Introduccin

Nos referimos al anlisis dimensional como aquellos procedimientos que basados en el anlisis de las variables y parmetros que gobiernan un fenmeno, y ms especficamente en las magnitudes fsicas que dichas variables involucran, permiten encontrar relaciones entre las variables que forman parmetros adimensionales. El problema fsico queda entonces descripto, con el mismo grado de fidelidad, por este nuevo conjunto reducido de parmetros adimensionales. Enfatizamos la palabra reducido, dado que esta es una de las ventajas del anlisis dimensional. Al ser menor el nmero de variables o parmetros, es posible organizar y expresar ms eficientemente los resultados de la experimentacin.

La otra gran ventaja es que permite identificar con ms facilidad, aquellos sistemas que son similares. Aunque el concepto de similaridad requiere un anlisis ms profundo, diremos que bsicamente la similitud es lo que permite que los resultados y mediciones obtenidos sobre un modelo a escala sea extrapolables a prototipos de tamao real.

Existen dos conceptos fundamentales en los cuales se basa el anlisis dimensional.

El primer concepto es en realidad un postulado o axioma y establece que cualquier ecuacin que represente en forma correcta un fenmeno fsico, tiene que ser invariante ante un cambio en el sistema de medicin (unidades). Algunos autores han mostrado que para que este axioma se cumpla, la ecuacin que representa el fenmeno debe ser un monomio como el siguiente

De acuerdo a esto, cualquier ecuacin que represente un fenmeno fsico involucrando las variables/parmetros (v1, v2, v3, . . . , vN) se debera poder expresar en la forma de (1).El segundo concepto, es en realidad una consecuencia del postulado de invariancia dimensional. Es decir, para que una ecuacin que representa un fenmeno fsico sea invariante ante un cambio en el sistema de medida (o unidades), la misma debe cumplir con el principio de homogeneidad dimensional :

Si una ecuacin verdaderamente expresa una relacin apropiada entre variables en un fenmeno fsico, entonces cada uno de sus trminos aditivos, deben necesariamente tener las mismas dimensiones o unidades. Entonces, se dice que la ecuacin es dimensionalmente homognea.Un ejemplo de este principio lo podemos ver en el balance macroscpico de cantidad de movimiento

La expresin anterior no es otra cosa que el principio del momento lineal aplicado a un volumen de control arbitrario. As vemos que cada trmino de la ecuacin tiene dimensiones o unidades de fuerza ([F] = [ML/T2]) y adems tiene un significado fsico claro (fuerzas de volumen, fuerzas de contacto,etc.) Supongamos que trabajamos en el sistema MKS y por lo tanto todos los trminos de la ecuacin tendrn unidades de Newton (1[N] = 1[Kgm/s2]).Ahora si cambiamos al sistema CGS, donde la unidad de fuerza en la dyna (1[dyn] = 1[gr cm/s2] = 105[N]), el factor 105 aparecer en todos los trminos y por lo tanto se puede eliminar de la ecuacin. De esta forma la ecuacin queda invariante ante un cambio de sistema de unidades. Con el mismo concepto, si en una relacin con trminos aditivos y dimensionalmente homognea realizamos una operacin que deje sin dimensiones uno de sus trminos, entonces necesariamente la misma operacin eliminar las dimensiones de cualquiera de los trminos restantes de la ecuacin.Entendemos como magnitudes fsicas fundamentales a la masa (M), la longitud (L), el tiempo (T), la temperatura (C), la carga elctrica (Coulomb), etc. En los problemas que habitualmente abordamos en este curso, basta con considerar solamente las primeras tres. Por ejemplo, las unidades dimensionales de la variable (o parmetro) densidad () se expresan a partir de las magnitudes fundamentales masa y longitud, esto es [] = [ML3T0]. Una herramienta muy valiosa en el anlisis dimensional es el conocido teorema de Buckingham. Mediante este teorema, es posible reducir el nmero de parmetros o variables de los cuales depende un fenmeno fsico, mediante la generacin de grupos adimensionales que involucran dichas variables.Resulta particularmente valioso cuando no se conoce la ecuacin que gobierna un fenmeno y se busca encontrar dicha relacin mediante la experimentacin de laboratorio. TEOREMA PI DE BUCKINGHAM

Consideremos un fenmeno fsico, el cual depende de m variables y/o parmetros (v1, v2, v3, . . . , vm), las cuales a su vez involucran n magnitudes fsicas fundamentales (o bsicas). Supongamos que existe una relacin funcional entre las m variables, del tipo

F (v1,v2, v3, , vm) = 0

Luego, el teorema nos asegura que es posible representar el mismo fenmeno fsico mediante otra relacin funcional equivalente, que depende de K = m-n parmetros adimensionales i, es decir, de un nmero reducido de parmetros

( 1, 2, 3, , k) = 0

PROCEDIMIENTO

1) Enumerar las variables que describen el problema, normalmente son dadas ya que se requiere de experiencia y de conocimiento del problema

2) Seleccionar las dimensiones de referencia (n) que corresponden a las variables

3) Descomponer las variables en sus dimensiones, de manera tabulada. Para ello se ordenan de ms sencillas a ms complejas y se desglosan en los exponentes de sus dimensiones, tal como se ilustra en la Tabla 1.

Tabla 1. Descomposicin de las variables segn sus dimensiones

VariableUnidadesLtM

Dimetrom100

(D)

Velocidadm.s-11-10

(v)

4) Elegir las variables de referencia segn:

a) Debe ser igual a n variables de referencia

b) Entre todas deben contener todas las dimensiones

c) Deben ser sencillos e independientes entre s

5) Establecer las ecuaciones dimensionales y obtener los nmeros pi (), para ello se plantea el producto de las variables de referencia con cada variable restante. Luego se desglosan en cada dimensin.

6) Finalmente se verifican los nmeros pi () obtenidos

Ejemplo: Para flujo de tuberas

1) Variables: P, D, L, V, , , . Por tanto, m=7 2) Dimensiones de referencia: [L], [M], [t], por lo tanto, n=3

Se obtendrn = 7-3 = 4 nmeros adimensionales

3)

Variable Unidades L(m) t(s) M(Kg)

D m 1 0 0

L m 1 0 0

m 1 0 0

v m s-1 1 -1 0

Kg m-3 -3 0 1

Kg m-1 s-1 -1 -1 1

P Kg m-1 s-2 -1 -2 1

4) Referencias = D, v, (n=3, sencillas e independientes entre si) Para verificar que sean independientes se verifica el determinante de los exponentes de las dimensiones, eso asegura que una variable no resulta de la combinacin de las otras.

5) 1= Da1. vb1. c1. L 2= Da2. vb2. c2. 3= Da3. vb3. c3. 4= Da4. vb4. c4. P

- Para 1

[L] = a1 + b1 c1 + 1 = 0 b1= 0 [t] = 0 b1 + 0 + 0 = 0 c1= 0 [M]= 0 + 0 + c1 + 0 = 0 a1= 1

1 = D-1. v0. 0. L Por tanto: 1 = L/D

- Para 2 [L] = a2 + b2 3c2 + 1 = 0 b2= 0 [t] = 0 b2 + 0 + 0 = 0 c2= 0 [M]= 0 + 0 + c2 + 0 = 0 a2= 1

2 = D-1. v0. 0. Por tanto: 2 = /D

- Para 3 [L] = a3 + b3 3c3 1 = 0 b3= 1 [t] = 0 b3 + 0 1 = 0 c3= 1 [M]= 0 + 0 + c3 + 1 = 0 a3= 1

3 = D-1. v-1. -1. Por tanto: 3 = /(Dv)

- Para 4 [L] = a4 + b4 3c4 1 = 0 [t] = 0 b4 + 0 2 = 0 [M]= 0 + 0 + c4 + 1 = 0 b4= 2 c4= 1a4= 0

4 = D0. v-2. -1. P Por tanto: 4 = P/(v2 )

6) Nmeros adimensionales verificados

2 = Rugosidad Relativa 1 / 3 = Nmero de Reynolds (Re) 4 = Nmero de Euler (Eu)