teorema central del lÍmite

TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE

CONDICIÓN DE LÉVY-LINDEBERG

Para una sucesión de variables aleatorias, independientes e idénticamente distribuidas a un modelo común con esperanza y varianza finita, se verifica que la sucesión de promedios de n de sus elementos converge en distribución a una normal con media la del modelo y varianza la del modelo dividida por n.

{ } ( ) ( ) 21/ , ,n in

X X iid X E X V Xm s¥

== < ¥ = < ¥ Þ

21 ,

n

iDi

n

X

X Nn n

sm=

®¥

æ ö÷ç ÷= ¾¾¾¾® ç ÷ç ÷çè ø

å

Comprobaremos este resultado considerando dos modelos diferentes:

( ) ( ) ( )2

1 1,1 , ,D

nX Exp X n n N

nl l l

l l®¥

æ ö÷ç· Î º G Þ Î G ¾¾¾¾® ÷ç ÷÷çè ø

( )2 1 2, , ,

2 2 2 2D

n

k n nk kX k X N k

nc

®¥

æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç· Î º G Þ Î G ¾¾¾¾®÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø

( ) ( ) ( )2

: , , , , ,p p a

NOTA Si X a p entonces E X V X bX pa ba

æ æ öö÷÷ç çÎ G = = Î G ÷÷ç ç ÷÷÷÷ç çè è øø

TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE. Código fuente en R para comparar, bajo la suposición de diferentes modelos para X, la densidad exacta de la media muestral de X con su aproximación por el Teorema Central del Límite.

• CASO EXPONENCIAL(2)• n=20• y<-seq(-1,3,length=100) #X=Gamma(a,p), entonces cX=Gamma(a/c,p)• plot(y,dexp(y,rate=0.5),ylim=c(0,4.5),lwd=2,col=3,main="X Exponencial (2)",sub="n=20",type="l")• lines(y,dgamma(y,n,2*n),col=2,lwd=2,type="l") #aquí al revés los parámetros de la gamma• lines(y,dnorm(y,0.5,(1/(2*sqrt(n)))))• legend("top",legend=c("Densidad de X","Densidad exacta de la media muestral de X","Densidad

de la media muestal de X aproximada por TCL"), lwd=c(2,2,1),col=c(3,2,1))

• CASO CHICUADRADO (K)• n=20• k=2• y<-seq(-1,4,length=100) #X=Gamma(a,p), entonces cX=Gamma(a/c,p)• plot(y,dchisq(y,k),ylim=c(0,1.1),lwd=2,col=3,main="X Chicuadrado (2)",sub="n=20",type="l")• lines(y,dgamma(y,((n*k)/2),n/2),ylim=c(0,2),main="Población Chicuadrado

(2)",sub="N=10",col=2,lwd=2,type="l") #aquí al revés los parámetros de la gamma• lines(y,dnorm(y,k,(sqrt(2*k)/sqrt(n))))• legend("top",legend=c("Densidad de X","Densidad exacta de la media muestral de X","Densidad

de la media muestal de X aproximada por TCL"), lwd=c(2,2,1),col=c(3,2,1))

-1 0 1 2 3

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

X Exponencial (1)

n=5y

de

xp(y

, 1)

Densidad de XDensidad exacta de la media muestral de XDensidad de la media muestal de X aproximada por TCL

-1 0 1 2 3

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

X Exponencial (1)

n=10y

de

xp(y

, 1)


-1 0 1 2 3

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

X Exponencial (1)

n=15y

de

xp(y

, 1)


-1 0 1 2 3

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

X Exponencial (1)

n=20y

de

xp(y

, 1)


-1 0 1 2 3

01

23

4

X Exponencial (2)

n=5y

de

xp(y

, ra

te =

0.5

)


-1 0 1 2 3

01

23

4

X Exponencial (2)

n=10y

de

xp(y

, ra

te =

0.5

)


-1 0 1 2 3

01

23

4

X Exponencial (2)

n=15y

de

xp(y

, ra

te =

0.5

)


-1 0 1 2 3

01

23

4

X Exponencial (2)

n=20y

de

xp(y

, ra

te =

0.5

)


-1 0 1 2 3 4

01

23

45

X Chicuadrado (1)

n=5y

dch

isq

(y, k

)


-1 0 1 2 3 4

01

23

45

X Chicuadrado (1)

n=10y

dch

isq

(y, k

)


-1 0 1 2 3 4

01

23

45

X Chicuadrado (1)

n=15y

dch

isq

(y, k

)


-1 0 1 2 3 4

01

23

45

X Chicuadrado (1)

n=20y

dch

isq

(y, k

)


-1 0 1 2 3 4

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

X Chicuadrado (2)

n=5y

dch

isq

(y, k

)


-1 0 1 2 3 4

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

X Chicuadrado (2)

n=10y

dch

isq

(y, k

)


-1 0 1 2 3 4

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

X Chicuadrado (2)

n=15y

dch

isq

(y, k

)


-1 0 1 2 3 4

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

X Chicuadrado (2)

n=20y

dch

isq

(y, k

)


teorema central del lÍmite

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