teorema de probabilidad

Universidad de CartagenaFacultad de Ciencias Exactas

PROBABILIDAD(TEOREMAS)

Eiver Rodrıguez

19 Mayo de 2015

Probabilidad 4 Sem. 2015

VALOR ESPERADO Y VARIANZA DE UNA VARIABLEALEATORIA

TEOREMA.1: Sea X una variable aleatoria real absolutamente continua, con funcion de densidad fX. Si h es una funcion estrictamente monotonay diferenciable, entonces, una funcion de densidad de la variable aleatoriaY = h(X) esta dada por:

fY(y) =

{fX(h−1(y))

∣∣∣ ddyh−1(y)∣∣∣ si y = h(x) para algun x

0 si y 6= h(x) para todo x

donde h−1(·) es la inversa de h(·)

Prueba:Supongase en primera instancia h una funcion estricatamente creciente(x ≤y implica h(x) ≤ h(y) ) y sea y ∈ R talque y = h(x) para algun x. Entonces:Con Y = h(X)(∗)

FY(y) = P (Y ≤ Y ) por definicion de funcion de distribucion

= P (h(X) ≤ y) por (*)

= P (X ≤ h−1(y)) Definicion de funcion inversa y decreciente

= FX(h−1(y)) por definicion de funcion de distribucion

Diferenciando se obtiene:

fY(y) = fX(h−1(y))d

dyh−1(y)

Dado que la derivada de h es positiva se obtiene

2


fY(y) = fX(h−1(y))

∣∣∣∣ ddyh−1(y)

∣∣∣∣Por otra parte, considerese ahora h una funcion estrictamente decreciente(x ≤y implica h(x) ≥ h(y)) y y ∈ R tal que y = h(x) para algun x. Entonces:

FY(y) = P (Y ≤ Y ) por definicion de funcion de distribucion

= P (h(X) ≤ y) por (*)

= P (X ≥ h−1(y)) Definicion de funcion inversa y decreciente

= 1− FX(h−1(Y ))

Diferenciando se obtiene:

fY(y) = −fX(h−1(y))d

dyh−1(y)

Dado que la derivada de h es negativa se obtiene

fY(y) = fX(h−1(y))

∣∣∣∣ ddyh−1(y)

∣∣∣∣Con ello se completa la demostracion.

TEOREMA.2: Sea X una variable aleatoria real.

1. Si P (X ≥ 0) = 1 y E(X) existe,entonces,E(X) ≥ 0

Supongase que X una variable aleatoria discreta que toma los valores x1, x2, ...,

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como P (X < 0) = 0, obtenemos que P (X = xj) = 0 para todo xj < 0.Por tanto:

E(X) =∑i

(xi)P (X = xi) por por lema variable aleatoria discreta

=∑i:xi≥0

(xi)P (X = xi) ≥ 0 por hipotesis

Si X es una variable absolutamente continua con funcion de densidad f, en-tonces,

E(x) =

∫ ∞0

[1− FX(x)] dx −∫ ∞0

[FX(−x)] dx

=

∫ ∞0

[1− FX(x)] dx

=

∫ ∞0

P (X > x) dx ≥ 0

2.E(a) = a ∀a ∈ R

Sea la Funcion g(x) = a, luego a partir del lema anterior

E(a) =

∫ ∞−∞afX(x) dx = a

∫ ∞−∞fX(x) dx = a

4


3.Si X esta acotada, esto es, si existe una constante real M > 0 tal queP (|X| ≤M) = 1, entonces, E(X) existe

Sea X una variable aleatoria Discreta que toma valores x1, x2, ...,, entoncescomo P (|X| > M) = 0, se puede suponer que

{x1, x2, ...,

}⊆ [−M,M ].Por

tanto

∑i

|xi|P (X = xi) ≤M∑i

P (X = xi) = M <∞

Es decir, que las sumas parciales de la serie∞∑k=i

|xk|P (X = xk)(∗) resultan

estar acotadas por la constante M.

Ahora bien, recordando que para que una serie de terminos no negativoscomo en (*) es necesario y sufieciente que para que converja que sus sumasparciales esten acotadas, como en este caso lo estan el valor esperado existe.

Si X una variable aleatoria absolutamente continua con funcion de densi-dad f entonces,como P (|x| > M) = 0, se puede suponer que f(x) = 0 paratodo x /∈ [−M,M ],tenemos:

∫ ∞−∞|x| f(x) dx =

∫ M

−M|x| f(x) dx

≤M

∫ M

−M|x| f(x) dx = M <∞

4.Si a y b son constantes y si g y h son funciones tales que g(X) y h(X) sonvariables aleatorias cuyos valores esperados existen, entonces, el valor espera-do [a g(X) + b h(X)] existe y

E [a g(X) + b h(X)] = a E [g(X)] + b E [h(X)]

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Demostremos primero para el caso continuo:

Si X es una variable aleatoria absolutamente continua con funcion de den-sidad f, entonces:

∫ ∞−∞|a g(X) + b h(X)| f(x) dx

≤∫ ∞−∞|a g(X)| f(x) dx+

∫ ∞−∞|b h(X)| f(x) dx

= |a|∫ ∞−∞| g(X)| f(x) dx+ |b|

∫ ∞−∞| h(X)| f(x) dx <∞

luego el valor esperado (a g(X) + b h(X)) existe y :

∫ ∞−∞

[a g(X) + b h(X)] f(x) dx =

∫ ∞−∞

[a g(X)] f(x) dx+

∫ ∞−∞

[b h(X]) f(x) dx

= a E(g(X)) + b E(h(X))

Veamos ahora para el caso Discreto:

Sea g : R→ R una funcion tal que Y = g(X)

Veamos que el valor esperado E(Y) =∞∑i=1

g(x)P (X = xi) existe:

Llamemos ym los valores de Y, entonces:

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E(Y) =∑m

ym P (Y = ym)(∗)

Por otra parte el evento{Y = ym

}es igual a

{X = xi para algun x tal que g(x) = ym

}Puesto que decir que Y toma el valor ym equivale a decir que X toma unvalor cuya imagen por la funcion g es ym: Por lo tanto:

donde el conjunto de los valores de xi sobre los que se suma es el conjun-to de los valores tales que g(x) = ym. Sutituyendo en (*)

E(Y) =∑m

ym∑

xi:g(x)=ym

P (Y = ym) = E(Y) =∑m

∑xi:g(x)=ym

g(x)P (Y = ym)

Es claro que en la suma doble de la ultima igualdad, es solo la suma de to-dos los valores de xi, ya que cada i aparece una y solo una vez allı.En resumen:

E(Y) =∞∑i=1

g(x)P (X = x)

5.Si g y h son funciones tales que g(X) y h(X) son variables aleatorias cu-yos valores esperados existen y si g(X) ≤ h(X), para todo x,entonces

E(g(X)) ≤ E(h(X))

En particular se tiene que:

|E(X)| ≤ E(|X|)

Demostremos primero para el caso continuo:

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Supongase X una varible absolutamente continua con funcion de densidadf.Entonces,

E(g(X)) =

∫ ∞−∞

g(x) f(x) dx ≤∫ ∞−∞

h(x) f(x) dx = E(h(X))

Ahora como− |x| ≤ x ≤ |x|

Se obtiene que:

E(− |X|) ≤ E(X) ≤ E(|X|)−E(|X|) ≤ E(X) ≤ E(|X|)

Esto es:

|E(X)| ≤ E(|X|)

Veamos ahora para el caso discreto:

Deacuerdo a la propiedad anterior, tomando (g(x) = |x|) se tiene que:

E(X) =∑n

|xi|P (X = x) ≥

∣∣∣∣∣∑n

xi P (X = x)

∣∣∣∣∣ = |E(X)|

Observe que la desigualdad entre las sumas de las series, se deduce simple-mente de que

∞∑n=1

|xi|P (X = x) ≥

∣∣∣∣∣∞∑n=1

xi P (X = x)

∣∣∣∣∣8


en virtud de la desigualdad triangular entre los numeros reales.Pasando ellimite cuando N → ∞ se obtiene la desigualdad analoga entre las sumas delas series.

Y esto completa la demostracion.

TEOREMA.3: Sean X una variable aleatoria, cuyo valor esperado existe, ya,b ∈ R constantes, entonces:

Nota: Se utilizara para las demostraciones de los incisos del teorema 3 laspropiedades demostradas del teorema 2.

1.V ar(X) ≥ 0

Es evidente a partir de la definicion de varianza V ar(X) = E(X − E(X))2

y las propiedades del valor esperado;siempre es positivo o 0 cuando X = a,con a = constante

2.V ar(a) = 0

V ar(a) = E[(a− E(a))2

]= E

[(a− a)2

]= E(0) = 0

3.V ar(aX) = a2V ar(X)

V ar(aX) = E[(aX− E(aX))2

]por definicion de varianza

= E[a2(X− E(X))2

]= a2E

[(X− E(X))2

]= a2V ar(X)

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4.V ar(X + b) = V ar(X)

V ar(X + b) = E[(X + b− E(X + b))2

]por definicion

= E[(X + b− E(X) + b)2

]= E

[X2 − 2XE(X) + (E(X))2

]= E(X2)− 2E(X)E(X) + E((EX))2

= E(X2)− 2((EX)2) + ((EX))2

= E(X2)− (E(X))2

5.V ar(X) = 0,sı y solo sı, P (X = E(X)) = 1

Prueba:[⇐ Sı X = E(X) con probabilidad 1

V ar(X) = E(X− E(X))2 = E(X− X)2 = E(0) = 0

⇒ ] Supongase que V ar(X) = 0, y sea a = E((X)). Si P (X = a) < 1,entonces existe c > 0 talque:

P ((X− a)2 > c) > 0

Puesto que:(x− a)2 ≥ cχ{

(x− a)2 > c}

Entonces:

E((x− a)2 ≥ E

(cχ{

(X− a)2) > c})

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V ar(X) ≥ c E

(χ{

(X− a)2) > c})

V ar(X) ≥ cP ((X− a)2 > c) > 0

Lo cual contradice el supuesto inicial.Por tanto

P (X = E(X)) = 1

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