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Teorema de Pitagoras

Juan Pablo Pinasco ([email protected])

Departamento de Matematica e IMAS,FCEyN, UBA - CONICET

2018

JP Pinasco Teorema de Pitagoras

Parte I



Su origen

El teorema deberıa ser Egipcio [Babilonico] si el estandard es tenerla idea de que vale; o Hindu, si buscamos un enunciado completo;o Chino, si queremos la primera demostracion.

Manjul Bhargava, Medalla Fields 2014.



a2 + b2 = c2

Interseccion de la geometrıa, que manejaba objetos continuos, con laaritmetica, discretos.

Conceptualmente, uno espera ver los geometricos, y computar los otros.

Hay una tension entre ambas disciplinas, y es la primera manifestacion.



Hay miles de demostraciones (literal, un trabajo tenıa unas 4000), y en losElementos hay dos, una por areas y la otra por proporciones:


Ternas Pitagoricas

a =r(p2 − q2)

c =r(p2 + q2)

b =2pqr

Se conocıan ternas pitagoricas en Egipto y Babilonia.

Pitagoras conocıa algunas expresiones que generaban ternaspitagoricas.

La que vimos, en los Elementos, Libro X, Prop. 28, Lema 1.


Plimpton 322

Vamos a analizar esta tableta siguiendo losexcelentes trabajos de Eleanor Robson, ver labiliografıa.

s d119 169

3367 48254601 6649

12709 1854165 97

319 4812291 3541

799 1249481 769

4961 816145 75

1679 2929161 289

1771 322956 106


0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1 Fact: cada par es un lado(el mas corto) y lahipotenusa de un triangulorectangulo.

La figura muestra s/d ys/d, calculando l comod2 − s2.

Faltan, tal vez, columnas ala izquierda.


E Robson, Plimpon 322

Hay tres teorıas clasicas que la explican (y cada tanto aparece otra):

(a) Columnas II y III tienen el lado mas corto y la diagonal de triangulosrectangulos, los valores de I son tan2, y los valores estan ordenados demanera que el angulo decrece 1◦ cada lınea.

(b) Si p > q, coprimos, y no son ambos impares, generan las ternaspitagoricas (como antes). Pero no queda claro como se eligieron los p yq de la tableta.

(c) Las entradas de la tabla se derivan de pares recıprocos x y 1/x, enorden descendente, tales que

s′ =s/l = (x− 1/x)/2

l′ =l/l = 1

d′ =d/l = (x+ 1/x)/2

y estos valores se escalan por multiplos de 2, 3, y 5 hasta alcanzar losvalores s y d.

¿Cual es la correcta, si alguna de ellas lo es?



A una teorıa le debemos pedir:

1. Sensibilidad historica: debe respetar el contexto historico, y no imponerinterpretaciones anacronicas.

Sherlock Holmes en Babilonia: ni Sherlock Holmes, ni Babilonia [Larsa fuetomada unos 60 anos despues por Hammurabi, de Babilonia, que quedaba150km al norte].Tampoco se puede analizar la tableta desde un escritorio, sin nada mas, sinconocer cosas sobre la epoca y el lugar, sobre los conceptos quemanejaban y que no se mezclen con los que conocemos ahora [aca ER esinjusta con SH!].Si el concepto de triangulo varıa tanto de una cultura a otra, que podemosdecir de ideas mas complejas? Y si tuvieron conceptos que se nosescaparon? [Lenguajes de las estepas siberianas poseen decenas depalabras, que clasifican a un caballo segun el sexo, los anos, si tuvo o nodescendencia...]

2. Consistencia cultural: debe encajar con lo que ya sabemos del lugar y laepoca.

P 322 es una tabla. Se han encontrado cientos de otras tabla, matematicas,comerciales, etc., en Mesopotamia.



3. Calculos plausibles: debe decirnos como se calculo, y si las tecnicasusadas las corroboran otras tabletas del lugar y la epoca.

Si es una tabla trigonometrica, debe haber otras evidencias.

4. Realidad fısica: debe reconocer que Plimpton 322 es un artefactoarqueologico y no un texto incorporeo.

Fue escrita por un individuo, ¿que podemos decir de el? ¿por que hizo latableta?Era una cultura que mantenıa el anonimato, las grandes obras se atribuıana dioses.Era un hombre, todos las mujeres escribas que se conocen son del centro ynorte de Irak.No era un matematico (ni profesional -que no existieron hasta hace muypoco-, ni amateur -no se conoce ninguno.)Era un escriba o un maestro: entrenado, conocedor de tecnicas geometricasy aritmeticas, mas alla de los simples registros de transacciones o censos,no era un burocrata.La tableta parece una lista de ejercicios sobre el tema, con los resultados(hay muchas otras similares, sobre otros temas).



5. Completitud textual: debe explicar el contenido numerico, losencabezados, y proveer una reconstruccion matematicamente plausiblede la 1er columna.

Contiene numeros y palabras, algunas aparecen en otras tabletas.Si bien esta escrita en Acadio, tiene palabras Sumerias, mucho masantiguas.Esto era usual en la administracion de Larsa entre el el 1822 y el 1784 aC:el autor deberıa estar familiarizado con estos textos.Los encabezados de las columnas II y III dicen cuadrado del lado y de ladiagonal.

6. Ordenamiento: debe explicar el orden de las filas y columnas, de arribaa abajo y de izquierda a derecha, sin asumir que faltan cosas a laderecha de la tabla, y fundamentando el contenido de la columna de laizquierda.

Esta en forma apaisada, como otras, con encabezados en cada columna.La 1er columna esta en orden descendente, como es habitual.


Esto nos lleva a descartar (b), porque p y q no estarıan en ordendescendente a la izquierda [hay otras razones, en el otro artıculo, por ej.,tampoco explica la columna I].

Quedan pendientes (a) y (c), una tabla trigonometrica o pares recıprocos.


Cırculos en la Mesopotamia

Circular, 8cm de diametro. Las usabanlos escribas para entrenar en lasescuelas.

9 es 32, ¿y el 45?

Observemos que el 3 esta sobre lacircunferencia, y el 45 adentro,mientras que no hay conexion del 9 yla figura.

Si 3 es la longitud de la circunferencia,y 45 es el area, tendrıamos que

Area =c2

4π.

Usando la aproximacion π ∼ 3, y conc2 = 9, tenemos

A =3

4=

45

60= 0,45


Cırculos en la Mesopotamia

Ejercicio: Si P es el perımetro, el area es P 2/4π.

Los calculos de la epoca que involucran areas y perımetros no usan el radioni el diametro. Mas aun, la misma palabra kippatum significa el disco (unaregion del plano) y la circunferencia unidimensional que lo encierra.

Ocurre lo mismo con mithartum, que significa el lado de un cuadrado y elcuadrado mismo: de ahı viene eso de cuadrado del lado y cuadrado de ladiagonal: esta hablando de los lados de dos cuadrados.

Como el centro y el radio de un cırculo parecen no jugar un papel importanteen la matematica de la Mesopotamia, no tendrıan un marco conceptual parahablar de angulo y trigonometrıa, con lo cual deberıamos descartar (a).


Cırculos y angulos

Cuando Ptolomeo conceptualiza el cırculo y disco como el resultado de rotarun diametro, simplifica las cuentas usando cuerdas de arcos, pero todavıafaltaba para el concepto de angulo.

Esto no significa que no conocieran la nocion de angulo, pero lo describıanmas como un gradiente: baja x codos en y codos. Distinguıan tambien losangulos rectos.


Por ahora, descartamos (b), porque no corresponde al estilo con el queescribıan las cosas.

Descartamos (a) por anacronico,

Nos queda (c): buen punto si alguien quiere contar que es!


Parte II

Puntos racionales en curvas


Ternas Pitagoricas

Ya vimos que las ternas se generan con

a =r(p2 − q2)

c =r(p2 + q2)

b =2pqr

¿Sera la unica forma?

No (si no, no lo preguntarıa).


Diofanto

Se parte de una solucion trivial, comoaca el (−1, 0), y se traza una recta porel punto, y = t(x+ 1) con pendienteracional.

Como la interseccion con el cırculo essolucion de una cuadratica con unasolucion racional, la otra tambien debeserlo, con lo cual x e y tambien sonracionales,

x =a

c=

1− t2

1 + t2, y =

b

c=

2t

1 + t2

Tomando t = q/p recuperamos las ternas pitagoricas.


Diofanto

Este metodo fue reconstruido (y generalizado) por Fermat, Descartes yNewton.

Observemos ademas que

cos(θ) =1− t2

1 + t2, sen(θ) =

2t

1 + t2,

es una transformacion util en el calculo de integrales con expresionestrigonometricas, que va a reaparecer en otros problemas.


Diofanto

Si p(x, y) = 0 es una ecuacion cuadratica con coeficientes racionales,reemplazando y = ax+ b para a, b racionales, se factoriza como

p(x, y) = k(x− r1)(x− r2),

con lo cual si una raız es racional, la otra tambien.

Esta idea funciona para grado 3, pero ahora necesitamos conocer dospuntos racionales en la curva. Fermat dedujo que la idea de tomar ambospuntos como el mismo (daba la tangente) tambien servıa para encontrar otropunto. Como ahora no podemos variar la pendiente, encontramos uno solopero podemos repetir el argumento empezando desde ese otro.

Por ejemplo, Diofanto encuentra x = 21/4, y = 71/8 para

y2 = x3 − 3x2 + 3x+ 1

Ejercicio: intente llegar a esa solucion.

Hoy se sabe que alcanza con finitos puntos para comenzar [Poincare,Mordell], y luego se obtienen todos, pero no se sabe cuales son.


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