teoria campos compresiones en hormigon

Máster Universitario en Ingeniería de Estructuras

REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN

HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su

aplicación en el diseño a cortante de elementos de hormigón armado

REVISIÓN DE LAS TEORÍAS DE CAMPOS DE COMPRESIONES EN HORMIGÓN ESTRUCTURAL Análisis y evaluación de la hipótesis de H. A. Wagner y su aplicación en el diseño a cortante de

elementos de hormigón armado

Autor: Alejandro Mateo Hernández Díaz Directora: Dª Luisa María Gil Martín Co-director: D. Enrique Hernández Montes

ÍNDICE

Pág.

1. INTRODUCCIÓN 3 2. ESTADO DE LA CUESTIÓN 9

2.1 Distribución de tensiones tangenciales en el hormigón 10 2.2 La analogía de la celosía 12 2.3 Teoría del Campo de Compresiones 18

2.3.1 Comportamiento a compresión del hormigón fisurado 22

2.4 Teoría Modificada del Campo de Compresiones 28

2.4.1 Interacción Flexión-Cortante: analogía de la celosía modificada 31 2.4.2 Comportamiento del hormigón a tracción 33 2.4.3 Estudio a nivel de grieta en la TMCC 38 2.4.4 Recientes simplificaciones de diseño en la TMCC 44

2.5 Rotating Angle – Softened Truss Model 49

2.5.1 Ecuaciones de equilibrio, de compatibilidad y constitutivas 52

2.6 Teoría Unificada del Campo de Compresiones 58

3. METODOLOGÍA 62

3.1 Introducción 63 3.2 Justificación del problema a analizar 69 3.3 Plan de ensayo 82 3.4 Definición del modelo estructural de análisis 86

4. RESULTADOS 95 5. CONCLUSIONES 117 6. ANEXO 1 123 7. BIBLIOGRAFÍA 143



3

CAPÍTULO 1

INTRODUCCIÓN



4

El alma agrietada de una viga de hormigón armado trasmite el cortante de forma

compleja. Primeramente aparece una familia de grietas y según se incrementa la carga

aparecen nuevas grietas mientras que las iniciales se propagan y cambian de inclinación.

Dado que la sección transversal de dicha viga está sometida a un esfuerzo cortante y un

momento flector, las deformaciones longitudinales, y por consiguiente, la inclinación y

separación de las grietas, variarán con la profundidad de la viga. La formulación de una

ecuación que determine la resistencia a cortante de una viga de hormigón armado

requiere previamente del conocimiento de la inclinación de dichas fisuras (Fig. 1.1).

Fig. 1.1: Alma agrietada de una viga con rotura por cortante1

Pese a las afirmaciones de Mörsch en 1922, quien aseguraba la imposibilidad de

determinar matemáticamente la pendiente de las grietas secundarias con la que poder

diseñar una viga de hormigón armado frente a cortante, en 1929 un ingeniero alemán,

H.A. Wagner, resolvía con éxito un problema similar en perfiles metálicos de alma

débil; según Wagner, una vez que el alma del perfil metálico cedía, éste continuaba

resistiendo el cortante mediante un campo diagonal de tracciones apoyado en las partes

superior e inferior de la viga, puesto que la parte lateral había cedido y no ofrecía

resistencia suficiente. Para determinar el ángulo de inclinación de las tracciones

diagonales en el alma de la viga, Wagner consideró las deformaciones del sistema; él

asumió que el ángulo de inclinación de los esfuerzos de tracción en el alma coincidiría 1 Adaptado de: ASCE-ACI Committee 445 on Shear and Torsion (1998): Recent approaches to shear design of structural concrete, Journal of Structural Engineering, Vol. 124, No. 12, p. 1378



5

con el ángulo de inclinación de las deformaciones principales a tracción. Así surgieron

las denominadas teorías de los campos diagonales de tracción.

Teniendo en cuenta que, en el caso del hormigón, las fisuras son siempre

perpendiculares a las direcciones principales de tracción, una vez determinada la

orientación de las deformaciones principales a tracción quedaría resuelto el problema de

la inclinación de las fisuras en el alma de la viga de hormigón. Pues bien, basándose en

el planteamiento de Wagner, y trasladándolo al estudio del hormigón, se han formulado

aproximaciones conocidas como “teorías del campo de compresiones”, las cuales

determinan el ángulo de inclinación de las deformaciones principales a tracción, y por

consiguiente, de los esfuerzos diagonales de tracción, a partir de las deformaciones de

la armadura transversal, de la armadura longitudinal y del propio hormigón.

La figura 1.2 muestra el patrón de agrietamiento observado en un panel de

hormigón armado que fue sometido a tracción uniaxial combinada con cortante, y que

solo contenía armadura en la dirección de aplicación de la tracción. Las primeras

fisuras presentaban inclinaciones en torno a 71º respecto al eje horizontal. A medida que

la carga aplicada iba aumentando, nuevas grietas se formaban con orientaciones cada

vez más próximas a la dirección de armado, mientras el ancho de dichas grietas

aumentaba progresivamente. Finalmente, la rotura del elemento se alcanzó mediante

una rápida propagación de las últimas fisuras producidas, las cuales en el momento del

colapso presentaban inclinaciones aproximadas de 33º respecto al eje horizontal. En este

caso, la dirección principal de tensión aplicada difería hasta 20 º respecto de la dirección

principal de deformación observada (Bhide y Collins, 1989).

La inclinación estimada, basada en la hipótesis de Wagner de que la dirección

principal de tensión coincide con la dirección principal de deformación, queda a medio

camino entre la dirección de deformación observada y la dirección de tensión aplicada.

Para elementos con armadura longitudinal y transversal (Fig. 1.3), la dirección principal

de tensión en el hormigón difiere hasta un máximo de 10 º respecto la dirección

principal de deformación (Vecchio y Collins, 1986). Basándose en estos resultados, los

precursores de las teorías de campo de compresiones en hormigón consideraron que la

determinación de la inclinación de los esfuerzos principales en el hormigón a partir de la



6

hipótesis de Wagner constituía una simplificación “razonable”.

Fig. 1.2: Variación de la inclinación de la fisuración por incremento de la carga aplicada en un elemento

de hormigón armado2

Por otra parte, Thomas T.C. Hsu realizaba en 1996 la siguiente aseveración en

relación a su teoría RA-STM (“Rotating-Angle Softened Truss Model”):

After initial cracking, the change in direction of the subsequent cracks are due to

changes in the direction of the principal tensile stresses in the concrete, which, in turn,

are dependent on the relative amount of steel in the longitudinal and transverse

directions.

En base a la cual, se puede afirmar que el fenómeno de disparidad entre los

ángulos del campo principal de tensiones y el campo principal de deformaciones

constituye un fenómeno de alguna forma “paliable” desde el diseño del propio elemento

de hormigón armado.

Así pues, el objetivo general del presente trabajo es el de analizar en qué

medida, y bajo qué condiciones de funcionamiento, la aplicación de la hipótesis de

Wagner constituye una simplificación asumible en el diseño a cortante del hormigón

2 Fuente: ASCE-ACI Committee 445 on Shear and Torsion (1998): Recent approaches to shear design of structural concrete, Journal of Structural Engineering, Vol. 124, No. 12, p. 1381



7

armado. Dicho objetivo general se concreta en los siguientes objetivos específicos:

Fig. 1.3: Desviación de la dirección principal de tensión θ respecto de la dirección principal de

deformación θc en hormigón armado 3

a) Definir y justificar una metodología de análisis que permita cuantificar la

disparidad de ángulo entre las direcciones principales de tensión y deformación

en hormigón armado, bajo diferentes condiciones de solicitación.

b) Analizar, en base a lo indicado por el profesor Hsu, qué parámetros de diseño

del hormigón armado pueden contribuir, mediante su modificación, a reducir la

desviación observada entre las direcciones principales de tensión y deformación.

c) Evaluar en qué medida la efectividad de las modificaciones indicadas en el

apartado b) depende de la deformación del elemento, y por tanto, de su nivel de

degradación por cortante.

d) Adoptar, sobre la base de las teorías de cortante actualmente en vigor, soluciones

de compromiso entre ciencia y técnica, a fin de que los resultados obtenidos

3 Vecchio, F.J., Collins, M.P. (1986): The Modified Compression Field Theory for Reinforced Concrete Elements Subjected to Shear, ACI Journal, Vol. 83, No. 2, p. 224



8

puedan gozar de una utilidad práctica, y servir de apoyo al ingeniero a la hora de

abordar nuevos problemas de diseño.

En un primer estudio de las cuestiones anteriormente planteadas se ha

prescindido de experimentación específica al respecto, sirviéndonos exclusivamente del

análisis de las ecuaciones aportadas por las teorías de cortante actualmente en vigor;

dicho análisis se aplicará a un ejemplo particular de una viga de hormigón armado, y a

partir de los resultados numéricos obtenidos para dicho caso, y de los resultados

existentes en relación a la experimentación con otro tipo de elementos similares, se

emitirán un conjunto de conclusiones sobre los objetivos específicos propuestos.



9

CAPÍTULO 2

ESTADO DE LA CUESTIÓN



10

Se puede afirmar que todavía se está buscando una teoría que explique el

comportamiento del hormigón sometido a esfuerzos cortantes. Dentro de las teorías de

cortante existe un grupo, conocido como “teorías del campo de compresiones”, que

resultan muy útiles para el estudio del hormigón estructural. A continuación se va a

proceder a una revisión de las diferentes teorías de campo de compresiones, abordando

los distintos modelos que, a lo largo de la historia, definen y justifican el

comportamiento resistente a cortante del hormigón estructural.

2.1 Distribución de tensiones tangenciales en el hormigón

En Resistencia de Materiales, la distribución de tensiones tangenciales en la

sección de una viga sometida a cortante obedece a la Ley de Colignon, cuya ecuación

recordamos a continuación:

w

VSb I

τ = (2.1)

Donde τ es la tensión rasante, V es el esfuerzo cortante, S es el momento estático

respecto de la fibra neutra del área de la sección situada por encima de la fibra

longitudinal considerada, I es el momento de inercia de la sección respecto de su fibra

neutra y bw es el ancho del alma de la viga.

En un primer análisis, la ley anterior podría ser aceptable en pre-fisuración pero

no es aplicable cuando el hormigón está fisurado. No obstante, existen otras

particularidades que llevan a no poder considerar de forma general la distribución de

Colignon; a continuación se enumeran algunas de ellas:

- El hormigón armado no es un material homogéneo.

- El hormigón armado es un material compuesto donde uno de los materiales

integrantes presenta retracción, lo que impide considerarlo como un medio

elástico, y fluencia, con la consiguiente alteración de la distribución de

tensiones en el tiempo.



11

- El hormigón armado no presenta una separación clara entre la zona fisurada

y la no fisurada, lo que dificulta la cuantificación de sus propiedades

mecánicas fundamentales.

Debido a lo expuesto anteriormente se hace necesario considerar una

distribución de tensiones tangenciales distintas. En 1902, Mörsch obtuvo la distribución

de tensiones rasantes para una viga de hormigón armado con fisuras de flexión. Según

Mörsch, la tensión tangencial alcanzaría su valor máximo en la fibra neutra,

permaneciendo constante desde dicho punto hasta la armadura longitudinal a flexión

(Fig. 2.1). La ecuación propuesta por Mörsch fue la siguiente:

w

Vb z

τ =

(2.2)

Donde ‘z’ es el brazo mecánico a flexión o distancia entre los centros de

gravedad de la zona de compresiones y la armadura longitudinal de tracción. Según

Mörsch, para vigas con cuantías estándar de armado, la zona a compresión no fisurada

sólo resistiría en torno a un 30 % del cortante total, lo que equivale a considerar que la

mayor parte de la tensión cortante se trasmite a través de las grietas de flexión.

Fig. 2.1: Tensiones de cortante en la fibra neutra1

1Fuente: Hernández Montes, E., Gil Martín, L.M. (2007): Hormigón Armado y Pretensado. Concreto Reforzado y Preesforzado. Grupo de investigación TEP-190 Ingeniería e Infraestructuras, Universidad de Granada, Granada, pág. 226.



12

Dada la incertidumbre existente al respecto de la distribución real de tensiones

tangenciales debidas al cortante y a la imposibilidad de una evaluación analítica de la

misma en hormigón armado, en los años cincuenta la ecuación 2.2 pasó a considerarse

únicamente como un indicador “nominal” del nivel de cortante en sección, y se

denominó esfuerzo cortante nominal.

2.2 La analogía de la celosía

El hormigón, bajo cargas muy pequeñas, presenta grietas orientadas

perpendicularmente a la dirección principal de tracción. Una vez que aparecen estas

grietas, la resistencia a tracción del hormigón en el punto de fisuración queda anulada

completamente, y a partir de ese momento, los principios de la Mecánica de Medios

Continuos dejan de ser aplicables.

En 1899, Ritter explica el comportamiento interno de una viga de hormigón

armado en términos de un modelo en celosía en la que los elementos a compresión

(cordón superior y diagonales) están constituidos por el hormigón presente en la viga, y

los elementos a tracción están constituidos por la armadura longitudinal inferior

actuando como tirante y la armadura transversal actuando como montante (Fig. 2.2).

Fig. 2.2: Esquema original de Ritter sobre la analogía de la celosía2

En 1902, Mörsch explica y desarrolla el modelo de la celosía con mayor nivel de

detalle, afirmando que, si bien los montantes de la celosía se encuentran concentrados

en la armadura vertical, no ocurre lo mismo con las diagonales comprimidas, las cuales

forman un continuo a lo largo de toda la masa de hormigón (Fig. 2.3). 2Adaptado de: Ritter, W. (1899), Die Bauweise Hennebique (Construction Techniques of Hennebique), Schweizerische Bauzeitung, Zürich



13

Fig. 2.3: Analogía de la celosía de Mörsch3

Tanto Ritter como Mörsch obviaron los esfuerzos de tracción en el hormigón

fisurado, asumiendo que, tras el agrietamiento del hormigón, se generaría un campo de

compresiones formando un ángulo de 45 º con la horizontal; en la dirección

perpendicular a estas bielas de compresión el hormigón se encuentra agrietado y como

consecuencia de ello deja de resistir a tracción. Si consideramos un campo de esfuerzos

cortantes uniformemente distribuido en un área efectiva de cortante de ancho ‘bw’ y

profundidad ‘z’, entonces la fuerza total diagonal de compresión ( /wf b z⋅ ⋅2 2 ) debe

ser igual a V2 (Fig. 2.4), quedando lo siguiente:

w

Vfb z

=22 (2.3)

Donde V es la fuerza cortante y f2 es la tensión principal de compresión en el

alma de la viga en cuestión.

La componente longitudinal de la fuerza diagonal de compresión será igual a V.

Dicha fuerza debe ser contrarrestada por una fuerza igual de tracción, Nv, aplicada en la

armadura longitudinal. Por consiguiente, la fuerza de tracción causada por el cortante en

la armadura longitudinal vendrá dada por la siguiente relación:

vN V= (2.4)

Así mismo, se puede observar que la fuerza diagonal de compresión, referida a

la separación entre estribos ‘s’ ( /wf b s⋅ ⋅2 2 ), tiene una componente vertical

( /wf b s⋅ ⋅2 2 ) la cual debe ser equilibrada por una fuerza de tracción en los

estribos, Avfv, donde Av es la sección transversal de una barra estribo y fv es la tensión

3 Adaptado de: Mörsch, E. (1909), Concrete Steel Construction, McGraw-Hill Book Company, New York, 368 pp.



14

de tracción en dicha barra (Fig. 2.4). A partir de la ecuación 2.3, se obtiene:

v vA f Vs z

= (2.5)

Fig. 2.4: Condiciones de equilibrio para la analogía de la celosía a 45º4

Según el modelo de bielas a 45º, el cortante máximo se alcanzará cuando los

cercos alcancen la tensión de cedencia (Fig. 2.5), lo que corresponde a una determinada

tensión de cortante τ cuyo valor se puede deducir a partir de la ecuación 2.5

correspondiente al equilibrio de fuerzas verticales, tal y como se indica a continuación:

v yv y w v y

w

A fhA f b h fs b s

τ τ ρ= → = = (2.6)

Donde el brazo mecánico ‘z’ se ha aproximado por el canto ‘h’ de la viga, y

donde fy es la tensión de cedencia del acero y ρv es la cuantía de armadura transversal. 4 Adaptado de: Hernández Montes, E., Gil Martín, L.M. (2007): Hormigón Armado y Pretensado. Concreto Reforzado y Preesforzado. Grupo de investigación TEP-190 Ingeniería e Infraestructuras, Universidad de Granada, Granada, pág. 260.



15

Fig. 2.5: Estribos a 90º y bielas a 45º 5

La idea inicial de Ritter fue posteriormente modificada ya que la aplicación

estricta del método de la celosía conducía a valores de tensiones en las armaduras de

cortante claramente superiores a los obtenidos en los ensayos. Esto se debe a que

existen otros mecanismos que colaboran en la resistencia a cortante; en el caso de una

viga sin armadura de cortante el modelo de Ritter supone que la resistencia a cortante es

nula y sin embargo la experimentación al respecto ha demostrado que no es así .Por otro

lado, si sólo se considera el mecanismo de la celosía, el acero quedará tensado en

exceso. Además, en el modelo de Ritter las bielas comprimidas forman 45º con la

horizontal y, en general, se ha comprobado que en hormigón armado este ángulo es

ligeramente inferior. Se concluye, por tanto, que los modelos de celosía de Ritter y

Mörsch resultan excesivamente conservadores pues el cortante que resiste una viga

según el modelo de la celosía es, en cualquier caso, inferior al que en realidad resiste

dicha viga.

A continuación se plantea la analogía de la celosía con una orientación genérica

θ de las bielas de compresión. En este caso, la condición de equilibrio exige que la

resultante D (Fig. 2.6) del campo de tensiones principales de compresión en el alma de

la viga, f2, sea igual a V/senθ. Por definiciσn, D es igual a coswf b z θ2 , luego la tensión

principal de compresión f2 viene dada por:

( )tan cotw w

V Vfb z sen cos b z

θ θθ θ

= = +21 (2.7)

5 Fuente: Hernández Montes, E., Gil Martín, L.M. (2007): Hormigón Armado y Pretensado. Concreto Reforzado y Preesforzado. Grupo de investigación TEP-190 Ingeniería e Infraestructuras, Universidad de Granada, Granada, pág. 256.



16

La componente longitudinal de la fuerza diagonal de compresión D será igual a

V·cotθ. Al igual que ocurría en el modelo de Ritter, dicha fuerza debe ser contrarrestada

por una fuerza igual de tracción, Nv, aplicada en la armadura longitudinal. Por

consiguiente, la fuerza de tracción causada por el cortante en la armadura longitudinal

vendrá dada por la siguiente relación:

cotvN V θ= (2.8)

Igualmente, la fuerza diagonal de compresión, referida a la separación entre

estribos ‘s’ ( wf b s senθ⋅2 ) tiene una componente vertical ( wf b s sen θ⋅ 22 ) la cual debe ser

equilibrada por una fuerza de tracción en los estribos, v vA f (Fig. 2.6). A partir de la

ecuación 2.7, se obtiene:

tanv vA f Vs z

θ= (2.9)

Fig. 2.6: Condiciones de equilibrio para la analogía de la celosía bajo una inclinación genérica θ6

6 Adaptado de: Hernández Montes, E., Gil Martín, L.M. (2007): Hormigón Armado y Pretensado. Concreto Reforzado y Preesforzado. Grupo de investigación TEP-190 Ingeniería e Infraestructuras, Universidad de Granada, Granada, pág. 260.



17

En 1922, Mörsch realizaba la siguiente afirmación en relación a la

determinación del ángulo de inclinación de la biela de compresión en hormigón7

We have to comment with regards to practical application that is absolutely impossible to

mathematically determine the slope of the secondary inclined cracks according to which one can design

the stirrups. For practical purposes one has to make a possibly unfavorable assumption for the slope θ

and therefore, with tan2 θ=∞, we arrive at our usual calculation for stirrups which presumes θ=45º.

Originally this was derived from the initial shear cracks which actually exhibit this slope.

Las fisuras secundarias a las que se refiere Mörsch son aquéllas de menor

inclinación que se forman al final de la vida de servicio de la viga. Si se tomara la

inclinación de dichas fisuras como ángulo de biela de diseño, se conseguiría reducir la

cuantía de armadura transversal necesaria de forma sustancial. Las anteriores

ecuaciones de equilibrio (2.7, 2.8, 2.9) no son suficientes para calcular el campo de

esfuerzos en una viga sometida a cortante, pues el número de variables a determinar (el

esfuerzo principal de compresión f2, la tracción en la armadura longitudinal Nv, la

tensión en la armadura transversal fv, y el ángulo de inclinación θ de las bielas de

compresión) asciende a cuatro, razón por la cual Mörsch afirmaba la imposibilidad

matemática de determinar la inclinación de las bielas de compresión.

Fig. 2.7: Estribos a 90º y bielas a una inclinación genérica θ 8

7 Mörsch, E. (1922), Der Eisenbetonbau (Reinforced Concrete Construction), Verlag von Konrad Wittwer, Sttutgart, West Germany, 460 pp.



18

Para el caso de una inclinación genérica θ de las bielas de compresión, la

ecuación 2.6 adopta la siguiente expresión (Fig. 2.7):

cotv yfτ ρ θ= (2.10)

2.3 Teoría del Campo de Compresiones (TCC)

Antes de formular una ecuación basada en los mecanismos de biela para

determinar la resistencia a cortante de una viga o para diseñar los estribos, resulta

preciso conocer el ángulo de inclinación de las bielas, θ. En 1929, un ingeniero alemán,

H.A. Wagner, resolvió con éxito un problema similar al analizar la resistencia a

cortante, después de la cedencia del alma, de perfiles armados de vigas metálicas (Fig.

2.8). A la vista de las deformaciones observadas, Wagner dedujo que el alma débil del

perfil no resistía a compresión y que, por el contrario, el cortante era resistido por un

campo diagonal de tracciones apoyado en las alas de la viga y en los rigidizadores

transversales.

Fig. 2.8: Campo diagonal de tracciones en un perfil metálico de alma débil.

Para determinar el ángulo de inclinación de la tracción diagonal, Wagner

consideró que el ángulo de inclinación de la tensión diagonal de tracción coincidía con

el ángulo de inclinación de las deformaciones principales a tracción. Así surgieron las

denominadas “teorías de los campos diagonales de tracción”.




19

Basándose en el planteamiento anterior y trasladándolo al estudio del hormigón

se han formulado aproximaciones conocidas como “teorías del campo de

compresiones”. Éstas determinan el ángulo de inclinación de las bielas (θ) considerando

las deformaciones de la armadura transversal, de la armadura longitudinal y del

hormigón. A partir de las teorías del campo de compresiones se puede estudiar la

respuesta carga-deformación de una sección sometida a cortante; para ello se plantean

las condiciones de equilibrio, las condiciones de compatibilidad y las relaciones

tensión-deformación tanto para la armadura como para el hormigón agrietado.

Las teorías de los campos de deformaciones están formuladas en la mecánica del

continuo, considerando deformaciones medias, esto es, comunes a acero y hormigón y

medidas sobre una longitud suficiente que incluya varias fisuras (Fig. 2.9a). Si la

armadura longitudinal sufre un alargamiento medio εx, la armadura transversal un

alargamiento medio εt, y el hormigón en la dirección principal de compresión un

alargamiento medio ε2, a partir del círculo de Mohr de deformaciones (Fig. 2.9b) se

puede deducir la dirección principal de deformación a compresión, mediante la

siguiente expresión:

x

t

Tan ε εθ

ε ε−

=−

2 2

2

(2.11)

Donde:

εx = deformación longitudinal del alma (positiva)

εt = deformación transversal (positiva)

ε2 = deformación principal a compresión (negativa)

Para un valor dado de θ, la ecuación 2.11 puede ser considerada como una

relación de compatibilidad entre las tres deformaciones del sistema, ε2, εx y εv.

A partir del círculo representado en la figura 2.9b, se puede deducir la

deformación media principal a tracción ε1 en función de otras deformaciones, mediante

la siguiente relación:



20

( ) cotx t x xε ε ε ε ε ε ε θ= + − = + − 21 2 2 (2.12)

Si hubiera armadura activa, se cumplirá además que

p x pε ε ε= + ∆ (2.13)

Donde εp es la deformación unitaria de la armadura activa y Δεp es la

deformación impuesta por el sistema de pretensado.

Fig. 2.9a: Deformaciones medias en un elemento agrietado

Fig. 2.9b: Círculo de deformaciones medias9

El significado físico de la ecuación 2.11 reside básicamente en el hecho de que

para bajas inclinaciones de grieta, la armadura transversal se encontrará altamente

deformada, mientras que para altas inclinaciones de grieta será la armadura longitudinal

la que experimente mayores deformaciones.




21

Si consideramos una viga de hormigón armado, con armadura simétrica, y

sometida a cortante, se puede deducir que para una determinada solicitación de cortante

V, existe un total de cinco incógnitas: los esfuerzos medios de tracción en las barras

longitudinales, fx; los esfuerzos medios en los estribos, fv; el esfuerzo principal de

compresión en el hormigón, f2; y la inclinación θ de las bielas de compresión. Para

determinar estas cinco incógnitas disponemos de otras cinco ecuaciones, a saber: tres

ecuaciones de equilibrio (2.7, 2.8 y 2.9), dos ecuaciones de compatibilidad (2.11 y

2.12), y las relaciones constitutivas del acero y el hormigón. Así pues, la respuesta

carga-deformación de un elemento de hormigón armado sometido a cortante queda

completamente definida. Este último desarrollo constituye la primera de las teorías de

campos de compresiones y se denomina Teoría del Campo de Compresiones (Collins y

Mitchell, 1974).

El comité 445 sobre cortante y torsión perteneciente al ASCE-ACI define en su

texto “Recent Approaches to Shear Design of Structural Concrete” las ecuaciones de

equilibrio de la TCC en su forma simplificada (Fig. 2.10):

tanv sv cyf f vρ θ= = (2.14)

cotx sx cxf f vρ θ= = (2.15)

( )tan cotf v θ θ= +2 (2.16)

Donde ρx y ρv son las cuantías de armadura transversal y longitudinal,

respectivamente, v es la tensión cortante, fcx y fcy son los esfuerzos medios de

compresión en el hormigón en las direcciones horizontal y vertical, y fsx y fsy son los

esfuerzos medios de tracción en las armaduras longitudinal y transversal,

respectivamente.

Para esfuerzos de compresión relativamente pequeños se puede asumir que

ε2=f2/Ec, y en el caso de esfuerzos cortantes inferiores a aquellos que provocan la

cedencia del acero, se puede deducir, a partir de las ecuaciones 2.11, 2.14, 2.15 y 2.16,

la siguiente expresión para el ángulo de biela a compresión, θ:



22

tan x

v

n

n

ρθ

ρ

+=

+

4

11

11 (2.17)

Donde n es el cociente entre los módulos de deformación del acero (Es) y el del

hormigón (Ec), n=Es/Ec, con Ec=fc/εc, donde fc es la resistencia a compresión del

hormigón ensayado en probeta cilíndrica y εc es la deformación asociada a fc.

Fig. 2.10: Estudio del equilibrio para la Teoría del Campo de Compresiones (TCC)10

2.3.1 Comportamiento a compresión del hormigón fisurado

Las tensiones y deformaciones están relacionadas mediante los modelos tensión-

deformación de los materiales. Para el hormigón a compresión el modelo habitual es

aquel que reproduce el comportamiento del hormigón en el ensayo a compresión en

probeta cilíndrica; en este caso, la única deformación a tracción que experimenta el

hormigón es la debida al efecto Poisson. Sin embargo, el caso que nos ocupa es bien

distinto dado que ahora el hormigón está solicitado a compresión en una dirección

principal al mismo tiempo que traccionado según la otra dirección principal y además

está agrietado.

La principal característica de la ley constitutiva a compresión del hormigón

agrietado por cortante es la considerable disminución de la tensión pico de compresión

10 Adaptado de: ASCE-ACI Committee 445 on Shear and Torsion (1998): Recent approaches to shear design of structural concrete, Journal of Structural Engineering, Vol. 124, No. 12, p. 1378.



23

en relación a la obtenida en el ensayo en probeta cilíndrica. Dicho fenómeno de

reducción fue descubierto inicialmente por Robinson11, quien desafortunadamente no

pudo determinar el conjunto de variables que afectaban al coeficiente de disminución de

la tensión pico, pues el alma de las vigas ensayadas estaba sometida a un complejo

campo de tensiones y deformaciones inducidas por la flexión y el cortante. A fin de

solucionar este problema, Robinson y Demorieux12 decidieron trabajar con paneles de

hormigón sometidos a tensión bi-axial, confirmando así la disminución de la resistencia

a compresión del hormigón debido a la presencia de esfuerzos de tracción en la

dirección perpendicular.

A fin de investigar las características tenso-deformacionales del hormigón

fisurado a cortante, Vecchio y Collins ensayaron una serie de paneles de hormigón

armado sometidos a cortante puro en el denominado “Shear Rig” de la Universidad de

Toronto (Fig. 2.11), el cual les permitió salvar algunas de las dificultades técnicas de

experimentación hasta entonces encontradas. A partir de los resultados obtenidos, y

como ya habían adelantado Robinson y Demorieux, se dedujo que la tensión principal

de compresión en el hormigón, f2, no era función exclusiva de la deformación principal

de compresión, ε2, sino que además dependía de la deformación principal a tracción

coexistente (Fig. 2.12 y 2.13). Vecchio y Collins propusieron a tal efecto la siguiente

relación:

max

max .

c c

cc

f f

ff f

ε εε ε

ε

= −

= ≤+

2

2 22 2

21

2

0 8 170

(2.18)

Siendo f2max al resistencia máxima por aplastamiento a compresión del

hormigón.

Belarbi y Hsu, a partir de una campaña de ensayos en condiciones similares a los

anteriores y realizados en la Universidad de Houston, sugirieron la siguiente expresión

11 Robinson, J.R. (1961): Essais a l’Effort Tranchant de Poutres a Ame Mince en Beton Arme, Annales des Ponts et Chausses, V.131, No.2, Paris, pp. 225-255 12 Robinson, J.R., Demorieux, J.M. (1968):Essai de Traction-Compression sur Modeles d’Armes de Poutre en Beton Arme – Part I, Institut de Recherches Appliquees du Beton Arme, Paris, 43 pp.



24

para la resistencia f2max:

max. cff

ε=

+21

0 91 400

(2.19)

La cual, bajo condiciones de cortadura pura, depende igualmente de la

deformación principal a tracción coexistente.

Fig. 2.11: Universidad de Toronto: módulo de ensayo de paneles de hormigón (TMCC)13

Así mismo, los autores de la ecuación 2.19 desarrollaron el siguiente modelo

tenso-deformacional a compresión del hormigón armado y/o pretensado sometido a

cortante y torsión:

,

/ , /

ce c e c e c

e cc

e e c

f f

f f

σ

σ

ε ε εζ

ζ ε ζ ε ζ ε

ε ζ ε εζ

ζ ζ ε

= − ≤ − = − > −

2

2 2 22 0

0 0 0

2

2 0 22 0

0 0

2 1

11 1

2 1

(2.20)

Donde, para cargas “proporcionales” (i.e., ε1 y ε2 se incrementan

simultáneamente):

. y eσζ ζε ε

= =+ +0 0

1 1

0 9 11 400 1 500

13 Fuente: Vecchio, F.J., Collins, M.P. (1986): The Modified Compression Field Theory for Reinforced Concrete Elements Subjected to Shear, ACI Journal, Vol. 83, No. 2, p. 223



25

Y para cargas “secuenciales” (i.e., primero se aplica ε1 y después se incrementa

ε2):

. y eσζ ζε

= =+0 0

1

0 9 11 250

Ya que el alma fisurada de una viga de hormigón armado está sometida a

esfuerzos cortantes crecientes, tanto la deformación principal de compresión ε2 como

la deformación principal a tracción ε1 aumentan simultáneamente. La figura 2.14a

muestra como las relaciones correspondientes a las ecuaciones 2.18 y 2.20 presentan

comportamientos similares para el caso en que la razón ε1 / ε2 permanezca

aproximadamente constante. Por su parte la figura 2.14b compara dichas relaciones bajo

la hipótesis menos realista de que ε1 permanezca constante, mientras ε2 aumenta; en

cualquiera de los dos casos, las ecuaciones definidas presentan comportamientos

similares.

Mediante el uso de las condiciones de equilibrio anteriormente descritas, las

condiciones de compatibilidad y las correspondientes relaciones constitutivas, es

posible predecir no sólo la resistencia sino también la respuesta tenso-deformacional de

elementos de hormigón armado sometidos a cortante. No obstante, dado que la TCC

desprecia la contribución a tracción del hormigón fisurado, las deformaciones son

sobrestimadas, con lo que los valores de resistencia a cortante finalmente obtenidos

resultan excesivamente conservadores.



26

Fig. 2.12: Relación tensión-deformación para el hormigón agrietado en compresión14

Fig. 2.13: Influencia de la deformación principal a tracción en la resistencia a compresión del hormigón 15

14 Adaptado de: Hernández Montes, E., Gil Martín, L.M. (2007): Hormigón Armado y Pretensado. Concreto Reforzado y Preesforzado. Grupo de investigación TEP-190 Ingeniería e Infraestructuras, Universidad de Granada, Granada, pág. 263. 15 Adaptado de: Vecchio, F.J., Collins, M.P. (1986): The Modified Compression Field Theory for Reinforced Concrete Elements Subjected to Shear, ACI Journal, Title no. 83, No. 2, p. 225



27

Fig. 2.14a: Relación tenso-deformacional a compresión del hormigón: “cargas proporcionales”

Fig. 2.14b: Relación tenso-deformacional a compresión del hormigón: “cargas secuenciales”16

16 Fuente: ASCE-ACI Committee 445 on Shear and Torsion (1998): Recent approaches to shear design of structural concrete, Journal of Structural Engineering, Vol. 124, No. 12, p. 1380



28

2.4 Teoría Modificada del Campo de Compresiones

La figura 2.15 muestra el alma de una viga de hormigón armado antes y después

de la fisuración. Antes de producirse la fisuración el cortante es resistido por tracciones

y compresiones diagonales en el hormigón actuando a 45º, donde f1 y f2 son las

tensiones principales de tracción y compresión, respectivamente. Una vez que se

produce la fisuración, tiene lugar una reducción sustancial de la resistencia a tracción

del hormigón; según la TCC, una vez fisurado, el hormigón pierde totalmente su

resistencia a tracción, y por tanto, a partir de ese instante, f1 = 0. No obstante, el

hormigón sí contribuye después de fisurado, y por consiguiente, debe considerarse una

resistencia media del hormigón a tracción entre grietas. De esta forma surge la

denominada Teoría Modificada del Campo de Compresiones (TMCC).

Fig. 2.15: Diferencia entre la TCC y la TMCC

La tensión principal de tracción en el hormigón fisurado varía en magnitud

desde cero en la localización de la grieta hasta un valor máximo entre grietas. Dado que

las ecuaciones de equilibrio son obtenidas por integración del campo de tensiones en la

totalidad de la sección transversal, se puede trabajar con valores medios de los esfuerzos

de tracción a la hora de formular dichas ecuaciones de equilibrio; éstas han sido

planteadas para una viga simétrica de hormigón con armadura pasiva y activa, supuesto

que la tensión de cortante viene dada por la ecuación 2.2.

A partir del círculo de Mohr de tensiones medias (Fig. 2.16), se puede deducir la

siguiente relación para el esfuerzo principal de compresión, f2:



29

( )tan cotw

Vf fb z

θ θ= + −2 1 (2.21)

La descompensación de la proyección vertical de resultantes de las tensiones

principales f2 y f1 debe ser equilibrada por una fuerza de tracción en la armadura

transversal (Fig. 2.17), tal y como se indica a continuación:

( )cosv v wA f f sen f b sθ θ= −2 22 1 (2.22)

Si el esfuerzo axil que solicita la sección es nulo, la descompensación de la

proyección longitudinal de las resultantes de las tensiones principales f2 y f1 debe ser

equilibrada mediante una fuerza de tracción en la armadura longitudinal, tal y como se

indica a continuación:

( )cossx x p p wA f A f f f sen b zθ θ+ = −2 22 1 (2.23)

Donde Asx es el área total de la armadura longitudinal pasiva, Ap es el área total

de la armadura longitudinal activa, y fp es la tensión media en la barra de pretensado.

Fig. 2.16: Círculo de tensiones medias del hormigón17




30

Fig. 2.17: Estudio del equilibrio para la Teoría Modificada del Campo de Compresiones (TMCC)18

Sustituyendo el valor de f2 de la ecuación 2.21, la ecuación 2.23 adopta la


cotsx x p p wA f A f V f b zθ+ = − 1 (2.24)

Así mismo, sustituyendo el valor de f2 de la ecuación 2.21 en la ecuación 2.22,

se obtiene la siguiente relación:

cot cotv vw

A fV f b z zs

θ θ= +1 (2.25)

La ecuación 2.25 expresa la resistencia a cortante de un elemento de hormigón

armado como la suma de la contribución del hormigón (Vc), la cual depende de la

distribución de esfuerzos de tracción en el hormigón, y la contribución del acero (Vs), la

cual depende del esfuerzo medio de tracción en los estribos; por otro lado, existe una

analogía formal entre la formulación así obtenida y la propuesta a tal efecto por la

norma ACI (V = Vc+Vs).




31

En lo que a la ecuación de comportamiento del acero se refiere, tanto la TCC

como la TMCC consideran relaciones bilineales de tensión-deformación, tal y como se

muestra a continuación:

, ,

, , x s x x y v s t t y

x y x y v y t y

f E f E

f f

ε ε ε ε ε ε

ε ε ε ε ε ε

= ≤ = ≤

= > = > (2.26)

Fig. 2.18: Relaciones tensión-deformación del acero (TCC y TMCC)19

2.4.1 Interacción Flexión-Cortante: Analogía de la Celosía Modificada

Considérese una viga como la de la figura 2.19, con la armadura transversal

dispuesta según un ángulo α con la horizontal. Si se practica un corte a la misma por

una sección siguiendo la inclinación de las bielas de hormigón, se obtendrán las

siguientes ecuaciones de equilibrio:

cotcotcot cot

v c s

h s

o c s s

F V V V

F C T Vz zM M C z V z V V

α

θθ α

→ = +

→ = +

→ = ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅

∑∑∑ 2 2

(2.27)




32

En las ecuaciones anteriores se ha supuesto que el cortante V es resistido por el

hormigón en la zona de compresiones (Vc) y por la armadura de cortante (Vs). Si se

sustituye Vc de la primera ecuación en la tercera, y C de la segunda en la tercera, se

obtiene lo siguiente:

( )cot cot cot cot cots s s

T

V V VMM z T V T Vz

θ α θ θ α

∆

= − − + → = + − + 2 2 214444244443

(2.28)

Fig. 2.19: Esquema de viga según analogía de la celosía20

Como se puede observar, el valor de T no es igual únicamente a M/z, según

establece la teoría clásica de vigas, sino que aparece un incremento de tracción adicional

‘ΔT’ como consecuencia de haber considerado la contribución a cortante del hormigón

(Vc). Este nuevo comportamiento se denomina analogía de la celosía modificada. Dicha

componente longitudinal no compensada, producida por las tensiones diagonales en el

hormigón, es la responsable del “decalaje de la ley de flectores” que la norma EHE-08

establece en su artículo 44.2.3.4.2




33

2.4.2 Comportamiento del hormigón a tracción

El hormigón es un material que resiste muy poco a tracción y que, por tanto,

rompe bajo tensiones de tracción muy pequeñas. No obstante, para deformaciones

superiores a la correspondiente a la resistencia media de tracción del hormigón fctm, la

contribución del hormigón no es despreciable. Una vez que aparece la primera grieta el

hormigón deja de contribuir en la zona de la grieta pero continúa contribuyendo en la

zona entre grietas. En consecuencia, la deformación total experimentada por la barra de

acero, aun cuando existan numerosas grietas, será menor que la que experimentaría la

misma barra aislada.

Justo antes de que se forme la primera grieta, la tensión del hormigón es fctm, y

su deformación es εctm. Una vez formada la primera grieta, la tensión media de tracción

en el hormigón disminuye, y decrecerá tanto más cuantas más grietas se produzcan, es

decir, conforme aumente la deformación principal a tracción en el hormigón. Vecchio y

Collins (1986), a partir de un conjunto de paneles de hormigón armado ensayados a

cortante puro, propusieron la siguiente relación tenso–deformacional a tracción para el

hormigón fisurado (Fig. 2.19):

,

,

c ctm

ctmctm

f Eff

ε ε εα α

ε εε

= ≤

= >+

1 1 1

1 21 1

11 500 (2.29)

Donde:

α1 Coeficiente en función de la adherencia acero-hormigón

1 para barras corrugadas

0.7 para barras lisas, cables y cordones con muescas

0 para barras sin adherencia



34

α 2 Coeficiente en función del tipo de carga

1.0 para carga rápida no cíclica

0.7 para cargas duraderas o repetitivas

Fig. 2.19: Relación tensión-deformación media para el hormigón a tracción21

El fenómeno de la contribución a tracción del hormigón se denomina

tensorrigidez. La tensorrigidez no afecta a toda el área de la sección transversal

sometida a tracción sino sólo a una parte situada en el entorno de la barra de acero (Fig.

2.20). Al área afectada se le denomina área eficaz ‘Ac,ef’, y equivale a la zona

rectangular en torno a la barra de acero a una distancia no superior a 7.5Ø, siendo Ø el

diámetro de la barra en cuestión.

Fig. 2.20: Área eficaz de hormigón a tracción22




35

Durante los últimos años diferentes autores han propuesto distintas expresiones

para la relación tenso-deformacional del hormigón fisurado a tracción. En 1982 Vecchio

propuso una primera relación a este respecto, la cual funcionaba particularmente bien

para los elementos de hormigón armado ensayados en el ‘Toronto Panel Tester’ de la

Universidad de Toronto, y cuya ecuación venía dada por la siguiente expresión:

ctmffε

=+1

11 200 (2.30)

Algunos años más tarde, en 1987, Vecchio y Collins mejoraron el anterior

modelo de ensayo experimental, obteniendo la ya indicada ecuación 2.29. Una tercera

contribución en este sentido fue la de Belarbi y Hsu, también en 1987, obtenida a partir

de la ecuación inicialmente propuesta por Tamai et al., y cuya expresión viene dada por:

.

, .

, .

.

c

ctm

f Eff

ε ε

εε

= ≤

= >

1 1 1

1 10 41

0 00008

0 00008

0 00008

(2.31)

En la figura 2.21 se comparan las tres ecuaciones anteriores, y tal y como se

puede observar, la rigidez a tracción del hormigón fisurado varía sensiblemente de un

caso a otro. Según Bentz (2005), la razón de la diferencia entre las distintas relaciones

propuestas reside en el efecto de la adherencia hormigón-acero, y propone definir la

rigidez a tracción del hormigón fisurado como una función de las características de

adherencia de la armadura.

En aquellos puntos donde el hormigón armado está compuesto por barras de

acero de bajo diámetro y muy próximas entre sí, se prevén mejores características de

adherencia que en aquellos otros donde la distancia entre barras de mayor diámetro es

superior. Por tanto, un parámetro apropiado para medir la adherencia hormigón-acero es

aquel que resulta de dividir el área eficaz de hormigón a tracción entre la suma de

perímetros de todas las barras adheridas a dicha área, tal y como se indica a




36

continuación:

,c ef

b

AM

d π=

∑ (2.32)

Donde M es el parámetro de adherencia (mm), y db es el diámetro de la barra

adherida al hormigón. En la figura 2.22 se muestran las características de las secciones

ensayadas en cada uno de los tres casos comentados anteriormente, y sus respectivos

parámetros de adherencia.

Si se representa el coeficiente del denominador en las tres relaciones anteriores

frente al parámetro de adherencia de las secciones a partir de las cuales han sido

obtenidas, se puede observar que para elementos con características pobres de

adherencia (i.e, altos valores de M), la rigidez a tracción del hormigón es más baja (Fig.

2.23). Los puntos representados en la figura 2.23 se ajustan claramente a una recta de

pendiente 3.6; sin embargo, si se representan los mismos coeficientes en función de la

cuantía de armado en lugar del parámetro de adherencia, la dispersión obtenida es

notablemente mayor, razón por la cual Bentz propone la siguiente relación tenso-

deformacional para el hormigón a tracción:

,

.ctm

c ef

b

ffM

AM

d

ε

π

=+

=∑

111 3 6

(2.33)

En el caso de elementos solicitados bi-axialmente, las propiedades de adherencia

suelen ser distintas entre la armadura transversal y la longitudinal, en cuyo caso Bentz

recomienda adoptar como parámetro de adherencia global del elemento el menor de los

dos parámetros resultantes; así pues, la rigidez a tracción del hormigón fisurado quedará

definida por la dirección con mejores propiedades de adherencia.



37

Fig. 2.21: Distintas relaciones tenso-deformacionales del hormigón fisurado a tracción23

Fig. 2.22: Características de adherencia de distintas secciones ensayadas a cortante24

23 Fuente: Bentz, E.C. (2005): Explaining the Riddle of Tension Stiffening Models for Shear Panel Experiments, Journal of Structural Engineering, ASCE, p. 1423 24 Adaptado de: Bentz, E.C. (2005): Explaining the Riddle of Tension Stiffening Models for Shear Panel Experiments, Journal of Structural Engineering, ASCE, p. 1423



38

Fig. 2.23: Coeficiente de rigidez a tracción vs. Parámetro de adherencia25

2.4.3 Estudio a nivel de grieta en la TMCC

Por ahora sólo se han tratado tensiones y deformaciones medias, teniendo en

cuenta que éstas varían de un punto a otro, especialmente entre las grietas y las zonas

entre grietas. Así pues, en el punto de fisuración la tracción en el hormigón es nula

mientras que la tensión en la armadura es máxima.

Para pequeños valores del esfuerzo cortante, la tracción se trasmite a través de

las grietas mediante aumentos locales en la tensión de las barras de acero. Sin embargo,

a ciertos niveles de cortante la tensión en la armadura del alma podría alcanzar el valor

de cedencia, en cuyo caso un aumento posterior del esfuerzo cortante requeriría de la

aparición de unas tensiones de cortante locales τci en el hormigón, a fin de poder

trasmitir el incremento de tracción a través de la grieta (Fig. 2.24), puesto que, según el

modelo bi-lineal de comportamiento del acero correspondiente a la TMCC, después que

la armadura alcanza su límite elástico ya no absorbe más tensión.

25 Fuente: Bentz, E.C. (2005): Explaining the Riddle of Tension Stiffening Models for Shear Panel Experiments, Journal of Structural Engineering, ASCE, p. 1423



39

Fig. 2.24: Tensiones locales en la grieta de una viga sometida a cortante26

A partir del círculo de tensiones de la figura 2.25, los esfuerzos en grieta de las

armaduras transversal y longitudinal, fsycr y fsxcr, respectivamente, vienen expresados

por:

tan tan

cot cotv sycr ci

x sxcr ci

f v

f v

ρ θ τ θ

ρ θ τ θ

= −

= + (2.34)

Fig. 2.25: Círculo de tensiones medias a nivel de grieta (TMCC)27

26 Fuente: Hernández Montes, E., Gil Martín, L.M. (2007): Hormigón Armado y Pretensado. Concreto Reforzado y Preesforzado. Grupo de investigación TEP-190 Ingeniería e Infraestructuras, Universidad de Granada, Granada, pág. 267. 27 Adaptado de: ASCE-ACI Committee 445 on Shear and Torsion (1998): Recent approaches to shear design of structural concrete, Journal of Structural Engineering, Vol. 124, No. 12, p. 1381



40

Donde se puede observar que la tensión tangencial τci reduce el esfuerzo en la

armadura transversal a nivel de la grieta, pero lo incrementa en la armadura

longitudinal.

La capacidad de la interfase de la grieta para trasmitir estas tensiones locales

dependerá del ancho de grieta ‘w’ y del tamaño de árido ‘a’. El valor máximo de τci

viene dado por la expresión (Bhide y Collins, 1989):

.

.

cci

fw

a

τ ≤+

+

0 18240 3

16

(2.35)

Donde τci se mide en MPa y ‘a’ y ‘w’ se miden en mm. En la ecuación 2.35 no

se han tenido en cuenta los efectos favorables producidos por compresiones locales en

la interfase de la grieta.

Así pues, vamos a trabajar paralelamente con dos familias de tensiones

equivalentes; por un lado, las tensiones medias calculadas según la formulación de la

TMCC, y por otro, las tensiones locales a nivel de grieta (Fig. 2.26). Las dos familias de

tensiones de la figura 2.26 deben de ser estáticamente equivalentes; por tanto, ambas

componentes verticales deben ser iguales, tal y como se indica a continuación:

tan tan tanw

v v v y ci wb zz zA f A f b z

s sσ τ

θ θ θ + = +

1 (2.36)

De donde se puede deducir el valor de la tracción trasmitida por el hormigón a

través de la grieta, σ1:

( )tan vci y v

w

A f fsb

σ τ θ= + −1 (2.37)

El ancho de fisura ‘w’ se puede obtener como el producto de la deformación

principal a tracción por el espaciamiento medio de las grietas smθ, según se indica a

continuación:

mw s θε= 1 (2.38)



41

Donde:

cosm

mx mv

s sens s

θ θ θ=

+

1

En la expresión anterior smx y smv son las separaciones entre grietas en las

direcciones de la armadura longitudinal y transversal, respectivamente (Fig. 2.27)

Fig. 2.26: Tensiones medias calculadas y tensiones locales a nivel de grieta28

El código modelo CEB-FIP propone una formulación para estimar las

separaciones entre grietas, la cual fue deducida en relación al ancho de fisura en

superficie, y donde cx y cv son las distancias del centro de gravedad de la sección bruta a

la armadura longitudinal y vertical, respectivamente (Fig. 2.28):

x bxmx x

x

bvmv v

v

s ds c k k

dss c k k

ρ

ρ

= + +

= + +

1 2

1 2

210

210

(2.39)




42

Siendo:

k1 = {0.4; barras corrugadas; 0.8; barras lisas o tendones}

k2 = 0.25

ρv=Av/(bws)

ρx=(Asx + Ap)/( bwz)

Fig. 2.27: Separación entre grietas29

Un último límite del valor de la resistencia a cortante viene dado por la tensión

de cedencia de la armadura longitudinal. Las componentes horizontales de la familia de

tensiones medias y la familia de tensiones locales deben verificar la siguiente

29Adaptado de: Hernández Montes, E., Gil Martín, L.M. (2007): Hormigón Armado y Pretensado. Concreto Reforzado y Preesforzado. Grupo de investigación TEP-190 Ingeniería e Infraestructuras, Universidad de Granada, Granada, pág. 269.



43

inecuación:

( ) cotvsx y p p sx x p p w y v w

w

AA f A f A f A f b z f f f b zb s

σ θ

+ ≥ + + + − −

21 1 (2.40)

Donde el límite elástico fy de la armadura pasiva, y el límite elástico fp de la

armadura activa se alcanzan a nivel de la grieta.

Las ecuaciones del estudio a nivel de grieta de la TMCC introducen tantas

incógnitas nuevas como ecuaciones en el proceso de diseño a cortante, si bien sólo

modifican el comportamiento a tracción del hormigón (Fig. 2.29); a partir de las

ecuaciones 2.35 y 2.37, y suponiendo que la armadura transversal han alcanzado su

tensión de cedencia (fv=fy), se deduce la siguiente expresión límite para f1:

. tan

.cff w

a

θ≤ + +

10 18

240 316

(2.41)

Limitando el valor del esfuerzo principal de tracción en el hormigón se cuenta

con la posibilidad de fallo del mecanismo denominado “aggregate interlock”,

responsable de la trasmisión de fuerzas a través de la grieta, y se evita la propagación de

grieta a partir de un determinado nivel de tensión cortante.

Fig. 2.28: Parámetros sx, s, cx, cv30




44

Fig. 2.29: Relación tensión-deformación a tracción del hormigón corregida a nivel de grieta 31

2.4.4 Recientes simplificaciones de diseño en la TMCC

Mediante la aplicación de un conjunto de simplificaciones es posible redefinir

las ecuaciones básicas de la TMCC a fin de que puedan ser utilizadas en un modo más

práctico y sencillo en el diseño de secciones de hormigón armado sometidas a cortante

combinado con axil y flector.

La contribución a cortante del hormigón ‘Vc’, debida al campo de tracciones

principales en el mismo, puede ser expresada como:

c c wV f b zβ= (2.42)

31 Adaptado de: ASCE-ACI Committee 445 on Shear and Torsion (1998): Recent approaches to shear design of structural concrete, Journal of Structural Engineering, Vol. 124, No. 12, p. 1381



45

El factor β depende de la distribución media de tensiones de tracción en el

hormigón fisurado; considerando que la resistencia media a tracción del hormigón ‘fctm’

es igual a 0.33√fc (Norma ACI-318), y que según la ecuación 2.25 la contribución a

cortante del hormigón puede ser expresada como Vc = f1bwzcotθ, a partir de la ecuación

2.42 el factor β queda expresado de la siguiente manera:

. cotα α θβ

ε=

+1 2

1

0 331 500

(2.43)

Es preciso tener en cuenta que la trasmisividad de tracciones a través de la grieta

dependerá del ancho de la misma, por lo que un ancho de grieta excesivo limitaría la

tensión media en el hormigón, y el esfuerzo tangencial en la grieta τci alcanzaría un

valor crítico. A partir de las ecuaciones 2.41 y 2.42 es ahora posible determinar el valor

límite de β para el cual se produciría un colapso de la estructura por propagación de la

grieta bajo cortante, tal y como se indica a continuación:

.

. msa

θ

βε

≤+

+1

0 18240 3

16

(2.44)

Como se puede deducir de la expresión anterior, a medida que la deformación

principal a tracción ε1 aumenta, la contribución a cortante Vc del hormigón disminuye.

Para elementos sin armadura transversal, el parámetro smθ será igual a sx/senθ, en

cuyo caso la ecuación 2.44 puede ser expresada como:

... x

xx

ssen

ssa

ε

ε

βεθ

≤+

=+

1

0 180 6860 3

3516

(2.45)

El máximo valor de β, y por consiguiente, la máxima resistencia a cortante en

post-fisuración, será aquel que satisfaga simultáneamente las ecuaciones 2.43 y 2.45,

por lo que resulta la siguiente expresión:



46

.. xssenTan

εεθθ

ε

+=

+

1

1

1 2580 568

1 500 (2.46)

En el caso de elementos sin armadura transversal, se cumple la siguiente

relación:

cotf f θ= 22 1 (2.47)

Dado que en este tipo de elementos el campo de esfuerzos de compresión es

relativamente pequeño, se puede tomar como aproximación suficiente que / cf Eε =2 2 ,

donde Ec=4950 cf (MPa); combinando las ecuaciones 2.12 y 2.47 se obtiene la


( )cot( cot )x

θε ε θ

ε= + +

+

42

1

1

115000 1 500

(2.48)

La forma en que la anterior ecuación geométrica relaciona la deformación

principal a tracción ε1 y el ángulo de biela θ para diferentes valores de εx se muestra en

la figura 2.30. Los puntos de intersección de las curvas representadas definen los

valores de θ y ε1 que satisfacen simultáneamente las ecuaciones 2.46 y 2.48. Se puede

comprobar que a medida que el parámetro de espaciamiento entre grietas sxε aumenta, el

valor de β disminuye. El hecho observado es que grandes vigas de hormigón armado sin

armadura transversal colapsan para esfuerzos cortantes menores que vigas

geométricamente semejantes pero más pequeñas, lo que se conoce como efecto tamaño

en cortante.

Los valores de β para elementos sin armadura transversal dependen tanto de la

deformación longitudinal εx como del parámetro de espaciamiento sxε; así pues, se

definen dos tipos de factores relacionados con efectos distintos: por un lado, el factor

correspondiente al efecto deformacional (“strain effect factor”) y por otro, el factor

correspondiente al efecto tamaño (“size effect factor”). Ambos factores no son

realmente independientes, sin embargo, en las simplificaciones de la TMCC se obvia



47

esta interdependencia y se asume que el término β puede ser expresado como el

producto de ambos factores descritos, tal y como se indica a continuación:

.

x xs ε

βε

= + +

0 4 13001 1500 1000

(2.49)

Fig. 2.30: Efecto tamaño en elementos sin armadura transversal32

La TMCC simplificada propone la siguiente expresión para el ángulo de

inclinación de las bielas de compresión, θ:

( )deg . degxx

s εθ ε = + + ≤

29 7000 0 88 752500

(2.50)

32 Fuente: Bentz, E.C., Vecchio, F.J., Collins, M.P. (2006): Simplified Modified Compression Field Theory for Calculating Shear Strength of Reinforced Concrete Elements, ACI Structural Journal, Vol. 103, No.4, p.617



48

Al igual que en el caso del factor β, la ecuación 2.50 define el ángulo de biela

como el producto de los términos correspondientes al factor de tamaño y al factor

deformacional.

Fig. 2.31: Análisis comparativo de los valores simplificados de β y θ en relación a la TMCC para

elementos de hormigón armados transversalmente 33

33 Fuente: Bentz, E.C., Vecchio, F.J., Collins, M.P. (2006): Simplified Modified Compression Field Theory for Calculating Shear Strength of Reinforced Concrete Elements, ACI Structural Journal, Vol. 103, No.4, p. 618



49

En el caso de elementos de hormigón con armadura longitudinal y transversal

sometidos a un estado de solicitación próximo al de colapso por cortante, la TMCC

estima cambios sustanciales en las contribuciones a cortante tanto del hormigón como

del acero. Generalmente, después de alcanzado el límite de cedencia de la armadura

transversal, el ángulo θ se reducirá, lo que a su vez producirá un incremento de la

contribución a cortante del acero, así como una mayor tensión de tracción en la

armadura longitudinal. La solución que la TMCC simplificada propone a este respecto

es considerar el valor de θ para el cual la TMCC predice que la contribución a cortante

del hormigón es máxima. Igualmente, y con un fin también simplificativo, se propone

utilizar las mismas expresiones de los factores de tamaño y deformacional tanto para

elementos sin armadura transversal como con ella.

La figura 2.31 compara los valores de θ asociados con la máxima contribución a

cortante del hormigón con aquellos obtenidos a partir de la ecuación 2.50; como se

puede observar, valores altos de θ conllevan un diseño bastante conservativo pues

implican valores menores de la contribución a cortante del acero. Así mismo, en

elementos con armadura longitudinal y transversal, el espaciamiento de las fisuras será

generalmente inferior a 300 mm, y por tanto, se toma un valor de sxε igual a 300 mm

tanto en la ecuación 2.49 como en la 2.50. Por otra parte, la figura 2.31 compara

también los valores del factor β estimados a partir de la TMCC con los obtenidos

mediante la ecuación 2.49, y como se puede observar los resultados menos

conservativos (i.e., mayor contribución a cortante del hormigón) están relacionados con

deformaciones longitudinales εx relativamente bajas.

2.5 Rotating Angle- Softened Truss Model

El profesor Thomas T.C. Hsu y sus colaboradores de la Universidad de Houston

(Belarbi y Hsu 1991, 1994, 1995; Pang y Hsu 1995; Hsu, 1993) desarrollaron una

metodología de análisis distinta en relación a la inclusión del campo de tracciones

principales del hormigón fisurado en la resistencia a cortante; este nuevo procedimiento

se denominó “Rotating Angle – Softened Truss Model” (RA-STM). Al igual que la

MCFT, este método asume que la inclinación de la dirección principal de tensión



50

coincide con la de la dirección principal de deformación. Por lo general, este ángulo

decrecerá a medida que la fuerza de cortante se incremente; de ahí el nombre de esta

teoría alternativa.

Esta nueva teoría satisface los tres principios fundamentales de la mecánica de

materiales: 1) equilibrio de esfuerzos, 2) compatibilidad de deformaciones y 3) leyes

constitutivas de los materiales. Así pues, con este modelo alternativo se puede predecir

no sólo la resistencia a cortante de un elemento sino también su función de respuesta

Carga vs. Deformación. Al igual que ocurría en la TMCC, se consideran valores medios

de las distribuciones de tensiones y deformaciones a fin de poder aplicar los principios

de la mecánica del continuo así como las relaciones de transformación de la Teoría de la

Elasticidad, plasmadas gráficamente en el círculo de Mohr.

Fig. 2.31a: Campo de tensiones y sistemas de ejes coordenados en un ensayo a cortante de un panel de

hormigón



51

Fig. 2.31b: “Universal Panel Tester” (Universidad de Houston) 34

En la figura 2.31a se muestra un esquema de un panel de hormigón armado

sometido a esfuerzos normales y cortantes coplanarios entre sí. Las direcciones de las

barras de armado longitudinal y transversal se han designado mediante los ejes ‘l’ y ‘t’,

respectivamente, constituyendo el sistema coordenado l-t. El conjunto de tres esfuerzos

coplanarios lσ , tσ y l tτ puede ser reemplazado por un par de esfuerzos principales {σ1,

σ2} orientados según los ejes 1 y 2 del sistema de ejes principales. El ángulo entre la

dirección principal de compresión (eje 2) y la dirección del armado longitudinal se

denota por α2. En el “Universal Panel Tester” (Fig. 2.31b), que es como se denomina el

módulo de ensayo a cortante de la Universidad de Houston, las cargas son aplicadas

biaxialmente a lo largo de las direcciones principales 1 y 2 del panel, mientras las

barras de armado longitudinales quedan orientadas según un ángulo α2 respecto a la

dirección principal de compresión; de ahí que dicho ángulo se denomine “fixed angle”.

Las direcciones principales de tensión y deformación del hormigón fisurado son

definidas mediante el sistema de ejes coordenados d-r. El eje d, que representa la

34 Adaptado de: Pang, X., Hsu, T.T.C. (1995): Behavior of Reinforced Concrete Membrane Elements in Shear, ACI Structural Journal, Vol. 92, No.5, p. 666-667



52

dirección principal de compresión en el hormigón, está orientado según un ángulo α

respecto a la dirección de armado longitudinal. Cuando la tensión media en las

armaduras longitudinal y transversal es idéntica, la dirección principal de compresión en

post-fisuración (eje d) coincide con la dirección de la compresión aplicada (eje 2), y en

este caso α= α2. Sin embargo, cuando los esfuerzos medios de tracción en las

armaduras longitudinal y transversal son distintos, el eje d se desvía respecto el eje 2, y

en ese caso α< α2. Ya que el ángulo α disminuye a medida que aumenta la carga

aplicada, también a este último se le denomina “rotating angle”. De acuerdo a lo

anteriormente expuesto, los esfuerzos principales en el hormigón fisurado se denotan

como σd y σr para compresión y tracción, respectivamente.

2.5.1 Ecuaciones de equilibrio, de compatibilidad y constitutivas

Las tres ecuaciones de equilibrio (Hsu, 1993) de la RA-STM se obtienen a partir

de las ecuaciones de transformación entre el sistema coordenado d-r y el sistema

coordenado l-t, resultando las siguientes expresiones:

( )

cos

coscos

l d r l l

t d r t t

lt d r

sen f

sen fsen

σ σ α σ α ρ

σ σ α σ α ρ

τ σ σ α α

= + +

= + +

= − +

2 2

2 2

(2.51)

Donde lρ y tρ son las cuantías de acero longitudinal y transversal, y lf y tf son

los esfuerzos medios de tracción en las armaduras longitudinal y transversal,

respectivamente.

Igualmente, las tres ecuaciones de compatibilidad se obtienen a partir de las

relaciones de transformación de deformaciones entre los sistemas coordenados d-r y l-t,

tal y como se indica a continuación:

( )

cos

coscos

l d r

t d r

lt d r

sen

sensen

ε ε α ε α

ε ε α ε α

γ ε ε α α

= +

= +

= − +

2 2

2 2

(2.52)

Donde εd y εr son las deformaciones principales del hormigón medidas en el

sistema coordenado d-r.



53

El anterior conjunto de seis ecuaciones requiere de tres relaciones constitutivas,

a saber:

a) Relación tensión-deformación del hormigón a compresión, donde se relaciona la

tensión de compresión σd con la deformación εd en el sistema coordenado d-r, y

cuya expresión ya ha sido indicada en la ecuación 2.2035.

b) Relación tensión-deformación del hormigón a tracción, donde se relaciona la

tensión de tracción σr con la deformación εr en el sistema coordenado d-r, y cuya

expresión ya ha sido indicada en la ecuación 2.31.

c) Relación tensión-deformación de la armadura longitudinal y transversal a

tracción; en este caso, la RA-STM presenta una importante novedad en relación

a la TMCC, pues evita la verificación de tensiones a nivel de grieta mediante un

ajuste de la relación tenso-deformacional del acero que tiene en cuenta la

posibilidad de superación del límite de cedencia de éste último.

La gráfica tensión-deformación del acero de armar generalmente se

considera elástica-perfectamente plástica, con un techo tensional

correspondiente al nivel de cedencia del acero. Sin embargo, cuando la armadura

se encuentra adherida en prácticamente todo su contorno a la masa de hormigón,

la relación tenso-deformacional media del acero es notablemente distinta; así

pues, en el instante en que la armadura alcanza su nivel de cedencia en grieta, en

las zonas entre grietas la tensión de dicha armadura es inferior a su límite

elástico, y esto es debido a la colaboración a tracción del hormigón adherido al

acero (Fig. 2.32). Inicialmente, la adherencia entre el hormigón y el acero

permite una transferencia casi total del esfuerzo de tracción resistido por la

armadura al hormigón adherido a la misma. En el momento en que se alcanza el

pico de resistencia a tracción del hormigón, éste se agrieta; en el punto de

fisuración, la tensión de la armadura es máxima, mientras la del hormigón es

nula. A partir de ese instante, y si la carga continúa aumentando, la armadura

continuará trasmitiendo tracción al hormigón hasta que éste vuelva a agrietarse

nuevamente. Este proceso culmina cuando la separación entre grietas 35 En el presente trabajo, y a fin de utilizar una simbología unificada y coherente con el resto de teorías de campos de compresiones, se ha sustituido los subíndices ‘d’ y ‘r’ de la RA-STM por ‘2’ y ’1’, respectivamente.



54

consecutivas es tan pequeña que la adherencia residual entre el acero y el

hormigón no resulta suficiente para seguir trasmitiendo tracción al hormigón, o

hasta que la armadura alcanza el nivel de cedencia en grieta.

Fig. 2.32: Distribución esquemática de fuerzas, esfuerzos normales, deformaciones y esfuerzos de

adherencia entre dos grietas consecutivas de una viga de hormigón armado

La RA-STM propone dos modelos de curvas tensión-deformación para el acero:

c.1) el primero de ellos consiste en una única curva obtenida a partir de la

siguiente expresión analítica de Richard y Abbott36 (Fig. 2.33):

( )( )

/s p s

s mm

s p s

E Ef

E Ef

ε

ε

−=

− +

1

0

1

(2.54)

Donde ‘fs’ es la tensión media en la armadura, ‘Ep’ es el módulo

plástico del acero, cuyo valor suele oscilar entre el 1.8% y el 2.5% del

36 Richard, R.M., Abbott, B.J. (1975): Versatile Elastic-Plastic Stress-Strain Formula, Journal of the Engineering Mechanics Division, ASCE, Vol. 101, No. EM4, pp. 511-515



55

valor del módulo elástico del acero Es, ‘f0’ es la tensión de intersección

entre las asíntotas correspondientes a los tramos elástico y plástico, cuyo

valor es aproximadamente del 89% del límite elástico del acero, y ‘m’ es

el parámetro de curvatura del acuerdo que une los tramos elástico y

plástico, y su valor es función de la tensión aparente de cedencia, fy*, tal

y como se indica a continuación:

*.

y

n

mff

=−

0 5

1 (2.55)

Donde fn es el punto de intersección de las curvas elástica y

plástica, cuyo valor es aproximadamente de un 91% del límite elástico

del acero, y viene dado por la siguiente ecuación:

sn

s p

Ef fE E

=−0 (2.56)

La tensión aparente de cedencia fy* es el esfuerzo de tracción que

solicita la armadura en la zona entre fisuras cuando dicha armadura

alcanza en grieta la tensión de cedencia. A efectos prácticos, los autores

de la RA-STM proponen la siguiente expresión simplificada para el

cálculo de dicha tensión:

.*y cr

y y

f ff fρ

= −

1 541

(2.57)

Donde ρ es la cuantía de armadura longitudinal o transversal,

según corresponda.

c.2) El segundo de ellos consiste en un modelo bilineal simplificado

compuesto de dos líneas rectas con distinta pendiente (Fig. 2.34); el

primer tramo corresponde a la región elástica y su pendiente es Es,

mientras que el segundo tramo corresponde al tramo plástico y su

pendiente es Ep. La formulación propuesta a este respecto por la RA-

STM se indica a continuación:



56

( ) ( )

( ).

,

. . . ,

. y B=

s s s s n

ss y s s n

y

s ctmn

y y

f E

Ef f B Bf

siendo

E fBf f

ε ε ε

ε ε ε

ερ

= ≤

= − + + >

= −

1 5

0 91 2 0 02 0 25

10 93 2

(2.58)

Donde εn es el valor de deformación correspondiente a la

intersección entre los dos tramos rectos dados por la ecuación 2.58.

Fig. 2.33: Relación tensión-deformación del acero según el modelo de Richard-Abbott (Hsu et al.,

1994) 37

En la figura 2.35 se muestran las predicciones de resistencia a cortante de la

TCC (CFT, en inglés), la TMCC (MCFT, en inglés) y la RA-STM correspondientes a

dos series de paneles de hormigón armado. Como se puede observar, tanto la TMCC

como la RA-STM arrojan resultados similares para bajas cuantías de armado

transversal; sin embargo, los valores de resistencia obtenidos según la RA-STM son

37 Fuente: Belarbi, A., Hsu, T.T.C. (1994): Constitutive Laws of Concrete in Tension and Reinforcing Bars Stiffened by Concrete, ACI Structural Journal, Vol. 91, No.4, p. 471



57

generalmente más bajos que los correspondientes a la TMCC para altas cuantías de

armadura transversal.

Fig. 2.34: Relación tensión-deformación bi-lineal del acero (Hsu et al., 1994) 38

Fig. 2.35: Predicción de la resistencia a cortante para dos series de paneles de hormigón armado según

diferentes teorías de campos de compresiones 39

38 Fuente: Hsu, T.T.C. (1998): Unified Approach to Shear Analysis and Design, Cement and Concrete Composites, 20, p. 427 39 Fuente: ASCE-ACI Committee 445 on Shear and Torsion (1998): Recent approaches to shear design of structural concrete, Journal of Structural Engineering, Vol. 124, No. 12, p. 1382



58

2.6 Teoría Unificada del Campo de Compresiones (TUCC)

El módulo elástico de la armadura, Es, permanece constante mientras la tensión

de cedencia del acero no se alcance en ningún punto del elemento, y en particular, en las

secciones en las que se ha fisurado el hormigón. Una vez el acero alcanza su límite

elástico, su módulo de deformación prácticamente se anula; como se ha visto, la TMCC

adopta una formulación tenso-deformacional del acero elástica-perfectamente plástica,

con un valor del módulo plástico del acero constante e igual a cero. Por su parte, la RA-

STM adopta una formulación bi-lineal en la que el módulo de deformación del acero,

después de alcanzado su nivel de cedencia, resulta positivo. En el caso de la TMCC, y

debido al modelo tensión-deformación utilizado, es preciso realizar una verificación

tensional en grieta.

Una relación constitutiva distinta a las enunciadas por las anteriores teorías de

campo de compresiones, y basada en la formulación de la rigidez a tracción del

hormigón, es la que presenta la Teoría Unificada del Campo de Compresiones

(Hernández Montes y Gil Martín, 2005).

La TUCC (RCFT, en inglés) propone que los modelos de acero y de

tensorrigidez del hormigón deben de estar relacionados sin ninguna formulación

adicional. Siempre que el acero no entre en cedencia en la grieta, el módulo de

deformación del acero será Es. Cuando en una grieta el acero alcance su límite elástico,

el módulo de deformación del acero se verá alterado. Si se establece el equilibrio entre

la sección de la grieta (donde se ha producido la cedencia del acero) y una sección que

represente el estado medio de tensiones (Fig. 2.36) se cumplirá que:

{ , , ,

grieta sección media

s y s s av c ef ct avA f A f A f= +144424443

(2.59)

Donde As es la sección transversal de la barra de acero en cuestión y fs,av y fct,av

son las tensiones medias de tracción en la armadura y en el hormigón, respectivamente,

en una sección genérica entre grietas.



59

Fig. 2.36: Barra sometida a tracción. El acero ha alcanzado la tensión de cedencia fy 40

A partir de la ecuación 2.59 se puede deducir el valor medio de la tensión en la

armadura embebida en hormigón:

,, , max

, max

,

,

c efs av y ct av ct

s

s av s ct ct

Af f f

Af E

ε ε

ε ε ε

= − ≥

= <

(2.60)

Donde εmax es la deformación correspondiente a la primera cedencia en grieta.

Este valor, adoptando para la resistencia a tracción del hormigón el valor definido en la

ecuación 2.29, se puede calcular a partir de la ecuación 2.59, tal y como se indica a

continuación:

maxmax , , max

ctm

s y s s s c ef ct av ys s

f

E A E A A fA E

εε ε ε ε

+= + → = −

1 500 (2.61)

Tal y como se puede observar, tanto la tensión media en el acero (fs,av ) como la

tensión media en el hormigón (fct,av) son función de una única y común deformación

entre ambos, εct . Así pues, partir de la ecuación 2.60 se puede obtener una curva

tensión-deformación media del acero embebido en hormigón (Fig. 2.37)

40 Fuente: Gil Martín, L.M., Hernández Montes, E., Aschheim, M., Pantazopoulou, S. (2010): Refinements to Compression Field Theory, with Application to Wall-Type Structures, p. 14



60

Fig. 2.37: Gráfica tensión-deformación del acero según la TUCC 41

Como se ha mencionado previamente, la tensorrigidez no afecta a toda el área de

la sección transversal sometida tracción sino sólo a una parte situada en el entorno de la

barra de acero, Ac,ef, cuyo valor, en fenómenos de tracción, suele adoptarse igual al área

en torno a la barra a una distancia no superior a 7.5Ø. Sin embargo, una posible

41 Fuente: Gil Martín, L.M., Hernández Montes, E., Aschheim, M., Pantazopoulou, S. (2010): Refinements to Compression Field Theory, with Application to Wall-Type Structures, p. 16



61

hipótesis a este respecto es la de considerar dicha área como una función de la

deformación hormigón-acero, o bien, de la separación entre fisuras consecutivas,

teniendo en cuenta así la tendencia a la degradación que experimenta el hormigón por

efecto del cortante. Sin embargo, aún es precisa una investigación más profunda en este

sentido a fin de clarificar todo lo concerniente en relación a tales aspectos.



62

CAPÍTULO 3

METODOLOGÍA



63

3.1 Introducción

En 1986, los profesores Vecchio y Collins de la Universidad de Toronto

afirmaban, en relación a su Teoría Modificada del Campo de Compresiones, que en

elementos armados longitudinal y transversalmente las direcciones de los campos

principales de tensión y deformación se desviaban aproximadamente 10 º. La figura 3.1

muestra los resultados obtenidos por Vecchio y Collins en el año 1982 tras el ensayo

para diferentes condiciones de solicitación de 30 paneles cuadrados de hormigón de 89

cm de lado y 7 cm de espesor.

Fig. 3.1: Teoría Modificada del Campo de Compresiones (Vecchio y Collins, 1982)1

Tres años después de la publicación de la TMCC, en 1989, Bhide y Collins

realizaron un conjunto de ensayos sobre paneles de hormigón armados

unidireccionalmente y sometidos a esfuerzos de tracción, combinados con cortante,

hasta alcanzar el nivel de agotamiento de los primeros; a partir de los resultados

obtenidos observaron que la dirección principal de tracción en el hormigón difería en

más de 20 º respecto de la correspondiente dirección principal de deformación.

1 Vecchio, F.J., Collins, M.P. (1986): Vecchio, F.J., Collins, M.P. (1986): The Modified Compression Field Theory for Reinforced Concrete Elements Subjected to Shear, ACI Journal, Vol. 83, No. 2, p. 224.



64

En el año 2000, el profesor Frank J. Vecchio, en su publicación Disturbed Stress

Field Model for Reinforced Concrete: Formulation2 de la revista Journal of Structural

Engineering, señala que los ángulos de las tensiones y deformaciones principales no

tienen por qué ser necesariamente iguales en estadios avanzados de la deformación por

cortante. La figura 3.2 muestra los ángulos de los campos principales de tensión y

deformación de un panel de hormigón, con una cuantía longitudinal de armado ρx=1.8%

y una cuantía transversal de armado ρv=0.7%, sometido a cortante puro (σx;σv;τ =

0;0;1). La tendencia observada fue que el cambio de inclinación en la tensión principal

permanecía ligeramente por debajo del correspondiente a la deformación principal.

Antes de alcanzar la fisuración, ambos campos formaban 45 º respecto a la dirección de

armado; una vez producida la primera fisura, se produce un incremento brusco en la

dirección de la deformación principal de tracción, acompañado de un pequeño cambio

en la dirección de la tensión principal correspondiente. Conforme la tensión aplicada

aumenta, la tasa de variación de sendos campos comienza a igualarse paulatinamente,

conservando una diferencia de ángulo casi constante en la última etapa del ensayo.

Fig. 3.2: Panel V19 (Vecchio, 2000)3

2 La DSFM es una variante de la TMCC en la que se modifica el procedimiento de comprobación en grieta mediante la inclusión en el mismo de una condición de compatibilidad referida a la propagación de la grieta a partir de un determinado nivel de cortante. 3 Vecchio, F.J. (2000): Disturbed Stress Field Model for Reinforced Concrete: Formulation, Journal of Structural Engineering, Vol. 126, No. 9, p. 1071



65

Como se ha comentado anteriormente, la Teoría Modificada del Campo de

Compresiones predice la resistencia a cortante de un elemento de hormigón armado, y

su función de respuesta Carga vs. Deformación, mediante el planteamiento del

siguiente sistema de ecuaciones:

- 3 ecuaciones de equilibrio

( )tan cot (2.21) w

Vf fb z

θ θ= + −2 1

( )co s (2 .22 )v v wA f f sen f b sθ θ= −2 22 1

( )cos (2.23 y 2.24)tansx x w w

VA f f f sen b z f b zθ θθ

= − = −2 22 1 1

- 2 ecuaciones de compatibilidad

(2.11)x

t

Tan ε εθ

ε ε−

=−

2 2

2

(2.12)x tε ε ε ε= + −1 2

- 2 relaciones tensión-deformación del acero, una para la armadura

longitudinal y otra para la armadura transversal

,

,

(2.26) ,

,

x s x x y

x y x y

v s t t y

t y t y

f Ef f

f Ef f

ε ε ε

ε ε

ε ε ε

ε ε

= ≤ = >

= ≤ = >

Siendo εy la deformación correspondiente al límite de cedencia del acero.



66

- Comportamiento del hormigón a tracción

, (2.29)

,

c ctm

ctmctm

f E

ff

ε ε ε

α αε ε

ε

= ≤

= >+

1 1 1

1 21 1

11 500

- Comportamiento del hormigón a compresión

max

max

(2.18)

.

c c

cc

f f

ff f

ε εε ε

ε

= −

= ≤+

2

2 22 2

21

2

0 8 170

En el sistema de 9 ecuaciones no lineales anterior hay 9 incógnitas: θ, εx, εt, V,

ε2, f1, f2, fx y fv. Además, deberá efectuarse la comprobación en grieta en relación al

límite de cedencia de la armadura; las ecuaciones respectivas sólo modifican el

comportamiento a tracción del hormigón, introduciendo tantas incógnitas nuevas como

ecuaciones.

Para el desarrollo analítico del presente trabajo se van a asumir dos alteraciones

en relación a la formulación planteada por la TMCC; la primera de ellas consiste en

adoptar como ecuación de tensorrigidez del hormigón fisurado la propuesta por Bentz

(2005), que relacionaba el área efectiva de hormigón a tracción (Ac,ef) con el parámetro

de adherencia entre hormigón y acero (M), y cuya expresión recordamos a

continuación:

,

. (2.33)

ctm

c ef

b

ffM

AM

d

ε

π

=+

=∑

111 3 6



67

La segunda alteración consiste en adoptar como ecuación de comportamiento del

acero la propuesta por la TUCC (Hernández Montes y Gil Martín, 2005), basada en la

formulación de la tensorrigidez del hormigón, y cuya expresión recordamos a

continuación:

,, , max

, max

,

(2.60) ,

c efs av y ct av ct

s

s av s ct ct

Af f f

A

f E

ε ε

ε ε ε

= − ≥

= <

Donde εmax es la deformación correspondiente a la primera cedencia del acero en

grieta y se calcula a partir de la ecuación (2.61). En la anterior ecuación, y en relación al

procedimiento que aquí se desarrolla, el área efectiva de hormigón a tracción (Ac,ef) se

adopta igual al área rectangular en torno a la barra a una distancia no mayor de 7.5Ø -

siendo Ø el diámetro de la barra en cuestión-, área generalmente adoptada en fenómenos

de tracción.

Con carácter alternativo, y a fin de contrastar los resultados obtenidos,

utilizaremos como ecuación de comportamiento del acero la propuesta por la RASTM,

cuya expresión recordamos a continuación:

( ) ( )

( )

,

. . . ,

(2.58)

. y B=

s s s s n

ss y s s n

y

sn

y

f E

Ef f B Bf

siendo

E Bf

ε ε ε

ε ε ε

ερ

= ≤

= − + + >

= −

0 91 2 0 02 0 25

10 93 2.

ctm

y

ff

1 5

Por otra parte, y en los casos en que se utilice la relación tenso-deformacional

del acero propuesta por la RASTM, la ecuación correspondiente de tensorrigidez del

hormigón (criterio de post-fisuración) vendrá dada por (Fig. 3.3):



68

.. (2.31)ctmf f

ε

=

0 4

11

0 00008

Fig. 3.3: Relación tenso-deformacional a tracción del hormigón, según la RA-STM

La razón de prescindir de la comprobación en grieta propuesta por la TMCC se

debe al hecho de que las ecuaciones correspondientes a dicho procedimiento han sido

deducidas a partir de la hipótesis de Wagner, siendo ésta precisamente la hipótesis que

se pretende refrendar en el presente trabajo, por lo que en un principio obviaremos la

referida comprobación, sirviéndonos únicamente, y a efectos de los objetivos aquí

propuestos, de aquellas ecuaciones de comportamiento del acero basadas en la

tensorrigidez del hormigón (i.e., TUCC y RASTM).

En el sistema de ecuaciones correspondiente a la TMCC, se supone que el

ángulo θ es el mismo tanto para el campo de deformaciones como para el campo de

tensiones. Sin embargo, y como ya se indicó en el capítulo 1 del presente trabajo, esto

es una clara simplificación de la realidad; en este apartado se analizará con algo más de

detenimiento el contexto de dicha simplificación y las consecuencias que derivan de la

misma.



69

3.2 Justificación del problema a analizar

Consideremos una viga de hormigón armado4 sometida a flexión simple

mediante la aplicación de una carga P. Dicha carga produce un cortante V en una

sección de la viga en la que el momento flector de cálculo es nulo (Fig. 3.4). Si

aumentamos progresivamente la carga P, llegará un momento en que se superará la

resistencia a tracción del hormigón y la viga fisurará. A partir de ese instante, y si

seguimos aumentando el valor de aplicación de la carga P, podremos medir, mediante

el uso de extensómetros, las deformaciones longitudinal (εx), transversal (εt) y principal

a tracción (ε1) de la viga en la sección de referencia. Por tanto, el problema a analizar

depende en último caso de tres variables independientes (εx , εt , ε1), las cuales varían

simultáneamente en cada nuevo escalón de carga que aplicamos a la viga. Así pues, se

presenta la necesidad de obtener unas ecuaciones de equilibrio y compatibilidad cuya

estructura formal sea coherente con el problema a analizar; en otras palabras, resulta

preciso transformar las ecuaciones de equilibrio y compatibilidad de la TMCC en

funciones dependientes exclusivamente de las variables deformacionales εx, εt y ε1.

Como se vio anteriormente, las tres ecuaciones de equilibrio correspondientes a

la TMCC se pueden expresar como:

( )tan cot (2.21)e ew

Vf fb z

θ θ= + −2 1

( )co s (2 .2 2 )v v e e wA f f sen f b sθ θ= −2 22 1

( )cos (2.23)tansx x e e w w

e

VA f f f sen b z f b zθ θθ

= − = −2 22 1 1

Donde θe corresponde al ángulo de inclinación del campo principal de tensiones.

Despejando V de la ecuación (2.23) e introduciendo este valor en la ecuación

(2.21), se obtiene:

( ) ( ) ( )( )tantan cot tansx x w e

e e x x ew

A f f b zf f f f f

b zθ

θ θ ρ θ+

= + − = + + −1 22 1 1 11

4 En un primer estudio de la cuestión que aquí se plantea, se ha decidido no incluir armaduras activas en el diseño de la viga a ensayar, para evitar así posibles enmascaramientos de resultados en relación a las deformaciones longitudinales del sistema.



70

a) Geometría de la viga

2P KN·m

P KN·m

3P/2 KN

Diagrama deflectores

Diagrama decortantes

Sección deanálisis

P/2 KNP KN

FLECTOR NULO

b) Diagrama de cortantes y flectores

c)

Fig. 3.4: Modelo estructural de análisis

Por tanto, una vez sustituidas las respectivas ecuaciones de comportamiento, la

ecuación 3.1 queda de la siguiente forma:



71

,

,

.

.

ctmv v av

ectm

x x av

ffMTan ffM

ρθ

ρ

++=

++

2 1 3 6

1 3 6

Donde: (3.2)

{ }, max

,, , max

,

con ,

,

i av s ct ct

c efi av y ct av ct

s

f E

i x vA

f f fA

ε ε ε

ε ε

= <

=

= − ≥

Fig. 3.5: Criterio de comportamiento del hormigón adoptado

En lo que se refiere al término de la ecuación 3.2 relacionado con los esfuerzos

longitudinales, ρxfx, se deberá tener en cuenta la diferencia de rigidez correspondiente

al caso en que se trabaje con secciones que presenten armaduras distintas en las caras

traccionada y comprimida de la viga, tal y como se indica a continuación:

x x c c t tf f fρ ρ ρ= +

Donde el subíndice ‘c’ se refiere a la armadura comprimida y el subíndice ‘t’ se

refiere a la armadura traccionada.



72

Por otra parte, combinando las dos ecuaciones de compatibilidad de la TMCC,

se obtiene:

; (3.3)x tc x t c

t x

Tan Tanε ε ε εθ ε ε ε ε θ

ε ε ε ε− −

= = + − → =− −

2 22 11 2

2 1

donde θc es el ángulo de inclinación del campo de deformaciones principales.

Luego, tenemos dos ecuaciones, una de equilibrio y otra de compatibilidad,

dependientes de las mismas variables, y por tanto, formalmente idénticas:

( ),

,

. , ,

.

ctmv v av

e e x tctm

x x av

ffMTan Tan FffM

ρθ θ ε ε ε

ρ

++= → =

++

2 21

1 3 6

1 3 6

( ), , tc c x t

x

Tan Tan Fε εθ θ ε ε ε

ε ε−

= → =−

2 211

1

Si ahora sustituimos los valores de εx , εt y ε1, correspondientes a cada escalón de

carga del experimento (definido al principio de este apartado) en cada una de las dos

ecuaciones anteriores, obtendremos un valor experimental del ángulo θe y otro valor

experimental del ángulo θc , ambos distintos, tal y como ocurría en el ensayo del panel

V19.

Vamos a definir como constantes las deformaciones {εt, ε1}, y dejamos como

variable la tercera deformación, εx. Si aplicamos la hipótesis simplificativa de Wagner e

igualamos entre sí los primeros miembros de las ecuaciones 3.2 y 3.3, obtendremos una

ecuación con 2 incógnitas {εx, θ}. Luego, en último término, la aplicación de la

hipótesis de Wagner equivale a trabajar con un sistema de un grado de libertad: un

ángulo (θ) o una deformación (εx). En otras palabras, diferentes hipótesis sobre el valor

de cálculo del ángulo θ implican necesariamente diferentes valores de la deformación

longitudinal εx.

El planteamiento de las ecuaciones de equilibrio y compatibilidad como

dependientes de la variable εx, con {ε1, εt}=constante, da lugar a funciones de la forma

siguiente:



73

Fig. 3.6: Interacción de las funciones de equilibrio y compatibilidad



74

Como se puede observar, tanto la función de equilibrio como la función de

compatibilidad son hiperbólicas; en el caso de la primera, se trata de una hipérbola con

asíntota vertical de abcisa negativa5, sus ramas están en el primer y tercer cuadrante, y

su comportamiento es decreciente. En el caso de la segunda, se trata de una hipérbola

con asíntota vertical de abcisa positiva, sus ramas están en el segundo y cuarto

cuadrante, y su comportamiento es creciente. La asíntota vertical positiva de la función

de compatibilidad corresponde al punto en el que la deformación longitudinal (εx) y la

deformación principal a tracción (ε1) coinciden, lo cual incumple los postulados de la

Teoría de la Elasticidad6, y de ahí que la función de compatibilidad presente un punto de

indefinición en el dominio positivo. Ambas funciones presentan una asíntota horizontal

coincidente con el eje de abcisas. Por tanto, la zona de interacción de ambas funciones

(Fig. 3.6), y a efectos del análisis que aquí se plantea, abarca desde el origen de

coordenadas hasta la asíntota vertical de la función de compatibilidad.

Así mismo, se pueden distinguir dos regiones dentro de la zona de interacción

señalada en la figura 3.6: una antes del punto de intersección y otra después. Según los

resultados obtenidos por Vecchio (2000), para una determinada deformación el ángulo

θc es superior al ángulo θe, lo que se cumple en la región II de la figura 3.7, por lo que

será en esta región donde centraremos nuestro análisis. Como se puede observar, y tal y

como apuntaba Vecchio, el ángulo θ obtenido a partir de la TMCC quedará a medio

camino entre el ángulo experimental θe del campo principal de tensiones y el ángulo

experimental θc del campo principal de deformaciones. La deformación longitudinal

correspondiente al punto de intersección de ambas funciones se denominará

deformación del sistema (εs).

Por otra parte, la utilización del gráfico de interacción de la figura 3.6 resulta

muy interesante, pues revela una cuestión que en el gráfico presentado por Vecchio

(Fig. 3.2) no se aprecia de forma explícita, y es el hecho de que la aplicación de la

hipótesis de Wagner (TMCC) no sólo implica una variación en el ángulo de biela, sino

también una disminución de la deformación real o deformación experimental (εe) (Fig.

3.8), lo cual va en consonancia con lo indicado anteriormente: la estimación de un valor

5 Bajo determinadas hipótesis de deformación, esta asíntota vertical podría ser de abcisa positiva. 6 Esta cuestión se retomará posteriormente en el apartado 3.3 del presente capítulo.



75

de cálculo del ángulo θ implica necesariamente una variación de la deformación de

cálculo o deformación del sistema (εs) respecto la deformación real (εe). Dado que la

adopción de un valor intermedio del ángulo θ dentro del rango (θe, θc) resulta

inevitable, debido a la naturaleza del problema aquí planteado, centraremos nuestro

análisis en la variación Δεx de la deformación de cálculo respecto la deformación real,

indicada en la figura 3.8.

3.7 Regiones de la zona de interacción y deformación del sistema (εs)



76

3.8 Efecto de disminución de la deformación real (εe)

A continuación vamos a definir una nueva función deducida de calcular, para

cada deformación εx , la diferencia de ángulos obtenidos a partir de las condiciones de

equilibrio y compatibilidad en la región II; esta nueva función se ha denominado

función de disparidad y se representa con el símbolo ζ, tal y como se indica a

continuación:

( ) { },

, ,

,

.; , .

.

ctmv v av

tx t t

ctm xx x av

ffMArcTan ArcTan cteffM

ρε ε

ζ ε ε ε ε εε ερ

+ −+ = − =

− + +

11 1

1

1 3 6

1 3 6

Donde: (3.4)

{ }, max

,, , max

,

con ,

,

i av s ct ct

c efi av y ct av ct

s

f E

i x vA

f f fA

ε ε ε

ε ε

= <

=

= − ≥



77

La representación gráfica de la función definida en la ecuación 3.4, expresada en

grados y evaluada en la región II, es la siguiente:

Fig. 3.9: Función de disparidad ζ (º) (Región II)

Tal y como se desprende de la figura 3.9, se trata de una función continua,

monótona creciente, cuyo dominio es [εs, ε1) y cuyo recorrido es [0, π/2]. Así mismo, y

como se puede observar, la función ζ presenta en la región II un punto de inflexión o

curvatura nula en el cual la función derivada de ζ, que representa la tasa de variación de

la disparidad entre ángulos en relación a la deformación longitudinal εx, alcanza un

mínimo (Fig. 3.10). La deformación longitudinal correspondiente a dicho punto de

inflexión se ha denominado deformación singular (ε0) y la diferencia entre la

deformación singular y la deformación del sistema (εs) se ha denominado distancia

singular (D), la cual, por definición, es una magnitud adimensional (Fig. 3.9).



78

Fig. 3.10: Tasa de disparidad x

ζε

∂∂

(Región II)

Según los datos experimentales obtenidos por Vecchio y Collins (1982), en la

mayoría de los casos la diferencia entre los ángulos correspondientes a la dirección

principal de deformación y a la dirección principal de tensión es inferior a 10º7. Por

tanto, cuando la diferencia entre ambos ángulos correspondiente a la deformación

singular sea superior a 10 º, la deformación real será inferior a la deformación singular.

En la figura 3.11 se muestran dos curvas que representan la expresión dada por la

ecuación 3.4, denominadas con los números 1 y 2. La curva2 se obtiene a partir de la 1

disminuyendo la distancia singular de la primera una cantidad ΔD tal que D1=D2+ ΔD,

tal y como se indica en la figura 3.11b, manteniendo constante la deformación principal

a tracción del sistema (ε1). Las razones que justifican esta disminución son las

siguientes:

7 Según Bhide y Collins (1989), esta diferencia entre ángulos puede llegar a ser de hasta más de 20º en el caso de elementos sin armadura transversal. No obstante, y a falta de más datos experimentales, consideraremos estos 10º de diferencia como valor de referencia.



79

- La disminución de la distancia singular implica, en general, un acercamiento

entre el punto de deformación del sistema (εs) y un punto cualquiera de la

función de disparidad. Por otra parte, una disminución en la distancia

singular no implica necesariamente una aproximación de la deformación

real a la deformación del sistema; de hecho, no se descarta que un primer

decremento de la distancia singular provoque un alejamiento de las dos

deformaciones anteriores. Esto último es debido a que la deformación real

del sistema no representa un punto intrínseco de la función de disparidad y

su posición podría depender en último término de múltiples variables a

priori desconocidas. Dado que no disponemos de experimentación

específica al respecto, resulta preciso en primer lugar representar la función

de disparidad de nuestro sistema y, a continuación, asumir una posición

arbitraria de la deformación real εe, la cual, en cualquier caso, pertenecerá al

intervalo (εs, ε1). No obstante, y para una disminución máxima de la

distancia singular, entendiéndose por tal la máxima de diseño permitida por

la normativa actual, dicha disminución garantiza valores próximos entre sí

de la deformación del sistema (εs) y la deformación real o experimental (εe),

a fin de que la diferencia Δεx sea lo más baja posible.

- En las curvas representadas en la figura 3.11a, las deformaciones reales son

menores que las deformaciones singulares. En los experimentos llevados a

cabo por Vecchio y Collins, la diferencia entre los ángulos θe y θc nunca

superó el valor de 10º. Si se establecen estos 10º como máxima diferencia,

se puede definir un rango que se ha denotado con el símbolo δ en la figura

3.12. Como se puede observar en esta figura, a medida que disminuye la

distancia singular, el rango de δ también disminuye.

- Manteniendo constante la deformación principal a tracción ε1, se consigue

que en ningún punto la curva 2 supere a la curva 1, por lo que en el caso

final, tras la reducción de la distancia singular, el valor de la función de

disparidad correspondiente a la deformación real será igual o menor que en

el caso inicial (Fig. 3.12).



80

Fig. 3.11a: Deformaciones y distancias singulares del sistema

Fig. 3.11b: Reducción de la distancia singular D

D2 = D1 - ΔD



81

- A la vista de los hechos expuestos, y dado que no se dispone de

experimentación real específica al respecto, una forma matemática de

controlar la proximidad entre la deformación del sistema y la deformación

real, y por consiguiente el nivel de certeza sobre el valor de la deformación

de cálculo εs, es actuando sobre la distancia singular D (Fig. 3.9).

Fig. 3.12: Rango de pertenencia δ de la deformación real

Así pues, y en base a lo anteriormente expuesto, será preciso definir qué

parámetros de diseño pueden determinar una variación en la distancia singular de un

sistema a partir de la modificación de los mismos. A vista de las ecuaciones 3.2 y 3.3,

los parámetros de diseño del sistema son los siguientes: la cuantía de armadura

longitudinal (ρx), la cuantía de armadura transversal (ρv), la resistencia media a tracción

del hormigón (fctm), la cual depende directamente de la resistencia característica del

hormigón), el parámetro de adherencia (M) y por último, en el caso de régimen de

comportamiento plástico de las armaduras (εct > εmax), la relación entre el área eficaz de

hormigón a tracción y el área de armadura (Ac,ef/As). De estos cinco parámetros, sólo los

(δ)1 > (δ)2



82

tres primeros permiten un análisis independiente de los mismos, ya que tanto el

parámetro M como la relación (Ac,ef/As) dependen del diámetro de la barra de acero, y

por consiguiente, de las cuantías de armado adoptadas. Por otra parte, la existencia de

series de diámetros comerciales de barra estandarizados hace que la utilización de estos

dos últimos parámetros resulte poco flexible. Así pues, se establecen como parámetros

de control del sistema los siguientes factores de diseño:

- Cuantía de armadura longitudinal (ρx)

- Cuantía de armadura transversal (ρv)

- Resistencia característica del hormigón (fck)

3.3 Plan de ensayo

La viga objeto de estudio ha sido diseñada para los valores mínimos8 de los tres

parámetros de control establecidos (ρx, ρv, fck), los cuales deberán ser incrementados a

fin de evaluar la influencia de los mismos en la distancia singular D. El incremento de

valores de cada uno de los parámetros de control anteriores se realizará de forma

independiente respecto de los restantes parámetros, salvo que por cuestiones específicas

de aplicación de la normativa técnica consultada, el incremento de uno de los tres

parámetros implique necesariamente la modificación de los otros. En particular, se

evaluarán los siguientes casos indicados en la tabla 3.1a. Cada unos de los casos

anteriores de diseño se evaluará para las hipótesis de deformación de la tabla 3.1b.

Tabla 3.1a

Parámetro

de control

Valor inicial

(mínimo)

Valor 1 Valor 2 Valor 3 Valor

máximo

ρx ρx,min 2·ρx,min 4·ρx,min 6·ρx,min ρx,max

ρv ρv,min 2·ρv,min 4·ρv,min 6·ρv,min ρv,max9

fck 25 MPa 40 MPa 60 MPa 80 MPa 100 MPa

8 Según normativas: EHE-08, EC-2 y ACI-318 9 En ninguna de las normativas técnicas consultadas (EHE-08, EC-2 y ACI-318) se ha encontrado un valor máximo para la cuantía de armadura transversal en vigas de hormigón armado sometidas a flexión simple. En consecuencia, y dado que en el caso que nos ocupa, la cuantía máxima de armadura longitudinal es aproximadamente igual a ocho veces la mínima correspondiente, se ha decidido adoptar como valor máximo de la cuantía de armadura transversal aquel igual a ocho veces la cuantía mínima correspondiente.



83

Tabla 3.1.b

Hipótesis εt ε1

1 0.0006 0.00075

2 0.0008 0.001

3 0.001 0.002

4 0.002 0.004

5 0.005 0.006

El procedimiento experimental diseñado a tales efectos se concreta en las

siguientes etapas:

I. Datos de entrada:

a. Área bruta de hormigón en dirección longitudinal (Ac)

b. Ancho del alma de la sección (bw)

c. Resistencia característica del hormigón (fck)

d. Módulo de deformación del hormigón (Ec)

e. Límite elástico del acero (fy)

f. Módulo de deformación del acero (Es)

g. Nº de barras y diámetro en la armadura traccionada

h. Nº de barras y diámetro en la armadura comprimida

i. Diámetro de cercos y separación (s)

j. Área de hormigón a cortante en la dirección transversal (Acv)

k. Brazo mecánico (z)

l. Área eficaz de hormigón a tracción correspondiente a la armadura

traccionada (Ac,ef,t)

m. Área eficaz de hormigón a tracción correspondiente a la armadura

comprimida (Ac,ef,c)

n. Área eficaz de hormigón a tracción en la dirección transversal (Ac,ef,v)



84

II. Definición de las deformaciones transversal (εt) y principal a tracción (ε1). Por la

Teoría de la Elasticidad sabemos que el valor de la deformación principal de

tracción en un elemento es siempre superior al valor de las deformaciones en los

ejes cartesianos {x,t}, tal y como se indica a continuación:

,x t x t xtε ε ε ε γ

ε+ − = ± +

2 2

1 2 2 2 2

Donde γxt es la distorsión angular del elemento en cuestión asociada a los

ejes {x, t}.

Luego el valor de la deformación principal a tracción ε1 debe ser en

cualquier caso superior al de la correspondiente deformación de la armadura

transversal εt. Igualmente es preciso tener en cuenta a este respecto que un valor

de ε1 demasiado próximo al de εt puede afectar a la convergencia del proceso de

cálculo debido a la aparición de un cero en el numerador de la ecuación (3.3).

Por último, el valor de la deformación principal a tracción ε1 debe ser superior a

la deformación correspondiente a la resistencia media de tracción del hormigón,

εctm, a fin de garantizar el régimen de post-fisuración en el mismo.

III. Cálculo de las deformaciones correspondientes a la primera cedencia del acero

en grieta, según los modelos propuestos por la TUCC y por la RA-STM:

maxmax

ctm

ys s

f

A Eε

ε ε+

= −1 500

(TUCC)

( ).

. y B=s ctmn

y y

E fBf f

ερ

= −

1 51

0 93 2

(RASTM)

IV. Definición de las funciones de disparidad relativas a la región II , definidas en la

ecuación 3.4 para el caso de las ecuaciones de comportamiento de acero y

hormigón propuestas por la TUCC y la RA-STM:



85

Teoría Unificada del Campo de Compresiones:

( ) { },

, ,

,

.; , .

.

ctmv v av

tTUCC x t t

ctm xx x av

ffMArcTan ArcTan cteffM

ρε ε

ζ ε ε ε ε εε ερ

+ −+ = − =

− + +

11 1

1

1 3 6

1 3 6

Donde: (3.6)

{ }, max

,, , max

,

con ,

,

i av s ct ct

c efi av y ct av ct

s

f E

i x vA

f f fA

ε ε ε

ε ε

= <

=

= − ≥

Rotating Angle Softened Truss Model:

( ) { }

.

,

, ,.

,

.

; , ..

v v av ctmt

RASTM x t tx

x x av ctm

f fArcTan ArcTan cte

f f

ρε ε ε

ζ ε ε ε ε εε ε

ρε

+ − = − = − +

0 4

1 11 10 4

1

1

0 0008

0 0008

Donde: (3.7)

{ }

( ) ( )

,

,

,

con ,

. . . ,

i av s ct ct n

si av y ct ct n

y

f E

i x v

Ef f B Bf

ε ε ε

ε ε ε

= <

=

= − + + >

0 91 2 0 02 0 25

V. Cálculo de la deformación del sistema (εs), la cual resulta de igualar a cero cada

una de las funciones de disparidad definidas anteriormente (Fig. 3.7).

VI. Cálculo de la derivada primera de las correspondientes funciones de disparidad,

∂ζ/∂εx, la cual denominaremos de ahora en adelante como tasa de disparidad

asociada a la deformación longitudinal εx (Fig. 3.10).

VII. Cálculo de la deformación crítica (ε0), en la cual la función de disparidad

presenta su punto de inflexión y que se obtiene de igualar a cero la ecuación de

la tasa de disparidad (Fig. 3.9 y 3.10).



86

VIII. Cálculo de la distancia crítica D, la cual resulta directamente de la diferencia

entre la deformación crítica y la deformación del sistema (Fig. 3.8 y 3.11).

Cada uno de los pasos anteriores se repetirá para cada una de las cuantías de

análisis consideradas y bajo las hipótesis de deformación indicadas.

Así mismo, y dado que las expresiones analíticas planteadas no son lineales,

para la resolución de las mismas será preciso recurrir a métodos numéricos, algunos de

ellos ya implementados en el software comercial utilizado a tal efecto. Por otra parte,

los valores de los parámetros εt y εs obtenidos en los apartados II y VI,

respectivamente, deberán ser comparados con los obtenidos en el apartado IV, a fin de

determinar el régimen de comportamiento –elástico o plástico- de las armaduras

longitudinal y transversal, lo que revela la naturaleza iterativa del procedimiento de

obtención de resultados anteriormente descrito.

El objetivo del presente estudio es evaluar, al menos cualitativamente, en qué

medida la variación de los parámetros de control mencionados anteriormente implica un

aumento o disminución de la distancia singular D, así como determinar la manera en

que la fisuración del hormigón, y por consiguiente, su nivel de degradación por

cortante, influye en dicho proceso.

3.4 Definición del modelo estructural de análisis

Como modelo estructural de análisis se ha considerado una viga de hormigón

armado de sección cuadrada de 300 mm de lado (Fig. 3.13).

La viga está fabricada con hormigón HA-25/B/20/IIb y armadura tipo B-400-S.

A efecto de los objetivos planteados en el presente trabajo, la anterior viga se

dotará inicialmente de la cuantía mínima de armadura longitudinal y transversal. En lo

que a la resistencia media a tracción del hormigón se refiere, ésta depende de la

resistencia característica a compresión de mismo (fck). En este se ha adoptado la mínima

exigida por la EHE-08 para hormigón armado. Según el EC-2, y a falta de datos



87

experimentales, la resistencia media a tracción fctm viene dada por:

/,

,

. , (3.8)

. ln ,

ct m ck ck

cmct m ck

f f f MPa

ff f MPa

= ≤

= + >

2 30 30 50

2 12 1 5010

Donde fcm es la resistencia media a compresión a 28 días y puede calcularse como

fcm=fck+8 MPa.

Fig. 3.13: Geometría de la viga (cotas en mm)

Cuantía mínima de armadura longitudinal

Como cuantía de armado longitudinal se va a adoptar la mínima que establece la

norma EHE-08 al respecto. A continuación se justifica su cálculo:

Art. 42.3.2 (EHE-08): Cuantía mínima mecánica a tracción

(3.9)s yd cdWA f fh

≥ 1



88

Donde W1 es el módulo resistente de la sección bruta relativo a la fibra más

traccionada y h es el canto de la sección.

En secciones rectangulares sometidas a flexión simple, y para hormigones con

resistencia característica a compresión fck inferior a 50 MPa, se adopta la siguiente

expresión:

... . . mm

.

cds c

yd

fA Af

≥ = ⋅ ⋅ = 2

25 0 851 50 04 0 04 90000 146 63

4001 15

Art. 42.3.5 (EHE-08): Cuantía mínima geométrica a tracción:

,min. mm . mms c sA A Aφ≥ = → → =2 20 0033 297 2 14 307 88

Así pues, se adopta como cuantía mínima a tracción la correspondiente al art.

42.3.5 de la EHE-08.

Como cuantía mínima a compresión se adoptará un 30% de la consignada en la

cara a tracción:

,min' . . . mm ' . mms sA Aφ≥ ⋅ = → → =2 20 3 307 88 92 36 2 8 100 53

Para una armadura longitudinal a tracción de Ø=14 mm y una resistencia

característica del hormigón de valor 25 MPa, el recubrimiento nominal (rnom) que la

norma EHE-08 establece en su artículo 39.2.4 viene dado por:

( ) min mmnom tr r r= + ∆ = + =20 10 30

Por lo que el canto útil d será igual a d=300-30-14/2=263 mm

Para una armadura longitudinal a compresión de Ø=8 mm y una resistencia

característica del hormigón de valor 25 MPa, el recubrimiento nominal (rnom) que la

norma EHE-08 establece en su artículo 39.2.4 viene dado por:

( ) min mmnom cr r r= + ∆ = + =20 10 30



89

Cuantía mínima de armadura transversal

Dado que la armadura longitudinal a compresión va a ser considerada en el

cálculo, la separación entre cercos deberá cumplir la siguiente limitación del art. 42.3.1

de la EHE-08:

mm

mm

v com

comv

s φφ

φ

≤ = ⋅ =

≥ =

15 15 8 120

24

El art. 44.2.3.4.1 establece la separación máxima longitudinal entre estribos en

función de la solicitación a cortante. En el caso más desfavorable, la separación más

restrictiva viene dada por:

. . mmvs d≤ = ⋅ =0 30 0 3 263 79

La cuantía mínima de tales armaduras debe ser tal que se cumpla la siguiente

relación:

. . . . .

.

y d ctm ctm

y d

A f f f b mmb A mmsen fα α

ααα

⋅≥ → ≥ = =

⋅

200

2 56 300 0 2944007 5 7 5 7 51 15

Teniendo en cuenta que:

, , .redondov máx ramas v máx redondos A n sα

φπ φ⋅ = → =

225 34

4

Puesto que Ømin = 6 mm, se obtiene una separación máxima a partir de la

anterior ecuación de sv,max=192.24 mm.

Según el artículo 39.2.4 de la EHE-08, el recubrimiento nominal (rnom) de la

armadura transversal vendrá dado por:

( ) min mmnom vr r r= + ∆ = + =20 10 30



90

Dado que la armadura transversal abraza a la armadura longitudinal, habrá que

incrementar el recubrimiento nominal calculado en dirección longitudinal una cantidad

igual al diámetro de cerco, respetando así el recubrimiento nominal de la armadura

transversal en todo el perímetro de la sección. Por tanto, el canto útil final de la viga

será de d=300-36-14/2=258 mm, y la distancia máxima entre cercos será de

0.3·258=77.4 mm; así pues, adoptamos finalmente como armadura transversal cercos

Ø6 a 77 mm. Por otra parte, el valor de Aα debe ser recalculado a fin de que cumpla con

el diámetro comercial mínimo de acero y la separación máxima entre cercos calculada.

Para sv,max=77 mm y Ø=6mm, se obtiene:

,min . mm /mmramasA n Aα απ⋅ = → =2

2677 0 7344

300

300 c φ 6 a 77 mm

2φ14

2φ8

r=36 mm

r=30 mm

r=36 mm

Fig. 3.14: Cuantía mínima: detalle de armado



91

Cálculo del parámetro de adherencia

En primer lugar será necesario calcular el área eficaz de hormigón a tracción

correspondiente a cada dirección de armado (Ac,ef). Para el caso de la armadura

longitudinal, se han utilizado dos diámetros distintos, uno para la armadura de

compresión y otro para la de tracción. Según Bentz (2005), en el caso de elementos

solicitados bi-axialmente, deberá escogerse la adherencia correspondiente a la dirección

de armado con menor valor del parámetro M; de esta forma, la adherencia global del

elemento queda supeditada a la dirección de armado con mejores propiedades de

adherencia (i.e, menor M). El valor de Ac,ef correspondiente a la armadura longitudinal

de tracción vendrá dado por (Fig. 3.15):

( ), ,inf . . mmtrac

c ef real traclongA r φφ = + + = + + ⋅ =

2 22147 5 36 7 5 14 21904

2 2

Donde Øtrac es el diámetro de la barra longitudinal traccionada.

El valor de Ac,ef correspondiente a la armadura longitudinal superior vendrá dado

por (Fig. 3.16):

( ), ,sup . . mmcompc ef real complong

A rφ

φ = + + = + + ⋅ =

2 2287 5 36 7 5 8 10000

2 2

Donde Øcomp es el diámetro de la barra longitudinal comprimida.

En relación a la armadura transversal, el valor de Ac,ef correspondiente a la

dirección vertical será (Fig. 3.17):

( ), , . . mmcercoc ef v nom cercovA r φ

φ = + + = + + ⋅ =

2 2267 5 30 7 5 6 6084

2 2

Por tanto, los parámetros de adherencia correspondientes a cada dirección de

armado son los siguientes:

, ,infinf . mmc ef

trac

AM

πφ= = 498 02



92

, ,supsup

, ,

. mm

. mm

c ef

comp

c ef vv

cerco

AM

AM

πφ

πφ

= =

= =

397 89

322 77

Luego, según el criterio propuesto por Bentz, adoptaremos como parámetro

global ‘M’ un valor de 322.77 mm, que corresponde al armado transversal.

Una vez definido el elemento estructural a estudiar y los valores mínimos a

adoptar para cada uno de los parámetros de diseño que van a ser considerados en este

estudio, se procederá al incremento de cada uno de los mismos de forma independiente

y según el plan recogido en la tabla 3.1a. En la tabla 3.2 se recogen las características

principales de las cuantías de análisis 1, 2, 3 y máxima, cuyo diseño y armado se

justifican en el anexo 1 del presente trabajo.

300

300

2φ14

Ac,ef,inf

36+7+7.5·14

Fig. 3.15: Área eficaz de hormigón a tracción correspondiente a la armadura longitudinal inferior



93

300

300

2φ8

Ac,ef,sup36+4+7.5·8

Fig. 3.16: Área eficaz de hormigón a tracción correspondiente a la armadura longitudinal superior

cφ6 a 77 mm

Ac,ef,v

30+6+7.5·6

DETALLE

Fig. 3.17: Área eficaz de hormigón a tracción en dirección transversal



94

Tabla 3.2

PARÁMETRO DE

CONTROL

CASO DE

DISEÑO

ARMADURA

LONGITUDINAL

ARMADURA

TRANSVERSAL

ARMADURA

LONGITUDINAL

1 2Ø16(T)+ 2Ø16(C) C Ø 6 a 76 mm

2 4Ø16(T)+ 4Ø16(C) C Ø 6 a 76 mm

3 4Ø20(T)+ 4Ø20(C) C Ø 6 a 76 mm

Máximo 4Ø25(T)+ 5Ø20(C) C Ø 6 a 75 mm

ARMADURA

TRANSVERSAL

1 2Ø14(T)+ 2Ø8(C) C Ø 8 a 77 mm

2 2Ø14(T)+ 2Ø8(C) C Ø 12 a 77 mm

3 2Ø14(T)+ 2Ø8(C) C Ø 14 a 77 mm


RESISTENCIA DEL

HORMIGÓN

1 2Ø14(T)+ 2Ø8(C) C Ø 6 a 78 mm

2 5Ø20(T)+ 4Ø14(C) C Ø 6 a 77 mm

3 4Ø25(T)+ 4Ø14(C) C Ø 6 a 75 mm




95

CAPÍTULO 4

RESULTADOS



96

Como ya se indicó en el capítulo 3, el objetivo del presente estudio es evaluar, al

menos cualitativamente, en qué medida la variación de determinados parámetros de

diseño en hormigón armado implica una aproximación de la deformación real del

elemento de hormigón a la deformación del sistema (εs), analizada sobre la base de la

disminución de la distancia singular D, así como determinar la manera en que la

fisuración del hormigón, y por consiguiente, su nivel de degradación por cortante,

influye en dicho proceso. Tal y como se indicó en el apartado 3.2 del capítulo3, en este

trabajo se van a evaluar los siguientes parámetros de diseño:

- Cuantía de armadura longitudinal (ρx)

- Cuantía de armadura transversal (ρv)

- Resistencia característica del hormigón (fck)

4.1 INFLUENCIA DE LA CUANTÍA DE ARMADURA LONGITUDINAL

4.1.1 Función de disparidad ζ para diferentes cuantías de armadura longitudinal

y diferentes hipótesis de deformación.

La cuantía de armadura longitudinal se ha variado adoptando los valores

indicados en las tablas 3.1a y 3.2. Las hipótesis de deformación consideradas se

resumieron en la Tabla 3.1.b.

En la figura 4.1 se ha representado la función de disparidad, ζ, definida en la

ecuación 3.4 y que corresponde a la diferencia entre los ángulos que definen las

direcciones principales de tensión y de deformación. Como se puede observar en la

figura 4.1, conforme aumenta el valor de la cuantía de acero la pendiente asociada al

punto de inflexión de la función ζ es cada vez menor, con el consiguiente aumento del

dominio de la misma.



97

Fig. 4.1: Valores de ζ, definida en la ecuación 3.4, en función de εx



98

Por otra parte, y a medida que aumentan los valores deformacionales de la

hipótesis considerada (Fig. 4.1), la distribución de las deformaciones del sistema (εs),

que representan los puntos en los que la función ζ se anula, es cada vez menos

uniforme; así pues, en la figura 4.1d se observa un mayor distanciamiento de la

deformación εs asociada a la cuantía longitudinal 1 respecto de las deformaciones del

sistema asociadas a las cuantías longitudinales 2, 3 y máxima. En el caso de la figura

4.1e, existe una distribución aproximadamente uniforme de las deformaciones del

sistema hasta la cuantía 3, con un mayor distanciamiento de la última deformación del

sistema, asociada a la cuantía máxima, respecto al resto del grupo.

4.1.2 Tasa de disparidad x

ζε

∂∂

para diferentes cuantías de armadura longitudinal

y diferentes hipótesis de deformación

En la figura 4.2 se ha representado la derivada respecto εx de la función de

disparidad, ∂ζ/∂εx, que corresponde a la tasa de variación de la disparidad entre ángulos

principales de tensión y deformación en función de la deformación longitudinal

considerada. Como se puede observar, y al igual que se ha indicado en el apartado

4.1.1, conforme aumenta la cuantía de acero las ramas de las parábolas representadas

son más abiertas y su dominio es cada vez mayor. Esto último equivale a decir que, a

medida que disminuye la cuantía de acero, pequeñas variaciones en la deformación real

del elemento se traducen en variaciones cada vez mayores de la disparidad entre

ángulos.

Por otra parte, y de forma similar a como ocurría en el apartado 4.1.1, conforme

aumentan los valores deformacionales de la hipótesis considerada la distribución de

mínimos de las parábolas representadas, que indican las deformaciones singulares del

sistema (ε0) y corresponden a los puntos de inflexión de la función ζ, es cada vez

menos uniforme; así pues, en la figura 4.2d se observa un mayor distanciamiento de la

deformación ε0 asociada a la cuantía longitudinal 1 respecto de las deformaciones

singulares asociadas a las cuantías longitudinales 2, 3 y máxima. En el caso de la figura

4.2e existe una distribución aproximadamente uniforme de las deformaciones singulares

hasta la cuantía 3, con un distanciamiento mayor de la última deformación singular,

asociada a la cuantía máxima, respecto al resto del grupo.



99

Fig. 4.2: Valores de la tasa de disparidad x

ζε

∂∂

asociada a la deformación longitudinal εx



100

4.1.3 Evolución de la influencia de la cuantía de armadura longitudinal sobre la

distancia singular D para diferentes hipótesis de deformación

Como se puede observar en la figura 4.3, para valores deformacionales bajos de la

hipótesis considerada un incremento de la cuantía de armadura longitudinal implica un

aumento del parámetro D, lo que se traduce a nivel físico en un posible distanciamiento

de la deformación de cálculo o deformación del sistema (εs) respecto la deformación

real del elemento.

A partir de la hipótesis 2 (Fig. 4.3b) se observa una mayor separación entre las

curvas correspondientes a las dos teorías de cortante analizadas en este trabajo; ello es

debido a la incipiente plastificación de la armadura transversal.

En la figura 4.3c se registra una mayor separación de las curvas de evolución del

parámetro D, particularmente para cuantías bajas, debido a la plastificación, según la

TUCC, de la armadura longitudinal a tracción, la cual recupera el régimen elástico para

cuantías longitudinales superiores, con la consiguiente aproximación de las respectivas

curvas. Como se puede observar en las figuras 4.3c y 4.3 d, a medida que aumentan los

valores deformacionales de la hipótesis considerada, se acrecienta la diferencia entre las

curvas de evolución de la distancia D para cuantía mínima. Esto es debido a la

plastificación, conforme aumenta la deformación aplicada, de las armaduras

longitudinales correspondientes a dicha cuantía.

El máximo valor del parámetro D, para ambas teorías, se alcanza en la hipótesis 4

(Fig. 4.3d). Así mismo, y conforme aumenta la deformación aplicada, puede observarse

una variación en el comportamiento de las curvas representadas en la figura 4.3, que

inicialmente son monótonas crecientes, para posteriormente dar lugar a la aparición de

un máximo local (Fig. 4.3d). Dicho máximo se traduce en un previsible alejamiento de

la deformación del sistema respecto la deformación real para incrementos relativamente

bajos de la cuantía de armadura longitudinal, compensándose posteriormente para

incrementos de cuantía superiores. Finalmente las curvas de evolución del parámetro D

recuperan su perfil inicial, aunque con valores de dicho parámetro algo mayores (Fig.

4.3e).



101

Fig. 4.3: Evolución de la distancia singular D en función de la cuantía de armado longitudinal ρx.

En la figura 4.4 se representa el ajuste regresivo, de tipo hiperbólico, practicado

a la función D = f (ρx), para la hipótesis 5 de deformación y según ambas teorías de



102

cortante. En la tabla 4.1 se indica el coeficiente de correlación del ajuste

correspondiente a cada teoría de cortante. La bondad de dicho ajuste, correspondiente a

la última hipótesis de deformación, es sensiblemente mejor en el caso de la TUCC que

en la RA-STM.

Así pues, y según la TUCC, una reducción a la mitad de la cuantía de

armado longitudinal produce reducciones de la distancia singular de

aproximadamente un 25 %, lo que no tiene por qué traducirse necesariamente en una

mayor proximidad entre la deformación real y la de cálculo. En el presente trabajo, sólo

a partir de reducciones de la distancia singular superiores al 50 %, y a efectos de lo

establecido en el capítulo 3, se prevé un acercamiento incipiente de la deformación real

a la deformación del sistema (εs).

Fig. 4.4: Ajuste regresivo no lineal de las funciones de evolución del parámetro D en relación a la cuantía de armado longitudinal ρx, según la TUCC y la RA-STM.

Cuantía de armadura longitudinal (Hipótesis 5: εt= 0.005; ε1= 0.006)

AJUSTE DEL PARÁMETRO D COEFICIENTE DE CORRELACIÓN TUCC 0.999351

RASTM 0.995842 Tabla 4.1



103

4.2 INFLUENCIA DE LA CUANTÍA DE ARMADURA TRANSVERSAL

4.2.1 Función de disparidad ζ para diferentes cuantías de armadura transversal


La cuantía de armadura transversal se ha variado adoptando los valores






figura 4.5, conforme aumenta el valor de la cuantía de acero la pendiente asociada al

punto de inflexión de la función ζ es cada vez mayor, con la consiguiente disminución

del dominio de la misma.

Por otra parte, y a medida que aumentan los valores deformacionales de la

hipótesis considerada (Fig. 4.5), la distribución de las deformaciones del sistema (εs),

que representan los puntos en los que la función ζ se anula, es cada vez menos

uniforme; así pues, en la figura 4.5c se observa un mayor distanciamiento de la

deformaciones del sistema asociadas a las cuantías longitudinales 1 y 2 respecto de las

deformaciones asociadas a las cuantías longitudinales 2, 3 y máxima. En el caso de las

figuras 4.5d y 4.5e ocurre algo similar, si bien en la figura 4.5e la diferencia de dominio

entre la función de disparidad correspondiente a la cuantía mínima y la correspondiente

a la cuantía máxima es menos acusada.



104

Fig. 4.5: Valores de ζ en función de εx



105


ζε

∂∂

para diferentes cuantías de armadura transversal




de tensión y deformación principales en función de la deformación longitudinal

considerada. Como se puede observar, y al igual que se ha indicado en el apartado 4.2.1,

conforme aumenta la cuantía de acero las ramas de las parábolas representadas son más

cerradas y su dominio es cada vez menor.

Por otra parte, y de forma similar a como ocurría en el apartado 4.1.1, conforme

aumentan los valores deformacionales de la hipótesis considerada la distribución de

mínimos de las parábolas representadas, que indican las deformaciones singulares del

sistema (ε0) y corresponden a los puntos de inflexión de la función ζ, es cada vez

menos uniforme; así pues, en la figura 4.6c se observa un mayor distanciamiento de la

deformaciones singulares asociadas a las cuantías longitudinales 1 y 2 respecto de las

deformaciones asociadas a las cuantías longitudinales 2, 3 y máxima. En el caso de las

figuras 4.6d y 4.6e ocurre algo similar.

Así mismo se observa una variación en el recorrido de las funciones parabólicas

representadas en la figura 4.6 en función de la cuantía y la hipótesis de deformación

considerada; este hecho se manifiesta de forma especialmente acusada en el caso de las

figuras 4.6d y 4.6e, correspondientes a las dos hipótesis de deformación más

desfavorables, donde la diferencia de recorrido entre las funciones parabólicas

correspondientes a las cuantías mínima y máxima resulta notable. Al contrario de lo que

ocurría con la cuantía longitudinal, a medida que aumenta la cuantía de armadura

transversal, pequeñas variaciones en la deformación real del elemento se traducen en

grandes variaciones de la deformación entre ángulos.



106


ζε

∂∂




107

4.2.3 Evolución de la influencia de la cuantía de armadura transversal sobre la

distancia singular D para diferentes hipótesis de deformación

Al contrario de lo que ocurría en la cuantía de armadura longitudinal, en este caso,

y con carácter general, resulta preciso un incremento importante de la cuantía de armado

transversal para lograr valores de la distancia singular suficientemente bajos, lo que se

traduce en valores prácticamente coincidentes de la deformación del sistema y la

deformación real del elemento de hormigón.

En el caso de las figuras 4.7a y 4.7b, se observa un cambio notable en la curva de

evolución del parámetro D correspondiente a la TUCC conforme aumenta la cuantía de

armado, el cual viene motivado por la plastificación incipiente de la armadura

longitudinal de tracción a medida que aumenta la cuantía de armadura transversal.

A partir de la hipótesis 3 (Fig. 4.7c), la plastificación de la armadura longitudinal,

debida al incremento de cuantía de armadura transversal, se produce según ambas

teorías, razón por la cual a partir de dicha hipótesis el comportamiento de las curvas de

evolución del parámetro D es bastante similar.

En el caso de la hipótesis de deformación más desfavorable (Fig. 4.7e), y al

contrario de lo que ocurría en la cuantía de armado longitudinal, se produce una

disminución general de los valores de la curva de evolución respecto a las hipótesis

inmediatamente anterior (Fig. 4.7 d); no obstante el comportamiento de la función

permanece monótono decreciente para ambas teorías.

En la figura 4.8 se representa el ajuste regresivo, de tipo hiperbólico, practicado a

la función D = f (ρx), para la hipótesis 5 de deformación y según ambas teorías de



la última hipótesis de deformación, resulta prácticamente igual para ambas teorías.



108

Fig. 4.7: Evolución de la distancia singular D en función de la cuantía de armado transversal ρv.



109

Al contrario de lo que ocurría con la armadura longitudinal, una duplicación de

la cuantía de armado transversal implica reducciones de la distancia singular de

hasta un 45 %, lo que se traduce en dominios de la función de disparidad aún menores

que los obtenidos mediante la reducción de la cuantía longitudinal; no obstante, la

efectividad alcanzada sigue resultando insuficiente a efectos de proximidad entre la

deformación real y la deformación de cálculo del elemento estudiado.

Fig. 4.8: Ajuste regresivo no lineal de las funciones de evolución del parámetro D en relación a la cuantía de armado transversal ρv, según la TUCC y la RA-STM.

Cuantía de armadura transversal (Hipótesis 5: εt= 0.005; ε1= 0.006)





110

4.3 INFLUENCIA DE LA RESISTENCIA CARACTERÍSTICA DEL

HORMIGÓN

4.3.1 Función de disparidad ζ para diferentes resistencias medias a tracción del

hormigón y diferentes hipótesis de deformación

La resistencia característica del hormigón se ha variado adoptando los valores






figura 4.9, y al igual que ocurría con la cuantía de armadura longitudinal, conforme

aumenta el valor de la resistencia media a tracción del hormigón la pendiente asociada

al punto de inflexión de la función ζ es cada vez menor, con el consiguiente aumento

del dominio de la misma.

En esta ocasión la desigual distribución de las deformaciones del sistema (εs), que

representan los puntos en los que la función ζ se anula, resulta extensible a todas las

hipótesis de deformación analizadas (Fig. 4.9), observándose, con carácter general, un

distanciamiento acusado en el paso de la cuantía 1 a la cuantía 2. Así mismo, en las

figuras 4.9c y 4.9d, los dominios de las funciones de disparidad correspondiente a las

cuantías mínima y máxima presentan valores similares.



111

Fig. 4.9: Valores de ζ en función de εx



112


ζε

∂∂

para diferentes resistencias medias a tracción del

hormigón y diferentes hipótesis de deformación



de tensión y deformación principales en función de la deformación longitudinal

considerada. Como se puede observar, y al igual que ocurría con la cuantía de armadura

longitudinal, a medida que aumenta la resistencia a tracción del hormigón las ramas de

las parábolas representadas son más abiertas y su dominio es cada vez mayor. Esto

último equivale a decir que, a medida que disminuye la resistencia característica del

hormigón, pequeñas variaciones en la deformación real del elemento se traducen en

variaciones cada vez mayores de la disparidad entre ángulos.

Por otra parte, y de forma similar a como ocurría en el apartado 4.3.1, la desigual

distribución de las deformaciones singulares (ε0), que representan los puntos en los que

la función ζ se anula, resulta extensible a todas las hipótesis de deformación analizadas

(Fig. 4.10), observándose, con carácter general, un distanciamiento acusado en el paso

de la cuantía 1 a la cuantía 2.



113


ζε

∂∂




114

4.3.3 Evolución de la influencia de la resistencia media a tracción del hormigón

sobre la distancia singular D para diferentes hipótesis de deformación

En la figura 4.11c observamos, para valores bajos de la resistencia media a

tracción (fctm), una diferencia notable de las curvas de evolución del parámetro D

correspondientes a las dos teorías analizadas; esto es debido al retorno al campo

elástico, a partir de la resistencia a tracción 2, de la armadura longitudinal a compresión.

Así mismo, y de forma muy similar a como sucedía con la cuantía de armadura

longitudinal, en la hipótesis de deformación 4 (Fig. 4.11d) aparece otro máximo local,

cuya consecuencia es idéntica a la ya descrita anteriormente. En la hipótesis 5 (Fig.

4.11e) observamos un quiebro en torno a la resistencia 2 de la curva de evolución

correspondiente a la RA-STM, el cual es debido a la plastificación conjunta de las

armaduras longitudinal y transversal, las cuales retornarán posteriormente al campo

elástico para resistencias de hormigón superiores. Finalmente, para la hipótesis de

deformación más desfavorable, la curva de evolución recupera su perfil inicial

monótono creciente (Fig. 4.11e), y al igual que ocurría en el caso de la cuantía de

armadura longitudinal, con valores del parámetro D algo mayores respecto a la hipótesis

inmediatamente anterior (Fig. 4.11d).

En la figura 4.12 se representa el ajuste regresivo, de tipo hiperbólico, practicado

a la función D = f (ρx), para la hipótesis 5 de deformación y según ambas teorías de



la última hipótesis de deformación, resulta sensiblemente mejor en los valores

arrojados por la TUCC que en los correspondientes a la RA-STM.



115

Fig. 4.11: Evolución de la distancia singular D en función de la resistencia a tracción del hormigón, fctm.



116

Así pues, y según la TUCC, una reducción del valor de la resistencia

característica a la mitad de su valor implica una disminución de la distancia

singular de aproximadamente el 30 %, por lo que queda a medio camino entre las

efectividades de reducción sobre la distancia singular correspondientes a la cuantía de

armado transversal y la cuantía de armado longitudinal.

Fig. 4.12: Ajuste regresivo no lineal de las funciones de evolución del parámetro D en relación a la resistencia a tracción del hormigón, fctm, según la TUCC y la RA-STM.

Resistencia media a tracción del hormigón (Hipótesis 5: εv= 0.005; ε1= 0.006)





117

CAPÍTULO 5

CONCLUSIONES



118

Sobre la base de la metodología analítica expuesta en el capítulo 3, y a la vista

de los resultados presentados en el capítulo 4, se emiten las siguientes conclusiones al

respecto del presente estudio:

I. El análisis y evaluación de la hipótesis de H.A Wagner en el diseño a cortante

de elementos de hormigón estructural, y el consiguiente estudio de la

problemática de disparidad entre la dirección del campo de deformaciones

principales y el campo de tensiones principales en hormigón, requiere del

planteamiento de un método de análisis en el que, al contrario de lo que se aplica

en las teorías de campos de compresiones, se independicen los modelos de

compatibilidad y equilibrio, a fin de poder determinar los factores que

condicionan la disparidad entre campos.

II. Debido a la necesidad de independizar los modelos de equilibrio y

compatibilidad antes indicada, el método de análisis aquí planteado no permite

obtener la función de respuesta Carga vs. Deformación de un elemento

estructural, y por consiguiente, tampoco su nivel de agotamiento. Así mismo, la

desagregación de tales modelos debe ir acompañada de una transformación de

las ecuaciones de los mismos, dotándolas de una estructura formal idéntica y

ajustada a las variables de análisis establecidas a priori, a fin de que sendos

modelos puedan ser sometidos a un análisis comparativo. De esta forma surgen

las ecuaciones simplificadas de equilibrio y compatibilidad a cortante en

hormigón estructural.

III. La aplicación de la hipótesis de Wagner en hormigón estructural implica el

establecimiento de un sistema con un grado de libertad deformacional, el cual, y

sobre la base de los datos experimentales existentes, disminuye normalmente

respecto del valor real de la deformación del elemento estructural.



119

IV. Un parámetro que se relaciona con la disparidad entre la dirección del campo de

deformaciones principales y el campo de tensiones principales en hormigón es la

distancia singular (D). Dado que hasta el momento no se ha podido desarrollar

experimentación real en laboratorio al respecto de la cuestión aquí planteada,

dicho parámetro no ha podido relacionarse de forma específica y a nivel físico

con el comportamiento resistente de un elemento de hormigón estructural.

V. La distancia singular se encuentra relacionada, sobre la base de las

investigaciones desarrolladas por el profesor F.J Vecchio en la Universidad de

Toronto, con un segundo parámetro denominado ámbito de pertenencia (δ), de

tal manera que en los casos analizados una disminución de la primera implica

igualmente una disminución proporcional del segundo, lo que mejora

considerablemente el nivel de certeza sobre las deformaciones reales de un

elemento estructural.

VI. El parámetro D depende tanto del diseño del elemento de hormigón armado

como de las deformaciones del mismo, y por consiguiente y en último término,

de la degradación experimentada por el hormigón como consecuencia de su

deformación a cortante.

VII. Se confirma que la distancia singular, y por consiguiente la problemática de

disparidad antes mencionada, es susceptible de ser corregida mediante la

modificación de las cuantías de armado longitudinal y transversal, así como

mediante la elección de la resistencia característica del hormigón.

VIII. Cada uno de los parámetros de control evaluados presenta una influencia distinta

sobre la distancia singular del sistema, según el valor de diseño de los primeros

y la hipótesis de deformación asumida. Los resultados aquí obtenidos arrojan

resultados interesantes desde el punto de vista del conocimiento del estado real

de deformaciones y resultan de interés en relación al diseño a cortante de

elementos de hormigón armado.



120

IX. En el caso de la cuantía de armadura longitudinal, parámetro de diseño altamente

dependiente de la deformación del sistema, se ha comprobado que se alcanzan

valores bajos de la distancia singular para cuantías mínimas de armado. Presenta

una efectividad aproximada del 25 % sobre la reducción de la distancia singular,

si bien requiere a cambio una reducción de la cuantía longitudinal a la mitad de

su valor. Dicha reducción podría comprometer, en modo alguno, el diseño

resistente del elemento de hormigón con el único fin de conseguir un valor de la

reducción sobre la distancia singular que, por otra parte, tampoco garantiza una

similitud suficiente entre la deformación del sistema (εs) y la deformación real

del elemento.

X. En relación a la resistencia del hormigón, presenta un comportamiento similar al

de la cuantía de armado longitudinal, mostrando igualmente una dependencia

notable del nivel de deformación por cortante del elemento; no obstante, y como

se puede observar en el anexo 1 del presente trabajo, constituye el factor de

diseño menos independiente de los tres evaluados en este trabajo, por estar

profundamente “conectado” a nivel de normativa con las cuantías de armadura

longitudinal y transversal.

XI. Con carácter general, el parámetro de diseño bajo el cual la disminución de la

distancia singular resulta más efectiva y uniforme, para el caso de la hipótesis de

deformación más desfavorable, es la cuantía de armadura transversal. Presenta

una efectividad aproximada del 45 % sobre la reducción de la distancia singular,

si bien requiere a cambio un incremento de la cuantía transversal al doble de su

valor. Dicha efectividad tampoco garantiza una notable similitud entre la

deformación del sistema (εs) y la deformación real del elemento, y sin embargo

el incremento de este parámetro de diseño implica un sobrecoste económico

importante. Supongamos una viga de hormigón armado, con sección cuadrada

de 30 cm de lado, armada transversalmente con cercos Ø8 a 75 mm, lo que

equivale a un área de acero por unidad de longitud de 1.34·10-3 mm2/m ; el doble

de dicha cuantía equivaldría a una armadura transversal compuesta por cercos

Ø12 a 75 mm. En el primer caso tenemos 13 cercos de ocho mm de diámetro por

metro de longitud de viga, con una longitud cada cerco de 1200 mm (perímetro



121

de la sección transversal), lo que equivale a una cantidad de acero de 6.15 Kg/m

de longitud de viga, esto es, aproximadamente unos 6 Euros/m de longitud de

viga. En el segundo caso tenemos 13 cercos de doce mm de diámetro por metro

de longitud de viga, con una longitud cada cerco de 1200 mm, lo que equivale a

una cantidad de acero de 13.85 Kg/m, es decir, aproximadamente unos 8

Euros/m más que en el primer caso. Como se puede observar, bajo según qué

condiciones, una duplicación de la cuantía de armadura transversal puede

implicar un incremento superior al doble del costo unitario de diseño del

elemento. Por otra parte, una disparidad entre los ángulos de los campos

principales de tensión y deformación con un valor promedio inferior a 10º, y una

efectividad de la reducción sobre la distancia singular del 45 %, no justifican un

sobrecoste de tal magnitud en el diseño de un elemento de hormigón armado.

Así pues, se puede decir que la disparidad de direcciones entre los campos de

deformaciones principales y los campos de tensiones principales en hormigón

constituye un problema de diseño en gran medida paliable mediante la adopción de

bajas cuantías de armado longitudinal, bajas resistencias características de hormigón, y

un valor de la cuantía de armadura transversal suficientemente alto que garantice los

requisitos de resistencia y economía. En particular, y muy significativamente, la cuantía

de armado transversal constituye el parámetro de diseño más determinante de entre los

analizados; sin embargo, y a la vista del sobrecoste que implicaría la actuación sobre la

cuantía de armado transversal, se concluye que la hipótesis de Wagner en las teorías de

campos de compresiones pueda ser considerada, bajo los puntos de vista técnico y

económico, una simplificación razonable.

Líneas futuras de investigación

El presente estudio ha basado su procedimiento analítico en la utilización

exclusiva de ecuaciones de comportamiento del acero basadas en la tensorrigidez del

hormigón, debido a razones ya expuestas en el capítulo 3. Sin embargo, y pese a la

utilización de tales ecuaciones, el parámetro de adherencia hormigón – acero propuesto

por el profesor Evan C. Bentz de la Universidad de Toronto así como la relación entre el

área eficaz de tracción del hormigón y el área de armado (ésta última presente en el



122

modelo de comportamiento del acero propuesto por la Teoría Unificada del Campo de

Compresiones) no se han incluido como factores de diseño a analizar en este trabajo.

Como ya se apuntó en el capítulo 3, la razón de prescindir de tales factores era debida a

la dependencia de los mismos del diámetro de barra, y por consiguiente, de la cuantía de

armado, convirtiéndolos en parámetros de control redundantes. Además, la existencia de

series de diámetros de barra comerciales establecidos hacía que la utilización de estos

dos últimos parámetros resultara poco flexible desde el punto de vista práctico.

No obstante, si alguno de los factores de diseño citados, y en particular el área

eficaz de hormigón a tracción -por estar presente en la formulación de ambos- pudiera

expresarse en función de otra magnitud/es distintas del diámetro de barra, sería posible

llevar a cabo un estudio más en profundidad, incluyendo estos parámetros en el

procedimiento de análisis.

Las normativas actuales plantean la resistencia a cortante de un elemento de

hormigón armado como la suma de la contribución del hormigón más la contribución

del acero, de tal forma que ambas componentes son invariantes frente a la solicitación a

cortante. Puesto que se produce una degradación del hormigón cuando aumenta a

deformación por cortante de la pieza, es importante que las teorías de cortante expliquen

la variación de la resistencia a cortante en función de la deformación en piezas de

hormigón armado o pretensado.

En la actualidad, los profesores Gil Martín y Hernández Montes, pertenecientes

al Grupo de Ingeniería e Infraestructuras de la Universidad de Granada, investigan sobre

la formulación de un parámetro que determine el área eficaz a tracción de hormigón, la

cual hasta el momento se ha considerado constante y dependiente del diámetro de barra

empleado en el armado. Dicho parámetro se intenta plantear como dependiente, entre

otros factores, de la deformación principal a tracción del hormigón y de su nivel de

agrietamiento, transformando así el área eficaz de hormigón a tracción en un factor de

diseño variable y dependiente del nivel de degradación del hormigón por efecto del

cortante.

Así pues, la reformulación del área eficaz de hormigón a tracción junto con un

análisis de sensibilidad similar al llevado a cabo en este trabajo posibilitaría un

exhaustivo análisis de la validez de la hipótesis de Wagner y del conocimiento real de

las deformaciones en elementos de hormigón armado sometido a cortante.



123

ANEXO 1



124

CARACTERÍSTICAS DE DISEÑO DEL ELEMENTO DE HORMIGÓN ARMADO ESTUDIADO

CUANTÍA LONGITUDINAL

(Obtenida para una resistencia característica del hormigón de 25 MPa y cuantía mínima permitida de armadura transversal)

Valor 1: ρx = 2·ρx,min

A partir de la cuantía mínima de armadura longitudinal, se obtiene lo siguiente:

', ,min . . . mm · . . mm

. mm

s min s

s

A A

Aφ

+ = + = → = →

→ → =

2 2

2

307 88 100 53 408 41 2 408 41 816 82

4 16 804 25

NOTA: en el cálculo anterior, hemos finalmente adoptado un valor del área longitudinal de acero inferior al correspondiente al doble del valor mínimo, por encontrarse en un entorno muy próximo al valor de referencia planteado en el plan de ensayo. La otra opción hubiera sido colocar 3Ø16 en la cara traccionada y 2 Ø16 en la cara comprimida, y en ese caso As=1005.31, cuyo valor se aleja bastante del doble del valor mínimo.

El recubrimiento nominal superior e inferior vendrá dado por:

( ) min mmnom longr r r= + ∆ = + =20 10 30

El canto útil d será igual a d=300-30-16/2=262 mm

Dado que la armadura a compresión va a ser considerada en el cálculo, la separación entre cercos deberá cumplir la siguiente limitación del art. 42.3.1 de la EHE-08:

mm

mm

v com

comv

s φ

φφ

≤ = ⋅ =

≥ =

15 15 16 240

44

El art. 44.2.3.4.1 de la EHE-08 establece la separación máxima longitudinal entre estribos en función de la solicitación a cortante. En el caso más desfavorable, la separación más restrictiva viene dada por:

. . . mmvs d≤ = ⋅ =0 30 0 3 262 78 6



125

Luego adoptamos una separación máxima entre cercos de 78 mm.

Teniendo en cuenta que sv,max = 5.34Ø2redondo, la separación entre cercos

correspondiente a un diámetro mínimo comercial de 6 mm es de 192.24 mm. Luego la armadura transversal mínima corresponde a cercos Ø6, con un recubrimiento nominal de 30 mm y un área eficaz de hormigón a tracción igual a 6084 mm2.

Dado que la armadura transversal abraza a la armadura longitudinal, habrá que incrementar el recubrimiento nominal calculado en dirección longitudinal una cantidad igual al diámetro de cerco. Por tanto, el canto útil final de la viga será de d=300-36-16/2=256 mm, y la distancia máxima entre cercos será de 0.3·256=76.8 mm; así pues, adoptamos finalmente como armadura transversal cercos Ø6 a 76 mm.

El valor de Ac,ef correspondiente a la dirección longitudinal vendrá dado por:

( ), , . . mmtracc ef long real traclong

A r φφ = + + = + + ⋅ =

2 22167 5 36 7 5 16 26896

2 2



', ,min . . . mm · . . mm

. mm

s min s

s

A A

Aφ

+ = + = → = →

→ → =

2 2

2

307 88 100 53 408 41 4 408 41 1633 64

8 16 1608 5



El canto útil d será igual a d=300-30-16/2=262 mm.


mm

mm

v com

comv

s φ

φφ

≤ = ⋅ =

≥ =

15 15 16 240

44


. . . mmvs d≤ = ⋅ =0 30 0 3 262 78 6



126


Teniendo en cuenta que sv,max =5.34Ø2redondo, la separación entre cercos





A r φφ = + + = + + ⋅ =

2 22167 5 36 7 5 16 26896

2 2

La anterior área eficaz a tracción afecta a dos redondos, lo cual deberá ser considerado en el correspondiente cálculo del parámetro M, tal y como se indica a continuación:

, , . mmc ef longlong

trac

AM

πφ= = 267 54

2



', ,min . . . mm · . . mm

. mm

s min s

s

A A

Aφ

+ = + = → = →

→ → =

2 2

2

307 88 100 53 408 41 6 408 41 2450 46

8 20 2513 27





mm

mm

v com

comv

s φ

φφ

≤ = ⋅ =

≥ =

15 15 20 300

54



127


. . mmvs d≤ = ⋅ =0 30 0 3 260 78







A r φφ = + + = + + ⋅ =

2 22207 5 36 7 5 20 38416

2 2

La anterior área eficaz a tracción afecta a tres redondos, lo cual deberá ser considerado en el correspondiente cálculo del parámetro M, tal y como se indica a continuación:

, , . mmc ef longlong

trac

AM

πφ= = 203 80

3

Valor máximo: ρx = ρx,max

El EC-2 recomienda en su apartado 5.4.2.1.1 que la cuantía máxima de armadura longitudinal total (traccionada y comprimida) no sobrepase el 4% del área bruta de hormigón. Teniendo en cuenta que la separación mínima entre barras debe ser igual o superior a 1.25 el tamaño máximo de árido (art. 69.4.1.1), se obtiene lo siguiente:

,max . . mm ( ) ( )s cA A T Cφ φ= = ⋅ = → +2 20 04 0 04 300 3600 4 25 5 20

El recubrimiento nominal de la armadura traccionada vendrá dado por:

( ) min mmnom tr r r= + ∆ = + =25 10 35



128

El canto útil d será igual a d=300-35-25/2=252.5 mm

El recubrimiento nominal de la armadura comprimida vendrá dado por:

( ) min mmnom cr r r= + ∆ = + =20 10 30


mm

mm

v com

comv

s φ

φφ

≤ = ⋅ =

≥ =

15 15 20 300

54


. . . . mmvs d≤ = ⋅ =0 30 0 3 252 5 75 75




Dado que la armadura transversal abraza a la armadura longitudinal, bastará adoptar un recubrimiento de la armadura longitudinal igual a 36 mm. Por tanto, el canto útil final de la viga será de d=300-36-25/2=251.5 mm, y la distancia máxima entre cercos será de 0.3·251.5=75.45 mm; así pues, adoptamos finalmente como armadura transversal cercos Ø6 a 75 mm.

El valor de Ac,ef correspondiente a la armadura traccionada vendrá dado por:

( ), , . . mmtracc ef t real tract

A r φφ = + + = + + ⋅ =

2 22257 5 36 7 5 25 55696

2 2


, , . mmc ef tt

trac

AM

πφ= = 236 38

3

El valor de Ac,ef correspondiente a la armadura comprimida vendrá dado por:



129

( ), , . . mmcompc ef c real compc

A rφ

φ = + + = + + ⋅ =

2 22207 5 36 7 5 20 38416

2 2


, , . mmc ef cc

comp

AM

πφ= = 203 80

3

CUANTÍA TRANSVERSAL

(Obtenida para una resistencia característica del hormigón de 25 MPa y cuantía mínima permitida de armadura longitudinal)

Valor 1: ρv = 2·ρv,min

A partir de la cuantía mínima de armadura transversal, se obtiene lo siguiente:

,mm mm. . . minA mm mmα = → ⋅ =

2 20 734 2 0 734 1 468

Luego, la separación máxima entre cercos vendrá determinada por:

, , .

. a 77 mm.

redondov máx ramas v máx redondos A n s

c

α

φπ φ

φ φ

⋅ = → = →

→ = = →

221 070

477

8 48 81 070

El recubrimiento nominal lateral vendrá dado por:

( ) min mmnom vr r r= + ∆ = + =20 10 30

( ), , . . mmtransc ef v nom transv

A r φφ = + + = + + ⋅ =

2 2287 5 30 7 5 8 8836

2 2

Dado que la armadura transversal abraza a la armadura traccionada, habrá que incrementar el recubrimiento nominal correspondiente a la armadura traccionada una cantidad igual al diámetro de cerco. El valor de Ac,ef correspondiente a la armadura longitudinal a tracción vendrá dado por:



130


A r φφ = + + = + + ⋅ =

2 22147 5 38 7 5 14 22500

2 2

Igualmente, habrá que incrementar el recubrimiento nominal correspondiente a la armadura comprimida una cantidad igual al diámetro de cerco. El valor de Ac,ef correspondiente a la armadura longitudinal comprimida vendrá dado por:

( ), , . . mmcompc ef c real compcA r

φφ

= + + = + + ⋅ =

2 228

7 5 38 7 5 8 104042 2




2 20 734 4 0 734 2 936


, , .

a 77 mm.


c

α

φπ φ

φ φ

⋅ = → = →

→ = = →

220 535

477

12 120 535


( ) min mmnom vr r r= + ∆ = + =20 10 30


A r φφ = + + = + + ⋅ =

2 22127 5 30 7 5 12 15876

2 2


, , . mmc ef vv

trans

AM

πφ= = 210 56

2

Dado que la armadura transversal abraza a la armadura traccionada, habrá que incrementar el recubrimiento nominal correspondiente a la armadura traccionada una



131

cantidad igual al diámetro de cerco. El valor de Ac,ef correspondiente a la armadura longitudinal traccionada vendrá dado por:


A r φφ = + + = + + ⋅ =

2 22147 5 42 7 5 14 23716

2 2



φφ

= + + = + + ⋅ =

2 228

7 5 42 7 5 8 112362 2




2 20 734 6 0 734 4 404


, , .

. a 77 mm.


c

α

φπ φ

φ φ

⋅ = → = →

→ = = →

220 357

477

14 7 140 357


( ) min mmnom vr r r= + ∆ = + =20 10 30


A r φφ = + + = + + ⋅ =

2 22147 5 30 7 5 14 20164

2 2


, , . mmc ef vv

trans

AM

πφ= = 229 23

2



132



A r φφ = + + = + + ⋅ =

2 22147 5 44 7 5 14 24336

2 2



φφ

= + + = + + ⋅ =

2 228

7 5 44 7 5 8 116642 2

Valor máximo: ρv = ρv,max



2 20 734 8 0 734 5 872


, , .

. a 77 mm.


c

α

φπ φ

φ φ

⋅ = → = →

→ = = →

220 267

477

16 98 160 267


( ) min mmnom vr r r= + ∆ = + =20 10 30


A r φφ = + + = + + ⋅ =

2 22167 5 30 7 5 16 24964

2 2


, , . mmc ef vv

trans

AM

πφ= = 248 32

2



133



A r φφ = + + = + + ⋅ =

2 22147 5 46 7 5 14 24964

2 2



φφ

= + + = + + ⋅ =

2 228

7 5 46 7 5 8 121002 2

RESISTENCIA MEDIA A TRACCIÓN

(Cuantía mínima permitida de armadura longitudinal y transversal)

Valor 1: fctm=3.51 MPa


NOTA: en este primer caso, la cuantía mínima mecánica exigida por la EHE-08 no supera a la cuantía mínima geométrica correspondiente. Por tanto, la armadura longitudinal permanece igual a la considerada como valor mínimo. Sin embargo, el recubrimiento de hormigón sí cambia, y con él, el canto útil d. Para una armadura longitudinal a tracción de Ø=14 mm y fck = 40 MPa, el recubrimiento nominal (rnom) que la norma EHE-08 establece en su artículo 39.2.4 viene dado por:

( ) min mmnom tr r r= + ∆ = + =16 10 26

Por lo que el canto útil d será igual a d=300-26-14/2=267 mm

Para una armadura longitudinal a tracción de Ø=8 mm y fck = 40 MPa, el recubrimiento nominal (rnom) que la norma EHE-08 establece en su artículo 39.2.4 viene dado por:

( ) min mmnom cr r r= + ∆ = + =16 10 26



134



mm

mm

v com

comv

s φ

φφ

≤ = ⋅ =

≥ =

15 15 8 120

24


. . . mmvs d≤ = ⋅ =0 30 0 3 267 80 1


La cuantía mínima de tales armaduras debe ser tal que se cumpla la siguiente relación:

. . . . .

.

y d ctm ctm

y d


ααα

⋅≥ → ≥ = =

⋅

200

3 51 3000 404

4007 5 7 5 7 51 15



φπ φ⋅ = → =

223 89

4

Dado que Ømin = 6 mm, se obtiene una separación máxima a partir de la anterior ecuación de sv,max=140.04 mm.

El recubrimiento nominal (rnom) de la armadura transversal vendrá dado por:

( ) min mmnom vr r r= + ∆ = + =15 10 25

El valor de Ac,ef correspondiente a la dirección vertical es:


A r φφ = + + = + + ⋅ =

2 2267 5 25 7 5 6 5329

2 2

Dado que la armadura transversal abraza a la armadura longitudinal, bastará adoptar un recubrimiento de la armadura longitudinal igual a 31 mm. Por tanto, el canto útil final de la viga será de d=300-31-14/2=262 mm, y la distancia máxima entre cercos será de 0.3·262=78.6 mm; así pues, adoptamos finalmente como armadura transversal cercos Ø6 a 78 mm.



135



A r φφ = + + = + + ⋅ =

2 22147 5 31 7 5 14 20449

2 2



A rφ

φ = + + = + + ⋅ =

2 2287 5 31 7 5 8 9025

2 2




s yd cdWA f fh

≥ 1

Donde W1 es el módulo resistente de la sección buta relativo a la fibra más traccionada y h es el canto de la sección. Así pues,

.. . mm . mm

.

cds s

yd

fWA Ah f

φ≥ = ⋅ = → → =

3

2 21

300 60 0 856 1 5 1466 25 5 20 1570 8

4003001 15

Como cuantía mínima a compresión se adoptará un 30% de la consignada en la cara a tracción:

' . . . mmsA φ≥ ⋅ = →20 3 1570 8 471 24 4 14

El recubrimiento nominal (rnom) de la armadura traccionada vendrá dado por:

( ) min mmnom tr r r= + ∆ = + =20 10 30


El recubrimiento nominal (rnom) de la armadura comprimida vendrá dado por:

( ) min mmnom cr r r= + ∆ = + =16 10 26



136



mm

. mm

v com

comv

s φ

φφ

≤ = ⋅ =

≥ =

15 15 14 210

3 54


. . mmvs d≤ = ⋅ =0 30 0 3 260 78



. . . . .

.

y d ctm ctm

y d


ααα

⋅≥ → ≥ = =

⋅

200

4 35 3000 500

4007 5 7 5 7 51 15



φπ φ⋅ = → =

223 14

4

Dado que Ømin = 6 mm, se obtiene una separación máxima a partir de la anterior ecuación de sv,max=113.04 mm.


( ) min mmnom vr r r= + ∆ = + =15 10 25



A r φφ = + + = + + ⋅ =

2 2267 5 25 7 5 6 5329

2 2

Puesto que la armadura transversal abraza a la armadura longitudinal, bastará adoptar un recubrimiento de la armadura longitudinal igual a 31 mm. Por tanto, el canto útil final de la viga será de d=300-31-20/2=259 mm, y la distancia máxima entre cercos



137

será de 0.3·259=77.7 mm; así pues, adoptamos finalmente como armadura transversal cercos Ø6 a 77 mm.



A r φφ = + + = + + ⋅ =

2 22207 5 31 7 5 20 36481

2 2


, , . mmc ef tt

trac

AM

πφ= = 193 54

3



A rφ

φ = + + = + + ⋅ =

2 22147 5 31 7 5 14 22500

2 2


, , . mmc ef cc

comp

AM

πφ= = 255 78

2




s yd cdWA f fh

≥ 1

Donde W1 es el módulo resistente de la sección bruta relativo a la fibra más traccionada y h es el canto de la sección. Así pues,

.. mm . mm

.

cds s

yd

fWA Ah f

φ≥ = ⋅ = → → =

3

2 21

300 80 0 856 1 5 1955 4 25 1963 5

4003001 15



138


' . . . mmsA φ≥ ⋅ = →20 3 1963 5 589 05 4 14

El recubrimiento nominal (rnom) de la armadura traccionada vendrá dado por:

( ) min mmnom tr r r= + ∆ = + =25 10 35



( ) min mmnom cr r r= + ∆ = + =16 10 26



mm

. mm

v com

comv

s φ

φφ

≤ = ⋅ =

≥ =

15 15 14 210

3 54


. . . . mmvs d≤ = ⋅ =0 30 0 3 252 5 75 75



. . . . .

.

y d ctm ctm

y d


ααα

⋅≥ → ≥ = =

⋅

200

4 83 3000 555

4007 5 7 5 7 51 15



φπ φ⋅ = → =

222 83

4



139

Dado que Ømin = 6 mm, se obtiene una separación máxima a partir de la anterior ecuación de sv,max=101.9 mm. Así pues, se adopta una armadura mínima transversal compuesta por cercos Ø6 a 75 mm.


( ) min mmnom vr r r= + ∆ = + =15 10 25



A r φφ = + + = + + ⋅ =

2 2267 5 25 7 5 6 5329

2 2

En este caso no es necesario ajustar el recubrimiento de la armadura traccionada debido a su posición relativa a la armadura transversal. El valor de Ac,ef correspondiente a la dirección longitudinal es:

( ), , . . mmtracc ef t nom tract

A r φφ = + + = + + ⋅ =

2 22257 5 35 7 5 25 55225

2 2


, , . mmc ef tt

trac

AM

πφ= = 234 38

3

Por su parte, y dado que la armadura transversal abraza a la armadura comprimida, bastará adoptar un recubrimiento de la armadura comprimida igual a 31 mm. El valor de Ac,ef correspondiente a la armadura comprimida vendrá dado por:


A rφ

φ = + + = + + ⋅ =

2 22147 5 31 7 5 14 22500

2 2


, , . mmc ef cc

comp

AM

πφ= = 255 78

2



140

Valor máximo: fctm=5.23 MPa



s yd cdWA f fh

≥ 1

Donde W1 es el módulo resistente de la sección bruta relativo a la fibra más traccionada y h es el canto de la sección. Así pues,

.. . mm . mm

.

cds s

yd

fWA Ah f

φ≥ = ⋅ = → → =

3

2 21

300 100 0 856 1 5 2443 75 5 25 2454 37

4003001 15


' . . . mmsA φ≥ ⋅ = →20 3 2454 37 736 31 5 14

El recubrimiento nominal (rnom) de la armadura longitudinal vendrá dado por:

( ) min mmnom xr r r= + ∆ = + =25 10 35



( ) min mmnom cr r r= + ∆ = + =16 10 26



mm

. mm

v com

comv

s φ

φφ

≤ = ⋅ =

≥ =

15 15 14 210

3 54




141

. . . . mmvs d≤ = ⋅ =0 30 0 3 252 5 75 75



. . . . .

.

y d ctm ctm

y d


ααα

⋅≥ → ≥ = =

⋅

200

5 23 3000 601

4007 5 7 5 7 51 15



φπ φ⋅ = → =

222 61

4

Dado que Ømin = 6 mm, se obtiene una separación máxima a partir de la anterior ecuación de sv,max=94.09 mm. Así pues, se adopta una armadura mínima transversal compuesta por cercos Ø6 a 75 mm.


( ) min mmnom vr r r= + ∆ = + =15 10 25



A r φφ = + + = + + ⋅ =

2 2267 5 25 7 5 6 5329

2 2

En este caso no es necesario ajustar el recubrimiento de la armadura longitudinal debido a su posición relativa a la armadura transversal. El valor de Ac,ef correspondiente a la dirección longitudinal es:

( ), , . . mmtracc ef t nom tract

A r φφ = + + = + + ⋅ =

2 22257 5 35 7 5 25 55225

2 2


, , . mmc ef tt

trac

AM

πφ= = 175 79

4

Por su parte, y dado que la armadura transversal abraza a la armadura comprimida, bastará adoptar un recubrimiento de la armadura comprimida igual a 31 mm. El valor de Ac,ef correspondiente a la armadura comprimida vendrá dado por:



142


A rφ

φ = + + = + + ⋅ =

2 22147 5 31 7 5 14 22500

2 2


, , . mmc ef cc

comp

AM

πφ= = 255 78

2



143

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