Teorema de Teorema de ThalesThales

Profesor: Reynaldo Flores Troncos

Teorema de ThalesTeorema de ThalesNació : alrededor del año 640 AC en Mileto, Asia Menor (ahora Turquía)

Thales era considerado uno de los siete sabios de Grecia

Thales era un hombre que se destacó en varia áreas : comerciante, hábil en ingeniería, astrónomo, geómetra

Una anécdota contada por PlatónUna anécdota contada por Platón

• una noche Thales estaba observando el cielo y tropezó. Un sirviente lo Levantó y Le dijo: cómo pretendes entender lo que pasa en el cielo, si no puedes ver lo que está a tus pies.

Sobresale especialmente por:

Que en sus teoremas geométricos aparecen los inicios del concepto de demostración y se podría decir que son el punto de partida en el proceso de organización racional de las matemática.

Cuenta la historia que comparando la sombra de un bastón y la sombra de las pirámides, Thales midió, por semejanza, sus alturas respectivas. La proporcionalidad entre los segmentos que las rectas paralelas determinan en otras rectas dio lugar a lo que hoy se conoce como el teorema de Thales.

Rayos solares

Pirámide

S (sombra)

H(altura de la pirámide)

s (sombra)

h (altura de bastón)

Puesto que los rayos del Sol inciden paralelamente sobre la Tierra

los triángulos rectángulos determinados por la altura de la pirámide y su sombra

Podemos, por tanto, establecer la proporción

HS

= hs

De dondeH= h•S

s

y el determinado por la altura del bastón y la suya son semejantes

AhoraAhora

El famoso teorema

T S

""Si tres o más rectas paralelas son intersecadas por dos Si tres o más rectas paralelas son intersecadas por dos transversales, los segmentos de las transversales transversales, los segmentos de las transversales determinados por las paralelas, son proporcionalesdeterminados por las paralelas, son proporcionales

En el dibujo: Si L1 // L2 // L3

L1

L2

L3

, T y S transversales, los segmentos a, b, c y d son proporcionales

Es decir:

aa

bb =

cc

dd

¿DE ACUERDO?

L1

L2

L3

T

S

8

24

x15

Un ejemplo:Un ejemplo:

En la figura LEn la figura L1 1 // L// L2 2 // L// L3 , 3 , T y S transversales, calcula la T y S transversales, calcula la

medida delmedida del

trazo x trazo x

Ordenamos los datos en la proporción, de acuerdo al teorema de Thales

Es decir: 824 =

X15

Y resolvemos la proporción

24 • x = 8 • 15

X = 8 • 15 24

X = 5

Fácil

Otro ejemplo: Otro ejemplo: en la figura Len la figura L1 1 // L// L22 // L // L3 , 3 , T y S son transversales, calcula x y T y S son transversales, calcula x y

el trazo CDel trazo CD

Formamos la proporción32

= x+4x+1

Resolvemos la proporción3(x + 1) = 2(x + 4)

3x + 3 = 2x + 8

3x - 2x= 8 - 3

X = 5

L1

L2

L3

T

S

x+4

x+1

3 2

C

D

Luego, como CD = x + 4

CD = 5 + 4 = 9

Y nuevamente pensando en la Y nuevamente pensando en la

pirámide…..pirámide…..

TRIÁNGULOS DE  THALES

Dos triángulos se dicen de Thales o que están en posición de Thales, cuando: Tienen un ángulo común y los lados opuestos a dicho ángulo son paralelos.  

S (sombra)

H(altura de la pirámide)

s (sombra)

h (altura de bastón)

Podemos ver esto si trasladamos el triángulo formado por el bastón, su sombra y los rayos solares hacia el formado por la pirámide

Triángulos de Triángulos de ThalesThales

En dos triángulos de Thales, sus lados, tienen la misma razón  de semejanza 

B C

A

DE

De acuerdo a esto, en la figura BC// ED, entonces, con los lados de los triángulos AED y ABC ocurre:

AEAB

=ED

O también

AEED

= AB

BC

BCA esta forma de

tomar los trazos, se le llama “la doble L”

Aplicaciones de esta ideaAplicaciones de esta idea

Calcula la altura del siguiente edificio

x

5

3 12

Escribimos la proporción

35

= 15x

Y resolvemos la proporción

3 • x = 5 • 15

x = 75 3

X = 25

Por que 3+12=15

Otro ejercicioOtro ejercicio

En el triángulo ABC, DE//BC , calcule x y el trazo AE

AB

C

x+3 x

8

12D

E

Formamos la proporción

8 X+3

= 122x+3

Resolvemos la proporción

Por que x+3+x = 2x+3

8(2x + 3) = 12( x + 3)

16x + 24 = 12x + 3616x – 12x = 36 – 24

4x = 12

Por lo tanto, si AE = x + 3 = 3 + 3 = 6

En esta actividad, aprenderás a verificar el teorema general de Thales, que se refiere a los segmentos proporcionales de rectas secantes que se cortan por tres o más rectas paralelas, usando el programa CarMetal. Para acceder al programa ingresa a:www.geometriadinamica.cl/carmetal/ y haz clic en el botón Abre CarMetal

USO DE HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS

• Una vez instalado el programa, con el botón Semirrecta, marca dos puntos, y la semirrecta quedará determinada. Luego, construye otra cuyo origen sea el mismo de la primera semirrecta.

• A continuación, marca los dos puntos que están uno en cada semirrecta, y con el botón Recta construye la recta que pasa por A y B. Luego, con el botón Recta paralela, marca la recta recién construida, y un nuevo punto en cada semirrecta, para obtener tres paralelas.

• Marca los puntos restantes que corresponden a la intersección de paralelas con las semirrectas secantes. Deberías tener 7 puntos marcados.

• Para comprobar las relaciones del teorema de Thales, selecciona Segmento y luego Medida de segmentos. Entonces marca la medida de los segmentos correspondientes en la figura. Puedes tomar, por ejemplo, las medidas que se dan en la imagen de abajo.

Ejercicios

1.Con ayuda de una calculadora, comprueba que la razón entre las medidas correspondientes es la misma para ambas semirrectas.

2.Comprueba las otras relaciones del teorema de Thales, obteniendo las medidas restantes y calculando las relaciones entre medidas de segmentos correspondientes.

FIN