teorÍa de consolidaciÓn -...
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TEORÍA DE CONSOLIDACIÓN
ECUACIONES DEL ESTUDIO DE CONSOLIDACIÓN.
Terzagui (1925), propuso la primera teoría para considerar la
consolidación unidimensional en suelos arcillosos. Se basa en
las siguientes suposiciones:
1.- El sistema arcilla agua es homogéneo.
2.- La saturación es completa.
3.- La compresibilidad del agua es despreciable.
4.- La compresibilidad de los granos de suelo es despreciable.
5.- El flujo de agua es solo en una dirección.
6.- La Ley de Darcy es válida.
wgdudh=
dx
y
x
z
dy
dz
Qz , Vz
st
Se toma un elemento de suelo que se este consolidando para
deducir una expresión matemática que refleje el proceso de
consolidación.
www ggg dudhdhduhu ===
),( tzfu =
varCaudal de salida Caudal de entrada iación del
del agua del agua caudal
=
Entonces:
zV Voldxdydz
z t
=
Aplicando la Ley de Darcy:
z
hKiKV zz
== como
WW z
ui
uh
gg
1
=
=
sale entra
VolQ Q Q
t
= =
(1)…
t
VoldxdyVdxdydz
z
VV z
zz
=
1
W
uK
z Voldxdydz
z t
g
=
2
2
vVK u Vdxdydz
t tzwg
= =
(2)…
sV VVV =
sv
s
v eVVV
Ve ==
sV
1 11
Vs
s s s
VV V Ve V
V V V e= = =
Como:
2 2
2 2
.ss
V eK u K u edxdydz dxdydz V
t tz zw wg g
= =
También:
t
e
ez
uK
=
1
12
2
wg………. (3)
Definiendo av = coeficiente de compresibilidad
=
eav
t
u
e
a
z
uK v
=
12
2
wg
t
u
z
u
a
eK
v
=
2
21
wg
),( tzfu =
; pendiente en la curva de compresibilidad
sustituyendo en (3)
quedando la expresión como:
……. Ecuación diferencial del proceso de
consolidación unidimensional con flujo vertical(4)
=
=
=
=
==
ta
t
e
ta
t
e
t
e
t
e
tt
tpara
v
v
t
'
'
' 00
(4) se pudiera expresar como:
mv : coeficiente del cambio volumétrico = e
av
1
t
u
z
u
m
K
v
=
2
2
wg
Definiendo el coeficiente de consolidación
ww gg vv
vm
K
a
eKC =
=
1…. Queda la ecuación:
t
u
z
uCv
=
2
2
u: exceso de presión sobre la presión hidrostática
en función de la profundidad y del tiempo
Para resolver la ecuación se plantean las condiciones de borde
2H 0 0 2
0 2 0
t z H u P
t z H u
= =
= =
Solución: (aplicando Series de Fourier)
=
=
0
1
4
12
2
2
12
12
4
n
ta
eK
H
n
v
H
znsen
nPu wg
Para simplificar se supone que
2 2 2
1v v
v vv
K e C CtT t T t
a H H Hwg
= = = H: máx. altura de recorrido.
P
Quedando: vTzfu ,=
=
=
0
4
12
2
12
12
4
n
Tn
v
H
znsen
nPu
Quedando: vTzfu ,=
se define:
Grado de consolidación a una profundidad z y un tiempo t; como:
2H
ΔP
z
ΔP-u u
'Diagrama de
1001100%
=
=
P
u
P
uPuz
Grado medio de consolidación:
2H
ΔP
2
0% 1002
H
P u
u dzP H
=
Resolviendo la ecuación queda:
10012
81%
0
4
12
22
22
=
=
n
Tn
v
nu
= )(% vTfu Relación Teórica
%u = Porcentaje promedio de consolidación
Tv = Factor tiempo
%u Tv
0 0.000
10 0.008
20 0.031
30 0.071
40 0.126
50 0.197
60 0.287
%u Tv
70 0.405
80 0.565
90 0.848
100 ∞
Tv (E log)
%u (E nat)
(E nat)
%u (E nat)
vT
Se desarrollaron ecuaciones empíricas para %u en función de Tv
2
100
%
4%60%
=
uTu v
uTu v %100log933.0781.1%60% =
Relaciones Teóricas: vs TVu%
(E nat)
%u (E nat)
90%
60% 1.5 x
0%
50%
100%
Tv 50
Tv (E log)
%u (E nat)
Parábola
Casagrande Taylor
vT
METODO DE CASAGRANDE:
- Papel semi-logarítmico.
- Se define el 0%, el 100% y el 50 %
de consolidación.
100%
0%
y
y
tt/4
50%
t (E. Log.)
L. ext (E.N.)
METODO DE TAYLOR:
- Raiz del tiempo .
- Se define el 90% de consolidación.
90%
0%
L. ext (E.N.)
x
15% de x
t
CURVAS DE CONSOLIDACIÓN REAL
Se ajusta la curva de consolidación real a la teórica para obtener Cv por
cualquiera de las dos metodologías (Taylor o Casagrande)
“Taylor” obtenemos Tv90 ; t90
902902t
H
CTt
H
CT v
v
v
v ==
“Casagrande” obtenemos t50
502502t
H
CTt
H
CT v
v
v
v ==
Tv50 y Tv90 los tomamos de la teoría de consolidación.