el numero´ - cms.dm.uba.arcms.dm.uba.ar/members/jpinasco/historia18/jpp-numero.pdf · piraha...

El numero

Juan Pablo Pinasco ([email protected])

Departamento de Matematica e IMAS,FCEyN, UBA - CONICET

JP Pinasco (UBA - CONICET) El numero 2018 1 / 77

Parte I

El origen de los numeros

Palamedes

∼ 1200 a.C.

11 (16) letras

pesos y medidas

chistes

ajedrez

(tambien habrıa inventado los grados militares para la guerra de Troya)

Palamedes

∼ 1200 a.C.

11 (16) letras

pesos y medidas

chistes

ajedrez

(tambien habrıa inventado los grados militares para la guerra de Troya)

Palamedes

Invento los numeros

Platon no lo cree:

”Acaso el Rey Agamenon no sabıa cuantas manos tenıa?”

Tal vez no.

Palamedes

Invento los numeros

Platon no lo cree:

Tal vez no.

Palamedes

Invento los numeros

Platon no lo cree:

Tal vez no.

Tenemos palabras: iletrado, analfabeto. Cual serıa el analogo en matematicas?Anumerico? (palabra de origen reciente)

Aun ası, el analfabeto puede hablar, entiende el concepto de lo que escucha. Enmatematicas existen tribus sin el concepto de numero, o que apenas cuentan hasta 3o 4.

El 2, el 3 suelen tener nombres especiales segun el contexto:

bi, duo, dupla, par, pareja, yunta, casal.

tri, trıo, terna, terceto.

Piraha (Brasil, 200 personas) no tienen numeros en su lenguaje, no distinguen siquieralos pronombres como singular/plural.

Buenas noches = no te duermas, hay serpientes! (ver el libro de Everett).

Kawi (precursor del Javanes) tampoco, si bien tienen varios, y todos.

Los Acehnese (Sumatra, medio millon de hablantes) tienen un germen de numerospero para la 1ra persona: un yo, un nosotros, y un yo+vos, pero la 2da y 3ra personano distinguen singular o plural.

Singular y plural: no es tan obvia la distincion, la frontera que hay que cruzar:

Un dıa y medio; media hora; un cuarto de hora...

One and a half days (one and a half men).

Cero minutos; cero ideas. Zero days.

Duales

singular/dual/plural. Se observa en Sanscrito y otros. Distinguen especialmente si nosreferimos a uno, dos o mas, tanto en la persona como en la conjugacion verbal.

Alto Sorbo (Sajonia, Alemania):

singular dual pluralja (yo) moj (vos y yo) my (nosotros)ty (vos) woj (ustedes dos) wy (ustedes)

hrod (castillo) hrodaj (dos castillos) hrody (castillos)dzelam (yo trabajo) dzelamoj (vos y yo trab.) dzelamy (nostros trab.)

Duales

singular/dual/plural. Se observa en Sanscrito y otros. Distinguen especialmente si nosreferimos a uno, dos o mas, tanto en la persona como en la conjugacion verbal.

Alto Sorbo (Sajonia, Alemania):

singular dual pluralja (yo) moj (vos y yo) my (nosotros)ty (vos) woj (ustedes dos) wy (ustedes)

hrod (castillo) hrodaj (dos castillos) hrody (castillos)dzelam (yo trabajo) dzelamoj (vos y yo trab.) dzelamy (nostros trab.)

Tri (-al, -ple ?)

Singular/dual/trial/plural. Se ven en lenguajes de Malasia, Indonesia, Polinesia,Australia

Los pronombres se derivan de las palabras para los numeros dos, tres. El plural, vienedel cuatro.

Tri (-al, -ple ?)

Singular/dual/trial/plural. Se ven en lenguajes de Malasia, Indonesia, Polinesia,Australia

Los pronombres se derivan de las palabras para los numeros dos, tres. El plural, vienedel cuatro.

Paucal (???)

(pauper: pobre, poco)

Singular/paucal/plural. Se usa en el Bayso (Etiopıa), para pequenos grupos, de dos adiez.

Singular/dual/paucal/plural. Se usa en el Yimas, Murik (Papua-Nueva Guinea, Borneo),dialectos de las islas Fidji, y Oceanıa.

Tambien en Meryam Mir (Nigeria), para pequenos grupos, que van de tres a diezsegun el lugar.

Paucal (???)

And the Oscar goes to...

Lihir (Oceanıa). Pronombres indefinidos:

singular dual trial paucal plural1ra yo gel getol gehet ge1ra inc - kito kitol kitahet giet2da wa gol gotol gohet go3ra e dul dietol diehet die

En espanol: alguien, nadie, varios (sin el inclusivo: alguno de nosotros, etc.).

El ingles tiene el dual, neither, both (pero no el inclusivo: both of us).

Lihir (Oceanıa).

Pronombres indefinidos:

Estaban ternados:

Sursurunga (Oceanıa):

singular dual trial quadral plural

Lenguajes eslavos, de Papua-Nueva Guinea, Canada, Estados Unidos, Mexico,Brasil..., por los numeros verbales: conjugan distinto X canto (una cancion), Xcanto (dos canciones), y X canto (varias canciones).

Segun el lenguaje, el numero-verbo puede indicar cuantas personas hacen laaccion, en cuantos lugares o tiempos la hacen, o cuantas acciones son.

Varios plurales, dobles plurales (lenguajes americanos, celtas, A¡rabes,eslavos...). En particular, el Breton,https://en.wikipedia.org/wiki/Breton_language

Estaban ternados:

Parte II

Los griegos y la aparicion de los irracionales

Pitagoras

∼ 582 a.C. - 507 a.C.

Nace en Samos, Grecia

Viaja por Mesopotamia, India, Egipto (?).

Secta mıstico-academica centrada en el numero.

(subordinada a Pitagoras).

Descubren los irracionales.

Pitagoras

∼ 582 a.C. - 507 a.C.

Pitagoras

∼ 582 a.C. - 507 a.C.

Pitagoras

∼ 582 a.C. - 507 a.C.

Pitagoras

∼ 582 a.C. - 507 a.C.

Irracionales

Se dice que intentan esconderlos, o negarlos.

porque contradicen la omnipotencia del Numero.

¿Sera ası? ¿O sera al reves?

Irracionales

Se dice que intentan esconderlos, o negarlos.

porque contradicen la omnipotencia del Numero.

¿Sera ası? ¿O sera al reves?

Irracionales

Primer ’cambio de paradigma’ matematico: los dedos (y los numeros que se armancon ellos) no alcanzan para medir ciertas cosas.

[El proximo ’cambio de paradigma’ serıa con Cantor, los numeros conocidos noalcanzan para contar ciertas cosas].

Irracionales

Primer ’cambio de paradigma’ matematico: los dedos (y los numeros que se armancon ellos) no alcanzan para medir ciertas cosas.

[El proximo ’cambio de paradigma’ serıa con Cantor, los numeros conocidos noalcanzan para contar ciertas cosas].

Irracionales

Como fueron descubiertos?

Proposicion 47:En un triangulo rectangulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de loscuadrados de los catetos.a2 + b2 = c2 −→

√2 es irracional.

La razon aurea:1 : x como x : (1− x)

Pentagono regular.

Irracionales

Proposicion 47:

En un triangulo rectangulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de loscuadrados de los catetos.a2 + b2 = c2 −→

√2 es irracional.

Pentagono regular.

Irracionales

Proposicion 47:En un triangulo rectangulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de loscuadrados de los catetos.

a2 + b2 = c2 −→√

2 es irracional.

Pentagono regular.

Irracionales

√2 es irracional.

Pentagono regular.

Irracionales

√2 es irracional.

La razon aurea:

1 : x como x : (1− x)

Pentagono regular.

Irracionales

√2 es irracional.

Pentagono regular.

Irracionales

√2 es irracional.

Pentagono regular.

Irracionales

Teorema

Si 1 es a x como x es a 1− x, entonces x es irracional.

con a, b ∈ N, tal que b es el menor posible, y construir uno mas chico.

Irracionales

Teorema

Si 1 es a x como x es a 1− x, entonces x es irracional.

con a, b ∈ N, tal que b es el menor posible, y construir uno mas chico.

Irracionales

Demostracion: Si x = a/b con a, b ∈ N,

b/[1− a

b− a

b=b− aa

Pero como 0 < x < 1, a < b y conseguimos una fraccion con denominador mas chico.

Irracionales

b/[1− a

b− a

b=b− aa

Irracionales

b/[1− a

b− a

b=b− aa

Irracionales

b/[1− a

b− a

b=b− aa

Irracionales

b/[1− a

b− a

b=b− aa

Irracionales

Tendrıan el concepto de mınimo elemento para esa demostracion? Si, el 1.

Mejor, partiendo de un segmento de longitud a+ b, se genera adentro una sucesioninfinita de puntos naturales, lo cual es un absurdo.

En forma similar, las intersecciones de las diagonales de un pentagono dan un nuevopentagono, de lados enteros pero mas chicos.

Irracionales

Hoy, se lo encuentra en

mala divulgacion: http://bit.do/es46R

memes: http://bit.do/es48x

mas memes:

Irracionales

mas memes:

Irracionales

mas memes:

Irracionales

...y profecıas autocumplidas en arte o arquitectura: si te dicen que esa es la proporcioncorrecta, la usas.

Irracionales

...y profecıas autocumplidas en arte o arquitectura: si te dicen que esa es la proporcioncorrecta, la usas.

Irracionales

Aristoteles (384 - 322 a. C.) menciona la demostracion clasica con a2 = 2b2

Tambien se puede ver geometricamente:

(12 y 17 no cumplen, son ilustrativos: dado el triangulo con lados y diagonal enterosmas chicos posibles, construımos otro con numeros mas chicos)

Irracionales

Aristoteles (384 - 322 a. C.) menciona la demostracion clasica con a2 = 2b2

Tambien se puede ver geometricamente:

(12 y 17 no cumplen, son ilustrativos: dado el triangulo con lados y diagonal enterosmas chicos posibles, construımos otro con numeros mas chicos)

Irracionales

Platon (428 - 348 a. C.) dice que Teodoro demostro la irracionalidad para las raıces de2, 3, 5,..., y se detuvo en 17 (exceptuando 9 y 16):

Se conocıan muchas clases de irracionales para entonces.

Irracionales

Platon (428 - 348 a. C.) dice que Teodoro demostro la irracionalidad para las raıces de2, 3, 5,..., y se detuvo en 17 (exceptuando 9 y 16):

Se conocıan muchas clases de irracionales para entonces.

Euclides

Los Elementos ∼ 300 a. C. contienen un germen de la teorıa de numeros.

Se distinguen los numeros primos (no hay infinitos, solo hay mas que cualquiercantidad prefijada).

La demostracion solo considera 3.

El Libro V al estudiar proporciones hace un truco astuto: para manejar proporciones,sean racionales o no:

a : b es igual a c : d si dados m,n arbitrarios y ma < (=, >)nb tambien mc < (=, >)nd.

(permite manejar los irracionales sin especificar quienes son)

Euclides

Se distinguen los numeros primos

(no hay infinitos, solo hay mas que cualquiercantidad prefijada).

Euclides

Clasificacion de los Irracionales

La croix des mathematiciens.

Libro X de Euclides.

(si alguien tiene ganas de profundizar, es un buen tema para el final)

Clasificacion de los Irracionales

La croix des mathematiciens.

Libro X de Euclides.

(si alguien tiene ganas de profundizar, es un buen tema para el final)

Decadencia

La decadencia: Cuando la matematica griega se frena, la principal contribucion vienede Diofanto (s. III d. C.).

Comienza el algebra.

Decadencia

La decadencia: Cuando la matematica griega se frena, la principal contribucion vienede Diofanto (s. III d. C.).

Comienza el algebra.

Parte III

Los numeros negativos

La India y los arabes

Entre el s. III y el s. XII no hay gran actividad en Europa en materia de numeros.

En la India se conocıan las cifras hindo-arabigas (en ese momento el arabigastampoco tenıa sentido), el cero y los negativos.

Los arabes las incorporan pero insisten con un enfoque geometrico.Preservan, traducen y transmiten las obras griegas y los metodos hindues, eintroducen cosas nuevas.

Los arabes las incorporan pero insisten con un enfoque geometrico.

Preservan, traducen y transmiten las obras griegas y los metodos hindues, eintroducen cosas nuevas.

Europa La Europa Medieval

La Europa Medieval

Para el ano 1000 se conocen las cifras arabigas en los ambientes academicos.

Fibonacci (∼ 1200) las difunde, y comienzan a utilizarse entre los comerciantes. Noson totalmente aceptadas porque son faciles de falsificar comparadas con los numerosromanos.

Menciona un numero negativo, y lo interpreta como una deuda

Afirma que cierta raız de una cubica no es uno de los irracionales del Libro X deEuclides

La Europa Medieval

Europa Simon Stevin

Simon Stevin (1548-1620)

Logra traducir (=a algo que se entienda matematicamente) el Libro X de Euclides.

Introduce las fracciones escritas en notacion decimal (resistencia: 1/3)

Utiliza exponentes fraccionarios (pero solo positivos).

Europa Simon Stevin

Europa Descartes

Descartes (1596-1650)

Deja de escribir las ecuaciones cuadraticas como

x2 = ax+ b x2 + ax = b

(con a y b positivos).

Distingue raıces negativas [falsas] de positivas.

Consigue reglas para estimar el numero de raıces de cada clase, y para transformarlas raıces negativas de una ecuacion en positivas, y viceversa.

Tambien da reglas para transformar los coeficientes de un polinomio en enteros.

Europa Descartes

x2 = ax+ b x2 + ax = b

Europa Descartes

x2 = ax+ b x2 + ax = b

Europa Descartes

x2 = ax+ b x2 + ax = b

Europa Wallis

Wallis (1616-1703)

En el 1660 interpreta los negativos como distancias a izquierda o a derecha de unpunto prefijado.

Aritmetizacion de la geometrıa: los numeros son tan solidos como los objetosgeometricos para demostrar teoremas, y los negativos son tan validos como lospositivos.

Esa representacion es lo que faltaba para darles carta de ciudadanıa. Algo similarocurrira con los complejos, cuando se los traduce como puntos del plano, y lasoperaciones equivalen a rotar y dilatar.

Europa Wallis

Wallis (1616-1703)

Europa Wallis

Wallis (1616-1703)

Parte IV

Kepler y Huygens - El movimiento Planetario

Kepler (1571-1630)

Las tres leyes:

Los planetas se mueven en orbitas...

...que tiene que ver eso con los numeros???

Nada ni nadie garantiza que los perıodos sean conmensurables entre si.

...y eso a quien le importa???

a Christiaan Huygens (1629-1695)

La historia es demasiado larga, y arranca con Arquımedes.

Huygens, gran constructor de relojes, quiere construır un sistema solar ’conengranajes’.

Pero quiere que las rueditas tengan el menor numero de dientes.

a Christiaan Huygens (1629-1695)

La historia es demasiado larga, y arranca con Arquımedes.

Huygens, gran constructor de relojes, quiere construır un sistema solar ’conengranajes’.

Pero quiere que las rueditas tengan el menor numero de dientes.

Claudio Claudiano 370-405

Cuando Zeus miro hacia abajo y vio los cielos representados en una esferade cristal, dijo a los otros dioses:

¿Acaso ha ido tan lejos el poder del esfuerzo mortal? ¿Es la obra de mismanos imitada en una fragil esfera? Un anciano de Siracusa ha imitado en laTierra las leyes de los Cielos, el orden de la naturaleza y las reglas de losdioses.

Christiaan Huygens (1629-1695)

Por ejemplo,

π ∼ 31

π ∼ 157

π ∼ 3141

Dos ruedas dentadas de 3141 y 1000 dientes aproximan a π con tres decimales.

Christiaan Huygens (1629-1695)

π ∼ 22

π ∼ 333

π ∼ 355

son mucho mejores!

Un problema:

Dado α ∈ R, n ∈ N, hallar p, q ∈ N tales que

|α− p/q| ≤ |α− r/s| ∀r, s ∈ N con s ≤ n

Es el problema de mejor aproximacion por racionales.

Un problema:

Dado α ∈ R, n ∈ N, hallar p, q ∈ N tales que

|α− p/q| ≤ |α− r/s| ∀r, s ∈ N con s ≤ n

Es el problema de mejor aproximacion por racionales.

Fracciones continuas

Huygens, Wallis, y Euler (1707-1783)

α = [α] +1

1/(α− [α])= [α] +

[1/(α− [α])] + 1/(1/...)

π = 3 +1

292 +1

1 +. . .

Huygens, Wallis, y Euler (1707-1783)

α = [α] +1

1/(α− [α])= [α] +

[1/(α− [α])] + 1/(1/...)

π = 3 +1

292 +1

1 +. . .

Teorema

El desarrollo es finito si y solo si α ∈ Q.

Demostracion: ejercicio.

Teorema

El desarrollo es finito si y solo si α ∈ Q.

Demostracion: ejercicio.

Teorema

Sea α ∈ R−Q escrito en fraccion continua, y pk/qk el k-esimo convergente. Entonces:

1 p0/q0 < p2/q2 < p4/q4 < ...α < ...p3/q3 < p1/q1

2 1qk(qk+1+qk)

<∣∣α− pk

∣∣ < 1qkqk+1

(Lagrange, 1770)

3 pk/qk es una aproximacion racional optima.

Teorema

1 p0/q0 < p2/q2 < p4/q4 < ...α < ...p3/q3 < p1/q1

2 1qk(qk+1+qk)

<∣∣α− pk

∣∣ < 1qkqk+1

(Lagrange, 1770)

Teorema

1 p0/q0 < p2/q2 < p4/q4 < ...α < ...p3/q3 < p1/q1

2 1qk(qk+1+qk)

<∣∣α− pk

∣∣ < 1qkqk+1

(Lagrange, 1770)

Teorema

1 p0/q0 < p2/q2 < p4/q4 < ...α < ...p3/q3 < p1/q1

2 1qk(qk+1+qk)

<∣∣α− pk

∣∣ < 1qkqk+1

(Lagrange, 1770)

Liouville (1809-1882)

Grado de la aproximacion: como qn < qn+1, tenemos∣∣α− pkqk

∣∣ < 1

Definicion

Dado α ∈ R se dice que es r-aproximable si existen c ∈ R e infinitos valores pk, qk ∈ Ntales que ∣∣α− pk

∣∣ < c

Liouville (1809-1882)

Grado de la aproximacion: como qn < qn+1, tenemos∣∣α− pkqk

∣∣ < 1

Definicion

Dado α ∈ R se dice que es r-aproximable si existen c ∈ R e infinitos valores pk, qk ∈ Ntales que ∣∣α− pk

∣∣ < c

Liouville (1844)

Teorema

Sea α raız de f(x) ∈ Z[x], polinomio de grado d. Entonces, para todo ε > 0, no esd+ ε aproximable.

Demostracion: Sea α raız simple de f(x) = adxd + · · ·+ a1x+ a0. Entonces

f(x) = f(x)− f(α) = f ′(c)(x− α)

|x− α| = | f(x)

f ′(c)| > f(x)

donde Cte = max |f ′| en el intervalo (α− 1, α+ 1), mayor que cero por la simplicidad.Ahora,

f(p/q) =1

qd(adp

d + · · ·+ a1pqd−1 + a0q

d) ≥ 1

Liouville (1844)

Teorema

f(x) = f(x)− f(α) = f ′(c)(x− α)

|x− α| = | f(x)

f ′(c)| > f(x)

f(p/q) =1

qd(adp

d + · · ·+ a1pqd−1 + a0q

d) ≥ 1

Liouville (1844)

Teorema

f(x) = f(x)− f(α) = f ′(c)(x− α)

|x− α| = | f(x)

f ′(c)| > f(x)

donde Cte = max |f ′| en el intervalo (α− 1, α+ 1), mayor que cero por la simplicidad.

Ahora,

f(p/q) =1

qd(adp

d + · · ·+ a1pqd−1 + a0q

d) ≥ 1

Liouville (1844)

Teorema

f(x) = f(x)− f(α) = f ′(c)(x− α)

|x− α| = | f(x)

f ′(c)| > f(x)

f(p/q) =1

qd(adp

d + · · ·+ a1pqd−1 + a0q

d) ≥ 1

Liouville (1844)

Corolario

Hay numeros que no son raız de ningun polinomio.

Ejemplo ∑k

10−k!

Demostracion: ejercicio

Liouville (1844)

Corolario

Hay numeros que no son raız de ningun polinomio.

Ejemplo ∑k

10−k!

Demostracion: ejercicio

Conclusion:

Euclides (o Eudoxo), hay mas numeros en el Cielo y en la Tierra que los que tufilosofıa puede imaginar.

Conclusion:

Euclides (o Eudoxo), hay mas numeros en el Cielo y en la Tierra que los que tufilosofıa puede imaginar.

Epılogo

En el 1900 encontraron -por accidente, unos pescadores- un barco hundido en elMediterraneo. Habıa joyas, estatuas, etc.

En los ’70 Jacques Cousteau hizo una nueva expedicion en la zona, y encontraronalgunas monedas, con lo cual fecharon el naufragio, habrıa ocurrido entre el 70 y el 50aC.

Habıan encontrado (antes) unos fragmentos de bronce, una especie de mecanismo oreloj:

Epılogo

Solla Price, 1974:

Epılogo

Vemos un 254 y un 19: la Luna da 254 vueltas cada 19 anos.

Algunas marcas que se pudieron leer indican constelaciones del zodıaco o meses(con el nombre egipcio).

M Wright: una parte muestra las fases de la luna.

T Freeth: 1.- dibujos animados, como la piel refleja la luz (problema con lasmodelos, conocido por los arqueologos). Usa la tecnologıa de los dibujosanimados para leer las inscripciones.

2.- tomografıa computada, usa las maquinas para turbinas de aviones, y logranleer las inscripciones.

Epılogo

Parte VI

Reales

Problemas

N,Z,Q, Irracionales...

y dentro de estos, Algebraicos y Trascendentes.

1) ¿Cuantos son estos trascendentes?

2) ¿Quienes son estos trascendentes?

3) ¿Seran todos los puntos de la recta?

4) ¿Habra mas numeros?

Problemas

Respuestas

1) ¿Cuantos son estos trascendentes? Son la gran mayorıa.

2) Son los numeros que no son raıces de polinomios.

3) ¿Seran todos los puntos de la recta? Si.

4) ¿Habra mas numeros? Si.

Respuestas

Stolz 1886

Un numero irracional puede representarse como un decimal no periodico.

(Wallis (1696) habıa probado que los racionales eran periodicos)

Stolz 1886

Un numero irracional puede representarse como un decimal no periodico.

(Wallis (1696) habıa probado que los racionales eran periodicos)

Dedekind 1858 y 1872

Cortaduras

Utiliza que cantidades monotonas crecientes y acotadas se aproximan a un lımite(evidencia geometrica).

Hamilton tuvo una idea similar.

” El numero irracional α no es la cortadura misma, sino algo distinto, que lecorresponde y la produce ”(carta a Weber, 1888)

Cortaduras

Cantor 1872

Sucesiones de Cauchy

Define una sucesion fundamental de racionales an si para todo ε prefijado, para msuficientemente grande,

|an+m − an| < ε

Cada sucesion posible determina un numero real.

Dos sucesiones an, bn son equivalentes si la diferencia |an − bn| tiende a cero.

Define las operaciones y demuestra un resultado clave: dada una sucesion de Cauchybn con bn arbitrarios, demuestra que existe an equivalente de racionales.

Cantor 1872

|an+m − an| < ε

Cantor 1872

|an+m − an| < ε

Cantor 1872

|an+m − an| < ε

Cantor 1872

|an+m − an| < ε

Cantor 1872

Su idea se utiliza mucho... (Completacion de un espacio metrico; Espacios deSobolev)

...menos para los numeros reales!

tecnicamente pasa al cociente (los reales son las clases de equivalencias de lassucesiones de Cauchy),

En el medio de todo esto define la nocion de punto de acumulacion,

demuestra el teorema de Bolzano-Weierstrass,

evita argumentos circulares (?)

Cantor 1872

Su idea se utiliza mucho... (Completacion de un espacio metrico; Espacios deSobolev) ...menos para los numeros reales!

Cantor 1872

Pregunta:

El propio Cantor critico a Weierstrass que si el lımite es irracional, entonces no tieneexistencia logica a menos que se hayan definido primero los irracionales (su teorıasolo utiliza que el lımite es cero).

Cauchy baso la idea de lımite en la de numero real, esto es basar la de numeros enlımites.

Pero... quien es ese ε que aparece por ahı?

Pregunta:

Otros:

Weierstrass, lecciones de 1859.

Kossak, Horwitz, Pincherle en los ’70 lo publican, sin su consentimiento.

Charles Meray 1869.

Heine 1872.

Todos utilizan sucesiones de una u otra forma.Hacen falta sı o sı infinitas cosas para definirlos (cifras, elementos en las cortaduras,una sucesion...)Todos utilizan los racionales, pero...

Otros:

Charles Meray 1869.

Heine 1872.

Otros:

Charles Meray 1869.

Heine 1872.

Otros:

Charles Meray 1869.

Heine 1872.

Otros:

Charles Meray 1869.

Heine 1872.

Todos utilizan sucesiones de una u otra forma.

Hacen falta sı o sı infinitas cosas para definirlos (cifras, elementos en las cortaduras,una sucesion...)Todos utilizan los racionales, pero...

Otros:

Charles Meray 1869.

Heine 1872.

Todos utilizan sucesiones de una u otra forma.Hacen falta sı o sı infinitas cosas para definirlos (cifras, elementos en las cortaduras,una sucesion...)

Todos utilizan los racionales, pero...

Otros:

Charles Meray 1869.

Heine 1872.

Racionales, Enteros, y Naturales

Weierstrass (1860): racionales como pares de enteros.

Dedekind (1872-1878): enteros.Peano (1889): axiomas de los naturales:

1 es un natural.1 no es el sucesor de nigun otro natural.Todo natural a tiene un sucesor.Si los sucesores de a y b son iguales, a = b.Induccion.

Dedekind (1872-1878): enteros.

Peano (1889): axiomas de los naturales:1 es un natural.1 no es el sucesor de nigun otro natural.Todo natural a tiene un sucesor.Si los sucesores de a y b son iguales, a = b.Induccion.

Hilbert 1900

Metodo axiomatico

Dieciseis axiomas de cuerpo ordenado.+Arquimedianidad.+Completitud.

Los reales son los unicos que cumplen los axiomas.

Hilbert 1900

Metodo axiomatico

Dieciseis axiomas de cuerpo ordenado.

+Arquimedianidad.+Completitud.

Hilbert 1900

Metodo axiomatico

Dieciseis axiomas de cuerpo ordenado.+Arquimedianidad.

+Completitud.

Hilbert 1900

Metodo axiomatico

Dieciseis axiomas de cuerpo ordenado.+Arquimedianidad.+Completitud.

Bertrand Russell

La ventaja del metodo axiomatico contra el genetista es la misma del robo contra eltrabajo honrado.

Parte VII

Hasta el infinito... y mas alla

Cantor:

CardinalesOrdinales

Du Bois ReymondInfinitesimales

ConwaySurreales

Cantor:Cardinales

Ordinales

ConwaySurreales

Cantor:CardinalesOrdinales

ConwaySurreales

Du Bois Reymond

Infinitesimales

ConwaySurreales

Conway

Surreales

ConwaySurreales

Cantor

Definicion: A y B tienen el mismo cardinal si existe una biyeccion f : A→ B(A ∼ B).

Teorema: [Cantor-Bernstein] A ∼ B si y solo si existen f : A→ B y g : B → Ainyectivas.

Ej: N ∼ Z

Ej: N ∼ Q

Ej: (0, 1) ∼ R

Cantor

Ej: N ∼ Z

Ej: N ∼ Q

Ej: (0, 1) ∼ R

Cantor

Ej: N ∼ Z

Ej: N ∼ Q

Ej: (0, 1) ∼ R

Cantor

Ej: N ∼ Z

Ej: N ∼ Q

Ej: (0, 1) ∼ R

Cantor

Ej: N ∼ Z

Ej: N ∼ Q

Ej: (0, 1) ∼ R

Cantor

Definicion: A se dice numerable si es finito o tiene el mismo cardinal que N

Teorema: [Cantor] R no es numerable.

Teorema: [Cantor] Los numeros algebraicos son numerables.

Corolario: [Cantor] Los numeros trascendentes no son numerables.

Cantor

Problema

Pregunta: Existira A ∈ R no numerable pero de cardinal menor al de R?

† Paul Cohen, 2 de Abril de 1934-23 de Marzo de 2007

Problema

Pregunta: Existira A ∈ R no numerable pero de cardinal menor al de R?

† Paul Cohen, 2 de Abril de 1934-23 de Marzo de 2007

John Conway

Surreales (On Numbers and Games)

Querıa describir juegos combinatorios, y generalizo:

la construccion de von Neumann de los ordinales

las cortaduras de Dedekind para los reales.

Cada surreal es un par ordenado de conjuntos de surreales.

John Conway

Surreales

El mas simple es el vacıo de cada lado, define el cero: (, ) = 0

Los demas se definen y ordenan recursivamente,

x > y si existe z a la izquierda de x tal que z = y o z > y

x < y si existe z a la derecha de x tal que z = y o z < y.

Ademas:

(0, 1, ..., n, ) = n+ 1

(, 0,−1, ...,−n) = −(n+ 1)

(x, y) = (x+ y)/2.

Vıa los racionales diadicos, estan los reales por Dedekind

Surreales

Ademas:

(0, 1, ..., n, ) = n+ 1

(, 0,−1, ...,−n) = −(n+ 1)

(x, y) = (x+ y)/2.

Surreales

Ademas:

(0, 1, ..., n, ) = n+ 1

(, 0,−1, ...,−n) = −(n+ 1)

(x, y) = (x+ y)/2.

Surreales

Ademas:

(0, 1, ..., n, ) = n+ 1

(, 0,−1, ...,−n) = −(n+ 1)

(x, y) = (x+ y)/2.

Surreales

Ademas:

(0, 1, ..., n, ) = n+ 1

(, 0,−1, ...,−n) = −(n+ 1)

(x, y) = (x+ y)/2.

Surreales

Ademas:

(0, 1, ..., n, ) = n+ 1

(, 0,−1, ...,−n) = −(n+ 1)

(x, y) = (x+ y)/2.

Surreales

Ademas:

(0, 1, ..., n, ) = n+ 1

(, 0,−1, ...,−n) = −(n+ 1)

(x, y) = (x+ y)/2.

Surreales

Ademas:

(0, 1, ..., n, ) = n+ 1

(, 0,−1, ...,−n) = −(n+ 1)

(x, y) = (x+ y)/2.

Surreales

Ademas:

(0, 1, ..., n, ) = n+ 1

(, 0,−1, ...,−n) = −(n+ 1)

(x, y) = (x+ y)/2.

Surreales

Suma y producto estan bien, pero aparecen otras cosas:

(0, 1, ..., n, ..., ) = ω