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Teoría de Conjuntos
Teoría de Conjuntos
Recuerda que:
Un conjunto es una colección o agrupación de personas, animales o cosas.
Cada una de las personas, animales o cosas que forman un conjunto se denominan
elementos de dicho conjunto
Los conjuntos se identifican con letras mayúsculas y los elementos generalmente con:
letras minúsculas, números, nombres, figuras, etc.
Los conjuntos generalmente se pueden definir mediante una Representación
Simbólica y/o una Representación Gráfica.
1. Representación Simbólica
Los elementos de estos conjuntos se colocan entre llaves y separados por comas.
Ejemplos:
* + * + * + * +
2. Representación Gráfica
La Representación Gráfica de los conjuntos se puede hacer usando:
a) Diagramas de Venn o Diagramas Sagitales
Los elementos de estos conjuntos se colocan dentro de una figura cerrada de
forma ovalada.
Ejemplos:
A
a
b
c
B
1 2
b) Rectas Numéricas
Los elementos de estos conjuntos se colocan en una Recta Numérica. Este tipo
de Representación Gráfica solo se usa con conjuntos numéricos.
2
Ejemplo:
L
1 2 3 4 5 6 7 8
Los Conjuntos de acuerdo al número de elementos pueden denominarse:
a) Conjuntos Finitos
Son aquellos conjuntos que tienen un número determinado de elementos
Ejemplos:
A = { , } A tiene 2 elementos
B = { Ana, Luis, Juan } A tiene 3 elementos
C = { a, b, c, d } A tiene 4 elementos
D = { 2, 4, 6, 8 } A tiene 4 elementos
b) Conjuntos Infinitos
Son aquellos conjuntos que tienen un número indeterminado de elementos,
razón por la cual siempre llevan tres puntos suspensivos.
Ejemplo:
* +
c) Conjunto Vacío
Son aquellos conjuntos que no tienen elementos. Se simboliza: * +
Ejemplos:
* +
d) Conjunto Unitario
Son aquellos conjuntos que tienen un solo elementos. Se simboliza: U
Ejemplos:
U
* + * + * + Luis
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REPRESENTACION SIMBOLICA REPRESENTACION GRAFICA
DIAGRAMA DE VENN RECTA NUMERICA
A = { , }
A
B = { Ana, Luis, Juan }
B
Ana
Luis
Juan
C = { a, b, c, d }
C
a
b
c
d
D = { 2, 4, 6, 8 }
D
2
4
6
8
2 4 6 8
E = { 2, 4, 6, 8, … }
E
2
4
6
8…
2 4 6 8 …
4
Observa que:
1) Los conjuntos: A, B, C y D son finitos (tienen un número determinado de
elementos)
2) El conjunto E es infinito (tiene un número indeterminado de elementos)
Números Naturales (N)
El conjunto de los Números Naturales se simboliza con la letra N, y su
Representación Simbólica es:
N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, … }
Su Representación Gráfica es:
N N
0 1 2 3 4 5 6 7 … 0 1 2 3 4 5 6…
Ejercicios:
1) Realice la Representación Simbólica del Conjunto de los Números Naturales
2) Realice la Representación Gráfica del Conjunto de los Números Naturales
3) Realice la Representación Simbólica de un Conjunto Finito
4) Realice la Representación Gráfica de un Conjunto Infinito
Usando los símbolos:
: “pertenece a”
: “no pertenece a”
Podemos escribir:
a) 2 N se lee: “2 pertenece al Conjunto de los Números Naturales”
b) 4 N se lee: “ 4 no pertenece al Conjunto de los Números Naturales”
c) ½ N se lee: “½ no pertenece al Conjunto de los Números Naturales”
d) 2,8 N se lee: “2,8 no pertenece al Conjunto de los Números Naturales”
5
Ejercicios:
Completa con los símbolos: ó , según corresponda, en cada caso
1) 9 N
4) 8 N
7) 3,2 N
10) 0
N
2) 12 N
5) ¼ N
8) 5 N
11) 7 N
3) 8 N
6) 1 N
9) ½ N
12) 178 N
Orden en N
Al comparar dos números naturales, ubicados en la recta numérica, será mayor el que
esté más a la derecha y menor el que esté más a la izquierda.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 …
Ejemplos:
a) 2 es menor que 5 porque 2 está a la izquierda del 5 en la recta numérica
b) 6 es mayor que 3 porque 6 está a la derecha del 3 en la recta numérica
Usando los símbolos:
< : “es menor que”
> : “es mayor que”
Los ejemplos anteriores también los podemos escribir así:
a) 2 < 5 se lee: “2 es menor que 5”
b) 6 > 3 se lee: “6 es mayor que 3”
Ejercicios:
Completa con los símbolos: > ó <, según corresponda, en cada caso
1) 9 4
4) 4 1
7) 2
5
7) 4
1
2) 0 6
5) 1 8
8) 3 9
8) 8
6
3) 3 0
6) 0 7
9) 7 2
9) 5
9
6
Operaciones Básicas en N
Adición en N
La adición de dos números naturales a y b da como resultado otro número natural c.
donde a y b son los Sumandos y c es la Suma.
Ejemplo:
Resuelve:
125 + 23 = 148 125 Sumandos
ó 23
Sumandos Suma 148 Suma
Sustracción en N
La sustracción de dos números naturales a y b da como resultado otro número natural
c, donde a se llama Minuendo, b se llama Sustraendo y c se llama Resta o
Diferencia
Ejemplo:
Resuelve:
427 164 = 263 427 Minuendo
ó 164 Sustraendo
Minuendo Sustraendo Diferencia 263 Diferencia
Multiplicación en N
El multiplicación de dos números naturales a y b da como resultado otro número
natural c. donde a y b son los Factores y c es el Producto.
Ejemplo:
Resuelve:
125 Factores
(125) (23) = 2875 23
ó 375
Factores Producto 250
2875 Producto
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División en N
Sean D y d dos números naturales de modo que d no sea cero (d 0). Dividir D ÷ d
significa hallar un numero natural c y un número natural r de modo que D = d . c + r
con r menor que d. el numero D se llama Dividendo, el número d se llama Divisor, el
número c se llama Cociente y el número r se llama Resto o Residuo de la división. La
división es Exacta si r = 0; en caso contrario, es Inexacta.
Ejemplos:
Resuelve:
Dividendo 1731’2’ 541 Divisor
17312 ÷ 541 = 32 1082 32 Cociente
Residuo 000
Dividendo Divisor Cociente
Ejercicios:
Realiza las operaciones que se te indican e identifica los elementos que intervienen
1) 9657 + 548 5) 8594 789 9) (728457) (4) 13) 660 ÷ 5
2) 12345 +6543 6) 5000 325 10) (457) (37) 14) 1224 ÷ 36
3) 7845 +326+15 7) 873194 24179 11) (1284) (327) 15) 36300 ÷132
4) 147+67+1289 8) 542600 7000 12) (7394) (846) 16) 92220 ÷15
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Ecuaciones en N
Observa la siguiente expresión:
Fíjate que:
a) Es una Igualdad
b) Tiene una cantidad desconocida x, la cual llamaremos incógnita o variable
c) El valor de la incógnita o variable es un numero Natural ( )
Como la expresión referida cumple con las tres condiciones descritas anteriormente
entonces Diremos que es una ecuación en N
Una Ecuación en N es una igualdad que tiene una incógnita, cuyo valor es un Número
Natural ( )
Algunos ejemplos de Ecuaciones en N son los siguientes:
a) b) c) d)
Ejemplos:
1. Indica cuales de las siguientes expresiones son Ecuaciones en N y cuáles no.
Justifica tu respuesta
a) 2x + 5 = 7 Si es una ecuación, porque es una igualdad y tiene una incógnita
cuyo valor es el Número Natural: 1
b) 9 4 = 5 No es una ecuación, porque aunque es una igualdad no tiene una
Incógnita
c) 5x 4 > 6 No es una ecuación, porque no es una igualdad aunque tiene una
Incógnita
d) 9 > 2 No es una ecuación, porque no es una igualdad y no tiene una incógnita
9
Ejercicios:
Indica cuales de las siguientes expresiones son Ecuaciones en N y cuáles no. Justifica
tu respuesta.
1) 7 3 = 4 2) 3y + 1 = 28 3) x + 1 < 4 4) 2x + 4 = 12
Observaciones Importantes:
1. En este curso solo estudiaremos ecuaciones de la forma:
Ejemplo:
2. Las expresiones que están a ambos lados del signo de igualdad (=), se llaman
Miembros de la ecuación. Así tenemos:
3x + 2 = 11
Primer Segundo
Miembro Miembro
3. Cada uno de los números o expresiones de la forma: que constituyen los
miembros de una ecuación, reciben el nombre de: Términos de la ecuación.
3x + 2 = 11 3x + 2 = 11
Términos de la Ecuación Coeficiente Variable
del termino 3x
a)
b) es un literal que representa es un valor desconocido y, recibe el nombre de:
incógnita o variable
c) Está sobreentendido que el coeficiente: está multiplicando a la variable: ,
es decir:
d) Cuando la variable esté aparentemente sola, en realidad está sobreentendido
que el coeficiente es uno (1), es decir:
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Ejemplos:
a) b)
Ejercicios:
1. Determina en cada una de las siguientes ecuaciones: la variable, los términos, el
primero y segundo miembro y el coeficiente del término de la forma:
1) x 11 = 3 3) 1 + y = 11 5) 7x + 7 = 14 7) 7 + 3x = 37
2) 3x 5 = 19 4) 4z 2 = 6 6) 3x + 1= 2x +
5
8) 5z 1= z + 7
Solución de Ecuaciones en N
Dada la ecuación:
La igualdad se satisface cuando x = 2, por ello decimos que x = 2 es una solución de
la ecuación, es decir:
La solución de una ecuación es el valor de la incógnita o variable que hace que la
igualdad sea cierta.
Ejemplo:
La solución de: ya que: (4) (3) + 1 = 13
Resolver una ecuación, es hallar su solución, es decir el valor de la incógnita que la
satisface.
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Método Práctico para Resolver Ecuaciones
Para resolver una ecuación en N, de la forma:
Procedemos así:
1. Pasamos “b” al otro miembro de la ecuación, cambiando de signo. Es decir, si
“b” tiene signo positivo, pasa con signo negativo y viceversa.
2. Pasamos “a” al otro miembro, dividiendo
Observación: Para Comprobar el resultado, sustituimos la solución hallada en la
ecuación original.
Ejemplos:
a) Resuelve la ecuación: y comprueba el resultado
Comprobación:
b) Resuelve la ecuación: y comprueba el resultado
Comprobación:
c) Resuelve la ecuación: 248 x y comprueba el resultado
Comprobación:
( )( )
12
d) Resuelve la ecuación: 743 x y comprueba el resultado
Comprobación:
( )( )
e) Resuelve la ecuación: y comprueba el resultado
Comprobación:
( )( )
Ejercicios:
Resuelve las siguientes ecuaciones y verifica el resultado
1) x + 4 = 10 5) 5x = 15 9) 5x + 10 = 15
2) x + 15 = 30 6) 6x = 30 10) 6x + 16 = 34
3) x + 6 = 6 7) 10x = 100 11) 2x 5 = 5
4) x 5 = 2 8) 3x + 2 = 8 12) 4x 3 = 9
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Hay situaciones planteadas en lenguaje cotidiano en las que se usan los Números
Naturales, que se pueden expresar utilizando un lenguaje matemático, es decir
mediante símbolos, números y signos.
Fíjate en las siguientes situaciones y cómo se expresan utilizando una ecuación:
Expresión en Lenguaje Cotidiano Ecuación
Un número más veinte es igual a cuarenta 4020 x
Un número menos doce es igual a cinco 512 x
El doble de un número más cuatro es igual a catorce 1442 x
El triple de un número más dos es igual a veintitrés 2323 x
El triple de un número menos ocho es igual a diez 1083 x
El doble de un número es igual a dieciséis 162 x
El triple de un número es igual a veintisiete 273 x
Ejercicios:
1. Expresa las siguientes situaciones a través de ecuaciones:
1) Un número más ocho es igual a veinticinco
2) El doble de un número menos dos es igual a diez
3) El triple de un número es igual a treinta
4) Un número menos diecisiete es igual a doce
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Solución de Problemas Usando Ecuaciones en N
Para resolver problemas usando ecuaciones, se deben seguir los siguientes pasos:
1. Comprender el Problema: Se indica lo que Representa la incógnita
2. Escribir y Resolver la Ecuación: Se escribe La Ecuación y se Resuelve
3. Comprobar el resultado: comprobar que la solución satisface las condiciones del
enunciado del problema.
Ejemplo:
El doble de un número más cuatro es igual a doce, ¿Cuál es el número?
1) x: Representa “el número buscado” 3) Comprobación:
2)
( )( )
Ejercicios:
Resuelve los siguientes problemas, usando ecuaciones:
1) Un número más once es igual a veinticuatro, ¿Cuál es el número?
2) Un número más dieciocho es igual a veintitrés, ¿Cuál es el número?
3) El doble de un numero menos quince es igual a siete, ¿Cuál es el numero?
4) El triple de un número más cuatro es igual a veintidós, ¿Cuál es el número?
5) ¿Qué número sumado con cincuenta da como resultado sesenta y ocho?
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Números Enteros (Z)
El conjunto de los números enteros se simboliza con la letra Z, y su Representación
Simbólica es:
* +
Su Representación Gráfica es:
… 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 …
Subconjuntos Notables en Z
En el conjunto de los números enteros resaltan los siguientes subconjuntos notables:
Conjunto de los números enteros positivos con el cero:
* +
Conjunto de los números enteros positivos sin el cero:
* +
Conjunto de los números enteros negativos con el cero:
* +
Conjunto de los números enteros negativos sin el cero:
* +
Conjunto de los números enteros diferentes de cero:
* +
Usando los símbolos:
: “pertenece a”
: “no pertenece a”
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Podemos escribir:
a)
b)
c)
d)
Ejercicios:
1. Completa con los símbolos: ó , según corresponda
1) 11 5) 9
2) 3 6) 0
3) 7,3 7) 0
4) ¼ 8) 4
1) Realice la Representación Simbólica de
2) Realice, usando la Recta Numérica, la Representación Gráfica de
3) Realice la Representación Simbólica de
4) Realice, usando un Diagrama de Venn, la Representación Gráfica de
5) Realice la Representación Simbólica de
6) Realice, usando la Recta Numérica, la Representación Gráfica de
Orden en Z
Al comparar dos números enteros, ubicados en la recta numérica, será mayor el que
esté más a la derecha y menor el que esté más a la izquierda.
Ejemplos:
a) 2 es menor que 5 porque 2 está a la izquierda de 5 en la recta numérica
b) 7 es mayor que 2 porque 7 está a la derecha de 2 en la recta numérica
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Usando los símbolos:
< : “es menor que”
> : “es mayor que”
Los ejemplos anteriores también los podemos escribir así:
a) 2 < 5 se lee: “2 es menor que 5”
b) 7 > 2 se lee: “7 es mayor que 2”
Ejercicios:
Completa con los símbolos: > ó <, según corresponda
1) 7 2 5) 9 3
2) 3 0
6) 0 7
3) 25 14
7) 12
0
4) 5 5
8) 0 4
Valor Absoluto de un Número Entero
El valor absoluto de un número entero se define así:
Si a es un número entero (a )
| | ( )
| |
| | ( )
| |
Ejemplos:
Calcule el Valor Absoluto de los siguientes números y escriba como se leen:
) | | ) | | ) | | ) | | ) | |
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Operaciones Básicas en Z
Adición de Números Enteros Con Paréntesis
Caso 1: Adición de Enteros de Igual Signo
a) Se halla la suma de los valores absolutos, de los sumandos
b) A la suma obtenida se le coloca el signo común (si los sumandos o la suma
son positivos puede omitirse el signo “+”, y se considera sobreentendido)
Ejemplos:
a) ( ) ( )
b) ( ) ( )
c) ( ) ( ) ( )
d) ( ) ( ) ( )
Caso 2: Adición de Enteros de Diferente Signo
a) Se halla la diferencia de los valores absolutos (el mayor menos el menor)
b) A la diferencia obtenida se le coloca el signo del sumando que tenga mayor
valor absoluto.
Ejemplos:
a) ( ) ( )
b) ( ) ( )
c) ( ) ( )
d) ( ) ( )
e) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
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Otra forma de resolver el ejemplo anterior es:
f) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
Ejercicios
Efectúa las Siguientes Adiciones:
1) (+5) + (+6) 7) (25) + (+13) 13) (+3) + (+5) + (+7) + (+1)
2) (3) + (4) 8) (62) + (+36) 14) (8) + (7) + (4) + (76) + (12)
3) (+7) + (4) 9) (16) + (+72) 15) (+7) + (+3) + (2) + (5) + (+6)
4) (3) + (+5) 10) (84) + (15) 16) (+4) + (7) + (+3) + (+9) + (8)
5) (+3) + (9) 11) (+78) + (+46) 17) (1) + (+5) + (4) + (+7) + (6)
6) (6) + (+2) 12) (500) + (+7) 18) (+2) + (474) + (+18) + (325)
Propiedades de la Adición de Enteros
a) Conmutativa
Si a y b son números enteros ( ), en general se cumple:
Ejemplos:
a) ( ) ( ) ( ) ( )
b) ( ) ( ) ( ) ( )
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b) Asociativa
Si a, b y c son números enteros ( ), en general se cumple:
( ) ( )
Ejemplo:
a) ( ) ,( ) ( )- ,( ) ( )- ( )
( ) ( ) ( ) ( )
6
c) Existencia del Elemento Neutro
Si a es un número entero ( ), existe el número entero cero (0 ) en
general se cumple:
Ejemplos:
) ( ) ) ( )
b) ( ) d) ( )
d) Existencia del Elemento Simétrico u Opuesto
Todo número tiene su opuesto: , tal que, en general se cumple:
( )
( )
Ejemplos: ) ( ) ( )
) ( ) ( )
Ejercicios:
Indica, en cada caso, el nombre completo de la propiedad aplicada
) ( )
2) ( ) ( )
21
3) ( ) ( ) ( ) ( )
4) ( ) ,( ) ( )- ,( ) ( )- ( )
Sustracción de Números Enteros Con Paréntesis
Para hallar la diferencia de dos números enteros, se le adiciona al primero, el opuesto
del segundo, es decir:
( ) ( ) ( ) ( )
Ejemplos:
) ( ) ( ) ( ) ( )
) ( ) ( ) ( ) ( )
) ( ) ( ) ( ) ( )
d) ( ) ( ) ( ) ( )
Ejercicios:
Efectúa las siguientes sustracciones:
1) ( +7) ( 3) 3) (+12) ( +14) 5) (+16) ( 9) 7) (15) (+13)
2) (+4) (12) 4) (8) (+4) 6) (23) (+11) 8) (60) (+33)
Adiciones y Sustracciones Sin Paréntesis
Eliminación de Paréntesis
Los paréntesis, en las Adiciones y Sustracciones, se pueden eliminar según el signo
que los preceda, tomando en cuenta las siguientes consideraciones:
1) Si el signo es “+” o no tiene signo, se elimina el paréntesis (con el signo “+”); y
los números que están dentro conservan su signo.
Ejemplos:
) ( ) ( )
) ( ) ( )
2) Si el signo es “–“, se elimina el paréntesis (con el signo “–“ ); y los números que
están dentro cambian de signo.
22
Ejemplos:
a) ( ) ( )
b) ( ) ( )
c) ( ) ( )
Ejercicios:
Elimina, en cada caso, los paréntesis:
1) ( ) ( )
2) ( ) ( )
3) ( ) ( )
4) ( ) ( ) ( )
Adiciones o Sustracciones Sin Paréntesis
Para efectuar adiciones o sustracciones que no tengan paréntesis, se deben
considerar los signos “+” ó “–” que están delante de cada número.
1) Si son signos iguales, se halla la suma de los números, y al resultado se le coloca
el signo común.
Ejemplos:
Resuelve:
a)
b)
c)
d)
2) Si son signos diferentes, se halla la diferencia de los números y se coloca el
signo que preceda al número que tenga mayor valor absoluto.
Ejemplos:
Resuelve:
) )
23
Ejercicios:
Resuelve las siguientes Adiciones y/o Sustracciones, Sin Paréntesis:
1) 5 + 6 7) 25 + 13 13) 3 + 5 + 7 + 1 + 4
2) 3 4 8) 62 + 36 14) 24 + 43 + 16 + 15 + 22 +54
3) 7 4 9) 16 + 72 15) 15 + 75 + 875 + 1247
4) 3 + 5 10) 84 15 16) 2 5 3 6 1
5) 3 9 11) 78 + 46 17) 14 65 34 67 15 36
6) 6 + 2 12) 500 + 7 18) 78 748 46 76 152
Adiciones y Sustracciones Combinadas Sin Paréntesis
En este caso se agrupan los números con signos iguales; se halla la suma de los
positivos y, aparte, la de los negativos y finalmente se halla la diferencia respectiva.
Ejemplo:
Ejercicios:
Efectúa las siguientes adiciones y sustracciones combinadas:
1) 4)
2) 5)
3) 6)
24
Adiciones y Sustracciones Combinadas Con Signos de Agrupación
Cuando un ejercicio tenga varios signos de agrupación; se eliminan según el signo
que los preceda: “+” ó “–“, de manera análoga a la eliminación de paréntesis. Primero
se eliminan los paréntesis, luego los corchetes y después las llaves.
Ejemplo:
* , ( )- +
* , - +
* +
Ejercicios
En cada caso, elimina los signos de agrupación y resuelve
1) ( ) ( )
2) ( ) ( ) ( )
3) , ( ) -
4) , ( )-
5) * , ( ) -+
6) *, ( )- +
Multiplicación de Números Enteros
Para multiplicar dos números enteros, se multiplican los valores absolutos de los
factores y luego:
a) El producto será positivo, si los factores tienen el mismo signo
b) El producto será negativo, si los factores tienen signos diferentes
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Ejemplos:
a) ( )( ) c) ( ) ( )
b) ( ) ( ) = 24 d) ( ) ( )
Ejercicios.
Efectúa las siguientes multiplicaciones
1) ( +3) ( +5) 5) ( +4) ( 9) 9) ( +5) ( +7) 13) ( +6) ( 8)
2) ( 7) ( +2) 6) (6) ( +3) 10) ( 3) ( +7) 14) (9) ( +5)
3) ( +6) ( +1) 7) (5) ( 0) 11) ( +6) ( +6) 15) ( 12) ( 7)
4) ( 3) ( 7) 8) ( 0) (+3) 12) ( 9) ( 8) 16) ( +12) ( +25)
Propiedades de la Multiplicación de Enteros
a) Existencia del Elemento Neutro
Si a es un número entero ( ), existe el número entero uno (1 ) en
general se cumple:
( ) ( )
( ) ( )
Ejemplos:
) ( ) ( ) ) ( ) ( )
b) ( ) ( ) d) ( ) ( )
b) Conmutativa
Si a y b son números enteros ( ), en general se cumple:
( ) ( ) ( ) ( )
Ejemplos:
a) ( ) ( ) ( ) ( ) b) ( ) ( ) ( ) ( )
26
c) Asociativa
Si a, b y c son números enteros ( ), en general se cumple:
( ) ( )
Ejemplo:
a) , ( ) ( ) - ( ) ( ) , ( ) ( ) -
( ) ( ) ( ) ( )
6
d) Distributiva de la Multiplicación
Si a, b y c son números enteros ( ), en general se cumple:
( ), ( ) ( ) - ( ) ( ) ± ( a ) ( c )
, ( ) ( ) - ( ) ( ) ( ) ± ( a ) ( c )
Ejemplos:
) ( ) , ( ) ( ) - ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
) , ( ) ( ) - ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
27
Ejercicios
1) Identifica, en cada caso, la propiedad aplicada
) ( ) , ( ) ( ) - , ( ) ( ) - ( )
b) ( ) ( )
c) ( ) ( ) ( ) ( )
d) ( ) ,( ) ( )- ( ) ( ) ( ) ( )
2) Aplica, en cada caso, la propiedad distributiva
1) ( ) ,( ) ( ) -
2) ( ) , ( ) ( ) -
3) , ( ) ( ) - ( )
4) , ( ) ( ) - ( )
División de Números Enteros
Para dividir dos números enteros, se divide el valor absoluto del dividendo entre el
valor absoluto del divisor, y luego:
a) El cociente será positivo, si el dividendo y el divisor tienen el mismo signo
b) El cociente será negativo, si el dividendo y el divisor tienen signos diferentes
Ejemplos:
a)
b)
c)
d)
28
Ejercicios:
Efectúa las siguientes divisiones
1) 24 ÷ 12 6) (48) ÷ ( +4) 11) 36 ÷ (3) 16) (42) ÷ 6
2) 72 ÷ 8 7) 45 ÷ 9 12) (35) ÷ (5) 17) 3 ÷ 1
3) 4 ÷ 1 8) 3 ÷ (3) 13) 0 ÷ (5) 18) 8 ÷ 8
4)
9)
14)
19)
5)
10)
15)
20)
Reducción de Términos Semejantes
Recuerda que:
El término de una ecuación es una expresión numérica o una combinación de números
y literales de la forma:
Donde:
Nota importante: cuando la variable no tiene exponente se sobreentiende que es “1”
y cuando no aparece la variable se sobreentiende que su exponente es “0”
Es decir: y
Ejemplos: ) )
29
Las siguientes expresiones son Ejemplos de términos:
a) coeficiente: _____ variable: _____ exponente: _____
b) coeficiente: _____ variable: _____ exponente: _____
c) coeficiente: _____ variable: _____ exponente: _____
d) coeficiente: _____ variable: _____ exponente: _____
e) – coeficiente: _____ variable: _____ exponente: _____
f) coeficiente: _____ variable: _____ exponente: _____
g) coeficiente: _____ variable: _____ exponente: _____
Dos términos son semejantes si tienen la misma variable elevada al mismo exponente.
Por ejemplo, los siguientes términos son semejantes:
a)
b)
Por otro lado, los siguientes términos no son semejantes:
a) ¿Por que?
b) ¿Por qué?
Los términos semejantes se pueden reducir a un solo término, que será semejante a los
términos dados, y cuyo coeficiente será el resultado de los coeficientes.
Ejemplos:
Realiza la reducción de los siguientes términos semejantes:
a) ( )
b) ( )
c) ( )
d) ( )
e) ( ) ( )
( )
30
Ejercicios:
Reduce los siguientes términos semejantes:
1) 7) 13)
2) 8) 14)
3) 9) 15)
4) 10) 16)
5) 11) 17)
6) 12) 18)
Ecuaciones en Z
Los procedimientos para resolver ecuaciones en Z son los mismos que utilizamos
para resolver ecuaciones en N, la única diferencia es que la solución ahora es un
número entero.
Ejemplos:
) )
2
31
) ) ( )
( )( ) ( )( )
(6 ) ( )( )
6
) ( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )
Ejercicios:
Resuelve las siguientes ecuaciones:
1) 7) 13) ( ) 2) 8) 14) ( ) 3) 9) 15) ( ) 4) 10) 16) ( ) 5) 11) ( ) 17) ( )
6) 12) ( ) 18) ( ) ( )
32
Resolución de Problemas Usando Ecuaciones en Z
En la resolución de problemas, usando ecuaciones en Z, se siguen los mismos pasos
de la resolución de problemas, usando ecuaciones en N.
Ejemplo:
El triple de un número más quince es igual a tres ¿Cuál es el número?
1) Sea x el numero buscado
2)
3) Verificación:
( )( )
Ejercicios:
Resuelve los siguientes problemas:
1) El doble de un número es igual a menos ocho. ¿Cuál es el número?
2) Un número más cinco es igual a menos quince. ¿Cuál es el número?
3) El triple de un número es igual al número más catorce. ¿Cuál es el número?
4) Un número más dos es igual a menos diez menos el triple del número. ¿Cuál es
el número?
5) Un número más nueve es igual a tres menos dos veces el número. ¿Cuál es el
número?
33
6) La suma de tres números consecutivos es menos doce. ¿Cuáles son los tres
números?
7) Si la cantidad de dinero que debe Leonor aumentada en sesenta mil bolívares es
igual a treinta mil bolívares. ¿Cuánto debe Leonor?
8) Si el doble de la cantidad de dinero que debe Eduardo es igual a ochenta y dos
mil bolívares menos noventa y seis mil bolívares. ¿Cuánto dinero debe Eduardo?
9) Si el número del piso en el que se encuentra un ascensor más cinco es igual a dos.
¿En qué piso se encuentra el ascensor?
Potenciación de Números Enteros con Exponente Natural
Si a es un numero entero y n un número natural, llamaremos potencia enésima de a,
al número entero que se obtiene al multiplicar el número a, por si mismo, n veces; es
decir:
( )
Siendo:
Convendremos en aceptar que:
Las potencias se leen según los siguientes ejemplos:
a) se lee: “tres elevado a la ocho”
b) se lee: “siete elevado a la cuatro”
c) ( ) se lee: “menos dos elevado a la cinco”
34
Cuando los exponentes son 2 ó 3, se aplica la siguiente regla:
a) se lee: “cuatro elevado al cuadrado”
b) se lee: “ocho elevado al cubo”
1. Escribe, en el lugar correspondiente: la base, el exponente y como se lee cada una
de las siguientes potencias
Base de la Potencia: 5
) Exponente de la Potencia: 2
Se lee: “cinco elevado al cuadrado”
Base de la Potencia:
) ( ) Exponente de la Potencia: 7
Se lee: “menos cuatro elevado a la siete”
2. Calcula las siguientes potencias:
a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
b) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
3. Expresa como una potencia cada uno de los siguientes productos:
a) ( ) ( ) ( )
b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Ejercicios:
1. Escribe, en el lugar correspondiente: la base, el exponente y como se lee cada una
de las siguientes potencias
Base de la Potencia: ____
) Exponente de la Potencia: ____
Se lee: ___________________________________
35
Base de la Potencia: ____
) ( ) Exponente de la Potencia: ____
Se lee: ___________________________________
Base de la Potencia: ____
) Exponente de la Potencia: ____
Se lee: ___________________________________
Base de la Potencia: ____
) ( ) Exponente de la Potencia: ____
Se lee: ___________________________________
2. Calcula las siguientes potencias
1) 5) ( ) 9) ( )
2) 6) ( ) 10) ( )
3) 7) ( ) 11) ( ) =
4) 8) ( ) 12) ( )
3. Expresa como una potencia cada uno de los siguientes productos
) ( ) ( )
) ( ) ( ) ( ) ( )( )
Signos de las Potencias
Considerando los resultados del ejercicio 2, podemos concluir:
1) Si la base es positiva, la potencia es positiva (ver ejercicios 1, 2, 3 y 4)
2) Si la base es negativa y el exponente par, la potencia es positiva (ver ejercicios 7,
9 y 11)
3) Si la base es negativa y el exponente impar, la potencia es negativa (ver
ejercicios 6, 8, 10 y 12)
36
Ejercicios:
Determina, sin efectuar cálculos, el signo de las siguientes potencias:
1) 5) ( ) 9) ( )
2) ( ) 6) 10) ( )
3) ( ) 7) ( ) 11) ( )
4) ( ) 8) 12)
Propiedades de la Potenciación en Z
1. Multiplicación de Potencias de Igual Base
El producto de dos potencias de igual base es otra potencia de la misma base y cuyo
exponente es la suma de los exponentes de los factores, es decir:
Si
Ejemplos:
)
) ( ) ( ) ( ) ( )
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Nota importante:
Cuando no aparezca un signo entre las potencias se sobreentiende que es un signo de
multiplicación ( . )
2. División de Potencias de Igual Base
El cociente de dos potencias de igual base es otra potencia de la misma base y cuyo
exponente es la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor,
es decir:
Si
37
Ejemplos:
) ( ) ( ) ( ) ( )
)
) ( )( )
) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )
3. Potencia de una Potencia
Para hallar la potencia de una potencia, se conserva la base y se multiplican los
exponentes, es decir:
Si ( ) ( )( )
Ejemplos:
) ( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )( )
) ,( ) - ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )
4. Potencia de un Producto
Para hallar la potencia de un producto, se eleva cada factor al exponente de la
potencia, es decir:
Si ,( )( )-
Ejemplos:
) ,( )( )- ( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )
) ,( )( )- ( ) ( )( )( )( )( )( )
( )( )( )( )( )
( )( )( )( )
( )( )( )
( )( )
38
5. Potencia de un Cociente
Para hallar la potencia de un cociente, se eleva el dividendo y el divisor al exponente
de la potencia, es decir:
Si ( ) .
/
Ejemplos:
) ,( ) ( )- (
)
( )( )
( )( )
) ,( ) ( )- (
)
( )
( )( )( )
( )( )( ) ( )( )
( )( )
Ejercicios:
Resuelve los siguientes ejercicios, aplicando las propiedades de la potenciación en Z
1) 5) 9) ( ) 13) ,( )( )-
2) ( ) ( ) 6) ( ) ( ) 10) ( ) 14) ,( )( )-
3) ( ) ( ) 7) ( ) ( ) 11) ,( ) - 15) ,( ) ( )-
4) ( ) ( ) ( ) 8) ( ) ( ) 12) ,( ) - 16) ,( ) ( )-
39
Múltiplos y Divisores
División de Números Enteros
Dados dos enteros ( ) se llama cociente entero de
a un número entero tal que:
Si entonces:
Donde:
Observaciones:
a) Si el resto es igual a cero ( ) entonces y por lo tanto la división de
es exacta
b) Si el resto es distinto de cero ( ) entonces y por lo tanto la
división de es inexacta.
Definición:
Un número entero divide a otro entero si y solo si la división de es exacta.
Ejemplos:
1)
C
Comprobación:
( )( )
40
2)
C
Comprobación:
( )( )
Los divisores de un número entero n, es un conjunto formado por todos los números
enteros que dividen a n. Dicho conjunto se denota: D(n) y los elementos de este se
obtienen dividiendo n por: 1, 2, 3, . . , n y tomando de estos últimos aquellos que
dividen a n
Ejemplos:
1) Determina los divisores de 2
( ) * +
2) Determina los divisores de 4
41
3
1
4
( ) * +
Ejercicios:
1) ¿Todo número es divisible por 1?
2) ¿Todo número es divisible por sí mismo?
3) ¿Cuál es el menor número de divisores que tiene cualquier número?
2) Determina los divisores de los siguientes números:
a) 3 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
3) Resuelve las siguientes divisiones y comprueba cada caso:
1) 5)
2) 6)
3) ( ) 7)
4) 8) ( )
Múltiplos de un Número Entero
Sean dos números enteros, decimos que: si existe un
entero tal que:
Ejemplos:
a) ( )( )
b) ( )( )
42
Los múltiplos de un número entero n se simbolizan: ( ) y se determinan
multiplicando, dicho número, por: 1, 2, 3, 4, . . .
Ejemplos:
1) Determina los múltiplos de 3
( ) * ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) +
( ) * +
2) Determina los múltiplos de 5
( ) * ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) +
( ) * +
Ejercicios:
Determina los múltiplos de:
a) 2 b) 4 c) 7 d) 10 e) 100
43
Números Primos y Compuestos
Un numero entero, mayor que 1, se llama primo si tiene exactamente dos divisores
distintos. Un entero se llama compuesto si no es primo, es decir, un número es
compuesto si tiene más de dos divisores.
Para saber si un número es primo o no, basta con averiguar si dicho número, además
de ser divisible por sí mismo y por la unidad, lo es también por otro u otros números.
Veamos si 2 es primo
Indiquemos por: ( ) los divisores de 2, luego:
( ) * +
Entonces el 2 es primo ya que solo tiene 2 divisores: el 1 y el mismo 2
Veamos si 3 es primo
Indiquemos por: ( ) los divisores de 3, luego:
( ) * +
Entonces el 3 es primo ya que solo tiene 2 divisores: el 1 y el mismo 3
Veamos si 4 es primo
Indiquemos por: ( ) los divisores de 4, luego:
( ) * +
Entonces el 4 es compuesto ya que tiene más de 2 divisores
Nota Importante: el 1 no es ni primo ni compuesto ya que solo tiene un divisor
Método Práctico para Determinar si un Número es Primo ó Compuesto
Para determinar si un número es primo o compuesto, basta con dividir, dicho numero
entre todos los números primos menores que él, y si se llega, sin obtener cociente
exacto, a una división inexacta en la que el cociente sea igual o menor que el divisor,
se concluye que el número dado es primo. Si hay alguna división exacta, entonces el
número dado es compuesto.
44
Ejemplos:
1) Determina, usando el Método Práctico, si el número: 27 es un número primo o
compuesto
Dividiendo 27 entre los números primos menores que él tenemos:
27 2
07 13
1
27 3
0 9
Como la división: , es exacta, entonces se concluye que el numero: 27 es
compuesto.
2) Determina, usando el Método Práctico, si el número: 29 es un número primo o
compuesto
Dividiendo 29 entre los números primos menores que él tenemos:
29 2
09 14
1
29 3
2 9
29 5
4 5
Como la división: , es inexacta y el cociente es igual que el divisor, entonces se
concluye que el número: 31 es primo.
3) Determina, usando el Método Práctico, si el número: 31 es un número primo o
compuesto
Dividiendo 31 entre los números primos menores que él tenemos:
31 2
11 15
1
31 3
01 10
31 5
1 6
31 7
3 4
Como la división: , es inexacta y el cociente es menor que el divisor, entonces
se concluye que el número: 31 es primo.
Ejercicios:
1) Determina, usando el Método Práctico, si los siguientes números son números
primos o compuestos
a) 33 b) 43 c) 45 d) 59 e) 105 f) 127 g) 225 i) 229
45
Criterios de Divisibilidad
Los Criterios de Divisibilidad son reglas prácticas que nos permiten asegurar si un
número es divisible por otro, sin necesidad de hacer la división.
Criterio de Divisibilidad por 2:
Un número es divisible por 2, si termina en cero ó cifra par ( 0, 2, 4, 6, 8 )
Ejemplos:
10 es divisible por 2, ya que termina en 0
582 es divisible por 2, ya que termina en 2
8954 es divisible por 2, ya que termina en 4
16496 es divisible por 2, ya que termina en 6
24688 es divisible por 2, ya que termina en 8
En cambio, los números: 121, 253 y 677 no son divisibles por 2, porque no terminan
en cifra par.
Criterio de Divisibilidad por 3:
Un número es divisible por 3, si la suma de sus cifras es divisible por 3.
Ejemplos:
840 es divisible por 3, ya que la suma de las cifras: 8+4+0= 12, Es divisible por 3
1581 es divisible por 3 ya que 1+5+8+1=15, es divisible por 3
En cambió los números: 253, 1384 y 35843 no son divisibles por 3, porqué la suma
de sus respectivas cifras no es divisible por 3
Criterios de la Divisibilidad por 4:
Un número es divisible por 4, si sus dos últimas cifras son ceros, o forman un número
divisible por 4.
Ejemplos:
800 es divisible por 4, ya que sus dos últimas cifras son ceros.
1240 es divisible por 4, ya que sus dos últimas cifras forman un número divisible por
4
135000 es divisibles por 4 ¿Por qué?
425328 es divisibles por 4 ¿Por qué?
En cambió los números: 126, 3849 y 350 no son divisibles por 4. ¿Por qué?
Criterios de la divisibilidad por 5:
Un número es divisible por 5, si su última cifra es 0 ó 5.
Ejemplos:
28030 es divisible por 5, ya que termina en 0.
134565 es divisible por 5, ya que termina en 5
46
12000 es divisible por 5, ¿Por qué?
13575 es divisible por 5, ¿Por qué?
En cambio, los números: 1343 y 21472 no son divisibles por 5. ¿Por qué?
Criterios de la divisibilidad por 9:
Un número es divisible por 9, si la suma de sus cifras es divisible por 9.
Ejemplos:
702 es divisible por 9, ya que 7+0+2= 9, Es divisible por 9
1782 es divisible por 9, ya que 1+7+8+2=18, es divisible por 9
9873 es divisible por 9, ¿Por qué?
En cambio los números: 1999 y 27056 no son divisibles por 9 ¿Por qué?
Criterios de la divisibilidad por 10:
Un número es divisible por 10, si su última cifra es 0.
Ejemplos:
250 es divisible por 10, ya que su última cifra es 0
3200 es divisible por 10, ya que su última cifra es 0
450 es divisible por 10, ¿Por qué?
30000 es divisible por 10, ¿Por qué?
En cambio los números: 121 y 305 no son divisibles por 10 ¿Por qué?
Ejercicios:
1) Determina, usando los Criterios de Divisibilidad, los divisores de 123
2) Determina, usando los Criterios de Divisibilidad, los divisores de 680
3) Determina, usando los Criterios de Divisibilidad, los divisores de 3245
4) Determina, usando los Criterios de Divisibilidad, los divisores de 13400
47
Descomposición de un Número en sus Factores Primos
Un número se puede descomponer, de varias formas, como producto de sus factores.
Por ejemplo; el número 20 se puede descomponer así:
20 = ( 1 ) ( 20 )
20 = ( 2 ) ( 10 )
20 = ( 4 ) ( 5 )
20 = ( 2 ) ( 2 ) ( 5 )
Solamente en el último caso, todos los factores que aparecen son números primos. Por
ello decimos que:
20 = ( 2 ) ( 2 ) ( 5 ) = 22 . 5
Es la descomposición de 20, como producto de sus factores primos
Para descomponer un número, como producto de sus factores primos, procedemos así:
1. Se divide el numero dado entre el menor número primo, posible
2. El cociente resultante se divide entre el menor número primo, posible
3. El proceso continua hasta que se obtenga un cociente primo, el cual se divide entre
sí mismo
4. Se expresa el numero dado como producto de los números primos utilizados
Ejemplos:
120 2
60 2
30 2 120 = 2 . 2 . 2 . 3 . 5 = 23 . 3 . 5
15 3
5 5
1
81 3
27 3
9 3 81 = 3 . 3 . 3 . 3 = 34
3 3
1
48
Ejercicios:
Descomponga, los siguientes números, como producto de sus factores primos:
a) 12 b) 36 c) 60 d) 75 e) 28 f) 140 g) 235
Máximo Común Divisor
Determinemos el máximo común divisor de 6 y 12. Sea D(6) y D(12) el conjunto de
los divisores positivos de 6 y 12, respectivamente.
D(6) = 1, 2, 3, 6
D(12) = 1, 2, 3, 4, 6, 12
Los divisores comunes de 6 y 12 son:
1, 2, 3 y 6
El mayor divisor común 6, es llamado máximo común divisor. Para indicar el máximo
común divisor de 6 y 12, escribimos:
MCD (6, 12) = 6
Método Práctico para Calcular el MCD
Para calcular el MCD de dos o más números, se descomponen los números, dados, en
sus factores primos y luego se multiplican, entre sí, las Potencias Comunes, tomados
con su menor exponente.
Ejemplos:
Calcula: MCD (15, 28)
15 3 28 2 15 = 3 . 5
5 5 14 2 28 = 22 . 7
1 7 7
1 MCD (15, 28) = 1
49
Calcula: MCD (20, 30, 90)
20 2 30 2 90 2 20 = 22 . 5
10 2 15 3 45 3 30 = 2 . 3 . 5
5 5 5 5 15 3 90 = 2 . 32 . 5
1 1 5 5
1
MCD (20, 30, 90) = 2 . 5 = 10
Ejercicios:
Calcula:
1) MCD (18, 36) 3) MCD (45, 60)
2) MCD (72, 180) 4) MCD (15, 25, 75)
Mínimo Común Múltiplo
Determinemos el mínimo común múltiplo de 2 y 3.
Sea M(2) y M(3) el conjunto de los múltiplos positivos de 2 y 3, respectivamente.
M(2) = 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, …
M(3) = 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, …
Los múltiplos comunes de 2 y 3 son:
6, 12, 18, …
El menor múltiplo positivo común 6, es llamado mínimo común múltiplo de 2 y 3, lo
cual escribimos:
mcm (2,3) = 6
50
Método Práctico para Calcular el mcm
Para calcular el mcm de dos o más números, se descomponen los números, dados, en
sus factores primos y luego se multiplican, entre sí, las Potencias Comunes y No
Comunes, tomados con su mayor exponente.
Ejemplo:
Calcula: mcm (12, 30)
12 2 30 2 12 = 22 . 3
6 2 15 3 30 = 2 . 3 . 5
3 3 5 5
1 1 mcm (12, 30) = 22 . 3 . 5 = 2 . 2 . 3 . 5
= 4 . 3 . 5 = 12 . 5 = 60
Ejemplo:
Calcula: MCD (15, 60, 90) y mcm (15, 60, 90)
15 3 60 2 90 2 15 = 3 . 5
5 5 30 2 45 3 60 = 22 . 3 . 5
1 15 3 15 3 90 = 2 . 32 . 5
5 5 5 5
1 1
MCD (15, 60, 90) = 3 . 5 = 15
mcm (15, 60, 90) = 22 . 3
2 . 5 = 2 . 2 . 3 . 3 . 5 = 4 . 3 . 3 . 5 = 12 . 3 . 5
= 36 . 5 = 180
Ejercicios:
Calcula el M.C.D y el mcm de:
1) 5) 9) 13)
2) 6) 10) 14)
3) 7) 11) 15)
4) 8) 12) 16)
51
Números Racionales (Q)
Llamaremos conjunto de los números racionales, y lo simbolizaremos con la letra Q,
al conjunto de todas las fracciones de la forma:
es decir:
2
3
Ejemplos:
)
)
En cambio:
)
)
)
Fracciones Especiales
La fracción:
,se llama Fracción Nula y se identifica con el cero, es decir:
Ejemplos:
)
)
La fracción:
, se llama Fracción Unidad y se identifica con el uno, es decir:
Ejemplos:
)
)
La fracción:
, se llama Fracción Entera y se identifica con el entero que figura en
el numerador, es decir:
Ejemplos:
)
)
52
De este último caso podemos deducir que cualquier entero se puede expresar como
un racional, agregándole el denominador uno (1), esto quiere decir que: todo número
entero es racional. Significa además, que todos los elementos de Z, están incluidos en
Q ó también que Z es subconjunto de Q, lo cual se denota así: .
Gráficamente se expresa:
Q
Z
Expresiones Decimales
Hemos visto en el curso anterior, que los números Racionales pueden ser
representados tanto por fracciones como por Expresiones Decimales.
Para determinar la Expresión Decimal de un Número Racional, basta con dividir el
numerador entre el denominador, en cuyo caso solo es posible obtener uno de los
siguientes tipos de Expresiones Decimales:
1. Expresiones Decimales Exactas
Son aquellas en las que al dividir el numerador entre el denominador se obtiene
un cociente exacto, por lo tanto tienen un número determinado de decimales.
Ejemplos:
a)
40 5
0 0,8
b)
30 4 20 0,75 0
53
2. Expresiones Decimales Periódicas
Son aquellas en las que al dividir el numerador entre el denominador se obtiene
un cociente inexacto, por lo tanto tienen un número infinito de decimales con
una cifra o grupo de cifras que se repite
Ejemplos:
a)
10 3
10 0,33… 1
b)
13 6 10 2,166… 40
40 4
En las Expresiones Decimales Periódicas debemos reconocer:
a) El Periodo: es la cifra o grupo de cifras que se repite y se simboliza con un arco
Ejemplo:
Periodo
Parte Entera
b) El Anteperiodo: es la cifra o grupo de cifras comprendido entre el periodo y la
parte entera
Ejemplo:
Periodo
Anteperiodo
Parte Entera
3. Expresiones Decimales No Periódicas
Son aquellas en las que al dividir el numerador entre el denominador se obtiene
un cociente inexacto, por lo tanto tienen un número infinito de decimales sin una
cifra o grupo de cifras que se repite
54
Ejemplos:
Observa las siguientes Expresiones Decimales:
2,04721384…
0,13457829…
-1,3974312…
Estas Expresiones Decimales no son Periódicas ya que no tienen una cifra o grupo de
cifras que se repite
Nota Importante:
En el presente curso no profundizaremos en el estudio de las Expresiones Decimales
No Periódicas ya que lo haremos posteriormente
Ejercicios:
1. Calcula la Expresión Decimal correspondiente a los siguientes Números
Racionales:
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
2. Simboliza con un arco el periodo en las siguientes Expresiones Decimales
Periódicas y luego señala la parte entera, el periodo y el anteperiodo, si lo tiene.
)
)
)
La Expresión Decimal Periódica que no tiene anteperiodo recibe el nombre de
Expresión Decimal Periódica Pura, y aquella que si lo posee recibe el nombre de
Expresión Decimal Periódica Mixta.
55
Ejemplos de Expresiones Decimales Periódicas Puras:
) ) )
Ejemplos de Expresiones Decimales Periódicas Mixtas:
) ) )
Ejercicios:
Escribe en el segmento colocado a la derecha de las siguientes Expresiones Decimales
el nombre correspondiente
) _______________________________________________________
) _______________________________________________________
) _______________________________________________________
) _______________________________________________________
) _______________________________________________________
) _______________________________________________________
Aproximaciones de Expresiones Decimales
La aproximación de un numero decimal es un proceso que consiste en redondear
dicho decimal a un número determinado de cifras decimales.
Para realizar la aproximación de un número decimal a 1, 2, 3, … decimal(es), basta
con observar la cifra siguiente y tomar una de las siguientes decisiones:
1. Si la cifra decimal siguiente es menor que 5, la anterior queda igual y se
eliminan las restantes
2. Si la cifra decimal siguiente es igual o mayor que cinco la cifra anterior se
aumenta en una unidad y se eliminan las restantes.
56
Nota Importante:
Cuando se hace una aproximación de una Expresión Decimal se usa el símbolo:
que se lee: “Aproximadamente igual a”
Ejemplos:
1. Escriba la aproximación, con una cifra decimal, del número: 2,358
2. Escriba la aproximación, con dos cifras decimales, del número: 15,21366…
3. Escriba la aproximación, con cuatro cifras decimales, del número:
Ejercicios:
1. Escriba la aproximación, con una cifra decimal, del número: 15,873
2. Escriba la aproximación, con dos cifras decimales, del número: 23,38977…
3. Escriba la aproximación, con tres cifras decimales, del número:
4. Escriba la aproximación, con una cifra decimal, del número: 8,472…
Representación Gráfica de Racionales en la Recta Numérica
Para realizar la Representación Grafica de un Números Racional se calcula la
Expresión Decimal, correspondiente, después se escribe la Aproximación con una
cifra decimal y finalmente se ubica en la Recta Numérica
Ejemplos:
Efectúa la Representación Gráfica de los siguientes Racionales:
a)
3 2
10 1,5 0
… -3 -2
-1 0 1 2 3 …
57
b)
7 6 10 1,166… 40 40
4
… -3 -2 -1 0 1
2 3 …
Ejercicios:
Efectúa la Representación Gráfica de los siguientes Racionales:
)
)
)
)
)
)
)
Fracciones Iguales
Se llaman fracciones Iguales las que representan la misma parte de la unidad dividida.
Las fracciones:
y
son Iguales, lo cual se escribe:
si los productos
cruzados son iguales, es decir; si satisfacen la siguiente relación: , en caso
contrario diremos que las fracciones son diferentes y lo escribiremos así:
Ejemplos:
Determina si las siguientes fracciones son Iguales o Diferentes:
a)
ya que: (1)(4) = (2)(2) Concluimos que:
4 = 4
b)
ya que: (-3)(5) ≠ (4)(2) Concluimos que:
-15 ≠ 8
c)
ya que: (6)(1) = (3)(2) Concluimos que:
6 = 6
58
Ejercicios:
Determina, usando los productos cruzados, si los siguientes pares de fracciones son
Iguales o Diferentes:
)
)
)
)
)
)
)
)
Simplificación de Fracciones
Si dividimos los dos componentes de una fracción (numerador y denominador), por un
entero n, obtendremos una fracción equivalente a la dada, este proceso se denomina
Simplificación de Fracciones
Ejemplos:
a)
observa que
y
son Iguales ya que (8)(3)=(12)(2)
b)
Notas Importantes:
1. Cuando el numerador y el denominador son primos, la fracción no se puede
simplificar.
Ejemplos:
2. Cuando el numerador o el denominador de una Fracción es primo y el otro es
compuesto, pueden darse los siguiente casos:
a) Si el compuesto es divisible por el correspondiente primo la fracción se puede
simplificar
Ejemplo:
59
b) Si el compuesto es no es divisible por el correspondiente primo la fracción
no se puede simplificar
Ejemplo:
Ejercicios:
Simplifica las siguientes fracciones:
)
)
)
)
)
)
)
)
Fracción Irreducible
Una Fracción Irreducible es una Fracción que no se puede simplificar
Hay dos métodos para hallar la Fracción Irreducible de una fracción dada, los cuales
se muestran a continuación:
Método de Simplificación con el MCD
Para obtener la Fracción Irreducible de una fracción dada, basta con simplificarla por
el MCD del numerador y el denominador
Ejemplo:
Obtenga la fracción irreducible de:
a) Se calcula el MCD del numerador y el denominador, de la fracción dada:
96 2 120 2 96 = 25 . 3
48 2 60 2 120 = 23 . 3 . 5
24 2 30 2
12 2 15 3 M.C.D. (96, 120) = 23 . 3 = (8) (3) = 24
6 2 5 5
3 3 1
1
60
b) Se divide el numerador y el denominador, de la fracción dada, por el M.C.D
calculado:
Por lo tanto, la fracción irreducible de
es
Ejercicios:
Halle la fracción irreducible de las siguientes fracciones, usando el Método de
Simplificación con el MCD
1)
2)
3)
4)
5)
Método de las Simplificaciones Sucesivas
El método de las simplificaciones sucesivas consiste en aplicar simplificaciones
sucesivas a una fracción dada hasta obtener su fracción irreducible.
Ejemplo:
Halle la fracción irreducible de:
, usando el método de las simplificaciones
sucesivas.
Ejercicios:
Halle la fracción irreducible de las siguientes fracciones, usando el método de las
simplificaciones sucesivas
1)
2)
3)
4)
61
Adición de Racionales
Caso 1: Adición de Números Racionales con Igual Denominador
La suma de dos números racionales con igual denominador es otro número racional,
cuyo numerador es la suma de los numeradores y el denominador es el mismo, es
decir:
Ejemplos:
a)
b)
c)
( ) ( )
( )
Ejercicios:
Efectúa las siguientes adiciones:
)
)
)
)
)
Caso 2: Adición de Números Racionales con Distinto Denominador
( )( ) ( )( )
( )( )
Ejemplos:
a)
( )( ) ( )( )
( )( )
b) .
/
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )
Nota Importante: siempre que sea posible, se debe simplificar el resultado obtenido
62
Ejercicios:
Efectúa las siguientes adiciones:
)
)
)
)
Sustracción de Números Racionales
Caso 1: Sustracción de Números Racionales con Igual Denominador
La diferencia de dos números racionales con igual denominador es otro número
racional, cuyo numerador es la diferencia de los numeradores y el denominador es el
mismo, es decir:
Ejemplos:
a)
( )
b)
( ) ( )
Ejercicios:
Efectúa las siguientes sustracciones:
)
)
(
) )
) (
) (
)
)
)
(
) )
)
(
)
Caso 2: Sustracción de Números Racionales con Distinto Denominador
( )( ) ( )( )
( )( )
63
Ejemplos:
a)
( )( ) ( )( )
( )( )
b)
.
/
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )
Nota Importante: siempre que sea posible, se debe simplificar el resultado obtenido
Ejercicios:
Efectúa las siguientes sustracciones:
)
)
)
) (
) (
)
)
)
(
) )
)
(
)
Multiplicación de Números Racionales
El producto de dos números racionales es otro número racional, cuyo numerador es el
producto de los numeradores y cuyo denominador es el producto de los
denominadores, es decir: .
/ .
/
( )( )
( )( )
Ejemplos:
a) .
/ .
/
( )( )
( )( )
b) .
/ .
/
( )( )
( )( )
c) .
/ .
/
( )( )
( )( )
64
Ejercicios
Efectúa las siguientes multiplicaciones:
) (
) (
) ) (
) (
) ) ( ) (
) ) (
) (
) (
)
) (
) (
) ) (
) (
) ) (
) ( ) ) (
) (
) (
)
División de Números Racionales
Método 1: Cambiar de División a Multiplicación
Para calcular el cociente de dos números racionales basta con multiplicar el dividendo
por el inverso del divisor, es decir:
.
/ .
/
( )( )
( )( )
Ejemplo:
(
) (
) (
) (
)
( )( )
( )( )
Método 2: Aplicar la Doble “C”
( )( )
( )( )
Ejemplo:
(
) (
)
( )( )
( )( )
Ejercicios
Efectúa las siguientes divisiones, usando los dos métodos dados:
) (
) (
) ) (
) (
) ) (
) ( ) ) (
) ( )
) (
) (
) ) ( ) (
) ) (
) (
) ) ( ) (
)
65
Ecuaciones en Q
Las ecuaciones en los números racionales se Resuelven exactamente igual que las
ecuaciones en N y en Z (Se sugiere Revisar: Ecuaciones en Z).
Ejemplos:
Resuelve las siguientes ecuaciones:
) )
)
)
( )( ) ( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
66
)
.
/
.
/ .
/ .
/ .
/
( )( ) ( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
Ejercicios:
Resuelve las siguientes ecuaciones en Q
1)
4)
2)
5)
(
)
3)
6)
( )
67
Potenciación de Números Racionales con Exponente Entero
La potenciación es una multiplicación de factores iguales.
En los números enteros vimos que la potencia de elevada a la , es decir: , se
obtiene multiplicando la base por si misma , tantas veces como lo indica el
exponente , es decir:
( )
Ejemplos:
a) ( )( )( )( )
b) ( ) ( )( )( )
Similarmente, en los números racionales tenemos:
.
/
.
/ .
/ .
/ .
/
Ejemplos:
a) .
/ .
/ .
/
( )( )
( )( )
b) .
/ .
/ .
/ .
/
( )( )( )
( )( )( ) ( )( )
( )( )
Ejercicios:
Calcula las siguientes potencias:
) (
)
) (
)
) (
)
) (
)
) (
)
) (
)
) (
)
) (
)
68
Por su importancia, destacaremos las siguientes potencias:
1) Potencia de Exponente 0
.
/
Todo número no nulo elevado a cero es igual a uno
Ejemplos:
) .
/ ) .
/
2) Potencia de Exponente 1
.
/
Todo número elevado a la uno es igual al mismo número
Ejemplos:
) .
/
) .
/
3) Potencia de Exponente Negativo
En general se cumple que:
.
/ .
/
Es decir:
La potencia de un número racional, no nulo, con exponente negativo, es igual a
la potencia del inverso del número con exponente positivo
Ejemplos:
a) .
/ .
/ .
/ .
/
( )( )
( )( )
69
b) .
/ .
/ .
/ .
/ .
/
( )( )( )
( )( )( ) ( )( )
( )( )
c) .
/ .
/ ( )( )
d) .
/ .
/ .
/ .
/
( )( )( )
( )( )( ) ( )( )
( )( )
Ejercicios:
Calcula las siguientes potencias:
) (
)
) (
)
) (
)
) ( )
) (
)
) (
)
) (
)
)
Propiedades de la Potenciación en Q
1. Multiplicación de Potencias de Igual Base
El producto de dos potencias de igual base es otra potencia de la misma base y cuyo
exponente es la suma de los exponentes de los factores, es decir:
Si
.
/ .
/ .
/
Ejemplos:
) (
) (
)
(
)
(
)
(
) (
) (
)
( )( )( )
( )( )( ) ( )( )
( )( )
) (
)
(
)
(
) ( )
(
)
(
)
(
) (
)
( )( )
( )( )
Nota importante:
Cuando no aparezca un signo entre las potencias se sobreentiende que es un signo de
multiplicación ( . )
70
2. División de Potencias de Igual Base
El cociente de dos potencias de igual base es otra potencia de la misma base y cuyo
exponente es la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor,
es decir:
Si
.
/ .
/ .
/
Ejemplos:
) (
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
) (
) (
)
( )( )
( )( )
) (
)
(
)
(
) ( )
(
)
(
)
3. Potencia de una Potencia
Para hallar la potencia de una potencia, se conserva la base y se multiplican los
exponentes, es decir:
Si
0.
/ 1
.
/( )( )
Ejemplos:
) [(
)
]
(
)
( )( )
(
)
(
) (
) (
) ( )
) [(
)
]
(
)( )( )
(
)
(
)
(
) (
) (
) ( )
71
4. Potencia de un Producto
Para hallar la potencia de un producto, se eleva cada factor al exponente de la
potencia, es decir:
Si
0.
/ .
/1
.
/ .
/
Ejemplos:
) [(
) (
)]
(
)
(
)
(
) (
) (
) (
)
( )( )( )( )
( )( )( )( ) ( )( )( )
( )( )( ) ( )( )
( )( )
) [(
) (
)]
(
)
(
)
(
)
(
)
(
) (
) (
) (
)
( )( )( )( )
( )( )( )( ) ( )( )( )
( )( )( )
( )( )
( )( )
5. Potencia de un Cociente
Para hallar la potencia de un cociente, se eleva el dividendo y el divisor al exponente
de la potencia, es decir:
Si
0.
/ .
/1 .
/ .
/
Ejemplos:
) [(
) (
)]
(
)
(
)
(
) (
) (
) (
)
( )( )
( )( ) ( )( )
( )( )
(
) (
)
( )( )
( )( )
) [(
) (
)]
(
)
(
)
(
)
(
)
(
) (
) (
) (
)
( )( )
( )( ) ( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
72
Ejercicios:
Resuelve los siguientes ejercicios, aplicando las propiedades de la potenciación en Z
) (
)
(
)
) (
)
(
)
) [.
/
]
) [(
) (
)]
) (
)
(
)
) (
)
(
)
) [(
) (
)]
) [(
) (
)]
) (
)
(
)
) [(
)
]
) [(
) (
)]
) [(
) ( )]