teoria 3 modelacion

Juan Manuel de Rosas 325 Tel/Fax (+54 3755) 422 179 422 170 www.fiobera.unam.edu.ar e-mail: [email protected] CP3360 Ober Misiones Argentina

Universidad Nacional de Misiones

INTRODUCCIN AL ANLISIS DIMENSIONAL Y LA TEORA DE MODELOS FSICOS

EN SISTEMAS ELCTRICOS

Dr. Ing. Aldo Luis Caballero MSc. Ing. Corina Feltan

ltima versin: abril de 2014

Generalidades

El estado actual del desarrollo del clculo numrico y la computacin permiten

llevar a cabo numerosos tipos de estudios sobre el comportamiento de los sistemas

elctricos mediante modelacin matemtica y simulacin computacional, no

obstante, la modelacin fsica todava sigue siendo una herramienta til.

La simulacin fsica de los sistemas elctricos se realiza mediante los denominados

analizadores de redes tambin llamados cuadros de clculo, los cuales pueden

ser de corriente continua o de corriente alterna.

Los analizadores de redes alimentados mediante fuentes de corriente continua

estn constituidos por muchas unidades de resistores cuyas resistencias pueden

variarse para conseguir los valores requeridos y paneles de instrumentos dotados

de voltmetros y ampermetros para efectuar las mediciones correspondientes.

Como es bien conocido, los sistemas de potencia operan en su gran mayora en

corriente alterna, sin embargo, muchos estudios pueden efectuarse utilizando

cuadros de corriente directa.

Evidentemente, la posibilidad de utilizar analizadores de redes de corriente

continua para estudiar sistemas de corriente alterna est limitada a aquellos casos

en los cuales los ngulos de fase de las tensiones y las corrientes carecen de

importancia; aunque tambin se han desarrollado mtodos que hacen posible la

realizacin de estudios de flujo de potencias activas y reactivas mediante

analizadores de redes de corriente directa.

INTRODUCCIN AL ANLISIS DIMENSIONAL Y LA TEORA DE MODELOS FSICOS EN SISTEMAS ELCTRICOS

MODELACIN EN INGENIERA MATERIAL DIDCTICO No 3 Ao 2014 2

Los analizadores de corriente alterna, en cambio, permiten tener en cuenta los

desfasajes entre corrientes y

tensiones. El primer analizador de

corriente alterna se construy

entre los aos 1929 y 1930, como

resultado de la colaboracin entre

la General Electric Company

G.E.C. y el Massachussets

Institute of Technology M.I.T..

Los primeros cuadros de corriente

alterna operaban a frecuencias

industriales (50 Hz o 60 Hz), sin

embargo, con la finalidad de

disminuir el tamao de los

componentes, posteriormente se

utilizaron frecuencias de algunos cientos de ciclos por segundo (por ejemplo 440

Hz, 480 Hz o ms) y hasta en el orden de 10 kHz.

En general, los componentes de los analizadores de redes de corriente alterna

tienen diales que hacen posible ajustar sus parmetros. Obviamente, estos

cuadros poseen instrumentos para hacer las mediciones de inters (voltmetros,

ampermetros, vatmetros y varmetros). Los analizadores preparados para el

estudio de regmenes transitorios incorporan instrumentos registradores u

osciloscopios con memoria que permiten representar la evolucin en el tiempo de

las magnitudes en juego y, los ms modernos, inclusive estn dotados de sistemas

informticos de control y adquisicin de datos para ajustar automticamente los

parmetros, establecer las condiciones de la prueba y registrar la evolucin en el

tiempo de las variables que intervienen.

Anlisis dimensional y semejanza en los sistemas elctricos

Considrense dos sistemas elctricos que pueden representarse mediante modelos

grficos similares, como los que se esquematizan en la figura 2. En la misma, con

F se simbolizan las frecuencias, con R se indican las resistencias y con X las

reactancias, mientras que Ur e I

r se utilizan para designar a los fasores tensin y

corriente, respectivamente. El subndice L seala que se trata de parmetros

inductivos y C se utiliza para los capacitivos. Con la letra j se designa a la unidad

imaginaria ( 1=j ). Todos los parmetros de ambos sistemas estn expresados

en magnitudes naturales, esto es: las tensiones en V, las corrientes en A, las

resistencias y reactancias en y la frecuencia en Hz.

Si es posible encontrar conjuntos de ternas de valores (U'b,I'b,F'b) y (U"b,I"b,F"b), que

dimensionalmente se correspondan con las magnitudes naturales tensin,

Figura 1: Analizador de redesde la G.E.C.



corriente y frecuencia, respectivamente, de modo que a partir de ellos pueden

calcularse las relaciones Z'b = U'b/I'b y Z"b = U"b/I"b, las que dimensionalmente se

corresponden con la magnitud impedancia, tal que se cumplan las siguientes

relaciones adimensionales:

=

=

=

=

=

=

bb

b

C

b

C

b

L

b

L

bb

bb

bb

F"

F"

F'

F'Z"

X"

Z'

X'Z"

X"

Z'

X'Z"

R"

Z'

R'I"

I"

I'

I'

U"

U"

U'

U'

(1)

Donde, para simplificar la escritura,

se ha hecho U''U =r

, U""U =r

, I''I =r

e

I""I =r

. Entonces, si se verifican las

relaciones (1), se dice que ambos

sistemas elctricos son semejantes.

Las magnitudes subindicadas con la letra b se denominan magnitudes base. Las

relaciones entre las magnitudes fsicas realmente presentes en los sistemas y las

magnitudes base son simplemente magnitudes fsicas expresadas

adimensionalmente en trminos relativos con respecto a las magnitudes base

correspondientes. Por lo tanto, utilizando minsculas para designar dichas

magnitudes relativas, en relacin con los sistemas representados en los modelos

grficos de la figura 2, se tiene:

Tensiones relativas: b'U

'U'u

rr= ;

b"U

"U"u

rr

= (2)

Corrientes relativas: b'I

'I'i

rr= ;

b"I

"I"i

rr

= (3)

Resistencias relativas: b'Z

R'r' = ;

b"Z

R"r" = (4)

Reactancias inductivas relativas: b

LL

'Z

X'x' = ;

b

LL

"Z

X"x" = (5)

Reactancias capacitivas relativas: b

CC

'Z

X'x' = ;

b

CC

"Z

X"x" = (6)

Figura 2: Modelos grficos de dos sistemaselctricos que tienen circuitosequivalentes similares. Todos losparmetros expresados enmagnitudes naturales.

(a)

'R L'Xj

C'Xj 'F

'Ur 'I

r

(b)

"R L"Xj

C"Xj "F

"Ur "I

r



Si ahora se representan grficamente

los sistemas considerados, pero con sus

parmetros expresados en el sistema de

magnitudes por unidad, tal como se

muestra en la figura 3, comparando los

esquemas (a) y (b) de esta figura, es

inmediato concluir en que dos sistemas

elctricos que pueden representarse por

medio de circuitos equivalentes similares

y cuyos parmetros adimensionales,

expresados en trminos relativos con

respecto a determinados valores base

adoptados convenientemente, son

iguales tienen comportamientos

anlogos, es decir, son fsicamente

semejantes. Lo cual confirma la

aseveracin efectuada anteriormente

cuando se establecieron las relaciones

(1) como condiciones de semejanza.

Ntese que el anlisis precedente se efectu considerando dos sistemas muy

sencillos, no obstante, ello no afecta la generalidad del planteamiento. Se prefiri

proceder de esta manera con la nica finalidad de evitar desarrollos matemticos

mas complicados y as facilitar la comprensin del problema. Es evidente que

puede arribarse a las mismas conclusiones aplicando la tcnica del anlisis

dimensional basada en el teorema de Buckingham.

Sistema de magnitudes por unidad

Las condiciones de semejanza expuestas en el epgrafe precedente conducen al

denominado sistema de magnitudes por unidad [p.u.]. En efecto, las variables y

parmetros adimensionales se han expresado como una fraccin de las

magnitudes base y, consecuentemente, cualquier magnitud fsica cuyo valor sea

igual a la magnitud base correspondiente tendr un valor unitario si se expresa en

trminos relativos respecto de esta ltima.

Algunas veces tambin se acostumbra a utilizar el sistema de magnitudes

porcentuales [%], el cual se forma de modo similar al sistema por unidad pero

expresando las magnitudes fsicas como fracciones porcentuales de la base. Es

decir, si en el sistema por unidad una magnitud cualquiera Q se expresa segn

una relacin del tipo q [p.u.]= Q/Qb, en el sistema de magnitudes porcentuales ser

q [%] = Q/Qb100.

Figura 3: Modelos grficos de dos sistemaselctricos que tienen circuitosequivalentes similares. Todos losparmetros expresados enmagnitudes por unidad.

(a)

'f

'ur

'ir

'r L'xj

C'xj

(b)

"f

"ir

"ur

"r L"xj

C"xj



El sistema de magnitudes por unidad tiene la ventaja de que, al realizar

operaciones, los resultados vienen expresados directamente en p.u., lo que no

siempre ocurre con el porcentual. Por ejemplo, el producto de dos magnitudes p.u.

es otra magnitud p.u., sin embargo, si se multiplican dos magnitudes expresadas

en %, para obtener el resultado tambin en %, es necesario dividir por 100.

Los sistemas de magnitudes p.u. se construyen adoptando conjuntos de valores

base, los cuales necesariamente deben conformar grupos de magnitudes

coherentes. En otras palabras, dado que las variables y parmetros que definen

completamente el estado de un sistema elctrico de corriente alterna son el voltaje,

la corriente, la impedancia, la potencia y la frecuencia, y puesto que dichas

variables y parmetros estn relacionados entre s a travs de leyes fsicas

determinadas, los valores base deben adoptarse de modo que las restricciones

impuestas por esas leyes no sean violadas.

Para una cantidad dada (voltaje, corriente, potencia, impedancia, par, etc., su

magnitud por unidad es el valor de esa cantidad referido a una cantidad base.

. . = (7) (Generalmente, las cantidades que se toman para definir las bases son la potencia,

el voltaje y la frecuencia, tomando como referencia los valores nominales del

equipamiento. Esto es = = = = = = = = =

Las dems magnitudes base fundamentales se derivan de stas, de acuerdo con

las leyes naturales de los circuitos elctricos.

= = (8)

= " = = # (9)

Para un transformador con varios arrollamientos de diferentes voltajes nominales

se usa la misma potencia base para todos los arrollamientos (la potencia nominal



del transformador); sin embargo, para el voltaje, la corriente y la impedancia, hay

tantos valores base como arrollamientos.

Las caractersticas de saturacin de los transformadores se dan en la forma de

pares de valores instantneos de corriente y flujo concatenado % &, &; #, #; *, *; ; ; ,. Cuando el sistema de magnitudes por unidad se emplea para especificar los

parmetros R y L, el flujo concatenado y la corriente, en la caracterstica de

saturacin, tambin deben darse en pu. Los valores base correspondientes son:

= . = 2 (10) = = 23##453 (11) Donde el voltaje, la corriente, el flujo concatenado y la frecuencia se expresan en

volts, amperes, volts-segundo y ciclos/segundo, respectivamente.

Para mquinas de corriente alterna el torque y la velocidad tambin pueden

expresarse en magnitudes pu. Para ello, pueden adoptarse las siguientes

cantidades base: = 6 = = 68 = 9 = : 9 = () ;6 / (12)

Si se especifica la inercia del rotor de una mquina > en kg.m2, la constante de inercia ? se define como:

? = > ; (13)

? = 12 > 6# (14)

La constante de inercia est expresada en segundos. Para mquinas grandes, la

constante de inercia puede estar entre 3 y 5 segundos. Una constante de inercia

de 3 segundos significa que la energa almacenada en las partes rotantes pueden

alimentar a la carga nominal durante 3 segundos. Para mquinas pequeas ? es



menor. Por ejemplo, para un motor de 3? puede estar comprendida entre 0,5 y 0,7 segundos.

En diferentes tipos de estudios muchas veces es necesario realizar cambios de

base, esto es: dadas ciertas variables y parmetros expresados en p.u. respecto de

ciertas magnitudes base se requiere conocer cuanto valen en p.u. respecto de otras

magnitudes base. El procedimiento para llevar a cabo esta tarea se deduce de las

definiciones de las magnitudes relativas correspondientes. En un caso general, si

q1 es el valor de una magnitud fsica cualquiera expresada en p.u. respecto de un

valor base Qb1, entonces el valor q2 en p.u. de la misma magnitud pero referido a

la base Qb2 es:

2

112

b

b

Q

Qqq = (15)

Muy a menudo se requiere cambiar solamente uno de los valores base primarios,

quizs el caso ms frecuente en los estudios de sistemas elctricos es la necesidad

de modificar solamente la tensin manteniendo invariable la potencia base. En tal

situacin, es decir si Ub1 Ub2 y Sb1= Sb2, entonces:

2

b1

b2

b12b1

b12b2

b12b1

b22b2

b1

b2

===

U

U

SU

SU

SU

SU

Z

Z (16)

En consecuencia, si 1z es una impedancia expresada en p.u. en relacin con las

magnitudes base Ub1 y Sb1, y es necesario calcular el valor de la misma impedancia

en p.u. pero referida a las magnitudes base Ub2 y Sb1, la que se denota con 2z , debe

hacerse:

2

2

112

=

b

b

U

Uzz (17)

Si, por el contrario, en lugar de cambiar solamente la tensin base se requiere

modificar nicamente la potencia base, es decir Ub1= Ub2 y Sb1 Sb2, es sencillo

demostrar que:

1

212

b

b

S

Szz = (18)

Partiendo de las relaciones bsicas estudiadas hasta aqu, y teniendo en cuenta

las leyes fsicas que rigen los fenmenos o procesos en estudio, es posible

encontrar cualquier otra magnitud p.u. Para ilustrar el procedimiento a

continuacin se plantean algunos casos de inters.

Si se trata de determinar la inductancia base Lb, como dimensionalmente las

reactancias se expresan en unidades de impedancia, y ya que el vnculo entre las

magnitudes naturales reactancia XL e inductancia L es XL= 2FL, se deduce

que:



b

bb

F

ZL

=2

(19)

De este anlisis se desprende tambin que, si una reactancia inductiva en p.u.

tiene el valor xL, la inductancia correspondiente l en p.u. puede calcularse como:

b

L

F

xl

=2

(20)

En tanto que para la capacitancia base Cb, por razones similares, debe ser:

bb

bZF

C

=2

1 (21)

Por lo que para la capacitancia c en p.u., correspondiente a la reactancia capacitiva

p.u. xC, se verifica:

Cb xF

c

=2

1 (22)

Por otro lado, los denominados sistemas elctricos, por lo general, son realmente

sistemas electromecnicos, ya que ellos la mayora de las veces contienen equipos

y aparatos que tienen masas en movimiento que interactan con el resto del

sistema, por ejemplo, los generadores y los motores. Entonces, en los estudios de

los procesos transitorios muchas veces es necesario considerar magnitudes

mecnicas, en consecuencia, se necesita ampliar el sistema de magnitudes p.u.

incluyendo el tiempo, la velocidad, la aceleracin, el momento mecnico, etc.

Los sistemas elctricos de corriente alterna operan con ondas senoidales de la

forma:

tsenUtsenUu(t) == 222 (23)

Entonces, si se define el tiempo base Tb como el lapso en el cual una masa que

rota a la velocidad angular base b se desplaza un ngulo de 1 radin, dicho tiempo se calcula como:

bb

bbbF

T T

===2

111 (24)

La pulsacin o frecuencia angular es dimensionalmente una velocidad angular, por lo tanto la velocidad angular base puede hacerse igual a la pulsacin base.

Debido a que la potencia mecnica P y el momento M estn dimensionalmente

relacionados por una expresin de la forma P= M, el momento mecnico base puede calcularse segn:

b

bb

SM = (25)



Como se desprende del desarrollo efectuado hasta aqu, el sistema de magnitudes

p.u. puede aplicarse a sistemas de cualquier naturaleza, no obstante, en los

sistemas elctricos es donde ms aplicacin ha encontrado hasta el presente, por

este motivo es que se lo estudia principalmente asociado a esa clase de sistemas.

Debe destacarse que si bien, en general, se hace referencia al sistema de

magnitudes p.u., en realidad debera hablarse de los sistemas de magnitudes p.u.

ya que, en funcin de la conveniencia particular de cada caso y situacin, inclusive

para un mismo sistema fsico es posible definir varios sistemas de magnitudes

adimensionales o por unidad diferentes.

Ejemplos de aplicacin

Ejemplo 1: Transformador trifsico

Considrese un transformador trifsico de dos arrollamientos. Los siguientes

parmetros tpicos son proporcionados por el fabricante:

- Potencia nominal = = 150 F; - Frecuencia nominal = = 50 ?G

Arrollamiento 1:

- Voltaje nominal = & = 13,2 F entre lneas - conexin wye - Resistencia del devanado = H& = 0,01 - Reactancia del devanado = I& = 0,02

Arrollamiento 2:

- Voltaje nominal = # = 400 entre lneas conexin - Resistencia del devanado = H# = 0,01 - Reactancia del devanado = I# = 0,02

Prdidas de magnetizacin al voltaje nominal en % de la potencia nominal:

- Componente activa = K = 1% - Componente reactiva = MN = 1%

Los valores base por fase del transformador equivalente se calculan cmo se indica

a continuacin.

Para el arrollamiento 1:

= = 150 F;3 = 50.000 ; = = 13,2 F3 = 7.621

= = 50.000 ;7.621 = 6,5608 ;



= " = 7.621 6,5608 ; = 1.161,6 = H = = I = " = I2 Q = 1.161,6 2 Q 50 ?G = 3,6975 ?:

Para el arrollamiento 2:

= = 150 F;3 = 50.000 ; = = 400 = = 50.000 ;400 = 125 ;

= " = 400 125 ; = 3,2 = H = I = I2 Q = 3,2 2 Q 50 ?G = 0,0102 ?:

Por lo tanto, los valores de las resistencias e inductancias de los arrollamientos,

dados en magnitudes naturales son:

1: S H& = 0,01 1.161,6 = 11,616 I& = 0,02 1.161,6 = 23,232 U& = 23,232 2 Q 50 ?G = 0,0739 ?:

2: V H# = H&I# = I& U# = U&

El hecho de que las prdidas resistiva e inductiva en el brazo de magnetizacin a

voltaje nominal sean iguales al 1%, significa que:

G = HK = 100 = G = IN

En efecto, esto puede verificarse a partir de que, para la potencia activa de prdidas

en el ncleo:



K = 1%100 = 0,01 = #HK HK = (1 )#0,01 = 100

De modo similar, para la potencia reactiva de magnetizacin:

IN = #MN = (1 )#0,01 = 100

Entonces, en magnitudes naturales y con referencia al arrollamiento 1:

HN = 100 1.161,6 = 116.160 UN = 100 3,6975 ?: = 369,75 ?:

Ejemplo 2: Mquina asincrnica

Considrese una mquina trifsica asincrnica de = 4 cuya potencia nominal es 3 HP, 380 V entre lneas su voltaje nominal y 50 Hz su frecuencia

nominal.

La resistencia y la inductancia del rotor y del estator, referidas al estator son: HW = 0,435 ; UW = 2 ?: HX = 0,816 ; UX = 2 ?:

La inductancia mutua es UN = 69,31 ?:. La inercia del rotor es > = 0,089 F #. Las cantidades base para una fase se calculan como se indica seguidamente:

= = 3 ? 746 ; ?3 = 746 ; = = 380 3 = 220

= = 746 ;220 = 3,4 ; = " = 220 3,4 ; = 64,7 = H = I

= I2 Q = 64,7 2 Q 50 ?G = 0,21 ?: = Z8 = 60 = 60 50 ?G2 = 1500



= 6 = Z8 2 Q60 = 1500 2 Q60 = 157,1 = 3 6 = 3 746 ;157,1 = 14,25 Z

Empleando estos valores base se pueden calcular los parmetros de la mquina

en pu:

HW = 0,435 64,7 = 0,0067 UW = UX = 2 ?:0,21 ?: 1000 ?: ?: = 0,0095

HX = 0,816 64,7 = 0,0126 UN = 69,31 ?:0,21 ?: 1000 ?: ?: = 0,33

? = 12 > 6#3 =12 0,089 F # (157,1 )#3 746 ; = 0,4907

Ejemplo 3

El sistema trifsico cuyo diagrama unifilar se muestra en la parte (a) de la figura

4. En la parte (b) de la misma figura se da el circuito equivalente por fase

correspondiente.

(a)

kV 1321 =U kV 332 =UTL B

MVA 5,1n =S% 4cc =u

km 10=l0 km 107, =R

kmmHy 35,1=LkmF 0085,0 =C

F3

kW 900n =PkV 33n =U

97.0cos =Hz 50=F

(b)

TL

LL

BL

BR

LR

2

LC

2

LC CCF

f2U

Figura 4: Diagrama unifilar y circuito equivalente por fasedel sistema considerado en el ejemplo.



El problema consiste en determinar los parmetros de un modelo fsico de

laboratorio para estudiar el proceso transitorio que tiene lugar en el sistema

cuando se produce un cortocircuito trifsico en el punto indicado con F3.

Tratndose de un sistema trifsico, los parmetros del circuito equivalente por fase

se determinan considerando las potencias trifsicas divididas por tres (Snf = Sn/3

= 0,5 MVA; Pnf = Pn/3 = 300 kW 0,3 MW) y las tensiones divididas por la raz

cuadrada de tres ( 32f2nf UUU == 19 kV). En el sistema de magnitudes

naturales dichos parmetros se calculan como sigue:

Transformador T: Se representa mediante una inductancia LT, tal que:

100

% 100% f2ccccf

f2

ccfcc

UuU

U

Uu

==

kV 760100

kV 19%4ccf ,U =

=

nf

2ccf

T

nf

2ccf

TT 2 2

SF

UL

S

ULFX

===

( )

Hy 0040MVA 50Hz 502

kV 760 2

T ,,

,L =

=

Lnea L: Se representa mediante un circuito equivalente cuyos parmetros RL, LL y CL, segn los datos consignados, son:

=

== 1,07km 10km 1070L ,lRR

Hy 0,0135mHy 13,5km 10km

mHy 351L === ,lLL

F 100,085F 0,085km 10km

F 00850 6-L =

== ,lCC

Carga B: Se representa mediante una resistencia RB en serie con una inductancia LB, de modo que:

( ) ( )

=

=

= 132 1MW 30

970kV 19 2

nf

2

nfB

,

,

P

cosUR

( ) ( )

Hy 90310Hz 502

970 132 1

2B

B ,,arccostg

F

arccostgRL =

=

=



Magnitudes base por fase: Pueden seleccionarse cualesquiera siempre que cumplan la condicin de constituir un conjunto de magnitudes primarias. Para

este caso se pueden escoger, por ejemplo, la potencia nominal por fase del

transformador, su tensin nominal por fase y la frecuencia nominal del

sistema, es decir:

MVA 0,53

1nfnbf === SSS

kV 913

12f2bf === UUU

Hz 50b == FF

De estas magnitudes base fundamentales se deducen las dems:

A3226kV 19

MVAkVA 1000MVA 50

bf

bfbf ,

,

U

SI =

==

=

== 88721 A26,32

kVV 1000kV 19

bf

bfbf ,

I

UZ

Hy 2982Hz 502

88721

2 b

bfbf ,

,

F

ZL =

=

=

F 104094 88721Hz 502

1

2

1 6

bfb

bf=

=

= ,

,ZFC

Clculo de los parmetros del circuito equivalente en p.u.:

p.u. 1kV 91

kV 91

[kV]

[kV] [p.u.]

bf

2f2f ===

U

UU

p.u. 00170Hy 2982

Hy 0040

[Hy]

[Hy] [p.u.]

bf

TT ,

,

,

L

LL ===

p.u. 01930F 104094

F 100850

[F]

[F] [p.u.]

6

6

bf

LL ,

,

,

C

Cc =

==

p.u. 00590Hy 2982

Hy 01350

[Hy]

[Hy] [p.u.]

bf

LL ,

,

,

L

Ll ===

p.u. 00150 88721

071

][

][ [p.u.]

bf

LL ,

,

,

Z

RR =

=

=

p.u. 39290Hy 2982

Hy 90310

[Hy]

[Hy] [p.u.]

bf

BB ,

,

,

L

LL ===



p.u. 56811 88721

132 1

][

][ [p.u.]

bf

BB ,

,Z

RR =

=

=

Para montar un modelo fsico del sistema en el laboratorio resulta razonable, en

primera instancia, adoptar una tensin de ensayo adecuada. Para el ejemplo en

tratamiento se adopta 5V a 50Hz. Con esto, la tensin y la frecuencia bases del

modelo quedan determinadas segn Ubm= 5V y Fbm= 50hz, puesto que estas

magnitudes sern representativas de los 19kV y 50Hz del sistema real o prototipo.

Por otra parte, supngase que se dispone de capacitores de 0,47F, los que se

utilizarn para representar las capacitancias CL/2. Esto implica que 0,47F en el

modelo sern equivalentes a 0,0193/2p.u. en el prototipo. En consecuencia, la

capacitancia base en el modelo puede calcularse como:

F 70474801930

2F 470bm == ,

,,C

Entonces, la impedancia, inductancia y corriente bases del modelo se determinan

segn:

=

=

=

355165F 10704748Hz 502

1

2

16

bmbm

bm ,,CF

Z

Hy 2080Hz 502

355165

2 bm

bmbm ,

,

F

ZL =

=

=

A07650 65,3551

V5

bm

bmbm ,

Z

UI =

==

Y los dems parmetros del modelo, en magnitudes naturales, resultan ser:

mHy ,40Hy 0,0004Hy 2080p.u. 00170p.u. 00170 bmTm === ,,L,L

mHy 1,2Hy 0,0012Hy 2080p.u. 00590p.u. 00590 bmLm === ,,L,L

=== 0,1 0,098 355165p.u. 00150p.u. 00150 bmLm ,,Z,R

mHy 81,7Hy 0,0817Hy 2080p.u. 39290p.u. 39290 bmBm === ,,L,L

=== 5102 ,4833021 355165p.u. 56811p.u. 56811 bmBm ,,,Z,R

Los clculos precedentes indican que el sistema en estudio puede estudiarse en el

laboratorio mediante un

modelo fsico cuyo circuito

equivalente se corresponde

con el expuesto en la figura 5.

Advirtase que ste no es el

nico modelo posible;

efectivamente, los valores de

los parmetros que verifican Figura 5: Circuito equivalente correspondiente a un modelo

fsico del sistema de la figura 3.

Hz 50

V 5

mHy 2,1 1,0

5,102F 47,0 F 47,0

mHy 4,0

mHy 7,81

CC



las condiciones de semejanza se han calculado, en este caso, a partir de tomar las

bases de 5V y 50Hz, adems de considerar capacitores de 0,47F para representar

las capacitancias de la lnea. Evidentemente, si se hubiesen tomado otros valores

de partida los parmetros del modelo seran diferentes.

Una vez montado el modelo, puede estudiarse el proceso transitorio que ocurre

en el sistema real experimentando sobre el mismo.

A modo ilustrativo y tal como se formul el ejemplo propuesto, si se necesita

analizar las variaciones transitorias del voltaje en los bornes de 33kV del

transformador cuando se produce un cortocircuito trifsico en el punto indicado

con F3, ello puede efectuarse en el modelo cerrando la llave CC y registrando la

evolucin de la tensin en el nodo mediante un osciloscopio con memoria o un

sistema de adquisicin de datos. Se obtiene as la onda de tensin um(t) [V]

correspondiente al modelo. Luego se divide cada valor de esa onda por la tensin

base del modelo Ubm, para obtenerla en el sistema de magnitudes p.u. Finalmente,

si se multiplica esta ltima por la tensin base del sistema se arriba al resultado

buscado.

En la parte (a) de la figura 6 se muestra el oscilograma de la tensin en el nodo

del modelo, en tanto que la parte (b) de la misma figura corresponde a la tensin

de fase del nodo homlogo en el sistema real. Ambos oscilogramas se han obtenido

mediante simulacin digital suponiendo que el cortocitrcuito se produce en t =

0,06s.

Figura 6: (a) Evolucin de la tensin en el nodo del modelo.(b) Evolucin de la tensin en el nodo del prototipo. .

(a)

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

]V[

]s[

(b)

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-30

-20

-10

0

10

20

30

]kV[

]s[

Ntese que si los valores de tensin (ordenadas) de ambos grficos se dividen por

los valores base correspondientes ambas curvas resultan coincidentes, tal como

era de esperar ya que ellos se han obtenido simulando sistemas fsicamente

semejantes.



(b) Resultados de una simulacin digital.(a) Representacin digital de la red.

Figura 7: Simulador digital de redes elctricas (NEPLAN ).

En la figura 7 se presenta un simulador digital de redes elctricas (NEPLAN). Si

bien en este tipo de simuladores las redes mediante modelos matemticos se

representan, por razones de comodidad el uso del sistema de magnitudes por

unidad es muy frecuente.

Valores base para voltajes y corrientes instantneas

Cuando se trabaja con valores instantneos (visualizacin en osciloscopios o

graficadores de ondas) usualmente se considera como valores base a los valores

nominales de pico de las ondas sinusoidales. En otras palabras, los valores base

normalmente usados para trabajar con valores instantneos se calculan como los

valores base eficaces multiplicados por 2.

Porqu se usa el sistema de magnitudes por unidad

Las principales razones son:

- Cuando los valores se expresan pu la comparacin entre cantidades con

respecto a sus valores normales es mucho ms sencilla de realizar.

Por ejemplo: un voltaje transitorio que alcanza el valor de 1,42 pu indica a

primera vista que el mismo excede al valor nominal en un 42%.

- Los valores de las impedancias expresados en pu se mantienen

relativamente bastante independientes de las variaciones de potencia y

voltaje.

Por ejemplo: para los transformadores en un rango de potencias nominales

entre 3 kVA y 300 kVA, la reactancia vara aproximadamente entre 0,01 pu

y 0,03 pu, mientras que la resistencia de los arrollamientos puede estar



entre 0,01 pu y 0,05 pu, cualquiera sea la tensin nominal. Para

transformadores entre 300 kVA y 300 MVA la reactancia de dispersin est

comprendida entre 0,03 pu y 0,12 pu, en tanto que la resistencia entre

0,005 pu y 0,002 pu, aproximadamente.

De manera similar, para mquinas sincrnicas de polos salientes la

reactancia sincrnica I[ generalmente est entre 0,60 pu y 1,50 pu, mientras que la reactancia subtransitoria I[\ entre 0,20 pu y 0,50 pu, aproximadamente.

Esto significa que si no se conocen los parmetros de un transormador de

10 kVA, no se cometer mayor error suponiendo valores promedios del

orden de 0,02 pu para la reactancia de dispersin y 0,0075 pu para la

resistencia de los arrollamientos.

Usando magnitudes pu los clculos se simplifican bastante. En un sistema de

potencia compuesto por varias subredes de niveles de tensin diferentes, si todas

las impedancias se expresan en relacin con una misma potencia base y referidas

a los voltajes nominales de las distintas subredes, la impedancia serie total en pu

vista desde una barra se obtiene por simple adicin de las impedancias serie

parciales en pu, sin tener que tomar en cuenta las relaciones de transformacin.

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teoria 3 modelacion

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