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Teoremas de Cobertura

Ulises Martinez Araiza

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www.ulisesmartinez.com


2 Ulises Martinez Araiza

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Contenido Contenido ............................................................................................................................... 2

1. El teorema de P-Cobertura ................................................................................................. 3

2. Resultados derivados del teorema de P-cobertura .............................................................. 5

3. El teorema de T-Cobertura ................................................................................................. 6

4. Resultados derivados del teorema de T-cobertura .............................................................. 9

7. Referencias ....................................................................................................................... 10



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1. El teorema de P-Cobertura

Definición 4.1 P-Componentes

Sea 𝑁′ una subred de la red 𝑁 generada por un conjunto no vacío 𝑋 de nodos. 𝑁′ es

una P-componente de 𝑁 si:

∙ 𝑝 ∪ 𝑝 ∙⊆ 𝑋 para todo lugar 𝑝 de 𝑋, y

𝑁′ es una P-red fuertemente conexa.

Ilustración 1: Una red Free-Choice bien formada y su descomposición en P-componentes1

Obsérvese que, por la primera condición de la definición 4.1, una P-componente está

determinada por su conjunto de lugares, es decir, dos P-componentes diferentes tienen

diferentes conjuntos de lugares.

Proposición 4.2 Propiedades elementales de los P-componentes

Sea 𝑁1 = (𝑃1, 𝑇1, 𝐹1) una P-componente de la red 𝑁.

Por cada 𝑡 ∈ 𝑇1, |∙ 𝑡 ∩ 𝑃1| = 1 = |𝑡 ∙∩ 𝑃1|. Si 𝑀 y 𝑀′ son marcados de 𝑁 tal que 𝑀′ ∈ [𝑀⟩, entonces 𝑀′(𝑃1) = 𝑀(𝑃1). 𝑃1 es un sifón mínimo y una trampa mínima de 𝑁.

1 Ilustración tomada de [1].



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Definición 4.3 P-cobertura, redes cubiertas por P-componentes

Sea 𝐶 un conjunto de P-componentes de una red. 𝐶 es una P-cobertura si cada lugar de

la red pertenece a una P-componente de 𝐶. Una red está cubierta por P-componentes si

esta tiene una P-cobertura.

El nombre de P-cobertura es particularmente adecuado para redes en las cuales cada

transición tiene algunos lugares de entradas y algunos lugares de salida (note que una red

subyacente a un sistema siempre satisface esta condición). En este caso, por definición de

una P-componente, no solo cada lugar, sino también cada transición y cada arco de una red

cubierta por P-componentes pertenece a un elemento de una P-cobertura.

El resultado principal a probar es el teorema de P-cobertura.

Proposición 4.4 Propiedades de los sifones mínimos en redes Free-Choice bien formadas

Sea 𝑅 un sifón mínimo de una red Free-Choice bien formada, entonces:

𝑅 es una trampa.

La sub-red generada por 𝑅 ∪∙ 𝑅 es una P-componente.

Lema 4.5

Cada lugar de una red Free-Choice bien formada está contenido en un sifón mínimo.

Teorema 4.6 Teorema de S-cobertura

Redes Free-Choice bien formadas están cubiertas por P-componentes.



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2. Resultados derivados del teorema de P-

cobertura

Proposición 4.7 P-componentes inducen P-invariantes mínimos

Sea 𝑁1 = (𝑃1, 𝑇1, 𝐹1) un P-componente de una red 𝑁 . Entonces 𝜒[𝑃1] es un P-

invariante mínimo de 𝑁.

Teorema 4.8 Consecuencias del teorema de P-cobertura

Sea 𝑁 una red Free-Choice bien formada:

𝑁 tiene un P-invariante positivo.

Cualquier sistema (𝑁,𝑀) es acotado.

Un sistema (𝑁,𝑀) es vivo si y solo si cada P-componente de 𝑁 está marcada

en 𝑀.

Ninguna de estas tres partes del teorema se mantiene si 𝑁 es bien formada, pero no

es una red Free-Choice.

Teorema 4.9 Cotas de lugares en sistemas Free-Choice vivos y acotados

Sea 𝑝 un lugar de un sistema Free-Choice vivo y acotado (𝑁,𝑀0). La cota de 𝑝 es igual

a:

min{𝑀0(𝑃1)|(𝑃1, 𝑇1, 𝐹1)𝑒𝑠𝑢𝑛𝑃 − 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒𝑑𝑒𝑁𝑐𝑜𝑛𝑡𝑒𝑛𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜𝑝}

Teorema 4.10 Redes Free-Choice bien formadas tienen marcados vivos 1-acotados

Sea 𝑁 una red Free-Choice bien formada. Existe un marcado 𝑀0 de 𝑁 tal que (𝑁,𝑀0) es un sistema vivo y 1-acotado.



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3. El teorema de T-Cobertura

Se introducirán las definiciones de T-componente y T-cobertura. Estas son obtenidas

desde las definiciones de P-componentes y P-coberturas, intercambiando lugares por

transiciones.

Ilustración 2: Un sistema Free-Choice vivo y acotado y su descomposición en T-componentes2

Definición 4.11 T-componentes

Sea 𝑁′ una sub-red de la red 𝑁 generada por un conjunto no vacio de 𝑋 nodos. 𝑁′ es

una T-componente de 𝑁 si:

∙ 𝑡 ∪ 𝑡 ∙⊆ 𝑋 por cada transición 𝑡 de 𝑋, y

𝑁′ es una T-red fuertemente conexa.

Proposición 4.12 Propiedades elementales de los T-componentes

Sea 𝑁1 = (𝑃1, 𝑇1, 𝐹1) una T-componente de la red 𝑁:

Por cada lugar 𝑝 de 𝑁1, |∙ 𝑝 ∩ 𝑇1| = 1 = |𝑝 ∙∩ 𝑇1|. Sea 𝑀0 un marcado de 𝑁 , y sea 𝜎 una secuencia de transiciones de 𝑇1 .

Entonces, 𝑀0𝜎→𝑀 de 𝑁 si y solo si 𝑀0|𝑃1

𝜎→𝑀|𝑃1 en 𝑁1.

Sin pérdida de generalidad, la segunda parte de esta proposición establece que el

comportamiento de una T-componente no es restrictiva con el resto del sistema.




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Definición 4.13 T-coberturas, redes cubiertas por T-componentes

Sea 𝐶 un conjunto de T-componentes de una red. 𝐶 es una T-cobertura si cada

transición de la red pertenece a una T-componente de 𝐶. Una red está cubierta por T-

componentes si tiene una T-cobertura.

De forma similar a las P-coberturas, si cada lugar de una red cubierta por T-

componentes tiene algunas transiciones de entradas o algunas transiciones de salida, entonces

no solo cada transición, sino cada lugar y cada arco pertenecen a una T-componente de una

T-cobertura. El resultado principal a demostrar es el teorema de T-cobertura.

Proposición 4.14 T-componentes inducen T-invariantes mínimos

Sea 𝑁1 = (𝑃1, 𝑇1, 𝐹1) una T-componente de una red N. Entonces 𝜒(𝑇1) es un T-

invariante mínimo de 𝑁.

De forma opuesta, dado un T-invariante mínimo 𝐽, la sub-red generada por ∙ ⟨𝐽⟩ ∪⟨𝐽⟩ ∪ ⟨𝐽⟩ ∙ es un T-componente. Para probar este resultado, se introducirán las asignaciones

cíclicas.

Definición 4.15 Asignaciones cíclicas

Una asignación 𝛼 es cíclica si, por cada clúster 𝑐 de su dominio 𝐶, el conjunto 𝛼(𝑐) ∙

contiene lugares de 𝐶 únicamente.

El nombre de asignación cíclica es por el hecho de que cada camino infinito que

contiene únicamente lugares y transiciones asignadas incluye un circuito.

3

Ilustración 3: Lema de asignación cíclica




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Lema 4.16 Lema de asignación cíclica

Sea (𝑁,𝑀0) un sistema Free-Choice vivo y acotado. Sea 𝛼 una asignación cíclica de

𝑁 con un dominio no vacio 𝐶. Existe una secuencia de ocurrencias 𝑀0𝜏𝜎→ tal que:

𝜏 es finita y no contiene transiciones de 𝐶, y

𝜎 es infinita y contiene únicamente transiciones 𝛼-asignadas.

Teorema 4.17 T-invariantes mínimos inducen T-componentes

Sea 𝑁 una red Free-Choice bien formada y sea 𝐽 un T-invariante mínimo de 𝑁. La

subred generada por ∙ ⟨𝐽⟩ ∪ ⟨𝐽⟩ ∪ ⟨𝐽⟩ ∙ es una T-componente de 𝑁.

Teorema 4.18 Teorema de T-cobertura

Redes Free-Choice bien formadas están cubiertas por T-componentes.



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4. Resultados derivados del teorema de T-

cobertura

Las transiciones de un modelo pueden ser divididas en transiciones observables y

transiciones internas. Las transiciones observables modelan acciones que pueden ser

percibidas fueras del sistema, mientras que las transiciones internas modelan acciones que

no tienen un efecto visible.

Un sistema es divergente para una división en especifica de sus transiciones en

observables e internas si algún marcado alcanzable habilita una ocurrencia infinita de

transiciones internas. Un sistema divergente no está bien diseñado, debido a que puede

acoplarse en un comportamiento inútil infinito. Usando el teorema 4.17, caracterizaremos la

división para la cual un sistema Free-Choice vivo y acotado es divergente.

Definición 4.19 Activación de una T-componente

Sea 𝑁1 = (𝑃1, 𝑇1, 𝐹1) una T-componente de una red 𝑁. Un marcado 𝑀 de 𝑁 activa 𝑁1

si el sistema (𝑁1, 𝑀|𝑃1) es vivo.

No todo marcado alcanzable activa un T-componente dado. De hecho, existen algunas

redes Free-Choice vivas ya acotadas en las cuales ningún T-componente es del todo activado.

Teorema 4.20 Las T-componentes pueden ser activadas

Sea 𝑁1 una T-componente de un sistema Free-Choice vivo y acotado (𝑁,𝑀0) .

Entonces existe una secuencia de ocurrencias 𝑀0𝜏→𝑀 tal que 𝑀 active 𝑁1 y ninguna

transición de 𝑁1 ocurra en 𝜏.

Teorema 4.21 Una caracterización de divergencia

Sea (𝑁,𝑀0) un sistema Free-Choice vivo y acotado y sea 𝑇𝐼 , 𝑇𝑂 una partición de las

transiciones de 𝑁 en transiciones internas y observables respectivamente. (𝑁,𝑀0) es

divergente para esta partición si y solo si existe un T-componente (𝑃1, 𝑇1, 𝐹1) de 𝑁 tal

que 𝑇1 ⊆ 𝑇𝐼.



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7. Referencias [1] Jörg Desel and Javier Esparza. 1995. Free Choice Petri Nets. Cambridge University

Press, New York, NY, USA.

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