teorema de los tres momentos
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Teorema de los tres momentosEl teorema de los tres momentos o teorema de Clapeyron es una relación deducida de la teoría de
flexión de vigas y usada en en análisis estructural para resolver ciertos problemas
deflexión hiperestática, fue demostrado por Émile Clapeyron a principios del siglo XIX.
Índice
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1 Enunciado
2 Casos particulares
o 2.1 Carga continua y uniforme
o 2.2 Cálculo de áreas y distancias
o 2.3 Teorema de los dos momentos
o 2.4 Cálculo de reacciones
3 Ejemplos
o 3.1 Carga continua en dos vanos
o 3.2 Carga puntual en un vano
4 Referencias
o 4.1 Bibliografía
Enunciado[editar · editar código]
Dada una viga continua de material elástico lineal sobre varios apoyos simples, los momentos
flectores en tres apoyos consecutivos satisfacen la relación:1
(1)
Donde
, momento flector en el apoyo central, apoyo k-ésimo.
, momento flector en el apoyo a la izquierda, apoyo (k-1)-ésimo.
, momento flector en el apoyo a la derecha, apoyo (k+1)-ésimo.
longitud del tramo de viga entre el apoyo (k-1)-ésimo y el apoyo k-ésimo
longitud del tramo de viga entre el apoyok-ésimo y el apoyo (k+1)-ésimo.
, área de los momentos flectores isostáticos en los tramos y :
(2)
son las distancias a los centros de gravedad de los diagramas de momentos flectores
por la derecha y por la izquierda, el producto de estos por las áreas respectivas se puede
calcular como:
(3)
Casos particulares[editar · editar código]
Carga continua y uniforme[editar · editar
código]
Una fórmula frecuentemente empleada para tableros de
puentes, viga y otros elementos con una carga uniforme es un
caso particular del teorema de los tres momentos:
Cálculo de áreas y distancias[editar · editar
código]
Las fórmulas integrales (2) y (3) no resultan cómodas en el
caso general, sin embargo, para los casos má frecuentes de
carga es posible calcular el área del diagarama de momentos
isostáticos de cada tramo, y los centros de gravedad de estas
áreas. Para un tramo de longitud L las magnitudes anteriores
son:
Fórmulas para el área y los centros de gravedad
Tipo de carga
Uniforme
Puntual___
Triangular
Potencial ___
Uniforme inicial
___
Uniforme centrada
___
Senoidal
Triangular centrada
___
Teorema de los dos momentos[editar · editar código]
El teorema de los dos momentos es similar pero relaciona
el momento flector en dos apoyos consecutivos pero
requiere que uno de ellos sea un empotramiento. Si se
tiene un empotramiento a la izquierda y otro apoyo simple
a la derecha, el teorema de los dos momentos establece
que la relación entre ambos es:
(4a)
Expresión que puede obtenerse como caso límite del
teorema de los tres momentos anterior haciendo
y . Si el empotramiento está a la derecha y el
apoyo simple a la izquierda la expresión es:
(4b)
Que también se obtiene de la expresión de los tres
momentos haciendo y
Cálculo de reacciones[editar · editar
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Una vez determinados los momentos hiperestáticos con
ayuda del teorema de los tres momentos el cálculo de
reacciones verticales en cada uno de los apoyos se puede
hacer fácilmente con ayuda de la siguiente fórmula:
(5)
Donde alguno de los términos anteriores debe tomarse
igual a cero en el caso de los apoyos extremos por ser
inexistente. Y donde:
, es la reacción isostática en el apoyo de la izquierda del k-ésimo vano,
, es la reacción isostática en el apoyo de la derecha del k-ésimo vano.
Obviamente:
Ejemplos[editar · editar código]
Carga continua en dos vanos[editar · editar código]
Viga continua de tres apoyos con carga continua.
Momentos flectores para viga continua de tres
apoyos con carga continua.
Viga continua con carga uniforme en toda
su longitud, siendo las dos longitudes
iguales, en este caso, reflejado en la figura
de la derecha el teorema de los tres
momentos lleva a:
Teniendo en cuenta que en este
caso por ser los extremos de la
viga articulados, usando la fórmula de cálculo del
áreas y distancias conveniente (
) y susbstituyendo en la
ecuación anterior se tiene que:
y el diagrama de momentos flectores es como el
de la figura de la derecha, y viene dado por:
El máximo momento flector positivo se obtiene
buscando los puntos para los cuales la derivada
de la función anterior se anula
y donde:
Esfuerzos cortantes para viga continua de tres
apoyos con carga continua, los saltos en el
diagrama coinciden con las reacciones.
Las reacciones en los apoyos pueden calcularse
fácilmente mediante las ecuaciones (5):
Carga puntual en un vano[editar · editar código]
Viga continua de tres apoyos con carga puntual en
el primer vano.
Momentos flectores para viga continua de tres
apoyos con carga puntual.
Viga continua con carga puntual en el
primer vano, siendo las dos longitudes
iguales, en este caso, reflejado en la figura
de la derecha el teorema de los tres
momentos lleva a:
Teniendo en cuenta que en este
caso por ser los extremos de la
viga articulados, usando la fórmula de cálculo del
áreas y distancias conveniente (
) y susbstituyendo en la
ecuación anterior se tiene que:
El momento flector máximo se da en el primer
vano y puede ser calculado como:
Esfuerzos cortantes para viga de tres apoyos con
una carga puntual, los saltos en el diagrama
coinciden con las reacciones.
y el diagrma de momentos flectores es como el
de la figura de la derecha. Las reacciones en los
apoyos calculadas mediante las ecuaciones de
(5):