teorema del transporte de reynolds
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Sistema material y Volumen de control
Sistema material:
Una cantidad específica e identificable de la materia, de masa fija,y que se ha
seleccionado para su estudio.La superficie que separa el sistema de su entorno se
conoce como los límites del sistema. Se caracteriza por no permitir el flujo de masa a
través de ella ( impermeable).
Volumen deControl:
Una cantidad específica e identificable del espacio a través de la cual puede salir o
entrar los sistemas materiales, y que se ha seleccionado para su estudio.La superficie
que separa el VC de su entorno se conoce como superficie de control y a diferencia de
los límites de un sistema permite el flujo de masa a través de ella (permeable).
s.m
V.C
S.M
Propiedades intensivas y extensivas
Propiedades intensivas:
su valor no depende de la masa del sistema material:Temperatura, Presión, Viscosidad,
valores específicos de las propiedades extensivas.
Las propiedades intensivas no se transportan (en forma acumulativa) con la masa.
El valor de la propiedad intensiva de un sistema material no es la suma de los valores
de la propiedad en los subsistemas que conforman el sistema.
����.� � � �����.�
En un punto del dominio del flujo las propiedades intensivas poseen un valor finito no
nulo (Ejemplos gráficos)
lim������ �� � ��
La variación en el tiempo de las propiedades intensivas, en un punto del flujo, se
cuantifica con la ecuación puente de los enfoques de Lagrange y Euler:
����� � ����� � ����. �������
20 °c
20 °c
Propiedades extensivas:
su valor depende de la masa del sistema material:Masa, volumen, energía, cantidad de
movimiento, entropía.
Las propiedades extensivas se transportan (en forma acumulativa) con la masa
El valor de la propiedad extensiva de un sistema material es la suma de los valores de
la propiedad en los subsistemas que conforman el sistema.
����.� � � �����.�
����.� � � ���.�
Se define el valor específico de la propiedad extensiva como su valor por unidad de
masa: !� � �� "
Por consiguiente:
����.� � � !��.�� "
Δm
m + Δm
ΔV
V + ΔV
����.� � � !��.�� # � $%
Tabla de algunas propiedades extensivas y sus valores específicos.
Propiedad: Xe Valor específico: xe
Masa : M 1
Volumen: % v Energía : E, U,H e, u, h
Entropía: S s
Cantidad de movimiento: " � ��� *�� + " � ���
��� *�� + ���
En un punto del dominio del flujo las propiedades extensivas poseen un valor nulo
lim������ �� � 0
Las leyes de la física en su forma más simple describen el comportamiento de
propiedades extensivas de los sistemas materiales (enfoque de lagrange).
1. Ley de conservación de masa
�"�� ��.� � 0
2. Ley de conservación de energía
�-. � /0�� ��.� � 12 3 42 3. Ley de conservación de cantidad de Movimiento Lineal
��" � ������ ��.� � � 5��67
4. Ley de conservación de cantidad de Movimiento angular
��*�� + " � ������ ��.� � � "����67
5. La segunda ley de la termodinámica
�8�� ��.� 9 : 12;<=>?���.�
Teorema del transporte de Reynolds
Las leyes de la física (leyes de conservación de masa, energía, cantidad de Movimiento
y la segunda ley de la termodinámica), en su forma original más sencilla, describe el
comportamiento de propiedades extensivas al interior de sistemas materiales
(enfoque de Lagrange).
En un alto porcentaje de problemas relacionados con el movimiento de los fluidos a
través de dispositivos como bombas, turbinas, calderas,…, es imposible modelar el
fenómeno manejando sistemas materiales y se requiere aplicar el concepto de
volumen de control.(Enfoque de Euler). Se necesita una herramienta para cerrar la
brecha conceptual entre los dos enfoques. Dicha herramienta se conoce como el
Teorema del Transporte de Reynolds (TTR).
El TTR se usa para que las ecuaciones de leyes físicas aplicables a sistemas materiales
sean aplicables a volúmenes de control. Esto permite resolver muchos
problemas prácticos de fluidos.
El punto de partida para obtener una expresión del TTR es considerar que los
sistemas móviles transportan propiedades extensivas a través de las superficies del
volumen de control.
La variación en el tiempo de las propiedades extensivas en un volumen de control, se
cuantifica con la ecuación del TTR:
����� ��.� � ��� @ � !��.�� # � $%A
����� ��.� � � ��� -!� � # � $%0�.�
����� ��.� � �< ��� -!� � #0�.�
� $� � !� � # � ��� -$%0 >
Aplicando:
��� -!� � #0 � ��� -!� � #0 � ����. �����-!� � #0
��� -$%0 � �����. ���� � $%
Se tiene:
����� ��.� � �< �.�
��� -!� � #0 � ����. �����-!� � #0 � !� � # � �����. ���� >$%
����� ��.� � �< �.�
��� -!� � #0 � �����!� � # � ���� >$%
����� ��.� � ��� �-!� � #0$%�B
� � �����!� � # � �����.�
$%
Aplicando el teorema de la divergencia de GAUSS a la segunda integral
� �����!� � # � �����.�
$% � : !� � # � ���� · $D��EB
Se obtiene la ecuación del teorema del transporte de Reynolds:
����� ��.� � ��� �-!� � #0$%�B
� : !� � # � ���� · $D��EB
Interpretación Grafica del TTR
Volumen de control: Un tramo de tubería de área variable (Difusor divergente)
En un instante inicial el volumende control fijo está ocupado completamente por un
sistema material:
Y por consiguiente:
��-�0|�� � ��-�0|�B
Un instante después el valor de la propiedad extensiva valorada en el sistema se
diferencia del valor que de esta propiedad posee el volumen de control. Para igualar
dichos valores se debe sumar a la cantidad de propiedad extensiva que posee el VC el
valor de dicha propiedad en la zona de salida II, y restar el valor de dicha propiedad
en la zona de entrada I:
��-� � $�0|�� � ��-� � $�0|�B � ��|GG 3 ��|G
I II
Diferenciando con respecto al tiempo
����� ��.� � ��� �-!� � #0$%�B
� : �2�EB
Donde �2�evalúa el flujo de la propiedad extensiva a través de un diferencial de la
superficie de control
�2� � ��$� � !� � # � %$� � !� � # � ���� · $D��
Se obtiene así la expresión para el TTR
����� ��.� � ��� �-!� � #0$%�B
� : !� � # � ���� · $D��EB
El producto ��� · $D� presenta valores positivos para las salidas del VC y negativos para
las entradas.
SC dA δVol
HI
��� θ
HI HI
���
���
V.C
S.C
El TTR es un método de contabilidad para llevar un registro de las propiedades
extensivas que se transportan dentro y fuera del volumen de control, para lo cual se
debe saber que está ocurriendo en la superficie de control. No es necesario saber ( y
el TTR no informa) los detalles del flujo dentro del volumen de control.
Por lo general las salidas y entradas son las secciones de las tuberías por las que llega y
salen al dispositivo considerado como VC:
: !� � # � ���� · $D��EB
� �-J2 !�0�K?�LK� 3 �-J2 !�0�M7NKLK�
����� ��.� � ����� ��B � �-J2 !�0�K?�LK� 3 �-J2 !�0�M7NKLK�
Al evaluar procesos de estado estable y flujo estable en el VC:
����� ��B � 0
����� ��.� � �-J2 !�0�K?�LK� 3 �-J2 !�0�M7NKLK�