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TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE
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CONDICIÓN DE LÉVY-LINDEBERG
Para una sucesión de variables aleatorias, independientes e idénticamente distribuidas a un modelo común con esperanza y varianza finita, se verifica que la sucesión de promedios de n de sus elementos converge en distribución a una normal con media la del modelo y varianza la del modelo dividida por n.
{ } ( ) ( ) 21/ , ,n in
X X iid X E X V Xm s¥
== < ¥ = < ¥ Þ
21 ,
n
iDi
n
X
X Nn n
sm=
®¥
æ ö÷ç ÷= ¾¾¾¾® ç ÷ç ÷çè ø
å
Comprobaremos este resultado considerando dos modelos diferentes:
( ) ( ) ( )2
1 1,1 , ,D
nX Exp X n n N
nl l l
l l®¥
æ ö÷ç· Î º G Þ Î G ¾¾¾¾® ÷ç ÷÷çè ø
( )2 1 2, , ,
2 2 2 2D
n
k n nk kX k X N k
nc
®¥
æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç· Î º G Þ Î G ¾¾¾¾®÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø
( ) ( ) ( )2
: , , , , ,p p a
NOTA Si X a p entonces E X V X bX pa ba
æ æ öö÷÷ç çÎ G = = Î G ÷÷ç ç ÷÷÷÷ç çè è øø
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TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE. Código fuente en R para comparar, bajo la suposición de diferentes modelos para X, la densidad exacta de la media muestral de X con su aproximación por el Teorema Central del Límite.
• CASO EXPONENCIAL(2)• n=20• y<-seq(-1,3,length=100) #X=Gamma(a,p), entonces cX=Gamma(a/c,p)• plot(y,dexp(y,rate=0.5),ylim=c(0,4.5),lwd=2,col=3,main="X Exponencial (2)",sub="n=20",type="l")• lines(y,dgamma(y,n,2*n),col=2,lwd=2,type="l") #aquí al revés los parámetros de la gamma• lines(y,dnorm(y,0.5,(1/(2*sqrt(n)))))• legend("top",legend=c("Densidad de X","Densidad exacta de la media muestral de X","Densidad
de la media muestal de X aproximada por TCL"), lwd=c(2,2,1),col=c(3,2,1))
• CASO CHICUADRADO (K)• n=20• k=2• y<-seq(-1,4,length=100) #X=Gamma(a,p), entonces cX=Gamma(a/c,p)• plot(y,dchisq(y,k),ylim=c(0,1.1),lwd=2,col=3,main="X Chicuadrado (2)",sub="n=20",type="l")• lines(y,dgamma(y,((n*k)/2),n/2),ylim=c(0,2),main="Población Chicuadrado
(2)",sub="N=10",col=2,lwd=2,type="l") #aquí al revés los parámetros de la gamma• lines(y,dnorm(y,k,(sqrt(2*k)/sqrt(n))))• legend("top",legend=c("Densidad de X","Densidad exacta de la media muestral de X","Densidad
de la media muestal de X aproximada por TCL"), lwd=c(2,2,1),col=c(3,2,1))
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-1 0 1 2 3
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
X Exponencial (1)
n=5y
de
xp(y
, 1)
Densidad de XDensidad exacta de la media muestral de XDensidad de la media muestal de X aproximada por TCL
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-1 0 1 2 3
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
X Exponencial (1)
n=10y
de
xp(y
, 1)
Densidad de XDensidad exacta de la media muestral de XDensidad de la media muestal de X aproximada por TCL
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-1 0 1 2 3
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
X Exponencial (1)
n=15y
de
xp(y
, 1)
Densidad de XDensidad exacta de la media muestral de XDensidad de la media muestal de X aproximada por TCL
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-1 0 1 2 3
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
X Exponencial (1)
n=20y
de
xp(y
, 1)
Densidad de XDensidad exacta de la media muestral de XDensidad de la media muestal de X aproximada por TCL
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-1 0 1 2 3
01
23
4
X Exponencial (2)
n=5y
de
xp(y
, ra
te =
0.5
)
Densidad de XDensidad exacta de la media muestral de XDensidad de la media muestal de X aproximada por TCL
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-1 0 1 2 3
01
23
4
X Exponencial (2)
n=10y
de
xp(y
, ra
te =
0.5
)
Densidad de XDensidad exacta de la media muestral de XDensidad de la media muestal de X aproximada por TCL
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-1 0 1 2 3
01
23
4
X Exponencial (2)
n=15y
de
xp(y
, ra
te =
0.5
)
Densidad de XDensidad exacta de la media muestral de XDensidad de la media muestal de X aproximada por TCL
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-1 0 1 2 3
01
23
4
X Exponencial (2)
n=20y
de
xp(y
, ra
te =
0.5
)
Densidad de XDensidad exacta de la media muestral de XDensidad de la media muestal de X aproximada por TCL
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-1 0 1 2 3 4
01
23
45
X Chicuadrado (1)
n=5y
dch
isq
(y, k
)
Densidad de XDensidad exacta de la media muestral de XDensidad de la media muestal de X aproximada por TCL
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-1 0 1 2 3 4
01
23
45
X Chicuadrado (1)
n=10y
dch
isq
(y, k
)
Densidad de XDensidad exacta de la media muestral de XDensidad de la media muestal de X aproximada por TCL
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-1 0 1 2 3 4
01
23
45
X Chicuadrado (1)
n=15y
dch
isq
(y, k
)
Densidad de XDensidad exacta de la media muestral de XDensidad de la media muestal de X aproximada por TCL
![Page 15: TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022082414/568152f3550346895dc10e70/html5/thumbnails/15.jpg)
-1 0 1 2 3 4
01
23
45
X Chicuadrado (1)
n=20y
dch
isq
(y, k
)
Densidad de XDensidad exacta de la media muestral de XDensidad de la media muestal de X aproximada por TCL
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-1 0 1 2 3 4
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
X Chicuadrado (2)
n=5y
dch
isq
(y, k
)
Densidad de XDensidad exacta de la media muestral de XDensidad de la media muestal de X aproximada por TCL
![Page 17: TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022082414/568152f3550346895dc10e70/html5/thumbnails/17.jpg)
-1 0 1 2 3 4
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
X Chicuadrado (2)
n=10y
dch
isq
(y, k
)
Densidad de XDensidad exacta de la media muestral de XDensidad de la media muestal de X aproximada por TCL
![Page 18: TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022082414/568152f3550346895dc10e70/html5/thumbnails/18.jpg)
-1 0 1 2 3 4
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
X Chicuadrado (2)
n=15y
dch
isq
(y, k
)
Densidad de XDensidad exacta de la media muestral de XDensidad de la media muestal de X aproximada por TCL
![Page 19: TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022082414/568152f3550346895dc10e70/html5/thumbnails/19.jpg)
-1 0 1 2 3 4
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
X Chicuadrado (2)
n=20y
dch
isq
(y, k
)
Densidad de XDensidad exacta de la media muestral de XDensidad de la media muestal de X aproximada por TCL