teoría de conjuntos 6toa

8/16/2019 Teoría de Conjuntos 6toa

1/9

TEORÍA DE CONJUNTOS

NOCIÓN DE CONJUNTO:Es un ente matemático por el cual se puedetener una idea subjetiva de ello, comocolección, agrupación o reunión de objetosabstractos o concretos denominadoselementos.Ejemplo:A = {a, b, c, d, e}B = {lunes, martes, miércoles, jueves,viernes, sábado, domingo}

RELACIÓN DE PERTENENCIA∈

∉elemento conjunto

EjemploEjemplo:H = {a, , !, {"}}a H #a pertenecer a H$" H #" no pertenece H$

DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO

%onsiste en precisar correctamente &ueelementos 'orman el conjunto. (uede)acerse de dos maneras.

a. Por exten!"n #$orma ta%&lar'Es cuando se indica sus elementos en'orma e*pl+cita.

{ }1,3,5,7,9 H =

{ }3,3 I = −

{ }0,3,8,15,24 K =

%. Por (ompren!"n #$orma(ontr&(t!)a'Es cuando se da un cierto criterio de

'ormación &ue permita decidir si unelemento pertenece o no al conjunto.H={**- es un nmero impar menor&ue //}0={**12 =3}

{ }2 1 / 1 6 K x x x= − ∈ ∧ ≤


2/9

⊂

⊄

conjunto conjunto

Ejemplo: A= {**- es un gato B= {**- es un mam+'ero

A B∴ ⊂

{ }1,2,3,4,...Ν =

{ }..., 2, 1, 0, 1, 2, 3, ...= − −Z

N ∴ ⊂ Z

E={, !, "}>={/, , "}

:e observa &ue E no está incluido en> #viceversa$ en este caso se denota E F ⊄

.

%. I-&ala


3/9

Nota(!"n.

{ };φ

Ejemplo:

{ }/ 2 0 D x N x= ∈ + =

5o e*iste ningn elemento * &ue

perteneca al conjunto de los nmerosnaturales tal &ue *F=3, entonces D φ =

O%er)a(!"n:

{ }φ φ ≠

A Aφ ⊂ ∀

%. Un!tar!o o S!n-let"n #!n-&lar'Es a&uel conjunto &ue tiene un soloelemento.Ejemplo-A={**- es un nmero primo par}B={!, ! ,!}%={**- es la capital del (er}

(. Un!)eralEs el conjunto re'erencial para elestudio de una situación particular, &uecontiene a todos los conjuntosconsiderados. 5o e*iste un conjuntouniversal absoluto.Ejemplo:(ara los conjuntos-A = {los gatos}B = {los perros}os universos pueden ser-G/- {los mam+'eros}G- {los animales domésticos}

. Poten(!aEl conjunto potencia de A, llamadotambién conjunto de partes de A, esa&uel conjunto &ue está 'ormado portodo los subconjuntos &ue posee elconjunto A.Nota(!"n: P#A'Ejemplo:

{ }, , ( ) 3 A a b c n A= ⇒ =

{ } { } { } { } { } { }{ }( ) , , , , , , , , , , P A a b c a b a c b c Aφ =

[ ] 3( ) 2 8n P A∴ = =

os sub conjuntos-

{ } { } { } { } { } { }, , , , , , , , ,a b c a b a c b cφ se

denominan subconjuntos propios de A.

[ ] ( )( ) 2n AnP A Númerodesubconjuntos de A= =

[ ]

( )2 1

n A Númerode subconjuntos propios de A = −

e. Par OrenaoEs un conjunto de elementos para loscuales se considera el orden en &ueestán indicados.5otación-#a,b$ se lee- el par ordenadoa, bD donde-a- /ra componenteD abcisab- da componenteD ordenada

I-&ala e &n par orenao

Cbservación-

( , ) ( , )a b c d a c b d = ↔ = ∧ =

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

a. Un!"n( )∪

{ }/ A B x x A x B∪ = ∈ ∨ ∈

D!a-rama

A B B

A

A B

comparables disjuntos

Ejemplo:A = {/, , !}B = {, !, ", }

{ }1, 2, 3, 5,7 A B∪ =

(ropiedades-

A A A∪ =

A Aφ ∪ =


4/9

A

A ∪ =

%. Intere((!"n( )∩

{ }/ A B x x A x B∩ = ∈ ∧ ∈

D!a-rama

A B A BA

B

comparablesdisjuntos

Ejemplo.A={/, ", , 2} D B={, 2, /3}

{ }7, 9 A B∩ =

(ropiedades-

A A A∩ =

A φ φ ∩ =

A A∩ =

(. D!$eren(!a #,'

{ }/ A B x x A x B− = ∈ ∧ ∉

D!a-rama

A B A B A

B

disjuntos comp arab les

Ejemplo:

A={!, ", } D B= {, 9}A1 B = {!, "}

(ero B1A = {9}(ropiedades-

A A φ − =

A Aφ − =

. D!$eren(!a S!m2tr!(a ( )∆

{ }/ ( ) ( ) A B x x A B x A B∆ = ∈ ∪ ∧ ∉ ∩

D!a-rama:

A BA B

A

B

disjuntos comparables

Ejemplo:A 3 456 76 86 9 ; B = {/, 9, 2}

{ }1,6,7 A B∆ =

Prop!eae:

A A φ ∆ =

A Aφ ∆ =

!i B A A B A B⊂ ↔ ∆ = −

e. Complemento e A #

', ," A A A'


5/9

Ejemplo:

{ }/ 10 x x x+= ∈ ∧ . 0ndicar verdadero #?$ o 'also #>$ segncorresponda, para el conjunto-

A = {"D D {!}}0. n#A$ = !00. " ∈ A000. {!} ∈ A0?. {} ∈ A

a$ ??>> b$ >??> c$ ???>d$ ?>?> e$ >>??

=?.


6/9

a$ !8 b$ 7 c$ 7"d$ "3 e$ 83

=. :i-A = {* ∈ 05 K * K /!}B = {* ∈ 05 ! K * K /3}

Hallar- A ∩ B

a$ {9} b$ {9D 2} c$ {D 9}d$ {D 9D 2} e$ {2}

=B. ?. :i se sabe-n #A ∪ B$ = 3n #A 1 B$ = /9n #A$ = 7/Hallar- n #A ∆ B$

a$ 7 b$ 7" c$ 78d$ 7 e$ 79

>@. . B. Gn alumno del 7toB comió &ueso o jamón en el desa4uno, cada maQanadurante el mes de @unio. %omió 7maQanas jamón 4 / maQanas &ueso,Mcuántas maQanas comió &ueso 4

jamónN

a$ /3 b$ // c$ /d$ /! e$ /7

>5.


7/9

T "7 estudian alemán.T /9 estudian inglés 4 'rancés.T 3 estudian 'rancés 4 alemán.T / estudian sólo alemán.T 9 estudian los tres idiomas.a. M%uántos alumnos estudian

e*actamente dos idiomas de los

mencionadosNb. M%uántos alumnos estudian otros

idiomasN

a$ !8 4 b$ !2 4 c$!2 4 d$ !8 4 e$ !" 4 "

>8.


8/9

?5.


9/9

a$ :ólo 0 b$ :ólo 00 c$ :ólo 000d$ 0 4 00 e$ 00 4 000

=5. :i- nY(#A ∪ B$ = / 37nY(#B$ = /9

nY(#A$ = !Hallar- n#B ∆ A$

a$ b$ 9 c$ "d$ e$ 8

teoría de conjuntos 6toa

Documents