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Elaborado por: Enrique Arenas Snchez

EL PROMEDIOEl clculo del promedio de una lista de valores

normalmente se calcula mediante la conocida expresin:

..........(1)

[ ]ni aaaaa ,,,,,, 321 KK

n

aa

n

ii

m

=

=1

Una forma general para calcular el promedio de una lista de valores es considerar que cada valor tiene un cierto peso o ponderacin, as la expresin a utilizar para el clculo del promedio es

...............(2)

donde es la ponderacin del valor .

=

== n

ii

n

iii

m

p

apa

1

1

ip ia

As podemos ver al valor promedio de los valores de una lista como el cociente de dos sumas, el numerador es la suma de los valores ponderados

y el denominador como la suma de las ponderaciones de los valores de la lista.

=

n

iiiap

1

=

n

iip

1

si se considera que todas las ponderaciones son unitarias, es decir , es fcil verificar que la expresin (1) es un caso particular de la expresin (2).

1=ip

n

aa

p

apa

n

ii

n

i

n

ii

n

ii

n

iii

m

=

=

=

=

====

1

1

1

1

1

)1(

)1(

Ejemplos:

Calcular el promedio de la siguiente lista de valores

a partir de la expresin (1).[ ]6,5,8,5,6,9,8,5

5.6852

865856985

8

8

1==

+++++++==

=i

ia

ma

Calcular el promedio de la siguiente lista de valores

con la ponderacin determinada por la repeticin de los valores de la lista.La suma de los valores ponderados es

La suma de las ponderaciones es

y finalmente el valor promedio de la lista de valores es

[ ]6,5,8,5,6,9,8,5

529)1(8)2(6)2(5)3(4

1=+++=

=iiiap

812234

1=+++=

=iip

5.6852

12239)1(8)2(6)2(5)3(

4

1

4

1==

+++

+++==

=

=

ii

iii

m

p

apa

Calcular el promedio de la siguiente lista de valores

con ponderacin .

La suma de los valores ponderados es

La suma de las ponderaciones es

y finalmente el valor promedio de la lista de valores es

[ ]6,5,8,5,6,9,8,531

=ip

3526

315

318

315

316

319

318

315

318

1=

+

+

+

+

+

+

+

=

=iiiap

38

31

31

31

31

31

31

31

318

1=

+

+

+

+

+

+

+

=

=iip

5.6852

383

52

31

31

31

31

31

31

31

31

6315

318

315

316

319

318

315

31

8

1

8

1==

=

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

==

=

=

ii

iii

m

p

apa

Conclusiones:

- Al analizar los resultados obtenidos en el proceso de solucin de los ejemplos, observamos que:

a) la suma de los valores ponderados, y la suma de las ponderaciones utilizadas depende de los valores de las ponderaciones.

b) el valor promedio de los valores de la lista siempre es el mismo e independiente del valor de la ponderacin que se emplee.

UNA REPRESENTACIN GRFICA.

Para analizar este problema desde un punto de vista diferente, asignemos una representacin geomtrica a los resultados obtenidos en el desarrollo anterior.

Consideremos un conjunto de rectngulos donde cada uno de ellos tiene por altura uno de los valores de la lista y como longitud de su base el valor de la ponderacin asociada al respectivo valor de la lista.

De este modo: si consideramos el caso en el que 1=ip

5.6852

865856985

8

8

1==

+++++++==

=i

ia

ma

Cuando las ponderaciones son determinadas por la

repeticin de los valores de la lista

5.6852

12239)1(8)2(6)2(5)3(

4

1

4

1==

+++

+++==

=

=

ii

iii

m

p

apa

Si las ponderaciones son tales que 31

=ip

5.6852

383

52

31

31

31

31

31

31

31

31

6315

318

315

316

319

318

315

31

8

1

8

1==

=

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

==

=

=

ii

iii

m

p

apa

5.6

383

52

8

1

8

1=

==

=

=

ii

iii

m

p

apa( )( ) 5.68

528

1

8

1===

=

=

ii

iii

m

p

apa( )( ) 5.68

528

1

8

1===

=

=

ii

iii

m

p

apa

[ ]6,5,8,5,6,9,8,5

Conclusiones:-La suma de los valores ponderados es igual rea total de los rectngulos.-La suma de las ponderaciones es igual a la longitud total de las bases de los rectngulos.

Qu ocurrir en la representacin grfica si el nmero de los valores de la lista aumenta?

En tal caso:

Aumentar el valor de la suma de los valores ponderados?

Aumentar el valor de la suma de las ponderaciones?

Ahora, si el nmero de valores en la lista aumenta infinitamente

Qu ocurre con la suma de los valores ponderados? =

n

iiiap

1-La lista de valores se representa mediante una funcin definida en un intervalo

-La ponderacin debe disminuir, debe tender a cero llegando hastael lmite de modo que la suma de valores ponderados converja y est definida. Simblicamente

- Al hacer tender a cero las ponderaciones se tiene que:

)(xf[ ]ba ,

dxpipi

=

)(lim0

==

b

a

n

iii dxxfap )(

1

===

==n

iii

n

iii

n

iii xfpaap

111)(

===

=

b

a

n

iiix

n

iiip

dxxfxfpaii

)()(limlim1010

- De este modo se tiene que el promedio esta dado por

=

=

= n

ii

n

iii

m

p

apa

1

1

= b

a

b

a

dx

dxxf )()(

)(cf

ab

dxxfb

a=

=ma

Finalmente podemos decir que:

-El valor de la integral definida representa la

suma del infinito nmero de valores ponderados por el diferencial , que define la funcin en el intervalo .

ba dxxf )(xd

[ ]ba ,-El valor medio de una funcin es igual al promedio del infinito nmero de valores que define la funcin en el intervalo .

)(xf[ ]ba ,

)(xf

)(xf

Por su paciencia y atencin

GraciasElaborado por: Enrique Arenas Snchez