24/11/2015 Teorema de Heine­Borel ­ Wikipedia, la enciclopedia libre

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En el análisis matemático, el teorema de Heine­Borel (también llamado teorema de Heine­Borel­Lebesgue­Bolzano­Weierstraß o inclusoteorema de Borel­Lebesgue) establece condiciones para que un subconjunto de o de sea compacto. Cuando se refiere al casoparticular de la recta real recibe el nombre de Teorema de Heine­Borel. En el resto de los casos, es frecuente llamarlo Teorema de Borel­Lebesgue.[cita requerida]

El teorema se enuncia de la siguiente manera:

Si un conjunto tiene alguna de las siguientes propiedades, entoncestiene las otras dos:

1. es cerrado y acotado.2. es compacto.3. Todo subconjunto infinito de tiene un punto de acumulación en .

Las distintas formulaciones del teorema se deben su nombre a los matemáticos Eduard Heine, Émile Borel, Henri Lebesgue, Bernard Bolzanoy Karl Weierstrass.

Índice

1 Demostración

1.1 Teoremas preliminares

1.2 Demostración del teorema de Heine­Borel

2 Véase también

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Demostración

Teoremas preliminares

Los subconjuntos cerrados de conjuntos compactos son compactos

Sea un conjunto cerrado y un conjunto compacto tales que .

Sea una cubierta abierta de , entonces es una cubierta abierta de (podemos agregar ya que es abierto). Como es compacto entonces tiene un refinamiento finito que también cubre a . Podemos quitar a y sigue cubriendo a . Así

obtenemos un refinamiento finito de cualquier cubierta abierta de

Si , donde es un conjunto infinito y es compacto, entonces tiene un punto de acumulación en

Si no tuviera puntos de acumulación en entonces donde es una epsilon­vecindad y . Es claro que elconjunto de estas vecindades forman una cubierta par pero no tiene un refinamiento finito, lo mismo cumpliría para que contradiría ladefinición de que es compacto.

Toda k­celda es compacta

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Sea una k­celda que consiste de todos los puntos x tal que y . Sea entonces si . Sea una cubierta arbitraria de y supongamos que no se puede

cubrir con una cantidad finita de 's.

Tomemos entonces los intervalos determinan celdas . Entonces por lo menos un

no se puede cubrir con una cantidad finita de 's. Lo llamaremos y así obtenemos una sucesión tal que:

1. .2. no se puede cubrir con una cantidad finita de 's.3. Si entonces .4.

Digamos que , como cubre a entonces . Como es abierto . Si tomamos nsuficientemente grande tal que tenemos que este lo cual contradice la suposición de que no se puede cubrircon una cantidad finita de 's.

Demostración del teorema de Heine­Borel

Si cumple 1) entonces para alguna k­celda , y 1) implicaría 2) por los teoremas 1 y 3 anteriores.

Si se cumple 2), entonces se cumple 3) por el teorema 2 anterior.

Ahora falta demostrar que si cumple 3), entonces cumple 1): Si no es conexo entonces contiene un conjunto tal que entonces el subconjunto es finito y tiene un límite en , lo cual contradice 3). Si no es abierto entonces existe un elemento

que es un punto de acumulación de pero no está en . Para existen tales que ,entonces el conjunto es infinito y tiene límite contenido en él mismo, lo cual contradice 3).

Véase también

Conjunto de Borel

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