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TEORÍA DE CONJUNTOS.
NOCIÓN DE CONJUNTO:
Concepto no definido del cual se tiene una idea
subjetiva y se le asocian ciertos sinónimos
tales como colección, agrupación o reunión de
objetos abstractos o concretos. Pueden existir
conjuntos formados por un o ningún elemento.
Ejemplos:
•Los días de la semana
•Los países del continente americano.
•Los jugadores de un equipo de fútbol.
NOTACIÓN:
Generalmente se denota a un conjunto con
símbolos que indiquen superioridad y a
sus integrantes u elementos mediante
variables o letras minúsculas separadas
por comas y encerrados con llaves.
EJEMPLOS:
Las Vocales del Alfabeto V = {a, e, i, o, u}
V = Nombre del conjunto en mayúscula
a, e, i, o, u = Nombre de los elementos en minúscula.
Los enteros positivos impares menores a 10
I = {1, 3, 5, 7, 9}
Los elementos pueden ser también números.
Los días de la semana
A = los días de la semana Los elementos pueden ser “cosas” con
características en común.
REPRESENTACIÓN:
Diagrama de Venn
Notación:
Nombre
del
Conjunto
Elementos del
conjunto A
RELACIÓN DE PERTENENCIA ( )
Se establece esta relación sólo de “integrante” a
conjunto y expresa si el integrante indicado forma
parte o no del conjunto considerado.
“....pertenece a .....” :
“... no pertenece a ..”:
Ejemplo: C = 1, 2, 5, 16
2 C
8 C
5 C
DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO
Un conjunto está bien determinado si se sabe exactamente cuáles son los elementos que pertenecen a él o cuáles no. Se puede determinar un conjunto:
a)Por Extensión o por enumeración. Cuando se nombre cada uno de sus elementos.
Ejemplos: A = a, e, i, o, u
C = 2, 4, 6, 8
El orden en el cual son listados los “elementos” del conjunto no afecta el hecho de que pertenecen a él.
De este modo en el conjunto
A = a, e, i, o, u = a, o, u, i, e
DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO
b) Por Comprensión Consiste en indicar la característica o propiedad
común a todos los elementos del conjunto.
B = n / n es una vocal
C = n / n Z ,1 n 7
CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO
Indica la cantidad de elementos del
conjunto y se denota como n (A), siendo A
el conjunto.
Ejemplos:
A = 3, 6, 9, 12, 15 entonces n (A) = 5
P = 2,2,3,3,3,5,7 entonces n (P) = 4
CLASIFICACIÓN DE CONJUNTOS Según la cantidad de elementos se clasifican en:
a) CONJUNTO VACÍO:
Es aquel que no tiene elementos. Se representa por , también puede ser denotado por o { }.
Ejemplo:
M = o M = { }
N = { z / z Z, 8 < z < 9}
b) CONJUNTO UNITARIO:
Es aquel que tiene sólo un elemento.
Ejemplo:
A = { }
C = {x / x N, 7 > x > 5}
c) CONJUNTO FINITO:
Es aquel que tiene un número n de elementos
definidos, n > 0. Ejemplo: las vocales.
d) CONJUNTO INFINITO:
Es aquel que no es finito, es decir tiene elementos
no definidos.
Ejemplo:
R = {x / x N}
S = {y / y Z}
CLASIFICACIÓN DE CONJUNTOS
INCLUSIÓN AMPLIA
Un conjunto A está incluido ampliamente en un
conjunto B, si todo elemento de A es también
elemento de B.
A = {polígonos}
B = {polígonos}
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
A B ( x, x A x B)
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
INCLUSIÓN ESTRICTA
Un conjunto A está incluido estrictamente en un
conjunto B, si todo elemento de A es también
elemento de B, pero hay elementos de B que no
pertenecen a A.
A = {polígonos regulares}
B = {polígonos}
A B ( x, x A x B) ( y, y B y A)
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
IGUALDAD
Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos
elementos.
A = {polígonos}
B = {polígonos}
A = B ( A ⊆ B ∧ B ⊆ A)
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
DISJUNTOS
Dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen
elementos comunes.
A = {frutas}
B = {animales}
A son disjuntos B ( x, x A x B)
( y, y B y A)
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
CONJUNTO DE CONJUNTOS
Es un conjunto cuyos elementos son conjuntos.
A = {seres vivos}
B = {plantas}
C = {animales}
D = {seres humanos}
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
CONJUNTO DE CONJUNTOS
F = { {a},{b},{a, b},{a, b, c} }
Los elementos del conjunto F también son conjuntos.
{a} es un elemento del conjunto F entonces {a} F
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
CONJUNTO POTENCIA
El Conjunto Potencia de A, llamado también “Conjunto de Partes de A”, es aquel que está formado por todos los subconjuntos posibles que posee el conjunto A.
Notación P(A)
Ejemplos: Sea A = x, y
P(A) = , x , y , x, y
n (P(A)) = 4
Sea B = { m, n, p}
P(B) = { , {m},{n},{p},{m, n},{m, p}, {n, p}, {m, n, p}}
n (P(B)) = 8
PAR ORDENADO
Es un conjunto (LISTA) de 2 elementos para los
cuales se considera el orden en que están
ubicados.
Notación
(a, b) se lee “par ordenado a, b”
1º
componente
2º
componente
(a, b) = (c, d) a = c b = d
PRODUCTO CARTESIANO
Sean A y B dos conjuntos. Se llama producto
cartesiano de A por B y se escribe A x B, a un
nuevo conjunto formado por todos los pares
ordenados tales que el primer componente del par
pertenece al conjunto A y el segundo al conjunto
B.
Ejemplo:
Sean A = {1, 2, 3}
B = {a}
A X B = {(1,a), (2,a), (3,a)}
A X B = {(a,b), a A b B}