Teorıa de Dimensiones en Sistemas Dinamicos

Edgardo Ugalde

Instituto de Fısica, UASLP

45 Congreso Nacional de la SMMQueretaro, Octubre 2012

Plan del curso

1 MotivacionEjemplos¿Como se generan?¿Como se caracterizan?

2 La teorıaFormalizmo de CaratheodoryLa construccion de Moran

3 Revision de TrabajosPuntos no-tıpicosConjetura de Ruelle-Eckmann

Capıtulo 1

Motivacion

El atractor de Henon

F : R2 → R2, F

(xy

)=

(y + 1− 1.4 x2

0.3 x

).

Un conjunto aritmetico

x ∈ [0, 1] se escribe en fracciones continuas (continuadas)

x =1

a1 + 1a2+ 1

a3+ 1

...

y se denota x = [0; a1a2a3 . . .].

D2 := {x ∈ [0, 1] : x = [0; a1a2a3 . . .] con ai ∈ {1, 3} para toda i ∈ N}.

La transformacion de Henon

Michel Henon (1976).

Ha,b : R2 → R2 tal que Ha,b(x , y) = (1 + y − a x2, b x).

Es un modelo para una seccion de Poincare de

dx/dt = σ(y − x)

dy/dt = x(ρ− z)− y

dz/dt = xy − βz

Un conjunto aritmetico

F : [0, 1]→ [0, 1] tal que

F (x) =

{1/x (mod 1) si x > 00 para x = 0.

g1 : [0, 1]→ [1/2, 1] tal que g1(x) = 1/(x + 1),g2 : [0, 1]→ [1/4, 1/3] tal que g3(x) = 1/(x + 3).

D2 :=⋂

n>1

⋃ω1ω2···ωn∈{1,2}n gω1 ◦ gω2 ◦ · · · ◦ gωn([0, 1]).

¿Como se caracterizan?Las dimensiones asociadas a entropıas de Renyi.

Receta empırica

1 Se parte el espacio X ⊃ A en cajas de tamano ε,

X =

(diam(X )/ε)d⋃i=1

Ci .

2 Suponemos que hay una probabilidad asociada a la dinamica(probabilidad invariante), entonces definimos

Iq(ε) :=1

1− qlog

(diam(X )/ε)d∑i=1

P(Ci )q

.

3 La dimension asociada es:

dq := limε→∞

Iq(ε)

log(1/ε).

¿Como se caracterizan?

Las dimension caja de A ⊂ X .

Corresponde a q = 0 (la convencion es 00 = 0) para Renyi.

Tenemos

I0(ε) = log(

#{

1 6 i 6 diam(X )/ε)d : P(Ci ) > 0})

,

∼ log (# {1 6 i 6 Ci ∩ A 6= ∅}) , := log(N(ε)).

y entonces

dcaja = d0 := limε→∞

N(ε)

log(1/ε).

¿Como se caracterizan?

Para el atractor de Henon hay estimaciones numericas

dcaja = 1.29± 0.02

Para el conjunto D2 tenemos una formula (verermos mas tarde)que permite estimar. En este caso dcaja se parece a la solucion de

1 =

(1

2

)s

+

(1

12

)s

.

Con el metodo de Newton obtenemos

s ≈ 0.49651733

Capıtulo 2

La teorıa

Formalizmo de CaratheodoryEstructura de CaratheodoryEn un espacio metrico (X , ρ),

• Nos damos una coleccion de subconjuntos F tal que paratodo Z ⊂ X y para todo ε > 0 existe una subcubiertanumerable C ⊂ F de Z , tal que η(U) 6 ε para todo U ∈ C .

• Nos damos dos funciones ξ, η : F → [0,∞) tales queη(U) = 0 si y solamente si U = ∅, y tal que para todo ε > 0existe δ > 0 de modo que si diam(U) < δ entonces η(U) < ε.

La medida asociadaDado Z ⊂ X y α ∈ R definimos

M(α, ε,Z ) = inf{Ui} cubre Z

diam(Ui )6ε

∑i∈N

ξ(Ui ) η(Ui )α

m(α,Z ) = limε→0

M(α, ε,Z ).

Formalizmo de Caratheodory

La dimension∀Z ⊂ X ∃αc ∈ [−∞,∞] :

m(α,Z ) = 0 ∀α > αc

m(α,Z ) = ∞ ∀α < αc .

-

6m(α,Z )

αc α

La dimension de Hausdorff corresponde a ξ(U) = 1 y aη(U) = diam(U) y F = {B(ε, x) : x ∈ X , ε > 0}.

Formalizmo de Caratheodory

Relacion con el enfoque empıricoTenemos que

dq := limε→0

1

1− qlog

N(ε)∑i=1

P(Ci )q

,

Luego

N(ε)∑i=1

P(Ci )q ≈ ε−(1−q) dq

N(ε)∑i=1

P(Ci )qεα ≈ εα−(1−q) dq .

Aquı ξ(C ) = P(C ), η(C ) = diam(C ) y αc(q) = dq(1− q).

La construccion de Moran

Construcciones GeometricasNos damos p ∈ Z (el tamano del alfabeto),y un compacto ∆ω1···ωn para cada ω1 · · ·ωn ∈

⋃n∈N{1, 2, . . . , p}n.

La familia de compactos debe cumplir

• ∆ω1···ωn = int(∆ω1···ωn).

• ∆ω1···ωnωn+1 ⊂ ∆ω1···ωn .

• diam(∆ω1ω2···ωn)→ 0 cuando n→∞.

• int(∆ω1···ωn) ∩ int(∆ω′1···ω′

n) = ∅ siempre que

ω1 · · ·ωn 6= ω′1 · · ·ω′n.

Entonces definimos F =⋂

n∈N⋃ω1···ωn

∆ω1···ωn .

EjemploEl triangulo de SierpinskiAquı p = 3 y los compacto ∆ω1···ωn son triangulos de lado 2−n.

Tambien es es el atractor de la transformacion F : C→ C dada por

F (z) =

2z if z ∈ ∆1

2z − 1/2− i if z ∈ ∆2

2z − 1 if z ∈ ∆3

0 en otro caso.

El resultado de Moran

Dimension de HausdorffP.A.P. Moran (1945). En el caso en que existen factores decontraccion λ1, λ2 . . . , λp ∈ [0, 1) tales que

diam(∆ω1···ωn) =n∏

i=1

λωi ,

entonces dHausdorff(F ) = s donde s es la unica solucion de laecuacion

p∑i=1

λSi = 1.

El resultado de Moran

El argumentoSupongamos que medir con bolas abiertas es lo mismo que medircon conjuntos basicos ∆ω1···ωn .Bolas abiertas de radio 6 ε corresponden a conjuntos basicos∆ω1···ωn con n > n(ε) con n(ε)→∞ cuando ε→ 0.

infn>n(ε)

∑diam(∆ω1···ωn)α 6

∑ω∈{1,...,p}n(ε)

diam(∆ω)α

=∑

ω∈{1,...,p}n(ε)

n(ε)∏i=1

λαωi=

(p∑

k=1

λαk

)n(ε)

Capıtulo 3

Revision de trabajos

Puntos no-tıpicos

El teorema de BirkhoffD. G. Birkhoff (1931).Sea (X , f ) un sistema dinamico y µ una medida f -invariante,entonces

φ∗(x) := limn→∞

1

n

n−1∑t=0

φ(f t(x))

existe para toda funcion µ-integrable φ y para µ-casi todo x. Lafuncion φ∗ es µ-integrable tambien.

Puntos no-tıpicosDado (X , f ) definimos

Bf := {x ∈ X : φ∗(x) no existe para alguna φ}

Puntos no-tıpicos

Dimension de Hausdorff de no-tıpicosL. Barreira y J. Schmeling (2000)Sea F : Rn → Rn una transformacion expansiva, dos vecesdiferenciable y topologicamente mezclante, y sea C ⊂ Rn unrepulsor. Si DxF = a(x) Id para todo x ∈ C , entonces

dHausdorff(C ) = dHausdorff(BF ).

Conjetura de Ruelle-Eckmann

Dimension de una medidaSea (X ,F ) un sistema dinamico diferenciable y µ una medidaf -invariante.

dHausdorff(µ) := inf{dHausdorff(Y ) : Y ⊂ X , µ(Y ) = 1}.

Dimension local de la medida

dµ(x) := lim infε→0

log(µ(B(ε, x)))

log(ε)

dµ(x) := lim supε→0

log(µ(B(ε, x)))

log(ε).

Conjetura de Ruelle-Eckmann

ProposicionSi dµ(x) = dµ(x) := d, entonces dHausdorff(µ) = d.

Una medida f -invariante se dice hiperbolica si ninguno de susexponentes de Lyapunov es cero.

Conjetura de Ruelle-EckmannSi µ es hiperbolica, entonces dµ(x) = dµ(x).

La conjetura se probo para f un difeo C 1+α y X una variedadriemanniana sin bordes (Barreira-Pesin-Schmeling 1996).

Fin

Gracias