teoremas de interpolación

Transparencias de clase

A.H.Encinas & Araceli Queiruga Dios 1

Departamento de Matemtica Aplicada Clculo Numrico

Introduccin

Errores

Aproximacin de races

Interpolacin

Resolucin Numrica de EDOs

Resolucin

Teorema de Bolzano. Si f es una funcin continua en [a,b] y

tal que sign(f(a)) sign(f(b)), entonces existe al menos un

punto c (a,b) tal que f(c)=0


Introduccin

Errores


Interpolacin


Separacin de races

Teorema de Rolle. Si f C([a,b]) y es tal que f(a)=f(b),

entonces existe al menos un punto c (a,b) tal que f (c)=0.


Introduccin

Errores


Interpolacin


Teorema separacin de races. Si f C([a,b]) es tal que

sign(f (a))sign(f (b)) y f posee signo constante en (a,b),

entonces f(x) = 0 posee una nica raiz c (a,b).

Separacin de races


Introduccin

Errores


Interpolacin


Teorema. Si f C([a,b]) es tal que sign(f (a))sign(f (b)) y f

slo se anula en n puntos del intervalo (a,b), entonces f

tendr a lo sumo n+1 races.

Separacin de races


Introduccin

Errores


Interpolacin


Teorema. Si f C([a,b]) y es tal que f tiene signo constante

en [a,b], entonces f tiene, a lo sumo, dos races reales en [a,b].

Separacin de races


Introduccin

Errores


Interpolacin


Clculo de las races

- Mtodo de la Biseccin.

- Mtodo de Newton-Raphson.

- Mtodo del Punto Fijo

Una vez aisladas las races de f(x) = 0 aplicaremos uno

de los siguientes mtodos para calcularlas




Introduccin

Errores


Interpolacin


Clculo de las races

Biseccin


Introduccin

Errores


Interpolacin


Clculo de las races

Biseccin

1. Se calcula el punto medio del intervalo [a,b]: c=((a+b)/2)

Se estudia el valor de dicho punto medio

- Si f (c)=0 entonces hemos acabado.

- Si f (c)0 elegimos de entre [a,c] y [c,b] el intervalo en el

que se satisfaga el Teorema de Bolzano y lo denotamos

por [a1,b1].

2. Se calcula el punto medio del intervalo [a1,b1]:

c1=((a1+b1)/2).Se estudia el valor de dicho punto medio:

- Si f (c1)=0 entonces hemos acabado.

- Si f (c1)0 elegimos de entre [a1,c1] y [c1,b1] el intervalo

en el que se satisfaga el Teorema de Bolzano y lo

denotamos por [a2,b2].


Introduccin

Errores


Interpolacin


Clculo de las races

Biseccin

3. Se calcula el punto medio del intervalo [a1,b1]:

c2=((a2+b2)/2).Se estudia el valor de dicho punto medio:

- Si f (c2)=0 entonces hemos acabado.

- Si f (c2)0 elegimos de entre [a2,c2] y [c2,b2] el intervalo

en el que se satisfaga el Teorema de Bolzano y lo

denotamos por [a3,b3].

4

Obtenemos as una sucesin de intervalos que contienen la

raz y cuya longitud tiende a cero.

2n n n

b ab a

= 12 2

n n

n n

b a b ac

+


Introduccin

Errores


Interpolacin


Clculo de las races

Biseccin

Si queremos que el error cometido en el clculo de la raz

sea inferior entonces el nmero mnimo de iteraciones n

que hemos de hacer del anterior algoritmo debe satisfacer

la siguiente desigualdad:1

error2nb a

+

< 0, la sucesin definida por:

converge a un punto c [a,b] tal que f (c)=0.

11

1

( )

'( )

nn n

n

f xx x

f x

=


Introduccin

Errores


Interpolacin


Clculo de las races

Newton-Raphson o Tangente




Introduccin

Errores


Interpolacin


Clculo de las races


Adems, en estas condiciones, existen dos constantes m y M

tales que x [a,b], se verifica:

m | f (x)| y M | f (x) |

de tal forma que sendas cotas del error cometido al considerar a

xn como solucin de la ecuacin f (x)=0 son, respectivamente

2

1( )

2n n

Mx x

m

( )n

f x

m


Introduccin

Errores


Interpolacin


Clculo de las races


1. Se demuestra que el signo de f (x) es constante en [a,b].

2. Se busca un x0 [a,b] tal que f(x0) f (x0)>0.

3. Se calcula la constante m tal que m |f (x)| para todo x[a,b].

4. Se van calculando los trminos xn dados por

mientras que no se satisfaga la cota del error definida en

11

1

( )

'( )

nn n

n

f xx x

f x

=

( )nf x

m


Introduccin

Errores


Interpolacin


Clculo de las races


Rapidez en la convergencia del mtodo de Newton-Raphson.

Teorema: Sea f continua y sea un cero simple de f.

Existe un entorno de y una constante C tales que si se

inicia el mtodo de Newton-Raphson en dicho entorno, la

sucesin xn es convergente a y:

|xn+1 - | C |xn - |

Teorema: Si f es de clase C, creciente, convexa y tiene un

cero, entonces el cero es nico y el mtodo de Newton-

Raphson es convergente a partir de cualquier punto inicial.

2

1

''( )

2 '( )

nn n

n

fe e

f x

+ =

2

nCe1ne +


Introduccin

Errores


Interpolacin


Clculo de las races


Resumiendo el mtodo de Newton-Raphson:

No siempre converge a un cero de f y acaso lo haga pero

no al cero que buscbamos. Su xito est slo garantizado

partiendo de una aproximacin inicial cercana al cero

buscado.

Cuando converge, lo hace mucho ms rpidamente que el

mtodo de la biseccin (convergencia cuadrtica).

Requiere que la funcin f sea de clase C2.

Requiere valores de la derivada.


Introduccin

Errores


Interpolacin


Clculo de las races

Mtodo del Punto Fijo

Sea f(x)=0 una ecuacin tal que posee una nica raiz

[a,b]. Este mtodo se basa en encontrar una funcin

y=F(x) tal que, entre otras condiciones de carcter tcnico,

verifique que: f() = 0 F() =

El mtodo del punto fijo


Introduccin

Errores


Interpolacin


Clculo de las races


Definicin: Se dice que x0 es un punto fijo de la funcin

y=F(x) si F(x0)=x0.

Definicin: Una iteracin funcional es el algoritmo

definido por la expresin xn+1 = F(xn) para una cierta

funcin F(xn)

Definicin: Una aplicacin F: [a, b] R se llama contractiva

si existe un kR con 0




Introduccin

Errores


Interpolacin


Clculo de las races


Lema de la contraccin

Si (X, || ||) es un espacio de Banach con la norma eucldea y

F es una funcin continua contractiva de X en X, existe un

nico punto fijo de F.

Qu relacin existe entre continuidad y contractividad?

Proposicin. Si F es una funcin derivable en (a,b) y existe

k R, con 0

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