TEORÍA DE CONJUNTOS

1. CONCEPTO: El término CONJUNTO es aceptado en Matemáticas como un " CONCEPTO PRIMITIVO", es decir, se acepta sin definición. Intuitivamente, un CONJUNTO es una colección o agrupación de objetos llamados elementos.

Ejemplos:

i) El conjunto de los días de la semanaii) El conjunto de los profesores del grupo ACSIii) El conjunto de los números 3; 5; 12 y 18

2. NOTACIÓN: Generalmente los conjuntos se denotan por letras mayúsculas A, B, C, ..etc y los elementos por letras minúsculas, mayúsculas u otros simbolos, separados por comas y encerrado entre llaves.

Ejemplos:

A={Lunes, Martes, Miercoles, Jueves, Viernes, Sábado, Domingo}B={Jorge, Alberto, Mario, Manuel, Nestor, Ricardo}C={3; 5; 12; 18}

3. RELACIÓN DE PERTENENCIA ( ).- Si un elemento está en un conjunto o es parte de él, diremos que "PERTENECE" a dicho conjunto y lo denotaremos con el símbolo "" , en el caso de no pertenecer por "".Ejemplo:

Dado el conjunto, A={2; 5; 7; 8}

Entonces:2 ……… A4 ………. A7 ……... A

4. DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS: Existen dos formas de determinar un conjunto:

4.1 POR EXTENSIÓN.- Cuando se nombran todos los elementos que conforman el conjunto.

Ejemplos A = {a; m; o; r} y B = {1; 3; 5; 7; 9}

4.2 POR COMPRENSIÓN.- Cuando se menciona una o más características comunes a todos los elementos del conjunto.

Ejemplos:

A = { x/x es una letra de la palabra aroma}

B = {x/x es un número impar menor que 10}

5. CONJUNTOS ESPECIALES

5.1 CONJUNTO VACIO O NULO.- Es aquel conjunto que carece de elementos. Se le denota por: ó { }Ejemplos:

A={x/x es un número par terminado en 5} entonces A={ }

B={x/x es un hombre vivo de 200 años} entonces B={ }

5.2 CONJUNTO UNITARIO.- Es aquel conjunto que tiene un sólo elemento

Ejemplos: A={x/xN6<x<8}A = {7} B = {2; 2; 2} = {2}

5.3 CONJUNTO UNIVERSAL.- Es aquel conjunto que se toma como referencia, para un determinado problema, y en el que se encuentran todos los elementos con que se está

trabajando. Se le denota por la letra U.

Ejemplo;

Si: A = {1, 2, 3} B = {-1, 0, 4}

Un conjunto universal para A y B podría ser:

U = {-1, 0, 1, 2, 3, 4}

Pues los elementos de A y B están en U.

6. CARDINAL DE UN CONJUNTO .- Sea A un conjunto finito, el cardinal de un conjunto es el número de elementos diferentes que posee dicho conjunto. Se denota por: n(A)

Ejemplos:

A = {3; 4; 7; 9; 13} n(A) = 5 se lee: "el cardinal de A es 5"

B = {a, b, c, b, a, a} = {a, b, c} n(B) = 3

7. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

7.1IGUALDAD.- Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos. Se denota por

A = B Ejemplo: sean los conjuntos A = {2; 3; 4} y B = {x/xN, 1<x<5}

Entonces podemos decir A = B, pues B = {2; 3; 4}

7.2INCLUSIÓN.- Diremos que A está incluido en B o es subconjunto de B; si y sólo si todos los elementos de A son también elementos de B. Se denota por:A B y se lee: "A está incluido en B" ó "A es un subconjunto de B"La negación de A B se escribe A BEjemplo 1:

A = {1, 2, 3}B = { 0;1;2; 3; 4; 5}

A B

Ejemplo 2: Dado el conjunto A = {3; {6}; 9; 10}

Entonces se cumple:

{3}……….A{3,9}……..A{{6}}……..A{3; 6}…….A

PROPIEDADES

i) A A, A (A, se lee: para todo conjunto A)

ii) A B y B C A C

8. CONJUNTO POTENCIA.- Dado el conjunto A, se denomina conjunto potencia de A y se denota por P(A), al conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de A.

Ejemplo: Si A={2;5}

Entonces: P(A)={ ; {2}; {5}; {2,5}}

Siempre es un subconjunto A.

NOTA: Si un conjunto finito A, tiene como cardinal n(A)

Se cumple: n[P(A)] = 2n(A)

Donde: n[P(A)] = es el número de elementos del conjunto potencia ó número de subconjuntos del conjunto A.

Ejemplo: Si n(A) = 5

n[P(A)] = 2n(A) = 25 = 32Es decir A, tiene 32 subconjuntos.

PRACTICA DIRIGIDA

1. Dado el conjunto A={2; 6; 7}Determinar verdadero (V) o Falso (F) según corresponda

2 A ( )7 A ( ){6} A ( ){2; 7} A ( )

2. Dado el conjunto B={m; t; a; r}Determinar la verdad (V) o Falsedad (F) de cada proposición

{m} B ( )r B ( ){t} B ( ){m; a; r} B ( )

3. Dado el conjunto A={4; {3}; {2}; 5}Indicar Verdadero (V) o Falso (F) según corresponda

{3} A ( ){4} A ( ){4; {2}} A ( ){{2}} A ( )n(A) = 4 ( )

4. Indicar por extensión cada uno de los siguientes conjuntos.

A = {x/xN, 5 < x < 12}…………………………………………………

B={x/xZ,10<x < 18}………………………………………………….

C = {x/xN, x < 6}…………………………………………………

D = {x/xN, -3 < x < 3}…………………………………………………

E = {x/xN, x>10}…………………………………………………

5. Hallar la suma de los elementos de cada conjunto.

A = {x + 3 / xN, 5<x<10}………………………………………………….

B = {x² + 1 / xN, 3<x<7}…………………………………………………

C = {x² + 3x + 2 / xN, x<4}………………………………………………

D = {x4 + 2 / xZ, 2<x<5}………………………………………………….

E = {4x² - 3 / xZ, -5 < x < -1}…………………………………………….

PROBLEMAS

1. Dado el conjuntoA = {1; {1,2}; 3}

Indicar Verdadero (V) o Falso (F) según corresponda.

i) {1,2} Aii) 1 Aiii) 2 Aiv) {2} A

a) VVFV b) FVFF c) VVFFd) VFFF e) VVVF

2. Dado el conjunto;

A = { 5; {5}; 7; {5,1} }

Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda

i) {5} Aii) {5;7} Aiii) {5;1} Aiv) {7} A

a) VFFV b) FVFV c) VVVVd) VVFV e) FVFF

3. ¿Cuál (es) de los siguientes conjuntos es vacío?

A = {x/xN, 5<x<6}

B = {x/xQ, 3<x<4}

C = {x/xZ, -6<x<-4}

D = {x/xN, -6<x<-4}

a) A y D b) A y C c) B y Dd) Sólo A e) Sólo D

4. ¿Cuál (es) de los siguientes conjuntos es unitario?

M = {x/xN, x<1}P = {x/xZ, x<1}Q = {x/xN, -2<x<0}R = {x/xQ, 5<x<7}

a) M y Q b) M y P c) M y Rd) Sólo M e) Sólo P

5. Dados los conjuntos

A = {x/x es una vocal de la palabra mátala}B = {x/x es una vocal de la palabra beber}C = {x/x es una vocal de la palabra elementos}D = {e, o}Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda

i) A es un conjunto unitarioii) B es un conjunto vacioiii) B es un subconjunto de Civ) C y D son conjuntos iguales

a) VVVV b) VFFV c) VFVVd) VVFV e) VFVF

6. Dados los conjuntos: U (universo)

U = {x/x N, }A = {x²/xN, x<5}B = {x+5/xN, 3 < x < 7}C = {x² + 1/xN, x < 4}

Hallar el cardinal de A, B y C

a) 5; 3; 4 b) 5; 2; 4 c) 3; 2; 3d) 3; 2; 4 e) 3; 3; 4

7. Dados los conjuntos

U = {1,2,3,4 .............., 15}

A = {x/xZ, x < 6}B = {x/xN, < x <}C = {x/xN, x > 10}

Hallar: n(A) . n(B) . n(C)

a) 72 b) 25 c) 75d) 81 e) 60

8. Si los conjuntos A y B son iguales.Hallar: m + p

A = {7; m+3}B = {12; p-4}

a) 20 b) 12 c) 18d) 15 e) 10

9. Dados los conjuntos iguales A, B, C. Hallar: m + t + s (m,t,s N)

A = {15; 12; 9}B = {2m; m+3; 15}C = {s + 2; 12; 10+t}

a) 12 b) 15 c) 18d) 20 e) 21

10.¿Cuántos subconjuntos tiene A?, si n(A)=5

a) 16 b) 32 c) 18d) 64 e) 25

11.Si n[P(A)] representa el número de elementos del conjunto potencia de A. Hallar n(A). n(B)Si: nP(A) = 128

nP(B) = 512

a) 56 b) 72 c) 63d) 70 e) 48

12.Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

i) Si n(A)=0, entonces nP(A) = 0ii) Si n(A)=1, entonces nP(A) = 2iii) Si n(B)=3, entonces nP(B) = 6iv) Si A= , entonces nP(A) = 1

a) FVVV b) FVFF c) VVFVd) VVFF e) FVFV

13.Dado el conjunto

A = {2; 5; 6; 10}

Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

i) {2} P(A)ii) 6 P(A)iii) n P(A) = 16iv) {5; 6; 10} P(A)v) P(A)

a) VFVVV b) VFFVV c) VVVFVd) VFVVF e) FFVVV

14.Dado el conjunto

A = {a; b; c; d; e}

¿Cuántos subconjuntos tienen por lo menos 2 elementos?

a) 25 b) 26 c) 27d) 28 e) 30

15.Dado el conjunto:

A = {m, p, q, r, s, t}

¿Cuántos subconjuntos tienen a lo más 4 elementos?

a) 64 b) 62 c) 63d) 58 e) 57

PROBLEMAS PROPUESTOS

01. Dados: A = {x ; y ; {m ; n}}Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas:I. y AII. {m; n} AIII. {x ; y} AIV. {y; {m; n}} P (A)V. {{x}; {x; y}} P(A)a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e)

02. Dados los conjuntos unitarios: A = {x + y ; 8}B = {x - y ; 4}Hallar: x + y a) 20 b) 30 c) 40 d) 45 e) 25

03. ¿Qué operación de conjunto corresponde al siguiente gráfico?.a) (A – B) (B – C)b) (A B) – (B C)c) (A B) C – (A B)d) (A – B) Be) (A B) (B C)

04. A y B son conjuntos binarios, iguales con a y b IN. Entonces x es: A = {a + 4; 5 ; 2b ; b2} ; B = {5a ; x}

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

05. De acuerdo con el siguiente diagrama señale la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes operaciones: I. B y D no son disjuntos.II. A y C no son comparablesIII. C B y B UIV. B D , C A

a) FFVV b) FVFV c) VVFVd) VVVF e) VVFF