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Sistemas dinamicos discretos

Jefferson KingHector Mendez

Universidad Nacional Autonoma de Mexico

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Prefacio

Vivimos inmersos en una multitud de movimientos. Desde que abrimoslos ojos en la manana hasta el anochecer, nuestro dıa esta ocupado por even-tos que cambian constantemente. ¿Como nuestro cerebro los procesa y nospermite llegar sanos y salvos a la noche?, ¿Como le hacemos para entendertoda esta marana?, son preguntas cuya respuesta es un misterio. Desde quenacemos nos hemos ido entrenando en el estudio de los movimientos. Unbebe ve venir la cuchara con la gratificante comida y su cerebro tiene quetomar decisiones muy importantes: hay que abrir y cerrar la boca de talmanera que todo coincida, la comida queda en el lugar correcto y se pue-de iniciar el siguiente movimiento. No solo vemos cosas que se mueven, lasestudiamos, comprendemos de alguna manera su mecanica, hacemos pre-dicciones y decidimos que hacer.

Sabemos mucho sobre muchos movimientos. Gateamos, caminamos, co-rremos y andamos en bicicleta con una soltura que, si lo pensamos un poco,es sorprendente. Cruzamos calles sin ayuda de semaforos, y lo hacemos bienporque de alguna manera, digamos intuitiva, ponemos en una balanza elancho de la calle, las velocidades y aceleraciones posibles de los autos quequeremos sortear, y el conocimiento de la velocidad a la que nosotros mismospodemos correr. Todo esto no es cosa facil y, sin embargo, nuestro cerebrodecide casi instantaneamente si el cruce es seguro o no.

A pesar de toda esa montana de saberes todavıa hay muchısimos fenome-nos que escapan a nuestra comprension completa. Una cosa es saber andaren bicicleta, otra es entender los aspectos fısicos y matematicos que tieneun modelo de este movimiento.

Pongamos otro ejemplo. Sabemos que la poblacion de Mexico crece detal manera que ya pasamos los 110 millones de personas, pero ¿esta este

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movimiento desacelerandose?, ¿tiende la poblacion de nuestro paıs a esta-bilizarse?

Estas no son preguntas sencillas. Un acercamiento a su solucion ha re-querido de la participacion de fısicos, biologos, actuarios, matematicos ycientıficos de otras areas.

En el estudio del movimiento cada disciplina ha aportado ideas, herra-mientas y tacticas distintas. La variedad de puntos de vista es en verdadmuy amplia. Aun restringiendonos solo a los matematicos el abanico de op-ciones sigue siendo considerable. La parte de las matematicas que estudia losdistintos movimientos que nos rodean se llama Sistemas Dinamicos. Nues-tro libro es una introduccion a una parte pequena, pero muy importante,de esta area: los Sistemas Dinamicos Discretos.

Concretamente, nos centramos en lo siguiente: sea f : X → X unafuncion continua en un espacio metricoX. Para k ∈ N, la k−esima iteracionde f se define como la composicion reiterada de f consigo misma k veces yla denotamos por fk. Por ejemplo, f2 = f ◦ f , f3 = f ◦ f ◦ f y en generalfk = f ◦ fk−1. Se entiende que f1 = f y definimos f0 = id.

Para x ∈ X definimos la orbita de x bajo f como la sucesion

x, f (x) , f2 (x) , f3 (x) , . . . , fk (x) , . . . (1)

El problema basico es el siguiente:

¿Dada una funcion continua f : X → X, que podemos decir acerca dela orbita de cada punto x en X?

Por ejemplo, ¿es una sucesion convergente? Si lo es, ¿a donde converge?Si no lo es ¿cuales son sus puntos de acumulacion?

Pero sobretodo, la cuestion fundamental relacionada con el problemaplanteado la podemos formular como sigue: si x y y son puntos cercanos¿sus orbitas permanecen cercanas para todo k ∈ N?

En terminos generales, si las orbitas permanecen cercanas para todos lospuntos al menos en una cierta localidad, estamos ante un comportamientodinamico estable. Pero si siempre es posible hallar puntos sumamente cerca-nos cuyas orbitas se alejan entre sı, el comportamiento dinamico se vuelvepracticamente impredecible o inestable.

El estudio de las orbitas producidas por una funcion o, equivalentemente,de las iteraciones de una funcion f en un cierto espacio X es el estudio de

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un sistema dinamico discreto. Es decir, un tal sistema esta formado por unafuncion continua, sus iteraciones y un espacio en el que estas estan definidas.

En particular, enfrentarse a sistemas impredecibles o inestables ha lleva-do a diversas caracterizaciones matematicas de lo que es un sistema dinami-co caotico, o de lo que es un sistema dinamico discreto con dinamica com-plicada.

Ası, el objetivo de este texto es, en terminos generales, establecer no-ciones matematicas precisas de sistemas dinamicos discretos caoticos, y losresultados importantes basicos que nos permiten estudiarlos.

Nuestro espacio preferente (mas no el unico) sera el el intervalo cerradoI = [0, 1] y los sistemas dinamicos correspondientes seran funciones conti-nuas f : I → I.

En particular, nos ajustaremos a la definicion de caos dada por R. L.Devaney en la decada de los 80’s del siglo pasado. De muchos modos estadefinicion ha sido un eje alrededor del cual ha girado la discusion de lo quees o deberıa ser el concepto de caos en matematicas y es, sin duda alguna,la definicion mas popular de sistema dinamico discreto caotico.

Un hilo conductor de este texto es, entonces, establecer esta definiciony explorar sus consecuencias en general y a traves de ejemplo concretos.

Sobre los capıtulos

Los sistemas dinamicos discretos (sdd) han sido objeto de interes cientıfi-co desde hace mucho tiempo. Pero especialmente con el desarrollo de lascomputadoras, que permitio por primera vez en la historia visualizar image-nes matematicas muy complicadas. El estudio de iteraciones de funciones hallamado poderosamente la atencion de multitud de investigadores alrededorde todo el mundo. El resultado ha sido que esta area ha tenido un crecimien-to y una diversificacion impresionantes, practicamente inabarcable, que enla actualidad llega a los confines del conocimiento cientıfico en matematicasy otras ramas de la ciencia.

Este libro es una introduccion a ese mundo tan vasto.

Modelar un fenomeno fısico, social, biologico o de cualquier naturaleza,que evoluciona con el tiempo, conduce en forma natural a un sdd. El capıtulo1 muestra como ocurre esto a traves de un breve vistazo al estudio dedinamica de poblaciones. En el capıtulo 2 damos las definiciones generalesbasicas para iniciar propiamente nuestras aventuras en el mundo del caos.

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La aventura se desboca un tanto, por primera vez, con un impresionanteteorema del matematico ruso O. M. Sharkovskii, tratado en los capıtulos 3y 4. Ademas de su importancia, se puede afirmar que este es un resultadosumamente contemporaneo: su autor lo establecio en los fabulosos 60’s delsiglo pasado. Esperamos que el lector se sorprenda gratamente con esteteorema.

Las herramientas del calculo diferencial e integral aparecen de manerafrecuente en las demostraciones que presentamos a lo largo del texto. Conla intencion de ofrecer una pequena ayuda a los lectores mas jovenes hemosdedicado el capıtulo 5 a la presentacion de las mas importantes. En esemismo capıtulo hacemos una introduccion a los conceptos basicos de latopologıa en la recta real.

Es un hecho notable la aparicion frecuente y abrumadora, en los sdd, delconjunto de Cantor. Una vez mas este conjunto confirma que de ningunamanera es la excepcion en el mundo de las matematicas, sino que mas bienes (casi) la regla. El capıtulo 6 esta dedicado a este conjunto.

En el capıtulo 7 presentamos uno de los ejemplos medulares de este texto:la funcion Tienda. Esta funcion, tan simple, resulta tener una dinamicabastante complicada pero a la vez, tiene una gran ventaja: en ella se puedencalcular y verificar, de manera practica, muchos de los conceptos dinamicos.Ası, esta funcion resulta ser un modelo ejemplar y a la vez una especie delaboratorio en el que concretamos nuestros resultados.

A lo largo de todo el texto seguira apareciendo una y otra vez la funcionTienda y sus camaradas: la familia de las Tiendas.

En los capıtulos del 8 al 12 se van agregando ingredientes indispensablespara la discusion de la complejidad dinamica, como lo son los de transitivi-dad topologica, sensibilidad a las condiciones iniciales, densidad de orbitasy el omega conjunto lımite. Se adereza la discusion con la inclusion –muynecesaria– de importantes resultados de analisis matematico como el Teo-rema de Baire, que estan en la base de los conceptos dinamicos. Cada unode estos capıtulos es importante en sı mismo y a la vez, como parte del re-corrido que vamos haciendo a lo largo del texto. Finalmente, en el capıtulo9, presentamos la definicion de sistema dinamico caotico.

En el capıtulo 10 se introduce una herramienta muy valiosa: la dinamicasimbolica. Esta se desarrolla de un modo natural en relacion con un promi-nente miembro de la familia de las tiendas.

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El capıtulo 13 lo dedicamos a examinar un sdd muy especial que seconoce con el nombre (entre otros) de maquina de sumar o sumadora. Suimportancia radica en que este se situa justamente en la frontera entre lossdd con una dinamica estable o sencilla, y los que tienen una dinamicainestable, imprevisible o complicada. Para analizar este ejemplo se recurrede nuevo a dinamica simbolica, solo que en una presentacion diferente a lahecha en el capıtulo 10.

El otro ejemplo medular, tanto en el texto como en los sdd en general,es la familia logıstica. Esta familia aparece desde el capıtulo 1, pero seestudia sistematicamente en los capıtulos 13, 14 y 16. Su estudio conduceineluctablemente a la teorıa de las bifurcaciones, tema basico en dinamica.Nos centramos principalmente en dos tipos de bifurcaciones que tienen lugaren la familia logıstica y en numereosas otras familias: la de duplicacion deperiodo y la tangente o silla-nodo.

En el capıtulo 16 se presenta una de las figuras emblematicas del area:el diagrama de bifurcaciones de la familia logıstica. El capıtulo entero es unprimer entron al analisis de este diagrama. Especialmente en este capıtulo–pero no es en el unico– se recomienda fuertemente al lector pertrechar-se con el apoyo de una buena computadora y software adecuado que enla actualidad es posible bajar gratuitamente de internet. Vease [34] en labibliografıa.

Por ultimo, en los dos capıtulos finales se presenta material ligeramentemas avanzado que en el resto del libro.

El capıtulo 17 se dedica a presentar el concepto de entropıa topologicaque nos permite otra manera de definir y medir el caos. Se ejemplifica estecon las dos funciones estelares de este libro: la Tienda y la funcion Logıstica.

El capıtulo 18, subiendonos un escalon mas, es una introduccion sis-tematica al estudio de la dinamica en espacios cuyos elementos son los sub-conjuntos cerrados y acotados de un espacio metrico compacto X. Estos sedenominan Hiperespacios. Las funciones continuas f : X → X inducen demodo natural funciones en el Hiperespacio correspondiente y el problema esdaterminar si la dinamica de f en X se traslada tambien al Hiperespacio.

Ambos capıtulos representan una continuacion natural de lo expuestopreviamente y a la vez, constituyen una invitacion al lector a continuarexplorando el inmenso universo actual de los sdd.

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AgradecimientosEsta obra no hubiera sido posible sin el apoyo infatigable y generoso de

nuestros dibujantes, o sea de las personas que pacientemente se dedicarona hacer todas las figuras de este libro: los alumnos de licenciatura LizbethEscobedo y Emiliano... y la Dra. en matematicas, Marıa de la Paz AlvarezScherer. A Liz, Paz y Emiliano: de veras ¡muchas gracias!

Agradecemos infinitamente tambien a nuestra querida amiga –y com-panera de uno de los autores–, la Dra. Marıa de la Paz Alvarez Scherer,haber revisado tantas partes de la version original y habernos enriquecidocon sus certeras crıticas y comentarios.

Jefferson KingDepartamento de MatematicasFacultad de Ciencias, UNAM

[email protected]

Hector MendezDepartamento de MatematicasFacultad de Ciencias, UNAM

[email protected]

Ciudad Universitaria, Facultad de Ciencias, a 23 de agosto de 2012.

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Indice general

Prefacio III

Indice general IX

1. Introduccion 1

1.1. Dos Modelos de poblacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2. Y aparecen los sistemas dinamicos discretos . . . . . . . . . . 7

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2. Primeras definiciones 9

2.1. Los dos ingredientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2. Puntos fijos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3. La Tienda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3. La aventura de Sharkovskii I 21

3.1. La caja de herramientas y el teorema de Li-Yorke. . . . . . . 22

3.2. El teorema de Sharkovskii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4. La aventura de Sharkovskii II 35

4.1. Los ejemplos prometidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.2. La Duplicadora o Doble de una funcion . . . . . . . . . . . . 41

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

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x Indice general

5. Nociones basicas de calculo y topologıa 47

5.1. Conjuntos abiertos y cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.2. Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6. Una superestrella: el conjunto de Cantor 53

6.1. Construccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.2. Algunas propiedades de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

7. Una visita a la Tienda 65

7.1. Mas propiedades de T : [0, 1] → [0, 1] . . . . . . . . . . . . . . 65

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

8. Transitividad topologica 73

8.1. Funciones transitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

8.2. Espacios completos y el Teorema de Baire . . . . . . . . . . . 75

8.3. Las orbitas densas sı existen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

9. Orbitas estables 85

9.1. Puntos fijos atractores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

9.2. Orbitas estables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

9.3. Sensibilidad a las condiciones iniciales . . . . . . . . . . . . . 93

9.4. La definicion de caos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

10.Dinamica simbolica 99

10.1. El conjunto de los puntos atrapados . . . . . . . . . . . . . . 99

10.2. Dinamica simbolica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

10.3. Funcion corrimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

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Indice general xi

11.Conjugacion topologica 115

11.1. Propiedades que se preservan bajo conjugacion . . . . . . . . 115

11.2. La Tienda es equivalente a la Logıstica . . . . . . . . . . . . . 119

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

12.El omega conjunto lımite 123

12.1. El conjunto ω(x, f) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

12.2. ω(x, f) puede ser infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

13.Una Sumadora 133

13.1. La funcion G : I → I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

13.2. Hacia la dinamica de G : I → I . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

13.3. Otra mirada a la dinamica simbolica . . . . . . . . . . . . . . 142

13.4. La conjugacion entre G y τ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

14.Bifurcaciones. La familia logıstica 155

14.1. Bifurcaciones de duplicacion de periodo en la familia logıstica 155

14.2. La primera bifurcacion de duplicacion de periodo . . . . . . . 158

14.3. La primera cascada infinita de duplicaciones de periodo . . . 165

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

Comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

15.Nota sobre la bifurcacion tangente 173

15.1. Dinamica de la familia exponencial . . . . . . . . . . . . . . . 173

15.2. Familia cuadratica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

16.El diagrama de bifurcaciones de la familia logıstica 179

16.1. Obteniendo el diagrama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

16.2. Una mirada a la zona caotica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

Comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

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xii Indice general

17.Introduccion a la entropıa 19517.1. Primeras propiedades de la entropıa . . . . . . . . . . . . . . 19517.2. La entropıa de la Tienda es positiva . . . . . . . . . . . . . . 205Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209Comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

18.Dinamica colectiva 21318.1. El hiperespacio de los compactos . . . . . . . . . . . . . . . . 21318.2. La funcion inducida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21518.3. Propiedades de la funcion inducida . . . . . . . . . . . . . . . 21618.4. Un punto de vista mas general . . . . . . . . . . . . . . . . . 22118.5. De lo colectivo a lo individual . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22418.6. Puntos periodicos, un ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

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Capıtulo 1

Introduccion

Una de las areas cientıficas, de gran auge e importancia en la actuali-dad, relacionada con los sistemas dinamicos es la biologıa matematica. Enparticular, los sistemas dinamicos discretos aparecen de forma natural entodo lo relativo al estudio del crecimiento de poblaciones,.

En este capıtulo veremos dos ejemplos clasicos que ilustran este hecho.Nuestro objetivo es, simplemente, acompanar al lector a dar una pequenavuelta –sin demasiadas pretensiones– alrededor de la problematica de es-tudiar poblaciones y, de paso, mostrar como esta lleva al planteamiento desistemas dinamicos discretos.

Cuando se habla de estudiar poblaciones puede tratarse de los habitantesdel mundo, de un paıs o de una localidad, de grupos de ninos o de mujeres, decomunidades indıgenas o campesinas o urbanas. Puede ser en la actualidad oen una determinada epoca historica. O puede tratarse del estudio de ciertasespecies biologicas –por ejemplo, las que estan en peligro de extincion, o debacterias u otros microbios que se estudian en laboratorios ad hoc.

En cualquier caso, es claro que existe una multitud de factores que inter-vienen en el desarrollo de una determinada poblacion: factores geograficos,ambientales, sociales, de interaccion o competencia con otros grupos o conotras especies, de disponibilidad de recursos, del uso racional de estos, de laspolıticas gubernamentales al respecto, de la alimentacion, de la edad de losindividuos, del grado de desarrollo de la tecnologıa y en fin, la lista puedeser interminable.

La idea general es elaborar modelos matematicos apropiados, que de al-guna manera capten la situacion de la poblacion bajo estudio y que permitancomprender y sobretodo predecir, su ulterior destino.

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2 1.1. Dos Modelos de poblacion

Naturalmente los modelos matematicos deben ser manejables; es inevi-table, entonces, en general hacer ciertas simplificaciones razonables. Y aun-que el desarrollo de las computadoras ası como de las teorıas matematicasrequeridas permite un grado relativamente alto de sofisticacion en los mode-los, siempre es recomendable, como punto de partida, buscar la sencillez, lamanera mas simple posible de proceder, con apego al fenomeno, claro esta.

Los ejemplos que veremos en este capıtulo son quiza los modelos depoblacion mas simples posibles. El primero de ellos, que llamaremos el mo-delo lineal, lograremos analizarlo completamente. El segundo, en cambio,–el modelo logıstico– ha probado poseer la mas alta complejidad dinamicaimaginable.

De hecho, en el terreno de las matematicas este modelo ha sido un factorde desarrolllo de la teorıa de sistemas dinamicos discretos y en los ultimos 40anos (o mas) ha sido objeto de multiples investigaciones en todo el mundopor parte de los mas reconocidos especialistas del area. Justamente uno delos objetivos de este pequeno libro es aventurarnos en analizar este modelo,desentranar sus secretos hasta donde nos sea posible. Ello lo haremos alo largo de varios capıtulos. Por lo pronto, en este capıtulo, simplementetendremos el gusto de presentarselo a usted, estimado lector.

1.1. Dos Modelos de poblacion

Para estudiar el desarrollo de una determinada poblacion elegimos uncierto momento inicial y una unidad de tiempo apropiada (minutos, segun-dos, dıas, meses o alguna otra).

Denotemos con Pn el numero de individuos de la poblacion existentesal tiempo n, donde n es un numero natural o cero. El instante inicial escuando n = 0 y el correspondiente numero de individuos en este instanteinicial lo denotamos por P0.

Imaginemos ahora que a traves de la experiencia, la experimentacion, laconceptualizacion teorica o de cualquier otra manera razonable, se ha llegadoa comprender o a conjeturar alguna ley que regula el crecimiento de lapoblacion. Esta ley serıa el punto de partida del establecimiento del modelomatematico. El problema basico, una vez planteado el modelo consiste endeterminar cual va a ser el futuro de la poblacion; es decir, que va a pasarcon Pn conforme n tiende a infinito.

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Capıtulo 1. Introduccion 3

Ejemplo 1.1. El modelo mas sencillo.

Supongamos que en virtud de condiciones dadas, resulte razonable espe-rar que el numero de individuos existentes en cualquier instante de tiempon sea proporcional al numero de individuos en el instante previo, n− 1. Esdecir, que existe una constante c, que no depende de n, tal que

Pn = c Pn−1. (1.1)

Esta ecuacion es nuestro modelo matematico que llamaremos el modelolineal. Los factores adicionales a tener en consideracion de alguna maneraquedan comprendidos en la constante de proporcionalidad c.

¿Que conclusiones podemos sacar de este?Para empezar, un razonamiento inductivo (ejercicio 1) nos permite con-

cluir que para todo n ≥ 1 tenemos

Pn = cnP0. (1.2)

Por lo tanto, conociendo solamente c y P0, podemos determinar el valorde Pn para cualquier n.

¿Cual va a ser, entonces, la evolucion de una poblacion sujeta a esta ley,que va a suceder conforme pase el tiempo, es decir, conforme n crezca cadavez mas?

Claramente, solo hay tres posibilidades:

Si c > 1, entonces Pn tiende a infinito cuando n tiende a infinito.

Si 0 < c < 1, entonces Pn tiende a 0 si n tiende a infinito.

Si c = 1, entonces Pn = P0 para toda n ≥ 1.

En la primera de estas posibilidades, la poblacion crecerıa sin cesar,desbordando todas las limitaciones posibles. En la segunda, la poblacionse extinguirıa y en la tercera, permanecerıa constante para siempre, iguala como se encontraba en el instante inicial. En su caso, cada una de estasposibilidades tendrıa lugar independientemente del numero de individuosexistentes al instante inicial n = 0.

Estas conclusiones, obligadas por la simpleza del modelo, quiza lo hacenaparecer a este como poco realista. Aun ası, tiene cierto rango de aplicabi-lidad y en ecuaciones diferenciales, el modelo equivalente conduce a la ley

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de Malthus para poblaciones, que ha probado tener cierta importancia, ver[9] y [16].

Ejemplo 1.2. El modelo logıstico.

Hacia mediados del siglo 19, un notable investidador en biologıa ma-tematica y otras areas, el matematico belga Pierre Francois Verhulst, pro-puso, utilizando ecuaciones diferenciales, un modelo que el mismo llamo elmodelo logıstico.

La idea esencial de Verhulst, trasladada al terreno de dinamica discreta,es como sigue: supongamos que los recursos de los que dispone determinadapoblacion (agua, comida, clima, etc.) y en general, el medio en el que estase desarrolla, no cambian significativamente con el tiempo, o simplementeno cambian. En este contexto fijo, es natural que la poblacion no puedacrecer indefinidamente; es decir, las condiciones del medio soportan, a lomas, un numero maximo de individuos. Si este numero maximo es rebasa-do, hay sobrepoblacion, aparecen muchas dificultades (escasez de recursos,etc.) y vıctima de estas, la poblacion tiende a disminuir. Si por el contrariose esta lejos de tal numero maximo, hay posibilidades de desarrollo y lapoblacion tiende a crecer.

En otras palabras, hay un comportamiento cıclico que podemos resumirası: Denotemos por N al numero maximo mencionado y nuevamente por Pn

al numero de individuos al tiempo n ≥ 0. Entonces, si Pn > N , tenemos quePn empieza a decrecer, y si Pn < N , Pn tiende a crecer; con el tiempo, Pn

se va aproximando a su numero maximo y si lo rebasa, empieza de nuevo adecrecer, y ası sucesivamente.

Este comportamiento debe reflejarlo el modelo.Verhulst propuso que en lugar de manejar el numero total de individuos,

se introdujera una tasa de crecimiento de la poblacion definida por

rn =Pn+1 − Pn

Pn. (1.3)

Esta tasa representa el cambio en el numero de individuos de una pobla-cion, al transcurrir una unidad de tiempo, en comparacion con el numerode individuos previamente existente.

Por ejemplo, si se supone una tasa de crecimiento constante, es decir,rn = r para alguna r que no depende de n, obtenemos

Pn+1 = Pn + rPn = (1 + r)Pn, (1.4)

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que es el modelo lineal (1.1) con c = 1 + r (ver ejercicio 2).

Normalizamos ahora el tamano de la poblacion al tiempo n, Pn, enrelacion con su tamano maximo; es decir, introducimos

pn =Pn

N.

Esta cantidad es un porcentaje; por ejemplo, pn = 0,08 significa que lapoblacion al tiempo n es 8% de su tamano maximo. Notese que mientrasel numero de individuos no rebase el numero maximo N se tendra que0 < pn < 1.

Reemplazando Pn por pn en (1.3) obtenemos la tasa de crecimiento enterminos de la variable normalizada. Notese que el valor de esta tasa nocambia al hacer esta sustitucion.

Gruesamente hablando, Verhulst postulo que en cada instante de tiempon, la tasa de crecimiento, rn, deberıa ser proporcional a todo aquello queexiste en el medio (en ese instante), pero que aun no ha sido utilizado porla poblacion. Este ”sobrante.existente al tiempo n se cuantifico como 1−pn.

Entonces, para alguna constante apropiada r, y para todo tiempo n,debe cumplirse lo siguiente:

pn+1 − pnpn

= r(1− pn).

O equivalentemente:

pn+1 = pn + rpn(1− pn). (1.5)

Este es el modelo logıstico o mejor dicho, la familia de modelos logısti-cos: la constante r juega el papel de un parametro que, al irlo variando,nos permite obtener diferentes comportamientos de la poblacion, diferentesmodelos.

Observese que sı se comporta como se deseaba: si Pn > N tenemospn > 1 por lo que la tasa expresada en (1.5),

rn = r(1− pn),

es negativa, lo cual indica descrecimiento; ahora, si Pn < N , pn < 1 y rn espositiva, lo cual indica crecimiento.

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Matematicamente, es sencillo demostrar (lo haremos mas adelante) quela ecuacion (1.5) la podemos cambiar por otra que preserva la cualidadcıclica mencionada en el parrafo previo, conduce a las mismas conclusionesdinamicas, pero que es ligeramente mas simple:

pn+1 = rpn(1− pn). (1.6)

Llamaremos tambien a esta ecuacion modelo logıstico.

¿Que conclusiones sacamos ahora?

Inmediatamente aparecen dificultades al intentar resolver esta pregunta;la primera y mas obvia es que, en general, no es posible obtener una expre-sion para pn en terminos del valor inicial p0 y r (para darse una idea, ver elejercicio 3).

Esta dificultad se puede superar en la practica recurriendo a una simplecalculadora y, dados p0 y r, obtener numericamente pn para valores de nbastante grandes (ver ejercicio 4).

Otra posibilidad aun mejor es instrumentar un programa de computado-ra que, para diferentes valores del parametro r y, en cada caso, diferentesvalores iniciales p0, calcule pn para n variando en un subconjunto grandede numeros naturales, de modo que nos de una idea de la tendencia de pnal crecer n.

Pero aun ası subsiste un problema de fondo: ¿es posible sacar conclu-siones generales validas por lo menos para un rango amplio, significativo,de valores de r y de condiciones iniciales p0? Observese que en principio p0puede ser cualquier real en el intervalo [0, 1] y r cualquier numero real.

Responder esta pregunta requiere estudiar el modelo desde una perspec-tiva distinta, desde un punto de vista teorico, mas puramente matematico.

Y allı es donde surgieron las dificultades mas serias: como dijimos pre-viamente, la historia nos ha ensenado que desde el punto de vista dinamico,es decir, desde el punto de vista de determinar como evoluciona pn cuan-do n tiende a infinito, el modelo encierra un alto grado de complejidad enfuncion del parametro r. De hecho, el modelo logıstico abarca practicamen-te todos los comportamientos dinamicos posibles, especialmente comporta-mientos caoticos, es decir, aquellos que son altamente impredecibles.

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1.2. Y aparecen los sistemas dinamicos discretos

Las ecuaciones de los modelos presentados son llamadas de recurrencia,puesto que su valor al tiempo n+1 esta en funcion de su valor en el tiempon. Si llamamos x a pn, podemos reescribir (1.6) como

pn+1 = f(pn), donde f (x) = rx(1− x).

Es decir, obtener el valor al tiempo siguiente es simplemente aplicar es-ta funcion al valor en el tiempo presente. Si x0 denota al estado inical p0,entonces f (x0) es el valor al momento siguiente, f (f (x0)) es el que siguede f (x0), luego viene f (f (f (x0))), despues f (f (f (f (x0)))) y ası sucesiva-mente. Para simplificar la notacion, escribimos f2 (x0) en lugar de f (f (x0)),f3 (x0) en lugar de f (f (f (x0))), etc. Este proceso de aplicar repetidamentela funcion a los valores obtenidos se llama iterar la funcion.

Tambien al modelo del primer ejemplo lo podemos reescribir a traves deuna funcion, que en este caso esta dada por

f (x) = cx.

En cualquiera de los dos modelos, dado cualquier numero x0, la historiafutura a partir de esta condicion inicial esta dada por la sucesion

x0, f (x0) , f2 (x0) ,f

3 (x0) , . . . .

Esta sucesion se llama la orbita de x0 bajo la funcion f .El problema principal que nos plantean ambos modelos es determinar

el comportamiento de la orbita de cualquier punto bajo la correspondientefuncion.

En general, un sistema dinamico discreto es cualquier funcion continuaf , definida en un espacio metrico (los numeros reales en nuestros modelos)en el que el problema basico es analizar el comportamiento de las orbitasbajo f .

Los modelos de poblacion son ejemplos naturales de este tipo de siste-mas.

En este libro exploraremos sistematicamente la teorıa elemental de sis-temas dinamicos discretos. Estableceremos, en particular, los conceptos decaos o de comportamiento impredecible sobre bases matematicas solidas.Desde esta perspectiva –como iteracion de funciones– volveremos a exami-nar los modelos aquı presentados. Esperamos que lo disfruten.

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8 1.2. Y aparecen los sistemas dinamicos discretos

Ejercicios

Ejercicio 1.1. Deducir, por induccion, la formula (1.2) a partir de (1.1).

Ejercicio 1.2. Trabajar con la formula (1.4) para sacar las mismas conclusiones

que en el ejemplo 1.1 pero en terminos de la tasa rn dada por (1.3).

Ejercicio 1.3. Utilizando y suponiendo p0 y r dados, tenemos que

p1 = rp0(1− p0).

Comprobar que para n = 2 tenemos

p2 = r2p0 (1− p0)− r3p20 (1− p0)2.

Buscar una expresion parecida para n = 3.

Ejercicio 1.4. Para r = 3.2 y p0 = 12 e iterando la funcion f(x) = rx(1 − x)

obtener, tal vez utilizando una calculadora, los valores de pn para n = 1, 2, . . . , 10.

¿Observa alguna tendencia, podrıa predecir a que valor tiende pn si n → ∞?

(calcule mas valores si es necesario).

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Capıtulo 2

Primeras definiciones

Presentamos en este capıtulo las definiciones iniciales y nuevos ejemplosde sistemas dinamicos discretos. En particular introducimos la funcion co-nocida como la Tienda e iniciamos el estudio de sus propiedades dinamicas(muchas de ellas realmente sorprendentes).

2.1. Los dos ingredientes

Para obtener un sistema dinamico discreto necesitamos tan solo dosingredientes.

El primero es un espacio metrico, X. Un espacio metrico es un conjuntoque viene acompanado de una forma de medir distancias entre cualesquierados puntos de sus puntos. El conjunto de los numeros reales R, el plano R2,el conjunto de los numeros complejos C, y el intervalo cerrado [0, 1] en larecta real son ejemplos de espacios metricos.

El segundo ingrediente es una funcion continua del espacio X en sı mis-mo, f : X → X.

Una vez que tenemos estos ingredientes podemos definir, para cada pun-to x ∈ X, una sucesion de puntos conocida como la orbita de x bajo f ,

o (x, f) ={x, f (x) , f2 (x) , f3 (x) , . . .

}.

Aquı el sımbolo fn representa la composicion de f consigo misma n veces:f1 = f , f2 = f ◦f , f3 = f ◦f ◦f , y ası sucesivamente. Definimos f0 : X → Xcomo la funcion identidad en X.

La interpretacion que le damos a la sucesion o (x, f) es la siguiente:En el tiempo t = 0 un objeto se encuentra en la posicion x; en el tiempo

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10 2.2. Puntos fijos

t = 1 el objeto ha cambiado de posicion y ahora se encuentra en f(x); en eltiempo t = 2 el objeto vuelve a cambiar de posicion y ahora se encuentraen f(f(x)) = f2(x); etcetera.

Tiempos: 0 1 2 ... n ...Posiciones: x f (x) f2 (x) ... fn (x) ...

x0 f(x0)f4(x0)

f3(x0)

f2(x0)

Figura 2.1: Primeros elementos de la orbita de x0 en la recta real.

La meta es estudiar todas las posibles sucesiones o (x, f). De maneramuy especial nos interesa su comportamiento cuando n tiende a infinito.

Desde este punto de vista la pareja X y f nos da un modelo matematicodel movimiento. Esto es, nos da un sistema dinamico discreto. La palabradiscreto se refiere a que conocemos la posicion del objeto que se mueve solocuando el tiempo asume un valor entero mayor o igual a cero.

De aquı en adelante todas las funciones consideradas son funciones conti-nuas. La letras mayusculas X y Y , representan espacios metricos. La distan-cia entre dos puntos de X, digamos x y y, la representaremos con dX(x, y).Si no hay confusion acerca del conjunto donde estamos trabajando, entoncessolo escribimos d(x, y). En R y en R2 utilizamos la distancia entre puntosusual. La letra N representa el conjunto de los numeros naturales, es decir,el conjunto de los enteros positivos.

2.2. Puntos fijos

Sea f : X → X. Decimos que x0 ∈ X es punto fijo de f si f (x0) = x0.En este caso la orbita de x0 bajo f es una sucesion muy sencilla,

o (x0, f) = {x0, x0, . . .} .

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Capıtulo 2. Primeras definiciones 11

Como para cada n se tiene que fn(x0) = x0, entonces la o(x0, f) tiende ax0. Es decir, lımn→∞ fn(x0) = x0.

Sea f : A → A, donde A es un subconjunto de R. Si x0 ∈ A es un puntofijo de f , entonces (x0, f (x0)) = (x0, x0). Por lo tanto este punto, (x0, x0), seencuentra en la interseccion de la grafica de f y la diagonal {(x, y) : x = y}.En la figura 2.2 se muestra la grafica de una funcion con exactamente trespuntos fijos: x0, x1 y x2.

Figura 2.2: Tres puntos fijos.

Los puntos fijos juegan un papel muy importante en la dinamica inducidapor f . La siguiente proposicion contiene el primer hecho interesante dondeaparecen este tipo de puntos.

Proposicion 2.1. Sean x0 y y0 dos puntos en X tales que la orbita de x0converge a y0, es decir, lımn→∞ fn(x0) = y0. Entonces y0 es un punto fijode f .

Demostracion. Como f es una funcion continua, entonces

f (y0) = f(lımn→∞

fn(x0))= lım

n→∞fn+1(x0) = y0.

La ultima igualdad se sigue del hecho de que{fn+1(x0)

}∞n=1

es una subsu-cesion de la sucesion {fn(x0)}∞n=1.

Encontrar puntos fijos de funciones puede parecer una tarea sencilla.Sin embargo, salvo algunos casos, no lo es. Las funciones que tienen comodominio y contradominio un intervalo forman un buen lugar donde iniciarnuestro estudio de este tipo de orbitas.

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Sean a y b en R tales que a ≤ b. Un intervalo es un subconjunto de lareta real que es distinto del vacıo y que tiene una de las siguientes formas:

[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}, [a,∞) = {x ∈ R : a ≤ x},[a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b}, (a,∞) = {x ∈ R : a < x},(a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}, (−∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b},(a, b) = {x ∈ R : a < x < b}, (−∞, b) = {x ∈ R : x < b},

y (−∞,∞) = R.Los conjuntos [a, b], [a,∞), (−∞, b] y (−∞,∞) son intervalos cerrados;

(a, b), (a,∞), (−∞, b) y (−∞,∞) son intervalos abiertos; [a, b], [a, b), (a, b]y (a, b) son intervalos acotados.

De aquı en adelante, salvo que indiquemos algo distinto, las funcionestienen como dominio de definicion un intervalo en R.

Damos a continuacion algunas herramientas que nos ayudaran a encon-trar puntos fijos de funciones definidas en intervalos. Recordamos primeroel Teorema del Valor Intermedio, TVI.

Teorema 2.2. Sean A un intervalo en R y f : A → A una funcion continuaen A. Sean a y b dos puntos en A tales que a < b, y sea M ∈ R. Si algunade las siguientes dos condiciones se cumple:

f(a) < M < f(b),

f(a) > M > f(b),

entonces existe c, a < c < b, tal que f(c) = M .

Proposicion 2.3. Sea f : [a, b] → R.i) Si f ([a, b]) ⊂ [a, b], entonces f tiene un punto fijo en [a, b].ii) Si [a, b] ⊂ f ([a, b]), entonces f tiene un punto fijo en [a, b].

Nota: Por f ([a, b]) nos referimos a la imagen de [a, b] bajo f ; es decir,

f ([a, b]) = {y ∈ R |y = f (x) para algun x ∈ [a, b]} .

Demostracion. i) Como f ([a, b]) ⊂ [a, b], entonces

a ≤ f (a) y f (b) ≤ b.

Sea h : [a, b] → R dada por h (x) = f (x)− x.

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La funcion h es continua en el intervalo [a, b], ademas

h (a) ≥ 0 y h (b) ≤ 0.

Por lo tanto existe c ∈ [a, b] tal que h (c) = 0. En consecuencia, f (c) = c.

ii) Como [a, b] ⊂ f ([a, b]), entonces existen α, β en el intervalo [a, b]tales que f (α) = a y f (β) = b. Notemos que

f (α) ≤ α y β ≤ f (β) .

Consideramos ahora, como antes, una funcion auxiliar h : [a, b] → R dadapor h (x) = f (x)− x.

Tenemos h (α) ≤ 0 y h (β) ≥ 0. Por tanto, existe c en [α, β], o en [β, α],tal que h (c) = 0. Entonces c ∈ [a, b], y f (c) = c.

f

aa

b

f([a, b])

b

Figura 2.3: Cuando [a, b] ⊂ f ([a, b]).

Sean f : X → X y x0 ∈ X. Decimos que x0 es un punto periodico de f siexiste n ∈ N tal que fn (x0) = x0. Al conjunto de todos los puntos periodicosde f lo denotamos con Per (f). Si x ∈ Per(f), decimos que o(x, f) es unaorbita periodica.

Sea x0 ∈ Per (f). Decimos que x0 tiene periodo k si

k = mın {n ∈ N : fn (x0) = x0} .

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Si x0 es punto fijo de f , entonces x0 ∈ Per (f) y x0 tiene periodo 1. Seax0 un punto periodico bajo f de periodo k con k ≥ 2, entonces para cada1 ≤ j < k se tiene que f j(x0) es distinto de x0.

Ejemplo 2.4. Sea f : R → R dada por f(x) = 1 − x. Como la unicasolucion a la ecuacion 1 − x = x es x = 1

2 , entonces f tiene un solo puntofijo. Por otro lado, f2(x) = x para todo punto x de R. De aquı se sigue quetodos los puntos distintos de 1

2 son puntos periodicos bajo f de periodo 2.

Sea A un intervalo en R, digamos A = [a, b]. Un camino sencillo paraconstruir ejemplos de funciones f : A → A que tengan alguna propiedad ocaracterıstica deseada es el siguiente: Consideramos n puntos distinitos enA, digamos a1, a2, ası hasta an; definimos f(a1), f(a2), y ası sucesivamen-te hasta f(an), teniendo cuidado de que estos valores, f(ai), 1 ≤ i ≤ n,sean elementos de A. Luego, en cada intervalo de la forma (ai, aj), dondeai y aj son consecutivos, definimos f de tal manera que su grafica sea elsegmento de recta que une el punto (ai, f(ai)) con el punto (aj , f(aj)). Porultimo, si ai es el mınimo de los puntos donde ya definimos f , definimosf(x) = f(ai) para los puntos que estan en el intervalo [a, ai]. Procedemosde manera analoga en el intervalo que termina en el punto b. A estas fun-ciones se les llama lineales por partes. Ellas estan completamente definidaspor los valores que asignamos a una cantidad finita de puntos en A. Unprocedimiento semejante se puede saguir para construir funciones linealespor partes cuando el intervalo de definicion es no acotado.

Si queremos construir una funcion que tenga un punto periodico de pe-riodo n hacemos lo siguiente: Consideramos n puntos distinitos en A, diga-mos a1, a2,. . ., an, y consideramos la funcion lineal por partes definida porf(a1) = a2, f(a2) = a3, y ası sucesivamente hasta f(an−1) = an. La funcionresultante tiene estos puntos en su grafica

(a1, a2), (a2, a3), . . . , (an−1, an), y (an, a1).

y claramente tiene una orbita pertiodica de periodo n.

Ejemplo 2.5. Usando este metodo construimos una f : R → R lineal porpartes con un punto periodico de periodo 3. Definimos f(1) = 2, f(2) = 3y f(3) = 1, y con ello f queda definida en el intervalo [1, 3]. Completamosla definicion de f ası: si x < 1, definimos f(x) = 2, y si x > 3, f(x) = 1.

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En la figura 2.4 se muestra la grafica de la f : R → R resultante. Esinmediato que f tiene un punto periodico de periodo 3, y que todas laspropiedades dinamicas interesantes de f se presentan en los puntos quepertenecen al intervalo [1, 3].

0

3

1 32

1

2

Figura 2.4: El punto x0 = 1 es de periodo 3.

2.3. La Tienda

Sea T : R → R la funcion dada por:

T (x) =

2x si x ∈

[0, 12

],

2− 2x si x ∈(12 , 1

].

Es inmediato que T es una funcion continua en todo punto de R. Estafuncion es conocida como la Tienda. Poco a poco iremos descubriendo laspropiedades dinamicas de T . A pesar de lo sencillo que resulta definir laTienda, el sistema dinamico que ella induce es muy interesante.

Las tres afirmaciones contenidas en la siguiente proposicion no son difıci-les de demostrar. Invitamos al lector, en el ejercicio 10, a dar los argumentosnecesarios. La grafica de la Tienda esta en la figura 2.5.

Proposicion 2.6. Sea x un punto en R.

Si x < 0, entonces o(x, T ) es una sucesion decreciente. Ademas setiene que lımn→∞ Tn(x) = −∞.

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16 2.3. La Tienda

Si x > 1, entonces T (x) < 0. Por lo tanto, en este caso tambien, setiene que lımn→∞ Tn(x) = −∞.

Si x ∈ [0, 1], entonces T (x) ∈ [0, 1]. Y, por lo tanto, para todo n ∈ N,Tn(x) ∈ [0, 1].

Figura 2.5: Grafica de la funcion Tienda.

La primera conclusion es que la parte interesante de la dinamica inducidapor T : R → R sucede en el intervalo [0, 1]. De aquı en adelante centramosnuestra atencion al estudio de las orbitas de T que inician en puntos de esteintervalo. Es decir, nos dedicaremos al estudio de la la restriccion de T a[0, 1], T : [0, 1] → [0, 1].

Busquemos los puntos fijos de T . Si x es elemento del intervalo[0, 12

]y es

punto fijo de T , entonces, por un lado, T (x) = x y, por el otro, T (x) = 2x.Por lo tanto, 2x = x, y x = 0. Si x ∈

[12 , 1

]y x es un punto fijo de T ,

entonces 2 − 2x = x, x = 23 . Observemos que estos puntos son los unicos

dos puntos fijos de T .Mostramos a continuacion la existencia de un punto periodico de periodo

2 para T .Observemos que

{12 , 1

}∩ Per (T ) = ∅. Buscamos x0 ∈

(0, 12

)tal que

T (x0) = x0 y T 2 (x0) = x0. Es inmediato que si un punto x0 cumple estasdos condiciones, entonces T (x0) debe ser mayor que 1

2 . Como x0 ∈(0, 12

),

entonces T (x0) = 2x0. Y dado que T (x0) es un punto del intervalo(12 , 1

),

entoncesT 2 (x0) = T (T (x0)) = 2− 2 (2x0) .

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Por tanto, T 2 (x0) = x0 implica

2− 4x0 = x0.

Ası x0 =25 . La orbita bajo T de este punto es la siguiente sucesion:

o

(2

5, T

)=

{2

5,4

5,2

5,4

5,2

5, . . .

}.

0 x0 x� 1

0

x�

1

Figura 2.6: Orbita de periodo 2 en la Tienda.

En resumen, 25 ∈ Per (T ) y su periodo es 2. De hecho obtuvimos un poco

mas, resulta que 45 tambien es un punto periodico bajo T y es de periodo 2.

Estamos, pues, ante una situacion un poco mas general: Si x es un puntoperiodico de la funcion f : X → X de periodo n, entonces cada punto en lao(x, f) es tambien un punto periodico de periodo n (ver ejercicio 9).

Ejercicios

Las siguientes definiciones seran utiles en los ejercicios que siguen y enel resto del texto. Aprovechamos esta seccion para recordarlas.

Sea f : X → Y . Decimos que f es:

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18 2.3. La Tienda

inyectiva si para todo par de puntos en X, digamos x y y, tales quex = y, se tiene que f (x) = f (y).

suprayectiva si para todo punto y ∈ Y , existe x ∈ X tal que f (x) = y.

biyectiva si f : X → Y es inyectiva y suprayectiva.

un homeomorfismo si f : X → Y es biyectiva y continua, y su inversa,f−1 : Y → X es una funcion continua tambien.

Ejercicio 2.1. Sea f : [0,∞) → [0,∞). Demostrar que si f es suprayectiva,

entonces f tiene, al menos, un punto fijo.

Ejercicio 2.2. Mostrar, si es que existe, un homeomorfismo, f : (0, 1) → (0, 1) sin

puntos fijos.

Ejercicio 2.3. Mostrar, si es que existe, un homeomorfismo, f : [0, 1) → [0, 1) sin

puntos fijos.

Ejercicio 2.4. Sea f : [0, 1] → [0, 1] dada por f(x) =√1− x2. Encontrar todos

los puntos periodicos de f .

Ejercicio 2.5. Sean I = [0, 1] y f : I → I. Supongamos que f es biyectiva.Demostrar que:

Se cumple una y solo una de las siguientes dos opciones: primera, f(0) = 0y f(1) = 1 . Segunda, f(1) = 0 y f(0) = 1.

Si f(0) = 0 y f(1) = 1, entonces para todo x ∈ (0, 1) se tiene que la orbitade x es una sucesion monotona. Es decir, fn−1(x) ≤ fn(x) para todo n ∈ No fn−1(x) ≥ fn(x) para todo n ∈ N.

f solo puede tener puntos periodicos de periodo 1 o periodo 2.

Ejercicio 2.6. Sea f : R → R. Demostrar que si Per (f) = ∅, entonces una de lassiguientes dos opciones se cumple:

Para todo x ∈ R, se tiene que lımn→∞

fn (x) = ∞.

Para todo x ∈ R, lımn→∞

fn (x) = −∞.

Ejercicio 2.7. Sea I = (0, 1). Dar un ejemplo de una funcion f : I → I sin puntos

fijos y sin puntos periodicos.

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Ejercicio 2.8. Sean f , g : R → R. Si Per(f) = ∅ y Per(g) = ∅ ¿Sera cierto que

Per(f ◦ g) = ∅?

Ejercicio 2.9. Si x es un punto periodico de la funcion f : X → X de periodo n,

entonces cada punto en la o(x, f) es tambien un punto periodico de periodo n

Ejercicio 2.10. Demostrar las propiedades de la Tienda T contenidas en la pro-

posicion 2.6.

Ejercicio 2.11. Demostrar que la Tienda T tiene un punto periodico de periodo

3. Ver figura 2.7. ¿Cuantas orbitas de periodo 3 tiene T?

0 x0 x� 1

0

x�

1

Figura 2.7: Orbita periodica de periodo 3 para la Tienda.

Ejercicio 2.12. Sea x0 ∈ Per (f). Supongamos que el periodo de x0 es N . De-

mostrar lo siguiente: fm(x0) = x0 si y solo si m es un multiplo de N .

Ejercicio 2.13. Sean f : X → X, n y m numeros naturales, n = m, y x y y

puntos periodicos bajo f de periodos n y m, respectivamente. Demostrar que las

orbitas o(x, f) y o(y, f) son ajenas.

Ejercicio 2.14. Sea L : R → R la funcion dada por L(x) = 4x(1−x). La grafica def , restringida al intervalo [0, 1], se puede observar en la figura 2.8. Resulta que estafuncion induce unos de los sistemas dinamicos mas interesantes, algo que iremosdescubriendo a lo largo de este texto. Su nombre es funcion Logıstica.

Demostrar lo siguiente:

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20 2.3. La Tienda

Si x < 0, entonces lımn→∞ Ln(x) = −∞.

Si x > 1, entonces tambien se tiene que lımn→∞ Ln(x) = −∞.

Si x ∈ [0, 1], entonces para toda n ∈ N se tiene que Ln(x) ∈ [0, 1].

Las restricciones L|[0, 12 ] : [0,12 ] → [0, 1] y L|[ 12 ,1] : [

12 , 1] → [0, 1] son homeo-

morfismos.

L tiene exactamente dos puntos fijos.

L tiene al menos una orbita de periodo 2.

L tiene al menos una orbita de periodo 3.

0 x� 1

0

x�

1

Figura 2.8: Grafica de la funcion Logıstica L(x) = 4x(1− x) en [0, 1].

Ejercicio 2.15. Sea f : R → R una funcion derivable en todo R. Supongamos

que existen dos puntos fijos de f , digamos a y b, a < b, tales que |f ′(a)| < 1 y

|f ′(b)| < 1. Demostrar que f tiene al menos otro punto fijo c tal que a < c < b.

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Capıtulo 3

La aventura de Sharkovskii I

En capıtulos previos hemos visto ejemplos de funciones con puntos pe-riodicos de diversos periodos. La existencia de tales funciones invitan a pen-sar si existe alguna relacion, alguna ley causal, que obligue a una funciona tener puntos periodicos de tales o cuales periodos pero no de otros. Enterminos mas precisos: si una funcion tiene algun punto periodico de uncierto periodo n, ¿puntos de que otro periodo puede tener?

El caso de la funcion vista en el ejemplo 2.4 del capıtulo 2 permite unaprimera respuesta a esta pregunta: la existencia de puntos de periodo 1 y2 no implica la de otros periodos. El ejercicio 1 al final de este capıtulopermite agregar algo mas: si solo sabemos que f tiene puntos de periodo 1,no se puede asegurar que tenga puntos de algun otro periodo.

Suscintamente podemos denotar estas conclusiones del modo siguiente:

Per1 y Per2 ; Pern con n ≥ 3, y

Per1 ; Pern con n ≥ 2.

Aquı, la notacion Perk significa existe algun punto periodico de periodok.

Por otro lado, es facil demostrar que si existen puntos de periodo n ≥ 2,necesariamente existe algun punto de periodo 1 (ver la proposicion 3.1 masabajo). Si n > 2 podrıamos preguntarnos, tambien, si la existencia de unpunto periodico de periodo n implica la de uno de periodo 2. En particular,¿si existe un punto de periodo 3, implica esto que haya puntos de periodo2 (y por lo tanto, de periodo 1)?

Las posibilidades de preguntas concretas -englobadas en la preguntainicial- son infinitas.

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22 3.1. La caja de herramientas y el teorema de Li-Yorke.

En 1964 el matematico ucraniano Oleksandr Mikolaiovich Sharkovskiiestablecio un sorprendente teorema que daba una respuesta completa a es-ta problematica. Su trabajo no fue conocido de manera amplia en aquelentonces y en la decada siguiente, dos matematicos, Tien-Yien Li y JamesYorke, descubrieron, en particular, en forma independiente de Sharkovskii,el extraordinario papel que juega la existencia de una orbita de periodo 3:¡implica la existencia de orbitas de todos los periodos!

Dedicaremos este capıtulo a estudiar estos resultados.

3.1. La caja de herramientas y el teorema de Li-Yorke.

A manera de preparativos para lo que viene, tenemos la siguiente pro-posicion.

Proposicion 3.1. Si f tiene un punto de periodo n ≥ 2, entonces f tieneun punto de periodo 1.

Demostracion. Tomemos una orbita de periodo n ≥ 2 y coloquemos sus nelementos ası:

x1 < x2 < ... < xn.

Sabemos que f(x1) es alguno de los otros puntos, por lo tanto f(x1) >x1. Con un argumento analogo para xn, obtenemos f(xn) < xn, ver figura3.1. Esto significa que el punto (x1, f(x1)) esta por encima de la diagonaly = x y el punto (xn, f(xn)) por abajo; por lo tanto, por el Teorema delValor Intermedio, existe x0 en el intervalo (x1, xn) tal que f(x0) = x0.

Figura 3.1: Orbita de periodo n.

Los siguientes dos resultados constituyen la herramienta basica del capıtu-lo. La demostracion del primero de ellos la dimos en el capıtulo 2.

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Capıtulo 3. La aventura de Sharkovskii I 23

Proposicion 2.3. Si f es continua en [a, b] y f ([a, b]) ⊇ [a, b], entoncesf tiene un punto fijo en [a, b].

Proposicion 3.2. Si f es continua en [a, b] y [c, d] es un intervalo tal quef ([a, b]) ⊇ [c, d], entonces existe un subintervalo de [a, b], [α, β] ⊆ [a, b], talque f ([α, β]) = [c, d].

Demostracion. Damos solo las ideas basicas de la argumentacion y dejamosal lector completar detalles; ver ejercicio 2.

Como [c, d] ⊂ f([a, b]), existen dos puntos en [a, b], α y β, tales quef(α) = c y f(β) = d.

Consideremos el caso α < β. Observese que es posible que existan puntosdistintos de α en [a, b] tales que su imagen bajo la funcion sea a. Sea ξ elmayor de estos puntos, es decir, ξ = max {x ∈ [α, β] | f(x) = a}.

Ahora, como [a, b] ⊂ f ([ξ, β]), existen puntos en [ξ, β] tales que suimagen bajo la funcion es b. Sea η el mınimo de estos puntos, es decir,η = mın {x ∈ [ξ, β] | f(x) = b}. Claramente ξ < η.

Por la forma que escogimos a ξ y η tenemos que f( [ξ, η]) = [a, b].

La otra posibilidad, β < α, se argumenta de manera similar.

Para iniciar propiamente nuestra expedicion por los caminos de Shar-kovskii, vamos a demostrar, primero, el teorema de Li-Yorke de que la exis-tencia de periodo 3 garantiza la de todos los demas periodos.1 Con ayuda delas proposiciones anteriores la demostracion no es complicada; sin embar-go, para fijar ideas empezaremos con un caso particular, que es la siguienteproposicion.

Proposicion 3.3. Sea A un intervalo en R. Si una funcion f : A → Atiene una orbita de periodo 3, entonces f tiene una orbita de periodo 2.

Demostracion. Sea a ∈ A, supongamos que su orbita es de periodo tres,o(a, f) = {a, b, c} con a < b < c. Existen dos formas de recorrer esta orbita,ver figura 3.2.

Tomemos el primer caso; la demostracion para el segundo es similar.

Llamamos I al intervalo [a, b] y J al intervalo [b, c].

1Frases que utilizaremos frecuentemente, como ”la existencia de periodo n”, significan”la existencia de puntos periodicos de periodo n”

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Figura 3.2: Orbita de periodo 3, dos posibles recorridos.

Como f(a) = b, f(b) = c y f(c) = a, tenemos las siguientes contenciones:

J ⊂ f(I) y I ∪ J ⊂ f(J).

Figura 3.3: Los intervalos I y J .

De la contencion I ∪J ⊂ f(J) y de la proposicion 3.2 se sigue que existeun intervalo A1 ⊂ J tal que f(A1) = I.

Asimismo, la contencion A1 ⊂ J ⊂ f(I) implica la existencia de unintervalo A2 ⊂ I tal que f(A2) = A1. De aquı que f2(A1) = I, y con ello,A2 ⊂ f2(A2), ver figura 3.4.

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Figura 3.4: Intervalos A1 y A2.

Por lo tanto, existe x ∈ A2 tal que f2(x) = x. Este es nuestro candidatopara punto periodico de periodo dos.

Como x ∈ A2 ⊂ I y f(x) ∈ A1 ⊂ J , entonces f(x) = x o x = b = f(x).Esta segunda opcion es imposible ya que b es de periodo tres. Por lo tanto,la orbita de x cumple que f(x) = x y f2(x) = x. O sea que x es de periododos.

Teorema 3.4. (Li-Yorke) Sea A un intervalo en R. Si una funcion continuaf : A → A tiene una orbita de periodo 3, entonces, f tiene una orbita deperiodo n para todo numero natural n.

Demostracion. Tomemos una orbita de periodo tres, o(a, f) = {a, b, c}, re-

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corrida como en el caso que analizamos en la proposicion 3.3. Y, como antes,definimos I = [a, b] y J = [b, c]. Sea n ∈ N, mostraremos que f tiene unaorbita de periodo n. Dado que ya sabemos que Per3 ⇒ Per2 ⇒ Per1,podemos suponer que n > 3.

Como I ⊂ f(J), existe un subintervalo cerrado A1 ⊂ J tal que f(A1) =I.

De I ∪ J ⊂ f(J) sabemos que existe A2 ⊂ J tal que f(A2) = A1. De lamisma contencion se sigue que existe A3 ⊂ J tal que f(A3) = A2. Figura3.5.

Figura 3.5: Intervalos A1, A2 y A3.

En general, para n > 3, como An−1 ⊂ J ⊂ f(I), existe An ⊂ I tal quef(An) = An−1. Al final obtenemos el esquema de la figura 3.6.

Figura 3.6: Intervalos de A1 a An.

La figura 3.7 muestra como queda nuestro dibujo si n = 5:Por la forma en que fuimos construyendo los intervalos tenemos que

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Figura 3.7: El caso n igual a 5.

An ⊂ I = fn(An)

Por la proposicion 2.3, existe x ∈ An punto fijo de fn, es decir, tal quefn(x) = x.

Solo resta convencernos de que el periodo de este punto es exactamenten: Observese que x ∈ I y que para todo j, 1 6 j 6 n− 1, f j(x) ∈ J . Comon > 3, la cantidad de elementos de la orbita de x que estan en J es n−1 > 3.De aquı que x /∈ {a, b, c} y los puntos f(x),. . ., fn−1(x) no sean elementosde la orbita o(a, f) = {a, b, c}. El punto x no es uno de los extremos delintervalo I, por lo que x = f j(x) para j con 1 6 j 6 n− 1. Por lo tanto laorbita de x es de periodo n.

Por el ejercicio 11, sabemos que la Tienda, T : [0, 1] → [0, 1], tieneal menos un punto periodico de periodo 3. Por tanto esta funcion tienepuntos periodicos de todos los periodos. Como cada orbita periodica modelao representa un movimiento periodico, entonces esta funcion presenta todoslos movimientos periodicos posibles. Para obtener una orbita con un periodon dado solo hay que partir de la condicion inicial adecuada. Todos estospuntos periodicos estan contenidos en el intervalo [0, 1].

3.2. El teorema de Sharkovskii

Examinamos, para empezar, unos ejemplos ilustrativos. El primero, nosmuestra que periodo 4 no implica periodo 3. El segundo va un poco masalla y nos muestra que la existencia de todos los periodos pares no implicala existencia de un solo periodo impar mayor que 1.

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28 3.2. El teorema de Sharkovskii

Ejemplo 3.5. Sean I = [1, 4] y f : I → I una funcion lineal por partesdefinida por f (1) = 3, f (3) = 2, f (2) = 4 y f (4) = 1 (ver figura 3.8).

Figura 3.8: Periodo 4 no implica periodo 3.

Por como esta definida la funcion, {1, 2, 3, 4} es una orbita de periodo4. Existe un unico punto fijo x0 ∈ [2, 3] que es repulsor y utilizando analisisgrafico es claro que la orbita de todo punto x = x0 en [2, 3] eventualmenteescapa de este intervalo (i. e., existe n ∈ N tal que fn (x) /∈ [2, 3]). Asimismo,es facil comprobar que x1 =

32 es un punto de periodo 2 y que, exceptuando

la orbita de x1, todos los puntos en [1, 2] ∪ [3, 4] son de periodo 4 (veaseejercicio ??). Por lo tanto, los unicos periodos presentes en f son 1, 2 y 4.Es decir, periodo 4 no implica periodo 3.

Ejemplo 3.6. Sean I = [0, 2] y f : I → I una funcion lineal por partesdeterminada por f (0) = 1, f

(12

)= 2, f (1) = 1 y f (2) = 0 (figura 3.9).

Notese que f ([0, 1]) = [1, 2] y f ([1, 2]) = [0, 1], por lo que, a excepciondel punto fijo x0 = 1 las orbitas periodicas de f solo pueden ser de periodopar. Es facil comprobar que la orbita de 1

7 bajo f2 es de periodo 3. Porconsiguiente, por el teorema 3.4, f2 tiene orbitas de periodo n para todonumero natural n, lo cual significa que f tiene orbitas de periodo 2n paratodo n ∈ N. En conclusion, ¡f admite todos los periodos pares y ningunperiodo impar!

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Figura 3.9: Pares sı e impares no.

Sharkovskii descubrio que los puntos periodicos aparecen en cierto ordenespecial. Por ejemplo, la existencia de periodos pares no garantiza la de niun solo periodo impar. Sin embargo, la presencia de cualquier periodo imparmayor que 1 sı garantiza la existencia de todos los periodos pares. Por otrolado, no es casualidad que en el ejemplo 3.5 aparezcan los periodos 4, 2 y1: siempre que exista periodo 4 habra periodo 2. En general, siempre queexista periodo 2k con k mayor que 1, existira tambien periodo 2j para todo

j ∈ {0, 1, ..., k − 1} .

Aunque estos hechos son susceptibles de demostrarse por separado (ejerci-cios 6 y 7), todos ellos son consecuencia de la ordenacion de Sharkovskii.

Vayamos al grano.

Considerese a los numeros naturales ordenados de la siguiente, peculiarmanera. Por conveniencia tecnica denotamos a este orden con el sımbolo ◃y a todo el arreglo lo llamamos Tabla S o, simplemente, TS.

3 ◃ 5 ◃ 7 ◃ 9 ◃ ...

2 · 3 ◃ 2 · 5 ◃ 2 · 7 ◃ 2 · 9 ◃ ...

22 · 3 ◃ 22 · 5 ◃ 22 · 7 ◃ 22 · 9 ◃ ...

23 · 3 ◃ 23 · 5 ◃ 23 · 7 ◃ 23 · 9 ◃ ...

...

... ◃ 25 ◃ 24 ◃ 23 ◃ 22 ◃ 2 ◃ 1.

Tabla TS

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O sea, en el primer renglon de TS aparece la infinidad de numerosimpares. En el segundo, estos mismos impares pero multiplicados por 2;en el tercero, los impares multiplicados por 22, y ası sucesivamente (en elk+1-esimo renglon estan los impares multiplicados por 2k). Finalmente, enel renglon de hasta abajo aparecen todas las potencias de 2. Notese que estalista abarca a todos los numeros naturales y que el ultimo renglon esta enorden inverso al de todos los demas renglones.

El teorema de Sharkovskii es como sigue:

Teorema 3.7. i) Sean n y m numeros naturales. Si una funcion continuaf tiene un punto de periodo n y m esta colocado en alguna de estas dosposiciones: en el mismo renglon que n pero a la derecha de este, o en algunrenglon abajo del renglon que ocupa n, entonces f tiene un punto periodicode periodo m. Es decir, en este caso, periodo n implica periodo m.

ii) Sea n ∈ N. Si m es cualquier numero natural en el mismo renglonque n pero a la izquierda de este, o en un renglon arriba del que ocupa n,entonces existe una funcion continua f que tiene periodo n pero no tieneperiodo m.

iii) Por ultimo, existe una funcion continua que tiene puntos periodicosde periodo 2k para todo k ∈ N∪{0}, y no tiene puntos periodicos de ningunotro periodo.

Instamos al lector a detenerse un momento y reflexionar sobre el conte-nido de este impresionante teorema. En particular, observese que el teorema3.4 es un corolario inmediato de este resultado. Otro corolario interesantees que si una funcion tiene una infinidad de puntos periodicos de periodosdiferentes, necesariamente tiene puntos de periodo 2k para todo k ∈ N. Asi-mismo, si solo existe un numero finito de puntos periodicos, el periodo decada uno de estos es una potencia de 2.

La parte medular del teorema es, sin duda, el inciso i). Su demostracionconsiste esencialmente en un cuidadoso aprovechamiento de nuestra herra-mienta basica, las proposiciones 2.3 y 3.2. Sin embargo, tecnicamente escomo un tema en sı mismo.

Las demostraciones respectivas de las partes ii) y iii) del teorema, lasdesarrollamos en el capıtulo 4.

Por definicion, en el orden dado por Sharkovskii el sımbolo ◃ significalo siguiente: n ◃ m si, y solo sı, m esta en el mismo renglon que n pero

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a la derecha de este, o en algun renglon abajo del renglon que ocupa n.Asimismo, n ◃ m si, y solo si, n esta en el mismo renglon que m pero a laizquierda de este, o en algun renglon arriba del renglon que ocupa m. Es lomismo escribir n ◃ m que m ▹ n. Con esto entendido, las partes i) y ii) delteorema las podemos resumir como sigue:

i) Si n ◃ m, entonces Pern =⇒ Perm

ii) Si n ◃ m, entonces Perm ; Pern

Algunos autores (ver [4]) agregan el sımbolo 2∞ al inicio del ultimorenglon de la tabla S, con lo cual este renglon queda ası:

2∞ ◃ ... ◃ 25 ◃ 24 ◃ 23 ◃ 22 ◃ 2 ◃ 1.

Incorporando del modo natural este sımbolo al orden de Sharkovskii, latercera parte del teorema la podemos expresar de la siguiente manera:

iii) Per2∞ ; pern si n ◃ 2∞

Aquı, la notacion Per2∞ se refiere a la existencia de puntos de periodo2k para todo k ∈ N. Observese que con el orden ◃, todo subconjunto deN ∪ {2∞} tiene supremo.

Para m ∈ N∪{2∞}, definimos al conjunto S (m) de la siguiente manera:

S (m) = {k ∈ N | m ◃ k o m = k} .

Notese que S (m) es un subconjunto de N, no de N∪{2∞}. En particular,S (2∞) es el conjunto de todos los numeros naturales en el ultimo renglonde TS (es decir, de todas las potencias de 2).

Denotamos por Pf al conjunto de periodos de orbitas periodicas de unafuncion cualquiera f ; es decir,

Pf = {m ∈ N : f tiene una orbita de periodo m} .

Con esta terminologıa el teorema de Sharkovskii lo podemos formularcomo sigue.

Para toda funcion continua f : R → R cuyo conjunto de puntos periodi-cos es no vacıo, existe m ∈ N ∪ {2∞} tal que Pf = S (m). Recıprocamente,

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para todo m ∈ N ∪ {2∞} existe una funcion continua f : R → R tal quePf = S (m).

La primera afirmacion se sigue de la parte i) del teorema 3.7 dado quesi Pf = ∅, tomamos m como el supremo del conjunto

{k ∈ N ∪ {2∞} : k ∈ Pf}

en el orden de Sharkovskii; entonces Pf = S (m). La segunda afirmacion (elrecıproco de la primera) no es mas que la combinacion de las partes ii) yiii) del teorema 3.7.

Ejercicios

Ejercicio 3.1. Sean I = [0, 1] y f : I → I. Demostrar que si f es creciente,

entonces f solo puede tener puntos de periodo 1. Es decir, f no tiene puntos de

periodo n > 1.

Ejercicio 3.2. Demostrar que en efecto existen los puntos

ξ = max {x ∈ [α, β] | f(x) = a}

yη = mın {x ∈ [ξ, β] | f(x) = b}

que aparecen en la demostracion de la proposicion 3.2.

Demostrar, asimismo, que ξ < η y f( [ξ, η]) = [a, b].

Ejercicio 3.3. En relacion al ejemplo 3.5 comprobar que x1 = 32 es un punto de

periodo 2 y que, exceptuando la orbita de x1, todos los puntos en [1, 2] ∪ [3, 4] son

de periodo 4.

Ejercicio 3.4. En relacion al ejemplo 3.6, comprobar que la orbita de x0 = 17

bajo f2 es de periodo 3. Concluir de aquı que f2 tiene orbitas de periodo n para

todo numero natural n, y que por lo tanto f tiene orbitas de periodo 2n para todo

n ∈ N.

Ejercicio 3.5. En relacion al ejemplo 3.6, demostrar que la cerradura del conjunto

Per(f) es el intervalo [0, 2].

Ejercicio 3.6. Sin recurrir al Teorema de Sharkovskii, demostrar que Per4 =⇒Per2.

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Ejercicio 3.7. Sin recurrir al Teorema de Sharkovskii, demostrar que Per2n =⇒Per2j con 0 ≤ j ≤ n− 1.

Ejercicio 3.8. Demostrar que entre dos puntos sucesivos de una orbita de periodo

n > 1 existe un punto periodico de periodo menor que n. Sugerencia. La figura 3.1

puede ayudar.

Ejercicio 3.9. El conjunto {1, 2, 3, 4} es una orbita de periodo 4 en cada una de

las dos graficas que aparecen en la figura 3.10. Una de ellas es la grafica de una

funcion que tiene orbitas periodicas de todos los periodos y la otra es la grafica de

una funcion que solo tiene orbitas periodicas de periodos 1, 2 y 4. Identificar cual

es cual.

Figura 3.10: Dos opciones de recorrido en periodo 4.

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Capıtulo 4

La aventura de Sharkovskii II

Hay veces, en matematicas, que un teorema de existencia se puede de-mostrar mediante un proceso constructivo que no solo nos indica que tal ocual objeto existe sino que nos proporciona un procedimiento general paraencontrarlo.1 Tal es el caso de la segunda y tercera parte del Teorema deSharkovskii (teorema 3.7), los incisos ii) y iii): su demostracion consiste,en esencia, en exhibir ejemplos apropiados al caso. Esta es la tarea queabordamos en este capıtulo.

4.1. Los ejemplos prometidos

Para la parte ii) del Teorema de Sharkovskii, procedemos de la siguientemanera: Para cada numero natural n vamos a dar un ejemplo de una funcioncontinua que tiene periodo n pero no tiene periodo k si k ◃ n (por la partei) esta funcion tendra todos los periodos m con n ◃ m).

Empezamos con un ejemplo de una funcion para la cual existe periodo5 pero no existe periodo 3.

Ejemplo 4.1. Sea f : [1, 5] → [1, 5] una funcion lineal por partes definidapor f (1) = 5, f (3) = 2, f (4) = 1, f (2) = 4 y f (5) = 3 (figura 4.1).

Obviamente {1, 2, 3, 4, 5} es una orbita de periodo 5 de f .

De la grafica se sigue que, aplicando f tres veces, el intervalo [1, 2] recorreel siguiente camino:

1Por ejemplo, la demostracion del Teorema del Valor Intermedio usando el “metodode biseccion”.

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36 4.1. Los ejemplos prometidos

Figura 4.1: Periodo 5 no implica periodo 3.

[1, 2] → [4, 5] → [1, 3] → [2, 5]

Por la tanto, f3 ([1, 2]) = [2, 5], por lo que no puede existir un punto deperiodo 3 en [1, 2]. En forma analoga se descarta la existencia de periodo 3en los intervalos [3, 4] y [4, 5].

En [2, 3] no sirve esta argumentacion dado que f3 ([1, 2]) = [1, 5] ⊇[1, 2]. De hecho, esto muestra que en [2, 3] la funcion f3 tiene un puntofijo. Sin embargo, f es decreciente, respectivamente, en los intervalos [2, 3],f ([2, 3]) = [2, 4], y f ([2, 4]) = [1, 4] y dado que la composicion, un numeroimpar de veces, de funciones decrecientes es decreciente, se concluye que f3

es decreciente en el intervalo [2, 3]. En consecuencia, f3 tiene un unico puntofijo en dicho intervalo, que tiene que coincidir con el punto fijo de f . Por lotanto, f tampoco tiene un punto de periodo 3 en [2, 3].

Argumentando en forma parecida se puede comprobar que el siguienteejemplo es de una funcion que tiene periodo 7 pero no tiene periodo 5(ejercicio 1).

Ejemplo 4.2. Sea f : [1, 7] → [1, 7] una funcion lineal por partes definidapor f (1) = 7, f (2) = 6, f (3) = 5, f (4) = 3, f (5) = 2, f (6) = 1 y f (7) = 4.Ver figura 4.2.

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Capıtulo 4. La aventura de Sharkovskii II 37

Figura 4.2: Periodo 7 no implica perido 5.

Resulta conveniente introducir el concepto de grafica dirigida o digraficaasociada a una orbita periodica. Una manera de hacer esto es como sigue:supongamos que

x1 < x2 < ... < xn

son los puntos de una orbita periodica de periodo n de la funcion f .Para 1 ≤ j < n, hacemos Ij = [xj , xj+1]. Los vertices de una digrafica

asociada a esta orbita periodica van a ser los subintervalos Ij y dibujamosuna flecha de Ij a Ik, Ij → Ik, si, y solo si, f (Ij) ⊇ Ik.

Por ejemplo, supongamos que a es un punto de periodo 3 y su orbitaesta recorrida en el siguiente orden: a < f (a) < f2 (a) con f3 (a) = a.Entonces hacemos I1 = [a, f (a)], I2 =

[f (a) , f2 (a)

]y la digrafica asociada

a esta orbita es:

Figura 4.3: Digrafica 1− a.

Si la orbita esta recorrida como a < f2 (a) < f (a), entonces

I1 =[a, f2 (a)

], I2 =

[f2 (a) , f (a)

]

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y la digrafica asociada es:

Figura 4.4: Digrafica 1− b.

La importancia de una digrafica es que nos facilita deducir la combina-toria de una funcion.

Por ejemplo, de la digrafica 1−a se sigue que existe un ciclo de la formaI1 → I2 → I1, que es justamente lo que usamos para demostrar que

Per3 =⇒ Per2.

De hecho el teorema entero de Li-Yorke lo podemos deducir de la digrafi-ca correspondiente: Para n > 3, de la digrafica 1− a se concluye que existeun ciclo de la forma

I1 → I2 → I2 → ... → I2 → I1,

en el cual hemos repetido n− 1 veces al intervalo I2; esto implica que existeun punto fijo de fn en I2 y, con una pequena argumentacion adicional, seconcluye que es de periodo n.

El ejemplo 4.1 tambien lo podemos resolver con este recurso. En estecaso Ik = [k, k + 1] para k = 1, 2, 3 y 4. Siguiendo el recorrido de estosintervalos bajo f (vease la grafica de f en la figura 4.1) la digrafica asociadanos queda ası:

Figura 4.5: Digrafica 2− a

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Para ver mejor lo que ocurre reorganizamos la digrafica procurando se-guir la dinamica del modo siguiente: hacemos a = 3; la orbita de periodo 5nos queda en el orden

f3 (a) < f (a) < a < f2 (a) < f4 (a) .

Tomamos ahora los intervalos

J1 = [f (a) , a] , J2 =[a, f2 (a)

], J3 =

[f3 (a) , f (a)

]y

J4 =[f2 (a) , f4 (a)

].

Siguiendo el camino de estos intervalos bajo f la digrafica asociada es:

Figura 4.6: Digrafica 2− b

Notese que esta digrafica es un simple reacomodo de la digrafica 2− a.Es facil convencerse que la digrafica 2 − b no contiene un solo ciclo de

periodo 3; en concecuencia f no tiene periodo 3. Tambien es facil comprobarque la digrafica contiene ciclos de periodo n para cualquier n = 3.

Con una idea semejante, en el ejercicio 1 proponemos al lector desarrollarel ejemplo 4.2, comprobando que la digrafica asociada a la funcion de dichoejemplo esta dada por

Figura 4.7: Digrafica 3.

Ahora generalizamos los ejemplos previos como sigue.

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Una orbita periodica de un punto a de periodo n impar, n = 2m+1, sellama una orbita o ciclo de Stefan si esta recorrida en el orden

f2m (a) < f2m−2 (a) < ...f2 (a) < a < f (a) < ... < f2m−3 (a) < f2m−1 (a) ,

o en el orden inverso

f2m−1 (a) < f2m−3 (a) < ...f (a) < a < f2 (a) < ... < f2m−2 (a) < f2m (a) .

Notese que la orbita de periodo 5 del ejemplo 4.1 y la de periodo 7 delejemplo 4.2 son orbitas de Stefan.

Ejemplo 4.3. Param ∈ N, mostramos una funcion que tiene periodo 2m+1pero no tiene periodo 2m− 1.

En virtud de los ejemplos previos podemos suponer m > 3, aunque laconstruccion que damos es perfectamente general.

Sea n = 2m + 1 y f : [1, n] → [1, n] una funcion lineal por partes quepermute al conjunto {1, ..., n} como una orbita de Stefan.

Por ejemplo, definimos f (1) = 2m+ 1, f (m) = m+ 2, f (m+ 1) = m,f (2m) = 1 y f (2m+ 1) = m.

Con a = m + 1 esta orbita es recorrida en el orden inverso senaladoarriba.

Introducimos los intervalos J1 = [f (a) , a],

Ji =[f i (a) , f i−2 (a)

]para i impar ≥ 3 y menor que 2m+ 1, y

Ji =[f i (a) , f i+2 (a)

]para i par ≤ 2m.

La digrafica correspondiente esta en la figura 4.8.Como esta digrafica no contiene ciclos de periodo impar menor que n,

se concluye que f no tiene periodos impares menores que n.En conclusion: La funcion f definida tiene periodo 2m+1 pero no tiene

periodo 2m− 1. Por la aprte i) del Teorema de Sharkovskii, esta funcion notiene puntos periodicos de periodo impar menor que n = 2m+1, pero tienetodos los demas periodos.

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Figura 4.8: Digrafica 4.

Este ejemplo demuestra la parte ii) del Teorema de Sharkovskii para losnumeros impares, o sea, para todos los numeros del primer renglon de latabla TS.

Para demostrar el resto de la parte ii) requerimos nuevos utensilios, quepresentamos en la siguiente seccion.

4.2. La Duplicadora o Doble de una funcion

Dada cualquier funcion f : [0, 1] → [0, 1] es posible construir una funcionF , definida en el mismo intervalo, con las siguientes caracterısticas: excep-tuando un unico punto fijo, todos los puntos periodicos de F son de periodopar; ademas, F tiene un punto de periodo n = 2m si, y solo si, la funcionoriginal, f , tiene un punto periodico de periodo m.

En otras palabras, F duplica los periodos de los puntos periodicos de f .Por esta razon, a F se le suele llamar la doble o la duplicadora de f.

La construccion de F se puede llevar a cabo de diferentes maneras.Aquı procedemos como sigue: dividimos [0, 1] × [0, 1] en nueve cuadradosiguales; colocamos, a escala, la grafica de f en el cuadrado superior izquierdoy completamos la grafica de F como se muestra en la figura 4.10 (comparesecon el ejercicio 4).

Es facil convencerse que la regla de correspondencia para F es ası:

F (x) =

13f (3x) + 2

3 , si x ∈[0, 13

),

(2 + f (1))(23 − x

), si x ∈

[13 ,

23

],

x− 23 , si x ∈

[23 , 1

].

Notese que F tiene un unico punto fijo repulsor x0 ∈(13 ,

23

)y la orbita

de cualquier otro punto x = x0 en(13 ,

23

)eventualmente escapa de este

intervalo para introducirse en los intervalos complementarios.

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42 4.2. La Duplicadora o Doble de una funcion

Figura 4.9: La funcion a duplicar.

Figura 4.10: La funcion duplicada.

Como F[0, 13

]⊆

[23 , 1

]y F

[23 , 1

]=

[0, 13

], podemos concluir dos cosas:

Una, que los puntos en[0, 13

]o en

[23 , 1

]jamas escapan de la union de estos

dos intervalos, por lo que las orbitas de puntos en(13 ,

23

)que arribaron a

ellos, no pueden regresar a(13 ,

23

). En consecuencia, en

(13 ,

23

)no hay puntos

periodicos distintos al punto fijo x0. Otra, es que F solo puede tener puntosperiodicos de periodo par y estos solo pueden estar en

[0, 13

]o en

[23 , 1

].

Vamos a demostrar lo siguiente:

Proposicion 4.4. i) Si x ∈[0, 13

]y n ∈ N, entonces F 2n (x) = 1

3fn (3x).

ii) Si x es un punto de periodo n para f , entonces 13x es un punto de

periodo 2n para F .

iii) Si x es un punto periodico de F , entonces 3x o 3F (x) es un puntoperiodico de f (dependiendo si x ∈

[0, 13

]o si x ∈

[23 , 1

]).

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iv) Los puntos periodicos de f (de periodo n) y los correspondientes deF (de periodo 2n) tienen exactamente el mismo tipo de estabilidad.

Demostracion. i) Procedemos por induccion. Sea x ∈[0, 13

]. Entonces,

F 2 (x) = F (F (x)) = F

(2

3+

1

3f (3x)

);

como

2

3+

1

3f (3x) ≥ 2

3, F

(2

3+

1

3f (3x)

)=

(2

3+

1

3f (3x)

)− 2

3=

1

3f (3x)

y por lo tanto, F 2 (x) = 13f (3x). La afirmacion queda demostrada para

n = 1.La suponemos ahora valida para n. Entonces, para x ∈

[0, 13

],

F 2(n+1) (x) = F 2n(F 2 (x)

)= F 2n

(1

3f (3x)

)=

1

3fn

(3

(1

3f (3x)

))=

1

3fn (3x) .

Los incisos ii) y iii) son consecuencia inmediata del primer inciso. Laargumentacion del inciso iv) la dejamos al lector (ver ejercicio 3).

Recuerdese que denotamos por Pf al conjunto de periodos de orbitasperiodicas de una funcion cualquiera f .

Del resultado anterior concluimos que si F es la doble de f , entonces

PF = {2m : m ∈ Pf} ∪ {1} .

Mas aun, el numero de orbitas de periodo 2n de F es exactamente elnumero de orbitas de periodo n de f .

Con este resultado a la mano retornamos a Sharkovskii.Al final de la seccion anterior se vio como demostrar la parte ii) del

teorema de Sharkovskii para todos los numeros del primer renglon de TS(los impares); veamos ahora que podemos hacer, por ejemplo, con los nume-ros del segundo renglon. Especıficamente, tomemos n = 10. Queremos unafuncion que tenga periodo 10 pero no tenga periodo 6 (ni periodos impares,pero esto sera consecuencia de que no tenga periodo 6).

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Pues esta facil.Sea f la funcion del ejemplo 4.1 y F su doble.La funcion f tiene periodo 5 -y en consecuencia todos los demas periodos

que implica la parte i)- y no tiene periodo 3. Por lo tanto su doble, F , tieneperiodo 10, tiene todos los periodos n con 10 ◃ n, y no tiene periodo 6 (ypor consiguiente no tiene periodos impares).

Si queremos una funcion que tenga periodo n = 6 y periodo n para todo6 ◃ n, duplicamos una funcion que tenga periodo 3.

Si duplicamos la funcion del ejemplo 4.2 que tiene periodo 7 y no tieneperiodo 5, obtenemos una que tiene periodo 14 y no tiene periodo 10.

Esta claro que con este procedimiento podemos demostrar la parte ii)del Teorema de Sharkovskii para todos los pares de la forma 2m con mimpar, que son los que aparecen en el segundo renglon de TS : basta conduplicar una funcion que tenga periodo impar m pero no tenga periodo(impar) m− 2. Dicha funcion la podemos construir con base en una orbitade Stefan, como en el ejemplo anterior.

¿Y para los pares del tercer renglon? Pues duplicamos una funcion apro-piada del segundo renglon.

La idea general esta clara: para probar la parte ii) para un numero parque esta en renlon k-esimo, 1 < k, hay que duplicar una cierta funcionapropiada del renglon previo. Dejamos los detalles al lector (ejercicio 6).

Observese, sin embargo, que recurriendo a la duplicadora no podemosobtener el ultimo renglon de TS a partir de algun renglon previo. Peropodemos, por ejemplo, recurrir a la funcion del ejemplo 3.5: duplicandoesta funcion obtenemos una que solo tiene periodos 8, 4, 2 y 1. Duplicandoahora esta nueva funcion obtenemos otra que solamente tiene periodos 16,8, 4, 2 y 1. Y ası sucesivamente: dada una funcion que solo tiene periodos2j con j ∈ {0, 1, 2, ..., k}, la duplicamos y obtenemos otra que solo tiene,ademas de los anteriores, periodo 2k+1.

En conclusion de lo que hemos hecho hasta aquı: hemos demostradototalmente la parte ii) del Teorema de Sharkovskii.

Solo resta la demostracion de la parte iii): Existe una funcion que tienepuntos periodicos de periodo 2j para todo j ∈ N y no tiene puntos periodicosde otros periodos. Es decir, esta funcion tiene toda la infinidad de periodosdel ultimo renglon de TS pero ningun otro periodo. Construiremos una talfuncion en el siguiente ejemplo.

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Ejemplo 4.5. Una funcion con puntos periodicos de periodo 2k para todok ∈ N.

Sea I = [0, 1] y para cada k ∈ N sea Ik =[1− 1

3k, 1− 2

3k+1

].

Para cada k ∈ N tomamos una funcion continua fk : Ik → Ik que solotenga puntos periodicos de periodo 2j con 0 ≤ j ≤ k.

Definimos f : I → I haciendo f (1) = 1, f (x) = fk (x) si x ∈ Ik y lacompletamos linealmente en el complemento de los intervalos Ik. Entoncesf tiene La caracterıstica senalada (figura 4.11).

Figura 4.11: Todas las potencias del 2.

En efecto: notese que en cada uno de los intervalos que forman el com-plemento de los intervalos Ik la funcion f o coincide con la identica y = xo tiene a lo mas un punto fijo repulsor. Por lo tanto, f tiene un punto deperiodo m > 1 si, y solo si, fk tiene un punto de periodo m > 1 para algunk. Como fk solo tiene periodos que son potencia de 2 , se sigue que f tienepuntos de periodo 2k para todo k (ver tambien el ejercicio 7).

Con este ejemplo concluimos la demostracion de las partes ii) y iii) delTeorema de Sharkovskii.

En el capıtulo 13 veremos otra manera de construir una funcion con lascaracterısticas de la del ejemplo previo y con una dinamica muy interesante.

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Ejercicios

Ejercicio 4.1. Con una argumentacion semejante a la del ejemplo 4.1, demostrar

que la funcion del ejemplo 4.2 tiene periodo 7 pero no tiene periodo 5. Demostrar

ahora lo mismo, pero usando una digrafica asociada a la funcion.

Ejercicio 4.2. Para m ∈ N, usando una orbita de Stefan distinta a la del ejemplo

4.3, construir una funcion que tenga periodo 2m+1 pero no tenga periodo 2m−1.

Dibujar tambien la digrafica asociada.

Ejercicio 4.3. Demostrar el inciso iv) de la proposicion 4.4.

Ejercicio 4.4. Sea f : I = [0, 1] → I. Sea J = [0, 3]. Construimos una funcionF : J → J como sigue: Dividimos J×J en 9 cuadrados iguales; en la parte superiorizquierda colocamos la grafica de f , definimos F (2) = 0, F (3) = 1 y en el restodel intervalo J completamos linealmente la grafica.

Hacer un dibujo de F , dar su regla de correspondencia y demostrar una pro-

posicion analoga a la proposicion 4.4 para F . Concluir que F es, tambien, una

duplicadora.

Ejercicio 4.5. Dar un ejemplo de una funcion con periodo 342 pero sin periodos

previos en el orden de Sharkovskii.

Ejercicio 4.6. Escribir los detalles de la demostracion de la parte ii) para el

renglon k de TS.

Ejercicio 4.7. Demostrar que el conjunto de puntos periodicos de la funcion fdada en el ejemplo 4.5 es cerrado.

¿Podrıa dar un ejemplo semejante pero tal que su conjunto de puntos periodicos

no sea cerrado? (vea el Capıtulo 13)

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Capıtulo 5

Nociones basicas de calculo y topo-logıa

Al avanzar en el estudio de las distintas propiedades de los sistemasdinamicos discretos las tecnicas y las herramientas que utilizamos se vanhaciendo mas sofisticadas. Las demostraciones que presentamos en los si-guientes capıtulos, las observaciones y comentarios que haremos, y los ejer-cicios y problemas que plantearemos hacen necesario que nuestros lectorestengan a la mano una lista pequena, pero significativa, de definciones y re-sultados propios de los primeros cursos de calculo diferencial e integral y deun primer curso de introduccion a las nociones de la topologıa en la rectareal y en espacios metricos.

La meta de este capıtulo es proporcionar esa pequena lista. Es recomen-dable, principalmente para los lectores mas jovenes, recorrer esta parte concierto cuidado. No hay demostraciones, pero sı hay comentarios que puedenser interesantes y utiles.

La recompensa prometida es esta: todavıa hay una buena cantidad depropiedades de los sistemas dinamicos por ver. Quien tenga buenas bases sedara cuenta que varias de esas propiedades son, en verdad, sorprendentes.

5.1. Conjuntos abiertos y cerrados

Dados x ∈ X y ε > 0, definimos la bola de radio ε con centro en x ası:

BX(x, ε) = {y ∈ X : d(x, y) < ε} .

47

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48 5.1. Conjuntos abiertos y cerrados

Si no hay confusion, respecto al espacio del que estamos hablando, escribi-remos B(x, ε) en lugar de BX(x, ε).

Sean A ⊂ X, y x ∈ X. Decimos que x es punto interior de A si existeε > 0 tal que B(x, ε) esta contenida en A; decimos que x es punto exteriorde A si existe ε > 0 tal que B(x, ε) ⊂ X \ A = {x ∈ X : x /∈ A}; y decimosque x es punto frontera de A si para toda ε > 0 se tiene que

B(x, ε) ∩A = ∅, y B(x, ε) ∩ (X \A) = ∅.

El conjunto formado por todos los puntos interiores de A forma el inte-rior de A, el conjunto de todos los puntos exteriores de A forma el exteriorde A, y el conjunto de todos los puntos frontera de A forma la frontera deA.

Denotamos estos conjuntos por int(A), ext(A) y fr(A) respectivamente.Decimos que A es un conjunto abierto en X si todo punto a ∈ A es

punto interior de A, y decimos que A es cerrado en X si el conjunto X \Aes abierto.

Decimos que x ∈ X es punto de adherencia de A si para toda ε > 0 setiene que

B(x, ε) ∩A = ∅;

y decimos que x es punto de acumulacion de A si para toda ε > 0 se tieneque

(B(x, ε) \ {x}) ∩A = ∅.

Al conjunto de todos los puntos de adherencia de A le llamamos lacerradura, o clausura, de A, y lo denotamos con cl(A) o con A.

Decimos que x ∈ A es punto aislado de A si existe ε > 0 tal que

(B(x, ε) \ {x}) ∩A = ∅.

Los conjuntos ∅ y X son abiertos y cerrados a la vez. Para cada A ⊂ X,los conjuntos fr(A) y cl(A) son siempre cerrados. Ademas A es cerrado si ysolo si A = cl(A). Para cada A ⊂ X, int(A) es un conjunto abierto. AdemasA es abierto si y solo si A = int(A). Las demostraciones de estas y otrasobservaciones se le proponen al lector en la seccion de ejercicios.

Hay conjuntos que no son abiertos ni cerrados. Por ejemplo en la rectareal el conjunto formado por todos los numeros racionales, Q, no es abiertoni cerrado. Ver ejercicio 1.

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Capıtulo 5. Nociones basicas de calculo y topologıa 49

Sea A ⊂ R. Decimos que A es acotado si existe M > 0 tal que paratodo punto de a de A se tiene que |a| < M . Es decir, A es subconjuntode la bola B(0,M). De manera analoga, decimos que A subconjunto de Rn

esta acotado si existe M > 0 tal que A esta contenido en la bola B(0,M).

Una cubierta abierta de X es una coleccion de conjuntos abiertos cuyaunion es X. Si Y ⊂ X, una cubierta abierta de Y es una coleccion deconjuntos abiertos de X cuya union contiene a Y .

Ejemplo 5.1. La colecciones:

α =

{(−1,

1

2

),

(1

3,2

3

),

(1

2, 2

)},

y

β =

{(q − 1

4, q +

1

4

): q ∈ Q ∩ [0, 1]

},

son cubiertas abiertas de I = [0, 1] ⊂ R.

Sean α y β dos cubiertas abiertas deX. Decimos que β es una subcubiertade α si todo elemento de β es elemento de α, es decir, si β ⊂ α.

Decimos que el espacio X es compacto si toda cubierta abierta de Xtiene una subcubierta con una cantidad finita de elementos.

La afirmaciones contenidas en los siguientes dos teoremas son resultadosmuy conocidos. Sus demostraciones se pueden consultar en [31].

Teorema 5.2. Sea n ∈ N y sea A ⊂ Rn. Entonces A es compacto si y solosi A es cerrado y acotado.

Teorema 5.3. Sea {An} una coleccion infinita numerable de conjuntoscompactos no vacıos en R. Si para todo n en N se tiene que An+1 ⊂ An,entonces la interseccion

A =∞∩n=1

An

es un conjunto no vacıo.

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50 5.2. Sucesiones

5.2. Sucesiones

Sea N un numero natural. Sea JN = {1, 2, 3, . . . , N}.Sea A un subconjunto no vacıo de R. Decimos que A tiene N elementos

si existe una funcion biyectiva

f : A → JN .

En este caso decimos que A es finito, o que A tiene cardinalidad finita. Sipara toda N en N no es posible encontrar una funcion biyectiva de A aun conjunto de la forma JN , entonces decimos que A es infinito o tienecardinalidad infinita.

Resulta que los conjuntos A, no vacıos, contenidos en R, que son finitossiempre son acotados. Ası cualquier conjunto no acotado es infinito. Losconjuntos N, Q y R mismo son infinitos.

Si A no es finito pero existe una funcion biyectica

f : A → N,

decimos que A es infinito numerable. El conjunto de los numeros enteros, Zes infinito numerable. Tambien el conjunto de los numeros racionales Q esinfinito numerable, aunque la argumentacion de este hecho es un poco mascomplicada.

Si A es infinito y no es infinito numerable, decimos que A es infinito nonumerable. El conjunto R es infinito no numerable.

Una sucesion en X es una funcion de N en X, a : N → X. Es comundenotar a los elementos de la imagen de a, a(n), con an, y referirse a lasucesion usando este sımbolo: {an}∞n=1 o, simplemente, {an}.

Decimos que la sucesion {an}∞n=1 es convergente a x0 ∈ X, si para todoε > 0, existe N ∈ N tal que si n ≥ N , entonces d(an, x0) < ε. En este caso,escribimos:

lımn→∞

an = x0,

Es tradicional presentar la definicion de la continuidad de una funcionf : X → Y , en un punto x0 de X, en terminos de bolas de radio ε, concentro en f(x0), y de radio δ, con centro en x0.

En este trabajo hacemos tambien uso de la siguiente conocida equiva-lencia:

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Capıtulo 5. Nociones basicas de calculo y topologıa 51

Proposicion 5.4. Sean f : X → Y y x0 un punto en X. La funcion f escontinua en x0 si y solo si para toda sucesion en X, {an}, convergente a x0se tiene que

lımn→∞

f(an) = f(x0).

Sea {an}∞n=1 una sucesion en X. Decimos que {an} es una sucesion deCauchy si para todo ε > 0, existe N ∈ N tal que si m,n ≥ N , entoncesd (an,am) < ε.

No es difıcil demostrar que toda sucesion convergente es de Cauchy, verejercicio 8.

Por otro lado, existen espacios metricos donde es posible construir suce-siones de Cauchy que no son convergentes. Por ejemplo el intervalo abierto(0, 2) es un epacio metrico en el cual la sucesion {xn = 1

n} es de Cauchy y noes convergente a ningun punto en (0, 2). Otro ejemplo importante es el con-junto de lo numeros racionales Q. Resulta que existen sucesiones de Cauchyformadas por elementos de Q que no convergen a un numero racional, verejercicio 9.

Decimos que un espacio metrico X es completo si toda sucesion deCauchy en X es convergente a un punto de X. Los espacios completosresultan ser muy importantes cuando se trata de encontrar puntos cuyasorbitas, o(x, f), recorran grandes extensiones del espacio X. En el capıtulo8 desarrollamos con cuidado este tema.

Ejercicios

Ejercicio 5.1. Demostrar que Q no es abierto ni cerrado en R.

Ejercicio 5.2. Sea A ⊂ X. Demostrar que si B ⊂ A y B es abierto, entonces

B ⊂ int(A). Esto quiere decir que el int(A) es el conjunto abierto mas grande

contenido en A.

Ejercicio 5.3. Sean A y B subconjuntos de X. Demostrar que si A ⊂ B y B es

cerrado, entonces cl(A) ⊂ B. Esto quiere decir que la cerradura de A es el conjunto

cerrado mas pequeno que contiene a A.

Ejercicio 5.4. Exhibir una coleccion {An} infinita numerable de conjuntos novacıos en R tales que para todo n en N se tiene que An+1 ⊂ An, y tal que la

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52 5.2. Sucesiones

interseccion

A =∞∩

n=1

An

es el conjunto vacıo.

Ejercicio 5.5. Sean A y B dos subconjuntos de X. Supongamos que ambos son

compactos. Demostrar que tanto A ∪B como A ∩B son conjuntos compactos. Un

poco mas general, demostrar que la union finita de compactos es un conjunto com-

pacto, y que la interseccion finita o infinita de compactos es un conjunto compacto.

Ejercicio 5.6. SeanX un espacio metrico compacto y Y ⊂ X un conjunto cerrado.

Demostrar que Y es compacto.

Ejercicio 5.7. Sean {an}∞n=1 y {bn}∞n=1 dos sucesiones en X convergentes a a0 yb0 respectivamente. Demostrar que

lımn→∞

d (an, bn) = d (a0, b0) .

Ejercicio 5.8. Sea {an}∞n=1 una sucesion en X. Si {an}∞n=1 es convergente, en-

tonces es de Cauchy.

Ejercicio 5.9. Demostrar que existe una sucesion de Cauchy formada por solo

numeros racionales convergente a un numero irracional.

Ejercicio 5.10. Sean A y B dos subconjuntos de X. Supongamos que ambos soncompactos y no vacıos. Demostrar que si A ∩ B = ∅, entonces existen dos puntosa0 ∈ A y b0 ∈ B tales que para toda pareja de puntos a ∈ A y b ∈ B se tiene que

d(a, b) ≥ d(a0, b0).

Sugerencia. Define δ = ınf {d(a, b) : a ∈ A, b ∈ B} y observa que para cada n ∈ N,existen an ∈ A y bn ∈ B tales que

δ ≤ d (an, bn) < δ +1

n.

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Capıtulo 6

Una superestrella: el conjunto de Can-tor

En este breve capıtulo presentamos al famoso conjunto de Cantor y algu-nas de sus principales propiedades. Como seguramente es un tema conocidopor el lector, las demostraciones, por lo regular, las relegamos a los ejercicios.

Al parecer, desde su creacion, al conjunto de Cantor lo persigue la histo-ria de empezar siendo un ejemplo de algo quiza extrano y excepcional, paraterminar siendo parte del corazon de muchas teorıas, como la topologıa.

Lo mismo ocurre en sistemas dinamicos: es extraordinario el papel quejuega este conjunto, como procuraremos mostrar a lo largo de este libro.

6.1. Construccion

Recordemos que el conjunto de Cantor se construye de la siguiente ma-nera: Sea I = [0, 1]. A este intervalo lo llamamos C0.

En el primer paso, removemos el ”tercio de enmedio”de C0, o sea, elintervalo abierto

(13 ,

23

), que llamamos A0. Al complemento

I −A0 = C0 −A0

lo llamamos C1. Este conjunto C1 es la union de dos intervalos compactos,[0,

1

3

]y

[2

3, 1

],

de longitud 13 cada uno de ellos. La longitud total de C1 es 2

3 .

53

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54 6.1. Construccion

En el segundo paso, de cada uno de los dos intervalos de C1 removemos“el tercio de enmedio”, a saber,(

1

32,2

32

)y

(7

32,8

32

),

respectivamente. Ahora hacemos

A1 =

(1

32,2

32

)∪(

7

32,8

32

)y C2 = C1 −A1.

El conjunto C2 es la union de cuatro intervalos compactos,[0,

1

32

],

[2

32,1

32

],

[1

3,7

32

]y

[8

32, 1

],

de longitud 132

cada uno de ellos; es decir, la longitud total de C2 es(23

)2.

En general, en el paso k ≥ 1, de cada uno de los 2k−1 intervalos deCk−1 removemos “el tercio de enmedio”, que es un intervalo abierto de laforma

(m3k, m+1

3k

)para algun m ∈ N. Llamamos Ak−1 a la union de estos

2k−1 intervalos y definimos

Ck = Ck−1 −Ak−1.

El conjunto Ck es la union de 2k intervalos compactos, cada uno de ellos de

longitud 13k, es decir, la longitud total de Ck es

(23

)k(ver figura 6.1).

Notese que Ck+1 ⊂ Ck para todo k ∈ N.

Figura 6.1: El conjunto de Cantor C.

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Capıtulo 6. Una superestrella: el conjunto de Cantor 55

Definicion 6.1. El conjunto de Cantor, o conjunto de los tercios de enmedioexcluidos, se denota por C y se define como

C =

∞∩k=1

Ck.

Como C es una interseccion anidada de conjuntos compactos no vacıos,C es un compacto no vacıo. Es facil ver que tiene cardinalidad infinita:los extremos de cada uno de los 2k intervalos cerrados que constituyen Ck,k ∈ N, son elementos de C. En particular, las sucesiones

{13n

}y{1− 1

3n

}estan contenidas en C. Lo sorprendente, sin embargo es que estos no son,de manera alguna, todos los elementos de C: el hecho es que C tiene lacardinalidad de R (vease la proposicion 6.2).

Por otra parte, en contraste con esta cuestion de la cardinalidad, como

la longitud total de Ck es(23

)k, C ⊂ Ck, y

(23

)ktiende a 0 cuando k tiende

a infinito, llegamos a la conclusion que la longitud de C debe ser cero.

Notese tambien que C = I −∞∪

k=0Ak y que la longitud cero de C puede

deducirse de esta igualdad; ver ejercicio 1.

6.2. Algunas propiedades de C

Existe una caracterizacion muy importante de este conjunto utilizandoel sistema ternario o numeracion en base 3.

Por definicion, en base 3 un numero x ∈ [0, 1] se expresa como

x =

∞∑i=1

bi3i, con bi ∈ {0, 1, 2} para i ≥ 1.

Usando el punto “decimal” a este numero lo expresamos como

x = 0.b1b2b3...,

manteniendo en la cabeza que no se trata de la expansion decimal de x sinode la expansion en base 3.

Algunos ejemplos simples son los siguientes: 13 = 0.1, 2

3 = 0.2, 132

= 0.01,232

= 0.02, 432

= 0.11, 532

= 0.12, 732

= 0.21 y 832

= 0.22.

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56 6.2. Algunas propiedades de C

Las expansiones en base 3 (o en cualquier otra base) no son unicas: siuna tal expansion es finita, digamos x = 0.b1b2b3...bk y bk = 1, podemosreemplazar a este ultimo 1 por un 0 seguido de una “cola infinita” de 2s.

Por ejemplo,1

3= 0.1 = 0.0222... = 0.02,

1

32= 0.01 = 0.002,

4

32= 0.11 = 0.102

y7

32= 0.21 = 0.202.

Desde luego, la notacion 2 es una abreviatura para la infinidad de 2′s. Vertambien el ejercicio 2.

La caracterizacion referida es la siguiente.

Proposicion 6.2. Un numero x es elemento de C si, y solo si, existe unamanera de expresar a x en base 3 utilizando solamente 0s y 2s. Es decir,existe una sucesion b1, b2, b3,... con bi ∈ {0, 2} para i ∈ N, tal que

x =

∞∑i=1

bi3i.

Por ejemplo, 13 ∈ C y 1

3 = 0.1, pero a este numero lo podemos escribircomo 0.0222..., o sea, existe una manera de expresarlo con solo 0′s y 2′s.Analogamente, 1

32∈ C y 7

32∈ C y a ambos los podemos escribir con solo 0′s

y 2′s. En cambio, 432

o 12 no son elementos de C y no los podemos escribir

ası (ejercicio 4).

Demostracion. Examinemos como es la expansion ternaria de los numerosen el complemento del conjunto de Cantor. Por ejemplo, x ∈

(13 ,

23

)= A0

si, y solo si, su expansion en base 3 es de la forma x = 0.1b2b3..., con bk = 0para algun k > 1. Esto significa que el 1 no se puede remover (reemplazarlopor una cola infinita de 2′s) de dicha expansion.

Analogamente, x ∈(19 ,

29

)∪(79 ,

89

)= A1 si, y solo si, en base 3, x =

0.b11b3b4..., con b1 = 0 o 2 y bk = 0 para algun k > 2. Por lo tanto, el 1 nose puede remover de dicha expansion.

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Continuando de esta manera, para cada numero natural m tenemos x ∈Am−1 si, y solo si, la expansion ternaria de x es de la forma

x = 0.b1b2b3 . . . bmbm+1bm+2 . . . ,

con bj = 0 o 2 si 1 ≤ j < m, bm = 1 o 2, y bm+k = 0 para algun k ≥ 1 (vertambien el ejercicio 3).

Esta caracterizacion de los elementos de C es un hecho afortunado porvarias razones. Una de ellas es que de inmediato podemos producir unainfinidad de irracionales que son elementos de C (ejercicio 5). Otra, masinteresante, es que nos permite demostrar de una manera relativamentesencilla que la cardinalidad del conjunto de Cantor es la misma que la delos numeros reales.

Proposicion 6.3. La cardinalidad de C es la misma que la de R.

Demostracion. Basta con exhibir una funcion suprayectiva de C en [0, 1].En base 2 cada numero y ∈ [0, 1] es de la forma

y =

∞∑i=1

ti2i, con ti ∈ {0, 1} para i ≥ 1.

Definimos φ : C → [0, 1] como sigue: si x ∈ C, escribimos

x =

∞∑i=1

bi3i,

con bi ∈ {0, 2} para i ≥ 1, y le asociamos el numero φ (x) que, en base 2,esta dado por

y =

∞∑i=1

ti2i

donde ti =bi2 para i ≥ 1.

Es decir, atraves de φ cambiamos la representacion de los numeros (enC) de base 3 a numeros en base 2 en [0, 1]. Notese que φ esta bien definida.

Unos ejemplos ayudaran a entender como es esta funcion: en base 3tenemos 1

3 = 0.1 = 0.0222 . . ., por lo que φ(13

)es, en base 2, el numero

0.0111 . . . =

∞∑i=1

1

2i+1=

1

2.

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Asimismo,

φ

(1

32

)= φ (0.01) = φ

(0.002

)= 0.001 =

1

4

(el lector interesado podra dar otros ejemplos).

Es facil comprobar que φ es suprayectiva; tomemos cualquier numero yen base 2 en [0, 1]:

y =

∞∑i=1

ti2i,

con ti ∈ {0, 1} para i ≥ 1. Sea

x =

∞∑i=1

2ti3i

.

Entonces, x es un numero que en base 3 solo tiene 0′s y 2′s por lo que esun elemento de C y claramente φ (x) = y.

Sin embargo φ no es inyectiva; por ejemplo,

φ

(2

3

)= φ (0.2) = 0.1 =

1

2= φ

(1

3

)y

φ

(2

32

)= φ (0.02) = 0.01 =

1

4= φ

(1

32

).

En general, φ (x) = φ (y) si, y solo si, x y y son extremos de uno de losintervalos excuıdos en algun paso de la construccion de C (ejercicio 6). Enconsecuencia φ es a lo mas 2 a 1 y, ademas, es no decreciente de C a [0, 1].

La funcion φ es continua en C (ver ejercicio 7).

De la grafica de φ se desprende que hay una manera natural de exten-derla a una funcion continua en todo el intervalo [0, 1] definiendola comouna constante adecuada en cada uno de los tercios excluidos.

En efecto, llamemos Φ a esta extension de φ. Supongamos que x y y sonextremos de cierto intervalo J excuıdo en el k-esimo paso de la construccionde C. Como φ (x) = φ (y) = c para algun c ∈ [0, 1], definimos Φ (t) = c paratodo t ∈ J .

Ası, obtenemos Φ (t) = 12 si t ∈ A0.

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Si t ∈ A1, Φ (t) = 14 si t ∈

(132, 232

)y Φ (t) = 3

4 si t ∈(

732, 832

).

La idea esta clara (ver figura 6.2).

Esta funcion es popularmente conocida como la escalera del diablo. Invi-tamos al lector a reflexionar sobre las motivaciones para merecer ese nombre.

Figura 6.2: Escalera del diablo.

Desde el punto de vista topologico C es un conjunto compacto perotambien tiene otras cualidades. Una de ellas es que todos sus elementos sonpuntos de acumulacion de C.

Cuando todos los elementos de un conjunto cerrado son puntos de acu-mulacion de este, se dice que dicho conjunto es perfecto. El conjunto deCantor C es perfecto.

Un conjunto A ⊆ X, se define como una componente de X si A esconexo, pero no es un subconjunto propio de algun otro conexo en X (esdecir, si B es conexo en X y A ⊆ B, entonces A = B). En otras palabras,una componente de X es un subconjunto conexo maximo de X. Para mayorenfasis, a las componentes se les suele llamar tambien componentes conexas.

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Obviamente, si X es conexo, solo tiene una componente A = X. Y siX = Ck, k ≥ 0, cada uno de los 2k intervalos cerrados cuya union es Ck esuna componente de Ck.

Un espacio X se define como totalmente disconexo si cada componentede X es un punto.

Como en R los unicos conjuntos conexos son los intervalos, un conjuntoA ⊆ R es totalmente disconexo si, y solo si, no existe un intervalo con masde un punto contenido en A. El conjunto C es totalmente disconexo.

Estas dos afirmaciones las demostramos a continuacion.

Proposicion 6.4. El conjunto de Cantor es compacto, perfecto y totalmentedisconexo.

Demostracion. Ya tenemos que es compacto. Para ver que todos sus puntosson de acumulacion, sean x ∈ C y ε > 0. Sea V una vecindad de radioε de x. Como la longitud de Ck tiende a 0 cuando k tiende a infinito,para k adecuadamente grande, alguna componente de Ck que contiene a xesta contenida en V .

Sea y cualquier punto de C, distinto de x, que sea elemento de dichacomponente (por ejemplo, alguno de sus extremos tiene que ser diferente dex). Entonces y ∈ V y por lo tanto, x es punto de acumulacion de C.

Para ver que es totalmente disconexo, sean x = y dos elementos de C.Para k suficientemente grande es claro que x y y estan en dos componentesdistintas de Ck. En consecuencia x y y no pueden estar en la misma com-ponente de C. O sea que una componente de C no puede tener dos puntosdistintos, y la conclusion se sigue.

Ejercicios

Ejercicio 6.1. Comprobar que la longitud total de los tercios excluidos, es decir,

de∞∪k=0

Ak, es 1. Concluir de aquı que C debe tener longitud 0.

Ejercicio 6.2. Comprobar que, en base 3, si x = 0.b1b2b3 . . . bk y bk = 1, podemos

reemplazar a este ultimo 1 por un 0 y agregar una “cola infinita” de 2s. Es de-

cir, x = 0.b1b2b3 . . . bk−10222 . . . = 0.b1b2b3 . . . bk−102. Sugerencia. Usar una serie

geometrica.

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Ejercicio 6.3. (i) Para cada k ≥ 1 demostrar lo siguiente: x es un extremo de

cualquiera de los intervalos cerrados cuya union es Ck si, y solo si, en base 3, x es

de la forma x = 0.b1b2b3...bk con bk = 1 o 2 y bj = 0 o 2 si 1 ≤ j < k.

Ejercicio 6.4. Expresar 12 y 1

4 en base 3. Usar esto para comprobar que no son

elementos de C.

Ejercicio 6.5. Exhibir un irracional en C. Exhibir otro. Exhibir una infinidad.

Ejercicio 6.6. (i) Demostrar que φ (x) = φ (y) si, y solo si, para algun numero

natural k se tiene que x = 0.b1b2b3 . . . bk−102 y y = x = 0.b1b2b3 . . . bk−12. Es decir,

si y solo si x y y son extremos de uno de los intervalos excuıdos en algun paso de

la construccion de C.

Ejercicio 6.7. Demostrar que φ es continua en C. Sugerencia. Si x1 y x2 son extre-

mos de uno de los intervalos cerrados cuya union es Ck, la diferencia |φ (x)− φ (y)|puede hacerse tan pequena como se quiera, si k es suficientemente grande.

Queremos destacar ciertas simetrıas que se advierten en la construccionde C y que nos seran utiles en capıtulos posteriores. Una evidente es quetanto C como los conjuntos Ck son simetricos respecto al punto medio delintervalo I. Otra, es que en el paso k ≥ 1, el conjunto Ck tiene el mismonumero de componentes (2k−1 intervalos) en

[0, 13

]que en

[23 , 1

]. Otras las

presentamos en el siguiente ejercicio.

Por conveniencia, introducimos la siguiente terminologıa: Si A ⊆ R yα ∈ R definimos a los conjuntos αA y A+ α del modo siguiente:

αA = {αx | x ∈ A} ,A+ α = {x+ α | x ∈ A} .

Ejercicio 6.8. Sea k ≥ 1.

Si J es una componente de Ck (o de Ak−1) contenida en[0, 1

3

], entonces

J + 23 tambien es una componente de Ck (o de Ak−1) y esta contenida en[

23 , 1

].

Si J es una componente de Ck (o de Ak−1) contenida en[0, 1

3

], entonces 1

3J

es una componente de Ck+1 contenida en[0, 1

3

].

Si x ∈ Ck+1 ∩[0, 1

3

], entonces 3x esta en Ck.

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Comentarios

Una consecuencia de las afirmaciones contenidas en el ejercico 8 es quetoda componente de Ck+1 ∩

[0, 13

]es de la forma 1

3J con J una componentede Ck. Ello se debe, simplemente, al hecho de que Ck tiene 2k componentesy Ck+1 ∩

[0, 13

]tambien.

Por ultimo, observese que todo el proceso de construccion del conjunto deCantor se repite, a escala, en cada componente de Ck, k ≥ 0. Es decir, si J esuna tal componente, en el paso siguiente J se divide en tres partes igualesy se excluye el intervalo abierto que constituye el tercio de enmedio. Elcomplemento en J de este tercio excluido, o sea, los dos tercios restantes, sonahora componentes de Ck+1. Esto conduce a la propiedad de autosemejanzaque tiene el conjunto C: cualquier parte de C, ası sea a escala muy pequena,es esencialmente igual a todo el conjunto.

Este rasgo de C lo convierte en algo que se llama un conjunto fractal.En sistemas dinamicos los fractales abundan y el conjunto de Cantor es sinduda uno de los mas tıpicos. Para el lector interesado, consultar el libroFractals everywhere, escrito por M. F. Barnsley, [6].

Si X es un espacio metrico o topologico, un conjunto A ⊂ X es denso enninguna parte si el interior de la cerradura de A es vacıo: int

(A)= ∅. Como

C es cerrado, coincide con su cerradura, C = C. De la argumentacion parademostrar la proposicion 6.4 se sigue que C no contiene intervalos de masde un punto, en consecuencia no contiene puntos interiores. Por lo tanto Ces denso en ninguna parte.

Finalmente, no podemos dejar de mencionar que, topologicamente ha-blando, ¡todos los conjuntos compactos, perfectos y totalmente disconexosson esencialmente iguales entre sı y por lo tanto, iguales al conjunto deCantor C! En este sentido, el conjunto de Cantor es unico.

Esto se desprende del siguiente resultado general.

Teorema 6.5. Cualesquiera dos espacios metricos compactos, totalmentedisconexos y perfectos, son homeomorfos entre sı.

Corolario 6.6. Si X es un espacio metrico compacto, perfecto y totalmentedisconexo, X es homeomorfo al conjunto de Cantor C.

El corolario es una consecuencia inmediata del teorema y la demostra-cion, que queda completamente fuera de los alcances de este texto, puede

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consultarse en la pagina 99 del libro Topology escrito por J. G. Hocking y G.S. Young, ver [19]. En virtud de este teorema a cualquier conjunto compacto,perfecto y totalmente disconexo se le llama un conjunto de Cantor.

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Capıtulo 7

Una visita a la Tienda

Sea T : [0, 1] → [0, 1] la funcion Tienda.

La riqueza dinamica presente en la Tienda no se limita a lo observadohasta ahora. En este capıtulo conoceremos nuevas propiedades dinamicasde T .

Por el Teorema de Sharkovskii sabemos que T tiene puntos periodicosde todos los periodos. Ası Per(T ) tiene cardinalidad infinita. Veremos queeste conjunto es denso en el intervalo [0, 1], y que todos sus elementos sonnumeros racionales.

7.1. Mas propiedades de T : [0, 1] → [0, 1]

La grafica de T en el intervalo [0, 1] esta formada por dos segmentos derecta. El primero, el que esta sobre el intervalo [0, 12 ], tiene pendiente 2, elsegundo, sobre el intervalo [12 , 1], tiene pendiente −2.

La grafica de la composicion T ◦ T = T 2 esta formada por cuatro seg-mentos cada uno de ellos con pendiente 22 y −(22), usando estos valores demanera alternada.

Para dibujar la grafica de T 3 partimos el intervalo [0, 1] en 23 pequenosintervalos de igual longitud. Sobre cada uno de ellos, digamos sobre

[l23, l+1

23

],

ponemos un segmento de recta cuya pendiente toma el valor 23 o el valor−(23).

Observemos que

T 3 :

[l

23,l + 1

23

]→ [0, 1]

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66 7.1. Mas propiedades de T : [0, 1] → [0, 1]

es un homeomorfismo que estira el intervalo[

l23, l+1

23

]por un factor de 23.

Ver figura 7.1.

Figura 7.1: Transformacion del intervalo[

l23, l+1

23

]en [0, 1] con T 3.

Esta misma situacion se presenta cuando dibujamos la grafica de Tn.Claro, ahora partimos en intervalo [0, 1] en 2n pequenos intervalos, y encada uno de ellos la grafica de Tn utiliza segmentos de recta de pendiente2n o de pendiente −(2n).

El siguiente lema contiene la demostracion de las afirmaciones que hemospresentado. El lema es importante ya que nos permitira descubrir otras muyinteresantes propiedades de la funcion T : [0, 1] → [0, 1].

Lema 7.1. Para todo n ∈ N y para cada ℓ ∈ {0, 1, 2, ..., 2n − 1} se tieneque:

Tn|[ ℓ2n

, ℓ+12n ] :

[ℓ

2n,ℓ+ 1

2n

]→ [0, 1] (7.1)

es un homeomorfismo. En cada intervalo[

ℓ2n ,

ℓ+12n

]la grafica de Tn es un

segmento de recta cuya pendiente es 2n, si ℓ es par, y es −2n, si ℓ es impar.

Demostracion. Nuestro argumento utiliza induccion matematica.Veamos que la afirmacion es cierta para n = 1. En este caso, ℓ ∈ {0, 1}.Es inmediato que T :

[0, 12

]→ [0, 1] es homeomorfismo ya que en este

intervalo T (x) = 2x. De manera analoga, es inmediato que T :[12 , 1

]→ [0, 1]

es homeomorfismo ya que en este conjunto, T (x) = 2− 2x. Las pendientes

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Capıtulo 7. Una visita a la Tienda 67

de los segmentos que forman la grafica de T cumplen claramente con loprometido.

Suponemos valida la afirmacion para n = k, y demostramos el cason = k + 1.

Sea ℓ ∈{0, 1, 2, ..., 2k+1 − 1

}.

Observemos que [ℓ

2k+1,ℓ+ 1

2k+1

]⊂

[0,

1

2

]si ℓ ≤ 2k − 1, y [

ℓ

2k+1,ℓ+ 1

2k+1

]⊂

[1

2, 1

]si ℓ ≥ 2k.

Caso 1.

Si ℓ ≤ 2k − 1, entonces la funcion T k+1 se puede expresar ası:[ℓ

2k+1,ℓ+ 1

2k+1

]T−→

[ℓ

2k,ℓ+ 1

2k

]Tk

−→ [0, 1] .

Ambas funciones son homeomorfismos. La segunda de ellas, T k, lo espor hipotesis de induccion. Por tanto

T k+1∣∣∣[

ℓ

2k+1 ,ℓ+1

2k+1

] :[

ℓ

2k+1,ℓ+ 1

2k+1

]→ [0, 1]

es un homeomorfismo.

Si ℓ es par, entonces la pendiente en[

ℓ2k+1 ,

ℓ+12k+1

]de la grafica de T k+1 es

el producto de 2 por 2k, es decir 2k+1. Si ℓ es impar, entonces tal pendientees 2 por −2k = −2k+1.

Caso 2.

Si ℓ ≥ 2k, entonces[ℓ

2k+1,ℓ+ 1

2k+1

]T−→

[2k+1 − ℓ− 1

2k,2k+1 − ℓ

2k

]Tk

−→ [0, 1] .

Es inmediato que la primera funcion es un homeomorfismo. Y como

2k ≤ ℓ ≤ 2k+1 − 1,

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entonces−2k ≥ −ℓ ≥ 1− 2k+1,

2k+1 − 2k − 1 ≥ 2k+1 − ℓ− 1 ≥ 0,2k − 1 ≥ 2k+1 − ℓ− 1 ≥ 0.

Ası la segunda funcion, gracias a la hipotesis de induccion, tambien esun homeomorfismo.

Ahora, si ℓ es par, entonces la pendiente de la grafica de T k+1 en elintervalo

[ℓ

2k+1 ,ℓ+12k+1

]es −2 por −2k, es decir, 2k+1. Esto sucede ya que

2k+1 − ℓ− 1 es un numero impar.

Por otro lado, si ℓ es impar la pendiente de la grafica es (−2)(2k) =−2k+1 ya que 2k+1 − ℓ− 1 es, en este caso, un numero par.

La accion de la iteracion Tn en cada intervalo de la forma[

ℓ2n ,

ℓ+12n

]tiene

consecuencias en todos los intervalos abiertos contenidos en [0, 1]. La pro-posicion 7.2 muestra que todos los intervalos crecen al aplicarles la funcionTienda una y otra vez. Crecen tanto que en una cantidad finita de aplica-ciones la imagen correspondiente se convierte en todo el intervalo [0, 1].

Proposicion 7.2. Sea (a, b), a < b, tal que (a, b) ⊂ [0, 1]. Entonces existeN ∈ N tal que TN (a, b) = [0, 1].

Demostracion. Como a < b, existe N ∈ N tal que 12N

< b−a2 . Se sigue que

existe un valor ℓ en el conjunto{0, 1, 2, ..., 2N − 1

}tal que

[ℓ2N

, ℓ+12N

]⊂ (a, b).

Ahora, gracias al lema 7.1, tenemos que TN (a, b) = [0, 1].

Otra consecuencia interesante del lema 7.1 esta contenida en el siguientecorolario. Dejamos su demostracion al lector, ver ejercico 3.

Corolario 7.3. Sean n ∈ N y ℓ ∈ {0, 1, 2, ..., 2n − 1}. Si x ∈[ℓ

2n,ℓ+ 1

2n

],

entonces existe µ ∈ Z tal que

Tn (x) = µ+ (−1)ℓ 2nx.

Si x ∈ [0, 1] es un punto periodico bajo la funcion T , entonces existe ntal que

Tn(x) = x.

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El corolario 7.3 nos dice que

µ+ (−1)ℓ 2nx = x,

para algun numero entero µ. Por lo tanto x es racional.En conclucion, el conjunto Per (T ) esta contenido en Q ∩ [0, 1] .En el ejercicio 4 el lector se dara cuenta de que no todo numero racional

del intervalo [0, 1] es punto periodico bajo T . De hecho existe una infinidadde racionales en el [0, 1] que no son puntos periodicos.

Definicion 7.4. Sea A un intervalo en R. Sea B ⊂ A. Decimos que B esdenso en A si para todo subintervalo abierto de A, digamos (α, β), existeb ∈ B tal que b ∈ (α, β).

Un conjunto B denso en un intervalo [a, b], con a < b, debe tener unainfinidad de elementos, ver ejercicio 1. Ademas los elementos de B estandistribuidos por todo el intervalo [a, b].

En el capıtulo 3 observamos que la funcion T tiene puntos periodicosde todos los periodos en el intervalo [0, 1]. Esto implica que el conjuntoPer(T ) tiene cardinalidad infinita. La proposicion 7.5 muestra que estospuntos estan presentes en todas las zonas de [0, 1].

Proposicion 7.5. El conjunto Per (T ) es denso en [0, 1].

Demostracion. Sea (a, b) ⊂ [0, 1], a < b. Procediendo como en el corolario7.2, podemos tomar N ∈ N y ℓ ∈

{0, 1, 2, ..., 2N − 1

}tales que el intervalo[

ℓ2N

, ℓ+12N

]esta contenido en (a, b).

Como TN([

ℓ2N

, ℓ+12N

])= [0, 1], podemos aplicar la proposicion 2.3 a la

funcion TN . Ası concluimos que existe x0 ∈[

ℓ2N

, ℓ+12N

]⊂ (a, b) tal que

TN (x0) = x0.

Ejercicios

Ejercicio 7.1. Demostrar que si B es un conjunto denso en un intervalo [a, b], con

a < b, entonces B tiene cardinalidad infinita.

Ejercicio 7.2. Para la funcion Tienda, T , exhibir un punto periodico tal que su

periodo sea exactamente 763.

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Ejercicio 7.3. Sean n ∈ N y ℓ ∈ {0, 1, 2, ..., 2n − 1}. Sea x ∈[ℓ

2n,ℓ+ 1

2n

]. Demos-

trar queTn (x) = µ+ (−1)

ℓ2nx.

donde µ es un numero entero.

Ejercicio 7.4. Demostrar que Per (T ) = Q∩ [0, 1]. Mas aun, mostrar un conjunto

infinito, contenido en [0, 1]∩Q, tal que ninguno de sus elementos es punto periodico

bajo T .

Ejercicio 7.5. Demostrar que para todo x ∈ Q ∩ [0, 1] se tiene que o(x, T ) solovisita una cantidad finita de puntos. Sugerencia. Considerar el conjunto

A =

{0,

1

q,2

q,3

q, ...,

q − 1

q, 1

},

y observar que T (A) ⊂ A.

Ejercicio 7.6. Sea x ∈ [0, 1] tal que x no es racional. Demostrar que la orbita

o(x, T ) visita una cantidad infinita de puntos. Sugerencia. Demostrar que para cada

pareja n y m en N con n = m, se tiene que Tn(x) = Tm(x).

Ejercicio 7.7. Sean (a, b) y (c, d) dos intervalos abiertos contenidos en [0, 1] tales

que a < b < c < d. Demostrar que existe x0 ∈ Per(T ) tal que o(x0, T ) ∩ (a, b) = ∅y o(x0, T ) ∩ (c, d) = ∅.

Ejercicio 7.8. Demostrar que para cada punto x0 ∈ [0, 1] se tiene que el conjunto∪∞n=1 T

−n (x0) es denso en el intervalo [0, 1].

Sean A y B subconjuntos de R2 tales que B ⊂ A. Decimos que B esdenso en A si para todo a ∈ A y ε > 0, existe b en B tal que d

(a, b

)< ε.

Ejercicio 7.9. Sean A = [0, 1] × [0, 1] ⊂ R2 y F : A → A la funcion dada porF (x, y) = (T (x), T (y)).

Demostrar que el conjunto Per(F ) es denso en A.

¿Cuantas orbitas periodicas de periodo 3 tiene F?

Ejercicio 7.10. Sea g : [0, 1] → [0, 1] la funcion definida en el ejemplo 3.6. De-

mostrar que el conjunto Per(g) es denso en [0, 1].

Ejercicio 7.11. Consideremos la funcion f : [0, 1] → [0, 1] lineal por partes defi-nida por f(0) = 0, f( 13 ) = 1, f( 23 ) = 0 y f(1) = 1. Su grafica tiene cierto parecidocon la Tienda, la diferencia es que ahora se utilizan tres segmentos de recta cuyaspendientes son 3, −3 y 3. Demostrar lo siguiente:

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f tiene puntos periodicis de todos los periodos.

Per(f) forma un conjunto denso en [0, 1].

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Capıtulo 8

Transitividad topologica

Presentamos en este capıtulo la transitividad topologica. Es interesanteque esta propiedad se introduzca en terminos de la dinamica o movimientode puntos aislados, y de su relacion con los conjuntos abiertos de X. Enesencia una funcion es transitiva si para cada par de conjuntos abiertosno vacıos, existe un punto cuya orbita pasa por ambos conjuntos. Algunasde las funciones que ya conocemos tienen esta propiedad. En particular, lafuncion Tienda es transitiva.

En este capıtulo veremos que si una funcion f : X → X es transitiva,entonces existe un punto en X cuya orbita forma un conjunto denso.

La existencia de orbitas densas bajo f nos dice que hay puntos en Xcuya dinamica no es nada simple. Un punto x0 con estas caracterısticas gozade la siguiente propiedad: su orbita visitara, en esencia, todos los rinconesdel espacio X.

Para demostrar este importante resultado necesitamos recordar algunaspropiedades de las sucesiones. Tambien traeremos a colacion el Teorema deBaire.

8.1. Funciones transitivas

Definicion 8.1. Sea f : X → X. Decimos que f es topologicamente transi-tiva en X (transitiva en X) si para todo par de conjuntos abiertos no vacıosde X, digamos U y V , existe n ∈ N tal que fn (U) ∩ V = ∅.

Hemos interpretado a la funcion f : X → X como la que define elmovimiento: Un objeto que esta en la posicion x ∈ X, estara, una unidad

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74 8.1. Funciones transitivas

de tiempo despues, en la posicion f(x); dos unidades despues en la posicionf2(x), y ası sucesivamente. Bajo esta optica una funcion transitiva f da vidaa una dinamica muy interesante. Hablando de manera intuitiva, una funcionque es transitiva mueve puntos de cualquier region U de X a cualquier otraregion V de X. No lo hace de manera inmediata, es decir, no necesariamentea la primera aplicacion de f hay puntos de U que van a dar a V . Perolo que sı es seguro es que aplicando f una cantidad suficiente de vecessı habra puntos de U que viajen a V .

Proposicion 8.2. La funcion T : [0, 1] → [0, 1] es transitiva en [0, 1].

Demostracion. Sean U y V dos subconjuntos de [0, 1] abiertos y no vacıos.Entonces existe un intervalo abierto (a, b), a < b, contenido en U . Por elcorolario 7.2, existe N ∈ N tal que TN (a, b) = [0, 1]. De aquı se sigue queTN (U) = [0, 1] y, por tanto, TN (U) ∩ V = ∅.

Sea f : X → X una funcion transitiva en X. No es difıl demostrar quedados tres conjuntos abiertos no vacıos en X, existe x ∈ X tal que suorbitalos visita. De hecho la siguiente afirmacion se cumple: Sea N un numeronatural fijo. Considera, en X, N conjuntos abiertos no vacıos, U1, . . . , UN ,que sean ajenos por parejas. Entonces existe un punto x0 en X tal que suorbita visita todos estos conjuntos. En el ejercicio 5 se le pide al lector losdetalles de la demostracion.

De alguna manera el ejercicio 5 nos dice que la condicion de transitividadimplica la existencia de puntos en X cuya orbita bajo f recorre casi todo elespacio. A partir de este hecho, suena interesante discutir la posible relacionentre el concepto de transitividad y la existencia de al menos un punto cuyaorbita forme un conjunto denso en X. Demostrar que para ciertos espaciosX la transitividad sı implica la existencia de al menos una orbita densa esla meta principal de las siguientes dos secciones.

Si bien ya hemos comentado sobre el concepto de densidad en intervalosde la recta real, es conveniente tener una definicion un poco mas general,una definicion que abarque los espacios metricos.

Definicion 8.3. Sea X un epacio metrico y sea D ⊂ X. Decimos que Des denso en X si para todo punto x en X y para toda ε > 0, se tiene queexiste y en D tal que d(x, y) < ε.

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Capıtulo 8. Transitividad topologica 75

8.2. Espacios completos y el Teorema de Baire

En el capıtulo 5 mencionamos los espacios completos. Recordemos queun espacio metrico X es completo si toda sucesion de Cauchy en X esconvergente a un punto de X.

Ejemplos de espacios metricos completos son los siguientes: la recta realR, el plano R2, el intervalo [0, 1], los numeros complejos C, la circunferenciaS1 = {z ∈ C : |z| = 1}.

Ejemplos de espacios metricos que no son completos son los siguientes:los numeros racionales Q, los puntos en el plano donde ambas coordenadasson racionales Q×Q, el intervalo abierto (0, 1), los racionales que pertenecenal intervalo cerrado unitario Q ∩ [0, 1], los numeros irracionales R \ Q, elcomplemento en C de la circunferencia unitaria C \ S1.

Los conceptos de compacidad y completez estan estrechamente relacio-nados. Para descubrir algunos aspectos de esta coneccion recordamos elconcepto de subsucesion.

Dada una sucesion {an}∞n=1 en X, decimos que {bj}∞j=1 es una subsuce-

sion de {an}∞n=1 si se cumplen las siguientes dos condiciones:

Para todo j, existe nj tal que bj = anj .

Si j < k, entonces nj < nk.

Proposicion 8.4. Toda sucesion {an}∞n=1 en un espacio metrico y compactoX tiene una subsucesion convergente.

Demostracion. SeanX un espacio metrico compacto y {an}∞n=1 una sucesioncontenida en el.

Caso 1. Existe x0 en X tal que para cada δ > 0 se tiene que la cardina-lidad del conjunto

Aδ = {n ∈ N : an ∈ B (x0, δ)}

es infinita. Entonces, gracias al ejercicio 7, existe una subsucesion de {an}∞n=1

que es convergente a x0.

Caso 2. Supongamos ahora que para todo x ∈ X existe un radio δx > 0tal que la cardinalidad del conjunto

A (x, δx) = {n ∈ N : an ∈ B (x, δx)}

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76 8.2. Espacios completos y el Teorema de Baire

es finita.Es inmediato que la coleccion {B (x, δx) : x ∈ X} forma una cubierta

abierta de X. Como X es compacto existen k ∈ N, x1, x2, . . . , xk en X, yδx1 > 0, δx2 > 0, . . . , δxk

> 0, tales que

X =

k∪j=1

B(xj , δxj

).

Como la sucesion {an}∞n=1 esta contenida en X se tiene que

N = ∪kj=1

{n ∈ N : an ∈ B

(xj , δxj

)}.

Pero esto es una contradiccion ya que la cardinalidad de cada conjunto{n ∈ N : an ∈ B

(xj , δxj

)}es finita. Por lo tanto este segundo caso no es posible.

Proposicion 8.5. Todo espacio metrico y compacto X es completo.

Demostracion. Sean X un espacio metrico y compacto, y {an}∞n=1 una su-cesion de Cauchy. Por la proposicion 8.4, la sucesion {an}∞n=1 tiene una sub-sucesion convergente, digamos a x0. Por el ejercicio 8 la sucesion {an}∞n=1

tambien converge al mismo punto.

El siguiente teorema es conocido como el Teorema de Baire. La demos-tracion que presentamos se basa en la que ofrece H. L. Royden en el libroReal Analysis, ver [28].

Teorema 8.6. Sea X un espacio metrico completo. Sea {An}∞n=1 una colec-cion de conjuntos no vacıos, abiertos y densos en X. Entonces

∩∞n=1An = ∅.

Demostracion. Sea x1 ∈ A1 y sea r1 > 0 tal que S1 = B (x1, r1) ⊂ A1.Como A2 es denso en X, entonces existe x2 ∈ A2∩S1. Dado que A2∩S1

es abierto, existe r2,

0 < r2 <1

2(r1 − d (x1, x2)) ≤

r12,

tal que S2 = B (x2, r2) ⊂ Cl (S2) ⊂ A2 ∩ S1.

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Como A3 es denso en X, existen x3 ∈ A3 ∩ S2, y r3,

0 < r3 <1

2(r2 − d (x2, x3)) ≤

r22,

tales que S3 = B (x3, r3) ⊂ Cl (S3) ⊂ A3 ∩ S2.

Siguiendo este procedimiento obtenemos tres cosas:

una sucesion de puntos en X, {xn}∞n=1,

una coleccion de conjuntos abiertos {Sn}∞n=1, y

una sucesion de numeros positivos {rn}∞n=1 tales que para todo n ∈ Nse tiene que xn ∈ Sn, y las siguientes dos condiciones se cumplen:

0 < rn ≤(1

2

)n−1

r1,

y

Cl (Sn+1) ⊂ An+1 ∩ Sn ⊂ Sn ⊂ Cl (Sn) .

SeaN ∈ N. Observemos que si n ym son mayores o iguales aN , entoncesxn, xm ∈ SN . Por lo tanto, d (xn, xm) ≤ 2rN . Ası la sucesion {xn}∞n=1 es unasucesion de Cauchy (ya que lım

n→∞rn = 0).

Sea x0 ∈ X tal que lımn→∞

xn = x0.

Sea N ∈ N, fijo. Observemos que para toda n > N se tiene que xn eselemento de SN+1. Esto implica que x0 ∈ Cl (SN+1) ⊂ SN ⊂ AN .

Por lo tanto, para toda n ∈ N se tiene que x0 ∈ An. Es decir, x0 ∈∞∩n=1

An.

Ası la interseccion∞∩n=1

An es distinta del vacıo.

Sea B ⊂ X. Recordemos que B es denso en ninguna parte si int (Cl (B))es el conjunto vacıo.

Proposicion 8.7. Sea X un espacio metrico completo y sea {Bn}∞n=1 unacoleccion numerable de conjuntos, en X, densos en ninguna parte. Entonces∞∪n=1

Bn = X.

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78 8.3. Las orbitas densas sı existen

Demostracion. Como para todo n ∈ N se tiene que int (Cl (Bn)) = ∅, en-tonces los conjuntos An = X \ Cl (Bn) forman una coleccion de conjuntosabiertos y densos en X.

Por el teorema 8.6, existe x0 ∈∞∩n=1

An. De aquı se sigue que para todo

n ∈ N, x0 /∈ Bn. Por tanto x0 /∈∞∪n=1

Bn.

Decimos que una funcion f : X → X es una contraccion si existe r con0 < r < 1, tal que para toda pareja de puntos, x, y, en X se tiene qued (f(x), f(y)) ≤ rd(x, y).

El siguiente resultado es conocido y es muy importante. La demostracionse puede consultar en el libro de H. L. Royden Real Analysis, ver [28].

Teorema 8.8. Sea X un espacio metrico completo. Si f : X → X es unacontraccion, entonces f tiene un unico punto fijo, digamos x0, tal que paratodo punto x ∈ X se tiene que lımn→∞ fn(x) = x0.

8.3. Las orbitas densas sı existen

La siguiente afirmacion relaciona la transitividad topologica con la exis-tencia de orbitas densas en un sistema dinamico discreto dado.

Teorema 8.9. Sea X un espacio metrico compacto y sea f : X → X unafuncion transitiva en X. Entonces existe x0 ∈ X tal que la o(x0, f) formaun conjunto denso en X.

Demostracion. Como X es compacto, dado ε1 = 1, existe una cantidad fini-ta de puntos x11, x21, ..., xn11 en X, y una coleccion finita de bolas abiertas,tales que:

X =

n1∪j=1

B (xj1, 1) .

De hecho, para cada k ∈ N, fijo, existe una cantidad finita de puntosx1k, x2k, ..., xnkk, y sus correspondientes bolas, tales que:

X =

nk∪j=1

B

(xjk,

1

k

).

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Sea {Ui}∞i=1 la coleccion formada por todas estas bolas abiertas,

U1 = B (x11, 1) , U2 = B (x21, 1) , . . . , Un1 = B (xn11, 1) ,Un1+1 = B

(x12,

12

), Un1+2 = B

(x22,

12

), . . . ,

Un1+n2+1 = B(x13,

13

), . . .

. . .

Por cada i ∈ N consideremos el conjunto:

Ai =

∞∪m=1

f−m (Ui) .

Observemos que cada Ai es un conjunto abierto y denso en X (verejercicio 4).

Entonces, por el Teorema de Baire, se tiene que:

A =

∞∩i=1

Ai = ∅.

Sea x0 ∈ A. Afirmamos que laorbita o (x0, f) forma un conjunto densoen X.

Sea U ⊂ X un conjunto abierto y distinto del vacıo. Sean y0 ∈ U yε0 > 0 tales que B (y0, ε0) ⊂ U .

Sea k ∈ N tal que 1k < ε0

2 . Observemos que en la coleccion {Ui}∞i=1 unade las bolas de radio 1

k contiene a y0, por lo tanto existe 1 ≤ j ≤ nk tal que:

y0 ∈ B

(xjk,

1

k

)⊂ B (y0, ε0) ⊂ U.

Como x0 ∈ A, entonces x0 ∈∞∪

m=1f−m

(B(xjk,

1k

)).

Por lo tanto, existe n ∈ N tal que

fn(x0) ∈ B

(xjk,

1

k

)⊂ U.

Es decir, la orbita o (x0, f) tiene un elemento en U y, por lo tanto, ella formaun conjunto denso en X.

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Si el espacio X no es completo, entonces la transitividad de f : X → Xno implica la existencia de una orbita densa. Convencer al lector que estaafirmacion es cierta es la meta del ejercicio 16.

El intervalo [0, 1] es un conjunto metrico y compacto. Como la Tienda,T : [0, 1] → [0, 1], es una funcion transitiva, entonces existe x0 en [0, 1] talque su orbita es densa en [0, 1]. La siguiente proposicion muestra que estepunto no puede ser un numero racional.

Proposicion 8.10. Sea x0 ∈ [0, 1] tal que la o (x0, T ) es un conjunto densoen [0, 1]. Entonces x0 /∈ Q.

Demostracion. Sea x0 tal que su orbita bajo T es densa en [0, 1]. Si x0 ∈ Qy x0 = 0, existen p, q ∈ N tales que x0 =

pq , p ≤ q. Consideremos el conjunto

A =

{0,

1

q,2

q,3

q, ...,

q − 1

q, 1

}.

Tenemos que x0 ∈ A, y como T (A) ⊂ A (ver ejercicio 5) la cardinalidadde la o (x0,T ) es finita, lo cual es una contradiccion (ver ejercicio 20). Porlo tanto, x0 no puede ser racional.

Quedarıa ahora la pregunta de si todo punto x /∈ Q∩

[0, 1] tiene orbitadensa en [0, 1] bajo la funcion T . La respuesta es negativa. Pero necesita-mos mas herramientas para convencer al lector de que nuestra respuesta escorrecta.

Ejercicios

Ejercicio 8.1. Recordemos la funcion g : [0,1] → [0, 1] definida en el ejemplo 3.6.

Demostrar que g es transitiva en [0, 1].

Ejercicio 8.2. Demostrar que si X es un intervalo en R, entonces la definicion

7.4 es equivalente a la definicion 8.3.

Ejercicio 8.3. Sea A ⊂ R un conjunto cerrado, no vacıo, y sin puntos aislados.

Sea f : A → A tal que existe x0 en A tal que la o(x0, f) es densa en A. Demostrar

que f es transitiva en A.

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Ejercicio 8.4. Sean f : X → X una funcion transitiva enX, y U ⊂ X un conjuntoabierto no vacıo. Demostrar que la siguiente union infinita

∞∪n+1

f−n (U)

es un conjunto abierto y denso en X.

Ejercicio 8.5. Sea f : X → X una funcion transitiva en X. Sea N un numero

natural fijo. Considera, en X, N conjuntos abiertos no vacıos, U1, . . . , UN , que sean

ajenos por parejas. Demostrar que existe un punto x0 en X tal que su orbita visita

todos estos conjuntos.

Ejercicio 8.6. Demostrar que f : X → X es transitiva si y solo si para todo

par de puntos en X, x, y, y para toda ε > 0, existen z en X y n en N tales que

d(x, z) < ε y d(y, fn(z)) < ε.

Ejercicio 8.7. Sea {an}∞n=1 una sucesion contenida en X. Sea x0 un punto en Xtal que para cada k ∈ N se tiene que la cardinalidad del conjunto

Ak =

{n ∈ N : an ∈ B

(x0,

1

k

)}es infinita. Demostrar que existe una subsucesion de {an}∞n=1 que es convergente

al punto x0.

Ejercicio 8.8. Sea {an}∞n=1 una sucesion contenida en X. Supongamos que la

sucesion {an}∞n=1 es de Cauchy y que tiene una subsucesion convergente a a0 ∈ X.

Demostrar que la sucesion {an}∞n=1 tambien es convergente a a0.

Ejercicio 8.9. Sea {an}∞n=1 una sucesion en X. Si {an}∞n=1 es convergente a

a0 ∈ X, entonces toda subsucesion de {an}∞n=1 es convergente a a0.

Ejercicio 8.10. Demostrar que en el intervalo unitario [0, 1] hay al menos un

numero irracional. Sugerencia. Sea q ∈ (Q ∩ [0, 1]). Entonces el conjunto formado

por un solo elemento {q} es denso en ninguna parte.

Ejercicio 8.11. El intervalo [0, 1] es infinito no numerable.

Ejercicio 8.12. Verdadero o falso. Sea {An}∞n=1 una coleccion de conjuntos abier-

tos y densos en [0, 1]. Entonces A =∞∩

n=1An es un conjunto no numerable.

Ejercicio 8.13. Verdadero o falso. Sea {An}∞n=1 una coleccion de conjuntos abier-

tos y densos en [0, 1]. Entonces A =∞∩

n=1An es un conjunto denso en [0, 1].

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Ejercicio 8.14. Dar una coleccion {An}∞n=1 de abiertos y densos en [0, 1] tales

que A =∞∩

n=1An no sea abierto.

Ejercicio 8.15. Exhibir un espacio metrico X y una contraccion f : X → X tal

que f no tenga puntos fijos en X.

Ejercicio 8.16. Sea T : [0, 1] → [0, 1] la funcion Tienda.

Demostrar que si 0 ≤ a < b ≤ 1 y 0 ≤ c < d ≤ 1, entonces existen x0 ∈Per (T ) y n ∈ N tales que

a < x0 < b y c < Tn (x0) < d.

Sean X = [0, 1] ∩Q y f : X → X dada por f (x) = T (x) para cada x ∈ X.Demostrar que f es transitiva en X y que f no tiene orbitas densas.

Ejercicio 8.17. Sea f : R → R transitiva en R. Demostrar que existe x0 ∈ R talque la orbita o (x0, f) forma un conjunto denso en R. Sugerencia. Para cada ε > 0la coleccion infinta numerable

{{B(i, ε)} , i ∈ Z}

forma una cubierta abierta de R.

Ejercicio 8.18. Sea A ={x ∈ R : x = 1

n , n ∈ N}∪ {0}. Sea f : A → A dada por

f (0) = 0 y para cada n ∈ N, f(1n

)= 1

n+1 .

Exhibir una funcion F : R → R, continua en R, tal que para todo x ∈ A, setenga que F (x) = f (x). Esto demuestra que la funcion f es continua en A.

Demostrar que existe x0 ∈ A tal que la orbita o (x0, f) forma un conjuntodenso en A.

¿Es f transitiva en A?

Ejercicio 8.19. Sea X tal que todos sus elementos son puntos de acumulacion.Demostrar lo siguiente:

Sean A ⊂ X, y a ∈ A. Si A es denso en X, entonces B = A \ {a} es densoen X.

Sea x0 ∈ X tal que o (x0, f) es densa en X. Entonces para cada k ∈ N, fijo,la orbita o

(fk (x0) , f

)es densa en X.

Si existe x0 ∈ X tal su orbita o (x0, f) es densa en X, entonces f es unafuncion transitiva en X.

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Ejercicio 8.20. Sean X un espacio de cardinalidad infinita y f una funcion de

X en X. Sea x0 ∈ X tal que la orbita o(x0, f) forma un conjunto denso en X.

Demostrar que la cardinalidad de o(x0, f) tambien es infinita.

Ejercicio 8.21. Sea T : [0, 1] → [0, 1] la funcion Tienda. Sean x0 en [0, 1], δ > 0

y N ∈ N. Demostrar que existe x ∈ Per(T ), de periodo n, tal que d(x, x0) < δ y

tal que n > N .

Ejercicio 8.22. Sea f : [a, b] → [a, b] una funcion tarnsitiva en [a, b]. Demostrar

que existe w, a < w < b, tal que f(w) = w.

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Capıtulo 9

Orbitas estables

Las orbitas periodicas tienen comportamientos sencillos. Si x0 es unpunto periodico bajo la funcion f : X → X, digamos de periodo m, entoncesal aplicar las iteraciones de f la orbita de x0 recorre una y otra vez, demanera ordenada, un conjunto finito de puntos,{

x0, f(x0), f2(x0), . . . , f

m−1(x0)}.

Nuestro interes es saber si esta informacion implica algun comporta-miento similar en las orbitas de los puntos cercanos a x0.

A primera vista este intento no parece tener mucho futuro. La dinamicade la funcion Tienda nos ha ensenado que muy cerca de una orbita periodica,digamos de periodo 3, podemos encontar puntos con orbita periodica deperiodos tan grandes como queramos (ver ejercicio 21 del capıtulo 8), opuntos con orbita densa.

Ası que nos vemos obligados a modificar un poco nuestro punto de par-tida. Ahora nuestra meta es descubrir las condiciones que debe cumplir fque nos permitan estar seguros que si x es un punto suficiente cercano ax0, entonces la orbita de x se parece a la orbita de x0, no en el sentidode que ella sea periodica del mismo periodo, sino en el sentido de que ladistancia entre ambas orbitas se mantenga acotada. Es decir, para cada n,la distancia entre fn(x) y fn(x0) es tan pequena como hayamos estableci-do previamente. Un punto x0 que tuviera este tipo de propiedad es paranosotros un punto con orbita estable.

Una de las ventajas mas importantes de que la orbita de x0 resultaraser estable es que tenemos un margen de tolerancia. Si al intentar iniciarun movimiento con la condicion inicial x0 escogemos, por error, un punto

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86 9.1. Puntos fijos atractores

distinto a x0 pero muy cercano a el, digamos x, podemos estar seguros queambas orbitas recorren paso a paso casi los mismos lugares del espacio X.

A lo largo de este capıtulo A representa un intervalo en R, y f : A → Aes una funcion continua en A.

9.1. Puntos fijos atractores

Sea x0 ∈ A tal que f (x0) = x0. Decimos que x0 es un punto fijo atractorsi existe un valor positivo δ tal que

f ((x0 − δ, x0 + δ) ∩A) ⊂ (x0 − δ, x0 + δ) ∩A,

y para toda x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) ∩A se tiene que lımn→∞ fn (x) = x0.

x0+δx0-δ

)(

Figura 9.1: Ejemplo de punto fijo atractor.

Decimos que x0 es un punto fijo repulsor si existe δ > 0 tal que paracada x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) ∩ A, x = x0, existe n ∈ N, n = n (x), tal quefn (x) /∈ (x0 − δ, x0 + δ) ∩A.

x0+δx0-δ)(

Figura 9.2: Ejemplo de punto fijo repulsor.

Observese que la presencia de un punto fijo atractor, o repulsor, nos dainformacion sobre la dinamica inducida por las iteraciones de la funcion fen una vecindad del punto. Si estamos ante un atractor, entonces los puntoscecanos tienen, todos ellos, orbitas que convergen al punto fijo. Por otro lado,si estamos ante un repulsor, entonces al menos sabemos que las orbitas depuntos cercanos escapan en un tiempo finito, que depende de cada punto,de una vecindad del punto fijo.

Existe una fuerte relacion entre la derivada de la funcion f en un puntofijo x0 ∈ A y el hecho de que este punto sea atractor o repulsor. Hablamosde ella en la siguiente proposicion.

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Capıtulo 9. Orbitas estables 87

Proposicion 9.1. Sea x0 ∈ A tal que f (x0) = x0. Supongamos que f esderivable en x0.

i) Si |f ′ (x0)| < 1, entonces x0 es un punto fijo atractor.

ii) Si |f ′ (x0)| > 1, entonces x0 es un punto fijo repulsor.

Demostracion. Si |f ′ (x0)| < 1, entonces∣∣∣∣ lımx→x0

f(x)− f (x0)

x− x0

∣∣∣∣ < 1.

Como f (x0) = x0, tenemos∣∣∣∣ lımx→x0

f(x)− x0x− x0

∣∣∣∣ < 1.

Como la funcion valor absoluto es continua y f es derivable en x0, entonces

lımx→x0

∣∣∣∣f(x)− x0x− x0

∣∣∣∣ < 1.

Sea c un numero real fijo tal que

lımx→x0

∣∣∣∣f(x)− x0x− x0

∣∣∣∣ < c < 1.

Existe δ > 0 tal que si x ∈ B (x0, δ) ∩A, entonces∣∣∣∣f(x)− x0x− x0

∣∣∣∣ < c,

y ası,

|f(x)− x0| < c |x− x0| .

Como la distancia de x a x0 es menor que δ, se sigue que |f(x)− x0| < δ.Por tanto

f (x0 − δ, x0 + δ)∩

A ⊂ (x0 − δ, x0 + δ)∩

A.

Entonces podemos aplicar f al punto f(x) y obtenemos que∣∣f2(x)− x0∣∣ ≤ c |f(x)− x0| < c2 |x− x0| .

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88 9.1. Puntos fijos atractores

Siguiendo este camino obtenemos que para toda n ∈ N,

|fn(x)− x0| ≤ cn |x− x0| .

Ası para todo punto x del conjunto B(x0, δ) ∩ A se tiene que fn(x)converge a x0 cuando n tiende a infinito. Es decir, x0 es un punto fijoatractor bajo f .

Si |f ′ (x0)| > 1, desarrollamos un argumento similar al seguido antes.Tomamos c de tal manera que 1 < c < |f ′ (x0)|. Para este valor existe δ > 0tal que si x ∈ B (x0, δ) ∩A, x = x0, entonces

|f(x)− x0| > c |x− x0| .

Si sucede que para cada i, 0 ≤ i ≤ n, las imagenes f i(x) se mantiene enel conjunto B (x0; δ) ∩A, entonces

|fn(x)− x0| > cn |x− x0| .

Pero como c > 1, esta situacion no se puede sostener por mucho tiempo.Es decir, debe existir N ∈ N, que depende de x, tal que fN (x) se sale delconjunto B (x0, δ) ∩A.

Ası x0 es un punto fijo repulsor de f .

Los puntos fijos de la funcion Tienda, 0 y 23 , son ambos repulsores ya

que T ′(0) = 2 y T ′(23) = −2.

En los ejercicios 1 y 2 se discuten algunas de las situaciones que se puedenpresentar cuando la derivada en un punto fijo vale, en valor absoluto, 1. Elhecho es que en una vecindad de un punto fijo donde la derivada de f secomporta de esa manera, las dinamicas presentes pueden ser muy diversas.

Consideramos ahora una situacion un poco mas general. Si la funcionf esta definida en un espacio metrico X que no es, necesariamente, unintervalo, entonces debemos modificar un poco las definiciones de punto fijoatractor y repulsor.

Sea f : X → X, y sea x0 ∈ X tal que f (x0) = x0. Decimos que x0 esun punto fijo atractor de f si existe un subconjunto abierto U de X tal quex0 ∈ U , f (U) ⊂ U , y para toda x ∈ U se tiene que

lımn→∞

fn (x) = x0.

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Decimos que x0 es un punto fijo repulsor de f si existe un subconjuntoabierto U de X tal que x0 ∈ U y para cada x ∈ U , x = x0, existe n ∈ N, ndepende de x, tal que fn (x) /∈ U .

Sea x0 es un punto fijo atractor bajo f . La cuenca de atraccion de x0 esel conjunto de todos los puntos de X cuya orbita converge a x0. Denotamoseste conjunto de la siguiente manera: W s(x0). Este conjunto siempre esabierto, ver ejercicio 3.

Tambien es posible definir orbitas periodicas atractoras o repulsoras. Laidea es aprovecharse de que si x es un punto periodico bajo f , entoncesexiste n tal que x es punto fijo de la iteracion fn.

Definicion 9.2. Sean f : X → X y x0 ∈ Per(f) de periodo n.Decimos que la orbita o(x0, f) es atractora si xo un punto fijo atractor

para fn. De manera analoga, la orbita o(x0, f) es repulsora si xo un puntofijo repulsor para fn.

Un ejemplo donde hay orbitas periodicas repulsoras nos lo proporcio-na la funcion Tienda. Resulta que todas las orbitas periodicas presentesen la Tienda son repulsoras, ver ejercicio 6. Combinemos esta informacioncon otro dato conocido: el conjunto Per(T ) es denso en el intervalo [0, 1],proposicion 7.5, y obtenemos una situacion casi explosiva.

Por el ejercicio 6 sabemos que todos los puntos irracionales del inter-valo [0, 1] tienen orbitas infinitas bajo T . Ası ninguno de esos puntos tieneorbita periodica o preperiodica. ¿Como son estas orbitas? Por un lado nopueden salir del intervalo [0, 1], por otro lado deben alejarse de las orbitasperiodicas, ya que todas son repulsoras, y, para colmo, estas orbitas periodi-cas forman un conjunto denso en ese mismo intervalo. El resultado es unsistema dinamico en verdad muy interesante.

9.2. Orbitas estables

Sean f : X → X y x0 en X tales que f(x0) = x0. Si x0 es atractor,entonces los puntos cercanos tienen orbitas convergentes a x0. Una situacionligeramente diferente es la contenida en la siguiente definicion.

Definicion 9.3. Decimos que el punto fijo x0 es estable (o tiene orbitaestable) si para toda ε > 0, existe δ > 0 tal que para toda x ∈ B (x0, δ), ypara toda n ∈ N, se tiene que d (fn (x) , x0) < ε.

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90 9.2. Orbitas estables

En este caso los puntos cercanos no necesariamente tienen orbitas con-vergentes a x0, sin embargo tenemos informacion importante sobre su com-portamiento: estas orbitas no se alejan mas alla de una distancia ε del puntofijo.

Un punto fijo x0 no es estable (su orbita no es estable) si existe ε0 > 0tal que para toda δ > 0 existen x en la B (x0, δ) y n en N tales que

d (fn(x), x0) ≥ ε0.

Proposicion 9.4. Sea f : A → A, donde A ⊂ R es un intervalo. Seax0 ∈ A. Supongamos que f es derivable en x0, y que f (x0) = x0.

i) Si |f ′ (x0)| < 1, entonces x0 es un punto fijo estable.

ii) Si |f ′ (x0)| > 1, entonces x0 es un punto fijo que no es estable.

Demostracion. De aquı en adelante seguimos las ideas que presentamos enla proposicion 9.1.

i) Sea ε > 0. Para c tal que |f ′(x0)| < c < 1, existe una δ0 > 0 tal quepara todo punto x ∈ A, con |x− x0| < δ0 se tiene que

|f(x)− x0| ≤ c |x− x0| < cδ0.

Por lo tanto,

|f(x)− x0| < δ0.

Ademas si 0 < γ < δ0, entonces para todo punto x ∈ B (x0, γ) y para todan ∈ N, se tiene que fn(x) ∈ B (x0, γ).

Tomando δ = mın {ε, δ0} confirmamos que la orbita de x0 bajo f esestable.

ii) En este caso, |f ′ (x0)| > 1, podemos concluir tambien que para cadaγ, con 0 < γ < δ0, existen x ∈ B (x0, γ) y N ∈ N tales que fN (x) ya nopertenece a la bola B (x0, δ0). Por lo tanto, tomando ε0 = δ0, la orbita dex0 no es estable.

Los puntos fijos de la funcion Tienda, 0 y 23 , son ambos puntos fijos no

estables.

La siguiente es una definicion mas general. La idea es describir orbitasestables aun en el caso de que no se trate de orbitas de puntos fijos.

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Definicion 9.5. Sea f : X → X. Decimos que un punto y0 de X tieneorbita estable, o orbita Lyapunov estable, si para toda ε > 0, existe δ > 0,tal que para toda x ∈ B (y0, δ) y para toda n ∈ N se tiene que

d (fn (x) , fn (y0)) < ε.

En la figura 9.3 se muestra un punto con orbita estable.

Figura 9.3: Orbita estable

Las orbitas estables son, en cierto sentido, faciles de seguir con un errorpequeno. Supongamos que la orbita de y0 es estable. Si queremos seguir laorbita de y0 con un error menor que un valor positivo ε, entonces tomemosla condicion inicial x cercana a y0 con un error menor que δ > 0. Es decir,tomemos x tal que d (x, y0) < δ y sigamos la orbita o(x, f). La estabilidadde la orbita de y0 nos asegura que para cualquier ε positiva, sı podemosencontrar la δ positiva que cumpla la condicion.

La orbita de x0 ∈ X no es estable si sucede lo siguiente: existe ε0 > 0tal que para todo δ > 0, podemos encontrar un punto y ∈ B (x0, δ) y unnumero natural n, que depende de y, tales que

d (fn (x0) , fn (y)) ≥ ε0.

Por ejemplo para la funcion f : [0, 1] → [0, 1] dada por f(x) = x2 setiene que la orbita del punto x0 = 1 no es estable.

En la siguiente seccion veremos que la funcion Tienda, T : [0, 1] → [0, 1],tiene muchısimas orbitas no estables. Antes de hacer la demostracion formalde este hecho llamamos la atencion del lector hacia la figura 9.4. En ellapresentamos las graficas de un experimento hecho con la computadora. En laprimera de ellas mostramos las primeras 80 iteraciones de la orbita periodicao(29 , T ). En la segunda seguimos la orbita de un punto muy cercano a 2

9 ,

x =2

9+

1

1000000.

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92 9.2. Orbitas estables

En la tercera mostramos la distancia, iteracion a iteracion, entre ellas.

10 20 30 40 50 60 70 800

2/9

4/9

8/9

1

10 20 30 40 50 60 70 800

2/9

4/9

8/9

1

10 20 30 40 50 60 70 800

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 9.4: Orbita no estable en la Tienda.

En terminos coloquiales podrıamos decir que un sistema dinamico dis-creto, f : X → X donde todas sus orbitas son estables es un sistema quese comporta muy bien. A pesar de que podrıamos, al escoger la condicioninicial x0, tener un pequeno error y tomar y0, las orbitas de estos dos pun-tos no se separarıan demasiado. Por otro lado, la presencia de algunas o

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muchas orbitas no estables provocarıa, si no escogemos de manera exactala condicion inicial, muchos problemas y harıa que el comportamiento delsistema, a la larga, fuera impredecible o caotico.

9.3. Sensibilidad a las condiciones iniciales

La siguiente definicion la podrıamos entender como una no estabilidadque abarca a todas las orbitas por igual.

Definicion 9.6. Decimos que f : X → X es sensible a las condicionesiniciales si existe un valor positivo ε0, fijo, tal que para toda x ∈ X, y paratoda δ > 0, existen y ∈ B (x, δ) y n ∈ N tales que:

d (fn (x) , fn (y)) ≥ ε0.

Una funcion f sensible a las condiciones iniciales nos dice que ningunade sus orbitas es estable. Pero no solo eso, hay ademas una suerte de uni-formidad en este fenomeno: La ε0 > 0 para la cual falla la estabilidad es lamisma para todas las orbitas.

Proposicion 9.7. La funcion T : [0, 1] → [0, 1] es sensible a las condicionesiniciales.

Demostracion. Sea ε0 = 12 . Tomemos x ∈ [0, 1] y δ > 0. Por la proposicion

7.2, existe n ∈ N tal que

Tn ((x− δ, x+ δ) ∩ [0, 1]) = [0, 1] .

Por lo tanto existen en el intervalo (x− δ, x+ δ) ∩ [0, 1] dos puntos,digamos x1 y x2, tales que Tn (x1) = 0, Tn (x2) = 1. De aquı que:

|Tn (x)− Tn (x1)| ≥1

2, o |Tn (x)− Tn (x2)| ≥

1

2.

Con el concepto de sensibilidad a las condiciones iniciales en nuestropoder estamos ya en posicion de definir lo que se entiende por dinamicacaotica. Dedicamos la siguiente seccion a esta tarea.

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94 9.4. La definicion de caos

9.4. La definicion de caos

En esta seccion X representa un espacio metrico que no tiene puntosaislados.

La siguiente es la definicion de caos dada por R. L. Devaney en 1985(ver [11]). No es la unica definicion posible para describir la presencia de deuna gran cantidad de puntos con orbitas cuyos movimientos son, de algunamanera, extranos o complejos, pero es una de las mas populares.

Definicion 9.8. Decimos que f : X → X es una funcion caotica, o generaun sistema dinamico caotico, si se cumplen las siguientes tres condiciones:

El conjunto Per (f) forma un conjunto denso en X,

f es transitiva en X, y

f es sensible a las condiciones iniciales en X.

En los capıtulos que siguen presentamos varios ejemplos de funcionescaoticas. En particular veremos que la funcion Logıstica, L : [0, 1] → [0, 1],L(x) = 4x(1− x), es caotica en el intervalo [0, 1].

No es de extranar que, luego de todo lo que hemos descubierto de ladinamica generada por la Tienda, ella sea nuestro primer ejemplo.

Proposicion 9.9. La funcion T : [0, 1] → [0, 1] es caotica en [0, 1].

Demostracion. Se sigue de manera inmediata de lo hecho en las proposicio-nes 7.5, 8.2 y 9.7.

A continuacion recordamos algunos resultados importantes relaciona-dos con los conceptos que hasta ahora hemos visto. Si bien no damos lasdemostraciones correspondientes, sı ofrecemos a los lectores las referenciasnecesarias.

El primero de ellos nos dice que la tercera condicion en la defincion 9.8es consecuencia de las dos primeras condiciones. La demostracion se puedeconsultar en el artıculo On Devaney’s Definition of Chaos, escrito por J.Banks, J. Brooks, G. Cairns, G. Davis y P. Stacey en 1992, ver [5].

Proposicion 9.10. Sea f : X → X. Si f es transitiva en X y el conjuntoPer (f) es denso en X, entonces f es sensible a las condiciones iniciales enX.

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Los siguientes dos resultados se refieren a funciones definidas en un inter-valo de la recta real. Resulta que para este tipo de funciones la transitividades una condicion muy fuerte ya que ella sola implica a las dos condicionesrestantes de la definicion 9.8. La demostracion de la proposicion 9.11 vieneen el artıculo On Intervals, Transitivity = Chaos escrito en 1994 por M.Vellekoop y R. Berglund, ver [32].

Proposicion 9.11. Sea A un intervalo en R. Sea f : A → A una funciontransitiva en A. Entonces Per (f) es un conjunto denso en A.

De las dos proposiciones 9.10 y 9.11 se sigue que si A es un intervalo enla recta real R, y f : A → A es una funcion transitiva en A, entonces f escaotica en A.

En el ultimo resultado que presentamos en esta seccion se destaca laimportancia de la sensibilidad a las condiciones iniciales cuando se trabajacon funciones definidas en un intervalo. La demostracion se encuentra en elartıculo Sensitivity implies chaos escrito por H. Mendez en 2003, ver [23].

Proposicion 9.12. Sea A = [a, b] un intervalo en R. Si f : A → A essensible a las condiciones iniciales en A, entonces existen B ⊂ A, conjuntocerrado con int (B) = ∅, y N ∈ N tales que fN (B) = B y fN , restringidaa B, es caotica en B.

Ejercicios

Ejercicio 9.1. En cada uno de los siguientes casos f es una funcion de R en R,el 0 es punto fijo de f , y f ′(0) = 1. Demostrar lo siguiente:

si f(x) = x+ x3, entonces 0 es un punto repulsor;

si f(x) = x− x3, entonces 0 es un punto atractor; y

si f(x) = ex − 1, entonces para todo x < 0 se tiene que lımn→∞ fn(x) = 0,y para todo x > 0 se tiene que lımn→∞ fn(x) = ∞.

Ejercicio 9.2. Sea f : R → R la funcion f(x) = sen(x). Observemos que paratodo x se tiene que −1 ≤ sen(x) ≤ 1. Demostrar lo siguiente:

Si 0 < x ≤ 1, entonces 0 < sen(x) < x, y si −1 ≤ x < 0, entonces x <sen(x) < 0. De aquı se sigue que 0 es el unico punto fijo de f . Sugerencia. ElTeorema del Valor Medio.

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Para todo x se tiene que lımn→∞ fn(x) = 0.

Ejercicio 9.3. Sean f : X → X y x0 ∈ X un punto fijo atractor bajo f . Demostrar

que la cuenca de atraccion de x0, Ws(x0), es un subconjunto abierto de X.

Ejercicio 9.4. Sea f : [0, 1] → [0, 1] dada por f(x) = x2. Demostrar lo siguiente:

El punto x0 = 1 tiene bajo f una orbita no estable.

Si 0 ≤ x < 1, entonces la orbita o(x, f) sı es estable.

Ejercicio 9.5. Sea f : [0, 1] → [0, 1] una funcion lineal por partes dada por

f(0) = 0, f( 12 ) = 1 y f(1) = 12 . Encontrar todos los puntos x con orbita estable

bajo f .

Ejercicio 9.6. Demostrar que todas las orbitas periodicas presentes en la Tienda,

T : [0, 1] → [0, 1], son repulsoras. Sugerencia. Si o(x, T ) es una orbita periodica,

entonces 12 no pertenece a la orbita o(x, T ).

Ejercicio 9.7. Supongamos que f : R → R es un homeomorfismo sensible a las

condiciones iniciales. Demostrar que f tiene a lo mas un punto fijo.

Ejercicio 9.8. ¿Existe un homeomorfismo f : R → R sensible a las condiciones

iniciales y tal que f no tiene puntos fijos?

Ejercicio 9.9. Sea f : [0, 1] → [0, 1] la funcion lineal por partes dada por f(0) = 0,

f( 13 ) = 1, f( 23 ) = 0 y f(0) = 1. Demostrar que f es caotica en [0, 1].

Ejercicio 9.10. Sea f : R → R una funcion afın. Es decir, existen constantes m yb tales que

f(x) = mx+ b.

Demostrar que f no es caotica en R.

Ejercicio 9.11. Sea f : X → X donde X es un espacio sin puntos aislados.Demostrar que f es caotica en X si y solo si para toda pareja de conjuntos abiertos,no vacıos, U y V , se tiene que existe un punto periodico x, tal que

o(x, f) ∩ U = ∅, y o(x, f) ∩ V = ∅.

Ejercicio 9.12. Sea f : [0, 1] → [0, 1]. Supongamos que existe B ⊂ [0, 1], cerradono vacıo y sin puntos aislados, tal que f3(B) = B y f3 restringida a B es caoticaen B. Sea

A = B ∪ f(B) ∪ f2(B).

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Demostrar que f(A) = A y que f |A es caotica en A.

Ejercicio 9.13. Sea f : [0, 1]× [0, 1] → [0, 1]× [0, 1] la funcion dada por

f(x, y) = (T (x), T (y)),

donde T es la tienda.

Demostrar que f es caotica en el cuadrado [0, 1]× [0, 1].

Ejercicio 9.14. Sea f : R → R. En cada caso decidir si la afirmacion correspon-diente es verdadera o falsa.

1. Si x0 es un punto fijo atractor de f , entonces la cuenca de atraccion de x0

es un conjunto abierto.

2. Si para toda pareja de puntos x y y, x = y, se tiene que |f(x)− f(y)| <|x− y|, entonces f tiene exactamente un punto fijo.

Ejercicio 9.15. Sea f : R → R, y sea x1 un punto periodico de f de periodo n.Supongamos que

o (x1, f) = {x1, x2, . . . , xn, x1 . . .} ,

y que f es derivable en cada uno de los puntos de la orbita de x1. Demostrar quepara cada 1 ≤ j ≤ n se tiene que

(fn)′(xj) = f ′ (x1) f

′ (x2) · · · f ′ (xn) = Πni=1f

′ (xi) .

Comentarios

Las horas, o minutos, que el lector ha dedicado a buscar la solucion delejercicio 4 de seguro lo llevaron a conjeturar la afirmacion contenida en lasiguiente proposicion.

Proposicion 9.13. Sea f : [0, 1] → [0, 1] un homeomorfismo tal que f(0) =0 y f(1) = 1, y tal que para toda x, 0 < x < 1, se tiene que f(x) < x.Entonces

para toda 0 ≤ x < 1, la orbita o(x, f) es estable, y

la orbita del punto x0 = 1 no es estable.

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Demostracion. Sea x ∈ (0, 1). Como o < x < 1 y f es un homeomorfismo,entonces

0 < f(x) < x < 1.

De aquı se sigue que para toda n ≥ 0, 0 < fn+1(x) < fn(x).Concluimos que

lımn→∞

fn(x) = 0.

Sea ε > 0. Existe n0 ∈ N tal que si n ≥ n0, entonces

0 < fn(x) < ε.

Sea δ1 > 0 tal que se cumple lo siguiente: si

y ∈ (x− δ1, x+ δ1) ∩ [0, 1],

entonces0 < fn0(y) < ε.

De hecho, si y ∈ (x− δ1, x+ δ1) ∩ [0, 1], entonces

0 < fn(y) < ε.

para toda n ≥ n0.Como las funciones f , f2,. . ., fn0 son continuas, entonces existe δ2 > 0

tal que si y ∈ (x− δ2, x+ δ2) ∩ [0, 1] y 1 ≤ n ≤ n0 se tiene que

|fn(y)− fn(x)| < ε.

Sea δ = mın {δ1, δ2}. Si y ∈ (x− δ, x+ δ) ∩ [0, 1], entonces

|fn(y)− fn(x)| < ε

para toda n ∈ N.La demostracion de que la orbita del 0 es estable es inmediata. Y la de-

mostracion de que la orbita del 1 es no estable tambien es sencilla. Dejamosambas argumentaciones al lector.

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Capıtulo 10

Dinamica simbolica

El estudio de las propiedades dinamicas de un elemento de la familia delas tiendas nos llevara a la presentacion de la dinamica simbolica.

La funcion que nos interesa en este capıtulo, P : R → R, esta dada por

P (x) =

3x si x ≤ 1

2

3− 3x si x ≥ 12 .

(10.1)

La descripcion del conjunto de puntos x que tiene orbita acotada bajoP tiene una relacion fuerte e inesperada con el conjunto de Cantor. Una vezinstalados en este conjunto, introduciremos un espacio cuyos elementos sonsucesiones infinitas de ceros y unos. Definiremos, ademas, en este extranoespacio la funcion corrimiento.

Resulta que la dinamica de P , restringida al conjunto de puntos conorbita acotada, se explica de manera clara y elegante con este espacio desucesiones y con ese corrimiento.

10.1. El conjunto de los puntos atrapados

La siguiente definicion es muy util cuando estudiamos funciones definidasen el espacio Rn, f : Rn → Rn. La redactamos para funciones en R solo porcomodidad.

Definicion 10.1. Dada f : R → R, el conjunto de todos los puntos x cuyaorbita esta acotada lo llamamos el conjunto de los puntos atrapados o el

99

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100 10.1. El conjunto de los puntos atrapados

conjunto de los puntos prisioneros. Este conjunto lo denotamos con J(f).Es decir,

J(f) = {x ∈ R : o(x, f) esta acotada} .

Observemos que si x ∈ J(f), entonces f(x) tambien esta en J(f) ya quela o (f(x), f) esta contenida en la o(x, f). De aquı se sigue que

f(J(f)) ⊂ J(f).

Por otro lado, sea x en J(f). Si existe y tal que f(y) = x, entonces y tambienesta en J(f) ya que

o(y, f) = {y} ∪ o(x, f).

Ası, si se tiene que J(f) ⊂ f(R), entonces

J(f) ⊂ f(J(f)),

y con ello estos dos conjuntos son iguales.

Definicion 10.2. Sean f : X → X y A un subconjunto de X. Decimosque A es un conjunto invariante bajo f si f(A) ⊂ A. Decimos que A esestrictamente invariante bajo f si f(A) = A.

Resulta que J(f) es siempre un conjunto invariante bajo f . Otras pro-piedades del conjunto J(f) se presentan en los ejercicios de este capı´tulo.

Tal vez la importancia de este conjunto de puntos atrapados se vea si re-cordamos que para la funcion Tienda, T : R → R, se tiene que J(T ) = [0, 1].Y es precisamente en este conjunto donde T tiene una dinamica caotica, yfuera de el su dinamica es muy sencilla.

Si la funcion f esta definida en los numeros complejos, f : C → C, y laregla de correspondencia de f se expresa de forma polinomial,

f(z) = a0 + a1z + a2z2 + · · ·+ aNzN ,

con N ≥ 2 y aN = 0, entonces J(f) es conocido como el conjunto de Julialleno de f y la frontera de J(f) es el conjunto de Julia de f .

Sea P : R → R la funcion dada por la regla de correspondencia 10.1.Nos interesa descubrir la estructura del conjunto J(P ). En particular

demostraremos que este conjunto es el conjunto de Cantor. Una vez quecumplida esta tarea demostraremos que P restringida a J(P ) es caotica.

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Capıtulo 10. Dinamica simbolica 101

Figura 10.1: Grafica de la funcion P .

En la figura 10.1 el lector puede ver la grafica de la funcion P : R → R.De aquı en adelante la letra P solo la utilizaremos para designar esta funcion.

Las graficas de P y T son muy parecidas. La unica diferencia es la alturaque alcanza el pico que ambas tienen en el punto x = 1

2 . Sin embargo, elconjunto de los puntos atrapados de una y otra es muy distinto.

Las demostraciones de las siguientes cinco observaciones son casi inme-diatas. El lector es invitado a suplir los detalles de ellas en el ejercicio 7.

Sea x < 0. Entonces P (x) < x. Mas aun, para toda n ∈ N se tiene quePn(x) = 3nx. Ası, lımn→∞ Pn(x) = −∞.

Si x > 1, entonces P (x) < 0. Por lo tanto para estos puntos tambiense concluye que lımn→∞ Pn(x) = −∞.

Los unicos puntos fijos de P son 0 y 34 , y ambos son repulsores. De

hecho todas las orbitas periodicas de P son repulsoras.

Si x esta en el intervalo(13 ,

23

), entonces P (x) > 1: Esto nos permite,

nuevamente, concluir que para este tipo de puntos lımn→∞ Pn(x) =−∞.

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102 10.1. El conjunto de los puntos atrapados

x0 =328 es un punto periodico bajo P y es de periodo 3. Por tanto, P

tiene puntos periodicos de todos los periodos.

Sobre el conjunto J(P ) hasta ahora sabemos lo siguiente:

J(P ) ⊂[0,

1

3

]∪[2

3, 1

],

tanto 0 como 34 pertenecen a J(P ) y los puntos que recorre la orbita de 3

28tambien estan en J(P ).

Llamamos C1 a la union de los intervalos[0, 13

]y[23 , 1

].

La funcion P transforma al intervalo[0, 13

]en el intervalo [0, 1] de ma-

nera lineal haciendo crecer las distancias por un factor de 3. El intervaloabierto

(19 ,

29

)es transformado bajo P en el intervalo

(13 ,

23

). Ası J(P ) no

tiene puntos en el intervalo(19 ,

29

). Algo similar le sucede al intervalo

[23 , 1

].

Sea C2 la union de los 22 intervalos[0,

1

9

],

[2

9,3

9

],

[6

9,7

9

]y

[8

9, 1

].

Cada uno de estos intervalos es transformado bajo P 2 en el intervalounitario. Este hecho provoca que el tercio de enmedio de cada uno de elloseste formado por puntos que no estan en J(P ). Ver figura 10.2.

Con esta informacion podemos definir C3 como la union de 23 intervaloscerrados de longitud

(13

)3, tal que la iteracion P 3 transforma a cada uno de

ellos en el intervalo unitario, y tal que el conjunto J(P ) esta contenido enC3.

Podemos continuar el proceso anterior indefinidamente, quitando en ca-da paso puntos cuya orbita no esta acotada.

Los conjuntos Cn que se van formando son precisamente los que se uti-lizan en la construccion del conjunto de Cantor clasico que realizamos en elcapıtulo 6.

Denotamos con la letra C al interseccion de todos los conjuntos Cn.Como para toda n ∈ N se tiene que J(P ) ⊂ Cn, entonces J(P ) ⊂ C.

Por otro lado, si x es un elemento de C, entonces para toda n ∈ N,x ∈ Cn y por ello Pn(x) ∈ [0, 1]. Esto implica que la orbita entera de xesta en [0, 1], ası x ∈ J(P ). Por lo tanto C es subconjunto de J(P ) y, conello, J(P ) = C.

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Figura 10.2: Grafica de la funcion P 2.

Como J(P ) esta contenido en la imagen de R bajo P , entonces J(P ) esun conjunto estrictamente invariante bajo la funcion P .

Nuestra meta es convencer al lector de que P , restringida a J(P ), es unafuncion caotica. Ası el conjunto de Cantor es el escenario donde se lleva acabo un sistema dinamico discreto caotico.

10.2. Dinamica simbolica

A cada punto de J(P ) le vamos a asignar, mediante la funcion φ, unasucesion infinita formada solamente por ceros y unos.

Sea x0 un punto en J(P ). Observemos que para toda n ∈ N se tiene quePn (x0) esta en el intervalo

[0, 13

]o en el intervalo

[23 , 1

]. La idea es asignar

un 0 o un 1 segun el punto Pn(x0) se encuentre en el primer o en el segundointervalo.

Sean I0 =[0, 13

]e I1 =

[23 , 1

]. Definimos

φ (x0) = t = (t0, t1, t2, . . .) ,

donde las coordenadas de t se definen de la siguiente manera: Para cada

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104 10.2. Dinamica simbolica

n ≥ 0

tn =

0 si Pn(x0) ∈ I0,

1 si Pn(x0) ∈ I1.

Por ejemplo

φ

(1

3

)= (0, 1, 0, 0, 0, . . .)

ya que P(13

)= 1 y P (1) = 0,

φ

(3

10

)= (0, 1, 0, 1, 0, 1, . . .)

ya que P ( 310) =

910 y P ( 9

10) =310 y

φ

(3

28

)= (0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, . . .)

Sea

Σ2 ={t = (t0, t1, t2, . . .) : para cada n ≥ 0, tn ∈ {0, 1}

}.

A la sucesion φ (x0) = t = (t0, t1, t2, . . .) se le llama el itinerario de x0.Si lo pensamos un poco este nombre tiene mucho sentido. El punto x0 solopuede viajar, al aplicarle P varias veces, a dos lugares: I0 e I1. El valor queasuma tn nos dira de manera inmediata en cual de estos dos destinos seencuentra el punto Pn (x0).

La siguiente formula nos proporciona una metrica en Σ2 (ver ejercicio8),

d(t, s

)=

∞∑n=0

|tn − sn|2n

,

donde t = (t0, t1, t2, . . .) y s = (s0, s1, s2, . . .).

Las siguientes cuatro proposiciones contienen las propiedades mas im-portantes de la funcion φ : J(P ) → Σ2. La meta es mostrar que φ es enrealidad un homeomorfismo.

Proposicion 10.3. φ : J(P ) → Σ2 es una funcion inyectiva.

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Demostracion. Sea x0 y y0 dos puntos en J(P ) tales que

φ (x0) = t = φ (y0) .

De aquı se sigue que para cada n ≥ 0, los puntos Pn (x0) y Pn (y0) estanambos en I0 o ambos en I1. Ası,

|P (x0)− P (y0)| = 3 |x0 − y0| ,∣∣P 2 (x0)− P 2 (y0)∣∣ = 3 |P (x0)− P (y0)| = 32 |x0 − y0| .

Ası sucesivamente hasta que en el paso n se tiene que

|Pn (x0)− Pn (y0)| = 3n |x0 − y0| .

Concluimos que para toda n ∈ N, |x0 − y0| ≤ 13n .

Por lo tanto, x0 = y0.

Proposicion 10.4. φ : J(P ) → Σ2 es una funcion suprayectiva.

Demostracion. Observemos primero que si E = [a, b] es un intervalo con-tenido en [0, 1], entonces existen dos intervalos E0 ⊂ I0 y E1 ⊂ I1 talesque P (Ei) = E, i = 0, 1. Ademas la longitud de cada Ei es un tercio de lalongitud de E.

Para los intervalos I0 e I1 existen dos intervalos en I0, que llamaremosI00 e I01, tales que P (I00) = I0 y P (I01) = I1, y existen dos intervalos enI1, que ahora llamaremos I10 e I11, tales que P (I10) = I0 y P (I11) = I1. La

longitud de cada uno de estos cuatro intervalos cerrados es(13

)2. La union

de los cuatro intervalos nos da el conjunto C2.En el siguiente paso existen cuatro intervalos en I0, llamados I000, I001,

I010 e I011, tales que la funcion P transforma de la siguiente manera:

I000 → I00, I001 → I01,I010 → I10, I011 → I11.

De manera analoga existen cuatro intervalos en I1 que se comportan demodo similar a los cuatro anteriores. Ver figura 10.3 para darse una idea deeste movimiento.

En este paso ya tenemos 23 intervalos de la forma Is0s1s2 , si ∈ {0, 1}para 0 ≤ i ≤ 2, tales que P (Is0s1s2) = Is1s2 , y la longitud de cada uno de

ellos es(13

)3.

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106 10.2. Dinamica simbolica

Figura 10.3: Movimiento de los intervalos.

Observese que si x ∈ Is0s1s2 , entonces x ∈ Is0 , P (x) ∈ Is1 y P 2(x) ∈ Is2 .En el paso n de esta construccion obtenemos 2n intervalos de la forma

Is0s1s2...sn−1 , donde si ∈ {0, 1} para 0 ≤ i ≤ n− 1, tales que

P(Is0s1s2,...,sn−1

)= Is1s2,...,sn−1 ,

y la longitud de cada uno de ellos es(13

)n.

Ademas si x ∈ Is0s1s2,...,sn−1 , entonces x ∈ Is0 , P (x) ∈ Is1 , P2(x) ∈ Is2 ,

y ası hasta que Pn−1(x) esta en Isn−1 .Ahora sı demostraremos que φ es suprayectiva.Sea t = (t0, t1, t2, . . .) un punto en Σ2.Sea n ∈ N y consideremos el intervalo It0t1t2,...,tn .Observemos que si x es un punto en J(P ) tal que x ∈ It0t1t2,...,tn , entonces

φ(x) y t tienen iguales las primeras n+ 1 coordenadas.Como para cada n ∈ N se tiene que el intervalo It0t1t2,...,tn esta contenido

en el intervalo It0t1t2,...,tn−1 , la coleccion {It0t1t2,...,tn}∞n=0 forma una sucesion

de intervalos cerrados encajados, cada uno de ellos distinto del vacıo. Sabe-mos tambien que la longitud del intervalo It0t1t2,...,tn tiende a cero cuandon tiende a infinito. Entonces la interseccion

∞∩n=0

It0t1t2,...,tn

es exactamente un punto, que llamaremos x0.

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Por la forma en que encontramos a x0 se sigue que para toda n en N, elpunto Pn(x0) esta en el intervalo Itn . Entonces x0 ∈ J(P ) y φ (x0) es t.

Proposicion 10.5. φ : J(P ) → Σ2 es una funcion continua.

Demostracion. Sean x0 ∈ J(P ), φ (x0) = t = (t0, t1, t2, . . .) y ε > 0.

Existe N ∈ N tal que∑∞

n=N+112n < ε.

Consideremos el intervalo It0t1t2,...,tN . Este es uno de los 2N intervalos

que componen CN . Su longitud es(13

)N+1. Ademas x0 ∈ It0t1t2,...,tN .

Observemos que si x y y son dos puntos de J(P ) tales que tambienestan en It0t1t2,...,tN , entonces φ(x) y φ(y) coinciden desde la primera hastala coordenada N . Ası,

d(φ(x), φ(y)) ≤∞∑

n=N+1

1

2n< ε.

Sea δ > 0 tal que

(x0 − δ, x0 + δ) ∩ CN ⊂ It0t1t2,...,tN .

Si |x− x0| < δ y x ∈ J(P ), entonces x pertenece al intervalo It0t1t2,...,tN .Por ello, d(φ (x0) , φ(x)) < ε.

Proposicion 10.6. La funcion φ−1 : Σ2 → J(P ) es continua.

Demostracion. Sean t = (t0, t1, t2, . . .) ∈ Σ2 y ε > 0.

Como la longitud del intervalo It0t1t2,...,tn tiende a cero cuando n tiendea infinito, existe N ∈ N tal que la longitud de It0t1t2,...,tN es menor que ε.

Sea δ = 13N

. Observemos que si s ∈ Σ2 es tal que d(t, s

)< δ, entonces

para cada i, 0 ≤ i ≤ N se tiene ti = si. Esto implica que φ−1 (s) tambienesta en el intervalo It0t1t2,...,tN . Por lo tanto la distancia entre φ−1

(t)y

φ−1 (s) es menor que ε.

La demostracion del siguiente resultado es inmediata a partir de lasproposiciones 10.3, 10.4, 10.5 y 10.6.

Proposicion 10.7. La funcion φ : J(P ) → Σ2 es un homeomorfismo.

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108 10.3. Funcion corrimiento

La proposicion 10.7 nos dice tambien que el conjunto de Cantor C es,desde el punto de vista de la topologıa, indistinguible del conjunto Σ2, yaque ambos son homeomorfos. Esto es algo sorprendente. El conjunto Σ2

esta formado por sucesiones infinitas de ceros y unos y, es en principio, unobjeto abstracto. Esta coleccion de extranas sucesiones no tiene ningunarelacion con nada, o casi nada, de lo que conocıamos hasta ahora. Descubrirque en realidad es una nueva presentacion del conjunto C es realmenteinesperado. Antes de abandonar este tema, invitamos al lector a compararestas observaciones con los comentarios que hacemos al final del capıtulo 6.

10.3. Funcion corrimiento

La siguiente observacion nos permitira definir una funcion del espacioΣ2 en sı mismo.

Sea x en J(P ). La idea es encontrar una relacion entre los itinerarios dex y de P (x). Supongamos que φ(x) = (t0, t1, t2, t3, . . .). Entonces, como laorbita de P (x) siempre va un paso adelante de la orbita de x, es inmediatoque el itinerario de P (x) es: φ(P (x)) = (t1, t2, t3, . . .).

Es natural, entonces, definir la siguiente funcion σ : Σ2 → Σ2,

σ(t)= σ ((t0, t1, t2, t3, . . .)) = (t1, t2, t3, . . .) .

El punto y = σ(t)tiene una infinidad de coordenadas. Para encontrarlas

solo quitamos la primera coordenada de t, es decir, nos deshacemos de t0, ydesplazamos todas las demas un lugar hacia la izquierda. Ası σ : Σ2 → Σ2

es conocida como la funcion desplazamiento o como la funcion corrimiento.

La demostracion de que esta funcion es continua no es tan difıcil y ellector es invitado a realizarla en el ejercicio 11.

Antes de continuar nos permitimos llamar la atencion del lector hacialos dos resultados que tenemos entre manos: La funcion φ : J(P ) → Σ2 esun homeomorfismo, ademas resulta que para cada punto x ∈ J(P ) se tieneque φ(P (x)) = σ(φ(x)). Esta ultima igualdad es la clave para decifrar ladinamica de P restringida al conjunto de los puntos atrapados. Este hechoes tan importante que merece una definicion que tome en cuenta a muchosposibles casos semejantes.

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Definicion 10.8. Sean f : X → X y g : Y → Y dos funciones conti-nuas definidas en sendos espacios metricos. Decimos que las funciones f yg son topologicamente conjugadas, o, simplemente, conjugadas, si existe unhomeomorfismo h : X → Y tal que para todo punto x ∈ X se tiene queh(f(x)) = g(h(x)).

La condicion de conjugacion a veces se expresa diciendo que el siguientediagrama es conmutativo:

Xf−→ X

h ↓ ↓ h

Yg−→ Y.

Si f : X → X y g : Y → Y son dos funciones conjugadas, entonceslas propiedades dinamicas de f son esencialmente iguales a las propiedadesdinamicas de g. Dedicaremos el siguiente capıtulo a la tarea de darle cuerpoa esta afirmacion. En particular demostraremos que, bajo esta hipotesis, lafuncion f es caotica en X si y solamente si la funcion g es caotica en Y .

Regresando al estudio de las propiedades dinamicas de la funcion P ,observemos que ya tenemos el siguiente resultado: Las funciones P : J(P ) →J(P ) y σ : Σ2 → Σ2 son conjugadas bajo el homeomorfismo φ.

Para demostrar que P es caotica en J(P ), demostraremos primero queσ es caotica en Σ2.

Proposicion 10.9. El conjunto de puntos periodicos de σ es denso en Σ2.

Demostracion. Sean t = (t0, t1, t2, . . .) ∈ Σ2 y ε > 0.Existe N ∈ N tal que

∑∞n=N+1

12n < ε.

Consideremos el siguiente punto en Σ2,

s = (t0, t1, t2, . . . , tN , t0, t1, t2, . . . , tN , t0, t1, t2, . . .)

donde la cadena finita de coordenadas t0, t1, t2, . . . , tN se repite indefinida-mente. Es inmediato que

σN+1 (s) = s

y que la distancia de s a t es menor que ε.

Proposicion 10.10. La funcion σ : Σ2 → Σ2 es transitiva.

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Demostracion. Sean t = (t0, t1, t2, . . .) y s = (s0, s1, s2, . . .) dos puntos enΣ2 y ε > 0.

Sea N ∈ N tal que∑∞

n=N+112n < ε.

Consideremos el siguiente punto en Σ2:

u = (t0, t1, t2, . . . , tN , s0, s1, s2, . . . , sN , u2N+2, . . .) .

Por la forma que le hemos asignado al punto u sus primeras coordenadas,las siguientes dos desigualdades son inmediatas:

d(u, t

)< ε y d

(σN+1 (u) , s

)< ε.

Por lo tanto, σ : Σ2 → Σ2 es transitiva.

Sabemos que Σ2 no tiene puntos aislados, ver ejercicio 10. Como σ estransitiva, entonces existe t tal que su orbita, o(t, σ) es densa en Σ2. Lointeresante de la funcion corrimiento es que podemos mostrar uno de esospuntos que tienen orbita densa. Para lograrlo observemos que dos puntosestan cercanos si sus primeras coordenadas coinciden (y estan mas cercanossi el numero de coincidencias aumenta). Ası la idea es proponer un punto tque al ir viajando sobre su orbita, vaya pasando cerca de todos los puntos. Esdecir, que al aplicar σ (borrar la primera coordenada y recorrer las demas)coincida con las primeras coordenadas de todos los puntos. Esto sı es posibleya que por cada n en N hay 2n cadenas distintas de ceros y unos de longitudn.

Construimos las coordenadas de t poniendo primero todas las posiblescadenas de longitud 1, luego todas las posibles cadenas de longitud 2, luegolas de longitud 3, y ası sucesivamente,

t = (0, 1,︸︷︷︸ 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1,︸︷︷︸ 0, 0, 0, . . . , 1, 1, 1,︸︷︷︸ . . .).

Es inmediato que la orbita o(t, σ) es densa en Σ2.

Proposicion 10.11. La funcion σ : Σ2 → Σ2 es sensible a las condicionesiniciales.

Demostracion. Sea ε0 = 1. Este valor va a ser nuestra constante de sensibi-lidad.

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Sean t = (t0, t1, t2, . . .) en Σ2 y δ > 0. Demostraremos que existen unpunto s, que esta a distancia menor que δ de t, y N ∈ N tales que

d(σN

(t), σN (s)

)≥ ε0.

Sea N ∈ N tal que∑∞

n=N12n < δ. Consideramos ahora un punto s tal

que sus primeras N coordenadas coincidan con las primeras N coordenadasde t,

s = (t0, t1, t2, . . . , tN−1, sN , sN+1, . . . , ) ,

y tal que el valor de sN sea distinto de valor de tN . Si tN = 1, ponemossN = 0; si tN = 0, ponemos sN = 1.

Observese que la distancia de s a t es menor que δ. Ademas, como σN(t)

y σN (s) difieren en la primera coordenada, d(σN

(t), σN (s)

)≥ 1.

De las tres proposiciones anteriores se sigue que la funcion σ es caoticaen Σ2. Nuestra meta, demostrar que P : J(P ) → J(P ) es caotica en el con-junto J(P ), la alcanzaremos finalmente en el siguiente capıtulo. La historiacontinuara.

Ejercicios

Ejercicio 10.1. Sea f : R → R. Si J(f) = ∅, entonces f tiene al menos un punto

fijo.

Ejercicio 10.2. Exhibir, si es que existe, una funcion f : R2 → R2 tal que

J(f) = ∅ y f no tenga puntos fijos. Sugerencia. Analizar los puntos periodicos de

las siguientes funciones: g : R2 → R2 y h : R2 → R2, dadas por g(x, y) = (−x, y) y

h(x, y) = (x, y + sen(x)).

Ejercicio 10.3. Para cada 0 ≤ λ ≤ 4 consideremos la familia de funciones fλ :R → R, donde fλ(x) = λx(1− x).

Describir el conjunto J(fλ) cuando 0 ≤ λ < 1.

Ahora describir el conjunto J(fλ) para 1 ≤ λ ≤ 4.

Ejercicio 10.4. ¿Para cuales de las siguientes funciones, f : R → R, se tiene queel conjunto J(f) esta acotado? ¿Para cuales J(f) es un intervalo?

1. f(x) = x2.

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2. f(x) = x2 − 2.

3. f(x) = x+ sen(x).

4. f(x) = x2 + 1.

5. f(x) = x2 − 3.

6. f(x) = ex − 1.

7. f(x) = x3.

8. f(x) = arctan(x).

Ejercicio 10.5. ¿Para cuales valores de λ ∈ R, el conjunto J(fλ) es un intervalo

si fλ(x) = x2 + λ?

Ejercicio 10.6. Sea f : R → R. Demostrar que si J(f) es distinto del vacıo y

acotado, entonces J(f) es un conjunto cerrado.

Ejercicio 10.7. Demostrar las siguientes propiedades de la funcion P : R → R.

Sea x < 0. Entonces P (x) < x. Mas aun, para toda n ∈ N se tiene quePn(x) = 3nx. Ası, lımn→∞ Pn(x) = −∞.

Si x > 1, entonces P (x) < 0. Por lo tanto para estos puntos tambien seconcluye que lımn→∞ Pn(x) = −∞.

Los unicos puntos fijos de P son 0 y 34 , y ambos son repulsores. De hecho

todas las orbitas periodicas de P son repulsoras.

Si x ∈(13 ,

23

), entonces P (x) > 1: Esto nos permite, nuevamente, concluir

que para este tipo de puntos lımn→∞ Pn(x) = −∞.

x0 = 328 es un punto periodico bajo P y es de periodo 3. Por tanto, P tiene

puntos periodicos de todos los periodos.

Ejercicio 10.8. Demostrar que

d(t, s

)=

∞∑n=0

|tn − sn|2n

,

donde t = (t0, t1, t2, . . .) y s = (s0, s1, s2, . . .), es una metrica en el espacio Σ2. Esdecir, demostrar que para cualquier terna de puntos t, s y u de Σ2 se tiene que:

d(t, s) ≥ 0,

d(t, s) = 0 si y solo si t = s,

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d(t, s) = d(s, t), y

d(t, u) ≤ d(t, s) + d(s, u).

Ejercicio 10.9. Demostrar que la funcion φ que se estudia en la proposicion 10.5

es en realidad uniformemente continua.

Ejercicio 10.10. Sin utilizar la funcion φ de la proposicion 10.5 demostrar que el

espacio Σ2 no tiene puntos aislados.

Ejercicio 10.11. Demostrar que la funcion corrimiento σ : Σ2 → Σ2 es continua.

Ejercicio 10.12. Sabemos que existe al menos un t0 en Σ2 cuya orbita bajo

σ forma un conjunto denso en Σ2. Demostrar que existe una cantidad infinita no

numerable de puntos en Σ2 con orbita densa. Sugerencia. Σ2 es un conjunto infinito

no numerable.

Ejercicio 10.13. Sean t = (t0, t1, t2, ...), s = (s0, s1, s2, ...) dos puntos en Σ2.

Demostrar que si el lımn→∞ d(σn(t), σn(s)) = 0, entonces existe n0 ∈ N tal que

para toda n ≥ n0 se tiene que sn = tn. Demostrar tambien el recıproco.

Ejercicio 10.14. Sea t ∈ Σ2. Definimos el conjunto estable de t bajo σ de lasiguiente manera:

W s(t) = {s ∈ Σ2 : lımn→∞

d(σn(t), σn(s)) = 0}

Sean 0 = (0, 0, 0, . . .) y

A ={t = (t1, t2, . . .) ∈ Σ2 : existe n0 tal que para todo n ≥ n0, tn = 0

}.

Demostrar que A = W s(0) y que σ(W s(0)

)= W s(0).

Ejercicio 10.15. En cada caso decidir si la afirmacion correspondiente es verda-dera o falsa.

Para cada t ∈ Σ2, Ws(t)es un conjunto numerable.

Para cada t ∈ Σ2, Ws(t)es denso en Σ2.

Si t y s son puntos periodicos, y W s(t)∩W s(s) = ∅, entonces t = s.

Si w ∈ W s(u) y u ∈ W s(t), entonces w ∈ W s(t).

Ejercicio 10.16. Sea

Q = Π∞n=0[0, 1] = {t = (t0, t1, ...) : ti ∈ [0, 1], para toda i ≥ 0}.

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Sean t, s ∈ Q. Demostrar que d(t, s) =∑∞

n=0|tn−sn|

2n es una metrica en Q.

Sea σ : Q → Q dada por σ(t0, t1, t2...) = (t1, t2, ...). Demostrar que σ es unafuncion continua y que σ es caotica en Q.

El espacio Q = Π∞n=0[0, 1] es conocido como el Cubo de Hilbert. Este

conjunto es de gran interes en distintas ramas de las matematicas. En parti-cular Q juega un papel esencial en la topologıa y en los sistemas dinamicos.Varias de sus propiedades se estudian en los libros [19] y [25].

Observemos que el espacio Σ2 es en realidad un subconjunto de Q. Ası lafuncion corrimiento, σ : Σ2 → Σ2, es la restriccion a Σ2 de la misma funcionpero definida en Q.

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Capıtulo 11

Conjugacion topologica

La cantidad de sistemas dinamicos discretos posibles, aun solo conside-rando funciones definidas en subconjutos de R, es enorme. Existen aquı mu-chas preguntas sin respuesta y muchısimas funciones todavıa aguardan unestudio mas profundo. Ante este panorama algunos matematicos han optadopor la siguiente tactica: buscar semejanzas entre funciones, formar gruposde ellas que tengan dinamicas parecidas y, luego, estudiar un representantede cada uno de estos grupos.

El camino para delimitar los grupos es a traves de la conjugacion to-pologica cuya definicion presentamos en el capıtulo 10. Varias son las pro-piedades dinamicas que se preservan a traves de esta conjugacion. Dedica-remos por entero este capıtulo al estudio de algunas de ellas. En particularnos interesan las que nos permiten descubrir si estamos ante un sistemnadinamico discreto caotico: densidad de puntos periodicos, transitividad ysensibilidad a las condiciones iniciales.

11.1. Propiedades que se preservan bajo conjuga-cion

Dadas dos funciones f : X → X y g : Y → Y decimos que son conjuga-das si existe un homemorfismo h : X → Y tal que para todo punto x en Xse tiene que h(f(x)) = g(h(x)), ver definicion 10.8.

Si f y g son conjugadas, tambien es comun decir que f y g son equiva-lentes.

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116 11.1. Propiedades que se preservan bajo conjugacion

Nuestra meta en esta parte se resume en la siguiente afirmacion: Sean fy g dos funciones conjugadas, entonces f es caotica si y solo si g es caotica.

La hipotesis para todos los resultados contenidos en este capıtulo es lasiguiente: Las funciones f : X → X y g : Y → Y son conjugadas bajo elhomeomorfismo h : X → Y .

Proposicion 11.1. Para todo n ∈ N y para todo x ∈ X se tiene queh (fn(x)) = gn(h(x)).

Demostracion. Procederemos por induccion. Como f y g son conjugadas,la afirmacion es cierta para el caso n = 1.

Sean k ∈ N y x ∈ X. Se tiene que

h(fk(x)

)= gk(h(x)).

Entoncesh(fk+1(x)

)= h

(fk (f(x))

)= gk(h(f(x)))

= gk(g(h(x))) = gk+1(h(x)).

Proposicion 11.2. Las funciones g : Y → Y y f : X → X son conjugadasbajo el homeomorfismo h−1 : Y → X.

Demostracion. Sea y un punto en Y . Entonces

g(y) = g(h(h−1(y)

))= h

(f(h−1(y)

)).

Aplicando el homeomorfismo h−1 a los extremos de la expresion anteriorobtenemos la igualdad siguiente: h−1(g(y)) = f

(h−1(y)

).

Ahora veremos el comportamiento de los puntos periodicos bajo la con-jugacion. Sea x en X. Si x es un punto fijo bajo f , entonces h(x) ∈ Y es unpunto fijo bajo g ya que

g(h(x)) = h(f(x)) = h(x).

Si x es un punto periodico bajo f de periodo N > 1, entonces h(x) es unpunto periodico bajo g de periodo N tambien. La razon es la siguiente:Sabemos que fN (x) = x y para todo 1 ≤ j < N , f j(x) = x. Entonces

gN (h(x)) = h(fN (x)) = h(x).

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Capıtulo 11. Conjugacion topologica 117

Por otro lado, como h es un homeomorfismo, h es inyectiva. Ası paracada 1 ≤ j < N ,

gj(h(x)) = h(f j(x)) = h(x).

Por ultimo, si y ∈ Per(g), entonces x = h−1(y) es punto periodico bajof por la proposicion 11.2.

En resumen, el homeomorfismo h transforma el conjunto Per(f) en elconjunto Per(g) preservando los periodos correspondientes.

La siguiente proposicion nos dice que h tambien respeta la densidad delconjunto Per(f), si es que este es el caso. Ası dos funciones conjugadastienen, en esencia, el mismo comportamiento en cuanto a puntos periodicosse refiere.

Proposicion 11.3. El conjunto Per(f) es denso en X si y solo si el con-junto Per(g) es denso en Y .

Demostracion. Gracias a la proposicion 11.2 es suficiente demostrar que siPer(f) es denso en X, entonces Per(g) es denso en Y .

Sea U ⊂ Y un conjuto abierto y distinto del vacıo. Entonces h−1(U)es un subconjunto de X que es tambien abierto y distinto del vacıo. ComoPer(f) es denso en X, existe x0, punto periodico de f , en h−1(U).

Sea y0 = h(x0). Entonces tenemos que y0 es un punto periodico de g queesta en U .

Proposicion 11.4. La funcion f es transitiva en X si y solo si g es tran-sitiva en Y .

Demostracion. Es suficiente demostrar que si f es transitiva en X, entoncesla funcion g es transitiva en Y .

Sean U y W dos conjuntos abiertos, no vacıos, en Y .

Los conjuntos h−1(U) y h−1(W ) son conjuntos no vacıos y abiertos enel espacio X.

Como f es transitiva en X, existen x0 en h−1(U) y N , un numero na-tural, tales que fN (x0) esta en h−1(W ). Entonces h (x0) ∈ U y

gN (h (x0)) = h(fN (x0)

)∈ W.

De aquı se sigue que gN (U) ∩W = ∅.

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118 11.1. Propiedades que se preservan bajo conjugacion

Proposicion 11.5. Supongamos que X y Y son conjuntos compactos. Lafuncion f es sensible a las condiciones iniciales en X si y solo si g es sensiblea las condiciones iniciales en Y .

Demostracion. Nuevamente es suficiente demostrar solo una de las implica-ciones.

Supongamos que f es sensible a las condiciones iniciales enX. Sea ε0 > 0una constante de sensibilidad para f . Denotamos con dX la metrica en Xy con dY la metrica en Y .

Como Y es un espacio compacto y h−1 : Y → X es continua, entoncesh−1 es uniformemente continua en Y . Para el valor ε0, existe δ0 > 0 tal quepara toda pareja de puntos y1 y y2 en Y tales que dY (y1, y2) < δ0 se tieneque dX

(h−1 (y1) , h

−1 (y2))< ε0.

Demostraremos que δ0 es una constante de sensibilidad para g : Y → Y .Sean y0 un punto en Y y γ > 0. Sea U la bola B (y0, γ). El conjunto U

es abierto en Y . Sea x0 = h−1 (y0).El conjunto h−1(U) es abierto en X y contiene al punto x0. Por lo tanto

existen x1 ∈ h−1(U) y N ∈ N tales que

dX(fN (x0) , f

N (x1))≥ ε0.

Los correspondientes puntos h (x0) = y0 y h (x1) estan en U .Ademas como

dX(h−1

(gN (y0)

), h−1

(gN (h (x1))

))= dX

(fN (x0) , f

N (x1))≥ ε0,

se tiene que la distancia en Y entre gN (y0) y gN (h(x1)) debe cumplir larelacion

dY(gN (y0) , g

N (h (x1)))≥ δ0.

Ahora la demostracion de la siguiente proposicion es inmediata.

Proposicion 11.6. Supongamos que X y Y son conjuntos compactos. Lafuncion f es caotica en X si y solo si g es caotica en Y .

Hemos llegado al momento en que podemos cumplir la tarea que nospropusimos en el capıtulo 10. Ahı presentamos la funcion P : R → R cuyaregla de correspondencia esta dada por la ecuacion 10.1. La restriccion de

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P al conjunto de los puntos atrapados J(P ) es conjugada a la funcion co-rrimiento σ : Σ2 → Σ2. Esta segunda funcion es caotica en Σ2. Y como, porultimo, estos espacios, J(P ) y Σ2, son compactos, entonces la funcion P escaotica en el conjunto de los puntos atrapados J(P ).

Dada la importancia de este resultado lo redactamos como una propo-sicion.

Proposicion 11.7. La funcion P : J(P ) → J(P ) es caotica en J(P ).

11.2. La Tienda es equivalente a la Logıstica

En esta seccion utilizamos esta herramienta de la conjugacion topologicapara demostrar que la funcion Logıstica, L : [0, 1] → [0, 1], L(x) = 4x(1−x),es caotica en el intervalo [0, 1].

Sabemos que la funcion Tienda, T : [0, 1] → [0, 1], es caotica en [0, 1].Este hecho reduce nuestra tarea a mostrar que T y L son conjugadas.

Consideremos la funcion h : [0, 1] → [0, 1] dada por

h(x) = sen2(πx

2

)(11.1)

Demostrar las siguientes propiedades de h no es muy difıcil. El lectorqueda invitado a dar los detalles correspondientes en el ejercicio 4.

Para todo x en [0, 1] se tiene que h′(x) ≥ 0.

h es estricatmente creciente en [0, 1]. Por tanto es una funcion inyec-tiva.

h es suprayectiva. Por tanto h : [0, 1] → [0, 1] es biyectiva.

Para todo intervalo abierto A = (a, b) contenido en [0, 1] se tiene queh(A) es un intervalo abierto.

La funcion inversa, h−1 : [0, 1] → [0, 1] es continua en [0, 1]. Por tantoh es un homeomorfismo.

Proposicion 11.8. Las funciones T : [0, 1] → [0, 1] y L : [0, 1] → [0, 1] sonconjugadas utilizando el homeomorfismo h : [0, 1] → [0, 1].

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120 11.2. La Tienda es equivalente a la Logıstica

Demostracion. Sea x un punto en el intervalo [0, 1].Entonces se tienen las siguientes igualdades:

L ◦ h(x) = L(sen2

(πx2

))= 4sen2

(πx2

) (1− sen2

(πx2

))= 4sen2

(πx2

)cos2

(πx2

)=

(2sen

(πx2

)cos

(πx2

))2= sen2(πx).

Por otro lado, calculemos ahora h ◦ T (x). Aquı nos enfrentamos a doscasos.

Caso 1.Sea x ∈

[0, 12

]. Entonces

h ◦ T (x) = h(2x) = sen2(π(2x)

2

)= sen2(πx).

Caso 2.Sea x ∈

[12 , 1

]. Entonces

h ◦ T (x) = h(2− 2x) = sen2(π(2−2x)

2

)= sen2(π − πx)= sen2(πx).

Por lo tanto para todo x ∈ [0, 1] se tiene que L ◦ h(x) = h ◦ T (x).

Ejercicios

Ejercicio 11.1. Sea g : [0, 1] → [0, 1] la funcion lineal por partes definida en el

ejemplo 3.6. Demostrar que g es una funcion caotica en [0, 1]. Sugerencia. Demostrar

que la iteracion g2 restringida al intervalo [0, 12 ] es conjugada a la Tienda.

Ejercicio 11.2. Sean c y k dos numeros reales distintos de cero. Sean f : R → Ry g : R → R dadas por f(x) = x+ c y g(x) = x+ k.

Demostrar que f y g son funciones conjugadas. Sugerencia. Suponer que el

homemorfismo buscado es de la forma h(x) = αx+ β, α y β constantes.

Ejercicio 11.3. Sea f : R → R y g : R → R dadas por f(x) = 2x y g(x) = 3x.

Demostrar que existe h : R → R, homeomorfismo, tal que para toda x ∈ R se

tiene que f ◦ h(x) = h ◦ g(x). Sugerencia. Suponer que el homeomorfismo buscado

tiene la forma: h(x) = xλ, λ constante, cuando x > 0.

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Ejercicio 11.4. En relacion a la funcion h : [0, 1] → [0, 1] definida por la ecuacion11.1, demostrar lo siguiente:

Para todo x en [0, 1] se tiene que h′(x) ≥ 0.

h es estricatmente creciente en [0, 1].

h es suprayectiva.

Para todo intervalo abierto A = (a, b) contenido en [0, 1] se tiene que h(A)es un intervalo abierto.

La funcion inversa, h−1 : [0, 1] → [0, 1] es continua en [0, 1]. Ası h es unhomeomorfismo.

Ejercicio 11.5. Sean f : [a, b] → [a, b] y g : [c, d] → [c, d] dos funciones conjugadas.Demostrar lo siguiente:

1. x0 ∈ [a, b] es un punto fijo atractor de f si y solo si h(x0) es un punto fijoatractor de g.

2. El punto x0 ∈ [a, b] es un punto fijo repulsor de f si y solo si h(x0) es unpunto fijo repulsor de g.

3. La orbita o(x0, f) es densa en [a, b] si y solo si la orbita o(h(x0), g) es densaen [c, d].

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Capıtulo 12

El omega conjunto lımite

Consideremos una funcion f : X → X. Dado un punto x en X, el omegaconjuto lımite de x es el lugar a donde se dirige la orbita de x. Por ejemplo, sila orbita o(x, f) es una sucesion convergente al punto x0, entonces el omegaconjunto limite de x es {x0}.

Denotamos el omega conjunto lımite de x ası: ω(x, f).

En este capıtulo veremos que aunque la sucesion o(x, f) no sea conver-gente, de todos modos se puede definir el conjunto ω(x, f). Estudiaremosademas varias de las propiedades de este conjunto.

Como la orbita o(x, f) tiende al ω(x, f), entonces descubrir algunas delas caracterısticas de este conjunto nos dara informacion sobre el compor-tamiento de los puntos fn(x) cuando n es un numero muy grande.

12.1. El conjunto ω(x, f)

Sean f : X → X y x0 ∈ X. Decimos que y0 ∈ X es punto lımitede la orbita o (x0, f) si existe una sucesion de numeros naturales {ni}∞i=1,n1 < n2 < n3 < . . ., tal que

lımi→∞

fni (x0) = y0.

Todos los puntos lımite de o (x0, f) forman el omega conjunto lımite dex0 bajo f . A este conjunto lo denotamos por: ω (x0, f). Es decir,

ω (x0, f) =

{y ∈ X : existe {ni} ⊂ N, lım

i→∞fni (x0) = y

}.

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124 12.1. El conjunto ω(x, f)

De la definicion es inmediato lo siguiente: Si x0 es un punto fijo bajo f ,entonces ω(x0, f) = {x0}.

La demostracion de la siguiente afirmacion no es tan inmediata: Si x0 esun punto periodico de f , entonces ω(x0, f) es precisamente la orbita o(x0, f).Sin embargo invitamos al lector, en el ejercicio 1, a ofrecer los argumentosnecesarios.

De aquı en adelante cuando nos refiramos a una sucesion formada pornumeros naturales, {ni}∞i=1, se entendera que esta sucesion es estrictamentecreciente, ni < ni+1 para todo i ∈ N.

Sea T : [0, 1] → [0, 1] la funcion Tienda.

Si x0 =25 , entonces ω (x0, T ) =

{25 ,

45

}.

Sea k ∈ N fijo. Si x0 =(12

)k, entonces ω (x0, T ) = {0}.

Proposicion 12.1. Sea X un espacio compacto. Entonces para todo x ∈ X,se tiene que ω (x, f) = ∅.

Demostracion. Sea x ∈ X. Como X es compacto, la sucesion

o(x, f) = {fn (x)}∞n=0

tiene una subsucesion convergente, digamos a y ∈ X. Entonces y ∈ ω (x, f).

Proposicion 12.2. Para todo x ∈ X, ω (x, f) es un conjunto cerrado.

Demostracion. Sean x0 ∈ X y {yn}∞n=1 una sucesion contenida en ω (x0, f)tal que lım

n→∞yn = y0. Demostraremos que y0 ∈ ω (x0, f) y con ello conclui-

mos que ω (x0, f) es cerrado.Como {yn} converge al punto y0, para ε1 = 1, existe n1 en N tal que

d (yn1 , y0) <ε12 .

Como yn1 ∈ ω (x0, f), entonces existe k1 ∈ N tal que

fk1 (x0) ∈ B(yn1 ,

ε12

)⊂ B (y0, ε1) .

Para ε2 = 12 , existe n2 en N tal que d (yn2 , y0) es menor que ε2

2 . Comoyn2 ∈ ω (x0, f), entonces existe k2 > k1 tal que

fk2 (x0) ∈ B(yn2 ,

ε22

)⊂ B (y0, ε2) .

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Capıtulo 12. El omega conjunto lımite 125

De esta manera encontramos una sucesion creciente de numeros natura-les {kj} tal que fkj (x0) ∈ B

(y0,

1j

)para cada j. Por lo tanto, y0 pertenece

al conjunto ω (x0, f).

Proposicion 12.3. Sea X un espacio compacto. Para todo x ∈ X, se tieneque f (ω (x, f)) = ω (x, f).

Demostracion. Tomemos x0 ∈ X y consideremos el conjunto ω (x0, f).Veamos primero que f (ω (x0, f)) esta contenido en ω (x0, f).Sea y0 ∈ f (ω (x0, f)). Existe z0 ∈ ω (x0, f) tal que f (z0) = y0. Existe

ademas una sucesion {ni} contenida en N tal que lımi→∞

fni (x0) = z0.

Entonces, gracias a la continuidad de la funcion f ,

lımi→∞

fni+1 (x0) = f (z0) = y0.

Ası y0 esta en el ω (x0, f). Por lo tanto, f (ω (x0, f)) es subconjunto deω (x0, f).

Ahora demostraremos que ω (x0, f) ⊂ f (ω (x0, f)).Sea y0 ∈ ω (x0, f). Existe una sucesion {ni} de numeros naturales tal

que lımi→∞

fni (x0) = y0. Podemos suponer que cada ni es mayor o igual a 2.

Como X es compacto y la sucesion{fni−1 (x0)

}esta contenida en X,

entonces existe una subsucesion de {ni − 1}∞i=1 tal que

lımj→∞

fnij−1 (x0) = z0.

Ası z0 ∈ ω (x0, f) y

f (z0) = f

(lımj→∞

fnij

−1(x0)

)= lım

j→∞fnij (x0) = y0.

Por lo tanto, y0 ∈ f (ω (x0, f)).

La siguiente proposicion trata de aclarar que queremos decir cuandoexpresamos que la orbita de x tiende al conjunto ω(x, f).

Proposicion 12.4. Sean f : X → X, X un espacio compacto y U un sub-conjunto abierto de X. Sea x tal que ω(x, f) esta contenido en U . Entoncesexiste un numero natural N tal que para todo n ≥ N se tiene que fn(x) ∈ U .

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126 12.1. El conjunto ω(x, f)

Demostracion. El conjunto X \ U es compacto. Si la cardinalidad de

{n ∈ N : fn(x) ∈ X \ U}

es infinita, entonces existe una sucesion creciente de numeros naturales,n1 < n2 < · · · tal que las iteraciones correspondientes fni(x) permanecenen X \ U .

Podemos suponer, sin perder generalidad, que esta sucesion {fni(x)} esconvergente a un punto de X \ U , digamos a y.

De aquı se sigue que y ∈ ω(x, f) y y no pertenece al conjunto U , lo cuales una contradiccion.

Con la ayuda de la proposicion 12.4 obtenemos ahora informacion sobrela dinamica que induce la funcion f en el conjunto ω(x, f) cuando esteconjunto es finito.

Proposicion 12.5. Sean f : X → X, X un espacio compacto y x un puntoen X tal que el conjunto ω(x, f) es finito. Entonces existe y en ω(x, f) talque y es un punto periodico bajo f con

ω(x, f) = o(y, f).

Demostracion. Supongamos que la cardinalidad de ω(x, f) es k. Ası

ω(x, f) = {x1, x2, . . . , xk} .

Como f (ω (x, f)) = ω (x, f), entonces f restringida al conjunto ω(x, f)es una permutacion. Por tanto cada punto xi, 1 ≤ i ≤ k, es elemento deuna orbita periodica.

Consideremos la orbita o(x1, f) contenida en ω(x, f). Renombrando loselementos de ω(x, f), si es necesario, podemos suponer que

o(x1, f) = {x1, x2, . . . , xm}

con m ≤ k.Afirmamos que o(x1, f) = ω(x, f). Si sucede que o(x1, f) = ω(x, f),

entonces m < k.Observemos que la orbita o(x1, f) es un conjunto estrictamente inva-

riante bajo la funcion f . Esto implica que el conjunto {xm+1, xm+2, . . . , xk}tambien es estrictamente invariante bajo f .

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Sea δ > 0 tal que para cada pareja 1 ≤ i, j ≤ k, con i = j,

Cl (B (xi, δ)) ∩ Cl (B (xj , δ)) = ∅.

Sean

U = ∪mi=1B (xi, δ) y W = ∪k

i=m+1B (xi, δ) .

Observemos que o(x1, f) ⊂ U y U ∪ W es un conjunto abierto quecontiene a ω(x, f).

Por la proposicion 12.4, existe un numero natural N tal que si n ≥ N ,entonces fn(x) esta en U ∪W .

Consideremos ahora los conjuntos

E = {n ≥ N : fn(x) ∈ U} y F = {n ≥ N : fn(x) ∈ W} .

Ambos son infinitos ya que tanto U como W contienen una parte deω(x, f). Los puntos fn(x) deben ir y venir de U a W constantemente.

Esto implica que existe una sucesion de naturales, n1 < n2 < n3 < · · · ,tal que

fni(x) ∈ U y fni+1(x) ∈ W.

Sin perder generalidad podemos suponer que la sucesion {fni(x)} esconvergente a un punto z en CL(U). Como

Cl(U) ∩ ω(x, f) = {x1, x2, . . . , xm} = o(x1, f),

y z ∈ ω(x, f), entonces z ∈ o(x1, f).

Por otro lado, dado que f es continua,

lımi→∞

fni+1(x) = f(z).

Como la sucesion{fni+1(x)

}esta contenida en W , entonces f(z) es un

elemento del conjunto Cl(W ).

Ası,

f(z) ∈ o(x1, f) ∩ Cl(W ),

lo que implica que Cl(U) ∩ Cl(W ) = ∅. Esto es una contradiccion.

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128 12.2. ω(x, f) puede ser infinito

12.2. ω(x, f) puede ser infinito

Hasta ahora hemos visto solo ejemplos donde el conjunto ω(x, f) es fini-to. La siguiente proposicion nos muestra la posibilidad de que este conjuntosea, en algunos casos, de cardinalidad infinita.

Proposicion 12.6. Sea T : [0, 1] → [0, 1] la funcion Tienda. Entoncesexiste x0 ∈ [0, 1] tal que ω (x0, T ) = [0, 1].

Demostracion. Sabemos que T es transitiva en [0, 1] y el intervalo [0, 1] escompacto. Entonces existe x0 ∈ [0, 1] tal que o (x0, T ) es densa en [0, 1].Afirmamos que ω (x0, T ) = [0, 1].

Sean x ∈ [0, 1]. Como la orbita o (x0, T ) es densa en [0, 1], para cadak ∈ N la orbita o

(T k (x0) , T

)tambien es densa en [0, 1] (ver ejercicio 19).

Entonces existe una sucesion creciente de numeros naturales {nk}∞k=1 talque

|Tn1 (x0)− x| < 1, |Tn2 (x0)− x| < 1

2, . . . , |Tnk (x0)− x| < 1

k, . . .

Ası obtenemos que lımk→∞

Tnk (x0) = x.

Por lo tanto x ∈ ω (x0, T ). Esto implica que

[0, 1] ⊂ ω (x0, T ) .

Y ası, ω (x0, T ) = [0, 1].

La clave en la demostracion de la proposicion 12.6 fue el hecho de quela Tienda es una funcion transitiva en el intervalo [0, 1]. La siguiente pro-posicion contiene una afirmacion mas general. Invitamos al lector a dar elargumento necesario en el ejercicio 9.

Proposicion 12.7. Sea X un espacio compacto sin puntos aislados. Seaf : X → X una funcion transitiva en X. Entonces existe x ∈ X tal queω (x, f) = X.

Dados f : X → X y x en X sabemos, por la proposicion 12.3, quef (ω (x, f)) = ω (x, f). Como la orbita de x tiende hacia el conjunto ω(x, f),entonces para valores muy grandes de n el comportamiento dinamico de la

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orbita de x es cada vez mas parecido a la dinamica de la funcion f restringidaal omega conjunto lımite de x.

En los ejemplos que hemos visto, la dinamica de

f |ω(x,f) : ω(x, f) → ω(x, f)

cumple una de estas dos condiciones:

existe y ∈ ω(x, f), y ∈ Per(f), tal que la orbita o(y, f) es exactamenteel conjunto ω(x, f),

existe y ∈ ω(x, f) tal que o(y, f) es densa en ω(x, f).

En el ejercicio 11 el lector comprobara que esta no es la situacion general.Ahi se muestra la existencia de una funcion f y un punto x tales que frestringida al conjunto ω(x, f) no tiene orbitas densas.

Otro hecho muy importante, vease ejercicio 4, es el siguiente: Resulta quesi la cardinalidad del conjunto ω(x, f) es finita, entonces existe y ∈ Per(f)tal que

lımn→∞

d (fn(x), fn(y)) = 0.

Por tanto el comportamiento de las orbitas o(x, f) y o(y, f) es, en esen-cia, el mismo. Claro, con la ventaja de que y es un punto periodico bajof .

En este sentido, si queremos encontrar orbitas o(x, f) con dinamica mascomplicada debemos voltear hacia puntos x tales que la cardinalidad delconjunto ω(x, f) no sea finita. Este tipo de puntos nos interesan mucho.

Definicion 12.8. Sean f : X → X y x ∈ X. Decimos que x es un puntoaperiodico o tiene orbita aperiodica si el conjunto ω(x, f) es infinito.

Ejercicios

Ejercicio 12.1. Sea f : X → X. Demsotrar que si x0 es un punto periodico de f ,

entonces ω(x0, f) = o(x0, f)

Ejercicio 12.2. Sean f : X → X y x0 ∈ X. Entonces para cada k ∈ N, se tiene

que ω (x0, f) = ω(fk (x0) , f

).

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130 12.2. ω(x, f) puede ser infinito

Ejercicio 12.3. Sean f : X → X y x, y y z tres puntos en X. Demostrar que si

y ∈ ω(x, f) y z ∈ ω(y, f), entonces z ∈ ω(x, f).

Ejercicio 12.4. Sean f : X → X y x ∈ X. Demostrar que si la cardinalidad delconjunto ω(x, f) es finita, entonces existe y ∈ Per(f) tal que

lımn→∞

d (fn(x)fn(y)) = 0.

Ejercicio 12.5. Sea f : [0, 1] → [0, 1], y sea x0 ∈ [0, 1]. Verdadero o falso:

ω (x0, f) = ω(x0, f

2).

Ejercicio 12.6. Sea T : [0, 1] → [0, 1] la funcion Tienda. Demostrar que si x0 ∈Q ∩ [0, 1], entonces la cardinalidad de ω (x0, T ) es finita.

Ejercicio 12.7. Sea T : [0, 1] → [0, 1] la funcion Tienda. Demostrar que el con-

junto {x : ω(x, f) = {0}} es denso en [0, 1].

Ejercicio 12.8. Sean f : X → X y x0 y y0 en X tales que

lımn→∞

d (fn(x0), fn(y0)) = 0.

Demostrar que ω(x0, f) = ω(y0, f).¿Sera cierto el recıproco: si ω(x0, f) = ω(y0, f), entonces

lımn→∞

d (fn(x0), fn(y0)) = 0?

Ejercicio 12.9. Sean X un espacio compacto sin puntos aislados y f : X → X.

Demsotrar que f es transitiva en X si y solo si existe x ∈ X tal que ω (x, f) = X.

Ejercicio 12.10. Sean f : [a, b] → [a, b] y g : [c, d] → [c, d] dos funciones conju-

gadas bajo el homeomorfismo h. Demostrar que para toda x ∈ [a, b], se tiene que

h(ω(x, f)) = ω(h(x), g).

Ejercicio 12.11. Sea σ : Σ2 → Σ2 la funcion corrimiento. Sea t el siguiente punto:

t = (1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, . . .) .

En t las coordenadas con unos estan aisladas por cadenas de ceros cada vez masgrandes. Estas cadenas crecen como n ∈ N haciendo que sea cada vez mas difıcilencontrar un uno.

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Describir el conjunto ω(t, σ

). En particular demostrar que este conjunto es

de cardinalidad infinita numerable.

Describir la dinamica de σ restringida al conjunto ω(t, σ

).

Ejercicio 12.12. Sean f : [0, 1] → [0, 1], y x0 ∈ [0, 1]. Demostrar lo siguiente:

1. ω (x0, f) = ω(x0, f

2)∪ ω

(f (x0) , f

2).

2. Si f es creciente en [0, 1], entonces para todo x en [0, 1] se tiene que ω(x, f)consta de un solo elemento.

3. Si f es biyectiva, entonces para todo x en [0, 1] se tiene que la cardinalidaddel conjunto ω(x, f) es 1 o 2.

Ejercicio 12.13. Sean f : [0, 1] → [0, 1], y x ∈ [0, 1]. Para cada x en [0, 1] y m ∈ Nconsideramos el siguiente conjunto:

Am(x) ={fk(x) : k ≥ m

}= o(fm(x), f).

Demostrar que

ω(x, f) =∩m≥0

Am(x).

Donde Am(x) denota la cerradura del conjunto Am(x). De aquı se concluye que

ω(x, f) es un conjunto cerrado. Comparar con la demostracion de la proposicion

12.2.

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Capıtulo 13

Una Sumadora

En este capıtulo vamos a estudiar una funcion G : I → I, con I = [0, 1],muy especial: por un lado, para cada n ∈ N, tiene una unica orbita periodicade periodo 2n (repulsora) y no tiene puntos periodicos de otros periodos,por lo que esta funcion proporciona otro ejemplo que demuestra la parte iii)del teorema de Sharkovskii.

Por otro lado, la dinamica esencial es conjugada con una sumadora omaquina de sumar.

La sumadora es un modelo de dinamica simbolica, es decir, una fun-cion definida en el espacio de dos sımbolos, diferente a lo estudiado en elcapıtulo 10. Su comportamiento es muy importante puesto que constituyeuna especie de frontera entre un regimen no caotico y uno en el que reinael caos.

13.1. La funcion G : I → I

Denotamos con la letra I el intervalo unitario [0, 1].

Para definir G : I → I haremos uso de la duplicadora, o doble de unafuncion, la cual definimos en el capıtulo 4, y del conjunto de Cantor cuyaconstruccion recordamos a continuacion brevemente (vease el capıtulo 6).

Definimos C0 = I, A0 =(13 ,

23

)y C1 = C0 − A0. Inductivamente, para

k ≥ 1, de cada uno de los 2k−1 intervalos compactos cuya union es Ck−1

removemos el tercio de enmedio, que es un intervalo abierto de la forma(m3k, m+1

3k

)para algun m ∈ N. Llamamos Ak−1 a la union de estos 2k−1

133

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134 13.1. La funcion G : I → I

intervalos abiertos y definimos

Ck = Ck−1 −Ak−1.

El nuevo conjunto Ck es la union de 2k intervalos compactos, cada uno deellos de longitud 1

3k.

Por definicion, el conjunto de Cantor esta dado por

C =

∞∩k=0

Ck.

La idea es usar repetidamente la duplicadora. Empezamos con una fun-cion muy simple, la constante: g0 (x) =

13 , x ∈ [0, 1]. Tomamos la doble de

g0, que llamamos g1. Inductivamente, tomamos a gn+1 como la doble degn para n ≥ 1. Las figuras 13.1 y 13.2 muestran las graficas de gn paran = 0, 1, 2 y 3.

Figura 13.1: Graficas de las funciones g0 y g1.

Figura 13.2: Graficas de las funciones g2 y g3.

Finalmente, definimos

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Capıtulo 13. Una Sumadora 135

G (x) = lımn→∞

gn (x) , x ∈ [0, 1] (13.1)

Probaremos mas adelante que G esta bien definida (o sea, que el lımiteen (13.1) existe).

Por ahora, examinemos brevemente, desde un punto de vista geometrico,las funciones gn.

Por ser la doble de g0, g1 tiene un unico punto fijo repulsor x0 ∈(13 ,

23

)y una unica orbita atractora de periodo dos en

[0, 13

]∪[23 , 1

].

Notese que la grafica de g1 en[13 ,

23

]es una recta de pendiente −7

3 , porlo que

g′1 (x0) = −7

3< −1.

Las orbitas de todos los puntos x = x0, x ∈(13 ,

23

), eventualmente esca-

pan de este intervalo para quedar atrapadas en[0, 13

]∪[23 , 1

], aproximandose

a la orbita atractora de periodo dos.Al duplicar g1, la nueva funcion g2 tiene un unico punto fijo repulsor en(

13 ,

23

), una unica orbita de periodo dos repulsora en

(132, 232

)∪(

732, 832

), y

una unica orbita atractora de periodo cuatro en[0,

1

32

]∪[2

32,1

3

]∪[2

3,7

32

]∪[8

32, 1

].

La recta mencionada tiene pendiente −73 se reproduce, a escala, en el

intervalo[132, 232

]y las orbitas de puntos no periodicos en(

1

32,2

32

)∪(

7

32,8

32

)y en

(0,

1

3

)eventualmente escapan para quedar atrapadas en los cuatro intervalos dondevive la orbita atractora de periodo cuatro y se aproximan a esta.

Notese la relacion que va apareciendo con la construccion del conjuntode Cantor C: las orbitas periodicas repulsoras de g1 y g2 van quedando,respectivamente, en los tercios excluidos en los primeros dos pasos de laconstruccion de C, es decir, en A0 ∪A1. Las correspondientes orbitas atrac-toras quedan en el complemento de estos tercios excluidos, es decir, en C2.

Al continuar duplicando para obtener gn, n ≥ 3, se produce un fenomenoanalogo: en la grafica de gn la recta de pendiente −7

3 se reproduce, a escala,

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en[

13n ,

23n

]. Aparece una nueva orbita periodica atractora de periodo 2n

contenida en el complemento de los tercios excluidos hasta el n−esimo paso,o sea, en el conjunto Cn. El resto de las orbitas de periodo 2j , j = 0, ..., n−1,son repulsoras y expulsan a las orbitas de los demas puntos que estan en lostercios excluidos

n−1∪j=0

Aj

de los pasos previos.Todas estas afirmaciones se resumen en la siguiente proposicion.

Proposicion 13.1. i) Si 13 ≤ x ≤ 1, entonces gn (x) = g1 (x) para todo

n ∈ N.ii) Si 1

3n ≤ x ≤ 1, entonces gn+1 (x) = gn (x). En consecuencia, si13n ≤ x ≤ 1, entonces gn+k (x) = gn (x) para todo k ∈ N.

iii) Para n ≥ 0, gn tiene una unica orbita atractora de periodo 2n con-tenida en Cn. Ademas, gn (Cn) ⊆ Cn; es decir, Cn es invariante bajo gn.

iv) Para n ≥ 2 y cada j ∈ {0, 1, 2, ..., n− 1}, gn tiene una unica orbitarepulsora de periodo 2j contenida en Aj.

v) Si x ∈n−1∪j=0

Aj y no es un punto periodico de periodo 2j, su orbita

eventualmente abandona al conjunton−1∪j=0

Aj y entra a Cn para converger a

la orbita atractora de periodo 2n.

Demostracion. i) Por definicion, si n ≥ 1 tenemos que

gn (1) =1

3,

gn (x) = (gn−1 (1) + 2)

(2

3− x

)=

7

3

(2

3− x

), si x ∈

[1

3,2

3

], y

gn (x) = x− 2

3, si x ∈

[2

3, 1

].

Conclusion: gn (x) = g1 (x) si13 ≤ x ≤ 1.

Los dos incisos siguientes los demostramos por induccion.ii) El caso k = 1 se sigue del inciso anterior. Suponemos valida la afir-

macion para k = n.

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Para k = n + 1, sea x ∈[

13n+1 ,

13

]. Entonces, como gn+2 es el doble de

gn+1,

gn+2 (x) =1

3gn+1 (3x) +

2

3,

con 3x ∈[

13n , 1

]. Por la hipotesis de induccion, gn+1 (3x) = gn (3x). Por lo

tanto, utilizando que gn+1 es el doble de gn, se sigue que si x ∈[

13n+1 ,

13

],

gn+2 (x) =1

3gn (3x) +

2

3= gn+1 (x) .

Si x ∈[13 , 1

], la afirmacion se sigue del inciso anterior.

Para la parte que falta, sea k ∈ N y

1

3n+k−1≤ x ≤ 1.

Entonces,

gn+k (x) = gn+k−1 (x) .

Analogamente, si1

3n+k−2≤ x ≤ 1,

entonces

gn+k−1 (x) = gn+k−2 (x) .

Como 13n+k−1 < 1

3n+k−2 , se tiene que

gn+k (x) = gn+k−2 (x)

para1

3n+k−2≤ x ≤ 1.

Prosiguiendo (inductivamente) de esta manera,

gn+k (x) = gn+k−j (x) si1

3n+k−j≤ x ≤ 1 y 1 ≤ j ≤ k.

Tomando j = k se sigue la afirmacion.

iii) Para g0 y g1 la afirmacion es evidente.

Por induccion, la suponemos valida para k = n.

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Por la proposicion 4.4, si gn tiene una unica orbita atractora de periodo2n, entonces gn+1 tiene una unica orbita periodica atractora de periodo2n+1.

Vamos a ver ahora que gn+1 (Cn+1) ⊆ Cn+1.Sea x ∈ Cn+1 ∩

[0, 13

]. Por el ejercicio 8 del capıtulo 6, 3x ∈ Cn y por

la hipotesis de induccion, gn (3x) ∈ Cn. Por lo tanto, usando nuevamentedicho ejercicio,

gn+1 (x) =1

3gn (3x) +

2

3∈ 1

3Cn +

2

3⊆ Cn+1 +

2

3⊆ Cn+1.

Por otra parte, si x ∈ Cn+1 ∩[23 , 1

], por el mismo ejercicio,

gn+1 (x) = x− 2

3∈ Cn+1 ∩

[0,

1

3

].

En conclusion, gn+1 (Cn+1) ⊆ Cn+1.Por ultimo, si x0 ∈ Cn es un punto periodico atractor de gn, entonces

x03

∈ 1

3Cn ⊆ Cn+1

es un punto periodico atractor de gn+1.Como Cn+1 es invariante bajo gn+1, se sigue que toda la orbita atractora

(la de x03 ) esta en Cn+1.

iv) Nuevamente procedemos por induccion. Un calculo directo comprue-ba la afirmacion para k = 1.

Por la hipotesis de induccion, todos los puntos periodicos repulsores (deperiodo 2j , 1 ≤ j ≤ n− 1) de gn estan en el intervalo

[13n , 1

]dado que

n−1∪j=0

Aj ⊂[1

3n, 1

].

Como gn+1 coincide con gn en el intervalo[

13n , 1

], gn+1 automaticamente

hereda todos estos puntos periodicos repulsores.Asimismo, a las orbitas que bajo gn eventualmente escapan de

n−1∪j=0

Aj

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para ir a dar a Cn, les ocurre exactamente lo mismo bajo gn+1.

Sea x0 el unico punto periodico repulsor de periodo 2n−1 de gn en elintervalo

(13n ,

23n

)⊂ An−1. Entonces

x03 es el unico punto periodico repulsor

de periodo 2n de gn+1 en el intervalo(

13n+1 ,

23n+1

)⊂ An.

Ahora bien, los 2n puntos de la orbita de x03 estan contenidos en igual

numero de intervalos ajenos; vamos a demostrar que estos intervalos sonprecisamente los que constituyen a An.

Sea y0 = x03 y denotemos por yj , 1 ≤ j ≤ 2j − 1, al resto de los puntos

de la orbita (bajo gn+1) de y0. Por otra parte, sea K =(

13n ,

23n

)⊂ An−1.

Por la definicion de gn+1 y el ejercicio 8, tenemos que

y1 = gn+1

(x03

)=

1

3gn (x0) +

2

3∈ 1

3K +

2

3⊂ An ∩

[2

3, 1

].

Es decir, y1 esta en otro de los intervalos que constituyen a An (de hecho,en el que esta en An ∩

[23 , 1

]mas proximo a 1).

Asimismo, llamando K∗ al intervalo de An−1 que contiene a gn (x0),

y2 = gn+1 (y1) =1

3gn (x0) ∈

1

3K∗ ⊂ An ∩

[0,

1

3

].

Claramente 13K

∗ es un intervalo distinto de(

13n+1 ,

23n+1

)dado que y2 es

distinto de y0.

Continuando de esta manera se concluye que las iteraciones pares de y0quedan contenidas en los 2n−1 intervalos de An ∩

[0, 13

]y las impares en los

2n−1 correspondientes a An ∩[23 , 1

].

Notese que la manera en la que gn+1 permuta cıclicamente a los inter-valos de An esta determinada por la manera en la que gn hace lo propio conlos de An−1 (volveremos a esto mas adelante).

La demostracion del inciso v) utiliza argumentos analogos y se deja allector (ver ejercicio 1).

Un corolario inmediato de la proposicion 13.1 es que la funcion G : I → Iesta bien definida; es decir el lımite en (13.1) existe para x ∈ [0, 1]. Esto sesigue directamente del inciso i) de dicha proposicion. Ademas como

gn (0) = 1− 2

3n+1, n ∈ N,

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140 13.2. Hacia la dinamica de G : I → I

se tiene que G (0) = 1. Mas aun, la convergencia de {gn} a G es uniformeen el intervalo [0, 1] por lo que G necesariamente es continua en [0, 1] (veasetambien el ejercicio 4).

13.2. Hacia la dinamica de G : I → I

Proposicion 13.2. Para cada n ∈ N, la funcion G : I → I definida por(13.1) tiene una unica orbita periodica de periodo 2n y esta es repulsora.

Estas orbitas periodicas repulsoras constituyen la totalidad de las orbitasperiodicas de G.

Demostracion. Sea n ∈ N. ComoG coincide con gn+1 en el intervalo[

13n+1 , 1

]y G deja invariante este intervalo, ambas funciones tienen los mismos puntosperiodicos (y con el mismo tipo de estabilidad). Por lo tanto, G tiene unaorbita repulsora de periodo 2n.

Por otra parte, sea p un punto periodico de G. Entonces 0 < p. SeaN ∈ N tal que 1

3N< p. Como G es identica a gN en el intervalo

[13N

, 1],

entonces p es un punto periodico de gN contenido en este intervalo. Enconsecuencia, p es un punto periodico de periodo 2m para alguna

m ∈ {0, 1, 2, ..., N − 1}

y es repulsor, tanto de gN como de G.Lo anterior prueba que p es un punto periodico de G si, y solo si, p es

un punto periodico de gn para algun n ∈ N. Por lo tanto, G tiene una unicaorbita repulsora de periodo 2n para cada n ∈ N.

Corolario 13.3. La existencia de esta funcion G demuestra el inciso iii)del teorema de Sharkovskii.

Como cada gn va expulsando den−1∪j=0

Aj a las orbitas no periodicas, cabe

esperar que bajo G se generalice este fenomeno, es decir, que las orbitas no

periodicas contenidas en∞∪j=0

Aj converjan, de alguna manera, a C.

Al respecto tenemos el siguiente lema.

Lema 13.4. Sea G : I → I dada por (13.1). Entonces:i) G (Cn) = Cn si n ≥ 1.

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“libroFC” — 2012/11/15 — 19:28 — page 141 — #153 ii

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ii) G (C) = C.iii) Si x /∈ C, la orbita de x bajo G tiende asintoticamente a C o even-

tualmente esta en C.

Demostracion. i) Sea n ≥ 1. Sabemos que gn (Cn) ⊆ Cn. De hecho lacontencion es propia: es claro que gn es suprayectiva de Cn −

[0, 1

3n

]en

Cn −[1− 1

3n , 1]por lo que gn transforma a todas las componentes de Cn

menos la primera, la que esta mas a la izquierda, en todas las componentesmenos la ultima, la que esta mas a la derecha; ademas,

gn

([0,

1

3n

])=

[1− 2

3n+1, 1

]⊂

[1− 1

3n, 1

].

Ası, la razon por la cual la contencion no es propia es porque gn no essuprayectiva de

[0, 1

3n

]en

[1− 1

3n , 1].

ComoG coincide con gn en el intervalo[

13n , 1

], aG le ocurre exactamente

lo mismo en dicho intervalo, es decir, es suprayectiva de

Cn −[0,

1

3n

]en Cn −

[1− 1

3n, 1

].

Sin embargo, es facil comprobar que

G

([0,

1

3n

])=

[1− 1

3n, 1

],

con lo que G (Cn) = Cn.ii) Como

C =

∞∩k=1

Cn,

del inciso anterior se sigue que G (C) ⊆ C.Para ver que C ⊆ G (C), sea y ∈ C. Tambien del inciso anterior se tiene

que para n ≥ 1, existe xn ∈ Cn tal que G (xn) = y. Restringiendonos auna subsucesion si es necesario, podemos suponer que {xn} es convergentea x ∈ I. Por continuidad, G (x) = y.

Ahora bien, la sucesion {xn} es un conjunto de preimagenes de y bajoG. Como cada punto tiene un numero finito de preimagenes bajo G, dichasucesion es finita y como es convergente, una infinidad de terminos asumen

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“libroFC” — 2012/11/15 — 19:28 — page 142 — #154 ii

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142 13.3. Otra mirada a la dinamica simbolica

el valor x; es decir, xn = x para un conjunto infinito de ındices n. Por lotanto, x ∈ Cn para un conjunto infinito de ındices n, por lo que x ∈ C.

El inciso iii) se sigue del inciso v) de la proposicion 13.1 y se deja allector (ejercicio 2).

Una consecuencia de este resultado es que si x no es un punto periodicoy

x ∈∞∪j=0

Aj ,

el conjunto ω(x, f) es precisamente C. En este sentido C es un conjuntoatractor.

Solo nos resta entender la dinamica de G restringida a C. Para ellointroduciremos dinamica simbolica.

13.3. Otra mirada a la dinamica simbolica

Como en el Capıtulo 10, definimos Σ2 como el espacio de sucesionesinfinitas de 0′s y 1′s; es decir,

Σ2 = {s = (s0s1s2...) | sn = 0 o 1, n ∈ N} .

Con la metrica

d(s, t

)=

∞∑k=1

|sk − tk|2k

,

∑2 es un espacio metrico compacto, perfecto y totalmente disconexo, es

decir, es homeomorfo al conjunto de Cantor.

A cada punto x ∈ C le asociamos s ∈∑

2 de la siguiente manera.Primero, inductivamente le asignamos una notacion a las componentes

de Cn: Para n = 1, I1 e I0 denotaran, respectivamente, las componentesizquierda y derecha de C1, es decir,

I1 =

[0,

1

3

]e I0 =

[2

3, 1

].

Observese que esta asignacion es ligeramente distinta a la que hemos utili-zado en capıtulos previos.

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Para n ≥ 2, denotaremos cada componente de Cn con n ındices,

Is0s1...sn−1 ,

de acuerdo a la siguiente regla:

Si se trata de la componente contenida en

Is0s1...sn−2 ⊂ Cn−1

que esta a la izquierda, a los ındices s0s1...sn−2 les agregamos un 1; es decir,sn−1 = 1.

Si es la que esta a la derecha, les agregamos un 0; es decir, sn−1 = 0.

Por ejemplo, para n = 2, I11 e I10 denotan, respectivamente, las com-ponentes izquierda y derecha contenidas en I1; a su vez, I01 e I00 denotanlas correspondientes (izquierda y derecha) de I0. Para n = 3, las dos com-ponentes en las que se subdivide cada Ijk del paso anterior son: Ijk1, a laizquierda, e Ijk0 a la derecha. Y ası sucesivamente.

Para cada x ∈ C existe una unica sucesion de componentes de los res-pectivos Cn, n ∈ N, tales que

{x} = Is0 ∩ Is0s1 ∩ Is0s1s3 ∩ . . . =∩n≥0

Is0s1...sn−1

Equivalentemente, para cada punto x en C existe un unico punto

s = (s0s1s2...snsn+1 . . .)

en Σ2 tal que

{x} =∩n≥0

Is0s1...sn−1 . (13.2)

Definicion 13.5. Definimos φ : C → Σ2 asociandole a x ∈ C dicho unicopunto s ∈ Σ2.

Obviamente la funcion φ esta bien definida. Algunos ejemplos de valores

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de esta funcion son:

φ (0) = (111111...) = (1)

φ (1) = (000000...) = (0)

φ

(1

3

)= (100000...) = (10)

φ

(2

3

)= (011111...) = (01)

φ

(1

9

)= (110000...) = (110)

φ

(2

9

)= (101111...) = (101)

φ

(7

9

)= (010000...) = (010)

φ

(8

9

)= (001111...) = (001).

Proposicion 13.6. La funcion φ : C →∑

2 es un homeomorfismo.

Demostracion. φ es biyectiva: Es inmediato de la definicion que φ es supra-yectiva.

Supongamos s = t. Como si = ti para todo i ∈ N , ello significa que paracada n ∈ N , x y y estan en la misma componente

Is0s1...sn = It0t1...tn

de Cn; en consecuencia x y y estan en la interseccion de todas esas compo-nentes. Como dicha interseccion es solo un punto, tenemos que x = y.

De la biyectividad se desprende que existe la funcion inversa

φ−1 : Σ2 → C.

φ es continua: Sea ε > 0 y x0 ∈ C. Sea k un numero natural tal que1

2k+1 < ε. Sea y ∈ C tal que |y − x0| < 13k.

Esto significa que y y x0 estan en la misma componente de Ck+1, digamosen Is0s1...sk . Entonces,

φ (y) = (s0s1...ska1a2...) y φ (x0) = (s0s1..skb1b2...) ,

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por lo que

d (φ (y) , φ (x0)) ≤1

2k+1< ε.

Por lo tanto, φ es continua en x0.Como C es compacto se sigue que φ−1 :

∑2 → C es continua, con lo

que φ es un homeomorfismo.

Ahora vamos a describir la funcion que modela el comportamiento de Grestringida a C.

Sea 1 = (10000...) =(10

)∈∑

2 (o sea, s0 = 1 y sn = 0 para n ≥ 1).Para s ∈

∑2 se define la suma

s+ 1 = (c0c1c2 . . . cncn+1 . . .)

como sigue: Si s0 = 0, entonces c0 = s0 + 1 = 1; si s0 = 1, entonces c0 = 0,y llevamos 1 a la siguiente coordenada. El resto de las coordenadas, c1, c2,..., se definen sucesivamente de manera analoga.

Por ejemplo,

(0s1s2 . . . sn . . .) + 1 = (1s1s2 . . . sn . . .) ,

(1110s4s5 . . . sn...) + 1 = (0001s4s5 . . . sn . . .) ,

(111 . . . 1 . . .) + 1 = (000 . . . 0 . . .) .

Definicion 13.7. La funcion τ : Σ2 → Σ2 definida por τ (s) = s + 1 sellama la sumadora o maquina de sumar en el espacio Σ2.

En general, es facil comprobar que las coordenadas

c0c1c2 . . . cncn+1 . . .

de s+ 1 solo tienen las siguientes posibilidades:

Si s0 = 0, entonces c0 = 1 y ci = si para i ≥ 1.

Si s0 = . . . = sk−1 = 1 y sk = 0, entonces

c0 = . . . = ck−1 = 0, ck = 1, y ci = si para i ≥ k + 1.

Si si = 1 para i ≥ 0, entonces ci = 0, para i ≥ 0.

La funcion τ es un homeomorfismo de Σ2 en sı mismo y tiene una dinami-ca muy interesante: no tiene puntos periodicos y todas sus orbitas son den-sas. Esta funcion es la que modela el comportamiento de G: es conjugada a

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G restringida al conjunto de Cantor C. La conjugacion la realiza el homeo-morfismo φ : C → Σ2. En lo que resta del capıtulo nos dedicamos a probarestos hechos.

Pero antes, unas observaciones.

Obviamente la suma s + 1 que se ha definido en Σ2 es conmutativa yasociativa (vease el ejercicio 5). Ello nos permite, en particular, definir n1de modo natural como la suma de 1 consigo mismo n veces, para n ∈ N.Ası, 21 = 1 + 1; 31 = 1 + 1 + 1 = 21 + 1; etc.

Notese que τn (s) = s+ n1, por lo que la orbita de un punto s consisteen irle sumando los multiplos de 1 a dicho punto.

El conjunto de multiplos de 1 tiene una propiedad que nos sera de granutilidad: es un conjunto denso en Σ2. Es razonable pensar, entonces, que laorbita de cualquier punto es densa tambien. Vayamos por partes.

Proposicion 13.8. El conjunto de multiplos de 1,

{n1 : n ∈ N

},

es denso en Σ2.

Esta proposicion es muy clara si hacemos una lista como la siguiente:

21 = (01000...) ,

31 = (11000...) ,

41 = (001000...) ,

51 = (101000...) ,

61 = (011000...) ,

71 = (111000...) ,

81 = (0001000...) ,

91 = (1001000...) ,

101 = (010100...) ,

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111 = (1101000...) ,

121 = (0011000...) ,

131 = (1011000...) ,

141 = (0111000...) ,

151 = (1111000...) ,

161 = (0000100...) ,

171 = (1000100...) ,

etc.

Notese como, al principio, en los primeros cuatro multiplos, aparecentodos los bloques de 0 ´s y 1´s de longitud 2 en las primeras dos coor-denadas; luego, en los siguientes ocho multiplos, aparecen los de longitud3 en las primeras 3 coordenadas, y ası sucesivamente (estos bloques estansubrayados).

Esta claro que, eventualmente, cualquier bloque de 0´s y 1´s de longitudn va a aparecer en las primeras n coordenadas de algun multiplo de 1.

Demostracion. Sean

s = (s0s1s2 . . . snsn+1 . . .) ∈ Σ2

y ε > 0. Sea n ∈ N tal que 12n < ε.

Queremos exhibir un multiplo de 1 en la vecindad de s de radio ε; bastacon que las primeras n+1 coordenadas de dicho multiplo coincidan con lasprimeras n+ 1 coordenadas de s.

Inspeccionando la lista anterior, concluimos que los bloques de 0′s y 1′sde tamano n+ 1 aparecen a partir del lugar

h = 2 + 22 + 23 + · · ·+ 2n = 2n+1 − 2,

es decir, a partir del multiplo h1 en dicha lista.Por lo tanto, entre h1 y (h+ 2n) 1 hay un multiplo de 1, digamos m1,

con la primeras n+ 1 coordenadas deseadas.Entonces,

d(s,m1

)≤ 1

2n< ε

con lo cual queda demostrada la proposicion.

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148 13.4. La conjugacion entre G y τ

Proposicion 13.9. La funcion τ : Σ2 → Σ2 es un homeomorfismo.

Esta funcion no tiene puntos periodicos y todas sus orbitas son densas.

Demostracion. La parte de que es τ un homeomorfismo se deja de ejercicioal lector (ejercicio 6).

Para ver que las orbitas son densas tomemos s ∈ Σ2.

Llamemos B al conjunto{n1 : n ∈ N

}.

Para cada s ∈ Σ2 definimos τs : B →∑

2 como

τs (y) = s+ y,

con y ∈ B.

Observese que la orbita de s es el conjunto τs (B).

Es evidente que τs es una funcion continua e inyectiva; como B es densoen Σ2, se sigue que τs (B) tambien lo es.

Finalmente, por ser densa en Σ2, una orbita no puede ser finita y por lomismo, no puede ser periodica.

13.4. La conjugacion entre G y τ

Cabe esperar que la dinamica de G restringida a C se vaya prefiguran-do en la dinamica de gn restringida a Cn. Codificaremos, entonces, estadinamica de gn como una manera de aproximarnos a la dinamica buscadade G.

De acuerdo con el inciso v) de la proposicion 13.1, bajo gn las orbitas

de los puntos enn−1∪j=0

Aj que no son periodicos, eventualmente abandonan

este conjunto y caen en Cn para converger a la orbita atractora de periodo2n. En consecuencia, basta con codificar la manera en la que gn permutacıclicamente a las componentes de Cn.

Con la notacion introducida, a x ∈ Is0s1...sn−1 ⊂ Cn, le asignamos lan−ada: s0s1...sn−1 (o sea, a todos los puntos en una misma componente seles asigna la misma n−ada). El problema es ¿que n−ada le queda asignadaa gn (x)?

La manera en la que gn permuta cıclicamente a las componentes de Cn

esta determinada por la manera en la que gn−1 hace lo propio con las de

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Cn−1. Para darnos una idea de como ocurre esto empecemos desde el primerpaso, es decir, con la funcion g1.

Esta funcion simplemente permuta a las componentes izquierda y dere-cha de C1: I1 por I0 y viceversa.

En consecuencia, bajo g2 cada componente de C2 contenida en I1 sepermuta con una de I0 y viceversa.

Como la grafica de g2 en I0 es la recta y = x − 23 (monotona creciente,

paralela a la identidad), bajo g2 las componentes de C2 ∩ I0 preservan suorden; es decir, como I01 esta a la izquierda de I00, la imagen de I01 debeestar a la izquierda de la de I00. Por lo tanto,

g2 (I01) = I11 y g2 (I00) = I10.

Viendo nuevamente la grafica es evidente que la que esta mas a la izquier-da de todas las componentes de C2, I11, bajo g2 va a caer en la que esta masa la derecha, que es I00, es decir, g2 (I11) = I00. Finalmente, g2 (I10) = I01.

Para los puntos de C2 podemos resumir esquematicamente esta dinamicade g2 de la siguiente manera:

11 → 00 → 10 → 01 → 11

Razonando en forma analoga, dejamos al lector comprobar que la dinami-ca de g3 en C3 la podemos describir esquematicamente como sigue (ejercicio7):

111 → 000 → 100 → 010 → 110 → 001 → 101 → 011 → 111

Quiza el lector ya se dio cuenta que, en general para n ≥ 3, es valido losiguiente:

1) Bajo gn, cualquier componente de Cn ∩ I0 va a dar a una de Cn ∩ I1y viceversa.

2) La grafica de gn en I0 es la recta y = x − 23 (monotona creciente,

paralela a la identidad) por lo que bajo gn las componentes de Cn ∩ I0 pre-servan su orden; es decir, si una de tales componentes, J , esta a la izquierdade otra, K, entonces gn (J) esta a la izquierda de gn (K).

De aquı se deduce inmediatamente que si

I0s1...sn−1 ⊂ Cn ∩ I0,

entoncesgn

(I0s1...sn−1

)= I1s1...sn−1 .

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Es decir, excepto por el primer ındice, s0, que cambia de 0 a 1, el resto delos ındices de la componente no se alteran. Esto resuelve por completo cuales la dinamica de gn restringida a Cn ∩ I0.

3) La que esta mas a la izquierda de todas las componentes de Cn,

I11...1

(todos los ındices son 1), bajo gn va a caer en la que esta mas a la derecha,que es

I00...0

(todos los ındices son 0).4) En todas las componentes de Cn ∩ I1 excepto en la primera, I11...1, la

grafica de la funcion gn es una recta paralela a la identidad.Solo falta establecer exactamente la dinamica de gn restringida a las

componentes deCn ∩ I1 \ I11...1.

Para una de estas componentes es trivial, para la segunda: I11...10 (sn−1 = 0y todos los demas ındices son 1). De la grafica se comprueba que esta vaa dar a la penultima: I00...01 (sn−1 = 1 y todos los demas ındices son 0).Esquematicamente,

11 . . . 10 → 00 . . . 01.

La caracterıstica, en este caso, de cambiar los sucesivos 1′s iniciales por0′s y el ultimo 0 por 1, nos da una cierta pauta: Si n ≥ 3, las componentesen Cn ∩ I10,

I10s2...sn−1 ,

van a componentes en Cn ∩ I01,

I01t2...tn−1 ,

y, utilizando la observacion 4), lo hacen preservando el orden en el senti-do que se indico antes; es decir, si una de esas componentes, J , esta a laizquierda de otra, K, entonces gn (J) esta a la izquierda de gn (K).

En consecuencia, los ındices

s2, . . . , sn−1

ya no se alteran; es decir, ti = si si 2 ≤ i ≤ n− 1.

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En resumen:gn

(I10s2...sn−1

)= I01s2...sn−1 .

Esquematicamente:

10s2 . . . sn−1 → 01s2 . . . sn−1.

Estas observaciones nos seran utiles en la demostracion de la tan anun-ciada siguiente proposicion.

Proposicion 13.10. La funcion τ : Σ2 → Σ2 es conjugada con G : C → Cmediante el homeomorfismo φ : C → Σ2.

Es decir, para cada x ∈ C se cumple que φ (G (x)) = τ (φ (x)).

Demostracion. Sean x ∈ C el punto dado por (13.2).Caso 1. Supongamos x ∈ I0 ∩ C.Entonces s0 = 0 y φ (x) = (0s1s2 . . .). Por lo tanto, τ (φ (x)) = (1s1s2 . . .).Por otro lado, la grafica de G en I0 es la recta y = x − 2

3 (monotonacreciente, paralela a la identidad) por lo que para cada n, las componentesde Cn ∩ I0 preservan su orden bajo G (vease la observacion 1) mas arriba).

De aquı se deduce inmediatamente que si x esta dada por (13.2), entonces

{G (x)} = ∩n≥0

I1s1...sn−1 .

Es decir, excepto por el primer ındice, s0, que cambia de 0 a 1, el resto delos ındices de las componentes no se alteran.

Por lo tanto,φ (G (x)) = (1s1s2 . . .)

y obtenemos el resultado deseado.Caso 2. Si x = 0 un simple calculo comprueba el resultado.Tomemos x ∈ I1 ∩ C1 con 0 < x. Entonces, s0 = 1.Supongamos que n es el menor natural tal que sn−1 = 0. Esto significa

que x ∈ Is0s1...sn−20 ∩ C, donde si = 1 para 0 ≤ i ≤ n− 2.En consecuencia,

φ (x) = (11 . . . 10sn+1sn+2 . . .)

yτ (φ (x)) = (00 . . . 01sn+1sn+2 . . .) .

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Como x ∈ Is0s1...sn−20 ∩ C tenemos que x no es elemento del intervaloIs0s1...sn−21, con si = 1 para 0 ≤ i ≤ n− 2. O sea que x ∈

[1

3n+1 , 1].

Dado queG coincide con gn+1 en[

13n+1 , 1

], tenemos queG (x) = gn+1 (x).

Por las observaciones previas,

gn+1

(Is0s1...sn−20

)= It0t1...tn−21

donde ti = 0 para 0 ≤ i ≤ n− 2.De ello se deduce que

G (x) =∩n≥0

I00...01sn+1sn+2 ,

por lo queφ (G (x)) = (00 . . . 01sn+1sn+2 . . .) .

Ejercicios

Ejercicio 13.1. Demostrar el inciso v) de la proposicion 13.1.

Ejercicio 13.2. Demostrar el inciso iii) de la proposicion 13.4.

Ejercicio 13.3. Usese la coleccion {gn} para dar otra demostracion de la parte

ii) del Teorema de Sharkovskii para los periodos 2k del ultimo renglon de la tabla

TS (Capıtulo 3).

Ejercicio 13.4. Probar que G es continua directamente de su definicion.

Ejercicio 13.5. Comprobar que(s+ 1

)+ 1 = s+

(1 + 1

).

Ejercicio 13.6. Demostrar que τ : Σ2 → Σ2 es biyectiva y continua. Concluir de

aquı que τ es un homeomorfismo.

Ejercicio 13.7. Comprobar que la dinamica de g3 en C3 se codifica como se indica

en el texto.

Ejercicio 13.8. ¿Cual es el subconjunto de C que bajo la funcion φ : C →∑

2

va a dar a B ={n1 : n ∈ N

}? Es decir, ¿cual es φ−1 (B)?

Ejercicio 13.9. Sea I = [0, 1] y, para k ≥ 0, sea Jk = [1 − 13k, 1 − 2

3k+1 ]. Sea

fk : Jk → Jk una funcion continua. Definimos f : I → I haciendo f(0) = 0 y

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f(1) = 1, f(x) = fk(x) si x ∈ Jk, y linealmente en lo demas. Demostrar que f tiene

una orbita periodica de perıodo n > 1 si y solo si alguna fk tiene una tal orbita.

Construye ahora una f que solo tenga puntos periodicos de perıodo 2j para todo

j ∈ N. Demuestra que, en este caso, Per(f) es un conjunto cerrado.

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Capıtulo 14

Bifurcaciones. La familia logıstica

Supongamos que tenemos una familia de funciones, fλ : R → R, quedependen continuamente de un parametro, λ que varıa en algun subconjuntode R.

En esta situacion, el problema mas importante que se presenta es elde descubrir los cambios cualitativos que se producen en la dinamica delas funciones conforme varıa el parametro; en particular, los cambios en lanaturaleza del conjunto de puntos periodicos. En terminos generales, cadauno de estos cambios cualitativos se llama una bifurcacion.

Dada la diversidad de familias de funciones y de bifurcaciones, de lo quese trata es de detectar y caracterizar cuales son, bajo condiciones especıficasque surgen de modo natural, los principales tipos de bifurcaciones que sepueden producir, o por lo menos, los que en las familias mas importantesson los mas comunes.

14.1. Bifurcaciones de duplicacion de periodo enla familia logıstica

El ejemplo paradigmatico en funciones reales de variable real es la famosafamilia logıstica,

fλ (x) = λx (1− x) , x ∈ R, (14.1)

cuando el parametro λ varıa en el intervalo [1, 4], o su no menos famosahermana, la familia cuadratica,

gc (x) = x2 + c, x ∈ R, (14.2)

155

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156 14.1. Bifurcaciones de duplicacion de periodo en la familialogıstica

con c variando en el intervalo [−2, 2]. Esta familia es conjugada a la anterior(ver problema 1) por lo que referirse a una de ellas es referirse a ambas; nosconcentraremos entonces en la primera, en la logıstica.

Se trata de un caso paradigmatico por varias razones. Para empezar,cada una de las funciones fλ es un polinomio de grado 2, es decir su graficaes una simple parabola, lo mas sencillo despues de una funcion lineal.

Sin embargo, a pesar de su sencillez, conforme el parametro varıa en elintervalo mencionado estas funciones alcanzan el mas asombroso nivel decomplejidad dinamica imaginable.

Para lograr este nivel de complejidad, primero tiene lugar una serie debifurcaciones llamadas de duplicacion de periodo que van haciendo que estafamilia transite desde la dinamica mas sencilla hasta el umbral de la dinami-ca mas compleja. Ulteriormente, las funciones trascienden este umbral paraadentrarse en el mundo del caos. Mas aun, se ha demostrado que este tipode ruta de bifurcaciones de duplicacion de periodo es un recorrido obligato-rio en lo esencial para una amplia variedad de familias que dependen de unparametro y cuya dinamica evoluciona desde de lo simple a lo complejo.

Ası, la familia logıstica es una especie de modelo, un instrumento paraabrirnos las puertas a la investigacion del mundo de las bifurcaciones y delas dinamicas complicadas.

En este capıtulo iniciaremos el estudio de esta evolucion de lo simple alo complejo de la familia logıstica y a traves de ello, de las bifurcaciones deduplicacion de periodo. En capıtulos posteriores completaremos el analisisde esta familia, veremos otros tipos de bifurcaciones y otras familias.

Cabe aclarar que las matematicas que se requieren para demostrar algu-nos de los resultados con los que nos toparemos en este estudio son suma-mente sofisticadas y fuera del alcance de este texto. Ello no significa que nopodamos abordar dichos resultados, pero al hacerlo recurriremos sobretodoal analisis geometrico y al uso de la experimentacion grafica y numerica conuna computadora. Para el lector interesado en profundizar recomendaremosbibliografıa adecuada.

Las graficas de las funciones fλ son parabolas que abren hacia abajo ycruzan al eje X en los puntos x = 0 y x = 1. En consecuencia, su valormaximo lo alcanzan en x = 1

2 , siendo este valor fλ(12

)= λ

4 , que esta entre14 y 1 si 1 ≤ λ ≤ 4. Ver figura 14.1.

Para estos valores del parametro se cumple que fλ [0, 1] ⊆ [0, 1], y

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Capıtulo 14. Bifurcaciones. La familia logıstica 157

Figura 14.1: Elementos de la familia logıstica.

fλ [0, 1] = [0, 1] solo si λ = 4. Es decir, el intervalo [0, 1] es invariante ypor lo tanto, las orbitas de todos los puntos x ∈ [0, 1] permanecen en dichointervalo.

Por otra parte es facil comprobar que las orbitas de todos los puntosfuera de [0, 1] tienden a menos infinito, por lo que la dinamica interesantehabra de concentrarse en el intervalo [0, 1] (vease el problema 4), ası que enlo que sigue nos centraremos solo en examinar la dinamica de fλ restringidaa [0, 1].

Resolviendo la ecuacion fλ (x) = x, obtenemos que los puntos fijos defλ son x = 0 y

xλ =λ− 1

λ= 1− 1

λ.

Si λ = 1, estos se reducen a solo uno: xλ = 0. Si 1 < λ ≤ 4, entonces0 < xλ < 1. Asimismo, como fλ (1) = 0, el punto x = 1 es eventualmentefijo para todos los valores de λ.

Observese que f ′λ (0) = λ y por consiguiente, al variar el parametro de

λ = 1 a λ > 1, el origen pasa de ser un punto fijo neutro a ser repulsor.De hecho al cruzar el parametro λ = 1 ocurre un cambio cualitativo en ladinamica, una primera bifurcacion para el intervalo de parametros senalado.Dejamos al lector analizar los detalles de esta en el ejercicio 2.

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158 14.2. La primera bifurcacion de duplicacion de periodo

14.2. La primera bifurcacion de duplicacion de pe-riodo

Inspeccionando las graficas es evidente que el punto fijo xλ es atractorcon 0 < f ′

λ (xλ) < 1 para λ > 1 pero cercano a 1; que en λ = 2 este puntofijo coincide con el maximo, xλ = 1

2 , por lo que se vuelve superatractor, esdecir, f ′

λ (xλ) = 0. Y para λ ligeramente mayor que 2, xλ se mantiene comoatractor aunque su derivada es negativa, es decir, −1 < f ′

λ (xλ) < 0. (Verfigura 14.2).

Figura 14.2: Punto fijo atractor cuando 1 < λ < 2 y cuando 2 < λ < 3.

O sea que para este rango de valores del parametro el punto fijo semantiene como atractor aunque cambia la forma en que atrae a la orbitas depuntos cercanos: para λ ∈ (1, 2] la convergencia a xλ es monotona, mientrasque para λ ligeramente mayor que 2 la convergencia es en espiral (ver figura14.3). Este cambio en la forma de la convergencia se produce justamente enλ = 2, cuando xλ es superatractor.

Notemos tambien que si seguimos aumentando levemente el valor de λ,la derivada f ′

λ (xλ) sigue decreciendo hasta ser menor que −1. Consecuente-mente, debe existir un cierto valor del parametro, digamos λ1, para el cualf ′λ (xλ) = −1 y f ′

λ (xλ) < −1 si λ1 < λ.

Tentativamente, entonces, extraemos la siguiente conclusion inicial: Exis-te λ1 > 1 de modo que xλ es atractor si λ varıa en el intervalo (1, λ1) y esrepulsor si λ es mayor que λ1. Ha habido, pues, un cambio importante enla dinamica, una bifurcacion, al cruzar el parametro el valor λ1.

Afortunadamente, en este caso es muy facil determinar exactamente el

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Figura 14.3: Convergencia a xλ.

valor de λ1: Como f ′λ (xλ) = 2 − λ, se sigue de inmediato que |f ′

λ (xλ)| <1 si, y solo si, 1 < λ < 3. Por lo tanto, λ1 = 3. Del analisis grafico sedesprende que si 1 < λ < 3, las orbitas de todos los puntos en el intervalo, aexcepcion de la de 0 y 1, convergen al punto fijo atractor. Lo demostramosa continuacion.

Proposicion 14.1. Para 1 < λ < 3 el punto fijo xλ es atractor y su cuencade atraccion es todo el intervalo abierto (0, 1). Para λ > 3 el punto fijo esrepulsor.

Demostracion. La primera afirmacion y la ultima las demostramos en elparrafo previo al enunciado. Para la segunda, dado que segun el analisisgrafico la convergencia de las orbitas a xλ es de una forma si 1 < λ ≤ 2,y de otra diferente si 2 < λ < 3, analizamos estas dos situaciones porseparado.

Caso 1. 1 < λ ≤ 2. Observese que en este caso el punto fijo xλ esta enel intervalo

(0, 12

]y 0 ≤ f ′

λ (xλ) < 1 (f ′λ (xλ) = 0 si λ = 2). Asimismo, la

funcion fλ es creciente en[0, 12

]por lo que las orbitas de todos los puntos

en este intervalo son monotonas; como tambien son acotadas, convergen aun punto fijo, que necesariamente es xλ. Si x ∈

(12 , 1

), fλ (x) esta en

(0, 12

),

y su orbita converge tambien a xλ.

Caso 2. 2 < λ < 3. En este caso xλ ∈(12 , 1

)y −1 < f ′

λ (xλ) < 0. Esteultimo hecho es el responsable de la forma como en espiral en que convergenlas orbitas a xλ. La argumentacion ahora es ligeramente mas complicada queen caso anterior.

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ii

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Volvamos a la discusion de la bifurcacion que se produce al cruzar elparametro λ = 3.

Justo para λ = 3 se cumple que f ′λ (xλ) = −1, por lo que xλ es ahora un

punto fijo neutro. Es factible comprobar que en este caso de todos modoslas orbitas de todos los puntos en el abierto (0, 1) convergen a xλ.

Si λ > 3 se tiene que f ′λ (xλ) < −1; es decir, el punto fijo xλ se vuelve

repulsor, tal como habıamos senalado.

Pero necesariamente hay mas cambios porque, pensemos en lo siguiente:Para λ > 3 el origen es repulsor y xλ tambien lo es. En consecuencia,orbitas de puntos cercanos a 0 se alejan de este y algo semejante ocurrecon las orbitas de puntos cercanos a xλ. Intuitivamente darıa la impresion,entonces, que debe haber algo entre 0 y xλ y tambien algo entre xλ y 1, queatrae a las orbitas que salen repelidas de uno y otro lado.

En efecto, esto es ası. La clave esta en la segunda iteracion, f2λ .

Como f ′λ (xλ) = −1 para λ = 3, obtenemos que

(f2λ

)′ (xλ) = 1; es decir,

para λ = 3 la grafica de f2λ se vuelve tangente a la identidad en el punto fijo

xλ. Semejante situacion es, por necesidad, inestable: cualquier perturbaciondestruye esta tangencia, ası que es razonable imaginar que algo va a cambiaral mover el parametro.

En la figura 14.4 se muestran graficas de f2λ para λ < 3, λ = 3 y λ

ligeramente mayor que 3.

Como puede apreciarse, para λ < 3, la grafica de f2λ cruza la identidad

solo en 0 y en xλ; es decir, f2λ no tiene puntos fijos adicionales a los de fλ, o

lo que es lo mismo, no existen orbitas de periodo 2. Para λ = 3 esta situacionse preserva, aunque la grafica de f2

λ se vuelve tangente a la identidad en xλlo cual, como dijimos, es una situacion inestable, o lo que es lo mismo, es elanuncio de un cambio inminente. Para λ ligeramente mayor que 3, aparecendos nuevos puntos fijos de f2

λ : se trata de una orbita de periodo dos, queclaramente es atractora (bajo f2

λ).

En resumen, al cruzar el parametro el valor λ = 3 se produce un cambiocualitativo en la dinamica, que consta de dos ingredientes: el punto fijo xλse vuelve repulsor y a su vez, nace una orbita de periodo 2 que es atractora.Precisamente es esta nueva orbita atractora la que ahora atrae a las orbitasrepelidas por 0 y xλ.

A este tipo de cambio cualitativo se le llama una bifurcacion de dupli-cacion de periodo (mas adelante daremos una definicion general).

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0 x� 1

0

x�

1

0 x� 1

0

x�

1

0 a�

x� b

�1

0

a�

x�

b�

1

Figura 14.4: Graficas de f2λ para λ < 3, λ = 3 y λ > 3.

La demostracion analıtica de que para λ > 3 nace una nueva orbita deperiodo 2, y es atractora si λ es ligeramente mayor que 3, es bastante directay la hacemos a continuacion.

Comprobacion analıtica de la aparicion de una orbita de periodo 2 paraλ > 3.

Los puntos de periodo 2 son raıces de la ecuacion de grado 4, f2λ (x)−x =

0. Tras unos pocos calculos tenemos que

f2λ (x)− x = −λ3x4 + 2λ3x3 −

(λ3 + λ2

)x2 +

(λ2 − 1

)x.

El problema de resolver f2λ (x) − x = 0 se puede reducir tomando en

cuenta que los puntos fijos de fλ tambien son raıces de esta ecuacion y que,por lo tanto, fλ (x)−x divide a f2

λ (x)−x. Efectuando la division, obtenemosf2λ (x)− x = (fλ (x)− x)ϕ (x), donde ϕ (x) es el polinomio de grado 2

ϕ (x) = λ2x2 −(λ2 + λ

)x+ λ+ 1.

Los puntos de periodo 2 buscados son las raıces de ϕ (x).

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Usando la formula de costumbre (y haciendo algunas simplificaciones),estas raıces son

λ+ 1±√

(λ+ 1) (λ− 3)

2λ(14.3)

Notese que el discriminante de (14.3) es no negativo solo si λ ≤ −1 oλ ≥ 3. Por lo tanto, existen soluciones reales para el rango de parametrosque nos interesa solo si λ ≥ 3. En consecuencia, si 1 ≤ λ < 3, no existenpuntos de periodo 2. Si λ = 3 solo hay una raız de ϕ (x) que es precisamenteel punto fijo xλ = 2

3 , por lo que aun no hay periodo 2; y si λ > 3, haaparecido una nueva orbita periodica de periodo 2. Fin

Sea {aλ, bλ} (con aλ < xλ < bλ) la nueva orbita de periodo 2. Porla regla de la cadena la derivada de f2

λ en estos nuevos puntos periodicoscoincide: (

f2λ

)′(aλ) =

(f2λ

)′(bλ). (14.4)

Llamemos dλ a este valor comun; es decir,

dλ =(f2λ

)′(aλ) =

(f2λ

)′(bλ).

La naturaleza de {aλ, bλ} depende de la evolucion de dλ al ir cambiandoel parametro.

Geometricamente es clara esta evolucion, como se muestra en las figuras14.5 y 14.6.

0 a�

x� b

�1

0

a�

x�

b�

1

0 a�

x� b

�1

0

a�

x�

b�

1

Figura 14.5: Variacion del valor dλ.

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A la izquierda de la figura 14.5 vemos la grafica de la iteracion (fλ)2 con

λ un poco mayor que 3. En este caso dλ es positivo y menor que 1. En laparte derecha de la figura consideramos λ un poco mayor aun, y obtenemosdλ = 0.

Posteriormente, en la figura 14.6, dλ es negativa, pero con modulo menorque 1. O sea que para este rango de parametros, {aλ, bλ} es atractora. Loque cambia, al pasar de la figura 14.5 a la figura 14.6, es la forma de laconvergencia a la nueva orbita atractora. De nuevo, este cambio se producejusto cuando dλ = 0, es decir, cuando la orbita {aλ, bλ} es superatractora(es facil comprobar que dλ = 0 cuando

λ = λ∗2 = 1 +

√5 = 3,236 . . .

Ver Problema 7).

0 a�

x� b

�1

0

a�

x�

b�

1

Figura 14.6: Aquı −1 < dλ < 0.

Ahora bien, en la figura 14.7 se tiene dλ < −1 para cierto valor de λ, locual significa que la orbita {aλ, bλ} es repulsora. Entonces, debe haber unparametro λ2 para el cual dλ2 = −1, que es donde se producirıa el cambiode {aλ, bλ} de atractora a repulsora; es decir, en λ2 habrıa otra nuevabifurcacion.

Esta observacion nos sera util para los calculos siguientes. La naturalezade la nueva bifurcacion en λ2 la discutimos esto mas abajo.

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0 a�

x� b

�1

0

a�

x�

b�

1

Figura 14.7: dλ < −1.

Determinacion analıtica del intervalo en el que {aλ, bλ} es atractora ydel parametro λ2 en el que se vuelve repulsora.

Notese que

(fλ)′ (aλ) = λ (1− 2aλ) = −1 +

√(λ− 1) (λ− 3)

y, analogamente,

(fλ)′ (bλ) = −1−

√(λ− 1) (λ− 3).

Multiplicando estos 2 numeros obtenemos, de acuerdo con (14.4),

dλ = 1− (λ− 1) (λ− 3) .

Como funcion de λ, dλ es una parabola que cruza al eje X en los puntos1 ±

√5, es positiva en el intervalo entre estos dos puntos y negativa fuera

de este. Nos interesa el intervalo en el que {aλ, bλ} es atractora (o neutra),es decir, en el que |dλ| ≤ 1.

Notese que dλ = 1 para λ = 3. Esto corresponde al hecho senaladopreviamente de que para λ = 3 no existen aun orbitas de periodo 2 y lagrafica de f2

λ es tangente a la identidad en xλ.

Como en particular dλ decrece para λ ≥ 3, para resolver |dλ| ≤ 1 bastacon determinar el parametro positivo λ para el cual dλ = −1; este es elparametro buscado λ = λ2.

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Resolviendo dλ = −1, tenemos que

λ2 = 1 +√6 ≈ 3,4495 . . .

En consecuencia,(3, 1 +

√6)es el intervalo en el que |dλ| < 1 o, equi-

valentemente, en el que la orbita de periodo 2, {aλ, bλ}, es atractora. Y siλ es mayor que λ2, dicha orbita es repulsora Fin.

14.3. La primera cascada infinita de duplicacionesde periodo

Retornemos a la discusion de la bifurcacion en λ2.

Observese para empezar, que los puntos aλ y bλ nacen a uno y otrolado de xλ (aλ < xλ < bλ). Consecuentemente, cuando {aλ, bλ} se vuelverepulsora para λ > λ2, las orbitas de los puntos a la izquierda y a la derechade cada uno de estos tres puntos periodicos (xλ, aλ y bλ) se ven repelidosen sentidos opuestos.

Ya hemos visto una situacion parecida cuando el punto fijo xλ se vol-vio repulsor para λ > 3.

Es bastante razonable conjeturar, entonces, que debe haber alguna orbi-ta periodica atractora nueva, evidentemente de periodo 4, que atrae a lasorbitas repelidas. Es decir, debe haber una nueva duplicacion de periodo.

Recurriendo a las graficas de f4λ , podemos convencernos de que esto es

ası. Veamos primero las figuras 14.8 y 14.9.

Para λ ≤ λ2, la grafica de f4λ cruza la identidad solo en los puntos fijos

y en los de periodo 2; no existen orbitas de periodo 4. Para λ = λ2, el hechodλ2 = −1 implica que

(f4λ

)′(aλ2) =

(f4λ

)′(bλ2) = 1, lo cual significa que la

grafica de la cuarta iteracion, f4λ2, se vuelve tangente a la identidad en dos

puntos, en aλ y bλ. Aquı, tampoco existe una orbita de periodo 4, pero existeuna situacion inestable. En consecuencia, para λ ligeramente mayor que λ2,a la vez que la orbita {aλ, bλ} se vuelve repulsora, aparecen cuatro nuevospuntos fijos de f4

λ , dos de ellos alrededor de aλ y los otros dos alrededor debλ. Se trata, desde luego, de una orbita de periodo cuatro, que claramentees atractora (bajo f4

λ). Ver figura 14.10.

En suma, en λ2 ha habido una nueva bifurcacion de duplicacion de pe-riodo.

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166 14.3. La primera cascada infinita de duplicaciones deperiodo

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Figura 14.8: λ < λ2, no existe periodo 4.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Figura 14.9: λ = λ2, situacion inestable.

La historia, en este sentido, se ha repetido.

¿A que se debe esta repeticion de la historia?

Claramente se debe a que, por ası decirlo, actua el mismo mecanismoesencial en ambos casos. Notense las semejanzas tan fuertes: al variar el

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0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Figura 14.10: λ > λ2, orbita atractora de periodo 4.

parametro en el intervalo (1, λ1), el punto fijo xλ es atractor, en λ1 es neu-tro y cruzando este parametro es repulsor. Lo mismo ocurre con la orbitade periodo 2, {aλ, bλ}, al variar el parametro en el intervalo (λ1, λ2) y pos-teriormente cruzar el valor λ2: la orbita pasa de atractora a neutra y luegoa repulsora. Al ser f ′

λ1(xλ1) = −1 se tiene que

(f2λ1

)′(xλ) = 1, con lo cual la

segunda iteracion, f2λ1, es tangente a la identidad en xλ1 . Se genera ası una

situacion inestable, que deviene en el surgimiento de una orbita nueva deperiodo 2 y a la vez, en la conversion del antiguo atractor en repulsor. Esdecir, el hecho de que f ′

λ1(xλ1) = −1, propicia estos dos cambios dinamicos

sustanciales. Analogamente, al volverse dλ = −1 en λ = λ2, la que se vuelvetangente a la identidad es la cuarta iteracion, creandose el mismo tipo deinestabilidad que antes, solo que ahora con f4

λ2. Necesariamente se duplica

el periodo, y nace periodo 4 (atractor).

La historia, en efecto se repite.

La argumentacion en ambos casos es esencialmente la misma.

Y el hecho es que la historia se repite y se repite, una y otra vez, infini-tamente.

Es decir, si ahora seguimos la evolucion de la cuarta iteracion paraλ > λ2, aparece un parametro λ3 > λ2 para el cual el multiplicador co-rrespondiente a la orbita de periodo 4 toma el valor −1. Con ello, la octava

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iteracion se vuelve tangente a la identidad en cuatro puntos, en la orbitade periodo 4. Cruzando este parametro, la orbita de periodo 4 se vuelverepulsora y a la vez, se duplica el periodo, apareciendo una orbita nueva deperiodo 8, que inicialmente es atractora. Ver figura 14.11.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Figura 14.11: Periodo 4 se vuelve repulsor.

Con base en exactamente el mismo mecanismo, posteriormente, al cruzarcierto parametro λ4 > λ3 la orbita de periodo 8 se vuelve repulsora y apareceuna de periodo 16 atractora. Dejamos al lector ilustrar estos casos con ayudade una computadora. Vease problema 5.

Ası, para cada j ∈ N existe un parametro λj+1 > λj de manera quesi λ ∈ (λj , λj+1), existe una orbita periodica atractora de periodo 2j . En

λ = λj+1 la derivada de f2j

λ en los puntos de dicha orbita es −1. Y para

λ ∈ (λj+1, λj+2) ,

la orbita antes atractora se convierte en repulsora y aparece una nueva orbitaatractora de periodo 2j+1.1

Se produce de este modo una cascada infinita de bifurcaciones de dupli-cacion de periodo.

1Se puede demostrar que exactamente en λj+1 la orbita de periodo 2j sigue siendoatractora.

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Un hecho notable adicional es que el espacio entre los parametros suce-sivos de bifurcacion, λj y λj+1, se va cerrando muy rapidamente, por lo quela sucesion {λj} es convergente a un numero menor que 4, que llamaremosλ∞. En forma aproximada,

λ∞ = 3.5699456 . . .

La existencia de esta cascada infinita resuelve el problema de entenderla dinamica de la familia logıstica para todos los parametros en el intervalo[1, λ∞). Aunque gradualmente se va complicando, la dinamica es relativa-mente sencilla: siempre existe un numero finito de orbitas periodicas, cadauna de ellas de periodo 2j –con 0 ≤ j ≤ k para algun entero k–, y solo unade ellas, la de periodo 2k, es atractora. Las demas son repulsoras. Excep-tuando las imagenes inversas de todos los ordenes de las orbitas repulsoras,las de todos los puntos de I convergen a la orbita atractora.

Queda claro tambien el interesante mecanismo de repeticion infinita queocasiona esta evolucion dinamica.

Ni que decir que es imposible hacer demostraciones o comprobaciones di-rectas, semejantes a las hechas previamente, de la existencia de esta cascadainfinita.

Simplemente la comprobacion algebraica de que en λ2 aparece una nuevaorbita de periodo 4 involucra resolver una ecuacion de grado 16,

f4λ (x)− x = 0,

o por lo menos una de grado 12 (¿verdad?). Claramente se requieren otrosmetodos (al lector interesado se le recomienda consultar [11]).

Por otra parte, la existencia de la mencionada cascada infinita tambienplantea la cuestion de que es lo que pasa cuando λ = λ∞, o sea, ¿cual esla dinamica de la funcion fλ∞ que constituye, digamos, la culminacion dedicha cascada infinita?

En los comentarios al final de este capıtulo nos dedicaremos a buscarcomprender, al menos en un terreno intuitivo, la dinamica de fλ∞ .

La difıcil cuestion de cual es la dinamica de fλ para λ en el resto delintervalo, es decir, en (λ∞, 4], la tratamos (parcialmente) en el capıtulo 16.

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Ejercicios

Ejercicio 14.1. Demostrar que cada funcion en la familia 14.1, para λ ∈ [1, 4], es

afınmente conjugada con una unica funcion en la familia 14.2, con c ∈ [−2, 2]. De-

terminar para cuales valores de c aparecen las primeras 2 bifurcaciones de periodo

en la familia 14.2.

Ejercicio 14.2. Describir la dinamica de la familia logıstica para λ ∈ (0, 1).

Describir tambien las bifurcaciones que tienen lugar, respectivamente, en λ = 0 y

en λ = 1.

Ejercicio 14.3. Analizar la dinamica de la familia logıstica para λ < 0. Hacer un

breve ensayo con sus conclusiones.

Ejercicio 14.4. Comprobar, utilizando analisis grafico, que las orbitas bajo fλ,

con 1 ≤ λ ≤ 4, de todos los puntos fuera de el intervalo [0, 1] tienden a −∞.

Ejercicio 14.5. Con la ayuda de una computadora ilustrar graficamente la apa-

ricion de periodo 8 . Determinar numericamente λ4.

Ejercicio 14.6. Considerar la familia

gλ : R → R, gλ(x) = λ arctan(x)

, con 0 ≤ λ. Analizar la dinamica al variar el parametro λ.

Ejercicio 14.7. Comprobar que λ∗2 = 1 +

√5 = 3,236 . . ..

Comentarios

Mencionamos en el capıtulo 13 que la sumadora constituye una especiede frontera entre la dinamica no caotica y la caotica. Ilustraremos breve-mente este hecho recurriendo a la familia logıstica

fλ (x) = λx (1− x)

con λ ∈ [1, 4].

Sabemos que si λ < λ∞ la dinamica de fλ es estable; y si λ > λ∞ existeun subconjunto de I en el que la dinamica es caotica. Pero ha quedadopendiente resolver cual es la dinamica si λ = λ∞.

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Para empezar, fλ∞ debe tener puntos periodicos de periodo 2k paratodo entero k ≥ 0 y todos deben ser repulsores. En efecto, recuerdese queal pasar el parametro de un intervalo (λj+1, λj+2) al siguiente, las funcionesfλ heredan todas las orbitas repulsoras previas, por lo que la tendencia parafλ∞ es a que existan todas la orbitas de periodo 2k y todas sean repulsoras.

Se puede probar tambien que estos son todos los puntos periodicos defλ∞ ; es decir, la funcion fλ∞ es otro ejemplo que sirve para demostrar laparte iii) del Teorema de Sharkovskii.

Ademas, ello establece una semejanza entre fλ∞ y la funcion G : I → I,vista en el capıtulo 13. De hecho, el parecido llega mas lejos y tiene que vercon lo siguiente: si todas las orbitas periodicas son repulsoras bajo fλ∞ ¿adonde van a dar las orbitas del resto de los puntos del intervalo?

La respuesta la proporciona el siguiente resultado.

Teorema 14.2. Para λ = λ∞, existe un conjunto de Cantor contenido en I,llamemoslo A∞, que es invariante bajo fλ∞, no contiene puntos periodicos ytodos los puntos aperiodicos que estan en su complemento, I\A∞, convergena A∞ o eventualmente caen en este conjunto.

Restringida a A∞, fλ∞ es conjugada con la sumadora.

El parecido con la funcion G : I → I es total: de este resultado sedesprende que fλ∞ en A∞ es conjugada a G en C.

La funcion fλ∞ es todo un acontecimiento en la dinamica global de lafamilia logıstica. No es caotica pero tiene una dinamica muy interesante,y marca la division entre el regimen estable y el regimen caotico de lafamilia. El regimen estable lo constituyen todas las funciones fλ con λ ∈[1, λ∞); el regimen caotico, todas aquellas con λ ∈ (λ∞, 4]. La singularidad,la excepcion a ambos regımenes, es fλ∞ .

La demostracion de este teorema requiere, en particular, de introducirnuevamente la dinamica simbolica de una manera semejante a lo que hemoshecho en capıtulos previos, aunque hay que codificar las orbitas de un modoun poco distinto. No haremos aquı esa demostracion pero podemos esbozarbrevemente un esquema de lo que esta ocurriendo con esta funcion.

Como hemos dicho, el problema esencial es a donde van a dar, bajo fλ∞ ,las orbitas no periodicas. Excluyamos, de entrada, las imagenes inversas detodos los ordenes de todas las orbitas periodicas de periodo 2k, dado que esospuntos eventualmente se convierten en la orbita perodica correspondiente.

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La idea es seguirle la pista al comportamiento de f2k

λkcuando λk tiende a

λ∞.Remontemonos al primer paso, es decir, a los parametros para los que

existe periodo 2 atractor. Las orbitas de todos los puntos que no son even-tualmente periodicos, las aperiodicas, finalmente van a caer en dos interva-los, uno alrededor de cada atractor periodico de periodo 2; se trata de lacuenca inmediata de atraccion de la orbita atractora.

Para los parametros en los que existe periodo 4 atractor, las orbitas ape-riodicas van a caer a 4 intervalos que conforman la correspondiente cuencainmediata de atraccion; simultaneamente, el punto fijo y la orbita de periodo2, que ahora son repulsores, apoyan este transito hacia la cuenca inmediatade atraccion expulsando las orbitas de todos los puntos de alrededor suyo.

Conforme el parametro λ va cambiando y surge periodo 2k atractor, lasorbitas aperiodicas impulsada por los repulsores, van a dar a 2k intervalos,uno alrededor de cada punto de la orbita periodica atractora, que constitu-yen la cuenca inmediata de atraccion de la orbita atractora. En cada paso,dichas cuencas inmediatas de atraccion excluyen a las orbitas periodicas re-pulsoras y a todas sus preimagenes, a la vez que va decreciendo la longitudde los intervalos que conforman a las mismas.

Se va prefigurando ası, un proceso Cantoriano, que efectivamente desem-boca, cuando λ = λ∞, en un conjunto de Cantor, A∞, compuesto unica-mente de puntos aperiodicos, que atrae al resto de las orbitas aperiodicas yque excluye a todas las orbitas periodicas (repulsoras) y a las eventualmenteperiodicas.

De esta manera nace, un conjunto de Cantor atractor, donde la dinamicaes conjugada con la sumadora.

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Capıtulo 15

Nota sobre la bifurcacion tangente

Otro tipo de bifurcacion, distinta de la de duplicacion de periodo, muycomun en numerosas familias, incluıda la logıstica, es la llamada bifurcaciontangente. En este breve espacio nos dedicaremos a ilustrarla a traves de unossencillos pero importantes ejemplos.

15.1. Dinamica de la familia exponencial

Esta familia esta dada por

Eλ (x) = λex, x ∈ R y λ > 0. (15.1)

Para empezar, notemos que Eλ (x) > 0 para todo x ∈ R, si λ > 0.De las graficas correspondientes concluimos de inmediato lo siguiente:Para cierto rango de parametros positivos (grandes), no hay puntos fijos.

Uno de estos parametros es, obviamente, λ = 1.Conforme λ decrece, existe un valor λ = λ0 > 0 para el cual la grafica de

Eλ (x) es tangente a la identidad en unico punto fijo neutro que denotamospor x0. Ver figura 15.1.

Aquı la situacion es inestable en el sentido de que cualquier pequenaperturbacion puede romper la tangencia y producir un cambio cualitativoen la dinamica; es decir, una bifurcacion.

Para

0 < λ < λ0

la grafica de Eλ (x) cruza dos veces la identidad: ahora hay dos puntos fijos,ξλ < xλ, siendo ξλ atractor y xλ repulsor. Figura 15.2

173

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174 15.1. Dinamica de la familia exponencial

Figura 15.1: No existen puntos fijos, λ > 1e . Nace un punto fijo neutro,

λ = 1e .

Figura 15.2: Un atractor y un repulsor, 0 < λ < 1e .

En resumen, primero no existen puntos fijos; posteriormente, al cruzarel parametro por un cierto valor λ = λ0, nace un punto fijo neutro, que deinmediato, para λ < λ0, se desdobla en dos nuevos puntos fijos, uno atractory otro repulsor. A este tipo de bifurcacion se le llama bifurcacion tangente.1

Analıticamente es facil determinar el valor λ0 y el del correspondiente

1Tambien se la conoce como bifucacion silla-nodo, aunque este nombre resulta masclaro en el contexto de dinamica de funciones de varias variables. Ver, por ejemplo, elcapıtulo 2 del libro [11].

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Capıtulo 15. Nota sobre la bifurcacion tangente 175

punto fijo neutro x0: debe cumplirse que

Eλ0 (x0) = λ0ex0 = x0

y

E′λ0

(x0) = λ0ex0 = 1,

de donde x0 = 1 y λ0 =1e .

Observese que este punto fijo neutro x0 es atractor por la izquierda yrepulsor por la derecha, atrayendo las orbitas de todo x < x0 y mandandohacia infinito las de todo punto x > x0.

Por otra parte, para 0 < λ < λ0 la cuenca de atraccion del atractor ξλes el intervalo (−∞, xλ), y si x ∈ (xλ,∞) su orbita se tiende a infinito.

15.2. Familia cuadratica

Otra familia en la que ocurre una bifurcacion de este tipo es en lacuadratica

gc (x) = x2 + c, x ∈ R.

Para c > 14 no existen puntos fijos. Para c = 1

4 la grafica es tangentea la identidad, naciendo ası un punto fijo. Para c < 1

4 , pero c cercano a 14 ,

aparecen dos puntos fijos, uno atractor y otro repulsor (ver figuras 15.3 y15.4).

Figura 15.3: No hay puntos fijos, c > 14 . Nace un punto fijo neutro, c = 1

4 .

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176 15.2. Familia cuadratica

Figura 15.4: c < 14 .

Una diferencia entre las dos familias, exponencial y cuadratica, es que ladinamica de la primera es muy sencilla y la hemos determinado completa-mente para todo λ > 0: Solo sufre una bifurcacion tangente en λ0 = 1

e . Encambio la segunda, tras la bifurcacion tangente en c = 1

4 , al continuar de-creciendo el parametro, su historia, por ası decirlo, apenas comienza (veaseel ejercicio 1 del capıtulo 14).

Ejercicios

Ejercicio 15.1. Considerese ahora la familia exponencial dada por (15.1) pero

con λ < 0. Analizar que tipo de bifurcacion ocurre en λ = −e. Hacer las corres-

pondientes graficas de Eλ (x) y de la segunda iteracion E2λ (x).

Ejercicio 15.2. Describir la bifurcacion que tiene lugar en cada una de las siguien-tes familias en el parametro indicado. Ilustrar con las graficas correspondientes.

Fλ (x) = ex + λ, λ = −1.

Gλ (x) = 1− λx2, λ = 34 .

Hλ (x) = λx2sen (πx), x ∈ [0, 1], λ aproximadamente igual a 1,7263.

Ejercicio 15.3. Con ayuda de una computadora compruebe, recurriendo a lasgraficas correspondientes, que la tercera iteracion de la familia logıstica,

fλ (x) = λx (1− x) ,

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Capıtulo 15. Nota sobre la bifurcacion tangente 177

sufre una bifurcacion tangente al cruzar el parametro el valor

λ = ω3 = 1 +√8.

Ver tambien la discusion de este ejemplo en el capıtulo 16.

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Capıtulo 16

El diagrama de bifurcaciones de lafamilia logıstica

En este capıtulo nos basaremos principlamente en trabajo experimentalcon la computadora; sera una primera mirada a la zona caotica de la familialogıstica,

fλ (x) = λx (1− x) .

Se sugiere fuertemente al lector acceda el mismo a una computadora con elsoftware apropiado para desarrollar sus propios experimentos. Utilizaremoslibremente los resultados que hemos visto en capıtulos previos en relacioncon dicha familia.

Ya hemos reunido suficiente evidencia sobre la existencia de una secuen-cia infinita de bifurcaciones de duplicacion de periodo en la familia logısticaconforme el parametro aumenta de 1 a λ∞ = 3.5699456 . . .

¿Cual es la dinamica de fλ si continuamos aumentando el parametrodespues de λ∞? Esa es justamente la investigacion que vamos a iniciar ahora.Ello lo haremos a traves del diagrama de bifurcaciones de la familia logıstica(y veremos de paso que este tipo de diagramas se pueden extender al estudiode otras familias).

16.1. Obteniendo el diagrama

Este diagrama se obtiene de la siguiente manera.En el plano colocamos al intervalo de parametros [1, 4] en el eje − X.

Para cada λ ∈ [1, 4] seleccionamos un valor inicial x0 y, sobre la raya vertical{λ}× I dibujamos los primeros N puntos de la orbita de este punto bajo la

179

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180 16.1. Obteniendo el diagrama

funcion fλ, donde N es algun entero que fijamos de antemano (por ejemplo,N = 300).

Como solo nos interesa ver a donde tiende la orbita del valor inicialescogido, podemos suprimir, digamos, las primerasm iteraciones, para algunnumerom < N , y dibujar solo las restantes N−m (por ejemplo, suprimimoslas primeras 200 y dibujamos solo las ultimas 100).

Si escogemos λ en el intervalo (1, 3), sabemos que para cualquier va-lor inicial que tomemos su orbita tendera al punto fijo atractor xλ y, enconsecuencia, las iteraciones se acumularan en torno a este. Entonces, loque veremos en la computadora sobre el segmento {λ} × I sera el puntoPλ = (λ, xλ). O sea, en esencia veremos al atractor.

Si repetimos nuestro experimento para algun λ ∈(3, 1 +

√6)lo que

veremos seran dos puntos en torno a los cuales se acumula la orbita de x0,que corresponden a la orbita de periodo 2 atractora.

En la figura 16.1 mostramos los lugares donde se acumulan las iteracionesde un punto x0. Primero en los puntos Pλ = (λ, xλ) sobre {λ} × I cuandoλ ∈ (1, 3), y luego en torno a periodo 2 atractor cuando λ ∈

(3, 1 +

√6).

2.4 2.6 2.8 3.0 3.2 3.4 3.60.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Figura 16.1: Puntos donde se acumulan las iteraciones.

Observacion. Lo mas conveniente para cualquier valor del parametro λ esusar al punto crıtico x0 =

12 como condicion inicial. Esto es ası en virtud de

un importante teorema que nos asegura que si una funcion cumple ciertas

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Capıtulo 16. El diagrama de bifurcaciones de la familialogıstica 181

condiciones, entonces, en la cuenca inmediata de atraccion de toda orbitaperiodica atractora debe existir un punto crıtico. Vease [11].

O sea que, en tales funciones, los puntos crıticos persiguen a los atracto-res, y por lo mismo, dichos puntos detectan, por ası decirlo, si existen o noorbitas periodicas atractoras. Los miembros de la familia logıstica reunenlas condiciones del teorema referido.

Una consecuencia muy interesante del resultado en cuestion es que elnumero de posibles orbitas atractoras esta determinado por el numero depuntos crıticos que tenga la funcion: si esta tiene dos puntos crıticos, alo mas puede tener dos orbitas periodicas atractoras. En las funciones defamilias como la logıstica, en las que solo existe un punto crıtico, a lo maspuede haber una orbita periodica atractora.

Continuemos. Seleccionando suficientes parametros en el intervalo abier-to

(1, 1 +

√6)y repitiendo el experimento para cada uno de ellos, obtenemos

un primer diagrama como el que se muestra en la figura 16.2.

Figura 16.2: Inicio del diagrama de bifurcacion, λ ∈(1, 1 +

√6).

Ahı se observa claramente la existencia de la primera bifurcacion deduplicacion de periodo.

En la figura 16.3 extendemos este diagrama un poco mas alla del valor1 +

√6 para apreciar la segunda de estas bifurcaciones. Tras cada una de

estas dos bifurcaciones la orbita de periodo 2j , j = 0, 1, que previamente eraatractora, sigue existiendo, solo que ahora es repulsora y en consecuencia,se vuelve invisible para la computadora.

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Figura 16.3: Diagrama despues de dos bifurcaciones.

Si ahora seleccionamos parametros en todo el intervalo [1, 4], el diagramacompleto de bifurcaciones aparece en la figura 16.4.

Figura 16.4: Diagrama de bifurcacion completo.

He aquı el retrato familiar. Este diagrama encierra los secretos de lafamilia logıstica.

En la figura 16.5 hemos acortado el intervalo de parametros con el fin

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de amplificar la imagen de la parte mas interesante y mejorar nuestra apre-ciacion del diagrama.

Figura 16.5: Diagrama cuando λ ∈ [2.4, 4].

Sin duda esta figura es una de las mas emblematicas y populares del areade sistemas dinamicos discretos. Ha sido objeto de numerosas investigacionesalrededor del mundo. Su estudio es fascinante y sumamente instructivo. Enlo que resta del capıtulo nos dedicaremos a explorar este diagrama, a fin dedescubrir algunas de sus principales caracterısticas.

Recomendamos al lector se tome su tiempo apreciando las figuras.

El regimen de bifurcaciones de duplicacion de periodo se distingue alinicio del diagrama. Las imagenes contenidas en la figura 16.6 destacan elimpresionante fenomeno de autosemejanza que tiene el diagrama; observesecomo, a diferentes escalas, parece reproducirse todo de nuevo.

En particular, esta autosemejanza parece indicar que el regimen de dupli-caciones de periodo vuelve a producirse, a muchas otras escalas, en relacioncon otros parametros. Mas adelante veremos que en efecto esto es ası.

En el diagrama de bifurcaciones se destacan dos grandes zonas: la pri-mera, a la izquierda de λ∞, incluye la (primera) cascada infinita de du-plicaciones de periodo. Para los parametros en esta zona sabemos que lasfunciones correspondientes poseen una dinamica estable, regida por orbitasatractoras de periodo creciente de la forma 2j .

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(a)

(b)

(c)

Figura 16.6: Diagrama ampliado y autosemejanza.

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Un aspecto que se vuelve evidente a partir del diagrama es que el espacioentre sucesivas duplicaciones de periodo se cierra muy rapido; es difıcil,incluso haciendo amplificaciones, poder distinguir mas alla de las primerascuatro o cinco duplicaciones de periodo (sin embargo, ver el ejercicio 1).

Pero sabemos que este regimen de duplicaciones es infinito; y ademas,que la razon entre los sucesivos espacios λi − λi−1, es casi constante, apro-ximadamente igual a

δ = 4.669201 . . .

La segunda gran zona, a la derecha de λ∞, corresponde a un regimen enel que la dinamica de los miembros de la familia es bastante compleja; es lazona del caos.

Precisamente por la complejidad que encierra, es difıcil comprender to-do lo que sucede en esta zona. El diagrama de bifurcaciones es un bueninstrumento para iniciar su estudio, para darnos una primera idea de comoes la dinamica de las funciones que corresponden a los parametros de estazona, para intentar desarrollar conjeturas al respecto. Veamos que logramoshacer.

16.2. Una mirada a la zona caotica

Para los valores λ∞ < λ < 4 salta a la vista lo siguiente: la existencia deciertos huecos, llamados ventanas, que interrumpen lo densamente pobladodel diagrama.1 Se alcanzan a distinguir bastantes de estas ventanas, siendola mas visible la que esta aproximadamente entre 3.83 y 3.86, figura 16.7.

Para entender a que corresponde este fenomeno, examinemos la ventanamas visible. Mirando con atencion, se aprecia que no es un hueco, sino queexisten tres lıneas que van de un extremo a otro de esta ventana. Se tratade la existencia de una orbita atractora de periodo 3 para este rango deparametros.

De hecho es la primera vez que aparece periodo 3 en este diagrama. Esdecir, viniendo de izquierda a derecha con λ > λ∞, esta es la primera zona

1El termino ventana fue introducido el siglo pasado en la decada de los 70’s por RobertM. May, uno de los mas destacados pioneros del estudio de la familia logıstica. Su artıcu-lo Simple mathematical models with very complicated dynamics, ver [21], es altamenterecomendable.

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186 16.2. Una mirada a la zona caotica

Figura 16.7: Ventana en la zona 3.83 ≤ λ ≤ 3.86.

de parametros para la cual las correspondientes funciones fλ poseen unaorbita de periodo 3.

Observemos mas detenidamente esta zona, figura 16.7.

Notese que ademas de la aparicion de la orbita atractora de periodo 3, laautosemejanza del diagrama asoma fuertemente, es decir, hay tres lugaresen esta zona del diagrama –arriba, enmedio y abajo– donde este parecereproducirse totalmente a escala (una de las amplificaciones en la figura16.7 corresponde a uno de estos lugares, al de enmedio).

¿A que corresponde este fenomeno de autosemejanza, que significa?

Que tras la aparicion de la orbita atractora de periodo 3 empieza unaevidente cascada de duplicaciones periodo. O sea que a partir de un ciertoparametro, dicha orbita atractora se vuelve repulsora (por lo que deja deverse en el diagrama) y aparece una orbita atractora de periodo 6 = 2× 3;luego el fenomeno se repite y aparece una de periodo 22 × 3, y ası sucesiva-

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mente van apareciendo todos los periodos de la forma 2k × 3.

Podemos corroborar estas apreciaciones.

La ventana de la que estamos hablando se llama ventana de periodo 3.Se puede demostrar que esta empieza en el parametro

λ = ω3 = 1 +√8 = 3.82843 . . .

Vease el ejercicio 3.

La aparicion de una orbita de periodo 3 por primera vez en esta familiaes producto de una bifurcacion tangente.

En efecto, inspeccionando la grafica de la tercera iteracion f3λ concluimos

lo siguiente.

Para λ < ω3 la grafica de f3λ cruza la recta y = x solo en el origen y en

(xλ, xλ) que corresponde al punto fijo de fλ; por tal razon, aun no existeuna orbita de periodo 3 para fλ, ver figura 16.8.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Figura 16.8: Graficas de la tercera iteracion f3λ , para λ ≤ ω3.

Para λ = ω3 dicha grafica es tangente a la identidad en tres puntosdistintos a los puntos fijos mencionados. En otras palabras, para este valordel parametro aparece por vez primera una orbita de periodo 3 y esta esneutra (el multiplicador de la orbita es +1).

Esta es una situacion claramente inestable.

Para λ ligeramente mayor que ω3 la orbita neutra se ha desdoblado yaparecen dos orbitas de periodo 3, una atractora y la otra repulsora. Verfigura 16.9.

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0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Figura 16.9: Aparecen dos orbitas de periodo 3.

Si el valor de λ sigue aumentando, eventualmente la orbita atractora deperiodo 3 se vuelve repulsora y desencadena una cascada infinita de bifur-caciones de duplicaion de periodo.

Ası es. Experimentando con las graficas de f3λ para diversos parametros

ligeramente mayores que ω3, es claro que en un determinado momento elmultiplicador de la orbita de periodo 3 se vuelve negativo y eventualmenteadquiere el valor −1, tras lo cual necesariamente aparece periodo 6 atractor.Ya conocemos este fenomeno, se trata de una bifurcacion de duplicacion deperiodo, solo que ahora a partir del periodo original 3. Nace, de esta manera,periodo 6, posterirmente periodo 12 y ası sucesivamente.

Estos hechos se notan en el diagrama de bifurcaciones. Nuevamente ex-hortamos al lector a explorar por sı mismo este diagrama con ayuda dealgun software apropiado.

Otra manera de comprobar la aparicion de estas duplicaciones de periodoes recurriendo a las graficas de la sexta iteracion para parametros cercanosa ω3. En la figura 16.10 vemos la grafica de f6

λ para λ = ω3 junto con unacercamiento a la zona de tangencia central.

En general se complica la comprobacion recurriendo a las graficas delas funciones f3·2k

λ , porque es difıcil lograr buenas imagenes de iteracionestan grandes. Sin embargo, la manera esencial en la que actua el mecanismo

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0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Figura 16.10: Sexta iteracion de fλ, para λ = ω3.

de duplicacion apunta claramente a la existencia de una cascada infinita deduplicaciones a partir del periodo original 3.

Las otras ventanas que se observan corresponden a un fenomeno analogo:la aparicion de una orbita atractora de cierto periodo n y la subsecuentecascada infinita de duplicaciones de periodo que produce periodos 2kn parak ∈ N.

A todo el intervalo de parametros que comprende desde la aparicion deuna orbita atractora de periodo n hasta el ulterior desarrollo de la cascadainfinita correspondiente, se le llama ventana de periodo n.

En la figura 16.11, al final del capıtulo, senalamos algunas de las ventanasmas visibles, que corresponden, respectivamente, a la aparicion de orbitasatractoras de periodos 3, 5 y 6 y sus subsecuentes cascadas de duplicaciones.Amplificando repetidamente porciones apropiadas del diagrama, es posiblelocalizar unas cuantas ventanas mas. Para la localizacion de algunas deestas, vease el ejercicio 5.

Surge naturalmente la pregunta de si existe una infinidad de ventanas,y si estas estan diseminadas por todas partes a lo largo de la zona caotica,o se concentran solo en algunos lugares. La pregunta probo ser muy difıcil(rebasa, por mucho, las posiblidades de experimentacion numerica). Sin em-bargo, hacia mediados de la decada de los 90’s del siglo pasado se llego alsiguiente asombroso resultado, que mencionamos sin demostracion. Vease[15].

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Proposicion 16.1. El conjunto de ventanas es abierto y denso en el inter-valo [1, 4].

La densidad de estas significa que dado cualquier intervalo J ⊂ (1, 4),por muy pequeno que sea, existe una ventana de algun periodo que intersectaa J .

La primer ventana estudiada, la mas visible y sin duda la que sirvio demodelo para comprender las demas es la de periodo 1, que abarca el intervalo(1, λ∞). La infinidad restante esta contenida en el intervalo (λ∞, 4) porlo que las respectivas longitudes decrecen drasticamente a cero conformeaumenta el periodo.

Ejercicios

Ejercicio 16.1. Utilizando el diagrama de bifurcaciones, calcular en forma apro-

ximada los parametros λi de bifurcacion de duplicacion de periodo para i = 4, 5, 6.

Ejercicio 16.2. Obtener nuevamente el diagrama de bifurcaciones utilizando di-

ferentes condiciones iniciales y compararlos. ¿que observaciones puede hacer al

respecto?

Ejercicio 16.3. Comprobar, utilizando la mejor aproximacion que le sea posiblea partir del diagrama, que la ventana de periodo 3 empieza en el parametro

λ = ω3 = 1 +√8.

Ejercicio 16.4. Despues de la de periodo 3, la siguiente mayor ventana es la de

periodo 5. Ubicar en forma aproximada parametros entre los cuales se encuentra.

Recurriendo a las graficas correspondientes, corroborar en este caso el fenomeno de

duplicaciones de periodo.

Ejercicio 16.5. La idea en este ejercicio es determinar algunas de las ventanas deperiodos distintos sobre el diagrama de bifurcaciones. Procederemos como sigue:una vez ubicados los periodos de dos ventanas distintas, se trata de encontrar elperiodo de las siguientes mayores ventanas entre estas. Lo haremos en orden, solounas cuantas veces, de la siguiente manera: En el Paso 1, anotamos los periodos

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de las dos mayores ventanas, obviamente la de periodo 1 y la de periodo 3. Ampli-ficando la zona entre estas dos ventanas, es obvio que las siguientes dos ventanasmayores, son las de periodo 6 y 5. Lo anotamos ası, en orden:

Paso 1: 1 3

Paso 2: 1 6 5 3

Ahora, entre las ventanas de periodo 1 y 6, ubicamos las dos mayores de pe-riodos respectivos A y B:

Paso 3: 1 A B 6 5 3

Continuando de esta manera, ubicamos los siguientes periodos:

Paso 4: 1 A B 6 C D 5 E 3

Por ultimo, ubicamos todas las siguientes entre periodo 1 y periodo 6:

Paso 5: 1 α β A γ δ B ϵ 6

El problema consiste en determinar los valores de las letras empleadas para

designar las nuevas ventanas.

Ejercicio 16.6.

Analizando las graficas de fkλ para k = 3, 4, 5 y 6, aproximar el valor de los

parametros λ para los cuales una orbita de periodo k aparece por primeravez.

Para dichos valores de k, ¿cual es el maximo numero de orbitas de periodok que puede tener fλ? ¿Aparecen todas ellas al mismo tiempo?

Nuevamente para estos valores de k, describir las bifurcaciones que producen:

(a) Una orbita de periodo k por primera vez.

(b) El resto de las orbitas de periodo k.

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Figura 16.11: Diagrama de bifurcaciones con m′is.

Comentarios

Por si no bastara la proposicion 16.1, la situacion se complica mas aun.

Las ventanas corresponden a parametros para los cuales existen orbitasperiodicas atractoras (excepto por los parametros de bifurcacion de periododonde tales orbitas se vuelven neutras). La densidad de estas ventanas en

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el intervalo (λ∞, 4] pareciera hablar mas bien del predominio de dinamicasestables. La realidad es que en estas ventanas coexisten dinamicas establescon caoticas. Por otra parte, las ventanas forman un conjunto denso, pero noson la totalidad del intervalo (λ∞, 4]. Entonces, ¿Como es su complemento?¿como es la dinamica de las funciones cuyos parametros corresponden a estecomplemento?

Una vez mas estas preguntas rebasaron con creces el terreno de la expe-rimentacion numerica; tras multiples investigaciones y con el uso de diversasherramientas matematicas, algunas bastante sofisticadas, se lograron gran-des resultados, como los siguientes.

Teorema 16.2. Sea n ∈ N. Supongamos que λ es un parametro en unaventana de periodo n para el cual fλ tiene una orbita atractora (de periodo2kn para algun k ≥ 0). Entonces, la cuenca de atraccion de esta orbitaatractora es un conjunto Aλ, abierto y denso en el intervalo I = [0, 1]. Sucomplemento, I \Aλ, es denso en ninguna parte y de medida cero.

Sabemos que si λ esta en la ventana de periodo 1, es decir, λ ∈ (1, λ∞),fλ solo tiene un numero finito de orbitas periodicas y el complemento dela cuenca de atraccion es un conjunto numerable (o finito, si 1 < λ <2) compuesto de imagenes inversas de todos los ordenes de dichas orbitasperiodicas.

Si λ ∈ (λ∞, 4) la situacion es completamente distinta: fλ tiene por lomenos una orbita periodica de periodo 2kq con q algun impar mayor que 1y k ≥ 0. Por lo tanto, de acuerdo con Sharkovskii, fλ tiene una infinidadde orbitas periodicas distintas. Si fλ tiene una orbita periodica atractora,toda la infinidad restante de orbitas periodicas esta en el complemento dela cuenca de atraccion de la orbita atractora. En esta situacion tenemos losiguiente.

Teorema 16.3. Supongamos que λ es un parametro en una ventana deperiodo n > 1 contenida en (λ∞, 4) para el cual fλ tiene una orbita atrac-tora. Entonces la restriccion de fλ a I \Aλ contiene un conjunto de Cantorinvariante en el que la dinamica es caotica.

En conclusion: bajo fλ conviven un conjunto abierto, denso, en el quela dinamica es estable y un conjunto de Cantor en el que la dinamica escaotica.

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Respecto al complemento de las ventanas en la zona caotica existe elsiguiente resultado.

Teorema 16.4. El complemento del conjunto de ventanas periodicas es demedida positiva en el intervalo (λ∞, 4].

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Capıtulo 17

Introduccion a la entropıa

La entropıa es un intento de asignarle una medida, un numero mayor oigual a cero, a la complejidad de una funcion f : X → X definida en unespacio compacto X.

Algunos autores, como L. S. Block y W. A. Coppel, ver [7], definen a unsistema dinamico como caotico si su entropıa es positiva.

Este concepto tambien nos permite, en cierto sentido, decidir entre dosfunciones caoticas cual de ellas genera una dinamica mas compliacada.

17.1. Primeras propiedades de la entropıa

Daremos la definicion de entropıa propuesta por Adler, Konheim yMcAn-drew en 1965 (ver [2]). Estos autores utilizan de manera esencial el conceptode cubierta abierta de X.

Si bien solo estudiaremos la definicion de Adler et al, es bueno saber queexiste una segunda definicion que fue propuesta por Dinaburg y Bowen. Eneste segundo enfoque se utiliza fuertemente la metrica de X y el conceptode conjunto generador. Es un resultado conocido que en espacios metricoscompactos ambas definiciones son equivalentes (ver [33]).

De aquı en adelanteX y Y representan dos espacios metricos compactos.Las letras griegas α, β, γ y η representan cubiertas abiertas (ya sea de X ode Y ).

Sean α y β dos cubiertas abiertas de X. Definimos

α ∨ β = {A ∩B : A ∈ α,B ∈ β} .

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196 17.1. Primeras propiedades de la entropıa

Observese que α ∨ β es tambien una cubierta abierta de X. En estecapıtulo el sımbolo ∨ es utilizado solo en estos terminos.

De la definicion se sigue de manera inmediata que (α ∨ β) ∨ γ = α ∨(β ∨ γ). Denotaremos a esta ultima cubierta ası: α ∨ β ∨ γ.

Decimos que β es un refinamiento de α, en sımbolos α < β, si para todoB ∈ β, existe A ∈ α tal que B ⊂ A.

Las afirmaciones contenidas en la siguiente proposicion no son difıcilesde demostrar (ver ejercicio 5).

Proposicion 17.1. Sean α, β, γ y η cuatro cubiertas abiertas de X. En-tonces

i) α < α ∨ β y β < α ∨ β;

ii) α < α ∨ α, y α ∨ α < α;

iii) si α < β, entonces α ∨ β < β; y

iv) si α < β, y γ < η, entonces α ∨ γ < β ∨ η.

Como X es compacto, entonces la cubierta abierta α tiene al menosuna subcubierta finita. Si β es una subcubierta finita de α, |β| denotara lacantidad de elementos de β. Al mınimo de estos numeros le llamaremosN(α), es decir,

N(α) = mın {|β| |β es subcubierta finita de α} .

Observese que N(α) ≥ 1.

Dadas dos cubiertas abiertas, α y β, de X se cumplen las siguientespropiedades, ver ejercicos 1 y 2:

N(α) ≤ N(β),

N(α ∨ β) = N(β),

N(α ∨ α) = N(α) y

si ambas son de cardinalidad finita, entonces |α ∨ β| ≤ |α| |β|.

Proposicion 17.2. Sean α y β dos cubiertas abiertas de X. Entonces

N(α ∨ β) ≤ N(α)N(β).

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Capıtulo 17. Introduccion a la entropıa 197

Demostracion. Sean γ y η subcubiertas de α y β, respectivamente, tales que|γ| = N(α) y |η| = N(β). Entonces γ ∨ η es una cubierta abierta de X talque

|γ ∨ η| ≤ |γ| |η| = N(α)N(β).

Como γ ∨ η es una subcubierta de α ∨ β, tenemos que

N(α ∨ β) ≤ N(α)N(β).

Sea f : X → Y una funcion, y sea α una cubierta abierta de Y . Definimos

f−1(α) ={f−1(A)|A ∈ α

}.

Observese que f−1(α) es una cubierta abierta de X.Sea f : X → Y , y sean α y β dos cubiertas abiertas de Y . Observemos

que si α < β, entonces f−1(α) < f−1(β). Tambien se cumple la siguienteigualdad, ver ejercicio 4:

f−1 (α ∨ β) = f−1(α) ∨ f−1(β).

Proposicion 17.3. Sean f : X → Y , y α una cubierta abierta de Y .Entonces N

(f−1(α)

)≤ N(α). Si ademas f es suprayectiva, entonces

N(f−1(α)

)= N(α).

Demostracion. Sea γ una subcubierta de α tal que |γ| = N(α),

γ ={A1, A2, . . . , AN(α)

}.

Entonces,

Y =

N(α)∪i=1

Ai.

Para cada punto x en X existe 1 ≤ i ≤ N(α) tal que f(x) ∈ Ai. Por lotanto,

X =

N(α)∪i=1

f−1 (Ai) .

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ii


Como{f−1 (A1) , f

−1 (A2) , . . . , f−1

(AN(α)

)}es una subcubierta abier-

ta de f−1(α) con N(α) elementos, entonces N(f−1(α)

)≤ N(α).

Supongamos ahora que f : X → Y es suprayectiva. Sea η una subcubier-ta de f−1 (α) tal que |η| = N

(f−1(α)

). Sean Ai ∈ α, 1 ≤ i ≤ N

(f−1(α)

),

tales que

η ={f−1 (A1) , f

−1 (A2) , . . . , f−1

(AN(f−1(α))

)}.

Entonces

Y = f(X) =

N(f−1(α))∪i=1

Ai.

Ası, N(α) ≤ N(f−1(α)

). Por lo tanto N

(f−1(α)

)= N(α).

Dados n ∈ N, f : X → X, y A un subconjunto de X, denotamos porf−n(A) a la imagen inversa de A bajo la funcion fn, es decir,

f−n(A) = (fn)−1 (A) = {x ∈ X|fn(x) ∈ A} .

Con respecto a imagenes inversas es bueno tener a la mano las siguientespropiedades. Ver ejercicios 3 y 4.

Sean f : X → X, α y β dos cubiertas abiertas de X y sea A ⊂ X.Entonces para toda pareja de numeros naturales n y m se tiene lo siguiente:

f−n (f−m(A)) = f−n−m(A),

(fm)−n (A) = f−mn(A),

f−n (α ∨ β) = f−n(α) ∨ f−n(β), y

si α < β, entonces f−n(α) < f−n(β).

Sean f : X → X, y α una cubierta abierta de X. Para cada n ∈ Nconsideremos la cubierta:

∨n−1i=0 f

−i (α) = α ∨ f−1 (α) ∨ f−2 (α) ∨ · · · ∨ f−(n−1) (α) .

A partir de la pareja: f : X → X y α, obtenemos una sucesion decubiertas,

α, α ∨ f−1(α), α ∨ f−1(α) ∨ f−2(α), · · · , ∨n−1i=0 f−i (α) , . . .

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Observemos que cada una de ellas refina a la anterior, es decir

α < α ∨ f−1(α) < α ∨ f−1(α) ∨ f−2(α) < · · · < ∨n−1i=0 f

−i (α) < · · ·

Ası obtenemos la siguiente sucesion de numeros naturales:

N(α) ≤ N(α ∨ f−1(α)

)≤ N

(α ∨ f−1(α) ∨ f−2(α)

)≤ · · · ≤ N

(∨n−1i=0 f

−i (α))≤ · · ·

Notemos que, una vez que fijamos la pareja f y α, el valor de

N(∨n−1i=0 f

−i (α))

solo depende de n. La idea central es descubrir que tan simple o complicadoes el sistema dinamico generado por f a traves del estudio de la rapidez decrecimiento de esta sucesion cuando n tiende a infinito:{

N(∨n−1i=0 f

−i (α))}∞

n=1.

Intuitivamente una funcion sencilla, que mueve muy poco a los puntos deX, estarıa relacionada con un crecimiento lento o polinomial (con respectoa n) del valor N

(∨n−1i=0 f

−i (α)). Una funcion con dinamica mas complicada

moverıa tanto los puntos de X que el crecimiento serıa exponencial.

Para descubrir esta diferencia, entre crecimiento polinomial y crecimien-to exponencial, intentaremos calcular el siguiente lımite:

lımn→∞

1

nlog

(N

(∨n−1i=0 f

−i (α)))

.

Observemos que este lımite es cero si el crecimiento de la sucesion{N

(∨n−1i=0 f

−i (α))}∞

n=1

es polinomial en la variable n (o esta acotado por un polinomio en n), y espositivo si este es exponencial.

Demostraremos primero que el lımn→∞1n log

(N

(∨n−1i=0 f

−i (α)))

sı exis-te. La siguiente proposicion contiene el primer paso en esta direccion.

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“libroFC” — 2012/11/15 — 19:28 — page 200 — #212 ii

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Proposicion 17.4. Sean f : X → X, α una cubierta de X, n y m dosnumeros naturales. Entonces

log(N

(∨(n+m)−1i=0 f−i (α)

))≤ log

(N

(∨n−1i=0 f

−i (α)))

+ logN((∨m−1i=0 f−i (α)

)).

Demostracion. Sean n y m dos numeros en N y sea α una cubierta abiertade X. Entonces

log(N

(α ∨ f−1(α) ∨ · · · ∨ f−m−n+1(α)

))= log

(N

(α ∨ f−1(α) ∨ · · · ∨ f−m+1(α) ∨ f−m(α) ∨ · · · ∨ f−m−n+1(α)

)),

y por el ejercicio 4,

= log(N

(α ∨ f−1(α) ∨ · · · ∨ f−m+1(α) ∨ f−m

((α) ∨ · · · ∨ f−n+1(α)

))),

y por la proposicion 17.2,

≤ log(N

(α ∨ f−1(α) ∨ · · · ∨ f−m+1(α)

)N

(f−m

((α) ∨ · · · ∨ f−n+1(α)

)))= log

(N

(α ∨ f−1(α) ∨ · · · ∨ f−m+1(α)

))+ log

(N

(f−m

((α) ∨ · · · ∨ f−n+1(α)

))).

Ahora, por la proposicion 17.3 tenemos que esta ultima suma es menoro igual a

log(N

(α ∨ f−1(α) ∨ · · · ∨ f−m+1(α)

))+ log

(N

((α) ∨ · · · ∨ f−n+1(α)

)),

con lo cual terminamos nuestra demostracion.

Observese que del ejercicio 7 se concluye que para todo n en N se tieneque

1

nlog

(N

(∨n−1i=0 f

−i (α)))

es menor o igual que log (N (α)).

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Definicion 17.5. Dada {an}∞n=1 una sucesion en R definimos el lım sup (an)y el lım inf (an) de la siguiente forma:

i) si {an}∞n=1 no esta acotada superiormente, entonces

lım sup (an) = ∞,

ii) si {an}∞n=1 no esta acotada inferiormente, entonces

lım inf (an) = −∞,

iii) si {an}∞n=1 esta acotada, entonces

lım sup (an) = max

{y ∈ R|existe {ni}∞i=1 ⊂ N, lım

i→∞ani = y

},

y

lım inf (an) = mın

{y ∈ R|existe {ni}∞i=1 ⊂ N, lım

i→∞ani = y

}.

De la definicion se sigue que

lım inf (an) ≤ lım sup (an) ,

y que

lımn→∞

an = a0

si y solo si

lım sup (an) = lım inf (an) = a0.

Ver ejercicios 8 y 9.

Proposicion 17.6. Sea {an}∞n=1 una sucesion en R que cumple las siguien-tes condiciones:

Para todo n ∈ N, an ≥ 0, y

para todo par de numeros n, m en N, se tiene que an+m ≤ an + am.

Entonces el lımn→∞ann sı existe y su valor es ınf

{ann |n ∈ N

}.

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Demostracion. Sea m ∈ N un numero fijo. Para cada n > m podemosescribir n = qm+ r, donde 1 ≤ q y 0 ≤ r < m. Entonces

an = aqm+r ≤ aqm + ar ≤ qam + ar.

Observemos que para todo n > m tenemos que

ann

≤ q

nam +

arn.

Como n = qm+ r, entonces n−rm = q y q

n = n−rnm . De aquı se sigue que

lımn→∞

q

n=

1

m.

Ası,

lımn→∞

( q

nam +

arn

)=

amm

,

ya que ar solo toma una cantidad finita de valores, {a1, a2, . . . , am−1}.Por lo tanto para cada m en N se tiene que

lım supann

≤ amm

.

De aquı se sigue que

lım supann

≤ c = ınf{amm

|m ∈ N}.

Por otro lado, como para toda n ∈ N se tiene que c ≤ ann , entonces

c ≤ lım inf ann . Por lo tanto, lımn→∞

ann = c.

La demostracion del siguiente corolario es ahora inmediata.

Corolario 17.7. El lımite,

lımn→∞

1

nlog

(N

(∨n−1i=0 f

−i (α)))

.

sı existe. Ademas su valor es mayor o igual a 0 y menor o igual a log(N(α)).

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Definicion 17.8. Sean f : X → X y α una cubierta abierta de X.La entropıa de f con respecto a la cubierta α es:

ent (f, α) = lımn→∞

1

nlogN

(∨n−1i=0 f

−i (α)).

Definimos la entropıa topologica de f ası:

ent (f) = sup {ent (f, α) : α es una cubierta abierta de X} .

Es comun referirnos a la entropıa topologica de una funcion f diciendosolo la entropıa de f .

Ejemplo 17.9. Sea f : X → X la funcion identidad en X. Para cadacubierta α y para cada n ≥ 2 se tiene que

∨n−1i=0 f

−i (α) = α ∨ f−1 (α) .

De aquı se sigue que ent(f, α) = 0. Por lo tanto ent(f) = 0.

Proposicion 17.10. Sean f : X → X, y k ∈ N. Entonces la entropiıa defk es k veces la entropıa de (f).

Demostracion. Sean f y k segun las hipotesis, sea α una cubierta abiertade X, y sea β la cubierta abierta de X dada por

β = α ∨ f−1(α) ∨ · · · ∨ f−k+1(α).

Entonces

ent(fk

)≥ ent

(fk, β

)= lımn→∞

1n log

(N

(β ∨

(fk

)−1(β) ∨ · · · ∨

(fk

)−n+1(β)

))= lımn→∞

1n log

(N

(β ∨ f−k (β) ∨ f−2k (β) ∨ · · · ∨ f−nk+k(β)

))= lımn→∞

1n log

(N

(α ∨ f−1 (α) ∨ · · · ∨ f−k+1(α) ∨ f−k (α)∨

· · · ∨ f−nk+1(α)))

= lımn→∞ k 1nk log

(N

(α ∨ f−1 (α) ∨ · · · ∨ f−nk+1(α)

))= k · ent(f, α).

La ultima igualdad se sigue del hecho de que{1

nklog

(N

(α ∨ · · · ∨ f−nk+1(α)

))}

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es una subsucesion de{1

nlog

(N

(α ∨ · · · ∨ f−n+1(α)

))}∞

n=1

.

Tenemos entonces que ent(fk

)≥ k · ent(f, α) para cada cubierta α de

X. Por lo tanto ent(fk

)≥ k · ent(f).

Por otro lado, como

α ∨(fk

)−1(α) ∨ · · · ∨

(fk

)−n+1(α) < α ∨ f−1 (α) ∨ · · · ∨ f−nk+1(α),

entonces

lımn→∞

(1

nk

)log

(N

(α ∨

(fk

)−1(α) ∨ · · · ∨

(fk

)−n+1(α)

))

≤ lımn→∞

(1

nk

)log

(N

(α ∨ f−1 (α) ∨ · · · ∨ f−nk+1(α)

)).

Y ası,

lımn→∞

(1

nk

)log

(N

(α ∨

(fk

)−1(α) ∨ · · · ∨

(fk

)−n+1(α)

))≤ ent(f, α).

Por lo tanto, para cada cubierta α se tiene que

1

k· ent

(fk, α

)≤ ent(f, α) ≤ ent(f).

De aquı se sigue que ent(fk

)≤ k · ent(f).

Por lo tanto ent(fk

)= k · ent(f).

Ejemplo 17.11. Consideremos la circunferencia de radio 1, S1 = {z ∈ C| |z| = 1},y un numero racional, 0 ≤ p

q ≤ 1. La rotacion de angulo pq es la funcion,

definida en S1, dada por la regla de correspondencia:

f (z) = zepq2πi

.

Como f q(z) = z para toda z en S1, entonces ent(f) = 0.

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17.2. La entropıa de la Tienda es positiva

La demostracion que presentamos del siguiente lema sigue, casi al pie dela letra, la demostracion de un resultado similar que aparece en el capıtuloVIII de [7].

Lema 17.12. Sea f : X → X y sea k ∈ N. Si existen k subconjuntoscerrados de X, no vacıos, ajenos dos a dos, A1, A2, . . . , Ak, tales que

(A1 ∪A2 ∪ · · · ∪Ak) ⊂ (f (A1) ∩ · · · ∩ f (Ak)) ,

entonces ent(f) ≥ log k.

Demostracion. Sean O1, O2, . . . , Ok, k subconjuntos abiertos de X, ajenospor parejas, tales que Ai ⊂ Oi, 1 ≤ i ≤ k. Sea O = X \(A1 ∪A2 ∪ · · · ∪Ak).

Entonces la coleccion α = {O1, O2, . . . Ok, O} es una cubierta abierta deX. Sea n ∈ N. El conjunto

Γ = {(x1, x2, . . . , xn)|xi ∈ {1, 2, . . . , k}}

tiene cardinalidad kn.

Por cada elemento en Γ, digamos

(x1, x2, . . . , xn) = x,

consideramos el conjunto

Ex ={p ∈ X|p ∈ Ax1 , f(p) ∈ Ax2 , . . . , f

n−1(p) ∈ Axn

}.

Este conjunto es no vacıo. Cada punto de Ex esta contenido en un unicoelemento de la cubierta α ∨ f−1(α) ∨ · · · ∨ f−(n−1)(α), a saber

Ox1 ∩ f−1 (Ox2) ∩ · · · ∩ f−n+1 (Oxn) .

De aquı se sigue que

N(α ∨ f−1(α) ∨ · · · ∨ f−(n−1)(α)

)≥ kn.

Ası ent(f, α) ≥ log k y, por lo tanto, ent(f) ≥ log k.

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206 17.2. La entropıa de la Tienda es positiva

El siguiente resultado muestra una coneccion entre la presencia de orbi-tas periodicas de periodo 3, para funciones definidas en intervalos, y laentropıa de dicha funcion.

Proposicion 17.13. Si f : [0, 1] → [0, 1] tiene un punto periodico de perio-do 3, entonces la entropıa de f es positiva.

Demostracion. Sea x0 ∈ [0, 1] un punto periodico de f : [0, 1] → [0, 1] deperiodo 3. Sea a el elemento mas pequeno de la orbita de x0.

El punto a es tambien de periodo 3 y su orbita se comporta de una delas siguientes dos formas:

Primera: a < f(a) < f2(a).

Segunda: a < f2(a) < f(a).

Consideraremos solo el primer caso ya que la demostracion para el se-gundo es analoga.

Sean b = f(a) y c = f2(a). Entonces 0 ≤ a < b < c ≤ 1.

Como f ([b, c]) ⊃ [a, c], existe [b1, c1] ⊂ [b, c] tal que

f ([b1, c1]) = [a, b].

Como f ([b, c]) ⊃ [b1, c1], existe [b2, c2] ⊂ [b, c] tal que

f ([b2, c2]) = [b1, c1] .

Observese que a no esta en [b1, c1]. Entonces c no esta en [b2, c2].

Como f ([b, c]) ⊃ [b2, c2] y f ([a, b]) ⊃ [b2, c2], existen [b3, c3] ⊂ [b, c] y[u, v] ⊂ [a, b] tales que f ([b3, c3]) = [b2, c2] y f ([u, v]) = [b2, c2].

Dado que c no esta en [b2, c2], entonces b no es elemento del intervalo[u, v] ni del intervalo [b3, c3].

Ası los intervalos cerrados K = [u, v] y J = [b3, c3] son ajenos.

Ademas estos conjuntos cumplen lo siguiente:

f3 (K) = [a, b], y f3 (J) = [a, b].

Por el lema 17.12, obtenemos que la entropıa de f3 es mayor o iguala log(2). Por lo tanto la entropıa de la funcion f es positiva. De hecho,tenemos que ent(f) ≥ log 2

3 .

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La funcion Tienda, T : [0, 1] → [0, 1] tiene un punto periodico de periodo3. Entonces

3 · ent(T ) = ent(T 3) ≥ log(2).

De aquı se sigue que ent(T ) es positiva.La siguiente proposicion contiene una afirmacion mas general que la

referida en la proposicion 17.13. La demostracion no es difıcil gracias alTeorema de Sharkovskii. Invitamos al lector, en el ejercicio 15, a ofrecer losargumentos necesarios.

Proposicion 17.14. Si f : [0, 1] → [0, 1] tiene un punto periodico de perio-do m tal que m no es potencia de 2, entonces la entropıa de f es positiva.

La demostracion de la siguiente importante proposicion se puede con-sultar en el libro de Peter Walters [33].

Proposicion 17.15. Sean f : X → X y g : Y → Y dos funciones definidasen espacios compactos. Sea h : X → Y una funcion continua y suprayectiva.Si el siguiente diagrama conmuta

Xf−→ X

h ↓ ↓ hY −→g Y

,

entonces ent (f) ≥ ent (g).

A partir de la proposicion 17.15 la demostracion del siguiente corolarioes inmediata. Ver ejercicio 16.

Corolario 17.16. Si en las hipotesis de la proposicion 17.15 se tiene ademasque h : X → Y es un homeomorfismo, entonces ent (f) = ent (g).

Para funciones definidas en intervalos la posibilidad de que la entropıasea positiva tambien esta relacionada con la transitividad topologica.

Proposicion 17.17. Si la funcion f : [0, 1] → [0, 1] es transitiva en [0, 1],entonces la entropıa de f es positiva.

Demostracion. Sea f : [0, 1] → [0, 1] una funcion transitiva en [0, 1].Por el ejercicio 22 del capıtulo 8, sabemos que existe un punto w0 en el

intervalo abierto (0, 1) tal que f (w0) = w0.

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En nuestra demostracion consideraremos varios casos.

Caso 1. Existe w1 ∈ (0, 1), w1 = w0, tal que f (w1) = w0.

Subcaso 1a. 0 < w1 < w0.

Como f es transitiva, existen x, w1 < x < w0, y m ∈ N tales quefm(x) < w1. Sea δ > 0 tal que para todo t ∈ (x − δ, x + δ) se tiene quefm(t) < w1. Observese que fm(x− δ) ≤ w1 y fm(x+ δ) ≤ w1.

Sean B1 = [w1, x− δ] y B2 = [x+ δ, w0]. Como f (w1) = w0, se sigueque B1∪B2 ⊂ fm (B1) y B1∪B2 ⊂ fm (B2). Y por el lema 17.12, la entropıade fm es positiva (ya que B1 ∩B2 = ∅). Ası ent(f) > 0.

Subcaso 1b. w0 < w1 < 1.

Como f es transitiva, existen x, w0 < x < w1, y m ∈ N tales quefm(x) > w1. Sea δ > 0 tal que para todo t ∈ (x − δ, x + δ) se tiene quefm(t) > w1. Ası, f

m(x− δ) ≥ w1 y fm(x+ δ) ≥ w1. Sean B1 = [w0, x− δ]y B2 = [x+ δ, w1]. Analogo al subcaso 1a. se tiene que B1 ∩B2 = ∅.

Como f (w1) = w0 = f (w0), se sigue que B1 ∪ B2 es subconjunto defm (B1) y de fm (B2). Nuevamente por el lema 17.12, la entropıa de fm yla de f son positivas.

Caso 2. No existe w ∈ (0, 1), w = w0, tal que f (w) = w0.

Sean I0 = [0, w0] y I1 = [w0, 1]. Observemos que para cualquier par depuntos, s y t, en I0 no puede suceder que f(s) < w0 < f(t) ya que, porel teorema del valor intermedio, esto nos llevarıa a concluir la existencia deun punto w, en el intervalo (0,1), tal que f(w) = w0, con w = w0, lo quecontradice la hipotesis. Por lo tanto f (I0) ⊂ I0 o f (I0) ⊂ I1. Situacionanaloga se vive en el intervalo I1. Como f es transitiva en [0, 1] concluimosque

f (I0) ⊂ I1, y f (I1) ⊂ I0.

Entonces f2 (I0) ⊂ I0 y f2 (I1) ⊂ I1. Observe el lector que para todonumero par n se tiene que fn (I0) ⊂ I0, y para todo numero impar n setiene que fn (I0) ⊂ I1.

Sean 0 < a < b < w0 y 0 < c < d < w0. Como f es transitiva, existe ntal que fn(a, b)∩(c, d) = ∅. Como (c, d)∩I1 = ∅, entonces n es par, digamosn = 2m. Por lo tanto

(f2

)m(a, b) ∩ (c, d) = ∅. Esto implica que la funcion

f2 es transitiva en I0. Y utilizando nuevamente el ejercicio ?? concluimosque existe un punto w1 en el intervalo abierto (0, w0) tal que f2 (w1) = w1.

Observemos que tanto w0 como w1 son ambos puntos fijos de f2. Sif2 ([w1, w0]) ⊂ [w1, w0], entonces f2 no serıa transitiva en I0. Por lo tanto

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existe w2, w1 < w2 < w0 tal que f2 (w2) = w1. Y ası arribamos a unasituacion analoga al Subcaso 1b.

Entonces existen un numero natural N y dos intervalos cerrados en[w1, w2], digamos J y K, tales que J ∩K = ∅ y

J ∪K ⊂ f2N (J), y J ∪K ⊂ f2N (K).

De donde se concluye que la entropıa de f es positiva.

De la proposicion 17.17 se sigue lo siguiente: Si la funcion f : [0, 1] →[0, 1] es caotica en [0, 1], segun la definicion dada por Devaney, entonces laentropıa de f es positiva.

El siguiente teorema, cuya demostracion se puede consultar en el libroDynamics in One Dimension, [7], muestra con mas detalle la relacion queexiste, para funciones definidas en el intervalo [0, 1], entre entropıa positivay la presencia de una dinamica caotica.

Teorema 17.18. Sea f : [0, 1] → [0, 1]. La entropıa de f es positiva si ysolo si existe un conjunto cerrado B, contenido en [0, 1], invariante bajo f ,tal que f restringida a B es caotica en B.

Varios de los libros dedicados a los sistemas dinamicos discretos contie-nen una presentacion de la entropıa topologica. A los lectores interesadosen continuar el estudio de este tema les recomendamos ampliamente lossiguientes: Dynamics in One Dimension, escrito por L. S. Block y W. A.Coppel (ver [7]), Combinatorial Dynamics and Entropy in Dimension One,escrito por L. Alseda, J. Llibre y M. Misiurewicz (ver [4]), y An Introduc-tion to Ergodic Theory, escrito por P. Walters (ver [33]). Recomendamostambien el trabajo de tesis de licenciatura que presento la estudiante BelenEspinosa Lucio en la Facultad de Ciencias de la UNAM, Mexico. El tıtulode esta tesis es Introduccion a la entropıa topologica, ver ([13]).

Ejercicios

Ejercicio 17.1. Sean α y β dos cubiertas abiertas de X. Si α < β, entonces

N(α) ≤ N(β),

N(α ∨ β) = N(β), y

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N(α ∨ α) = N(α).

Ejercicio 17.2. Sean α y β dos cubiertas de X de cardinalidad finita. Demostrar

que |α ∨ β| ≤ |α| |β|

Ejercicio 17.3. Sea f : X → X, y sea A ⊂ X. Entonces para toda pareja denumeros naturales n y m se tiene lo siguiente:

f−n (f−m(A)) = f−n−m(A), y

(fm)−n

(A) = f−mn(A).

Ejercicio 17.4. Sea f : X → X, y sean α y β dos cubiertas abiertas de X.Entonces para toda n ∈ N se tiene que

f−n (α ∨ β) = f−n(α) ∨ f−n(β), y

si α < β, entonces f−n(α) < f−n(β).

Ejercicio 17.5. Sean α, β, γ y η cuatro cubiertas abiertas de X. Entoncesi) α < α ∨ β y β < α ∨ β;ii) α < α ∨ α, y α ∨ α < α;iii) si α < β, entonces α ∨ β < β; y

iv) si α < β, y γ < η, entonces α ∨ γ < β ∨ η.

Ejercicio 17.6. Verdadero o falso. α = α ∨ α.

Ejercicio 17.7. Mantenemos la notacion de la proposicion 17.4. Sea

bn = log(N

(∨n−1i=0 f

−i (α)))

.

Demostrar que para todo k ∈ N se tiene que bk ≤ bk+1.

La proposicion 17.4 nos dice que para cada pareja de numeros naturales n ym se tiene que bn+m ≤ bn + bm. Demostrar que para todo k ∈ N se tiene losiguiente que bk ≤ kb1.

Concluir que el

lım1

n

(log

(N

(∨n−1i=0 f

−i (α))))

siempre es finito.

Ejercicio 17.8. Sea {an}∞n=1 una sucesion en R. Demostrar que

lım inf (an) ≤ lım sup (an) .

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Ejercicio 17.9. Sea {an}∞n=1 una sucesion en R y sea a0 ∈ R. Entonces

lımn→∞

an = a0

si y solo si

lım sup (an) = lım inf (an) = a0.

Ejercicio 17.10. Sea {an}∞n=1 una sucesion en R acotada. Sea b ∈ R tal que

lım sup (an) < b. Entonces la cardinalidad del conjunto {an : an > b} es finita.

Ejercicio 17.11. Sean x0 ∈ X y f : X → X la funcion dada por f(x) = x0 para

todo x en X. Entonces ent(f) = 0.

Ejercicio 17.12. Sea f : [0, 1] → [0, 1] la funcion dada por f(x) = 1−x. Demostrar

que ent(f) = 0.

Ejercicio 17.13. Si la cardinalidad de X es finita, entonces para toda funcion

f : X → X se tiene que ent(f) = 0.

En relacion al ejercicio 13 es importante senalar el siguiente resultado:Si la cardinalidad de X es infinita numerable, entonces para toda funcionf : X → X se tiene que ent(f) = 0. Ası, desde el punto de vista de laentropıa, solo podemos encontrar funciones con comportamiento caotico siestas estan definidas en un espacio de cardinalidad infinita no numerable.

Ejercicio 17.14. La entropıa del corrimiento σ : Σ2 → Σ2 es mayor o igual a

log(2).

Ejercicio 17.15. Si f : [0, 1] → [0, 1] tiene un punto periodico de periodo m tal

quem no es potencia de 2, entonces la entropıa de f es positiva. Sugerencia. Utilizar

el Teorema de Sharkovskii para demostrar que existe k ∈ N tal que la iteracion fk

tiene un punto periodico de periodo 3.

Ejercicio 17.16. Considerar las hipotesis de la proposicion 17.15. Demostrar lo

siguiente: si h : X → Y es un homeomorfismo, entonces ent (f) = ent (g).

Ejercicio 17.17. Demostrar que la entropıa de la funcion logıstica f : [0, 1] →[0, 1], f(x) = 4x(1− x), es positiva.

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Comentarios

Mostramos en esta parte que existen funciones que pueden tener entropıainfinita.

Consideremos el Cubo de Hilbert,

Q =∞∏n=0

I, I = [0, 1].

Proposicion 17.19. La entropıa de σ : Q → Q es infinita.

Demostracion. Sea k ∈ N. Consideremos los siguientes k subconjuntos deQ, A1, A2, . . . , Ak, definidos de esta manera: Para cada 1 ≤ i ≤ k, sea

Ai =

{t = (t0, t1, t2, . . .) ∈ Q : t0 =

i

k

}.

No es difıcil ver que las siguientes condiciones son ciertas:i) Cada Ai es un subconjunto cerrado de Q.ii) Si i = j, entonces Ai ∩Aj = ∅.iii) Para cada i, se tiene que σ (Ai) = Q.Entonces, por el lema 17.12, ent (σ) ≥ log (k). Como esto sucede para

cada k ∈ N que tomemos, la entropıa de σ es infinita.

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Capıtulo 18

Dinamica colectiva

Una funcion f : X → X no solamente mueve los puntos del espacioX, mueve tambien los subconjuntos de X. Si A ⊂ X, entonces f(A) es unnuevo conjunto en X. Esto nos permite aplicar nuevamente la funcion f yası, repitiendo esta accion muchas veces, obtener una sucesion de conjuntos.

De manera analoga a lo estudiado para puntos podemos estudiar ahoraorbitas de conjuntos. En cierto sentido pasamos de la dinamica individuala la dinamica colectiva.

En los ultimos anos ha habido un fuerte desarrollo en el estudio de ladinamica de este tipo de orbitas cuando el conjunto A es un compacto novacıo.

En este capıtulo hacemos una introduccion a este importante tema.

18.1. El hiperespacio de los compactos

Sea X un espacio compacto. La coleccion de todos los subconjuntos deX es el conjunto potencia de X. Denotamos este conjunto ası: P(X). Unhiperespacio de X es un subconjunto de P(X) junto con una metrica. Elhiperespacio que estudiamos en este capıtulo es

2X = {A ⊂ X : A es compacto y A = ∅} .

Definimos a continuacion una funcion distancia en esta coleccion de con-juntos.

Sean A,B ∈ 2X . Fijemos un punto a ∈ A. Entonces

d (a,B) = mın {d(a, b) : b ∈ B} .

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214 18.1. El hiperespacio de los compactos

Este mınimo sı se alcanza ya que B es un conjunto compacto. Ahora defi-nimos d(A,B) ası:

d (A,B) = max {d (a,B) : a ∈ A} .

Este maximo tambien esta bien definido.Observemos que este numero d(A,B) no es una distancia. Imagine el

lector la siguiente situacion: Sean A y B elementos de 2X tales que A ⊂ By A = B. Entonces tenemos que d(A,B) = 0 y A no es igual a B. Acontinuacion explicamos como superar este problema.

Dados A y B elementos de 2X , definimos

h (A,B) = max {d(A,B), d(B,A)} .

La siguiente proposicion nos dice que h(A,B) es una metrica, es decir unaforma de medir distancias en 2X . La demostracion de este hecho no es difıcil,ası que en el ejercicio 1 los lectores son invitados a dar los argumentosnecesarios. A la funcion h(A,B) se le conoce como la metrica o distanciade Hausdorff.

Proposicion 18.1. La funcion h : 2X × 2X → R es una metrica en 2X . Esdecir, dados A, B y C en 2X , h cumple las siguientes condiciones:

h(A,B) ≥ 0,

h(A,B) = 0 si y solo si A = B,

h(A,B) = h(B,A), y

h(A,C) ≤ h(A,B) + h(C,B).

Describimos a continuacion otra forma de calcular la distancia h(A,B).Dados A ∈ 2X y ε > 0, definimos la nube de radio ε alrededor de A,

N (A, ε) =∪a∈A

B (a, ε) = {x ∈ X : existe a ∈ A, d (x, a) < ε} .

Dados A y B en 2X , sea

j (A,B) = ınf {ε > 0 : A ⊂ N (B, ε) y B ⊂ N (A, ε)} .

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Capıtulo 18. Dinamica colectiva 215

Proposicion 18.2. Sean A y B dos elementos de 2X . Entonces h (A,B) =j (A,B).

Demostracion. Dados A y B en 2X , sea δ = h (A,B).

Como d (A,B) ≤ δ y d (B,A) ≤ δ, entonces para todo ε > δ se tiene queA ⊂ N (B, ε) y B ⊂ N (A, ε). De aquı que j (A,B) ≤ δ.

Por otro lado, y sin perdida de generalidad, podemos suponer que d (A,B)es igual a δ. Entonces existe a0 ∈ A tal que d (a0, B) = δ. De aquı que paratodo b ∈ B, d (a0, b) ≥ δ. Y ası, si A ⊂ N (ε,B), entonces ε > δ. Estoimplica que δ ≤ j (A,B).

Por lo tanto j (A,B) = δ = h (A,B).

18.2. La funcion inducida

Sean X y Y dos espacios metricos compactos con metricas d y d′ res-pectivamente. Sea f : X → Y . La funcion f induce una funcion entre losrespectivos hiperespacios, 2X y 2Y , que denotaremos ası:

2f : 2X → 2Y .

Esta nueva funcion tiene la siguiente regla de correspondencia:

Si A ∈ 2X , entonces

2f (A) = f (A) = {y ∈ Y : existe a ∈ A, f(a) = y} .

Como f : X → Y es continua, entonces 2f esta bien definida, es decir,2f (A) sı es un elemento de 2Y .

La funcion 2f es conocida como la funcion inducida por f en el hiperes-pacio 2X . Observemos que para cada n en N y para cada A en 2X se tieneque

(2f)n

(A) = fn(A).

Proposicion 18.3. La funcion inducida 2f : 2X → 2Y es continua.

Demostracion. Denotamos con hd la metrica de Hausdorff en 2X y con hd′

la metrica de Hausdorff en 2Y . Sea ε > 0. Demostremos que existe δ > 0tal que si A y B son dos elementos de 2X tales que hd (A,B) < δ, entonceshd′

(2f (A) , 2f (B)

)< ε.

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216 18.3. Propiedades de la funcion inducida

Como f : X → Y es continua y X es un espacio compacto, entonces fes uniformemente continua en X. Existe δ∗ > 0 tal que si x1, x2 ∈ X sontales que d (x1, x2) < δ∗, entonces d′ (f (x1) , f (x2)) < ε.

Sea δ = δ∗. Sean A,B ∈ 2X tales que:

hd (A,B) < δ.

Para cada z ∈ f (A). Existen a ∈ A y b ∈ B tales que f (a) = z yd (a, b) < δ.

Entonces d′ (f (a) , f (b)) < ε, y por tanto,

f (A) ⊂ N (f (B) , ε) .

De manera analoga, se obtiene que:

f (B) ⊂ N (f (A) , ε) .

Por lo tanto,

hd′ (f (A) , f (B)) < ε.

18.3. Propiedades de la funcion inducida

La funcion f : X → X nos da de manera natural una funcion en elhiperespacio 2X , 2f : 2X → 2X . Al aplicar f varias veces, los puntos deX se van moviendo a lo largo de sus respectivas orbitas. La funcion 2f seaplica a subconjuntos compactos de X. Podemos intuir que al aplicar 2f

varias veces lo que se mueve ahora son los subconjuntos compactos de X.Es decir, 2f nos da un sistema dinamico definido ahora en el hiperespacio2X . Esto suena muy bien: ¡Ahora tenemos conjuntos que se mueven!

Dada la relacion tan estrecha que existe entre f y 2f , la pregunta obli-gada es: ¿Cual es la relacion entre las propiedades dinamicas de f y laspropiedades dinamicas de 2f?

Presentaremos en este capıtulo algunos avances hacia la respuesta a estapregunta. Debemos advertir al lector, a la lectora, que la pregunta es muyamplia, tan amplia que en estos momentos no se cuenta con una respuestacompleta a ella. La busqueda de una respuesta global nos lleva directo a

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terrenos en los que en estos momentos se hace investigacion matematica.Es claro que esta pregunta es, en esencia, muchas preguntas. Y muchas deestas preguntas carecen, hoy dıa, de respuesta.

Un ejemplo nos guiaraa en esta parte.Sea T : [0, 1] → [0, 1] la funcion Tienda, y sea

2[0,1] = {A ⊂ [0, 1] : A = ∅, A es compacto} .

Dados A y B en 2[0,1], h (A,B) es la distancia de Hausdorff entre A yB, construida a partir de la distancia usual en R.

La funcion inducida por T en 2[0,1] la denotamos por 2T . Para cada Aen 2[0,1],

2T (A) = {T (a) : a ∈ A} = T (A).

Observese que dado A ∈ 2[0,1], y dado n ∈ N, se tiene que(2T

)n(A) =

Tn(A).Conocemos ya algunas propiedades dinamicas de T : [0, 1] → [0, 1]. En

particular, T es caotica en [0, 1].Mostraremos a continuacion algunas propiedades dinamicas de la fun-

cion 2T : 2[0,1] → 2[0,1]. Nuestra meta es demostrar que 2T es a, su vez, unafuncion caotica en 2[0,1]. ¡Sı! ¡Resulta que el movimiento inducido por T enla coleccion de todos los compactos es caotico! En fin, aquı vamos.

Proposicion 18.4. La funcion inducida 2T : 2[0,1] → 2[0,1] tiene densidadde puntos periodicos.

Demostracion. Sean A ∈ 2[0,1] y ε > 0.Demostraremos que existen B ∈ 2T y M ∈ N, tales que h (A,B) < ε y(

2T)M

(B) = B.Como A es compacto, existen k puntos en A, a1, a2, . . . , ak, tales que

A ⊂k∪

i=1B(ai;

ε2

).

Como el conjunto de puntos periodicos de T es denso en [0, 1], para cadai, 1 ≤ i ≤ k, existe bi ∈ Per (T ) tal que |ai − bi| < ε

2 .Observese que:

A ⊂k∪

i=1

B (bi; ε) = N ({b1, b2, ..., bk} , ε) y {b1, b2, ..., bk} ⊂ N (A, ε) .

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Por tanto, h (A, {b1, b2, ..., bn}) < ε.Para cada 1 ≤ i ≤ k sea mi el periodo del punto bi. Sea M el mınimo

comun multiplo de la coleccion {m1, . . . ,mk}. Entonces TM (bi) = bi paracada 1 ≤ i ≤ k . Sea B = {b1, b2, ..., bk}. Tenemos que h (A,B) < ε,

B ∈ 2[0,1], y(2T

)M(B) = TM (B) = B.

Los siguientes tres lemas contienen herramientas que nos ayudaran enla demostracion de la transitividad de la funcion 2T : 2[0,1] → 2[0,1].

Lema 18.5. Sean a1, a2, b1, b2 cuatro puntos en [0, 1], y sea ε > 0. Entoncesexisten dos puntos c1 y c2 en [0, 1] y existe N ∈ N tales que:

i) h ({a1, a2} , {c1, c2}) < ε, y

ii) h({b1, b2} ,

{TN (c1) , T

N (c2)})

< ε.

Demostracion. Consideremos los siguientes dos conjuntos:

[0, 1] ∩ (a1 − ε, a1 + ε) = U , [0, 1] ∩ (a2 − ε, a2 + ε) = V.

Por el corolario 7.2, existen n1, n2 en N tales que:

Tn1 (U) = [0, 1] y Tn2 (V ) = [0, 1] .

Sea N = max {n1, n2}. Como TN (U) = [0, 1], existe c1 ∈ U tal que

TN (c1) ∈ (b1 − ε, b1 + ε) ∩ [0, 1] .

De manera analoga existe c2 ∈ V , c2 = c1, tal que

TN (c2) ∈ (b2 − ε, b2 + ε) ∩ [0, 1] .

Los puntos c1 y c2 cumplen lo prometido.

Lema 18.6. Sean {a1, a2, ..., an1} = A y {b1, ..., bn2} = B dos colecciones depuntos en [0, 1] tales que n1 ≥ n2. Sea ε > 0. Entonces existe una coleccionde n1 puntos {c1, c2, ..., cn1} = C y existe N ∈ N tales que

h (A,C) < ε y h(B,

(2T

)N(C)

)< ε.

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Demostracion. De forma analoga a la demostracion del lema enterior, po-demos encontar n1 puntos, c1, ..., cn1 , tales que

c1 ∈ (a1 − ε, a1 + ε) ∩ [0, 1] ,

c2 ∈ (a2 − ε, a2 + ε) ∩ [0, 1] ,

...

cn1 ∈ (an1 − ε, an1 + ε) ∩ [0, 1] ,

y

TN (c1) ∈ (b1 − ε, b1 + ε) ∩ [0, 1] ,

TN (c2) ∈ (b2 − ε, b2 + ε) ∩ [0, 1] ,

...

TN (cn2−1) ∈ (bn2−1 − ε, bn2−1 + ε) ∩ [0, 1] ,{TN (cn2) , ..., T

N (cn1)}

⊂ (bn2 − ε, bn2 + ε) ∩ [0, 1] .

La coleccion C = {c1, c2, ..., cn1} cumple la condicion del lema.

La demostracion del siguiente lema es analoga a la demostracion dellema 18.6, ver ejercicio 2.

Lema 18.7. Sean {a1, a2, ..., an1} = A y {b1, ..., bn2} = B dos colecciones depuntos en [0, 1] tales que n1 < n2. Sea ε > 0. Entonces existe una coleccionde n2 puntos, {c1, c2, ..., cn2} = C y existe N ∈ N tales h (A,C) < ε, y

h(B,

(2T

)N(C)

)< ε.

Ahora sı ya estamos listos para demostrar la transitividad de la funcioninducida por la Tienda.

Proposicion 18.8. La funcion inducida 2T : 2[0,1] → 2[0,1] es transitiva.

Demostracion. Sean A,B dos elementos de 2[0,1] y sea ε > 0. Para con-vencernos que 2T es transitiva es suficiente demostrar que existe un con-junto compacto C, no vacıo, y existe una N ∈ N tales que h (A,C) < ε y

h(B,

(2T

)N(C)

)< ε.

Como A y B son conjuntos compactos, existen dos colecciones de puntos:

{a1, a2, . . . , an1} ⊂ A, y {b1, b2, . . . , bn2} ⊂ B,

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tales que A ⊂n1∪i=1

B(ai;

ε2

)y B ⊂

n2∪i=1

B(bi;

ε2

).

Por los lemas anteriores, existe una coleccion de M puntos, digamos{c1, c2, . . . , cM}, donde M = max {n1, n2}, y existe N ∈ N tales que

h ({a1, . . . , an1} , {c1, . . . , cM}) < ε

2,

y

h({b1, . . . , bn2} ,

{TN (c1) , . . . , T

N (cM )})

<ε

2.

Sea C = {c1, c2, . . . , cM}. Observemos que

h (A,C) < ε y h(B,

(2T

)N(C)

)< ε.

Por lo tanto la funcion 2T es transitiva en 2[0,1].

Ya comentamos que la densidad de puntos periodicos y la transitividad,en espacios perfectos, implican la sensibilidad a las condiciones iniciales. Noes difıcil de demostrar que 2[0,1] es perfecto (ver ejercicio 3). Por tanto lafuncion 2T : 2[0,1] → 2[0,1] es sensible a las condiciones iniciales.

Daremos a continuacion otra demostracion de la sensibilidad a las con-diciones iniciales de la funcion 2T : 2[0,1] → 2[0,1].

Proposicion 18.9. La funcion inducida 2T : 2[0,1] → 2[0,1] es sensible a lascondiciones iniciales.

Demostracion. Sabemos que la funcion T tiene dos puntos fijos: 0 y 23 .

Gracias al ejercicio 8 podemos concluir que los siguientes dos conjuntos sondensos en [0, 1]:

Λ =

∞∪n=1

T−n (0) y Θ =

∞∪n=1

T−n

(2

3

).

Sean C ∈ 2[0,1] y ε > 0. Demostremos que existe F ∈ 2[0,1] y N ∈ N talesque

h (C,F ) < ε y h((

2T)N

(C) ,(2T

)N(F )

)≥ 1

3.

Como C es compacto, existe una coleccion finita de puntos {x1, x2, . . . , xn}en C tal que C ⊂

n∪i=1

B(xi;

ε2

).

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Dado que los conjuntos Λ y Θ son densos en [0, 1] existen dos coleccionesde puntos en [0, 1], D = {d1, . . . , dn} y E = {e1, . . . , en}, tales que:

D ⊂ Λ y E ⊂ Θ y

Para toda i, 1 ≤ i ≤ n , |di − xi| < ε2 y |ei − xi| < ε

2 .

Por lo tanto, existe N ∈ N tal que

TN ({d1, . . . , dn}) = {0} y TN ({e1, . . . , en}) ={2

3

}.

Ası obtenemos lo siguiente: h (C,D) < ε y h (C,E) < ε. Ademas

h((

2T)N

(D) ,(2T

)N(E)

)= h

({0} ,

{2

3

})=

2

3.

Entonces,

h(((

2T)N

(C)),(2T

)N(D)

)≥ 1

3o

h((

2T)N

(C) ,(2T

)N(E)

)≥ 1

3.

En el primer caso, tomamos F = D; en el segundo, F = E.

En la siguiente proposicion se resume lo hecho en esta seccion.

Proposicion 18.10. La funcion 2T : 2[0,1] → 2[0,1] es caotica en el hiperes-pacio 2[0,1].

18.4. Un punto de vista mas general

A continuacion haremos algunos comentarios sobre las posibles genera-lizaciones de los resultados anteriores.

Sean X un espacio compacto y f : X → X una funcion.

Sea 2f : 2X → 2X la funcion inducida.

Proposicion 18.11. Si Per(f) es un conjunto denso en X, entonces Per(2f )es un conjunto denso en 2X .

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222 18.4. Un punto de vista mas general

Demostracion. Los argumentos dados en la proposicion 18.4 se pueden se-guir aquı paso a paso. Invitamos a los lectores a hacer los ajustes necesa-rios.

El siguiente ejemplo muestra que si f es transitiva en X, esto no implicanecesariamente que 2f sea transitiva en el hiperespacio 2X .

Sea g : [0, 1] → [0, 1] la funcion lineal a pedazos definida en el ejemplo3.6.

Las graficas g de g2 se pueden ver en la figura 18.1.

Figura 18.1: Graficas de g y g2.

Como g([0, 12

])=

[12 , 1

]y g

([12 , 1

])=

[0, 12

], se tiene que g2

([0, 12

])=[

0, 12]y g2

([12 , 1

])=

[12 , 1

].

La dinamica de g2 en[12 , 1

]es, en esencia, la misma que la dinamica de T ,

la Tienda, en [0, 1]. Ası, si un intervalo abierto (a, b), a < b, esta contenido en[12 , 1

], entonces existe N ∈ N tal que

(g2)N

(a, b) =[12 , 1

]. Esta informacion

nos permitira demostrar que g es transitiva en [0, 1].

Sean U y V dos conjuntos abiertos, no vacıos, en [0, 1].

Si U∩[12 , 1

]= ∅, entonces existen a, b en

[12 , 1

], a < b, tal que (a, b) ⊂ U .

De aquı que existe n0 ∈ N tal que g2n0 (U) ⊃[12 , 1

].

Como g2n0 (U) ⊃[12 , 1

]y g2n0+1 (U) ⊃

[0, 12

], entonces una de estas dos

opciones es valida: g2n0 (U) ∩ V = ∅ o g2n0+1 (U) ∩ V = ∅. En cualquiercaso, existe N ∈ N tal que gN (U) ∩ V = ∅.

Si U ∩[12 , 1

]= ∅, entonces U esta contenido en el intervalo [0, 12 ] y

g (U) en el intervalo[12 , 1

]. Ademas int (g (U)) = ∅, por tanto existen a y

b en[12 , 1

], a < b, tales que (a, b) ⊂ g (U). Como existe n0 ∈ N tal que

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(g2)n0 (a, b) =

[12 , 1

], se sigue que[

1

2, 1

]= g2n0+1 (U) y g2n0+2 (U) =

[0,

1

2

].

Es decir, nuevamente existe N ∈ N tal que:

gN (U) ∩ V = ∅.

Por lo tanto g es transitiva en [0, 1].

Ahora lo interesante es mostrar que 2g no es transitiva en 2[0,1].

Observemos primero que si A es un conjunto compacto contenido en[0, 1] tal que A esta contenido en

[0, 12

], entonces h (A, [0, 1]) ≥ 1

2 (ya qued (1, A) ≥ 1

2). De manera analoga, si A es un conjunto compacto tal queA ⊂

[12 , 1

], entonces h (A, [0, 1]) ≥ 1

2 .

Consideremos ahora los siguientes conjuntos:

U =

{A ∈ 2[0,1] : h (A, {0}) < 1

2

},

V =

{A ∈ 2[0,1] : h (A, [0, 1]) <

1

2

}.

No es difıcil ver que U y V son conjuntos abiertos en 2[0,1]. Observemosque si A ∈ U , entonces A ⊂

[0, 12

]y para toda n ∈ N, n par, se tiene que

gn (A) ⊂[0, 12

]. Ademas para toda n ∈ N, n impar, gn (A) ⊂

[12 , 1

]. Por

tanto, para toda n ∈ N, se tiene que h (gn (A) , [0, 1]) ≥ 12 . Es decir, f

n(A)nunca es elemento de V . De aquı se concluye que para todo n ∈ N,

(2g)n (U) ∩ V = ∅.

Por tanto 2g no es transitiva en 2[0,1].

Observacion. El ejemplo anterior tambien nos dice que la siguiente impli-cacion no es cierta en general: Si f : X → X es caotica segun Devaney,entonces la funcion inducida 2f : 2X → 2X es caotica segun Devaney.

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224 18.5. De lo colectivo a lo individual

18.5. De lo colectivo a lo individual

Las siguientes proposiciones contienen resultados donde se estudia lainfluencia de la dinamica de 2f en la dinamica de f .

Proposicion 18.12. Si la funcion inducida 2f es transitiva en 2X , entoncesla funcion f es transitiva en X.

Demostracion. Sean a y b dos puntos en X, y sea ε > 0. Como 2f estransitiva, existen A ∈ 2X y N ∈ N tales que

h ({a} , A) < ε y h

({b} ,

(2f)N

(A)

)< ε.

Tomemos un punto x ∈ A. Entonces d (a, x) < ε y d(b, fN (x)

)< ε.

De aquı se sigue que f es transitiva en X.

Proposicion 18.13. Si la funcion inducida 2f es sensible a las condicionesiniciales en 2X , entonces f es sensible a las condiciones iniciales en X.

Demostracion. Sea ε0 > 0 tal que para todo A ∈ 2X y para todo δ > 0,existen B ∈ 2X y N ∈ N tales que h (A,B) < δ y

h

((2f)N

(A) ,(2f)N

(B)

)≥ ε0.

Sean a ∈ X y δ > 0. Sean B ∈ 2X y N ∈ N, tales que

h ({a} , B) < δ y h

((2f)N

({a}) ,(2f)N

(B)

)≥ ε0.

Entonces existe x0 ∈ B tal que d (a, x0) < δ y d(fN (x0) , f

N (a))≥ ε0.

Esto muestra la sensibilidad de f en X.

La ultima propiedad que nos interesa discutir es la densidad de puntosperiodicos. En terminos generales, la densidad de Per

(2f)en 2X no implica

la densidad de Per(f) en X. Esta situacion tiene algo de sorprendente.Supongamos que el espacio X es compacto y el conjunto Per

(2f)es denso

en 2X . Dados un punto en X, digamos x0, y un valor positivo muy pequeno,ε, existe un conjunto compacto A y un numero natural N tales que

h ({x0} , A) < ε y fN (A) = A.

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Este conjunto compactoA es periodico, esta contenido en la bolaB (x0, ε)y, aun ası, esto no implica la existencia de un punto periodico de f en esabola.

Antes de ofrecer al lector el ejemplo de un espacio metrico compacto Xy una funcion definida en el, f : X → X, donde densidad de Per

(2f)en el

hiperespacio 2X no implique la densidad de Per(f) en X, presentamos unresultado en positivo.

Resulta que si el espacio donde estamos trabajando es el intervalo [0, 1]entonces densidad de puntos periodicos en el hiperespacio sı implica densi-dad de puntos periodicos en [0, 1].

Proposicion 18.14. Sea f : [0, 1] → [0, 1]. Si 2f tiene densidad de puntosperiodicos en 2[0,1], entonces f tiene densidad de puntos periodicos en [0, 1].

Demostracion. Sean 0 ≤ a < b ≤ 1.Sean x0 =

a+b2 y ε = b−a

2 . Ası (a, b) = (x0 − ε, x0 + ε).

Como 2f tiene densidad de puntos periodicos, existen A ∈ 2[0,1] y N ∈ Ntales que h ({x0} , A) < ε y fN (A) = A.

Por tanto, A ⊂ (a, b). Sean α = mınA y β = maxA.Tenemos a < α ≤ β < b. Como fN (A) = A, entonces

fN (α) ≥ α y fN (β) ≤ β.

Como fN es una funcion continua en el intervalo [0, 1], existe c ∈ [α, β],tal que fN (c) = c.

Por lo tanto Per (f) ∩ (a, b) = ∅.

Observacion. Si 2f : 2[0,1] → 2[0,1] es caotica en el hiperespacio 2[0,1],entonces f : [0, 1] → [0, 1] es caotica en [0, 1]. Este resultado es consecuenciade las proposiciones 18.12, 18.13 y 18.14.

18.6. Puntos periodicos, un ejemplo

Ahora nuestra meta es construir el ejemplo prometido. Mostraremos unespacio X, compacto y conexo, junto con una funcion f : X → X tales queel conjunto de los puntos periodicos de la funcion inducida 2f : 2X → 2X .Sı forma un conjunto denso en 2X , pero per (f) no es denso en X.

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226 18.6. Puntos periodicos, un ejemplo

Sea S1 ={(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1

}. En notacion de numeros comple-

jos, S1 es el conjunto {z ∈ C : |z| = 1}.Para cada n ∈ N definimos la funcion fn : S1 → S1 ası:

fn (z) = fn

(eiθ

)= ei(θ+

2πn ).

Es decir, cada fn es una rotacion en S1 de angulo 2πn . Es inmediato que

para cada n ∈ N, Per (fn) = S1, y para todo z ∈ S1, el periodo de z bajofn es n.

Sea X =∞∏n=1

S1. Es decir,

X ={t = (t1, t2, . . .) : tn ∈ S1, para toda n ∈ N

}.

Si d representa la metrica en S1, entonces la metrica en X esta dada ası:

d(t, s

)=

∞∑n=1

d (tn, sn)

2n.

Sea f : X → X dada por:

f(t)= f (t1, t2, t3,...) = (f1 (t1) , f2 (t2) , f3 (t3) , . . .) .

Entonces:

i) La funcion f es continua en X.

ii) El espacio X es compacto y conexo.

iii) La funcion f no tiene puntos periodicos.

Las demostraciones correspondientes a los incisos i) e ii) se pueden con-sultar en el libro de Hocking y Young, [19]. De aquı en adelante, en estaseccion, f solo representa a esta funcion.

Para convencernos que la afirmacion iii) es cierta supongamos que exis-ten x ∈ X y N ∈ N tales que fN (x) = x. Entonces para todo n ∈ N,fnN (xn) = xn. Como xn es de periodo n bajo fn, n divide a N para todon ∈ N, lo cual es una contradiccion.

En la siguiente proposicion demostramos que la funcion inducida en elhiperespacio, 2f : 2X → 2X , sı tiene muchısimos puntos periodicos, tantosque forman un conjunto denso en 2X .

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Proposicion 18.15. El conjunto Per(2f)es denso en 2X .

Demostracion. Paso uno. Sean t = (t1, t2, t3,...), un punto en X, y ε un valorpositivo.

El conjunto{t}es un elemento de 2X . Demostraremos que existen B ∈

2X y N ∈ N tales que(2f)N

(B) = B y h({

t}, B

)< ε.

Como la serie∞∑n=1

12n es convergente, existe M ∈ N tal que

∞∑n=M+1

diam(S1

)2n

<ε

2.

Sea N el mınimo comun multiplo de {1, 2, 3, . . . ,M}. Observemos quepara cada ti, 1 ≤ i ≤ M , se tiene que fN

i (ti) = ti ya que la coordenada ties un punto periodico de la rotacion fi de periodo i.

Como las primeras M coordenadas de t y fN(t)coinciden, se tiene que

d(t, fN

(t))

< ε2 .

De hecho tenemos un poco mas: Para todo j ∈ N se tiene que t y f jN(t)

coinciden en las primeras M coordenadas, ası:

d(t, f jN

(t))

<ε

2.

Esto implica la orbita o(t, fN

)esta contenida en la bola B

(a, ε2

). Ası el

omega conjunto lımite ω(t, fN

)esta contenido en la cerradura de esa misma

bola.Sea B = ω

(t, fN

). Es inmediato que B es un subconjunto compacto de

X y que fN (B) = B. Ademas como la distancia de Hausdorff de{t}a B

es menor o igual a ε2 , se concluye que h

({t}, B

)< ε.

Paso dos. Sean A ∈ 2X y ε > 0.Como A es compacto, existen L puntos en A, a1, . . . , aL, tales que:

A ⊂L∪i=1

B(ai,

ε

2

).

Por cada punto ai, 1 ≤ i ≤ L consideramos un conjunto compacto Bi yun numero natural Ni tales que

h ({ai} , Bi) <ε

2y fNi(Bi) = Bi.

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228 18.6. Puntos periodicos, un ejemplo

Sea B =∪L

i=1Bi y seaN igual al mınimo comun multiplo de los numeros(N1, . . . , NL).

Entonces fN (B) = B y h(A,B) < ε.

La funcion inducida 2f : 2X → 2X que acabamos de estudiar no estransitiva (ver ejercicio 4).

Sin embargo es posible encontrar un espacio compacto X y construiruna funcion f : X → X donde 2f sı tiene densidad de puntos periodicos yes transitiva en 2X , pero f no tiene densidad de puntos periodicos en X (ver[14]). Este ejemplo muestra que es posible que 2f : 2X → 2X sı sea caoticaen 2X mientras que f : X → X no es caotica en X.

Ejercicios

Ejercicio 18.1. Demostrar la proposicion 18.1.

Ejercicio 18.2. Demostrar el lema 18.7.

Ejercicio 18.3. Demostrar que el hiperespacio 2[0,1] es un conjunto perfecto.

Ejercicio 18.4. Sean X =∞∏

n=1S1 y f : X → X la funcion dada por:

f(t)= f (t1, t2, t3, . . .) = (f1 (t1) , f2 (t2) , f3 (t3) , . . .) ,

donde para cada n ∈ N la funcion fn : S1 → S1 es la rotacion

fn (z) = fn(eiθ

)= ei(θ+

2πn ).

Demostrar que la funcion inducida 2f : 2X → 2X no es transitiva.

Ejercicio 18.5. Dado X compacto y n ∈ N definimos el hiperespacio Fn(X) dela siguiente forma:

Fn(X) ={A ∈ 2X : |A| ≤ n

}.

A este hiperespacio se le conoce como el n producto simetrico de X. Aquı |A|representa la cardinalidad del conjunto A.

Demostrar que ∪∞n=1Fn forma un conjunto denso en 2X .

Ejercicio 18.6. Sea 2T : 2[0,1] → 2[0,1] la funcion inducida por la Tienda, T :[0, 1] → [0, 1]. Como 2T es transitiva y 2[0,1] es un compacto, entonces existe A ∈2[0,1] tal que su o(A, 2T ) forma un conjunto denso en el hiperespacio 2[0,1]. Es decir,

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A es un conjunto compacto, contenido en el intervalo [0, 1], tal que dado cualquiercompacto B, B ⊂ [0, 1], y dado cualquier valor positivo ε, existe n tal que ladistancia de Hausdorff de Tn(A) a B es menor que ε.

Sea A un conjunto compacto con orbita densa bajo 2T . Demostrar lo siguiente:

A es un conjunto de cardinalidad infinita.

A no contiene puntos periodicos bajo la funcion T .

Para todo a en A se tiene que o(a, T ) forma un conjunto denso en [0, 1].

Si a ∈ A, entonces a es un numero irracional.

Mas informacion sobre el conjunto A mencionado en el ejercicio 6 sepeuede encontar en [17].

FIN

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http://users.dickinson.edu/˜richesod/math271/Bifurcations.html

Diagramas de bifurcacion:

http://math.bu.edu/DYSYS/applets/OrbitDgm.html

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