Émile borel - las probabilidades y la vida

Biblioteca de Divulgación CientíficaMUY INTERESANTE

ÉMILE BOREL

LAS PROBABILIDADES Y LA VIDA

(Edición puesta al día por Gustave Malecot)

EDICIONES ORBIS, S.A.

Título original: Les probabilités et la vieTraducción: A. Giralt PontAsesor científico de la colección: Pedro PuigdoménechDirector editorial: Virgilio Ortega

© Presses Universitaires de France, 1971© Oikos-tau, s.a. - ediciones© Por la presente edición, Ediciones Orbis, S.A., 1986Apartado de Correos 35432, 08080 Barcelona© Foto portada: Fototeca

ISBN: 84-7634-835-5D.L.: B. 37.406-1986

Impreso y encuadernado porprinter industria gráfica, sa c.n. II, cuatro caminos, s/n08620 sant vicenc deis horts barcelona 1986

Printed in Spain

INTRODUCCIÓN

La ley única del azar. — Plan de la obra.

1. La ley única del azar. — ¿Existen leyes del azar? Pare-ce evidente que la respuesta debería ser negativa, ya que preci-samente el azar se define como característica de los fenómenos que no tienen ley, fenómenos cuyas causas son demasiado complejas para que podamos preverlas. Sin embargo, los mate-máticos, a partir de Pascal, Galileo y de otros muchos pensado-res eminentes, han establecido una ciencia, el cálculo de proba-bilidades, cuyo objeto ha sido generalmente definido como el estudio de las leyes del azar. En realidad, el principal objetivo del cálculo de probabilidades, como su mismo nombre indica, es calcular las probabilidades de fenómenos complejos en función de probabilidades conocidas de fenómenos más senci-llos.

¿Cómo puede permitir el cálculo de probabilidades prever algunas eventualidades aleatorias? El mecanismo de la previ-sión es siempre el mismo y hace intervenir de manera invaria-ble a la única del azar, de la que hablaremos con más detalle, y que consiste esencialmente en que no se producen los fenóme-nos muy poco probables. Se trata, pues, de combinar las proba-bilidades de fenómenos sencillos, de manera que lleguen a definirse fenómenos complejos cuyas probabilidades son de-masiado pequeñas para que sea aplicable la ley única del azar.

En esta obra utilizaremos algunos resultados del cálculo de probabilidades, pero no es absolutamente necesario que el lector conozca al detalle los métodos a través de los cuales estos resultados han sido obtenidos; es suficiente que confíe en los matemáticos, del mismo modo que un industrial tiene con-fianza en su sección de contabilidad, sin verse obligado a repa-sar todas las sumas y todas las multiplicaciones.

Los fundamentos sobre los que se basa el cálculo de proba-bilidades son extremadamente sencillos y tan intuitivos como

los razonamientos que llevan a un contable a sumar o multipli-car. Algunas veces las probabilidades simples son conocidas por razones de simetría: si uno lanza al aire una moneda (juego de cara o cruz), las probabilidades de los dos lados de la mone-da son iguales y cada una de ellas es de una mitad; existe una posibilidad sobre dos de que salga cara, y una sobre dos de que salga cruz. Para un dado de seis caras, la probabilidad de cada una de ellas es de un sexto; hay una probabilidad sobre seis de obtener la cara con el número cuatro. Otras probabilidades, de naturaleza más compleja, se deducen de la experiencia o de la estadística; si de 10.000 hombres de 80 años de edad mueren 1.300 en el curso de un año, se llega a la conclusión de que la probabilidad de morir en un año para un hombre de 80 años es de alrededor del 13%, es decir, igual a 0’13. Es evidente que las probabilidades nunca se conocen rigurosamente; únicamen-te se conocen valores aproximados, lo que, por otra parte, acontece en todas las magnitudes físicas que se pueden medir. Por más precisos que sean los medios de conocimiento, su precisión es limitada. En un dado o en una moneda, nunca es rigurosa su simetría, y el valor 1/2 o 1/6 de probabilidad es asimismo solamente aproximado.

Conociendo las probabilidades simples, es cuestión de combinarlas; si simultáneamente se lanzan al aire dos monedas o sucesivamente dos veces la misma moneda, la probabilidad de obtener dos veces cruz será igual al producto de una mitad por una mitad, es decir, un cuarto. Si se tiran dos dados, la probabilidad de obtener el doble seis será de 1/6' multiplicado por 1/6, o sea 1/36. Pero la probabilidad de obtener 6 y 5 con dos dados será 1/18, ya que puede obtenerse 6 con el primer dado y 5 con el segundo, o 6 con el segundo y 5 con el prime-ro, y cada una de estas eventualidades tiene por probabilidad 1/36.

Por procedimientos y observaciones semejantes, los agentes de compañías de seguros, conociendo los cuadros de mortali-dad de los hombres y de las mujeres, pueden resolver un pro-blema como el que sigue. Dos esposos mayores, el marido de 60 años y la mujer de 55, invierten una suma de 2.000 dólares a cambio de una renta vitalicia que deberá ser satisfecha hasta la

muerte del último superviviente: ¿cuál debería ser el importe de esta renta, para un valor dado del tipo de interés, si no se tuviera en cuenta el beneficio que debe reservarse la compañía de seguros para hacer frente a sus gastos generales y para for-mar reservas que son la garantía para los asegurados de ser pagados en cualquier caso? Un problema más difícil, pero que se puede resolver de acuerdo con los mismos fundamentos, consiste en calcular la reducción a que es preciso someter la renta para que la compañía esté prácticamente segura de poder hacer frente a sus compromisos para con todos los asegurados en rentas vitalicias, incluso si algunos de ellos tienen la suerte de vivir mucho tiempo. Para la resolución de este segundo problema, es necesario acudir a la ley única del azar, de la que ya hemos hablado.

Esta ley es extremadamente simple y de una evidencia intuitiva, aunque no sea racionalmente demostrable: los acon-tecimientos cuya probabilidad es suficientemente escasa, nun-ca se producen; o, por lo menos, en todas las circunstancias, deben ser tratados como imposibles.

Un ejemplo clásico de estos acontecimientos imposibles es el del milagro de los monos mecanógrafos1, al que se puede dar la forma siguiente: una mecanógrafa que conoce solamente el castellano es encerrada en un lugar aislado durante varios me-ses con su máquina de escribir y papel en blanco; se distrae escribiendo al azar y, al cabo de seis meses, resulta que ha escrito sin ningún error las obras completas de Shakespeare en su texto inglés y las obras completas de Goethe en su texto alemán. Este es el tipo de acontecimientos que, aunque no puede demostrarse racionalmente que son imposibles, son, sin embargo, tan extraños, que cualquier persona de sentido común no dudará en declararlos efectivamente imposibles. Si alguien nos asegurara haber observado un acontecimiento semejante, no dudaríamos en pensar que nos engaña, o que él mismo ha sido víctima de una superchería.

El caso de la mecanógrafa reproduciendo las obras de Shakespeare y de Goethe sin conocerlas es tan milagroso, que

1 Borel, E., Le Hasard, págs. 164-339, Alean.

nadie puede dudar de su imposibilidad; no obstante, uno podría imaginarse acontecimientos menos inverosímiles, si bien muy improbables; por ejemplo, si la mecanógrafa hubiese escrito simplemente un verso de Shakespeare o de Goethe, o sencilla-mente tan sólo las dos primeras palabras de una de sus obras. Es en casos parecidos que el cálculo de probabilidades debe intervenir, pues permite establecer el valor exacto de la proba-bilidad del suceso en cuestión; en el Capítulo III veremos los límites dentro de los cuales uno puede llegar a considerar re-chazable esta probabilidad.

2. La repetición crea la inverosimilitud. — Si examina-mos el caso de la mecanógrafa milagrosa, comprobaremos que la inverosimilitud es el resultado de que el éxito total exige que el éxito parcial se realice sucesivamente gran número de veces; el éxito parcial consistirá en que la primera letra escrita por la mecanógrafa sea precisamente la primera letra de Fausto. Este resultado no es probable, ya que existen 29 letras en el alfabe-to; pero sin embargo, no es completamente inverosímil. Igual-mente ocurre con la segunda letra, que podría tener muy bien la suerte de coincidir con la segunda letra de Fausto; lo mismo para la tercera, y así sucesivamente. Cada uno de estos resulta-dos parciales, considerándolo aisladamente, puede ser perfecta-mente posible; es su casi indefinida repetición lo que crea la inverosimilitud y que nos parece razonablemente imposible.

Uno de los problemas más clásicos que estudia el cálculo de probabilidades es precisamente el de las probabilidades de este o aquel resultado cuando se repite indefinidamente una misma prueba. Por ejemplo, se lanza al aire una moneda y se considera como un hecho favorable si sale cruz. ¿Cuál es la probabilidad para que este hecho se produzca 10.000 veces seguidas en 10.000 pruebas sucesivas? ¿cuál es la probabilidad para que se produzca más de 6.000 veces a lo largo de 10.000 pruebas? El cálculo indica que estas probabilidades son tan escasas, que es imposible, según la ley única del azar, llegar a estos resultados.

3. Plan de esta obra. — Tenemos la intención de estudiar en esta obra las aplicaciones del cálculo de probabilidades en cierto número de cuestiones elegidas de entre las que interesan de un modo directo a todo el mundo, la mayoría de ellas rela-cionadas con la vida cotidiana o con la enfermedad y la muerte. Dejaremos a un lado, pues, las importantes aplicaciones del cálculo en las ciencias, especialmente en las físicas2; recorde-mos, sin embargo, que la importancia de estas aplicaciones y los descubrimientos que han originado constituyen una de las pruebas más sólidas de la exactitud del cálculo de probabilida-des. No desarrollaremos en absoluto las aplicaciones de este cálculo a la teoría de los juegos de azar, aplicaciones que han sido el origen del cálculo de probabilidades y que forman una de las ramas más atractivas de esta ciencia. Nos contentaremos en hacer alusión algunas veces a ella, tomando sencillos ejem-plos destinados a ilustrar y a hacer comprender mejor algunos de los resultados que utilizaremos.

Las breves explicaciones que acabamos de dar acerca de la ley única del azar y del milagro mecanográfico, son suficientes para hacer comprender una dificultad preliminar, a la cual están destinados nuestros dos primeros capítulos. Esta dificul-tad es la siguiente: el cálculo de probabilidades es una ciencia exacta, cuyos resultados son tan ciertos como los de la aritméti-ca o los del álgebra, tanto, que se limita en calcular numérica-mente las probabilidades. De esta manera se llegaría a calcular la probabilidad para realizar el milagro mecano- gráfico de las obras de Shakespeare y de Goethe; si estas obras forman 50 volúmenes de la dimensión de la presente, o sea, alrededor de diez millones de caracteres, la probabilidad del suceso milagro-so que hemos tratado es igual a la unidad dividida por un nú-mero de más de diez millones de cifras. Este resultado es tan indiscutible como el de toda operación aritmética correctamen-te efectuada. Pero, si de la extraordinaria pequeñez de la proba-bilidad se concluye que el milagro mecanográfico es imposible en virtud de la ley única del azar, se sale del dominio de la

2 Ver mis obras Le Hasard, Alean, y Le Jeu, la Chance et les Theories scienti-fiques modernes, Gallimard.

ciencia matemática y es necesario reconocer que la afirmación, que nos parece evidente e indiscutible, no es una verdad mate-mática estrictamente hablando. Incluso un matemático, apasio-nadamente abstraído, podría pretender que bastaría volver a empezar la experiencia un número suficiente de veces, a saber, un número de veces representado por un número de 20 millo-nes de cifras, para estar seguro de que el milagro se producirá varias veces a lo largo de estas innumerables experiencias. Pero es humanamente imposible imaginar que la experiencia se produzca tan a menudo. Si consideramos que las dimensiones del Universo son iguales a un trillón de años luz, el número de átomos que podría contener, si estuviera lleno de materia, se expresa por un número menor de 200 cifras y, en el transcurso de un trillón de años, transcurren menos segundos que los que se podrían expresar con un número de 50 cifras. Ya que, si durante este tiempo cada átomo del Universo se transformara en mecanógrafa y repitiera la experiencia cada milésima de segundo, el número de experiencias realizadas sería muy infe-rior a un número de 300 cifras. No se puede pensar, pues, en experiencias cuyo número comporte más de un millón de ci-fras; este es un punto de vista pura-mente abstracto, un pasa-tiempo matemático, que no puede corresponder a nada, y debe-mos confiar en nuestra intuición y en nuestro sentido común, que nos permiten afirmar la imposibilidad práctica del milagro mecanográfico que hemos descrito.

Sin embargo, se presentarán casos en que la evidencia intui-tiva será menos manifiesta y en los cuales, en virtud de la ley del azar, será legítimo concluir en afirmaciones de valor prácti-co. El hecho de que estas afirmaciones no participen del valor absoluto de los teoremas matemáticos no se debe disimular, ya que tal disimulo correría el peligro de justificar todas las dudas sobre su exactitud; es preciso comprender que la ley única del azar lleva consigo una certeza de otra naturaleza que la mate-mática, pero esta seguridad es comparable a la que se nos im-pone sobre la existencia de tal personaje histórico o de tal ciu-dad situada en los antípodas, de Luis XIV o de Melbourne, igual a la que atribuimos a la existencia del mundo que nos es desconocido.

Esta digresión hace comprender la naturaleza de la dificul-tad preliminar a la que están consagrados los dos primeros capítulos. El sentido común basta a cada uno para darse cuenta, de manera más o menos confusa, del carácter particular de las afirmaciones basadas sobre el cálculo de probabilidades; de aquí a dudar sobre la exactitud de estas afirmaciones no hay más que un paso, que será salvado rápidamente, ya que, como veremos, existe mucha gente que tiene motivos psicológicos que les inducen a rechazar algunos resultados deducidos del cálculo de probabilidades.

El Capítulo Primero estará dedicado a las relaciones entre el cálculo de probabilidades y la psicología de los jugadores; el Capítulo II estará dedicado a las dificultades que surgen en muchos espíritus de hombres muy razonables, cuando se trata de probabilidades concernientes a la vida humana.

En el Capítulo III intentaremos precisar cuáles son los valo-res de las probabilidades que pueden y deben considerarse prácticamente negligibles. De esta manera nos veremos lleva-dos a definir sucesivamente las probabilidades negligibles a escala humana, a escala terrestre, a escala cósmica y a escala supercósmica; acabaremos con unas observaciones sobre la definición de las probabilidades de la vida práctica.

En el Capítulo IV estudiaremos los acontecimientos cuya probabilidad es muy escasa, pero sin ser absolutamente despre-ciable cuando el número de pruebas es muy elevado. Entonces veremos que de la ley única del azar se puede deducir una ley muy útil en la práctica: la ley de Poisson.

En el Capítulo V se estudiarán de un modo más profundo las probabilidades de fallecimientos, tratadas ya en el Capítulo II, así como las probabilidades de enfermedades y de acciden-tes y, por último, en el Capítulo VI se tratará sobre algunas aplicaciones curiosas del cálculo de probabilidades a algunos problemas concernientes a la herencia en la especie humana. En los Apéndices hemos desechado algunos desarrollos que habrían entorpecido el texto y que no son indispensables para seguir la lógica de las ideas. El Apéndice I está dedicado al estudio de las repeticiones en los números de seis cifras, núme-ros que naturalmente llaman la atención a todos los adictos a la

lotería y a todos los propietarios de lotes de obligaciones. El Apéndice II da algunas precisiones aritméticas sobre la fórmula de Poisson. Uno de mis antiguos alumnos, autor de brillantes investigaciones personales sobre el cálculo de probabilidades, Jean Ville, profesor en la Facultad de Ciencias de Poitiers, ha leído cuidadosamente y corregido las pruebas del original fran-cés de esta obra. Le doy mis más sinceras gracias por su valio-sa colaboración.

CAPÍTULO PRIMERO

LAS PROBABILIDADES Y LA OPINIÓN COMÚNLOS PREJUICIOS DE LOS JUGADORES

4. Las probabilidades y el sentido común. — No hay duda de que algunos resultados, los más seguros, del cálculo de probabilidades, a mucha gente se les muestran contrarios a lo que comúnmente se llama sentido común, es decir, a la opinión común. No empezaré a analizar esta noción, algo imprecisa, del sentido común, contentándome en citar una brillante página de Paul Valéry3: «Yo no me encuentro a mis anchas cuando me hablan del sentido común. Creo tenerlo, pues, ¿quién consenti-ría lo contrario?; ¿quién podría vivir tan sólo un momento sin él? Si alguien me lo niega, me desconcierto, me dirijo hacia mi interlocutor que no lo tiene, que se burla y que pretende que el sentido común es la facultad que en otro tiempo tuvimos para negar y rechazar claramente la pretendida existencia de los antípodas; lo que todavía hace hoy, cuando busca y encuentra en la historia de ayer los medios de no comprender nada de lo que ocurrirá mañana.

»Añade que el sentido común es una intuición completa-mente local que deriva de las experiencias inexactas, sin cuida-do, que se mezcla con una lógica y con analogías bastante impuras para ser universales. La religión no lo admite en sus dogmas. Cada día las ciencias lo aturden, lo confunden, lo desconciertan.

»Este crítico de sentido común añade que no hay por qué vanagloriarse de que sea lo más difundido en el mundo.

»Pero yo le respondo que todavía no hay nada que pueda sacar al sentido común esta gran utilidad que tiene en las dispu-tas sobre las cosas más imprecisas, en las que no es el argu-mento más poderoso invocarlo para sí, proclamar que los de-

3 Valéry, P., Regards sur le monde actuel, pág. 73, Stock, 1931.

más no razonan y que este bien tan precioso, por ser común, reside sólo en el que habla.»

La consecuencia que creo deducir de estas delicadas refle-xiones es que, cuando la ciencia tropieza con el sentido común, es útil volver a buscar el porqué e intentar encontrar los argu-mentos necesarios para convencer a los que recurren al sentido común contra la ciencia.

5. Los números de los billetes de lotería. — Muchas per-sonas rechazarán comprar un billete de lotería cuyas cifras tengan para ellos alguna característica especial por su disposi-ción; tal sería, por ejemplo, el caso del número 272727 y, con mayor razón, el número 222222. No obstante, todos los que han reflexionado sobre las probabilidades y sobre los métodos empleados para obtener los números premiados en la lotería, saben que las probabilidades de premio son las mismas para todos los billetes, cualquiera que sea su número. Y, sin embar-go, un gran número de ellos afirmarán, en nombre del sentido común: «es completamente imposible que un número tan sin-gular como el 222222 obtenga el primer premio». Quien afirma esto comprueba, cuando se publican los resultados del sorteo, que el primer premio, efectivamente, lo ganó un billete cuyo número es el 825717 o el 203409, y acaba por decir que el sentido común no lo engañó y que ha hecho muy bien en no comprar el número 222222 y sí el número 138615, que tampo-co ha ganado.

No hay duda de que es muy débil la probabilidad para que el número que gane el primer premio esté formado por seis cifras iguales, ya que es equivalente a cien milésimas, pues hay 10 billetes sobre un millón que están formados por seis cifras idénticas. Si se realizaran 25 sorteos por año, podríamos obser-var que el ganador del primer premio formado por seis cifras iguales tiene un promedio de una vez cada 4.000 años; así pues, es bastante probable que este hecho no será observado por un hombre a lo largo de toda su vida; pero ello no contradi-ce en absoluto el cálculo de probabilidades, según el cual, la posibilidad de ganar es la misma para todos los billetes.

En efecto, si uno señala concretamente un número, o inclu-so un lote de diez números, comprobará frecuentemente que no sale ninguno de estos diez números. Pero, si estos números son cualesquiera, que no tienen ninguna característica especial, uno no se fija en cada sorteo que estos números tampoco han sali-do.

6. Los números formados por dos cifras. — Uno se dará cuenta mejor del hecho de que las posibilidades de todos los números son iguales al estudiar cierta clase de ellos muy carac-terística, pero lo suficientemente conocida para que la salida de unos de ellos sea, de vez en cuando, efectivamente observada.

Un ejemplo nos lo darán los números formados por dos cifras, entre los cuales puede figurar el cero. Sea, por ejemplo, el número 233322, o el número 200200, o incluso el número 55555, ya que debe escribirse 055555; al contrario, el número 55444 está formado por tres cifras, ya que debe escribirse 055444. El sorteo se hace con seis bombos, cada uno de los cuales da una de las seis cifras del número ganador.

Es fácil calcular la cantidad de billetes cuyos números estén formados sólo por dos cifras.

Si una de las cifras figura 5 veces y la otra 1 vez, hay10x9x6 = 540 números 4.

Si una de las cifras figura 4 veces y la otra 2, hay10x9x ((6x5) / (1x2)) = 1.350 números.

Por último, si cada una de las cifras figura 3 veces, hay((10x9) / (1x2)) x ((6x5x4) / (1x2x3)) = 900 números5.

En total hay, pues, 540 + 1.350 + 900 = 2.790 números sobre 1.000.000 que responden a la condición de estar forma-

4 La cifra que figura 5 veces puede ser una cualquiera de las 10 cifras, y la que figura I vez, una cualquiera de las otras 9, lo que hace posible 90 elecciones; la cifra que no figura más que una vez puede ocupar 6 lugares distintos; en total se tienen, pues, 90 x 6 = 540 números.5 Si cada una de las cifras figura 3 veces, se puede elegir una de ellas de 10 maneras distintas y la segunda de 9 maneras. Pero cada combinación, como 3 y 4, se obtiene 2 veces (3 y 4, después 4 y 3); hay, pues, 45 combinaciones como la de 4 y 3 y, para cada una de ellas, 20 disposiciones distintas: 444333, 443433, etcétera, o sea, en total, 45 x 20 = 900.

dos sólo por dos cifras; si se añaden los diez números formados por una sola cifra resultan 2.800, o sea, casi 1 de cada 357. La probabilidad para que tal número obtenga un premio determi-nado es, pues, de alrededor de 1/357. Si admitimos que la cantidad de series y el número de premios son tales que hayan 360 premios importantes por año (por ejemplo, 30 series de 12 premios, o 18 series de 20 premios), se podrá observar la ga-nancia de un premio importante por uno de estos números un promedio de aproximadamente una vez por año6. Será un he-cho extraño, pero, sin embargo, bastante frecuente, que podrá ser observado por todos aquellos que siguen de cerca la lista de los números que han ganado los premios importantes en cada sorteo.

Efectivamente, si uno se tomara la molestia de consultar varias listas de sorteos que comprendan un millón de números, comprobaría con facilidad que la proporción de los números ganadores formados sólo por dos cifras está muy conforme con las previsiones del cálculo de probabilidades7.

En el Apéndice I estudiaremos con más detalle los núme-ros de 6 cifras desde el punto de vista de la repetición de una misma cifra en un número.

7. Las series en la ruleta. — El problema de las series en un juego como la ruleta es en extremo semejante al que acaba-mos de estudiar; incluso se le podría considerar idéntico si se utilizara el sistema de numeración binaria (de base 2). Se puede convenir en representar la salida del rojo por la cifra 0 y del negro por la cifra 1 (nos estamos basando en una ruleta que no

6 Según la fórmula de Poisson (ver Capítulo IV), se llega a la conclusión de que en 100 años habrá alrededor de 36 en que ninguno de estos números ganará un premio, 36 en que uno de estos números ganará, 18 en que dos de estos números ganarán, 6 en que tres números ganarán y 1 ó 2 en que cuatro números o más ganarán.7 En el caso de algunas categorías de obligaciones, cuyo número no es precisa-mente 1.000.000, sino por ejemplo 500.000, se comprobaría fácilmente que la proporción es muy semejante; si sobrepasa 1.000.000 se restará la cifra de los millones.

tiene el cero); una serie de juegos de ruleta saliendo el rojo o bien el negro, es entonces presentada por una serie de 0 y de 1, como 10100100101110101. Una serie así puede ser considera-da como un número escrito en el sistema binario y se puede representar razonándose sobre estos números tal como lo he-mos hecho con los números escritos en el sistema decimal; uno se verá obligado a admitir que estos números tan distintos tienen todos la misma probabilidad. Un número compuesto exclusivamente por la cifra 1 es muy singular y su salida es muy poco probable, sobre todo si el número de cifras es eleva-do, igual a 30 por ejemplo; pero la salida de cualquier otro número bien determinado de 30 cifras es igualmente improba-ble.

Dejemos de lado el sistema de numeración binario y trate-mos la cuestión por un razonamiento directo, poniendo en evidencia, desde un principio, el delicado punto en que los resultados del cálculo de probabilidades se discuten en nombre del sentido común.

Este delicado punto es el siguiente: todos los jugadores de ruleta han observado que, en una larga serie de jugadas, las salidas del rojo y del negro son casi tan numerosas unas como otras. Por ejemplo, en 1.000 jugadas se observarán 483 rojos y 517 negros; pero nunca se observarán 217 rojos y 783 negros. La mayoría de jugadores creen poder deducir de esta observa-ción —que es exacta y, además, completamente conforme con los resultados del cálculo de probabilidades— que, si durante cierto período han observado a menudo más el rojo que el negro, la ruleta ha contraído de alguna manera una deuda para con el negro y deberá pagar esta deuda haciendo salir más el negro que el rojo a lo largo de las próximas jugadas. En algu-nos casos, la deuda incluso deberá ser pagada inmediatamente; si un jugador, consultando los archivos de la ruleta a lo largo de un gran número de años, ha comprobado que la serie más larga observada ha sido de 24 rojos o de 24 negros, incluso si nunca se ha observado una serie que sobrepase 24, este mismo jugador, si un día observa una serie de 24 rojos, no dudará en

deducir que el negro debe salir forzosamente a la siguiente jugada, «puesto que nunca hay una serie de 25»

A ello Joseph Bertrand, junto con aquellos que han profun-dizado sobre el estudio de las probabilidades, responde: «La ruleta no tiene conciencia ni memoria». Es hacerle demasiado favor pensar que guarda el recuerdo de sus desvaríos y que tiende a repararlos.

El «sentido común» debería bastar para persuadir a los jugadores de que las sucesivas jugadas de la ruleta son inde-pendientes unas de otras; es imposible imaginar algún mecanis-mo por el cual las jugadas anteriores modificarían el resultado de la que va a ser jugada. Pero los jugadores están influidos por un hecho innegable y que es confirmado por multitud de obser-vaciones: en un gran número de jugadas, las salidas del rojo son casi tan frecuentes como las del negro y, para explicar este hecho de observación, no se les ocurre otro medio que imagi-nar la existencia de un mecanismo desconocido que desempe-ñaría el papel de la conciencia y memoria de la ruleta, es decir, este mecanismo obligaría a la ruleta a compensar sus veleida-des.

Un estudio profundo del conjunto de todas las posibilida-des, estudio completamente semejante al que se ha desarrollado en el Apéndice I para los números decimales de seis cifras, muestra que si las combinaciones en las que los rojos son casi tan numerosos como los negros son observadas más a menudo que las combinaciones en que los rojos serían más numerosos que los negros, únicamente es debido a que las primeras com-binaciones son mucho más numerosas que las otras, del mismo modo que los números de seis cifras formados por 3, 4, 5 o 6 cifras distintas son mucho más numerosos que los que no están formados más que por una o dos cifras diferentes.

No es porque los bombos de la lotería tengan ninguna atrac-ción particular hacia los números en los que figuran uno o dos pares, es decir, con una o dos cifras figurando dos veces en el número, que tales números salen más a menudo que los otros, sino porque, sobre un millón de números, hay más de 680.000 que tienen uno o dos pares. Igual ocurre en la distribución de los rojos o de los negros en una serie de jugadas de ruleta (no

tenemos en cuenta el cero). Por ejemplo, si se considera una serie de 30 jugadas, se obtienen los resultados siguientes. El número de posibles resultados de las 30 jugadas es igual a la 30.ª potencia de 2, o sea, algo más de mil millones (exactamen-te 1.073.741.824). Sobre estos mil millones de posibilidades, los distintos resultados globales siguientes representan el nú-mero de veces indicado:

30 rojos y 0 negro 1 vez

29 rojos y 1 negro 30 veces

28 rojos y 2 negros 435 veces

27 rojos y 3 negros 4.060 veces




23 rojos y 7 negros 2.035.800 veces










…………………… ……………………

…………………… ……………………

1 rojo y 29 negros 30 veces

0 rojo y 30 negros 1 vez

Hemos omitido la mayor parte de la segunda mitad del cuadro, ya que evidentemente es simétrica a la primera mitad. Existe el mismo número de combinaciones con 17 rojos y 13 negros que con 17 negros y 13 rojos.

La serie de 30 rojos, así como la serie de 30 negros, son de combinaciones únicas; cada una de ellas no es ni más ni menos singular que cada una de las otras combinaciones particulares, cuyo número sobrepasa los mil millones, pero toda combina-ción particular es en extremo poco probable; tal sería el caso de la combinación consistente en obtener rojo y negro alternativa-mente, de tal manera que el rojo saliera en todas las jugadas impares y el negro en todas las pares.

Los jugadores de ruleta nunca han observado una serie de 30 rojos, o de 30 negros, y con agrado consideran tal serie como imposible. Si una ruleta llega a jugar 1.000 veces por día (1 jugada por minuto durante algo más de 16 horas), sería ne-cesario un millón de días, o sea, alrededor de 27 siglos, para llegar a jugar mil millones de veces y tener, de este modo, verdaderas posibilidades para obtener una serie de 30 rojos (ver Capítulo IV, ley de Poisson).

Los casos en que, como mínimo, salen 28 rojos o bien 28 negros, son 2 x (1 + 30 + 435) = 932, o sea, menos de una millonésima parte del número total de jugadas; tal eventualidad será muy rara, pero algunas veces observable si un jugador paciente anota todas las jugadas durante algunos años; al com-pás de 1.000 jugadas diarias le bastarían 3 años para observar más de un millón de jugadas.

Las combinaciones que al menos contienen 27 rojos o 27 negros son superiores a 8.000, o sea, cerca de la cienmilésima parte del número total de combinaciones; tal eventualidad se presentará alrededor de una vez de cada 100.000.

Hay casi 63.000 combinaciones con al menos 26 rojos o negros; este conjunto de combinaciones se presentará casi una vez de cada 15.000.

Las combinaciones con al menos 25 rojos o negros llegan casi a 350.000; se presentarán con un promedio de algo más de

una vez de cada 3.000; el jugador que anotara 1.000 jugadas por día podría observarlas 2 veces por semana.

Pasando, como mínimo, a 24 rojos o negros, el número de combinaciones sobrepasa ampliamente el millón y la probabili-dad de observar una sobrepasa, pues, una milésima.

Con al menos 22 rojos y negros, el número de combinacio-nes sobrepasa los 10 millones (alrededor de 17 millones); la probabilidad está comprendida entre 1 y 2 centésimas.

Por último, con un mínimo de 20 rojos o negros, el número de combinaciones es algo superior a los100 millones y la pro-babilidad, muy cercana a una décima. Hay, pues, nueve posibi-lidades de cada 10 para que, en una serie de 30 jugadas, ni el número de los rojos ni el de los negros sobrepase de 19. Siendo el número medio 15 se dirá, si el número observado es 19, que el error con relación al promedio o, más concretamente, el error9 es igual a 4.

Hay, pues, 9 posibilidades de cada 10 para que el error sea como máximo igual a 4, es decir, que sea inferior a 5. Se obser-vará que 5 es la parte entera de la raíz cuadrada de 30, número de jugadas observadas. Esta es la ley general: la probabilidad de un error igual o superior a la raíz cuadrada del número de jugadas es aproximadamente igual a una décima.

8. La ley de los errores. — Puede verse que el cálculo de probabilidades está lejos de imponer al azar leyes rígidas a las que debería conformarse. No sólo son posibles los errores relativamente importantes, sino que, hasta cierto límite, son probables y necesarios. Quien observa con cuidado y perseve-rancia las series de 30 jugadas verá, bastante a menudo, series que contienen más de 20 rojos en las 30 jugadas, e incluso algunas veces series que contienen más de 25 rojos; pero no observará series que contengan 29 rojos y, con mayor razón, series de 30 rojos con la exclusión de los negros.

Si el número de jugadas de la serie es mucho más elevado, por ejemplo de 3.000 en lugar de 30, la probabilidad de los errores permanece igual, a condición de hacer corresponder los errores que están en la misma relación con la raíz cuadra-da del número de jugadas9 es decir, los errores que son 10

veces mayores para 3.000 jugadas que para 30. Los erro-res de 50 serán, pues, bastante probables, y los errores de 150 prácti-camente imposibles. Si el número de jugadas fuera de 300.000, los errores de 1.500 son los que serían extremadamente raros y casi imposibles. El error relativo, es decir, la relación del error con el número de jugadas decrece cada vez más a medida que el número de jugadas aumenta. Es la ley de los grandes núme-ros de Bernoulli, que es una sencilla consecuencia aritmética de la ley única del azar: las series de 300.000 jugadas en las cuales el error es inferior a 1.500, es decir, que encierran me-nos de 301.500 y más de 298.500 rojos, son extraordinariamen-te más numerosas que las series en las que el error es más con-siderable. Estas no se encuentran porque, aunque sean muy numerosas, son extremadamente raras con relación a las otras.

No sólo es en los juegos que uno debe tener en cuenta el aforismo de Joseph Bertrand: «la ruleta no tiene ni conciencia ni memoria». Esto es igualmente cierto en la mayoría de los fenómenos accidentales por los que nos interesamos en la vida, salvo en casos en que los fenómenos sucesivos no son indepen-dientes unos de otros. Un ejemplo muy conocido de estos casos es el de la lluvia y del buen tiempo. Una larga serie de días de lluvia aumenta las posibilidades para que llueva aún al día siguiente y, del mismo modo, una larga serie de días buenos aumenta las posibilidades para que haya aún otro día bueno. Pero, si uno observa la lluvia y el buen tiempo, no en días consecutivos, sino, por ejemplo, en una misma fecha, todos los años se aplicarán las reglas de las probabilidades. Las estadísti-cas meteorológicas nos indicarán, por ejemplo, que, en tal o cual ciudad y en el mes de mayo, hay el mismo número de días de lluvia y de días sin lluvia. Hay, pues, una posibilidad de cada dos para que el 14 de mayo sea un día de lluvia; si obser-vamos esta fecha durante cierto número de años consecutivos, podremos aplicar a estas observaciones los resultados obteni-dos para el rojo y el negro en la ruleta; el hecho de que haya llovido el 14 de mayo 5 años seguidos, no aumenta ni disminu-ye las posibilidades para que llueva en la misma fecha el año siguiente; son de una sobre dos.

Si un abonado de teléfono ha observado minuciosamente que, de las 2 a las 6 de la tarde, su teléfono está ocupado com-pletamente durante 2 horas de las 4, es decir, la mitad del tiem-po, por numerosas comunicaciones, cada una de corta dura-ción, tengo una posibilidad sobre dos de encontrarlo libre si llamo. Si he obtenido 3 veces seguidas la señal «comunica», tengo siempre una posibilidad sobre dos de encontrarlo libre si telefoneo de nuevo. Si telefoneo cada día, llegaré casi una vez por mes a obtener 5 veces seguidas la señal «comunica», y más de una vez por año obtenerla 8 veces seguidas. Si admitimos que, debido a una avería en el teléfono, recibimos automática-mente la señal «comunica» en una media de una o dos veces por año, será razonable que sospeche dicha avería cuando ha-bré, al menos, obtenido 8 veces seguidas tal señal; si la obtengo 10 o 12 veces seguidas, la alteración será muy probable; sería casi seguro si la señal «comunica» fuera obtenida 20 veces seguidas en intervalos de 5 o 10 minutos.

Si circulo en coche por una ciudad en la que numerosos cruces están equipados con señales rojas y verdes alternativa-mente, de tal modo que, sobre las dos vías que se cruzan, los coches tengan derecho a pasar sólo por una en un momento dado, tengo una posibilidad sobre dos de encontrarme en cada cruce con la luz roja o con la luz verde. Si mi camino comporta doce cruces, deberé esperar encontrar, como promedio, 6 luces rojas y 6 verdes. Pero, si un día tengo la mala suerte de encon-trarme luces rojas en los 6 primeros cruces, no podré llegar a la conclusión de que tendré luces verdes en los otros 6. Podría muy bien sucederme tener 10 si hago el mismo trayecto varias veces por día, o incluso 11, mucho más extraño 12 luces, todas rojas o, al contrario, todas verdes; si un día he tenido la mala suerte de estar detenido así en casi todos los cruces, ello no aumentará en absoluto mis posibilidades de encontrar al día siguiente luces verdes en la mayoría. Y, sin embargo, si tuviera la paciencia de llevar una estadística durante un año entero, comprobaría que la relación entre el número total de luces rojas y luces verdes sería muy próxima a la unidad.

CAPÍTULO II

CONJETURAS SOBRE LAS PROBABILIDADESCONCERNIENTES A LA VIDA Y A LA MUERTE

9. La mística del azar. — Una de las razones por las que algunas conjeturas están tan aferradas en los jugadores, es la gran importancia que conceden a ganar o perder; así, están muy dispuestos a recibir favorablemente las sugestiones más irreali-zables si creen ver en ellas un medio para vencer al azar y asegurarse el éxito. Es por el mismo motivo que algunas opi-niones especiales sobre la buena o mala suerte se dan con fre-cuencia en los hombres de teatro, actores o autores, cuyo éxito o reputación pueden depender de un incidente en el transcurso de un ensayo general. Les parece que la más mínima circuns-tancia puede traerles un brillante éxito o, al contrario, un fraca-so del que no se saldrán fácilmente, estando dispuestos a usar de todos los medios, en apariencia los más absurdos, para vol-ver a tener suerte.

Pero, aun siendo muy importante el hecho de ganar o per-der en el juego, el éxito o el fracaso en el teatro es una realidad a la que los hombres están todavía más ligados, ya que forma parte de su propio ser. Asimismo, en todas las cuestiones que conciernen más o menos directamente a la vida y a la muerte, la mayoría no razonan bien, dejándose llevar por su sensibili-dad o por sus prejuicios.

Las ideas confusas y, a veces, misteriosas, que muchos hombres se hacen del azar y de su papel en la vida, han sido resumidas con mucho talento por Rémy de Gourmont:

«No hay nada más esperado que lo inesperado, nada que, en el fondo, nos sorprenda menos. Lo que nos asombra, por enci-ma de todo, es el desarrollo lógico de los hechos. El hombre está en perpetua espera del milagro, e incluso se enfurece si

este no sucede, con lo cual se descorazona. Pero el milagro acontece a menudo. Las vidas más humildes no son más que una serie de milagros o, más bien, de azares. Se dirá que verda-deramente no hay azar y que esta palabra no hace más que confirmar nuestra ignorancia sobre el encadenamiento de las causas. Pero, siendo indescifrable este encadenamiento para nuestro espíritu, llamamos azar a todos los acontecimientos que, aun prestando nuestra mayor atención, nos sería imposible discernir su llegada. Se forman, se producen, pero no los cono-cemos ni podemos conocerlos. Y es bueno que no podamos. Es una acción indiferente, ya que la vida sólo es un acto de con-fianza en nosotros mismos y en la benevolencia del azar.

»Contamos con el azar. No existe ningún ser, incluso el más falto de imaginación, que no lo tenga presente en sus va-gas previsiones. Contar tan sólo con el azar es de locos; no contar con él, aún lo es más. Tan irrazonable es esperar como desesperar. En cada momento de la vida lo imposible resulta posible. Del mismo modo que puede ser motivo de esperanza encontrarse perdido en un laberinto a doscientos metros bajo tierra, puede uno desesperarse por completo el día en que nues-tro corazón rebosa de felicidad, en que la vida nos resulta agra-dable, colmando todos nuestros deseos8.»

Existen muchos motivos, que la razón no conoce, para que las aplicaciones del cálculo de probabilidades a la mayoría de problemas que conciernen a la vida humana sean a menudo sistemáticamente ignoradas e, incluso, a veces, despreciadas y puestas en duda, por las cuales, no obstante, debería uno intere-sarse.

Los resultados del cálculo de probabilidades que se han estudiado mejor son los concernientes a la mortalidad; desde hace más de un siglo, las compañías de seguros de vida distri-buyen a sus accionistas dividendos que son una prueba tangible de la exactitud de los estudios de sus dirigentes, basados sobre el cálculo de probabilidades y sobre los cuadros de mortalidad, es decir, sobre datos estadísticos.

8 De Gourmont, R., «L’Inattendu», Mercure de France, 15 de abril de 1906.

Este indudable valor de los datos sacados de estadísticas hechas con seriedad, contrasta con las conjeturas corrientes sobre la estadística. En gran parte, estas conjeturas tienden a lo que se ha llamado «mentalidad individualista». Al hombre no le gusta ser considerado como una simple unidad, idéntica a otras unidades; cada uno tiende hacia su individualidad y tiene un sinnúmero de buenas razones para considerarse realmente distinto de todos los demás hombres. Por consiguiente, cuando los estadistas comprueban que se produce cierta proporción de defunciones entre los hombres de 40 años, cada uno de estos pensará que esta estadística no le concierne en absoluto, ya que, considerándose aún joven y disfrutando de buena salud, no existe ninguna razón para fallecer en el curso del año. A menos que tal individuo se considere, con o sin razón, grave-mente enfermo, pensando que su muerte no tardará.

10. El promedio de vida. — Los resultados estadísticos son tan exactos, que no es preciso aplicarlos sin discriminación a todos los hombres de 40 años; las compañías de seguros obligan a un examen médico a los que quieren asegurarse. En los coeficientes de mortalidad deducidos de los cuadros es conveniente distinguir la parte que se aplica a los p individuos que, tras el examen médico, se consideran con buena salud, y la parte que se aplica a los individuos a quienes dicho examen revela la existencia de enfermedades o de algunas taras heredi-tarias (tuberculosis, cáncer, sífilis, etc.). Pero, hecha esta salve-dad, no hay duda de que hay cierta probabilidad de morir en el curso del año para cualquier ser humano, probabilidad que depende de diversas causas, de las que la edad y el sexo son las más importantes. Esta probabilidad puede ser calculada gracias a los cuadros de mortalidad, de los que hablaremos más adelan-te9.

Estos cuadros de mortalidad permiten calcular, en una épo-ca y en un país determinado, la vida media de los hombres y la de las mujeres, que generalmente es algo más elevada que la de los hombres.

9 Ver Capitulo V y Apéndice II.

El promedio de vida de cierto número de individuos es la media aritmética de la duración de la vida de cada uno de ellos. Definida así, el promedio de vida sólo puede ser calculado con exactitud si se trata de un grupo de individuos que estén todos muertos. Es de esa forma que, con los análisis de los registros del estado civil del siglo xix, se podría calcular la vida media de los individuos nacidos en 1800 que murieron en un país determinado.

Tratándose de una población numerosa, si los cuadros de mortalidad están seriamente establecidos, se puede admitir que las edades de fallecimiento del conjunto de personas que viven en la actualidad se repartirán en el futuro, si el estado de salud no cambia, siguiendo proporciones muy semejantes de las que resultarían de estos cuadros de mortalidad. Esto es lo que per-mite hablar del promedio de vida de los habitantes de un país en una fecha dada.

Se podría pensar en otro método para calcular el promedio de vida: tomar la media aritmética de las edades de falleci-miento de todos los hombres o de todas las mujeres muertos a lo largo de un año. Reflexionando un poco, nos daríamos cuen-ta de que este método sólo sería correcto si la población perma-neciera sensiblemente estacionaria en el transcurso de un largo período. Si anotamos el número de fallecimientos a lo largo del año 1941, los muertos a la edad de 20 años pertenecen a perso-nas nacidas en el año 1921, mientras que los muertos a la edad de 80 años conciernen a personas nacidas en 1861. Por lo tanto, si la población del país en cuestión hubiera aumentado notable-mente de 1861 a 1921, el número de muertos de 20 años resul-taría demasiado elevado en relación con el número de falleci-mientos de los de 80 años, de manera que la vida media calcu-lada sería inferior a la vida media real.

Las estadísticas revelan que, en todos los países civilizados, el promedio de vida ha aumentado notablemente en el transcur-so de los dos últimos siglos; este aumento se debe, en gran parte, a la disminución considerable de defunciones de niños de menos de un año, debido a los progresos de la higiene. Ade-más, sería interesante desde varios puntos de vista, considerar la vida media calculándola no por el conjunto de nacimientos,

sino por el conjunto de niños que hayan alcanzado un año. Volveremos a tratar este punto en el Capítulo V.

11. Interpretación de los cuadros de mortalidad. — Algunas de las indicaciones que acabamos de dar son suficien-tes para señalar la importancia que tienen para cada uno de nosotros las indicaciones de los cuadros de mortalidad y el valor del promedio de vida, a condición de comprender bien su significado y no exagerar su valor. No cabe duda de que cada habitante de un país está interesado en el aumento de la vida media del mismo, aumento que puede ser consecuencia de las medidas de higiene tomadas para evitar la propagación de algunas enfermedades epidémicas o contagiosas, de la cons-trucción de hospitales, sanatorios, etc.

Sé perfectamente que una persona individualista podría encerrarse en su egoísmo y decir: tomo personalmente todas las precauciones para evitar los contagios, tengo un excelente médico que me vigila y cuida bien si caigo enfermo; así pues, poco me importa que se construyan o no hospitales donde yo no iré nunca, que se higienicen barrios insalubres donde no pienso residir. Incluso, desde su punto de vista puramente egoísta, a este individuo le falta razón, pues no puede vivir aislado del conjunto de los demás seres humanos, estando expuesto a ser víctima de contaminaciones más o menos direc-tas, que se habrían evitado de haberse eliminado algunas enfer-medades gracias a los progresos de la higiene.

Además, las excesivas precauciones tomadas contra varias contaminaciones por algunas personas demasiado preocupadas por su salud, producen, a veces, desastres imprevistos; se citan casos de personas que, no habiendo bebido más que agua her-vida durante muchos años para evitar la fiebre tifoidea, mueren de esta enfermedad a causa de un único descuido; lo habría soportado mejor aquel cuyo organismo se hubiera acostumbra-do poco a poco a la lucha contra los microbios. Bertrand dedi-ca10 unas páginas muy interesantes a la controversia que se produjo en el momento en que se descubrió la vacuna contra la

10 Calcul des probabiütés, Gauthier-Villars.

viruela, controversia en la que tomaron parte especialistas del cálculo de probabilidades. El problema que se planteaba era el siguiente: la vacunación producía la muerte de una persona de cada 100; pero, en aquella época, eliminaba probabilidades muy considerables de fallecimiento por viruela; ¿es aconseja-ble la vacunación? o, al contrario, ¿no debe practicarse?

Calculando la vida media en las dos hipótesis (vacunación o no vacunación), Bernoulli llegó al resultado de que la vacu-nación aumentaba el promedio de vida en tres años, llegando a la conclusión de que no debía dudarse en practicarla.

Bertrand, después de Alembert, no dudó en indicar que el cálculo de la vida media no es suficientemente decisivo y que deben intervenir otras consideraciones.

He desarrollado los argumentos de Bertrand11; la principal razón por la que muchas personas dudarán. y con motivo, en dejarse convencer por el cálculo de la vida media, es ignorar la fecha exacta en la que se producirá su muerte, ignorancia que es uno de los elementos más importantes de su cotidiana felici-dad. Si los progresos de la ciencia lograran que cada uno cono-ciera la fecha exacta en la que se produciría su muerte, la men-talidad humana cambiaría completamente, dando cada cual una importancia especial a diversas circunstancias que podrían modificar la fecha de su fallecimiento prevista por los médicos. Sin embargo, es inútil razonar sobre una hipótesis irrealizable; veamos las cosas tal como son.

Evidentemente, frente a los peligros de enfermedades, los hombres se dividen en dos categorías, pasando algunos de ellos de una categoría a otra según su humor, o perteneciendo alter-nativamente a una u otra según la enfermedad de que se trate. Una de las categorías es la de los apáticos; la otra, la de los obsesos. Los primeros se desentienden queriendo ignorar que hay microbios de la fiebre tifoidea y de los peligros de conta-gio; comen y beben tal como lo han hecho sus padres y sus antepasados y piensan que su robusta constitución les evitará el contagio; si este se produjera, lo aceptarían con fatalidad. Con-trariamente, los obsesos, cuya atención se habrá despertado

11 Le Hazard, pags. 239 y sigs.

unas veces por una lectura, otras veces por una enfermedad mortal observada en torno suyo, continuamente sólo pensarán en tomar precauciones para evitar las enfermedades que los preocupan en particular (olvidando, a veces, peligros de enfer-medades más peligrosas y más frecuentes). Pero, tanto unos como otros, no se interesarán en absoluto por el conocimiento exacto de las probabilidades de contagio o de fallecimiento relativos a cierta enfermedad; estas cifras abstractas no les dirían nada; lo que únicamente tiene valor para ellos es la reac-ción de su sensibilidad personal frente a tal o cual enfermedad; uno temerá la tifoidea; otro, el cáncer, etc.

CAPÍTULO III

LAS PROBABILIDADES NEGLIGIBLES Y LASPROBABILIDADES DE LA VIDA PRÁCTICA

12. Certeza científica y certeza práctica. — Cuando he-mos enunciado la ley única del azar: «los acontecimientos cuya probabilidad es bastante pequeña nunca se producen»9 no hemos disimulado la imprecisión del mismo. Es uno de los casos sobre los que no cabe ninguna duda; por ejemplo, el caso del milagro mecanográfico, en el que las obras completas de Goethe son reproducidas por una mecanógrafa desconocedora del alemán y escribiendo a máquina al azar. Pero, entre este caso, difícil en extremo, y aquellos de probabilidades muy pequeñas, a pesar de lo cual su acaecimiento no es inverosímil, hay un gran número de casos intermedios. Vamos a intentar precisar lo más posible qué valores de la probabilidad deben ser considerados como despreciables en estas o aquellas cir-cunstancias.

Es evidente que las exigencias que puedan formularse sobre el grado de certeza que deben esperarse de la ley única del azar no serán las mismas según se trate de una certeza casi absoluta, o bien de una con la que nos contentamos en determinada cir-cunstancia de la vida práctica.

Si se trata de una ley científica, como el principio de Car-not, según el cual el calor no puede pasar espontáneamente de un cuerpo caliente a otro frío, podremos exigir que la probabili-dad del fenómeno, considerado según la ley como imposible, sea en realidad extraordinariamente pequeña; para que la ley merezca el nombre de ley la de física es preciso que a esta no se le produzca la menor infracción en, ninguna circunstancia, en ninguna época, en ningún punto del Universo. Para abreviar, diremos que la probabilidad debe ser despreciable a escala supercósmica, y los cálculos que hemos hecho antes referentes al número de átomos que podrían existir en un Universo cuyas

dimensiones alcanzaran miles de millones de años luz, y sobre el número de segundos contenidos en miles de millones de siglos, nos conducirán a señalar en 10—500, es decir, en la uni-dad dividida por un número de 500 cifras, la probabilidad, despreciable a escala supercósmica, que puede ser tomada igual a cero en el enunciado de una ley científica. Evidente-mente, esta evolución es, en parte, arbitraria; en lugar del expo-nente 500 hubiésemos podido escribir 1.000, o sólo 200 o 300. Verdaderamente, las probabilidades a las que conduce la teoría cinética de los gases para una infracción posible al principio de Carnot son mucho más débiles: iguales a la unidad dividida por cantidades de millones de cifras. Tales probabilidades deben ser consideradas como universalmente despreciables.

Pero, tratándose simplemente de acciones humanas de la vida cotidiana, veremos que no es preciso que una probabilidad sea tan débil para que tengamos el derecho y el deber de des-preciarla en la vida práctica, es decir, de tratarla como si fuera nula. De este modo nos vemos obligados a definirlas probabili-dades despreciables a escala humana, a escala terrestre, a esca-la cósmica, escalas a las que corresponden grados de certeza práctica que no alcanzan a la certeza científica y casi absoluta que nos da la escala supercósmica.

13. Las probabilidades despreciables a escala humana. — Diremos que una probabilidad es despreciable a escala humana cuando los hombres más prudentes y más razonables deben tratarla como si esta probabilidad fuese nula, es decir, deben correr el riesgo de ver realizarse el suceso que concierne a esta probabilidad, incluso si la llegada de este acontecimiento es considerado por ellos como una gran desgracia. Tal es el caso, por ejemplo, si se trata de la muerte de la persona intere-sada o de una persona que le es particularmente querida.

Demos un ejemplo sencillo. Según las estadísticas en tiem-po de paz, el número de accidentes mortales de circulación en una ciudad cuya población sea de varios millones de habitan-tes, es de unos pocos por día. Es decir, que por cada ciudadano que circula diariamente, la probabilidad para que se muera a lo largo del día por un accidente de circulación es de casi una

millonésima. Si para evitar este ligero peligro un hombre re-nunciara a toda actividad exterior y se encerrara en su casa o impusiera esta reclusión a su esposa o a su hijo, se le conside-raría loco. Es decir, que las personas más cuerdas y más razo-nables no dudan en afrontar normalmente un peligro de muerte, cuya probabilidad es de una millonésima. Claro está que no nos encontramos aquí con un caso en que la ley única del azar permite asegurar que el acontecimiento considerado nunca se produce; el que sale cada día por las calles de una gran ciudad sabe muy bien que un accidente mortal es posible. Solamente piensa en ello, de una manera inconsciente, tomando cierto número de precauciones que le disminuyen las posibilidades de accidente; no se arriesga en la calzada sin haber mirado antes si viene un coche; pero, durante todo el día, no está obsesionado por el temor de un probable accidente.

Comparando el número de accidentes con el de los habitan-tes de una gran ciudad, hemos designado una millonésima como el valor que razonablemente se puede adoptar para una probabilidad despreciable a escala humana. Llegaríamos a un resultado semejante si centráramos nuestra atención en el nú-mero de veces que un hombre puede realizar, a lo largo de toda su vida, gestos o actos muy sencillos, como trazar una letra del alfabeto, avanzar un paso al andar, o respirar. Este número de veces es del orden de un millón en algunas semanas, o en algu-nos meses, o en algunos años, según la naturaleza y frecuencia del acto considerado. Por ejemplo, un escritor tan fecundo como Balzac llegaba a escribir dos o tres millones de letras a lo largo de un año; una mecanógrafa profesional sobrepasaría ampliamente esta cifra. Con esto se llega a la conclusión de que la probabilidad de escribir una letra a continuación de otra, si se trata de un escritor que se sirve de su pluma o de una mecanógrafa muy experta, es verdaderamente superior a una millonésima. Si esta probabilidad es sólo de una millonésima, produciéndose un único error en 500 páginas escritas a máqui-na, estaremos de acuerdo en considerarla despreciable y en afirmar que la mecanógrafa logra la perfección.

14. Las probabilidades despreciables a escala terrestre. — Si fijamos la atención en el conjunto de hombres que viven

en el mundo, y no en uno solo, las probabilidades, para ser despreciables, deben ser notablemente más débiles. Cualquier accidente completamente improbable para un hombre determi-nado, es relativamente bastante frecuente si se consideran todos los hombres. Ganar el primer premio en la lotería de un millón de billetes es una probabilidad despreciable para quien sólo tiene un billete; si es sensato, no realizará proyectos para el futuro basados con lo que pueda obtener del primer premio; al contrario, si se venden todos los billetes y considerando a todos los compradores, con toda seguridad sí habrá un ganador.

Admitiendo que el número de seres humanos es de algunos miles de millones, se considerará despreciable a escala terrestre la probabilidad mil millones de veces más pequeña que la pro-babilidad despreciable a escala humana, es decir, la mil millo-nésima parte de una millonésima, o 10-15, la unidad dividida por un número de 15 cifras. Se puede aceptar igual valor consi-derando a todos los seres humanos que han vivido a lo largo de algunos centenares de siglos, pues su número es apenas mil veces mayor que el número actual de hombres vivos. Igual-mente podríamos considerar tales probabilidades, como vere-mos en el Capítulo VII, en el estudio de algunos problemas relativos a la herencia en la especie humana.

La probabilidad de obtener 50 veces seguidas el rojo en la ruleta, o cruz en el juego de cara o cruz, es de 2-50; si se usa la igualdad aproximada, muy práctico en esta clase de cuestiones, 210 = 103 (en realidad, 210 = 1.024, es decir, algo más dé 1.000), se comprobará que 2-50 equivale casi a 10-1S, es decir, a la pro-babilidad despreciable a escala terrestre. Verdaderamente, si todos los hombres de la tierra pasaran todo su tiempo jugando a la ruleta al compás de 1.000 veces por día, o sea, alrededor de 1.000.000 de veces cada tres años, tan sólo en un promedio de una vez en este tiempo uno de ellos obtendría una serie de 50 rojos.

15. Las probabilidades despreciables a escala cósmica. — Considerando no ya el globo terrestre, sino la porción del Universo que es accesible a nuestros instrumentos de astrono-mía y de física, nos veremos llevados a definir las probabilida-

des despreciables a escala cósmica. Algunas leyes astronómi-cas, como la de Newton sobre la atracción universal y algunas leyes físicas relativas a la propagación de las ondas luminosas, son verificadas por numerosas observaciones que se efectúan sobre todos los astros visibles. La probabilidad para que una nueva observación contradiga todas estas observaciones con-cordantes es extremadamente débil. De esta manera, podremos fijar en 10-50 el valor de las probabilidades despreciables a escala cósmica; cuando la probabilidad de un accidente es inferior a este límite, se puede afirmar que el acontecimiento no se producirá en absoluto., cualquiera que sean el número de ocasiones que se presenten en el Universo entero. El número de estrellas observables es del orden de los 1.000 millones, o sea, de 109, y las observaciones que todos los habitantes de la tierra, observando el cielo, podrían hacer de las estrellas a lo largo de los siglos, son ciertamente en número inferior a 1020. Por consi-guiente, un fenómeno cuya probabilidad es 10-50 nunca se pro-ducirá o, por lo menos, nunca será observado.

16. Las probabilidades despreciables a escala supercós-mica. — Recordemos que las leyes físicas deducidas de la mecánica estadística (y también las leyes matemáticas deduci-das igualmente del cálculo de probabilidades) tienen una certe-za incomparablemente mayor aún y pueden caracterizarse diciendo que la probabilidad del acontecimiento contrario es despreciable a escala supercósmica; tales son las probabilida-des inferiores a 10-n, cuando n es un número de más de 10 cifras. Si, por ejemplo, se tiene en un recipiente de un litro una mezcla de volúmenes iguales de oxígeno y de nitrógeno, la probabilidad de que en un momento dado todas las moléculas de oxígeno se encuentren en la mitad inferior del recipiente y todas las moléculas de nitrógeno en la mitad superior es, igual a 2-n, siendo n el número de moléculas12. Es despreciable a escala supercósmica.

12 Una molécula-gramo de gas conteniendo 6’062 X 1023 moléculas, el número n de moléculas contenidas en un litro es del orden de 3x1022, y así 2-n

es del orden de 10 a la potencia — 1022

Un cálculo fácil indica que, si evaluamos las dimensiones de nuestro Universo, es decir, la distancia de las galaxias más alejadas, a 10.000 millones de años luz, el volumen de este Universo es inferior a 1085 centímetros cúbicos, conteniendo pues, menos de 10110 átomos, ya que la densidad media es ver-daderamente inferior a 1025 átomos por centímetro cúbico.

Imaginemos, pues, con Boltzmann, un Universo U2 que abarcara tantos universos U1 análogos al nuestro como número de átomos posee; luego, un Universo U3 que encerrara tantos universos U2 como número de átomos posee U1; después, un Universo U4 que contuviera tantos U3 como número de átomos posee U1, y así sucesivamente, repitiendo un millón de veces la misma operación, es decir, hasta un Universo UN, con N = 106. Este superuniverso contendría un número de átomos igual a 10 elevado a la potencia 110 millones, o sea, que estaría represen-tado por un número de 110 millones de cifras. Imaginemos también un tiempo T2 conteniendo tantos miles de millones de años como segundos contienen los 1.000 millones de años de T1; luego un tiempo T3 conteniendo tantos años T2 como segun-dos contiene T1; y así sucesivamente hasta un tiempo TN, cuyo índice N sería un millón. Supongamos que volvemos a empe-zar un experimento tantas veces como átomos hay en el Uni-verso UN, y tan a menudo como segundos hay en el tiempo TN, es decir, un número de veces ciertamente inferior a 10 a la potencia 109. Si la probabilidad de éxito de un experimento aislado es despreciable a escala supercósmica, un cálculo fácil indica que la probabilidad para que el experimento se produzca una sola vez será tan débil, que podrá ser despreciada. Si toma-mos como ejemplo la separación espontánea del oxígeno y del nitrógeno contenidos en un recipiente de un litro, podemos, pues, afirmar que este experimento no se logrará nunca, ni en el tiempo ni en el espacio.

17. Las probabilidades y la vida práctica. — A menudo no se encontrarán en la vida práctica probabilidades inferiores a 10-6 o a 10-15, es decir, despreciables a escala humana o terres-tre; pero debe señalarse que las probabilidades mucho más débiles deben despreciarse en numerosos casos en que el acon-

tecimiento correspondiente a tales probabilidades no presente para nosotros una grave desdicha, sino simplemente un acci-dente desagradable. Por ejemplo, si se trata de salir sin para-guas y sin impermeable un día en que el tiempo es bueno, podría calcularse la probabilidad de lluvia haciendo la estadísti-ca de los días en que el tiempo era bueno a las 10 de la mañana y que, sin embargo, llovió a lo largo de toda la tarde. Sin haber hecho el cálculo, creo no equivocarme afirmando que la proba-bilidad es superior a una milésima, al menos en algunos climas. No obstante, a no ser que una persona esté particularmente delicada hasta el punto de que una lluvia imprevista pueda comprometer su salud y su vida, no la tacharemos de impru-dente si, un día en que nada hace prever tormenta, sale sin paraguas o impermeable.

Es inútil multiplicar los ejemplos. Todos los hombres, in-cluso aquellos que no han oído hablar nunca del cálculo de probabilidades, las hacen sin saberlo, como el personaje de Moliere con la prosa; muchas de sus decisiones están influidas por la idea más o menos vaga que tienen sobre la probabilidad de algunos acontecimientos. Puede deducirse que es inútil conocer el cálculo de probabilidades, ya que el simple sentido común lo suple en la mayoría de los casos; no necesito dicho cálculo para tomar el paraguas si amenaza tormenta o dejarlo si brilla el sol. Es cierto, pero también lo es que, en algunos ca-sos, tenderé a consultar el barómetro antes de decidirme, ya que sus indicaciones me permitirán conocer la probabilidad de lluvia con menos posibilidad de error que si me contento con mirar al cielo desde la ventana. Si me es posible, podré igual-mente consultar un boletín meteorológico, interesándome por la dirección y fuerza del viento. No deberán ser despreciadas estas precauciones suplementarias, porque no se trata solamen-te de correr el riesgo de mojarse con la lluvia, sino que, si salgo al mar en un pequeño bote de vela, el mal tiempo puede aca-rrearme graves accidentes.

La mayoría de los hombres ignoran el valor exacto de las probabilidades, que usan más o menos conscientemente, al igual que los niños y los poblados salvajes desconocen el valor exacto de la moneda y el precio de los objetos corrientes. Tanto

en un caso como en otro, estos valores son evaluados según las impresiones subjetivas, las cuales, a menudo, comportan gra-ves errores. Normalmente, antes de entregar dinero a un niño se le instruye sobre el valor de los objetos que puede adquirir con él. Igual ocurre con las probabilidades, sobre las cuales quiere estar exactamente informada aquella persona que se ve obligada a correr ciertos peligros. Tal es el caso, por ejemplo, de las probabilidades que conciernen a algunos peligros o a algunas enfermedades; cuando uno de nosotros ha sido testigo de un accidente grave, o ha observado a su alrededor algunos casos contagiosos, a menudo se ha impresionado mucho, lle-vándole a exagerar de una manera inconsciente el valor de la probabilidad para que este accidente o este contagio vuelvan a repetirse. Por el contrario, si se trata de un accidente grave o de una enfermedad que no hemos experimentado de cerca, nos inclinaremos a despreciar la probabilidad, por más elevada que pueda ser.

La comparación que hemos hecho entre la ignorancia del valor de las probabilidades y la del valor del dinero y de los diversos productos, puede ser continuada; en muchos casos es necesario correr algún riesgo, salir a pie o en coche, o bien permanecer constantemente en casa con peligro de volverse anémico; aun teniendo el estómago delicado, es necesario co-mer y optar entre los posibles inconvenientes que puedan tener algunos alimentos entre los que nos es posible elegir.

La situación de quien ignora las probabilidades es, pues, análoga a la de un hombre o de un niño que tiene una cantidad limitada de dinero y que ignora los precios de los productos; corre el riesgo de malgastar toda su pequeña fortuna de una manera torpe; del mismo modo, la ignorancia de las probabili-dades puede llevar a correr los mayores riesgos queriendo evitar los más pequeños.

Hay otra analogía entre los precios y las probabilidades: el conocimiento exacto de los precios es uno de los elementos de nuestras decisiones, pero no es el único: si tenemos que elegir entre dos objetos de una misma naturaleza, nos gustará a veces uno más que el otro, y quizá lo elegiremos siendo incluso más caro. No obstante, será razonable por nuestra parte informarnos

de los precios para poder tratar con conocimiento de causa; si el precio es diez veces más costoso, quizá no dudaremos en hacer un sacrificio también elevado para contentar nuestra fantasía. Igual ocurre para la probabilidad. Si tenemos razones serias para desplazarnos con rapidez, aceptaremos correr peli-gros de accidentes mayores usando un automóvil muy rápido o un avión. Pero, si supiéramos que, vistas las circunstancias, el peligro de accidente mortal alcanza una décima, reflexionaría-mos sin duda antes de correr este peligro.

Para el niño .que ignora aún el valor de la moneda, las expresiones diez dólares, cien dólares y mil dólares, son, si no equivalentes, por lo menos desprovistas de un significado pre-ciso; igualmente lo es para quien no ha reflexionado nunca sobre las probabilidades cuando se le habla de aquellas cuyos valores respectivos son una décima, una centésima y una milé-sima. Sin embargo, basta un poco de reflexión y de costumbre para darse cuenta de que hay muchos casos en que sería razo-nable correr el peligro cuya probabilidad es de una milésima, mientras que sería muy poco prudente correr el mismo riesgo si su probabilidad fuese de una décima.

Insistamos aún sobre el hecho de que, al igual que el precio no es el único elemento de nuestra decisión cuando se trata de comprar algo, así la probabilidad no debe ser absolutamente el único elemento de nuestra decisión cuando se trata de correr un peligro. Uno de los motivos por los cuales algunos espíritus desprecian la precisión de las matemáticas es porque imaginan que esta precisión pone en peligro su libre albedrío. Una perso-na suficientemente rica puede, evidentemente, elegir los obje-tos que compra sin preocuparse por el precio, basándose sólo en sus gustos. Pero, cuando se trata de correr un peligro, sobre todo estando en juego la salud o la vida misma, nadie es bas-tante rico para poder despreciar ciertas probabilidades, salvo en el caso en que altas consideraciones de moralidad o de honor nos obliguen a correr el peligro de muerte, por elevado que este sea. En tales casos es preferible ignorar la probabilidad del peligro. Pero, en la vida ordinaria, el conocimiento de la proba-bilidad es un elemento útil en nuestra decisión, del mismo modo que lo es el conocimiento del precio cuando se trata de

una compra, sin que este conocimiento nos impida tener en cuenta otras consideraciones antes de decidirnos.

18. Las probabilidades son sólo aproximadas. — Las probabilidades deben ser consideradas análogas a la medida de las magnitudes físicas; es decir, que nunca pueden ser conoci-das exactamente, sino sólo con cierta aproximación. Además, el grado de esta aproximación varía mucho, según la naturaleza de las probabilidades. En los casos en que estas pueden ser valoradas por razones de simetría, el error cometido en su evaluación es generalmente muy débil. Tal es el caso de la probabilidad de obtener cierta cara del dado, o de sacar una carta de una baraja señalada con antelación, bien mezclada y extendida sobre la mesa. El dado nunca es un cubo perfecto, y los puntos con que están marcadas sus diversas caras producen asimismo una disimetría, pero es tan pequeña, que la probabili-dad de cada cara difiere muy poco de 1/6; del mismo modo, si la baraja es de 32 naipes, la probabilidad de sacar el rey de diamantes es muy próxima a 1/32, aunque los 32 naipes no sean rigurosamente idénticos entre sí y se distingan a veces por sus dibujos y colorido. En la evaluación de las probabilidades, los errores cometidos son mucho mayores cuando se trata de probabilidades empíricas sacadas de las estadísticas; por una parte, estas ya son a menudo imperfectas, estando alteradas por errores sistemáticos imposibles de evitar y difíciles de corregir; más adelante veremos unos ejemplos de estadísticas en rela-ción a causas de fallecimientos; por otra parte, las estadísticas sólo dan un número limitado de casos, obteniéndose resultados diferentes según se trate de una población4 más o menos nume-rosa, o de un intervalo de tiempo más o menos largo. Final-mente, las probabilidades varían en general en el transcurso del tiempo, aplicándose en el presente año los valores obtenidos de las estadísticas correspondientes a uno o varios años preceden-tes.

Otras probabilidades son aún más dudosas: aquellas que se formulan incluso personas competentes, de acuerdo con sus impresiones y sus recuerdos. Por ejemplo, un médico evalúa en 9 de cada 10 la probabilidad de curar a un paciente de la enfer-

medad que padece, o una persona asidua a torneos de tenis valora en 3 de cada 4 la probabilidad en que tal campeón sea el vencedor del torneo. Al contrario de lo que afirman algunos autores, sería excesivo quitar todo valor a estas evaluaciones, por más dudosas que parezcan, siendo conveniente someterlas a una crítica juiciosa. Primeramente, hay que asegurarse de la sinceridad de quien formula el juicio de probabilidades; con-viene preguntarse si hay razones serias para dudar de ella. Por ejemplo, un médico puede dictaminar un diagnóstico optimista en vistas a lo que rodea al enfermo; el asiduo a partidos de tenis puede dejarse influir por amistades personales o, incluso, en algunos casos, por motivos menos confesables, como las apuestas, en las que puede tener un interés personal. El método más adecuado para asegurarse su sinceridad es obligar a quien emite el juicio a verificar una apuesta de cierta cantidad impor-tante, pero con la condición de que no pueda ejercer ninguna influencia sobre el resultado del suceso fortuito sobre el que se lleva la apuesta.

19. El método de la apuesta. — Si una apuesta está rela-cionada con un acontecimiento cuya probabilidad es p, debe ser equitativamente reglamentada de la manera siguiente: si Pedro apuesta que el acontecimiento será un hecho y Pablo apuesta lo contrario, Pedro debe invertir una cantidad Ap y Pablo una suma A (1 - p); el total de las apuestas, o sea A, revertirá al ganador. Por ejemplo, si Pedro apuesta que él saca-rá el 6 en un dado, invertirá 10 dólares y Pablo 50 dólares; el ganador tomará el total de las apuestas: 60 dólares; si Pedro saca el 6, gana 50 dólares; si no sale el 6, pierde 10 dólares. Ahora pongámonos en el caso de que la probabilidad p, al contrario que en el caso anterior, es desconocida por los dos jugadores, pero en la que Pedro ha querido dar a p el valor de la probabilidad. Si tanto lo estima así, la cantidad Ap que debe-rá invertir será demasiado elevada y la cantidad A (1 —p) que invertirá su adversario será muy pequeña; el juego será desven-tajoso para Pedro. Si se sospecha que Pedro exagera el valor de la probabilidad —y el mismo caso podría darse en el del médi-co optimista que, queriendo tranquilizar a sus clientes, exagera-

ra su posibilidad de curación— obligándole a apostar una im-portante cantidad a favor de tal suceso, se le invitaría a dismi-nuir su exageración y a reconsiderarla. Por ejemplo, si el médi-co declara que las posibilidades de curación son de 9 sobre 10 (o sea, una probabilidad de 0’9), cuando en realidad sólo son de 1 sobre 2 (probabilidad de 0’5), e invirtiera 90.000 dólares contra 100.000 en caso de curación, se arruinaría pronto si esta operación se repitiera a menudo. Supongamos que de 100 en-fermos sanan sólo unos 50; si apostara en cada caso, invertiría un total de 9 millones y sólo percibiría alrededor de 5 millones.

Por lo tanto, el método de la apuesta permite evitar los errores voluntarios que se cometerían en la evaluación de las probabilidades cuando se conoce el sentido de estos errores. Pero es evidente que el médico, si en lugar de ser optimista se vuelve en algunos casos pesimista y evalúa en 0’9 la probabili-dad de curación cuando en realidad es mayor, por ejemplo igual a 0’99, será ventajoso para él aceptar una apuesta; inverti-rá 90.000 dólares para recibir 100.000 en caso de curación y, si de 100 enfermos sólo muere uno, habrá apostado 9 millones para recibir 9.900.000 dólares.

¿Es posible evitar con este método los errores voluntarios que cometería Pedro en la evaluación de la probabilidad, cuan-do estos errores no tienen siempre el mismo sentido, es decir, que tanto pueden ser favorables como desfavorables? Esto es posible, pero reuniendo dos condiciones: la primera, que Pablo pueda imponer a Pedro el sentido en el que debe apostar, o sea que, si se trata de un enfermo, Pablo puede apostar a su conve-niencia, sea por la curación o por la muerte del enfermo. La segunda condición, que viene a completar la primera, y no menos indispensable, es que Pablo sea tan competente como Pedro en la evaluación de la probabilidad; siendo Pedro un buen médico y tratándose de la curación de un enfermo, Pablo debe saber en qué sentido ha valorado Pedro la probabilidad, orientando en consecuencia su apuesta. Si Pedro ha exagerado la probabilidad de curación, se verá obligado a apostar por la misma; al contrario, si exagera la probabilidad de muerte, de-berá apostar en este sentido. Al aceptar Pedro estas condicio-nes, no tendrá más remedio que hacer su evaluación de una

manera sincera, ya que cualquier error sistemático le perjudica-ría.

También sería bastante natural que Pedro, modesta y pru-dentemente, declarara que se niega a precisar el valor de la probabilidad de curación, pero que se contenta afirmando que, según su opinión, esta probabilidad está comprendida entre 0’8 y 0’9, y que, en tales condiciones, si se le obliga a apostar por la curación, exigirá que se adopte 0’8, pero que si se le obliga a apostar por la muerte, exigiría que se adopte 0’9. Tal actitud sería perfectamente correcta, pero la de Pablo no lo sería me-nos si se negara a apostar en estas condiciones; esto querría decir que está de acuerdo con Pedro en que la probabilidad de curación está comprendida entre 0’8 y 0’9 y que, por consi-guiente, las dos apuestas le son desfavorables, ya que Pedro arriesgaría 80.000 dólares contra 20.000 apostando por la cura-ción, o sólo 10.000 contra 90.000 apostando por la muerte.

El método que acabamos de bosquejar para obligar a Pedro a evaluar lo más correctamente posible ciertas posibilidades, tiene muchas analogías con la evaluación de las probabilidades de alta o de baja de un valor bursátil que resultarían de las cotizaciones para las compras o ventas fijas, o con diversas primas, así como la importancia de los compromisos ligados a estas cotizaciones. Cada una de estas operaciones corresponde a la evaluación de la probabilidad, tanto para el comprador como para el vendedor, estimando cada uno de ellos que esta evaluación le es ventajosa, o sea, que la misma representa un máximo para uno de ellos y un mínimo para el otro.

20. La combinación de la apuesta y de las subastas. — A menudo el método de venta en las subastas permite darse cuen-ta de la evaluación exacta que cualquier comprador ha dado al valor del objeto o del inmueble en venta, ya que cesa de au-mentar el precio cuando ha llegado al límite que se ha fijado. Un método semejante podría aplicársele a Pedro en caso de estar conforme, para que conozca con precisión el valor que ha dado a una posible probabilidad. Volvamos al caso en que Pedro es un médico que ha podido evaluar las posibilidades de curación de un enfermo; nos proponemos saber si evalúa estas

posibilidades en más del 50%; para ello elegiremos un aconte-cí-miento aleatorio cuya probabilidad es exactamente del 50%, como el juego de cara o cruz, y ofrecemos a Pedro un regalo importante o una ventaja moral considerable para él, dejándole la elección entre las dos eventualidades que siguen: o recibirá este regalo si el enfermo sana, o bien si saca cruz al lanzar al aire una moneda. Es evidente que tendrá interés en elegir aquel de los dos cuya probabilidad le parece mayor; elegirá, por lo tanto, la curación del enfermo si considera que la probabilidad de tal curación es superior al 50%; al contrario, si elige el juego de cara o cruz, ello nos demostrará que valora en menos del 50% la probabilidad de curación. Entonces podremos volver a empezar la prueba sirviéndonos de un suceso cuya probabili-dad es del 49%; por ejemplo, con varias barajas de dorsos semejantes, haremos un montón de 100 naipes, 49 de los cuales son rojos y 51 negros; después de bien barajados y extendidos sobre la mesa, la probabilidad de sacar uno rojo es del 49%, o 0’49. Si Pedro prefiere esta probabilidad a la del caso de cura-ción, es porque evalúa esta última en menos del 0’49; seguire-mos igualmente con 0’48, y así sucesivamente, hasta que vea-mos que Pedro elige la probabilidad de curación en el momen-to en que la otra probabilidad es tan sólo de 0’43, aunque él hubiese preferido la probabilidad de 0’44; llegaremos así a la conclusión de que su sincera evaluación de la probabilidad de curación está comprendida entre 0’43 y 0’44. Claro está que esta evaluación sincera no significa que sea exacta, pues Pedro no es infalible; incluso siendo muy hábil, es muy dudoso que pueda diferenciar certeramente unas probabilidades tan próxi-mas como 0’43 y 0’44; por eso, sería completamente ilusorio intentar obtener un decimal exacto, y más haciendo disminuir en una milésima en lugar de en una centésima las probabilida-des usadas sucesivamente.

Pueden compararse estas evaluaciones con las relativas a una longitud o a un peso, hechas por una persona que no dis-ponga de un aparato de medida. Si esta persona tiene cierta competencia, debida a la costumbre, su evaluación podrá ser relativamente exacta, es decir, asignar 2 cifras de un valor ajustado; pueden ser 3 si la primera cifra es 1, como en el caso

de medir la estatura de un hombre valorándola en centímetros. Tales evaluaciones no tienen el valor de una medida física precisa, realizada con buenos instrumentos, pero son preferi-bles a un desconocimiento total; igual ocurre en las probabili-dades.

No obstante, entre estos dos tipos de evaluaciones hay una diferencia bastante notable, con tendencia a que los métodos que se pueden usar para controlar el valor de estas evaluacio-nes son muy distintos según se trate de la evaluación de un objeto mensurable o de una probabilidad. En el primer caso, el control es fácil, puesto que basta medir con un aparato adecua-do comparando el resultado con la evaluación. De esta manera uno puede controlar sus propias evaluaciones y perfeccionarse en este arte, valorando de una ojeada la estatura de un hombre o la altura del techo de un piso. Al tratarse de una probabilidad, será corrientemente imposible dar con un método preciso para evaluar con gran precisión la probabilidad desconocida, como el metro lo es para la medida de una longitud; solamente por métodos indirectos y necesariamente más complicados puede llegarse a conocer si las evaluaciones hechas por una persona sobre cierta clase de probabilidades son relativamente correc-tas.

21. El control del valor de las evaluaciones de probabili-dad. — No es posible controlar el valor de la evaluación de la probabilidad de un único suceso aislado, a menos que la eva-luación hecha sea extremadamente pequeña o muy próxima a 1, es decir, que se confunda prácticamente con la imposibilidad o con la verosimilitud. Pero, si afirmamos que tal aconteci-miento tiene 9 posibilidades sobre 10 de producirse o, al con-trario, 9 sobre 10 de que no se produzca, podrá suceder en uno u otro caso que el suceso sea un hecho real o, al contrario, que no se realice, y no llegar a la conclusión sobre si nuestra eva-luación era exacta o inexacta; un acontecimiento puede muy bien no producirse, aunque su probabilidad sea de 0’9 o, al contrario, puede realizarse siendo su probabilidad de 0’1 sola-mente. Algunos autores creen resolver esta dificultad rehusan-do examinarla, o sea, negando la probabilidad de un suceso

aislado; he discutido esta tesis e indicado por qué razones no me parece aceptable13; la noción de probabilidad es una noción primaria, cuyo significado entiende cada uno intuitivamente, y que un estudio científico permite precisar, de la misma manera que la geometría precisa las nociones de la recta, del plano y de la esfera; sus ejemplos más o menos sencillos los encontramos en la experiencia cotidiana.

Cada uno de nosotros sabe perfectamente lo que dice cuan-do afirma que tal acontecimiento le parece muy poco probable, bastante probable o extremadamente probable, del mismo modo que afirma que tal persona es baja, de estatura media, bastante alta o muy alta. La experiencia permite sustituir estas evaluaciones aproximadas por otras numéricas más precisas, y decir: pienso que tal persona mide 1’60 m; o pienso que dicha probabilidad es ligeramente superior a una mitad, o sea, que este suceso es más probable que el contrario.

Se trata ahora de conocer cómo podremos darnos cuenta de que las evaluaciones hechas por una persona son generalmente correctas, mientras que las verificadas por otras son torpemente inexactas. Tal como puede adivinar el lector, el método de la apuesta nos ayudará a resolver este problema pero dicho méto-do debe ser aplicado con prudencia, de manera que nos evite lamentables errores.

Es preciso observar que si una persona hace una evaluación inexacta y la obligamos a apostar tomando por exacta su eva-luación, hay tantas probabilidades para que esta apuesta le sea favorable como desfavorable,. ya que todo depende del sentido en que se verifica esta apuesta. Si, desconociendo completa-mente la ruleta, afirmo que la probabilidad del rojo es de 3 sobre 4 y la del negro de 1 sobre 4, y si alguien tan desconoce-dor como yo apuesta 3 dólares para el rojo contra mi apuesta de un dólar para el negro, esta apuesta es ventajosa para mí y mi error me es provechoso. Sin profundizar en esta cuestión, deduciremos que el método de la apuesta, aplicado sin discri-minación, no permitiría conocer quién hace las evaluaciones

13 Borel, E., «Valeur pratique et Philosophic des probabilités», Traite du Calcul des Probabilités et de ses applications, vol: IV, fase. III, Gauthier-Vi-llars.

inexactas, pues los casos en que esta inexactitud le será prove-chosa le compensarán de aquellos en que estas apuestas le sean desventajosas.

Ya no ocurre lo mismo si uno se propone comprobar las habilidades de dos personas que evalúan las mismas probabili-dades, cada una por su cuenta, y que luego las confrontan.

Admitimos que Pedro haya evaluado en 0’5 y Juan en 0’7 las probabilidades del suceso que llamaremos favorable (cura-ción de un enfermo, ganar un partido de tenis, ganar una carre-ra un caballo designado con anterioridad). Si adoptan para su apuesta el valor medio 0’6, Juan tendrá interés, desde su punto de vista, en apostar por el suceso favorable, y Pedro en apostar por el contrario. Efectivamente, para la cantidad total de 100 dólares, Juan sólo invierte 60, mientras que, según su propia evaluación, debería invertir 70, y Pedro sólo invierte 40 dólares cuando, según su propia evaluación, debería invertir 50. Así, si uno de ambos apostantes, Juan o Pedro, ha realizado una eva-luación exacta de la probabilidad, la apuesta es favorable para él y desfavorable para su adversario. Pero se puede ir más lejos y señalar que, si las dos evaluaciones son inexactas, la apuesta es ventajosa para aquel de los dos apostadores que ha cometido el error más débil14, sean los errores del mismo sentido o bien sean de sentido contrario. Por ejemplo, si el verdadero valor de la probabilidad es 0’8, la apuesta de 60 dólares contra 40 es ventajosa para Juan, mientras que es desfavorable para él si el valor de la probabilidad es 0’4 o, incluso, si es 0’55 (caso en que los errores son de signo contrario). Si Juan y Pedro hacen una única apuesta, podría suceder muy bien que esta fuese ganada por aquel de los dos que inicialmente jugaba con des-ventaja. Pero si hacen suficiente cantidad de apuestas semejan-

14 Aquí evaluamos el error cometido por la diferencia entre el valor verdadero y el indicado por Juan y Pedro; a esta evaluación del error corresponde la elección que hemos hecho de la media aritmética. Si se conviene en evaluar el error por la relación del valor verdadero y del valor indicado —lo cual es, quizá, preferible—, seria preciso elegir como base de la apuesta la media geométrica de 0’5 y 0’7, es decir, casi 0’59. La diferencia entre la media aritmética y la media geométrica es generalmente muy débil en los casos prácticos: el hecho de que Juan evalúe la probabilidad en 0’9 y Pedro en 0’1 ocurrirá muy pocas veces.

tes, el que generalmente tiene ventaja acabará por ganar. Es una consecuencia de la ley de las grandes cantidades de Ber-nouilli. La probabilidad para que Pedro finalmente gane cuan-do hace con Juan un gran número de apuestas desfavorables, resulta despreciable cuando el número de estas apuestas es suficientemente elevado.

El método de la apuesta, aplicado así a dos personas, permi-te saber cuál de las dos es la más hábil en su evaluación de la probabilidad; si del mismo modo se comparasen de dos en dos gran número de personas, por ejemplo los diagnósticos de numerosos médicos especialistas de una misma enfermedad, se podría saber cuál de todos ellos evalúa más correctamente las probabilidades, pudiéndose presumir que las evaluaciones del vencedor de este torneo de apuestas son tan buenas como lo permite el estado actual de la ciencia médica.

CAPÍTULO IV

LOS SUCESOS DE ESCASA PROBABILIDADLEY DE POISSON

22. Las probabilidades pequeñas, pero no despreciables. — A menudo acontece que la probabilidad de algunos sucesos no es lo suficientemente pequeña para despreciarla; por consi-guiente, no puede aplicárseles la ley única del azar ni afirmar que no se producen; pero, cuando las experiencias son numero-sas, pueden formularse algunas leyes aproximadas respecto a las frecuencias de tales sucesos; la probabilidad para que se produzcan graves infracciones en estas leyes es, a veces, muy pequeña para que se pueda aplicar la ley única del azar y para que puedan ser consideradas altamente improbables y, a veces, incluso prácticamente imposibles.

Consideremos un fenómeno cuya probabilidad es tan pe-queña que, en caso de producirse, pueda ser mirado como algo excepcional. Para precisarlo mejor, supondremos tal probabili-dad inferior a 1/30. Si se lleva a cabo una experiencia diaria, el fenómeno deberá producirse en un promedio de una vez por mes. Supongamos, asimismo, superior la probabilidad a 1/1.000, aunque esta hipótesis no influya en los resultados que se van a exponer y que se consideran verídicos, por pequeña que pueda ser la probabilidad; pero si esta resultara demasiado pequeña, las experiencias imaginadas deberían ser demasiado numerosas para que en la práctica fuesen realizables.

23. La ley de Poisson. — Como ejemplo, tomemos una probabilidad igual a 1/100; podrá tratarse de ganar el premio para el poseedor de un solo billete en un sorteo compuesto de 100 billetes. Si este comprador de un solo billete puede repetir a menudo su experiencia, es decir, que frecuentemente tiene ocasión de adquirir un billete de un sorteo de 100 billetes, sorteo cuyo único premio es siempre el mismo, repetidas veces

hemos afirmado como un hecho evidente, resultante de la mis-ma definición de la probabilidad, que el comprador en cues-tión, llamémosle Pedro, ganará en un promedio de una vez de cada 100. No obstante, la observación prueba que si Pedro vuelve a repetir precisamente 100 veces una experiencia que consiste en comprar un billete de un sorteo de 100, podrá muy bien suceder que gane una sola vez, que no gane ninguna, o que gane dos o varias veces. El teorema de Poisson15 nos hace conocer las probabilidades de estas diversas eventualidades. Según este teorema, las probabilidades para que Pedro, en 100 experiencias, gane 0, o 1, o 2 veces, etc., se detallan en el si-guiente cuadro:

Ganó 0 veces

36’788%;

probabili-dad

0’36788

1 36’788%;

0’36788

2 18’394%;

0’18394

3 6’131%; 0’06131

4 1’533%; 0’01533

5 0’306%; 0’00306

6 0’051%; 0’00051

7 0’007%; 0’0000

15 En el Apéndice II pueden verse algunas explicaciones matemáticas relativas a este teorema, explicaciones que realmente no son indispensables para poder comprender lo que viene a continuación, pero que, sin duda, interesarán a aquellos de nuestros lectores con ciertos conocimientos matemáticos.

7

8 0’001%; 0’00001

Se observará que la probabilidad de ganar una sola vez es igual a la de ganar 0 veces; la de ganar 2 veces es 2 veces más pequeña; la de ganar 3 es 3 veces más pequeña que la de ganar 2; la de ganar 4 es aún 4 veces más pequeña, y así sucesiva-mente. La probabilidad de ganar 8 veces es alrededor de una cada 100.000, la de ganar 9 sería 9 veces más débil, es decir, alrededor de una millonésima, y la de ganar 10 veces sería de una diezmillonésima; llegamos aquí a las probabilidades des-preciables a escala humana.

Si 100 personas distintas hacen la misma experiencia que Pedro, es decir, adquieren 100 veces consecutivas un billete del sorteo, se podrá afirmar que de estas 100 personas habrá alre-dedor de 36 o 37 que no ganarán ninguna vez en los 100 sor-teos en los que participarán; otras tantas ganarán una sola vez; alrededor de 18 ganarán 2 veces; 6 ganarán 3 veces; 1 o 2 ga-narán 4 veces y, excepcionalmente, una ganará más de 4 veces.

Claro está que estas cifras sólo son promedios y, como siempre, los errores en relación a estos valores medios son, no sólo posibles, sino muy probables, y deben ser considerados como la regla y no como la excepción, a condición de que los errores no sean demasiado considerables.

24. Los errores. — Ya hemos dicho que los valores del error que se pueden considerar normales, es decir, que se ob-servarán frecuentemente, son los inferiores a la raíz cuadrada del número deseado; por ejemplo, de 100 personas que hayan participado en 100 sorteos cada una, es de esperar que 36 o 37 no ganen ni una sola vez (media de 36’8); la raíz cuadrada de 36 es 6, y razonablemente debe esperarse que el número de personas que no ganarán ninguna vez esté comprendido entre 31 y 43; un doble error de 6, que correspondería a menos de 25 o más de 44, será muy raro, y un error triple (menos de 19 o más de 55) será completamente excepcional. Los mismos re-

sultados pueden aplicarse al número de personas que ganarían sólo una sola vez.

En cuanto a las personas que ganarían 2 veces, un error de 4 puede producirse normalmente en relación al promedio de 18, o sea, que su número estará comprendido entre 14 y 22; raramente podrá bajar a 10 o elevarse a 26. Pero se deberá considerar completamente excepcional que dicho número pue-da ser inferior a 6 o superior a 30.

Análogos resultados se aplicarían a los casos de personas que ganen 3 veces o más a lo largo de una serie de 100 sorteos.

Estos resultados indican hasta qué punto es decepcionante el oficio de jugador, si así se puede llamar a la persona en quien el juego se convierte en costumbre. El único premio del sorteo en el que Pedro compra con perseverancia un billete valdrá ciertamente menos de 100 dólares si el billete cuesta uno, ya que los organizadores de la tómbola se ven obligados a la subvención de gastos y, además, obtener un beneficio. Si este premio vale 80 dólares y Pedro se obstina en tomar 100 veces seguidas un solo billete, la probabilidad de que gane es de 0’37; en este caso, sufrirá una pérdida de 20 dólares, ya que ha comprado 100 billetes de un dólar y ganado un premio de 80; también tiene la probabilidad 0’37 de perder sus 100 dóla-res sin ganar nada. En cuanto a sus posibilidades de ganar, son las siguientes: alrededor de 18 sobre 100 de ganar 60 dólares (2 premios de 80, menos 100 dólares, importe de los billetes), 6 sobre 100 de ganar 140 dólares y 1 o 2 sobre 100 de ganar 220 dólares, siendo ínfimas las de una ganancia superior. Cálculos análogos se aplicarían al asiduo a la ruleta, obstinado en jugar constantemente a un número entero (que, además, puede variar a su antojo sin modificar las probabilidades); en la ruleta con el cero, ganará en promedio una vez de cada 37, de manera que, en 37 veces consecutivas, las probabilidades de que nunca gane, o de que gane 1 o 2 veces, etc., vienen dadas por el cua-dro de Poisson.

25. Caso en que la serie de experiencias se repite varias veces consecutivas. — Es interesante averiguar lo que sucede cuando se repiten varias veces consecutivas las series de expe-

riencias que hemos supuesto, y que consisten, para Pedro, en tomar 100 veces seguidas un billete en un sorteo de 100, o en jugar 37 veces seguidas un número entero en la ruleta.

Supongamos que Pedro no gana ni una sola vez a lo largo de la primera serie; la probabilidad de tal eventualidad es de 0’3679; si este hecho se produce, la probabilidad para que Pedro no gane en el transcurso de la segunda serie no se ve modificada y es igualmente de 0’3679; la probabilidad para que estas dos eventualidades se produzcan sucesivamente, es decir, para que Pedro no gane ni a lo largo de la primera serie ni a lo largo de la segunda, es igual al producto de estas dos probabilidades, o sea, casi 0’135. Tal es la probabilidad para que a lo largo de las dos series de 100 sorteos cada una, es decir, 200 sorteos consecutivos en total, Pedro no gane ni una sola vez. Si se considera una segunda serie, igualmente de 200 sorteos, la probabilidad para que Pedro no gane es la misma de 0’135, y la probabilidad para que no gane ni una sola vez a lo largo de los 400 sorteos consecutivos (2 series de 200) es el producto de 0’135 por 0’135, o sea, alrededor de 0’018; esta probabilidad es de casi 2 centésimas y no es en absoluto des-preciable.

La probabilidad de que Pedro no gane a lo largo de dos series de 400, es decir, a lo largo de una serie de 800, sería el cuadrado de 0’018, o sea, alrededor de 0’0003, o casi una de cada 3.000, probabilidad muy débil, no siendo, sin embargo, despreciable a escala humana.

De esta manera, se comprende que la simple observación según la cual Pedro gana promedio una vez de cada 100, debe interpretarse a la luz de los cálculos de Poisson, a fin de que su significado se comprenda bien; no sería preciso que este enun-ciado de un promedio le implique a Pedro la seguridad de ga-nar el premio del sorteo, no sólo en 100 experiencias sucesivas, sino en varios centenares de ellas.

Ocurre lo mismo cuando la probabilidad en cuestión no es la de ganar un premio en un sorteo, sino la de un accidente al que Pedro está expuesto diariamente. Por ejemplo, Pedro es un obrero cuyo oficio encierra algunos peligros, como el de avia-dor, maquinista de tren o conductor de camión. Si la probabili-

dad de un accidente, según la estadística de todos los acaecidos a aquellos que tienen el mismo oficio que Pedro, es de 1/1.000 por día de trabajo, esto equivale a casi un accidente cada tres años (si se admite que hay 333 días de trabajo por año). Pero, de 100 personas que tienen el mismo oficio que Pedro, habrá casi 37 de ellas que no tendrán ningún accidente a lo largo del primer período de tres años, y unas 13 que no lo tendrán en el transcurso de dos períodos consecutivos de 3 años. Tal propor-ción de excepciones es lógica, siendo simple consecuencia de los cálculos de probabilidades de Poisson, sin que para expli-carlo sea necesario diferenciar las probabilidades concernientes a diferentes individuos.

Naturalmente, no se puede excluir a priori la posibilidad de tales diferencias; esta es una cuestión que sólo puede ser re-suelta por la observación y la experiencia. Incluso casi puede asegurarse que existen estas diferencias, ya que no todos los hombres son iguales; existen, entre los conductores de camio-nes, unos cuya probabilidad de accidente es inferior a la media, contrariamente a otros que la tienen superior.

Fácilmente puede verse que esta desigualdad entre las pro-babilidades concernientes a diferentes individuos aumenta, consecuentemente, la proporción de aquellos que, al cabo de cierto período de tiempo, no sufren ningún accidente. Sabemos que, si para cada individuo, el número de experiencias es igual al denominador de la probabilidad, es decir, a 1.000 si la pro-babilidad es de 1/1.000, debe suponerse que el suceso esperado o temido suceda a casi el 37% de individuos. Si se trata de un accidente, esta será la proporción de individuos indemnes; por ejemplo, de aviadores o de conductores de camiones que no hayan sufrido ningún accidente16.

Evidentemente, un error que no sobrepase el 6% en relación a este promedio, tanto en un sentido como en otro, debe consi-derarse normal, ya que puede ser debido a causas puramente

16 La probabilidad 1/1.000 se supone calculada de acuerdo con ciertas estadís-ticas; dicha probabilidad puede relacionarse al día de la partida, unidad bastan-te imprecisa, puesto que no todos los días son iguales, o bien a cierto número de kilómetros recorridos, por ejemplo un millar. Comenzar de nuevo mil veces la experiencia corresponderá a recorrer un millón de kilómetros.

fortuitas. Si la proporción de los que no hayan sufrido ningún accidente es sensiblemente superior al 36%, subiendo, por ejemplo, al 45 o 50%, se deberá presumir que este error no es fortuito, sino que es debido a que entre los individuos observa-dos los hay con probabilidad notablemente inferior a la media, mientras que, para otros, es superior. Este último resultado se vería confirmado en el caso de tratarse de accidentes cuya mayoría no son mortales, como en el caso de los automóviles, por el hecho de que la proporción de individuos que hayan sufrido más de 2 accidentes a lo largo del período en cuestión sería superior al 18%, y la proporción de los que habrían sufri-do más de 3 accidentes sería superior al 6%.

En el cálculo de probabilidades, se resumirá este aumento de la proporción de los casos en que el número de accidentes es 0, 2, 3, y su disminución forzosamente correlativa en los casos en que el número de accidentes es igual a la unidad, es decir, a la media, diciendo que la dispersión observada es mayor que la normal; una ley general del cálculo de probabilidades es que, en este caso, el material sobre el que se hace la observación no es homogéneo, es decir, que las probabilidades no son iguales para todos los individuos, sino que para unos son superiores a la media e inferiores para otros.

¿Puede ser la dispersión observada inferior a la normal? Ello podrá producirse en el caso de que los fenómenos obser-vados no sean independientes unos de otros; por ejemplo, si se trata de enfermos contagiosos, u observaciones relativas a gran número de pasajeros que usan los mismos medios de transpor-te; si descarrila un tren repleto de viajeros, varios centenares de personas se encuentran simultáneamente incluidas entre las que han sufrido un accidente, muriendo a veces buen número de ellas o resultando gravemente heridas. A veces un grave acci-dente, con proporciones de catástrofe, produce en un solo día un número de víctimas superior a la media anual total. Lo mis-mo ocurre, con mayor motivo, en accidentes marítimos.

No obstante, tanto en los ferrocarriles como en los barcos, subsiste alguna independencia entre las posibilidades de acci-dente en dos personas distintas; ello obedece a que, salvo en casos muy particulares (miembros de una familia viajando

frecuentemente juntos, moradores de los arrabales de una gran ciudad que toman cada día los mismos trenes en horas regula-res), los más frecuentes son aquellos en que unos viajeros se encuentren juntos en un mismo tren o en un mismo barco debi-do a circunstancias puramente fortuitas y que no se repiten. La probabilidad para que uno de ellos sufra un nuevo accidente es independiente de la que tenga uno de sus compañeros de azar. No ocurre lo mismo cuando se consideran las probabilidades de algunas enfermedades epidémicas, o de aquellas cuya fre-cuencia es debida a causas climatológicas; las probabilidades cambian entonces por un igual para los habitantes de una mis-ma casa, de un mismo barrio, de una misma ciudad o de una misma región.

26. Las probabilidades de espera. — La probabilidad de espera es uno de los problemas prácticos que suelen presentar-se frecuentemente en la vida diaria, cuando su duración depen-de de circunstancias fortuitas, tal como la afluencia de clientes en una ventanilla, o bien la regularidad del paso de un vehículo de servicio público.

Consideremos primero el caso de un coche de servicio público que pasa a intervalos rigurosamente fijos, por ejemplo cada 20 minutos. Si uno desconoce su horario, o no lo tiene en cuenta, se deberán considerar iguales las probabilidades de llegar al lugar de la parada en un momento cualquiera del inter-valo de 20 minutos que separa dos recorridos consecutivos; la duración media de la espera será, pues, de 10 minutos.

Tomemos ahora un caso algo más complejo; supongamos que el intervalo medio de los pasos es siempre de 20 minutos, pero que dicho intervalo es alternativamente de 30 y de 10 minutos. En otras palabras, las horas de salida de término son las 12, 12.10, 12.40, 12.50, 13.20, 13.30, 14, 14.10, 14.40 horas, etc. Continuemos suponiendo que el pasajero no tiene en cuenta el horario, ya porque lo ignora, ya porque su reloj no va a la hora o, incluso, que será el caso más frecuente, porque tiene ocupaciones o compromisos cuya duración no puede ser evaluada exactamente y que se decida a tomar el coche cuando queda libre.

Podría caerse en la tentación de razonar del modo siguiente: cuando el intervalo que separa dos coches es de 30 minutos, la duración media de la espera es de 15 minutos y, cuando este intervalo es de 10 minutos, es de 5; así, siendo dicha espera alternativamente de 15 y de 5 minutos, da una media de 10, o sea, la misma que cuando los coches pasan a intervalos regula-res de 20 minutos cada uno. Tal reflexión no es válida porque no se tiene en cuenta una circunstancia evidente: el pasajero que se presenta en la parada en un momento arbitrario tiene muchas más posibilidades de llegar a ella a lo largo de un inter-valo de 30 minutos que en uno de 10; llegará un promedio de 3 veces de cada 4 a lo largo de un intervalo de 30 minutos; y una sola vez durante uno de 10 minutos; habrá, pues, 3 veces de cada 4. una espera media de 15 minutos y una sola vez una espera media de 5 minutos; la verdadera duración media será

1/4 x (3x15 + 1x5) = 50/4 = 12’5 minutos,

es decir, 12 minutos y 30 segundos; la irregularidad del servi-cio aumenta la duración.

Un problema análogo se nos presentaría al intentar resolver el caso en que las irregularidades del servicio no sean sistemá-ticas, sino motivadas por circunstancias fortuitas, como ocurre con frecuencia en las líneas de autobuses de las grandes ciuda-des, donde la circulación es muy intensa. En tal caso, los co-ches, aunque con la obligación de salir de la estación de tér-mino a intervalos regulares, por ejemplo 10 minutos, a mitad del recorrido se encuentran con varios minutos de adelanto o de retraso en relación unos de otros17.

Expuesto así el problema, es bastante difícil someterlo a un cálculo riguroso, ya que dicho cálculo debería basarse sola-

17 En el caso de los autobuses también se puede observar que un coche que vaya con retraso se verá obligado a cargar mayor número de viajeros en cada parada, lo cual tenderá a aumentar su retraso, mientras que uno que circule con adelanto en relación con el precedente cargará menos viajeros, de manera que su adelanto irá en aumento. Por este mecanismo, en algunas líneas de autobu-ses ocurre con frecuencia que uno de sus coches llega antes a término que su precedente.

mente en hipótesis muy precisas sobre la probabilidad de los diversos retrasos (o adelantos) que se consideran posibles. En el caso de líneas de autobuses con salidas bastante frecuentes, se obtendrá un resultado bastante aproximado a la realidad aceptando como un hecho experimentado que, cuando el inter-valo medio que hay entre los coches es de 10 minutos, los intervalos de 0 a 20 minutos son casi todos igualmente proba-bles. La duración media de espera es de 5 minutos cuando la regularidad es perfecta, y de 10 cuando su irregularidad es tan manifiesta como puede serlo según nuestra hipótesis (interva-los cuya duración es, alternativamente, de 0 y 20 minutos). Fácilmente llegamos a la conclusión de que la duración media de la espera es la media aritmética de 5 y 10 minutos, es decir, de 7’5 minutos, que puede verse aumentada el 50% por el hecho de las irregularidades del servicio.

Hemos supuesto hasta aquí que el pasajero que espera en-cuentra siempre sitio en el primer coche que pasa; para poder dictaminar en los casos en que los coches van completos o que no pueden aceptar más que una parte de los pasajeros, sería preciso hacer numerosas hipótesis, que serían muy arbitrarias de no estar basadas en la observación y la estadística. En el caso de que los coches vayan a veces completos o casi comple-tos, el problema tiene analogía con el de las ventanillas, del que ahora hablaremos, limitándonos a un caso muy sencillo, ya que sería muy complicado si se quisieran estudiar todas las circuns-tancias que pueden presentarse.

27. El problema de la espera en la ventanilla. — Admita-mos en primer lugar que el número de ventanillas de una admi-nistración, idénticas entre sí, sea estrictamente suficiente para atender a todos los usuarios que se presenten a lo largo de un día; para simplificar, supondremos que el tiempo necesario para atenderlos es igual para cada uno de ellos, por ejemplo, 5 minutos. Si una ventanilla está abierta diariamente 10 horas consecutivas, pueden ser atendidas 120 personas; y 10 ventani-llas pueden atender a 1.200.

Si los usuarios se presentan en menor número al comienzo de la jornada, es evidente que algunas ventanillas cerrarán

parcialmente y, por consiguiente, al final del día la afluencia será excesiva, no pudiendo ser atendidos todos los clientes. Si esta circunstancia se repite varias veces y es conocida por los usuarios, aquellos que lamentan no haber podido ser atendidos a última hora debido a la excesiva afluencia procurarán presen-tarse a primera hora, con la consecuencia de que, al comienzo, el promedio será mayor, con una espera más o menos prolon-gada. Como puede verse, el problema no es simple, ya que interviene la psicología de los interesados, al igual que otras muchas circunstancias que pueden variar según la naturaleza de las operaciones efectuadas. Únicamente puede calcularse este problema simplificando mucho las hipótesis.

A partir de ahora supondremos que existe una sola ventani-lla y que la afluencia cotidiana de clientes es inferior a lo que puede rendir, de manera que si aquellos se sucedieran a inter-valos regulares, no sólo no habría ninguna espera, sino que la ventanilla estaría libre durante una cuarta parte del tiempo total, o sea, durante 2 horas (120 minutos) de 8 horas de traba-jo. Durante las 6 horas de trabajo efectivo, se puede atender un promedio de 30 usuarios a la hora, despachándose uno cada dos minutos, resultando 180 por día. Pero estos 180 clientes no se presentan a intervalos rigurosamente iguales; generalmente hay horas de poco trabajo y otras de mucha afluencia. No obs-tante, si buena parte de los clientes tienen todas las horas libres y no les gusta esperar, procurarán algunos de ellos acudir a las horas conocidas de trabajo reducido, estableciéndose poco a poco cierto equilibrio. No es absurda la sencilla hipótesis de que todas las horas del día son igualmente probables para cada usuario, es decir, que ocurre como si cada uno de ellos echara a suerte la hora y el minuto de presentarse en la ventanilla. En dicha hipótesis, el problema de espera puede ser sometido a cálculo y, a pesar de su sencillez, la solución continúa siendo todavía bastante complicada. En el Apéndice II damos algunas precisiones sobre estos cálculos, destinados a aquellos lectores interesados en las matemáticas; aquí nos contentamos en dar los resultados del caso que acabamos de indicar.

Señalemos en primer lugar algunas denominaciones. El primer usuario que se presente después de abrir la ventanilla

será llamado un cabeza de serie; si durante los 2 minutos que dura su estacionamiento en la ventanilla no se presenta nadie más, la serie se ha terminado, componiéndose tan sólo de un elemento. Contrariamente, si mientras es atendido el primer cliente se presentan uno o varios más, la serie terminará cuando la ventanilla vuelva a quedar libre; puede componerse de 2, 3, 4, 5, etc., elementos, formado cada uno por un concurrente que usa la ventanilla durante 2 minutos; si la serie consta de 4 ele-mentos, su duración es de 8 minutos. Cuando se ha acabado una serie, el primer cliente que se presenta es de nuevo un cabeza de serie, y así sucesivamente hasta la hora de cierre. De permitirse sea atendida la totalidad de los asistentes, deberemos admitir que esta hora se verá retrasada en algunos minutos.

Hemos supuesto que hay en total 180 usuarios, cuyo despa-cho exige 6 horas, estando abierta la ventanilla durante 8 y quedando, la misma, libre

durante una cuarta parte del tiempo total de su apertura. En estas condiciones, la probabilidad para que un usuario que se presente casualmente a lo largo del día sea un cabeza de serie, es precisamente de una cuarta parte, sacándose la conclusión de que el número de series tendrá un promedio igual a la cuarta parte de 180, o sea, 45.

Pueden ser calculadas las respectivas probabilidades para que una serie esté compuesta de 1, 2, 3 o de mayor número de elementos. Estas probabilidades disminuyen rápidamente al principio, y luego mucho más lentamente. Multiplicándolas por 45, número total probable de las series, se obtienen los núme-ros probables de las series de 1, 2, 3, 4, etc., elementos. Estos números tienen 21 series de 1 elemento, 7 series de 2, 3’5 se-ries de 3, 2’1 series de 4, 1’4 series de 5 y 1 serie de 6 elemen-tos. El número disminuye luego poco a poco, ya que es multi-plicado por 0’9 cada vez que el número de elementos aumenta en una unidad, resultando así 0’36 para 16 elementos y 0’13 para 26; la suma total de números probables de series de 6 elementos o más es igual a 10, es decir, está lejos de ser des-preciable, y el número total probable de series de 29 elementos o más es igual a la unidad. Pueden, pues, combinarse de la manera siguiente:

21 series de 1 elemento

72 elemen-

tos

3 3

2 4

2 5

1 6 o 7

1 8

1 9

1 10 o 11

1 12 o 13

1 14 a 16

1 17 a 20

1 21 a 25

1 26 a 30

1 31 a 40

Claro está que podrán presentarse errores con relación a estos números medios; hemos querido dar simplemente un boceto general del fenómeno.

Siendo 45 el número de series y 180 el número total de elementos, cada serie está compuesta por un promedio de 4. Recordemos que el tiempo total de apertura de la ventanilla, 8 horas, es igual a 4 veces el tiempo en que la misma está libre, o sea, 2 horas; de ahí que el promedio de elementos sea 4.

El promedio que acabamos de calcular es la media aritméti-ca de los elementos de las diversas series o, si se prefiere, la media de las duraciones de estas series (siendo su unidad, para

nosotros, de 2 minutos). En algunos casos, será preferible otra definición.

Consideremos un usuario al azar; formará parte de una serie, pudiendo ser su cabeza o bien cualquier otro de sus ele-mentos; al acabarse, esta serie contendrá cierto número de elementos que calificaremos como el número observado por el usuario en cuestión. Si de la misma forma consideramos un gran número de usuarios, cada uno de ellos observará en su serie cierto número de elementos, y denominaremos valor medio de las series a la media aritmética de los valores así observados por un gran número de usuarios. Es evidente que la media así definida es superior a la que hemos calculado, pues es más probable que un cliente tomado al azar pertenezca a una serie larga que a una corta. En el problema que nos ocupa, el cálculo indica que la nueva duración media es exactamente el cuadrado de la anterior, es decir, 16 elementos en lugar de 4. Si un cliente llega al azar y pertenece a una serie de 16 elementos, tiene las mismas posibilidades de ocupar cualquiera de los puestos comprendidos entre el 1 y el 16; el número de los que le preceden está comprendido entre 0 y 15; hay, pues, un pro-medio de 7’5. Esta es la respuesta más precisa y general que puede darse a dicho problema. Sería necesario un nuevo cálcu-lo para fijar la duración media de la espera.

Si la ventanilla estuviera libre durante un tiempo igual a la mitad de las horas de abertura (y no una cuarta parte como habíamos supuesto), el promedio de las series sería de 2 según el primer sistema de cálculo y de 4 según el segundo; cada cliente tendría un promedio de 1’5 de antecesores en la serie a la que pertenece; la mitad de los clientes serían cabezas de serie y no tendrían ningún antecesor.

Al contrario, si la ventanilla sólo estuviera libre durante una décima parte de las horas de apertura, el promedio de las series sería de 10 con el primer método de cálculo y de 100 con el segundo; bastante a menudo, aunque no todos los días, se po-drían observar series superiores a 100. Siendo solamente de 18 el promedio de las series diarias, sería necesaria una observa-ción de varios días para comprobar nuestros resultados.

CAPÍTULO V

LAS PROBABILIDADES DE FALLECIMIENTOS,ENFERMEDADES Y ACCIDENTES

28. Probabilidades de fallecimientos. — A partir del siglo xviii empezaron a establecerse con rigurosidad las estadísticas de fallecimientos debidos a la edad18; a lo largo del siglo XIX dichas estadísticas lograron gran exactitud en los países civili-zados. Además, las compañías de seguros de vida, cuyo núme-ro e importancia iban en aumento, establecieron estadísticas muy precisas sobre su clientela. Según la naturaleza del contra-to, en tales estadísticas las compañías distinguen dos categorías entre esa clientela. En algunos contratos, la muerte del asegura-do resulta un acontecimiento ventajoso, si no para él, sí al me-nos para sus herederos y, por consiguiente, desfavorable para la compañía, que debe satisfacer una suma importante; en otros contratos, en cambio, la existencia prolongada del asegurado es ventajosa para él mismo y desfavorable para la compañía, que debe satisfacerle una renta vitalicia. En el lenguaje de las com-pañías de seguros, la primera categoría es la de los asegurados, siendo la segunda la de los rentistas. Se observa fácilmente que la muerte de los rentistas es inferior a la de los asegurados, a pesar de las precauciones tomadas por las compañías exigiendo un examen médico y rehuyendo asegurarlos si dicho examen resulta desfavorable. Quien se encuentra enfermo o es de salud endeble no se decide fácilmente a clasificarse en la categoría de los rentistas, entregando un capital importante a cambio de la promesa de una renta vitalicia.

Señalemos aquí que los cuadros de las compañías de segu-ros están relacionados con una parte seleccionada de la pobla-ción, ya que los asegurados deben pasar por un examen ante un médico de la compañía, y los rentistas, antes de suscribir el

18 Cuadro de Deparcieux, 1746.

contrato, se han preocupado en consultar a su propio médico. Estos exámenes se realizan una sola vez en el momento en que se suscribe el contrato, y la duración del mismo es, a menudo, muy larga. En el curso de esta duración, tanto asegurados como rentistas pueden sufrir graves enfermedades que aumenten considerablemente sus probabilidades de fallecimiento a lo largo del año, en relación con las probabilidades medias relati-vas al conjunto de hombres o de mujeres de la misma edad.

Insistimos en la diferencia que hay que establecer entre la probabilidad media de fallecimiento a lo largo de un año para un hombre de 40 años y la probabilidad semejante cuando se sabe que dicho individuo goza actualmente de buena salud y que no corre peligros excepcionales, ni en su profesión ni en sus hábitos.

29. Significado de la probabilidad media. — Como orien-tación, consideremos que los hombres de 50 años que mueren a lo largo de un año son 7.834 de 791.283, o sea, algo menos de 10 de cada 1.000. Si admitimos la cifra 10 sobre 1.000, la pro-babilidad media de mortalidad a lo largo de un año es de 0’01, o sea, una centésima para un hombre de 50 años, de quien no se conoce ninguna otra información, y del que legítimamente puede pensarse que ha sido elegido al azar de entre los hom-bres de dicha edad. Por ejemplo, considerando que 30.000 es el número de hombres que cumplen su 50.° aniversario en el transcurso del mes de enero, será probable que mueran 300 antes de la edad de cincuenta y un años. La diferencia que se observará entre la cifra de fallecimientos realmente acaecidos y el número medio calculado de 300 según la probabilidad, será relativamente débil, es decir, del orden de los errores que se obtienen cuando se repite numerosas veces una experiencia simple, como es echar un dado o sacar un número de una urna.

Teniendo en cuenta la posibilidad de algunos acontecimien-tos excepcionales que aumentan la mortalidad general (guerras, epidemias, invierno anormalmente frío), los errores observados son, a veces, mayores que los producidos en acontecimientos aleatorios simples.

Admitamos, sin embargo, en los ejemplos que hemos elegi-do, que el número de fallecimientos sobrepase los 250 y sea inferior a 400, suponiendo, claro está, que la experiencia se realiza sobre 30.000 personas de 50 años elegidas verdadera-mente al azar. Del mismo modo ocurriría si, en lugar de elegir las que han nacido en enero, se eligieran aquellas cuyo apellido comienza por las letras A o B. Pero si se eligieran 30.000 fun-cionarios en ejercicio en la fecha del 1.° de enero y con edad de 50 a 51 años, debería esperarse una mortalidad verdaderamente inferior, ya que el hecho de estar en activo demuestra que hasta el presente no han sufrido ninguna enfermedad grave. Además, uno puede preguntarse si las probabilidades de algunas enfer-medades o causas de accidente no son menores para los funcio-narios que para los obreros o para los agricultores.

Restringiendo la categoría de las personas consideradas, las variaciones de probabilidad serían aún mucho más considera-bles si, en lugar de tratar la probabilidad de fallecimientos a lo largo de un año, se consideraran las probabilidades de falleci-miento en el transcurso de un día, más exactamente, a lo largo de 24 horas, de hoy al mediodía a mañana al mediodía.

Para un conjunto de los hombres de 50 años, esta probabili-dad es 365 veces más débil que para un año, o sea, que debe esperarse una media de 10 fallecimientos entre 365.000 perso-nas en lugar de 10 entre 1.000. En un país donde el número de personas de 50 años fuese de 730.000, el promedio diario de fallecimientos de esta edad sería de 20. Pero es evidente que este porcentaje sería mucho menor si sólo se consideraran las personas de 50 años que hoy al mediodía gozan de buena salud y que, además, a lo largo de las 24 horas no deben correr nin-gún peligro excepcional de accidente (largo viaje en avión, en coche, exhibición peligrosa para un acróbata, etc.). Sin previo aviso hay pocas enfermedades que matan en 24 horas, e incluso muchos accidentes mortales dejan a su víctima algunas horas o algunos días de supervivencia. Sería bastante exagerado, pues, evaluar en 1 sobre 36.500 la probabilidad de fallecimiento a lo largo de las 24 horas para una persona que goce de buena salud y que no deba correr ningún peligro excepcional; se puede afirmar que esta probabilidad es verdaderamente mucho más

débil, aunque su precisa evaluación sea bastante difícil; tam-bién es bastante delicado definirla con precisión. ¿Qué hay que entender, pues, por persona con buena salud?; ¿debemos con-tentamos con la afirmación de la persona interesada, o exigirle un examen médico? Además, ¿cuáles son los riesgos de acci-dente que deben considerarse como normales y cuáles como excepcionales?

Sería bastante interesante distinguir, mejor de lo que se ha hecho hasta ahora, las probabilidades de supervivencia global a una edad determinada para el conjunto de una población, y las probabilidades relativas a las personas de esta edad cuya salud es buena y que no corren peligros excepcionales. El estudio de las estadísticas relativas a los fallecimientos clasificados según sus causas sería uno de los elementos más importantes para utilizar en este estudio.

30. Los fallecimientos según sus causas. — La aplicación de las leyes obligando a declarar las causas de los fallecimien-tos ha progresado mucho a partir de la primera edición francesa de esta obra, en gran parte motivadas por el desarrollo de los seguros sociales, gracias a los cuales el médico es llamado casi siempre en caso de enfermedad grave. Mientras que en 1936, en Francia, de 642.000 fallecimientos había alrededor de 131.000, o sea, más del 20% debidos a motivos no especifica-dos o mal definidos, en 1948 este número era sólo de unos 35.000 sobre 506.000 fallecimientos, o sea, menos del 7%. Hemos elegido las estadísticas publicadas en Francia para el año 1948, que, además, fue el año en que el número de falleci-mientos fue el menos elevado durante el período de medio siglo que abarca de 1900 a 1949.

La clasificación de las causas de fallecimiento, como toda clasificación, no puede ser perfecta, y es preciso reconocer que, en muchos casos, un médico puede hallarse confundido. Por ejemplo, un enfermo padece una tuberculosis de probable cura-ción; sin embargo, por un frío excesivo, muere de una bronqui-tis o de una pulmonía; ¿a qué debe atribuirse su muerte, a la tuberculosis, o a la enfermedad accidental? Semejante cuestión se plantea a menudo en los enfermos sifilíticos; según los espe-

cialistas de la sífilis, el número de fallecimientos cuya causa real es dicha enfermedad es realmente mucho más elevado que el número indicado en las estadísticas. Estas mencionan mayor-mente una causa accidental, que en muchos casos seguramente no hubiera producido la muerte si el sujeto no fuera sifilítico.

En lo concerniente a las causas de senilidad y vejez, para 14.788 hombres hay 488 fallecimientos de los 50 a los 69 años, 4.722 de los 70 a los 79 y 9.578 de los 80 a los 99. Para 23.714 mujeres, 572 de los 50 a los 69 años, 6.188 de los 70 a los 79 y 16.954 entre las mayores de 80 años. Estas cifras se explican por el hecho de que la longevidad de las mujeres es superior a la de los hombres.

También la clasificación de los fallecimientos según las causas por provincias sería bastante instructiva, ya que pondría en evidencia importantes diferencias. Unas se explican por la variedad de los climas o por la presencia de hospitales especia-lizados, debiéndose otras a diferencias de terminología entre los médicos de las distintas regiones. La proporción de falleci-mientos cuyas causas no se han declarado o están mal definidas cambia también mucho según las regiones.

CAPÍTULO VI

APLICACIÓN DE LAS PROBABILIDADES A CIERTOS PROBLEMAS DE HERENCIA

31. La herencia y los cromosomas. — Según las teorías generalmente admitidas por los biólogos y confirmadas por numerosas experiencias, los fenómenos de la herencia están relacionados con la existencia, en cada individuo, de cierto número de parejas de cromosomas (23 pares en la especie humana). Dichas parejas se diferencian unas de otras y pode-mos distinguirlas por una enumeración. En cada niño los cro-mosomas de cierta pareja, digamos por ejemplo la 17.ª, está formada por uno de los cromosomas de la pareja 17.ª de su padre y por uno de los dos cromosomas de la pareja 17.ª de su madre. Ocurre como si el niño sacara a suerte y tuviera, así, una probabilidad sobre dos de elegir cada uno de los dos cro-mosomas del padre y cada uno de los dos de su madre, tanto para la pareja 17.ª como para cada una de las otras 23 parejas. El número de elecciones posibles es de 46 parejas, siendo igual a 246, o sea, 60 billones. Cuando dos hermanos o hermanas no son gemelos nacidos de un mismo óvulo (en cuyo caso tienen exactamente los mismos cromosomas y se parecen de un modo perfecto), la probabilidad para que tengan las mismas eleccio-nes es muy escasa e igual al cociente de la unidad por 60 billo-nes. No es probable, pues, que un acontecimiento así se haya producido en la Tierra desde que existe la especie humana.

Aunque el preciso papel de los cromosomas en la determi-nación de los caracteres físicos, intelectuales y morales de cada individuo no sea aún bien conocido, parece claro que la presen-cia de dos individuos de ciertos grupos de cromosomas idénti-cos es suficiente para crear entre ellos ciertos parecidos o ana-logías muy sorprendentes; a veces, incluso, la especial coloca-ción («locus») de un solo cromosoma determina un carácter tan importante para que sea inmediatamente observado; este es el

caso para algunas taras hereditarias. Dicha observación indica el interés que presenta el estudio de las probabilidades que vamos a hacer referentes a la presencia simultánea de un cro-mosoma en individuos que tienen uno o varios antepasados comunes, parecidos entre hermanos, tíos y sobrinos, primos hermanos, etc.

32. Cromosomas comunes a hermanos y a primos. — Consideremos primeramente a dos hermanos de igual padre y madre. Todos los cromosomas de cada uno de ellos, que llama-remos A, proceden del padre o de la madre, es decir, de uno de los dos padres comunes a A y a su hermano B. Si centramos la atención en un cromosoma determinado de A, habrá una posi-bilidad de cada dos para que se le encuentre en B, ya que B sólo ha obtenido de sus padres un cromosoma de cada dos. De los 46 cromosomas de A, habrá un promedio de 23 que se en-contrarán igualmente en B.

Hemos admitido implícitamente que el padre y la madre de los dos hermanos no son familiares, es decir, que no tienen cromosomas comunes.

Consideremos ahora un tío y un sobrino; se supone que el padre del sobrino es un hermano verdadero del tío, es decir, que tienen el mismo padre y la misma madre; pero la madre del sobrino no tiene ningún lazo de parentesco con su marido. En estas condiciones, el tío y el sobrino tienen dos antepasados comunes, que son los padres del tío y los abuelos paternos del sobrino. Cualquier cromosoma del tío le viene de uno de estos dos antepasados comunes, pero, para cada uno de estos cromo-somas, sólo hay una posibilidad de cada cuatro para que se le halle en el sobrino, puesto que está separado de los dos antepa-sados comunes por dos generaciones (comprendiendo la suya).

Habrá un promedio de 11’5 cromosomas comunes al tío y al sobrino.

Si se trata de primos hermanos, supondremos, precisándolo bien, que sus padres son hermanos verdaderos y que sus ma-dres ni son parientes entre sí ni de sus esposos. En estas condi-ciones tienen dos antepasados comunes, que son sus abuelos paternos. Un cromosoma de uno de los primos tiene una posi-

bilidad de cada dos de proceder de los antepasados comunes y, en este caso, hay una posibilidad de cada cuatro de encontrarse igualmente en el otro primo; la probabilidad para que un cro-mosoma de rango determinado sea común a los dos primos es, pues, 1/2x1/4 = 1/8. De 46 cromosomas, les son comunes un promedio de 5’75.

Tomemos ahora el caso de primos hermanos, cuyos padres son hermanos y cuyas madres son hermanas; tienen cuatro antepasados comunes, y cualquier cromosoma de uno de ellos proviene de uno de estos cuatro antepasados; pero cada uno de tales antepasados está separado de su nieto por dos generacio-nes, es decir, por dos elecciones; uno de sus cromosomas sólo tiene, pues, una posibilidad de cada cuatro de encontrarse en el nieto; los dos primos tienen, así, un promedio de 11’5 cromo-somas comunes, una cuarta parte de los cuales proviene de cada uno de sus cuatro antepasados comunes. La diferencia entre el caso de estos dos primos y el de los dos hermanos, que tienen igualmente 4 abuelos comunes, se explica por el hecho de que, en el caso de los dos hermanos, sus padres han hecho ya la elección entre los cromosomas de los abuelos, y que di-cha elección es la misma para los dos hermanos.

Por lo tanto, si un carácter está ligado a un solo cromoso-ma, se le vuelve a encontrar una vez de cada dos en los dos hermanos, una vez de cada cuatro en el tío y el sobrino y una vez de cada ocho en los dos primos hermanos (una vez de cada cuatro si los primos son hermanos por parte doble).

33. Algunas palabras sobre un caso más general. — Hemos supuesto, como es el caso más frecuente, que dos her-manos tienen los mismos padres; sería fácil tratar el caso más general en que los antepasados comunes no son forzosamente un padre y una madre. Por ejemplo, tomemos el caso de dos primos que tienen en común un abuelo y una bisabuela, siendo los demás antepasados comunes exclusivamente los antepasa-dos de aquellos dos19. Tomemos un cromosoma de uno de los

19 Supongamos que Pablo y Juan son los dos primos: Pablo es hijo de Pedro y de María, y Juan es hijo de Enrique y de Ana. Pedro y Enrique son hijos del mismo padre, pero no de la misma madre. María es hija de Eduardo y Ana es

primos; existe una posibilidad de cada cuatro de que provenga de su abuelo y una de cada ocho de que provenga de su bis-abuela; descartamos estas dos eventualidades. En el primer caso, hay una posibilidad sobre cuatro de que el cromosoma exista también en el segundo primo, y en el segundo caso, una posibilidad sobre ocho. La probabilidad para que el cromosoma sea común a los dos primos es, pues,

1/4x1/4 + 1/8x1/8 = 5/64

Semejante fórmula se aplicaría cualquiera que fuese el número de los antepasados comunes que, en cambio, pueden no corresponder a la misma generación para los dos primos. De un modo general, el antepasado de orden a1 de A ha supuesto ser el antepasado de orden b1 de (si a1 = 1, se trata del padre; para a1 = 2, del abuelo; para a1 = 3, del bisabuelo, etc.), el antepasado de orden a2 de A es el antepasado de orden b2 de B, etc, el antepasado de orden a3 de A es el antepasado de orden b3

de B, etc. La probabilidad para que un cromosoma sea común a y a es, entonces,

Por ejemplo, si se trata de dos primos hermanos por parte doble, es decir, teniendo cuatro abuelos comunes, se tiene

a1 = b1 = 2; a2 = b2 = 2; a3 = b3 = 2; a4 = b4 = 2

la fórmula da

P = 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 = 4 Sólo queda por tratar el caso en que uno de los antepasados

comunes deba ser considerado un antepasado múltiple por uno de los descendientes (tales el caso cuando los primos se han casado entre ellos). Sin entrar en detalles, indicamos simple-mente que cada individuo tiene dos antepasados en la primera

hija de Margarita. Eduardo y Margarita tienen la misma madre, pero no el mismo padre.

generación (padres), cuatro en la segunda (abuelos), ocho en la tercera (bisabuelos), etc. Si entre los 16 antepasados de la cuar-ta generación una misma persona figura 2 veces, en el cálculo hecho anteriormente deberemos tenerla en cuenta dos veces, es decir, atribuirle dos números (iguales entre sí) a1 y a2. Si entre los 32 antepasados de la quinta generación cierta persona figu-ra 3 veces entre los antepasados de A y 2 veces entre los ante-pasados de B, tendremos 3 números a iguales a 5 y 2 números b iguales a 5, lo cual nos dará 3x2 = 6 sumas a + b iguales a 10, es decir, 6 términos iguales cada uno a 1/210

Dejamos al lector el caso de estudiar aquellos más compli-cados que puedan presentarse; aquel en que un mismo antepa-sado figura dos o varias veces en la estirpe de un mismo indivi-duo, pero con líneas que pueden ser diferentes, no presenta ninguna dificultad particular. Un caso algo menos sencillo es aquel en el que los dos individuos A y B que se comparan, tienen antepasados comunes que son parientes entre sí, es de-cir, que ellos mismos tienen antepasados comunes.

El ejemplo más sencillo de este caso es el de dos hermanos cuyos padre y madre son primos más o menos lejanos. Casos aún más complejos, en que para completarlos se vería uno obligado a remontarse a un número casi indefinido de genera-ciones, se encuentran frecuentemente en pueblos aislados, donde desde hace siglos se vienen cruzando entre sí un peque-ño número de familias.

34. Aplicación de la ley única del azar. — Todos los resultados que acabamos de dar sobre la herencia se traducen en coeficientes de probabilidades; por lo tanto, no pueden con-ducir a ninguna previsión segura, a menos que sean utilizados para calcular otros coeficientes de probabilidades que serían bastante pequeños para poderles aplicar ley única del azar.

Por ejemplo, hemos dicho que la probabilidad para que un cromosoma S se encuentre en su hermano B es de 1/2, mientras que la probabilidad sólo es de 1/8 para que este mismo cromo-soma de A se encuentre en su primo hermano C; sin embargo, podría suceder perfectamente que S no se encuentre en B y se encuentre en es decir, que haya entre los primos hermanos

cierto parecido o analogía que no existe entre los dos herma-nos.

Pero, si consideramos a 100 parejas de hermanos A1, B1; A2, B2; etc., y si suponemos que los cien A poseen algún cromoso-ma que determine en ellos una particularidad S, podemos afir-mar que este cromosoma y, por consiguiente, dicha particulari-dad S, se encontrarán en una media de 50 veces en los 100 B. Y, en virtud de la ley única del azar, concluiremos que es im-posible que S se encuentre a la vez en los 100 B, o incluso en más de 95 de ellos, y que es igualmente imposible que S no se encuentre ninguna vez en B, o incluso sólo en menos de 5 de ellos. Si en lugar de considerar 100 parejas de hermanos AB hubiésemos considerado 100 parejas de primos hermanos AC, la particularidad S hubiera debido encontrarse en una media del 12’5 de entre ellos y se podría afirmar con seguridad que no se encontrará en más de 50 de ellos, mientras que es verdadera-mente poco probable, sin que sea completamente imposible, que no se encuentre en ninguno.

Así pues, si se ignora a priori que las 100 parejas estaban formadas por hermanos o por primos hermanos, pero se sabe que el parentesco es el mismo para las 100 parejas, al observar 60 veces la presencia del carácter S en los dos individuos po-dremos afirmar que se trata de hermanos, mientras que si sólo se observa 5 o 6 veces se tratará de primos hermanos.

Estos ejemplos bastan para indicar cómo los diversos resul-tados obtenidos en este Capítulo y en los precedentes pueden conducir a previsiones seguras, cuando se las combina de tal manera que se pueda aplicar la ley única del azar.

APÉNDICE I

SOBRE LAS REPETICIONES DE CIFRASEN LOS NÚMEROS PREMIADOS DE LOTERÍA

35. Probabilidades de los diversos tipos de números. — El problema de la probabilidad de las repeticiones de cifras en los números premiados de la lotería, del que ya hemos hablado en el Capítulo Primero, merece algunas explicaciones comple-mentarias, ya que puede contribuir a hacer comprender mejor algunas dificultades que se presentan en muchas aplicaciones numéricas del cálculo de probabilidades.

Consideremos todos los números de 6 cifras escritas en el sistema decimal; son en número de un millón, incluyendo en ellos los números menores de seis cifras, que pueden comple-tarse a su izquierda con ceros, y el número cero, que se escribi-rá 000.000. En resumen, son todos aquellos números que se pueden obtener en los sorteos hechos con seis bombos, coloca-dos en un orden determinado y conteniendo cada uno de ellos las 10 cifras: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.

En este millón de números de seis cifras, calcularemos primeramente cuántos hay que tienen 6 cifras distintas o bien 5, 4, 3, 2 o 1 cifras diferentes.

Para obtener un número de seis cifras distintas, como 324.789 o 023.586, se puede tomar como primera cifra a la izquierda una cualquiera de las diez cifras; como cifra siguiente una cualquiera de las otras 9; como tercera, una cualquiera de las otras 8, y así sucesivamente hasta la sexta cifra, que es una cualquiera de las cinco cifras aún no elegidas. Así pues, hay en total 10x9x8x7x6x5 = 151.200 números formados por seis cifras distintas.

Pasemos a los números compuestos por cinco cifras distin-tas; únicamente una cifra, una sola, se encontrará repetida dos veces; es lo que los jugadores de póquer llamarían una pareja. La cifra repetida dos veces puede ser una cualquiera de las diez y puede ir colocada en dos cualesquiera de los seis lugares

posibles, lo que da quince posibilidades20 para cada una de las cifras, 150 en total.

Cuando la cifra repetida dos veces se encuentra colocada, por ejemplo, en el 2.° y en el 5.° lugar, podemos escribir el número del siguiente modo:

x3xx3x

designando por x las cifras indeterminadas que no pueden ser el 3.

Para reemplazar la x de más a la derecha, podemos elegir una cualquiera de las otras 9 cifras que no sean el 3; para reem-plazar la x siguiente, una cualquiera de las 8 cifras que quedan; luego, una cualquiera de las otras 7; y después, una cualquiera de las 6 restantes. Obtenemos, pues, una cantidad de números igual a

150x9x8x7x6 = 10x9x8x7x6x5x3

es decir, un número triple del número 151.200 de los números formados por 6 cifras diferentes.

La cantidad de números formados por 5 cifras diferentes (con una pareja) es, pues,

151.200x3 = 453.600.

Análogos razonamientos permiten calcular la cantidad de números con 4 cifras diferentes. Se pueden dividir en dos cate-gorías, una conteniendo dos parejas, como los números 121.472 o 003.347, y llevando la otra una cifra repetida 3 veces (una berlanga), como el 303.483; la primera categoría (dos

20 Se puede colocar la primera cifra en uno cualquiera de los seis lugares y la segunda en uno cualquiera de los otros cinco, lo cual da, en apariencia, 30 posibilidades. Pero si en un principio se ha elegido el segundo puesto y luego el cuarto, se tiene la misma disposición que si se hubiera elegido en un princi-pio el cuarto y luego el segundo. Por lo tanto, es preciso dividir 30 por 2, lo que da 15. Este resultado se puede verificar gracias a una denominación directa de las 15 disposiciones posibles.

parejas) comprende 226.800 números y la segunda (una berlan-ga) comprende 100.800, en total 327.600 números con sólo 4 cifras.

Para obtener todos los números que tienen 2 parejas, es preciso ante todo elegir las dos cifras que están repetidas dos veces; esta elección puede hacerse de (10x9) / 2 = 45 maneras distintas. Puede elegirse una cualquiera de las diez cifras, luego una cualquiera de las nueve restantes, lo que en total da 10 X 9 = 90 elecciones; pero cada pareja de dos cifras, como 7 y 5, se obtiene dos veces, puesto que se puede elegir primero 7 y lue-go 5, o primeramente 5 y luego 7. Él número de las parejas de 2 cifras es, pues, la mitad de 90, o sea, 45. Sea 7 y 5 el par elegido; se podrá colocar 7 en uno cualquiera de los seis luga-res y luego en uno cualquiera de los cinco restantes; el número total de elecciones es, así, de 6 X 5, pero dicho número debe ser dividido por 2, por un motivo semejante al que se acaba de indicar; hay en total, pues, 15 maneras de elegir los lugares de los dos 7. Cuando éstos están colocados, quedan cuatro lugares vacíos, habiendo seis maneras de colocar en ellos los dos 5. Cuando los 7 y los 5 están colocados, se tiene la disposición

x577x5

en la que puede reemplazarse la primera x por una cualquiera de las otras 8 cifras y la segunda x por una cualquiera de las 7 restantes; obtenemos así un total de combinaciones igual a

45x15x6x8x7 = 5x9x8x7x6x5x3.

Este número es, pues, la mitad del número ya calculado

10x9x8x7x6x5x3 = 453.600.

Es igual a 226.800.Es un hecho bastante destacable que baya exactamente el

mismo número total de pares en los números de una y en los de dos parejas. Esto no se produce en todos los valores del núme-ro total de las cifras utilizadas (aquí igual a 10, puesto que nos

servimos del sistema decimal) y del número de cifras que for-man los números en cuestión21.

Para obtener todos los números conteniendo una berlanga (cifra repetida 3 veces), primeramente se deberá elegir dicha cifra, lo cual puede hacerse de diez maneras distintas; luego, elegir los 3 lugares que ocupe, lo cual puede hacerse de

(6x5x4) / (1x2x3) = 20 maneras distintas. Se obtienen así 200 disposiciones como la que sigue:

x88xx8

cada una de las cuales podrá ser completada de 9x8x7 maneras distintas por tres cifras diferentes del 8 y diferenciándose entre sí. Se tienen así, en total, 200x9x8x7 = 100.800 números conte-niendo una berlanga.

Pasemos a los números de sólo 3 cifras diferentes. Pueden contener 3 pares, como 422.477 (en número de 10.800), o bien un par y una berlanga, como 422.274 (en número de 43.200), o, por último, un cuadrado, como 447.484 (en número de 10.800); o sea, en total, 64.800 números de 3 cifras.

Sin entrar en detalles, basados siempre sobre los mismos principios, indiquemos cómo se han obtenido los números precedentes.

Números con tres pares:

((10x9x8) / (1x2x3)) x ((6x5) / (1x2)) x ((4x3) / (1x2)) = 10.800

Números con una pareja, una berlanga y otra cifra:

(10x9x8x7x6x5x4) / 2 = 43.200

Números con un cuadrado (cifra repetida 4 veces) y otras 2 cifras diferentes:

21 Se puede demostrar fácilmente que si el número total de cifras utilizadas es n = 2 K2 + K, siendo K un número entero cualquiera, dicha propiedad subsiste tomando, para valor del número de cifras que figuran en una cantidad, p = 2 K + 2 si n = 2 K2 + K y p = 2 K + 1 si n = 2 K2 - K. Se obtiene el resultado del texto para K = 2, n = 2 K2 + K = 10, p = 2 K + 2 = 6.

10 x ((6x5x4x3) / (1x2x3x4)) x 9 x 8 = 10.800.

Hemos calculado (en 6. Los números formados por dos cifras.) la cantidad de números con sólo dos cifras distintas; ellos se dividen en tres categorías.

Números con un quinterno (cifra repetida 5 veces) y otra cifra:

10x9x6 = 540.

Números con un cuadrado y una pareja:

10 x 9 x ((6x5) / (1x2)) = 1.350.

Números con dos berlangas:((10x9) / (1x2)) x ((6x5x4) / (1x2x3)) = 900

Por último, la cantidad de números formados mediante una sola cifra (comprendiendo 000.000, pero evitando contar 333 por ejemplo, que debe escribirse 000.333) es igual a 10.

CUADRO I

Número de cifras diferentes Ejemplo

Número para cada ejemplo

Número total para cada número de cifras dife-

rentes

6 327689 151.200 151.200

5 327683 453.600 453.600

4 327376327336

226.800100.800 327.600

3071701007017723777

10.80043.20010.800

64.800

2556555556565556566

5401.350

900 2.790

1333333

o000000 10 10

Total 1.000.000

1.000.000

Muchos lectores se sorprenderán de estos resultados, que son, sin embargo, indiscutibles. Puesto que sólo hay seis bom-bos y diez cifras, podría esperarse como caso más frecuente aquel en que cada bombo diera una cifra diferente a la de los otros; pero esto sólo ocurre unas 15 veces de cada 100, mien-tras que en más de 45 sobre 100 una misma cifra se ha obteni-do dos veces y que unas 33 veces de cada 100 sólo se han lo-grado 4 cifras diferentes, tanto si 2 de ellas sale cada una 2 ve-ces (casi 23 veces de cada 100), como si una misma cifra sale 3 veces (unas 10 veces de cada 100).

Fijándonos en un solo sorteo de la lotería, sucederá a menu-do que las proporciones de los números ganadores con 6, 5, 4, 3 cifras distintas, respectivamente, serán bastante diferentes de las proporciones que se acaban de calcular; pero si se considera un número bastante elevado de sorteos que comporten un cen-tenar o, preferentemente, varios centenares de premios impor-tantes, podremos ver que las proporciones se asemejan mucho a las que resultan de nuestro Cuadro. Se comprobará, principal-mente, que el caso más frecuente, y que suministra casi la mi-tad de los números premiados, es aquel de los números en los cuales una sola cifra, sólo una, se encuentra repetida dos veces. Claro está que en estas enumeraciones no podrán despreciarse los ceros que deben figurar a la izquierda, de manera que todos los números tengan exactamente seis cifras.

36. Resultados relativos a las repeticiones de una cifra en particular. — Es interesante confrontar los resultados que acabamos de obtener con los que se logran cuando fijamos nuestra atención en una cifra particular, por ejemplo la cifra 7, y cuando se colocan los números según el número de veces que contengan tal cifra.

Números que no contienen la cifra 7. — Cada una de las seis cifras de estos números puede ser elegida arbitrariamente de entre las otras 9 cifras. La cantidad de estos números es

9x9x9x9x9x9 = 96 = 531.441.

Números que contienen una sola vez la cifra 7. — Puede escribirse la cifra 7 en uno cualquiera de los seis lugares, y luego, en cada uno de los cinco restantes, escribir una cualquie-ra de las otras 9 cifras; el número de combinaciones será

6x9x9x9x9x9 = 6x 96 = 354.294.

Números que contienen solamente dos veces la cifra 7. — Los dos 7 podrán ser colocados de ((6x5) / (1x2)) = 15 maneras distintas y, en cada uno de los otros 4 lugares, podrá inscribirse una de las otras 9 cifras. Su número de combinaciones será

15x9x9x9x9=15x94 = 98.415.

Números en que la cifra 7 figura tres veces. — Los tres 7 pueden ser colocados ((6x5x4) / (1x2x3)) = 20 distintas mane-ras, obteniéndose en total

20x9x9x9 = 20x93 = 14.580 combinaciones.

Números que contienen cuatro veces la cifra 7. — Hay 15 lugares posibles para los cuatro 7, en total

15x 9x 9 = 1.215 combinaciones.

Números conteniendo cinco veces la cifra 7. — Se obtienen en total

6 X 9 = 54 combinaciones.

Finalmente, existe un solo número, el 777.777, que com-prende seis veces la cifra 7.

En el Cuadro II resumimos los resultados obtenidos.

CUADRO II

Número de cifras 7 Cantidad de núme-ros

0 531.441

1 354.294

2 98.415

3 14.580

4 1.215

5 54

6 1

Total 1.000.000

En el Cuadro II puede observarse que los números obteni-dos son los términos del desarrollo de la sexta potencia del binomio 9+1:

(9 + 1)6 = 96 + 6x95 + 15x94 + 20x93...

El Cuadro II da lugar a varias observaciones interesantes.Ante todo, puede observarse que hay más de la mitad de los

números (531.441 sobre un millón) que no contienen la cifra 7. Sin embargo, se hacen seis sorteos, en cada uno de los cuales la probabilidad de salir el 7 es de una décima; la suma de estas probabilidades es de seis décimas y superior a una mitad. Ello indica que las probabilidades no deben ser sumadas sin cir-cunspección. Lo que sí puede sumarse son las esperanzas mate-máticas, es decir, las probabilidades de ganar de un jugador que apostara para que saliera la cifra 7. Invirtiendo este jugador un dólar, se le deben dar equitativamente 10 dólares cuando salga el 7. Si se hacen 6 sorteos a la vez, deberá invertir 6 dóla-

res, recibiendo tantas veces 10 dólares como veces salga la cifra 7.

El Cuadro II indica que hay casi 53 posibilidades de cada 100 de perder sus 6 dólares, algo más de 35 de cada 100 de ganar 10, unas 10 de cada 100 de recibir 20, 14 de cada 1.000 de recibir 30 y casi una posibilidad de cada 1.000 de ganar 40 dólares. Estas posibilidades de ganancia, relativamente eleva-das, compensan el hecho de que pierda má6 de una vez de cada dos su apuesta de 6 dólares.

Consideremos ahora el caso en que la cifra 7 aparezca más de una vez; sobre un millón de números, hay 98.415 pares de 7, 14.580 berlangas de 7, 1.215 cuadrados de 7 y 54 quinternos de 7.

Como sea que puede razonarse, para cada una de las diez cifras, exactamente como lo hemos hecho con la cifra 7, vemos que en el conjunto del millón de números existen 984.150 parejas, es decir, casi un millón. Sería erróneo deducir de ello que casi todos los números comportan un par. El Cuadro I nos señala que sólo hay 453.600 números que llevan una sola pare-ja; para obtener el número total de pares es preciso tener en cuenta los números de 2 o 3 pares y aquellos en los que la pareja va acompañada de una berlanga o de un cuadrado. El Cuadro I nos da:735.750 números comprendiendo, en total, 984.150 pares

Pares

453.600 números con un solo par 453.600

226.800 dos pares 453.600

10.800 tres pares 32.400

43.200 un par y una berlanga 43.200

1.350 un par y un cuadrado 1.350

735.750 Números comprendiendo, en total,

984.150

El resultado concuerda bien con el que habíamos deducido del Cuadro II, lo que confirma la exactitud de nuestros cálcu-los.

Igualmente, del Cuadro II se saca la consecuencia de que hay, en total, 145.800 berlangas que, según el Cuadro I, se desglosan así:

100.800 núme-ros

con una sola berlan-ga 100.800

43.200una berlanga y un par 43.200

900 dos berlangas 1.800

Total 145.800

Por último, según el Cuadro II, hay 12.150 cuadrados en total, de los cuales 10.800 van solos y 1.350 acompañados de un par, según el Cuadro I.

Para terminar, señalemos una curiosa consecuencia de las cifras del Cuadro II.

Supongamos que un jugador apuesta para que salgan pares y que se le prometen 10 dólares tantas veces como pares con-tenga el número que salga. Si juega un millón de veces y salen todos los números, habrá en total 984.150 pares, o sea, cerca de un millón. Así, si su apuesta es de 10 dólares. el juego puede resultarle perfectamente equitativo; el organizador de la lotería, que se ha comprometido en pagar 10 dólares por cada par sali-do, únicamente se reserva un beneficio del 15 al 16% o sea, alrededor del 1’5%. Merece señalarse que el juego puede resul-tar también equitativo, conviniendo que cada terno, cuadrado, quinterno o séxtuple será pagado, no en 10 dólares al igual que la pareja, sino solamente en un dólar. Según el Cuadro I, el número total de ternos, cuadrados, quinternos y séxtuplos para la cifra 7 es

14.580 +1.215 + 54 +1 = 15.850.

El número total sería 10 veces mayor para el conjunto de las cifras, pero, si en cada una de estas salidas sólo entregamos la décima parte de lo apostado (1 dólar en lugar de 10), debere-mos añadir 15.850 a 984.150, lo que suma exactamente un millón.

Este resultado tan destacable es una consecuencia de la siguiente relación, que nuestros lectores no tendrán dificultad en demostrar:

150x94 + (106-96 - 6x95 - 15x94) = 106.Así, resulta perfectamente equitativo el siguiente juego:

Pedro entrega 10 dólares a Pablo antes del sorteo y, si el núme-ro ganador del primer premio contiene pares, Pablo da a Pedro tantas veces 10 dólares como pares haya; si en vez de pares, o junto a ellos, una cifra se repite más de dos veces, Pablo da a Pedro un dólar para cada uno de estos grupos que tienen más de dos cifras idénticas (ternos, cuadrados, quintemos o séxtu-plos). Así, las ganancias posibles de Pedro son las siguientes(de donde sería preciso deducir su apuesta, igual a 10 dólares):

Un par10 dóla-res Una berlanga 1 dólares

Dos pares 20 Dos berlangas 2

Tres pares 30 Un cuadrado 1

Un par y una berlanga 11 Un quinterno 1

Un par y un cuadrado 11 Un séxtuplo 1

APÉNDICE II

SOBRE LA FÓRMULA DE POISSON

37. Fórmula de Poisson. — Esta fórmula da a conocer las probabilidades relativas a los acontecimientos fortuitos que se suceden sin otra ley que la existencia reconocida de alguna fre-cuencia media. Por ejemplo, si una ruleta funciona al compás de una vez por minuto, cada número, por ejemplo el 17, saldrá en un promedio de una vez cada 37 minutos: es la frecuencia media22. Algunos fenómenos de relativa importancia quedan englobados en esta definición; tal es el caso de las emisiones de partículas correspondientes a la desintegración de algunas moléculas correspondientes a la radiactividad; para una masa dada de radio, el número medio de átomos desintegrados du-rante cierto intervalo de tiempo es una constante bien determi-nada.

Los intervalos de tiempo se pueden representar, en una línea recta, por longitudes proporcionales; en lugar de hablar de la distribución de los acontecimientos en el tiempo, se podrá hablar de la distribución de los puntos en la línea recta; estos pueden ser considerados como repartidos al azar, con la única condición de que su densidad media es constante, siendo esta el número de puntos por unidad de longitud; si se expresa por la letra d, el número de puntos situados en una longitud a será, en promedio, ad.

Consideremos, pues, un intervalo de tiempo, o una parte determinada de la recta, y designemos por b = ad el número medio de acontecimientos o de puntos que pueden ser observa-dos en el intervalo de tiempo dado o en la parte señalada de la

22 En realidad, la ley de Poisson es una ley límite que sólo se aplicaría de una manera rigurosa si nos pudiésemos imaginar una ruleta a un compás cada ves más rápido, mientras que los números posibles serían cada vea más numerosos. Por ejemplo, en una ruleta de 600 números que funcionara una vea por segun-do, cada número saldría, en promedio, cada diez minutos.

recta. En general, este número b no es un número entero; inclu-so en el caso en que lo sea, no siempre se observará precisa-mente dicho número. La ley de Poisson da a conocer la proba-bilidad para que se observen precisamente n acontecimientos (o n puntos) en lugar del número medio 6; esta probabilidad P es:

(1) P = e-b x (bn / n!)

Tal es la fórmula de Poisson, en la que e designa, según costumbre, la base de los logaritmos neperianos (e = 2’718281828...).

En el caso en que b = 1, la fórmula (1) resulta:

(2) P = 1/e x 1/n!

Según esta fórmula (2) se han calculado los números dados en el Capítulo IV.

En efecto, se tiene

1/e = 0’36788...

y las fórmulas (1) y (2) se aplican también en el caso en que n = 0, a condición de reemplazar, en este caso, a n! por la uni-dad.

(Se sabe que n! designa el producto de los n primeros nú-meros enteros; se tiene (n + 1)! = (n + 1) x n! y, si en esta fór-mula se hace que n sea igual a 0, se deduce perfectamente que 0! = 1.)

38. Problema de la espera en la ventanilla. — Gracias a la fórmula de Poisson (y a otros cálculos) han podido ser obte-nidos los resultados indicados en el Capítulo IV con respecto al problema de la espera en la ventanilla. Admitamos que el nú-mero de clientes en la ventanilla sea de N por día y que cada cliente permanezca a minutos; supongamos que el producto Na es inferior a la duración total D de apertura en la ventanilla;

más concretamente, que Na = Dσ, siendo σ un número inferior a la unidad.

Tal como ya hemos expuesto, se puede dividir el número de clientes en series, estando formada cada una de ellas por clien-tes que se suceden sin interrupción, mientras que en el interva-lo de dos series el acceso a la ventanilla queda libre. La proba-bilidad de que una serie esté compuesta de n clientes viene dada por la fórmula23

Pn = e-nσ x σn-1 x (nn-2 / (n-1)!)

De esta fórmula se deducen los resultados numéricos dados en el Capítulo IV.

23 Para la demostración ver Borel, E., Sur l’emploi du theorems de Bernouilli, pour le calcul d’une infinité de coefficients.. Application au problème d’attente à un guichet, informes de la Academia francesa de Ciencias, marzo de 1942.

Índice

INTRODUCCIÓN. LA LEY ÚNICA DEL AZAR. PLAN DE LA OBRA.

Las probabilidades y la opinión común. Los prejuicios de los jugadores

Conjeturas sobre las probabilidades concernientes a la vida y a la muerte

III. Las probabilidades negligibles y las probabilidadesde la vida práctica

Los sucesos de escasa probabilidad. Ley de Poisson.

Las probabilidades de fallecimientos, enfermedades y acci-dentes.

Aplicación de las probabilidades a ciertos problemas de

herencia

APÉNDICE I. SOBRE LAS REPETICIONES DE CIFRAS EN LOS NÚMEROS PREMIADOS DE LOTERÍA

APÉNDICE II. SOBRE LA FÓRMULA DE POISSON

TÍTULOS PUBLICADOS

* Volumen extra, en color

1 Carl Sagan La conexión cósmica2 Isaac Asimov Introducción a la ciencia (I)3 El futuro de la exploración del espacio *4 Isaac Asimov Introducción a la ciencia (II)5 Bertrand Russell ABC de la relatividad6 Isaac Asimov Fotosíntesis7 C. Rayner La mente humana *8 Desmond Morris El mono desnudo9 Alvin Toffler La tercera ola (I)10 Alvin Toff ler La tercera ola (II)11 Richard Leakey La formación de la humanidad (I)*12 Werner Heisenberg La imagen de la naturaleza en la física actual13 Pierre P. Grassé El hombre, ese dios en miniatura14 David Dickson Tecnología alternativa15 Richard Leakey La formación de la humanidad (II)*16 Stephen Jay Gould El pulgar del panda17 Walter C. Patterson La energía nuclear18 Erwin Schrödinger ¿Que es la vida?19 C. Rayner El cuerpo humano (I)20 Jacques Monod El azar y la necesidad21 Stephan L. Choro ver Del Génesis al genocidio22 J. E. Lovelock Gaia, una nueva visión de la vida sobre la Tierra23 C. Rayner El cuerpo humano (II)*24 Desmond Morris El zoo humano25 K. Lorenz y otros Hombre y animal26 Charles Sherrington Hombre versus Naturaleza27 K. Gatland Exploración del espacio (II)*28 Robert Fouet/Charles Pomerol Las montañas29 Paul Colinvaux Por qué son escasas las fieras30 F. Jacob y otros Biología molecular31 K. Gatland Exploración del espacio (III)*32 Alan Ross Anderson Controversia sobre mentes y máquinas33 Pierre George El medio ambiente34 Xavier Le Pichón/Guy Pautot El fondo de los océanos35 K. Gatland Exploración del espacio (IV)*36 H. J. Eysenck Raza, inteligencia y educación37 Fernand Moreau Alcaloides y plantas alcaloideas

38 Bruce A. Bolt Terremotos39 R. Hardy, P. Wright,J. Gribbin, J. Kington El libro del clima (I)*40 Recopilación de artículos de La RECHERCHE Astrofísica41 Sydney P. Clark La estructura de la Tierra42 Recopilación de artículos de La RECHERCHE Las nuevas ener-

gías43 R. Hardy, P. Wright,J. Gribbin, J. Kington El libro del clima (II)*44 H. J. Eysenck Experimentos en terapia de la conducta I. Inhibición

recíproca45 H. J. Eysenck Experimentos en terapia de la conducta II. Métodos

de condicionamiento46 H. J. Eysenck Experimentos en terapia de la conducta III. Experi-

mentación con niños47 R. Hardy, P. Wright, J. Gribbin, J. Kington El libro del clima (III)*48 Tom Logsdon Robots: una revolución49 B. F. Skinner Sobre el conductismo50 H. Takeuchi/S. Uyeda/H. Kanamori ¿Qué es la Tierra?51 Desmond Morris El hombre al desnudo (1)*52 Paul Chovin/André Roussell La polución atmosférica53 Pierre Rousseau Astronomía sin telescopio54 Félix Trombe Las aguas subterráneas55 Desmond Morris El hombre al desnudo (II)*56 A. R. Luria El cerebro en acción (I)57 A. R. Luria El cerebro en acción (II)58 D. H. Tarling/M. P. Tarling Derivas continentales59 Desmond Morris El hombre al desnudo (III)*60 Pierre Rousseau La luz61 Stephen J. Gould La falsa medida del hombre62 Jean-Jacques Matras El sonido63 Desmond Morris El hombre al desnudo (IV)*64 Richard Feynman El carácter de la ley física65 Michel Béguery La explotación de los océanos66 Ivan P. Pavlov Actividad nerviosa superior67 Peter Rodwell Libro básico del ordenador personal (I)*68 J.L. Cloudsley-Thompson El hombre y la biología de zonas áridas69 Y. Perelman Matemáticas recreativas70 Philippe Renault La formación de las cavernas71 Peter Rod well Libro básico del ordenador personal (II)*72 Lloyd Motz El universo (Su principio y su fin)73 Joseph Deken La casa electrónica

74 M. Mead, T. Dobzhansky y otros La Ciencia y el concepto de raza75 Peter Rod well Libro básico del ordenador personal (III)*76 Isaac Asimov De los números y su historia77 Alfred Tomatis El oído y el lenguaje78 Henri y Genevieve Termier Los animales prehistóricos79 Fred Hoyle Iniciación a la astronomía (I)*80 Roland Prat La óptica81 Marie-Claude Noailles La evolución botánica82 André Warusfel Las matemáticas modernas83 Fred Hoyle Iniciación a la astronomía (II)*84 Carl Wood /Ann Westmore Fecundación «in vitro»85 Pierre-Julien Le Thomas La metalurgia86 Jules Carles La fecundación87 Brian Stableford El hombre futuro (I)*88 Andrée Goudot-Perrot Cibernética y biología89 Georges Aubert/Jean Boulaine La edafología. El mundo en el que

vivimos

PRÓXIMOS TÍTULOS

Brian Stableford El hombre futuroAlbert Einstein Contribuciones a la cienciaCarl Sagan/I. S. Shklovskii Vida inteligente en el Universo

Este libro se terminó de imprimir en los talleres de Printer, industria

gráfica, sa de Sant Vicenc deis Horts, el día 15 del mes de

Diciembre de 1986

Émile borel - las probabilidades y la vida

Documents