartimos ahora de un cuadrado de 4 x 4 cuadrados al que Ie quitamos el cuadrado central de 2 x 2 (observarel corte horizontal).

c

5 2 11~d 4 5 6 6I

1 ,2 4 3b 2

11 3 4

3 112 5 6 654a

Mirando dellado frontal, tomar los cuadrados 1-5 de abajo a la derecha. Doblar el resto por a. A continuaci6nplegar por b hacia adelante, luego hacia atras por c, y final mente por d hacia delante. La siguiente ilustraci6nservira de gufa:

zt b

~Sl2\c

Con la nueva indicaci6n de letras, plegar el 1-5 inicial por el nuevo a hacia delante; doblar la parte superiorpor b hacia atras; para terminar plegando por c. Un pliegue adicional permitira obtener una cuadrado con elcolor 2 al frente como muestra la figura. Colocar una cinta de De~amento en el punto indicado por la flecha.

15 5

~

Z 22 Z I

Este flexagono se pliega vertical y horizontal mente, y permite permutar por 6 colores. Se pueden elegirconvenientemente seis fotograffas cuadradas de igual tamano y fabricar un flexagono figurativo. En ese casohay que tener en cuenta las rotaciones que se generan en el plegado.

Se comprende que en tal caso no habra PI 0 = 10!permutaciones posibles, ya que muchas de ellas seraniguales entre sl. En efecto, si consideramos unica-mente las (a, a, a) y las suponemos distintas (a, a, a),las permutaciones formadas con ellas sedan:

(a, a, a); (a, a, a); (a, a, a)

(a, a, a); (a, a, a); (a, a, a)

Sin embargo, como las tres a son iguales entre sf,en realidad no existen 6 permutaciones sino una sola.

Analogamente, las permutaciones formadas por loselementos (b, b), que serian P2 = 2· 1 = 2, se reduci-dan a una unica permutacion; y 10 mismo sucederfacon las Ps = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 permutacionesformadas por 10selementos (c, c, c, c, c).

En resumen, el numero de permutaciones distintasque se obtendrfan serfa:

1O!3!· 2!· 5!

1·2·3·4·5·6·7·8·9·10(1 . 2 . 3)(1 . 2)(1 . 2 . 3 ·4 . 5)

7·8·9·10= ----=2520

1·2

Como los 10 elementos considerados en el ejemploestan repartidos en un grupo de tres elementos igua-les entre sf y distintos a los demas, otro grupo de doselementos iguales entre sf y distintos de los demas y,finalmente, un tercer grupo de cinco elementos igua-les entre sf y distintos de los demas (3+ 2+ 5 = 10), elnumero de las permutaciones con repeticion que pue-den obtenerse a partir de ellos se denota por p~~,s , demodo que en definitiva, se tendra:

p~~,s = 2520 permutaciones con repeticion de loselementos (a, a, a) (b, b) (c, c, c, c, c)

En general, si se dispone de m elementos repar-tidos en: un grupo de a elementos iguales entre sf,otro grupo de f3 elementos iguales entre sf, etc., hastael ultimo grupo de y elementos iguales entre sf, cona +f3 + ... + Y = m, donde m es el numero de permuta-ciones con repeticion que pueden formarse a partir deellos, se designara por PRc:,;/3, ... ,"Y Yse cump1ira que:

m'PRa,(J, ...,"Y = .In a! . f3! ..... y!

En la siguiente situacion se usan las permutacionescon repeticion. Se compran nueve cartulinas de dife-rentes colores: dos de color rojo, cuatro amalillas y

tres verdes. loDecuantas posiciones distintas puedenordenarse, si solo importa su color?

En este caso, cada situacion se diferencia del restopor la posicion de sus elementos y se utilizan todaslas cal1ulinas cada vez. Al mismo tiempo, 10scoloresde las cartulinas estan repetidos. Estas caracterfsticasindican que deben calcularse las permutaciones conrepeticion.

En este caso, m corresponde alas nueve cartulinasque se deben ordenar, a corresponde alas dos rojas, f3alas cuatro amarillas y y alas tres verdes. Se sustitu-yen estos valores en la formula de las permutacionescon repeticion, de la siguiente manera:

9'PR2,4,3 = .9 2!. 4! ·3!

243 9·8·7·6·5·4·3·2PRg" = -------

2·4·3·2·3·2

Al efectuar las operaciones, se obtiene el siguienteresultado:

PR2,4,3 = 362 880 = 1 2609 288

Por tanto, existen mil doscientas sesenta formas dis-tintas de ordenar las cartulinas dadas.

Andres trabaja en la panaderia del barrio. Veamos un plano de lascalles:

EI punto «A» es la casa de Andres, y «P», la panaderfa. Se indicansolamente las calles que conectan directamente ambos puntos. LaIfnea gruesa indica uno de los recorridos que une la casa con lapanaderfa. Andres decide ir por caminos diferentes cada dfa pararomper con la rutina, pero sin tomar caminos que 10 alejen de suobjetivo. iDe cuantos modos podra realizar el recorrido?iExiste algun metodo para simplificar el recuento de caminosposibles?

Solucion al final del capitulo

EI presente truco de magia pertenece a Harry Lorayne, un mago profesional norteamericano. Es muy facilde aprender y de gran originalidad.

Lo unico que se requiere es una baraja de naipes y ejercitar el calculo mental.

Se entrega al espectador una baraja a la que se Ie retiran previamente la totalidad de las figuras y los dieces(simplemente para facilitar los calculos). Se Ie pide que coloque cinco naipes boca arriba en una sola fila.Es momento de que actue el mago: este toma uno de los naipes que restan en el mazo y, sin mostrarlo, 10coloca boca abajo por encima de la fila.

En ese momento, el espectador forma una piramide de naipes boca arriba de acuerdo a las siguientes reglassimples:

Cada par de cartas de la fila inferior se suman porel metodo de «eliminar nueves»; esto es que si lasuma es mayor que nueve se resta dicho numero. Unmodo practico de realizar esta operaci6n es sumar losdos dfgitos del numero alcanzado. En el ejemplo dela figura las dos primeras cartas de la fila inferior deldibujo son 6 y 5; 6+5 = II. Restando nueve de IIse obtiene un 2, 10 mismo que si se suman ambosdfgitos: I + I = 2

EI segundo y el tercer naipe suman 6. EI tercero y elcuarto suman 10: restando nueve queda I . Finalmenteel cuarto y el quinto suman 17, por 10 que queda un8. De este modo se ha formado la fila siguiente. Acontinuaci6n se procede de igual modo con esta nuevafila formada, y asf se repite el proceso hasta alcanzar elnaipe invertido, que el mago ha colocado en el vertice.

AI destapar dicho naipe se verifica que corresponde ala suma correcta.

Pero, lcual es el truco?

AI observar las cinco cartas de la fila inferior, el mago efectua unos simples dlculos basandose en el triangulode Pascal. Para n naipes en la fila inferior se debe recordar los valores del triangulo en la fila que tiene nelementos. A cada paso del truco se debe efectuar la reducci6n por eliminaci6n de nueves; se multiplican loscoeficientes del triangulo por los correspondientes valores de los naipes; los valores obtenidos se reducen yse suman, obteniendose el valor del naipe del vertice.

En el caso que nos ocupa, tenemos 5 naipes: si buscamos en el triangulo de Pascal encontraremos que dichalinea es: I 4 6 4 I

Aquf no es necesario reducir a un dfgito. Pasamos a la multiplicaci6n; tendremos:

6 x I = 6 5x 4 = 20 I x 6 = 6 9 x 4 = 36 8 x I = 8

que reducidos quedan como: 6, 2, 6, 9, 8, y una vez sumados dan 31. Es decir, que en el vertice hemosde colocar un 4. En un primer momento puede parecer complicado pero luego de ejercitar el dlculomental, podremos impresionar a los amigos con nuestras aparentes dotes de adivino. Evidentemente eltruco funciona con los numeros, sin necesidad de naipes. Aunque parezca mentira, el caso mas simple decalcular es el de diez numeros en la fila inferior: tras efectuar las reducciones correspondientes, los factoresde multiplicaci6n seran:

Se denorninan combinaciones 10s conjuntos de Inelementos tornados de n en n, (donde In y n son nume-ros naturales). Al contrario de 10 que ocurre en las va-riaciones y en las permutaciones, las combinacionesse caracterizan porque los conjuntos difieren unica-mente si tienen elementos diferentes, sin importar elorden de colocacion de estos.

Las combinaciones pueden ser sin repeticion 0 conrepeticion.

Las combinaciones sin repeticion de m elementostornados de n en n son los conjuntos de n elementosque pueden formarse a partir de los m elementos ini-ciales (donde n ::; m), teniendo presente que dos deestos conjuntos difieren entre sf unicamente en casode que tengan al menos un elemento diferente.

Es decir, contrariamente a 10 que sucedfa en las va-riaciones y en las permutaciones, en las combinacio-nes el orden de colocacion no influye.

En general, el numero de las combinaciones sin re-peticion que pueden formarse con m elementos torna-dos de n en n viene dado por la expresion:

Vm.n m· (m - I) . (m - 2)··· (m - n + 1)Cmn == --' == --------------

, Pn n!

Al analizar la formula de las combinaciones, se ob-serva que las combinaciones son el numero de varia-ciones sin repeticion de m elementos tornados de n enn, dividido por el numero de permutaciones sin repe-ticion de n elementos.

La formula para calcular el numero de combinacio-nes sin repeticion de m elementos tornados de n en nes equivalente a la siguiente expresion:

C _ m!m,n - (m - n)! . n!

El numero c'n,n de la expresion tambien recibe elnombre de numero combinatorio y se representa dela siguiente manera:

(:)

( : ) ==m!

(m-n)!'n!

Un problema que se resuelve mediante el calculode combinaciones sin repeticion es el de averiguarcuantas sumas distintas se pueden formar con tres su-mandos, tornados de los numeros 6, 7,8,9, 10 y 11,sin que se pueda repetir ninguno de los valores.

Se puede considerar que, por la propiedad conmu-tativa, el orden de los sumandos no afecta al resultadode la suma, y que, por tanto, los mismos sumandos enorden distinto forman la misma suma. Por tanto, co-mo el orden no influye y los elementos no se repiten,hay que calcular combinaciones sin repeticion.

En este caso, m vale 6, pues este es el numero deelementos a combinar, y n vale 3, pues se toman engrupos de este numero de elementos. Si se aplicanestos valores a la ultima formula introducida, se tiene:

C _ 6! 6! 7206,3 - (6 _ 3)! . 3! == 3! . 3! == 36 == 20

Se pueden formar, por tanto, veinte sumas distintas,segun las condiciones establecidas.

(AJAS Y ETIQUETAS

Sobre la mesa hay tres cajas cerradas que contienen dos bolitascad a una.Una de las cajas contiene dos bolitas blancas, otra, dos bolitasnegras, y la terma, una blanca y una negra. Las tres cajas estanetiquetadas y las etiquetas muestran las opciones correctas, perosabemos que en ninguno de los tres casos se corresponde con elverdadero contenido.Se quiere averiguar el contenido correcto de cad a caja, para 10cual se permite meter la mana en una de las cajas y, sin mirar elcontenido, retirar una de las bolitas y dejarla sobre la mesa frente ala caja.iSera posible deducir el contenido de cada una de las cajas con esasola informacion? iEs 10 mismo elegir cualquiera de las cajas?

Aqu! se indicani unicamente que el numero decombinaciones con repetici6n de m elementos torna-dos de n en n es igual a1 de combinaciones sin repe-tici6n de (m + n - 1) elementos tornados de n en n.

Formulado rnatematicamente, se escribe de este mo-do: CRm,n = C,n+I1-I,n' As!, por ejemplo, para calcularCRS,5, ap1icando la f6rrnula dada, se obtiene:

V12,5CS+5-1,5 = C12,5 = -----p; =

12 . 11 . 10 . 9 . 8-----=7925·4·3·2·1

Esta f6rmu1a tambien se puede escribir de 1a si-guiente manera:

CR = C = _(m_+_n_-_1)_!m,n m+n-I,n (m _ l)! . n!

Si, par ejemplo, se quiere calcular el nurnero decombinaciones con repetici6n de nueve elementos to-rnados de tres en tres, se aplica la f6rmula:

Como m es igua1 a 9 y n es igua1 a 3, el resultadoes: CRm,n = C9+3-1,3 = CII,3

El problema se resuelve, por tanto, como si fue-ra una combinaci6n sin repetici6n, es decir, con laf6rmu1a:

Combinaciones sin repeticionVm, n m· (m - I) . (m - 2) . ... . (m - n + I)

Cm.n = -p = ,n n.

m!Cm.n = (m-n)! . n!

Variaciones sin repeticionVm,n=m· (m-I)· (m-2)· .... (m-n+ I)

m'V = .m.n (m-n)!

C _ V1l,311,3 - P3

Se calcula el nurnerador: VII,3 = 11 . 10 . 9 = 990.El denorninador es igua1 a: P3 = 3! = 3 . 2 = 6. Elresultado es:

990CR93 = CII 3 = - = 165, , 6

Por tanto, hay ciento sesenta y cinco cornbinacio-nes con repetici6n posibles de nueve elementos, to-rnados de tres en tres.

Hoy comere tres tostadas en mi desayuno.Mi tostadora, en la que caben solo dos tostadas, tuesta por unsolo lado. Cada lado esta expuesto al calor durante un minuto.En resumen: necesito 4 minutos para preparar las 3 tostadas: 2minutos para las primeras dos, y otros 2 minutos para la tercera.Tengo poco tiempo antes de salir de casa, de modo que he deaprovechar cad a minuto. Se me ocurre un metodo para reducir eltiempo de preparacion de las tostadas.LUsted que haria?No se aceptan respuestas del tipo: «Me conformo con dos tostadas».Efectivamente me como tres tostadas, tostadas por sus dos lados.

Soludon al final del capitulo

Permutaciones con repeticionm!PRa,/3, ... ,'Y =

m a! . [3! ••••• y!

CR = C = (m + n - I)!m,n m+n-I,n (m- I)! . n!

Para resolver ejercicios de combinatoria, es aconse-jable seguir previamente ciertos pasos con el fin deidentificar cwil es el metoda que se debe utilizar encada caso.Los pasos que conviene seguir son:

• Identificar m y n.• Identificar si los elementos se repiten 0 no dentro

de un conjunto.• Finalmente, saber si dos conjuntos difieren cuando

cambia el orden de sus elementos.

1 ;,De cuantas maneras diferentes podemos es-coger al primer capitan y al segundo capitan de unequipo de fUtbol, sabiendo que el equipo esta for-mado por 15 jugadores?Siguiendo los pasos anteriormente indicados se iden-tifican, en primer lugar, m = IS Yn = 2. i,Se repitenlos elementos? En este ejemplo no se pueden repe-tir los jugadores, ya que un jugador no puede ser, alavez, primer y segundo capitan. Finalmente, sabemosque sf importa el orden de los elementos. Con todoello se deduce que el problema debe resolverse porel metodo de variaciones sin repeticion. Aplicando laformula: Vm,n = m· (m - I) . (m - 2)··· (m - n + I)se obtiene este caso concreto:

2 Con las cifras 1, 2, 3, 4, 5 for-mar las variaciones de estos elemen-tos tornados de dos en dos, sin re-petir ninguna cifra en un mismoconjunto.En este caso no es preciso seguir lospasos previos, ya que el propio enun-ciado facilita toda la informacion nece-saria (m = 5 y n = 2).No se contaran los conjuntos (0 varia-ciones) como el II 0 el 55. Se tratara,entonces, de formar todas las pare- , \'jas posibles de cifras distintas, toma- ~,\I

das del I al 5:

12 1321 2331 3241 4251 52

14 IS24 2534 3543 4553 54

EI numero de variaciones binarias (0 sea, con dos ele-mentos), sin repeticion, es:

Observese que se dispone de cinco elementos, y quecada uno de ellos puede emparejarse con los cuatrorestantes. Asf:

I -.. 2,3,4,52 -.. 1,3,4,53 -.. 1,2,4,54 -.. 1,2,3,55 -.. 1,2,3,4

3 Con los datos del ejercicio anterior, calcularlas variaciones ternarias, es decir, n = 3.Esta claro que cada variacion binaria puede unirsecon 5 - 2 = 3 elementos no utilizados. Asf, la varia-cion binaria 12 dara lugar alas variaciones siguientestemarias:

EI numero total de variaciones temarias sera igual a20 (variaciones binarias) multiplicado por 3 (puestoque de cada variacion binaria nacen 3 variaciones ter-narias).

I

'" Por 10 tanto se puede comprobar que:

Los 60 trios posibles que se pueden formar con lascinco cifras son: 123,124,125,132".,segun

puede observarse en el esquema siguiente:

I -..2 -..3,4,5 2 -.. I -..3,4,5I -..3 -..2,4,5 2 -..3 -.. I, 4, 5I -..4 -..2,3,5 2 -..4 -..1,3,51 -..5 -..2,3,4 2 -..5 -..1,3,43 -.. 1 -..2,4,5 4 -.. I -..2,3,53 -..2 -.. 1,4,5 4 -..2 -..1,3,53 -..4 -.. 1,2,5 4 -..3 -.. 1,2,5

/ 3 -..5 -.. 1,2,4 4 -..5 -.. 1,2,3"l'ltI"IIt' 5 -.. 1 -..2,3,4 5 -..2 -.. 1,3,4

5 -..3 -.. 1,2,4 5 -..4 -..1,2,3

Ejercicios. 691

11 12 13 14 1521 22 23 24 2531 32 33 34 3541 42 43 44 4551 52 53 54 55

4 ;,Cmintos numeros de tres cifras significativasdiferentes pueden formarse con las cifras 0, 1, 2,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?

Tenemos 10 cifras para formar numeros de tres ci-fras sin que estas se repitan. En este caso importa e1orden de 10s elementos, en raz6n de que un numeroes distinto dependiendo del orden de 1ascifras que 10forman. Por 10tanto, se trata de variaciones sin repe-tici6n, es decir:

VIO,3 = 10· (10 - 1).(10 - 3 + 1) == 10· 9 .8 = 720

Sin embargo, a estos 720 hay que restar1es 10snume-ros que tienen e10 en e11ugar de 1ascentenas (como,p. ej., e1 013), ya que en realidad son numeros condos cifras significativas. Estos son la decima parte de10s obtenidos (720/10 = 72), por 10 que en conse-cuencia quedan 720 - 72 = 648 numeros diferentesde tres cifras significativas.

5 ;,Cuantos resultados diferentes se pueden ob-tener cuando se lanza una moneda tres veces alaire?

Los posib1es resultados del lanzanUento de una mo-neda son cara y cruz, por 10 tanto m = 2. Ademasla lanzamos tres veces, es decir, sabemos que n = 3.Aqu! hay repetici6n de 10selementos y, ademas, im-porta el orden de 10s resultados de los 1anzanUentos.Por 10tanto estamos ante un caso de variaciones conrepetici6n, por 10cual habra que ap1icar:

En nuestro caso tendremos VR2,3 = 23 = 8, es decir8 resultados diferentes, como se puede comprobar en1asiguiente tabla de resultados:

6 Calcular las variaciones binarias, ternarias ycuaternarias con repeticion que se pueden obtenercon los numeros 1, 2, 3, 4, 5.

Ya que VRS,2 = 52 = 5 .5 = 25.E1numero de las variaciones ternarias sera igual alas25 variaciones binarias multiplicadas por 5 ya que ca-da una de ellas se obtiene aiiadiendo, sucesivamente,los numeros 1,2,3,4 Y 5,es decir:

111 112 113 114 115121 122 123 124 125131 132 133 134 135141 142 143 144 145151 152 153 154 155. ..................................511 512 513 514 515521 522 523 524 525531 532 533 534 535541 542 543 544 545551 552 553 554 555

Y as! hasta 125 variaciones ternarias de cinco ele-mentos con repetici6n. Repitiendo el nUsmo procesocon las variaciones ternarias se obtienen 1as625 (54)cuaternarias.

7 En una carrera de coches, i,de cuantas maneras sepueden clasificar los seis primeros en llegar a la meta,si compiten 30 pilotos?

8 i,Cuantas palabras de cuatro letras se pueden for-mar con las letras de PELOTA, sin tener en cuenta sitienen sentido 0 no, y sin repetir letras?

9 i,Cuantas banderas de cuatro franjas verticales sepueden formar can los colores amarillo, azul, verde,blanco y rojo?

10 l,Cwlntos llIimeros podemos formar a partir delas cifras 0, 1,2,3,4,5 tomadas de tres en tres?

11 Del resultado del ejercicio anterior, l,cwintosnumeros tienen tres cifras significativas? (Es decir,aquellos llIimeros que no tienen el 0 como primernumero.)

12 l,Cuantas parejas de numeros se pueden conse-guir lanzando un dado dos veces? Y si se lanza tresveces, l,cuantos trfos?

13 En la primera division de futbol juegan 20 equi-pos; l,cuantos son los resultados posibles de 10s 10partidos que juegan cada semana?

14 l,Cuantas palabras de seis letras se pueden for-mar con las letras A M I G 0, pudiendo repetirlas ysin tener en cuenta si tienen sentido 0 no?

15 Si se lanza una moneda cuatro veces, l,Cuantosresultados tienen tres caras seguidas? l,Y tres crucesseguidas?

16 Se quiere elegir al delegado de clase y al repre-sentante del colegio entre los 28 alumnos de la clasede tercero, l,cuantas maneras hay de elegir estos car-gos, teniendo en cuenta que una persona puede serescogida para los dos cargos?

17 l,Cuantos numeros de seis cifras se pueden for-mar con las cifras 2, 3 y 4?

18 ;,De cuantas maneras y como puede ordenarla bibliotecaria cuatro libros diferentes en una es-tanterfa?Los libros no se repiten porque no pueden estar endos sitios a la vez, por 10que en este caso sf que im-porta el orden. Con estos datos, se deduce que el pro-blema que hay que resolver se refiere a permutacio-nes sin repeticion.Si se numeran los libros del 1 al 4 para facilitar suidentificacion, se tendran estas posibles formas de or-denarlos:

1234213431244123

1243214331424132

1324231432144213

1342234132414231

1423241334124312

1432243134214321

Como se ha visto en la parte teorica, las permutacio-nes sin repeticion son un caso particular de las varia-ciones sin repeticion donde m = n, es decir:

Por 10tanto los 4 libros se pueden ordenar de 24 for-mas distintas.

19 Se quiere ordenar una coleccion de sellos, pe-ro dando mayor importancia a los seis mas anti-guos. a) ;,De cuantas maneras diferentes puedenordenarse estos seis? b) Y si se quiere que el masantiguo este siempre el primero, ;,de cuantas ma-neras diferentes pueden ordenarse ahora?a) Se tiene que m = n = 6, sin repeticion, y queel orden es 10 que cuenta en este caso, por 10 cualhabra que calcular permutaciones sin repeticion:p 6 = 6! = 720 formas de ordenar 10s seis sellos

b) Poner el mas antiguo siempre el primero suponeque hay un elemento fijo, con 10 que solo quedarancinco sellos para ordenar. En este caso tendremos:

20 ;,Cuantas palabras se pueden formar, sin im-portar si tienen sentido 0 no, con las letras deFLORES, CARPETA y EJERCICIO?a) En el caso de las letras de la palabra FLORES,dado que todas las letras son distintas, se trata de

permutaciones sin repetici6n. Las seis letras deFLORES permutadas sin importar el orden dan un to-tal de P6 = 6! = 720 palabras.b) En el caso de CARPETA, hay que observar queen esta palabra, de siete letras, hay una que se repi-te dos veces: la A. Por 10 tanto, habra que obtenerlas permutaciones con repetici6n, y se debe utilizarla f6rmula pertinente:

m!a!· f3! ..... y!

7!I! ·2! ·l! ·1! ·1!·J!

c) Entre las letras de la palabra EJERCICIO se re-piten dos veces la E, C e 1. Por 10 tanto se podranformar un total de:

9!2! ·l! ·l! ·2! ·2! ·1!

= 45 360 palabras diferentes

21 Comprabar de cuantas maneras distintas se pue-den ordenar cuatra bolas de color azul, rajo, blanco yamarillo.

22 EI encargado de un centro de ventas de cochesquiere comprabar cual es la manera mas vistosa deaparcar los tres coches que tiene a la venta. l,Cuantasveces tiene que mover el empleado los coches paraque su jefe decida cualle gusta mas?

23 l,De cuantas formas se pueden ordenar cinco pa-res de zapatos distintos en el zapatera?

24 l,De cuantas maneras distintas pueden sentarseen un banco siete personas?

25 Se tienen seis pelotas: de baloncesto, de futbol,de tenis, de golf, de balonmano y de futbol ameri-cano. l,De cuantas maneras pueden guardarse en seiscajas diferentes y numeradas?

Ejercicios • 693

26 Si partiendo del ejercicio anterior quieren guar-darse juntas las pelotas de futbol y de fUtbol america-no, l,cuantas ordenaciones habra en este caso? l,Que-dara alguna caja vacfa?

27 Se tienen cuatro postales de Mexico, EstadosUnidos, Brasil y Venezuela. l,Cuantas maneras hay deordenarlas si se quiere que la postal de Mexico siem-pre este la primera?

28 l,Cuantas palabras se pueden formar con las le-tras de la palabra AVION? l,Cuantas empiezan por laletra V? l,Cuantas acaban con las letras ON? (No setendra en cuenta el significado de las palabras en nin-guno de los tres casos.)

Soluci6n: 120 palabras, de las cuales 24empiezan con V, mientras que 6acaban por ON

29 l,Cuantas lfneas de colares se pueden pintar uti-lizando cuatro veces el amarillo, dos veces el azul,una el verde y seis el rajo? (Se diferencian lfneas con10srnismos colares, pera en orden distinto.)

30 Hay cinco alumnos de primer curso, seis de se-gundo curso y tres de tercer curso. l,En cuantas filasindias diferentes se pueden alinear estos alurnnos di-ferenciando unicamente par cursos?

31 l,De cuantas maneras se pueden ordenar tresmonedas de 5 centavos, cuatro monedas de 10 cen-tavos y dos de 50?

32 La combinaci6n para abrir una caja fuerteesta formada por un ntimero de 6 dfgitos, y se sabeque empieza por 1, 2 Yque el resto de ntimeros son3, 4, 4, 2 pera no se conoce el orden. l,Cuantas ve-

ces se tendni que probar la combinacion para estarseguros al 100 % de que se va a abrir la caja?

33 l,De cuantas maneras distintas pueden sentarseseis personas alrededor de una mesa redonda?

34 ;,Cmlntos productos de tres factores se pue-den formar con las cifras 1, 2, 3, 4 Y5?

Siguiendo los pasos indicados al principio, se deduceque m = 5 Yn = 3, que los elementos dentro de cadafactor no se repiten y que dos factores no son dife-rentes si sus elementos son iguales. Nos encontramospues ante un caso de combinaciones sin repeticion.

Es obvio que sera 10 rnismo multiplicar 1 . 2 . 3que 1 . 3 . 2 0 que 3 . 2 . 1, etc.; es decir, de cadaP3 = 6 productos solo se considerara uno, pues todoslos demas son iguales.

Por tanto, ya que las com-binaciones difieren de lasvariaciones en que no setiene en cuenta el ordenen que se toman los ele-mentos, es facil deducirque las combinaciones decinco elementos tornadosde tres en tres se obten-dran a partir de las varia-ciones de cinco elementostornados de tres en tres,despues de haber elirnina-do de estas aquellas quesolo difieran de otra por elorden de sus elementos;en definitiva, si se desig-nan las combinaciones decinco elementos tornados de tres en tres por CS,3, setendra que:

Vs 3 5·4·3Cs 3 = -' = --- = 10

, P3 1·2·3

35 Supongamos que existen cuatro ciudades A,B, C YD comunicadas por carretera entre ellas.;,Cmintas carreteras necesitamos para unir todaslas ciudades, es decir, cada ciudad con cada unade las otras?Identificamos m = 4, que son las cuatro ciudades, yn = 2, ya que vamos a unir las ciudades de dos en dos.No importa el orden, y las parejas de ciudades sim-plemente difieren si cambiamos de ciudad. Por tanto,se utilizara el metodo de combinaciones sin repeti-cion para hallar el mimero de carreteras de union.

V42 4·3C42= -' = - =6, P2 2·1

36 Un equipo de futbol tiene cinco delanteros, yel entrenador solo quiere jugar con dos. Si los cin-co tienen las mismas caracteristicas, ;,de cmintasmaneras diferentes los puede alinear?Como de los cinco elementos solo se escogen dos yno importa el orden, se trata de combinaciones de cin-co elementos elegidos de dos en dos, por 10 que:

Vm,nPn

CS,2 = 5! = 20 = 102! 2

El entrenador dispondra de 10 maneras diferentes dealinear a los delanteros.

37 Si se calculan las combinaciones sin repeti-cion de siete elementos tornados de siete en siete,;,cmlntas combinaciones se obtendnin?Se llega facilmente a la conclusion de que se ob-tendra una (mica combinacion, ya que el orden delos elementos no diferencia los conjuntos. Por tanto,aplicando la formula:

~7 7·6·5·4·3·2·1C77 = -' = ------- = 1, P7 7!

En general, siempre que se consideren combinacio-nes sin repeticion en las que se seleccionen todos loselementos, se obtendra una unica combinacion.

38 Calcular las combinaciones con repeticion deseis elementos tornados de tres en tres.El enunciado del ejercicio ya facilita la informa-cion necesaria para proceder directamente a aplicarla formula para calcular las combinaciones sin repe-ticion. As!:

VS,3= C6+3-1,3 = CS,3 = P3 =

= 8· 7 . 6 = 336 = 563! 6

41 Un juego de azar consiste en elegir seis mime-ros entre un total de 49. l,Cmlntas apuestas se tienenque hacer si se quiere tener la seguridad de acertar lacombinacion ganadora?

39 l,Cwintos apretones de mana se producen en unareunion a la que asisten 10 ejecutivos si todos se sa-ludan entre sf?

42 l,Cmintas mezclas de diferentes Ifquidos de trestipos distintos se pueden hacer si se tienen cinco bo-tellas con distinto contenido?

40 l,Cuantas diagonales tiene un pentagono? l,Y unhexagono?

43 Calcular las combinaciones con repeticion deseis elementos tornados de cuatro en cuatro.

ESLABONES (pag. 682): Debe abrir solamente el tercer eslab6n contando desde un extremo, con 10 cual quedan tres secciones: una de I,otra de 2 y otra de 4 eslabones.

Eller dfa entrega I eslab6n.EI 3er entrega el eslab6n suelto.

EI 2° entrega el trozo de 2 eslabones y recupera el eslab6n suelto.EI 4° entrega el segmento de cuatro eslabones y recupera el resto, ete.

leual serra el minimo numero si tuviese que esperar IS dias y la cadena tuviese IS eslabones?

EN CAMINO (pag. 686): Tiene a su disposici6n 13 caminos: si marcamos cada esquina con la cantidad de modos que puedo lIegar hasta alii,tendremos la soluci6n.Se puede simplificar el analisis colocando en cad a esquina la suma de las dos esquinas anteriores mas pr6ximas: lle recuerda algo este metodo?

CAJAS Y ETIQUETAS (pag. 688): Puede pamer que las posibilidades son tantas que es imposible decidir correctamente. EI secreto consisteen retirar una de las bolitas de la caja marcada con una bolita negra y una blanca. Es seguro que dicha caja contiene dos bolitas de igual color,ya que ninguna contiene 10 que indica la etiqueta. AI retirar una sabemos cual es el color de la otra. Si am bas son negras, la unica posibledistribuci6n es que en la que esta marcada con dos negras hay dos bolas blancas, y que en la que muestra dos blancas haya una de cada color.Ocurre algo equivalente cuando la bolita retirada es de color blanco.

TOSTADAS (pag. 689): Puedo ahorrar un minuto. Para explicar como 10 hago, nombraremos las rebanadas de pan con letras: A, By C. Cadalado 10 indicaremos con un numero. EI procedimiento sera entonces: