teorema de stokes y metodos de parametrización

7/21/2019 Teorema de Stokes y Metodos de Parametrización

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TEOREMA DE STOKES

Para el mejor entendimiento del Teorema de Stokes, debemos analizarprimero un teorema en el que Stokes se basó para defnir el suyo, el Teorema de Green.

Teorema de Green

Sea C una curva suave por partes, cerrada simple que encierra una

región R en el plano. Sea F = M i ! j un campo vectorial donde M y

N tienen primeras derivadas parciales continuas en una región abiertaque contiene a R. "ntonces la circulación en contra de las manecillasdel reloj de F alrededor de C es la doble integral de #rot F$ % k sobrela región R.

∮C

❑

F ∗T ∗ds=∮C

❑

M ∗dx+ N ∗dy=∬ R

❑

(∂ N

∂ x −

∂ M

∂ y )∗dx∗dy

Teorema de Stokes

"l teorema de Stokes generaliza el teorema de Green para tresdimensiones. &a 'orma rotacional de la circulación del teorema deGreen relaciona la circulación, en el sentido contrario al de lasmanecillas de un reloj, de un campo vectorial alrededor de una curvacerrada simple C en el plano xy con una integral doble sobre la región

plana R encerrada por C. "l teorema de Stokes relaciona la circulaciónde un campo vectorial alrededor de la 'rontera C de una superfcieorientada S en el espacio con una integral de superfcie sobre lasuperfcie S. "s necesario que la superfcie sea suave por partes, locual signifca que se trata de una unión fnita de superfcies suavesunidas a lo largo de curvas suaves.

Sea S una superfcie orientada suave por partes que tiene como

'rontera una curva suave por partes C. Sea F = M i+ N j+ P k un

campo vectorial cuyos componentes tienen primeras derivadas

parciales continuas sobre una región abierta que contiene aS. (s), lacirculación de F alrededor de C en la dirección contraria a las

manecillas del reloj con respecto al vector unitario n normal a la

superfcie es igual a la integral de (∇× F ∗n∗ds) en

S.

∮C

F ∗dr=∬S

∇× N ∗ds=∬S

rot ( F )∗ N ∗ds



Teorema de Stokes Comparaciónentre Green y Stokes

Nota

"l valor de la integral de superfcie est* determinado e+clusivamentepor la integral alrededor de su 'rontera C. "sto b*sicamente signifcaque la 'orma de la superfcie S es irrelevante. Suponiendo que las

ipótesis del teorema de Stokes se satis'acen, entonces para dossuperfcies di'erentes S- y S con la misma orientación y con lamisma 'rontera C, tenemos

∮C

❑

F ∗dr=∬S1

❑

rot ( F )∗ N ∗ds=∬S2

❑

rot ( F )∗ N ∗ds



PARAMETRIZACIN DE C!R"AS

Sea / una curva en el espacio o en el plano. 0na parametrizaciónde / es una 'unción

γ : [a , b ] → Rn

por n1 o 2 #en el plano o en el espacio$, de 'orma que paratodo t del intervalo 3a,b4, le asigna un punto del plano #y sólo unpunto$ o del espacio. "sta 5 debe ser una 'unción continua y

derivable.

Pueden e+istir miles de 'ormas de parametrizar una curva dada, espor esto que no podemos defnir m6todos puntuales de comoparametrizar cada curva o 'unción. ( continuacion se presentanejemplos de parametrización de curvas, los cuales nos serviran paraguiarnos en el caso que nos toque analizar7

Ejemp#o $0na parametrización de un c)rculo de radio -7

γ : [0 ,2π ] → R n

θ →(cosθ, senθ)

pues para cada punto #+,y$ del c)rculo, e+iste alg8n 9 , talque 5#9$1#+,y$.

Ejemp#o %0na parametrización de una elipse de semiejes a y b

γ : [0,2 π ] → R2

θ →(a∗cosθ,b∗senθ)

Ejemp#o &0na parametrización de par*bola7

γ : [0,5 ] → R2

θ →(t , t 2)



Ejemp#o '0na parametrización del segmento que une el punto del plano #,2$con el #:-,-1 es7

γ : [0,1 ] → R

t →[ t ∗23+(1−t )∗(−11 )]

Ejemp#o (

&a parametrización de una espiral

γ : [0 ,5 ] → R3

t →(cost , sent ,t )

Ejemp#o )Parametrización de un c)rculo de radio -, puesto en el plano pero auna altura de z12

γ : [0,2 π ] → R3

θ →(cosθ , senθ,3)

;ada una curva / del plano o del espacio, para obtener suparametrización 5 se puede proceder de varias 'ormas. (lgunasveces, usaremos una de las coordenadas como variable de laparametrización, como en el ejemplo 2. Si tenemos una gr*fca de

una 'unción, 6sta misma ya nos servir* como parametrización. "sdecir7

Sea '#+$ una 'unción continua y derivable, entonces 5#+$1#+,'#+$$ es

una parametrización de su gr*fca.

Pero esto no sirve, por ejemplo, con un c)rculo #ejemplo -$, pues el

c)rculo tiene, para cada +, dos valores distintos de y. /omo muco

podemos parametrizar la mitad superior del c)rculo.

<tra 'orma de obtener parametrizaciones de curvas, es tomandodistintos sistemas de coordenadas, como por ejemplo las



coordenadas es'6ricas #radio y *ngulos$, o cil)ndricas #radio, altura y

*ngulo$.

Ejemp#o *Parametrización de una es'era de radio r

S : x2+ y

2+ z2=r

2

=ecordando la defnicion de las coordenadas es'6ricas, un punto #+,y,z$ > S si y solo si

#+, y,z$ 1 #r cos ? sen 9,rsen ? sen 9,r cos 9$ donde 0∝2 π y

0θ π

γ : [0,2 π ] ×[0,π ]→ R3

γ ( ! , θ )=(r∗cos! ∗senθ , r∗sen! ∗senθ,r∗cosθ)



Ejemp#o +

Parametrización de un paraboloide circular

S : z= x2+ y

2

" ( x , y )= x2+ y

2

γ : R × R → R3

γ ( x , y )=( x , y , x2+ y

2)

@ibliogra')a Tomas, Geoge @. Cálculo, varias variables. A6+ico7 Pearson "ducación,

B-B.

/alvo, Aar)a del /armen. Universidad de uenos !ires. C de Dunio de B-E.Fttp7HHH.dm.uba.armateriascomplementosIanalisisIAaeBBCparametrizaciones.pd'J.

&arson, =on. Cálculo " de varias variables. A6+ico ;K7 AcGraHLill, B-B.

San#akoo, Mat$s %or li%e. C de Dunio de B-E.Fttp7HHH.sangakoo.comestemasparametrizacion:de:curvasJ.

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