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Capıtulo VI
Teorıa de las superficies
1. Formulas de Gauss y de Weingarten
Consideremos una parametrizacion regular ϕ : U → R3, ϕ = ϕ(u, v), de clase C2 de unasuperficie S = Imϕ de R3.
Del mismo modo a como sobre una curva parametrizada de modo regular de R3 (de claseC2 y con curvatura no nula en todo punto) tenemos su triedro de Frenet, sobre la superficie Stenemos tambien un triedro movil que en cada punto de S es una base de R3 : ϕu, ϕv y N .
En el caso de una curva σ = σ(t) parametrizada por su longitud de arco, las formulasde Frenet expresan la derivada de los vectores T,N,B como combinacion lineal de la base{T,N,B}, obteniendose que los coeficientes de dichas combinaciones dependen unicamente dela curvatura y de la torsion.
Para la superficie S, las derivadas parciales de los vectores ϕu, ϕv y N tambien tienen suscoordenadas en la base que dichos vectores forman: existen funciones Γkij , αij , β
ji , γi sobre el
abierto U tales queϕuu = Γ1
11ϕu + Γ211ϕv + α11N
ϕuv = Γ112ϕu + Γ2
12ϕv + α12N
ϕvv = Γ122ϕu + Γ2
22ϕv + α22N
Nu = β11ϕu + β21ϕv + γ1N
Nv = β12ϕu + β22ϕv + γ2N
; (1.1)
ϕuu, ϕuv, ϕvv, Nu, Nv son continuas porque ϕ es de clase C2 (en general, si ϕ es de clase Cr conr ≥ 2, entonces ϕuu, ϕuv, ϕvv, Nu, Nv son de clase Cr−2). Las formulas (1.1) son las analogaspara las superficies a las de Frenet para las curvas, y veremos que los coeficientes que aparecenen ellas dependen unicamente de la primera y segunda formas fundamentales de la superficie.
Calculemos los coeficientes de las dos ultimas, las cuales se conocen como formulas deWeingarten, que expresan el valor del operador de Weingarten sobre la base {ϕu, ϕv} de vectorestangentes a S y por tanto determinan totalmente dicho operador:
φ(ϕu) = −ϕ∇u N = −Nu , φ(ϕv) = −ϕ∇v N = −Nv ;
en particular Nu y Nv son tangentes a S (porque φ transforma campos tangentes a S en campos
97
98 Capıtulo VI. Teorıa de las superficies
tangentes a S) y por tanto γ1 = 0 = γ2 (Nu y Nv no tienen componente normal a S). De lodicho se sigue que las formulas de Weingarten se expresan como
Nu = β11ϕu + β21ϕv
Nv = β12ϕu + β22ϕv
}donde
(−β11 −β12−β21 −β22
)=
(matriz de φ en
la base {ϕu, ϕv}
).
Sabemos que dicha matriz es
(gij)−1 · (Lij) =
1
|gij |
(g22 −g12−g12 g11
)·(L11 L12
L12 L22
)
=1
|gij |
(g22L11 − g12L12 g22L12 − g12L22
g11L12 − g12L11 g11L22 − g12L12
),
por lo que obtenemos
β11 =g12L12 − g22L11
|gij |, β12 =
g12L22 − g22L12
|gij |,
β21 =g12L11 − g11L12
|gij |, β22 =
g12L12 − g11L22
|gij |.
Respecto a las tres primeras formulas de (1.1), comencemos observando que
L11 = ϕuu ·N = Γ111
(ϕu ·N
)+ Γ2
11
(ϕv ·N
)+ α11
(N ·N
)= α11 ,
L12 = ϕuv ·N = Γ112
(ϕu ·N
)+ Γ2
12
(ϕv ·N
)+ α12
(N ·N
)= α12 ,
L22 = ϕvv ·N = Γ122
(ϕu ·N
)+ Γ2
22
(ϕv ·N
)+ α22
(N ·N
)= α22 ,
de modo que dichas formulas se expresan como
ϕuu = Γ111ϕu + Γ2
11ϕv + L11N
ϕuv = Γ112ϕu + Γ2
12ϕv + L12N
ϕvv = Γ122ϕu + Γ2
22ϕv + L22N
. (1.2)
Las ecuaciones (1.2) se conocen como formulas de Gauss, y la familia de funciones{
Γkij}
se deno-minan sımbolos de Christoffel de la superficie S (respecto de la parametrizacion ϕ = ϕ(u, v)).Calculemos los sımbolos Γk11 que aparecen en la primera ecuacion, para lo cual multipliquemosescalarmente dicha ecuacion por ϕu y por ϕv :
ϕuu · ϕu = Γ111
(ϕu · ϕu
)+ Γ2
11
(ϕv · ϕu
)+ L11
(N · ϕu
)= g11Γ
111 + g12Γ
211
ϕuu · ϕv = Γ111
(ϕu · ϕv
)+ Γ2
11
(ϕv · ϕv
)+ L11
(N · ϕv
)= g12Γ
111 + g22Γ
211
};
el anterior sistema de ecuaciones con las incognitas Γ111 y Γ2
11 podemos expresarlo matricial-mente como (
gij)·(
Γ111
Γ211
)=
(ϕuu · ϕuϕuu · ϕv
),
2. Teorema fundamental de las superficies 99
y resolviendo por Cramer obtenemos(Γ111
Γ211
)=(gij)−1 ·( ϕuu · ϕu
ϕuu · ϕv
).
Procediendo de modo analogo con las otras dos formulas de Gauss obtenemos(Γ112
Γ212
)=(gij)−1 ·( ϕuv · ϕu
ϕuv · ϕv
),
(Γ122
Γ222
)=(gij)−1 ·( ϕvv · ϕu
ϕvv · ϕv
).
Segun todo lo anterior, para ver que los sımbolos de Christoffel de S solo dependen desu primera forma fundamental, debemos comprobar que las seis funciones ϕuu · ϕu, ϕuu · ϕv,ϕuv · ϕu, ϕuv · ϕv, ϕvv · ϕu, ϕvv · ϕv solo dependen de la primera forma fundamental:
(g11)u = ∂u(ϕu · ϕu
)= ϕuu · ϕu + ϕu · ϕuu = 2ϕuu · ϕu ⇒ ϕuu · ϕu = 1
2 (g11)u ,
(g11)v = ∂v(ϕu · ϕu
)= · · · = 2ϕuv · ϕu ⇒ ϕuv · ϕu = 1
2 (g11)v ,
(g22)u = 2ϕuv ·ϕv ⇒ ϕuv · ϕv = 12 (g22)u , (g22)v = 2ϕvv ·ϕv ⇒ ϕvv · ϕv = 1
2 (g22)v ,
(g12)u = ∂u(ϕu · ϕv
)= ϕuu · ϕv + ϕu · ϕuv
= ϕuu · ϕv +1
2(g11)v ⇒ ϕuu · ϕv = (g12)u − 1
2 (g11)v ,
(g12)v = · · · = ϕvv · ϕu +1
2(g22)u ⇒ ϕvv · ϕu = (g12)v − 1
2 (g22)u .
2. Teorema fundamental de las superficies
Dadas funciones diferenciables κ, τ : I → R, con I intervalo abierto de la recta real, podemosver las formulas de Frenet
T ′ = κN
N ′ = −κT + τB
B′ = −τN
como un sistema de (nueve) ecuaciones diferenciales ordinarias con incognitas T = (T1, T2, T3),N = (N1, N2, N3), B = (B1, B2, B3). El teorema fundamental de las curvas afirma que cuandoκ(t) > 0 para todo t ∈ I, dicho sistema tiene soluciones que son el triedro de Frenet de algunacurva σ = σ(t) parametrizada por su longitud de arco; como consecuencia se obtiene ademasque κ y τ son la curvatura y la torsion de σ. Podemos expresar lo anterior diciendo que “ lasformulas de Frenet son integrables cuando la funcion κ es siempre positiva ”.
Ahora, dadas funciones diferenciables g11, g12, g22, L11, L12, L22 definidas sobre un abiertoU de R2 tales que g11g22 − g212 > 0, g11 > 0 (para que la matriz simetrica (gij) sea definida
positiva), consideramos sobre U las funciones{
Γkij , βji
}obtenidas a partir de
{gij , Lij
}como
100 Capıtulo VI. Teorıa de las superficies
hemos descrito en la anterior seccion, y obtenemos que las formulas de Gauss-Weingartendefinen un sistema de (dieciocho) ecuaciones en derivadas parciales,
Fu = Γ111F + Γ2
11G+ L11H
Gu = Fv = Γ112F + Γ2
12G+ L12H
Gv = Γ122F + Γ2
22G+ L22H
Hu = β11F + β21G
Hv = β12F + β22G
, (2.1)
con incognitas F = (F1, F2, F3), G = (G1, G2, G3), H = (H1, H2, H3).Diremos que el sistema de Gauss-Weingarten (2.1) es integrable cuando existen soluciones
F,G,H de clase C1; en ese caso se cumple Fv = Gu y por lo tanto es facil encontrar unaaplicacion ϕ = ϕ(u, v) que cumple ϕu = F y ϕv = G. Si la solucion se ha determinado fijandounas condiciones iniciales convenientes (por ejemplo, que para cierto (u0, v0) ∈ U , H(u0, v0)sea un vector unitario ortogonal a F (u0, v0) y G(u0, v0)), entonces para la superficie S quedefine la parametrizacion ϕ = ϕ(u, v) tenemos que H es un vector unitario normal sobre todoS, y por tanto el sistema de ecuaciones (2.1) se convierte en las formulas de Gauss-Weingartende S ; en particular, las funciones
{gij , Lij
}de partida cumplen que (gij) es la primera forma
fundamental de S y (Lij) es la segunda forma fundamental de S.El problema clasico de integrabilidad de las formulas de Gauss-Weingarten se expresa abre-
viadamente del siguiente modo: dadas una metrica simetrica definida positiva g y una metricasimetrica φ2, ¿existe alguna superficie de R3 cuya primera forma fundamental sea g y cuyasegunda forma fundamental sea φ2?
En general la respuesta es negativa, a no ser que se cumplan ciertas “ condiciones de com-patibilidad ” que resultan de la siguiente observacion: si ϕ = ϕ(u, v) es la parametrizacion deuna superficie para la que queremos asegurar que los coeficientes {Lij} de su segunda formafundamental sean de clase C1, entonces ϕ debe ser de clase C3, en cuyo caso ϕu y ϕv seran declase C2 y por lo tanto sus derivadas cruzadas coincidiran, (ϕu)uv = (ϕu)vu y (ϕv)uv = (ϕv)vu,es decir
(ϕuu)v = (ϕuv)u , (ϕvv)u = (ϕuv)v . (2.2)
Utilizando las formulas de Gauss podemos expresar las ecuaciones (2.2) como(Γ111ϕu + Γ2
11ϕv + L11N)v
=(Γ112ϕu + Γ2
12ϕv + L12N)u,(
Γ122ϕu + Γ2
22ϕv + L22N)u
=(Γ112ϕu + Γ2
12ϕv + L12N)v.
Si primero derivamos respecto de u y v, luego sustituimos ϕuu, ϕuv, ϕvv, Nu, Nv en funcion deϕu, ϕv, N utilizando las formulas de Gauss-Weingarten, y por ultimo igualamos coordenadasteniendo en cuenta que {ϕu, ϕv, N} forman base, entonces llegamos a seis igualdades que sereducen a las tres siguientes:
(L11)v − (L12)u = L11Γ112 + L12
(Γ212 − Γ1
11
)− L22Γ
211
(L12)v − (L22)u = L11Γ122 + L12
(Γ222 − Γ1
12
)− L22Γ
212
, (2.3)
2. Teorema fundamental de las superficies 101
∣∣Lij∣∣ = g11
((Γ122
)u−(Γ112
)v
+ Γ122Γ
111 + Γ2
22Γ112 −
(Γ112
)2 − Γ212Γ
122
)+ g12
((Γ222
)u−(Γ212
)v
+ Γ122Γ
211 − Γ1
12Γ212
).
(2.4)
Las ecuaciones de compatibilidad (2.3) y (2.4) relacionan los coeficientes de la primera formafundamental con los coeficientes de la segunda forma fundamental; las (2.3) se conocen comoecuaciones de Codazzi-Mainardi, y (2.4) se llama ecuacion de Gauss.
Por tanto, si queremos que unas metricas dadas (gij) y (Lij) sean las formas fundamentalesde alguna superficie, entonces es necesario que las funciones
{gij , Lij
}cumplan las ecuaciones
de Codazzi-Mainardi y la ecuacion de Gauss. El “ teorema fundamental de las superficies ”afirma que el cumplimiento de dichas ecuaciones es tambien una condicion suficiente; por estemotivo, las ecuaciones de compatibilidad (2.3) y (2.4) se conocen tambien como “ condicionesde integrabilidad ” de las formulas de Gauss-Weingarten.
2.1 (Teorema fundamental de las superficies) Sea U un abierto de R2 sobre el que haydefinidas funciones g11, g12, g22 de clase C2 y funciones L11, L12, L22 de clase C1 tales que:
(i) g11 > 0, g11g22 − g212 > 0 ;
(ii) g11, g12, g22, L11, L12, L22 cumplen las ecuaciones de Codazzi-Mainardi (2.3) y laecuacion de Gauss (2.4).
Entonces, para cada (u0, v0) ∈ U existe una parametrizacion regular ϕ = ϕ(u, v) de claseC3 definida en un entorno abierto de (u0, v0) dentro de U para la cual (gij) es la primera for-ma fundamental y (Lij) es la segunda forma fundamental. Ademas, la superficie que define laparametrizacion ϕ = ϕ(u, v) es unica salvo su posicion en el espacio (esto es, salvo un movi-miento directo).
La demostracion del “ teorema fundamental de las superficies ” se obtiene como consecuenciade los teoremas de existencia y unicidad de soluciones para ciertos sistemas de ecuaciones enderivadas parciales, y es por eso que no la haremos. (Recuerdese que para probar el “ teoremafundamental de las curvass ” se aplicaba la teorıa de ecuaciones diferenciales ordinarias.)
Una consecuencia de la ecuacion de Gauss es el siguiente resultado muy importante:
2.2 (Teorema egregio de Gauss) La curvatura de Gauss de una superficie de clase C3 deR3 depende solamente de su primera forma fundamental.
Demostracion. Sea ϕ = ϕ(u, v) una parametrizacion regular de clase C3 de una superficie S, ysean g11 = ϕu ·ϕu, . . . , L22 = ϕvv ·N las funciones coeficientes de la primera y segunda formasfundamentales de S
(donde N = (ϕu×ϕv)/|ϕu×ϕv|
). Entonces la curvatura de Gauss KG de
S cumple la igualdad
KG =
∣∣Lij∣∣∣∣gij∣∣ =L11L22 − L2
12
g11g22 − g212.
Para terminar la demostracion basta tener en cuenta que segun la ecuacion de Gauss (2.4) elnumerador de la igualdad anterior puede expresarse como funcion de las funciones {gij} (y susderivadas).
102 Capıtulo VI. Teorıa de las superficies
2.3 (Geometrıa intrınseca) Consideremos una parametrizacion regular ϕ : U → R3,ϕ = ϕ(u, v), de clase C2 de una superficie S de R3. Recordemos que por definicion supo-nemos que el abierto U es conexo, de modo que la superficie S tambien es conexa. Por lo tantotodo par de puntos suyos se pueden unir por una curva que yace sobre S : dados P0, P1 ∈ S,existe una curva σ : I → S tal que σ(t0) = P0 y σ(t1) = P1 para ciertos t0, t1 ∈ I , (estaafirmacion se deja como ejercicio).
Sabemos que la primera forma fundamental de S determina las longitudes de las curvas queestan sobre S, por lo que la primera forma fundamental define la siguiente “ distancia ”: dadosP,Q ∈ S,
d(P,Q) := “ ınfimo de las longitudes de los arcos de curva sobre S que van de P a Q ”.
Es inmediato comprobar que la aplicacion d : S×S → R definida es una distancia en el sentidode la topologıa.
No es facil, pero puede probarse que si se conoce la distancia d sobre S, entonces puedeconstruirse a partir de ella la primera forma fundamental g de la superficie.
La geometrıa intrınseca de S es el estudio de las propiedades de la superficie que permaneceninvariantes cuando se deforma S sin estirarla ni romperla, es decir, conservando las distanciasentre sus puntos. Segun lo dicho en el parrafo anterior, las “ propiedades intrınsecas ” de S sonaquellas que dependen unicamente de su primera forma fundamental g. Un ser bidimensionalque habitara la superficie S ajeno al espacio R3 del que S forma parte, podrıa determinartodas las propiedades intrınsecas de la superficie sin mas que saber medir las distancias entrelos puntos de S (esto es, las longitudes de los arcos de curvas sobre S): areas de regiones, elangulo formado por dos direcciones en un punto, la curvatura de Gauss (teorema egregio), eltipo de un punto (elıptico, hiperbolico o parabolico/plano).
La segunda forma fundamental φ2 no es una propiedad intrınseca de la superficie porque noesta determinada por la primera forma fundamental g, si bien esta lejos de ser independientede g porque se deben cumplir las ecuaciones de Gauss y de Codazzi-Mainardi. Para entender elpapel de la segunda forma fundamental hay que tener en cuenta que al deformar S sin alterarlas distancias entre sus puntos, podemos obtener otra superficie de “ aspecto ” o “ forma ” muydiferente. Por ejemplo, una pequena region de un cilindro circular puede “ desplegarse ” paradar lugar a una region plana; ambas superficies tienen la misma primera forma fundamental apesar de tener formas distintas; la diferencia entre ellas viene dada por la diferencia entre sussegundas formas fundamentales. Ası pues, la segunda forma fundamental determina el modoen que la superficie se sumerge en R3.
3. Curvatura normal y curvatura geodesica
Fijemos una parametrizacion regular ϕ : U → R3, ϕ = ϕ(u, v), de clase C2 de una superficieS = Imϕ de R3. Tenemos la base {ϕu, ϕv} de campos tangentes a S y el vector unitarioN = (ϕu×ϕv)/|ϕu×ϕv| normal a S. Tambien tenemos, respecto de dicha base, la matriz (gij)de la primera forma fundamental g y la matriz (Lij) de la segunda forma fundamental φ2.
Definicion 3.1 Sea σ : I → R3 una curva regular que yace sobre S ; esto es, σ(t) =
ϕ(u(t), v(t)
)con I
(u,v)−−−→ U diferenciable tal que(u′(t), v′(t)
)6= (0, 0) para todo t ∈ I. El
3. Curvatura normal y curvatura geodesica 103
vector tangente unitario a la curva es T = σ′/|σ′|. Se define la curvatura normal de la curva σsobre la superficie S como la funcion
Kn := φ2(T, T ) ;
es decir, dado t ∈ I, en el punto σ(t) la curvatura normal es
Kn(t) := φ2,σ(t)(Tt, Tt) .
Notese que Kn puede tomar valores negativos.
3.2 Recordemos que Kn(t) es (salvo el signo) la curvatura en el punto σ(t) de la seccion planade la superficie S en σ(t) segun la direccion tangente a la curva σ en dicho punto (vease lainterpretacion geometrica V.6.19). Por lo tanto es claro que la curvatura normal de σ en unpunto depende solamente de la direccion tangente a la curva en el punto. Es decir, se cumple:(Teorema de Meusnier) Si dos curvas sobre S son tangentes en un punto P , entonces tienen enP la misma curvatura normal.
3.3 Veamos la expresion de Kn en coordenadas. Como σ(t) = ϕ(u(t), v(t)
)tenemos σ′ =
u′ϕu + v′ϕv es decir, las coordenadas de σ′ en la base {ϕu, ϕv} son (u′, v′). Por lo tanto
φ2(σ′, σ′) =
(u′ v′
)·(Lij)·(u′
v′
)= L11
(u′)2
+ 2L12u′v′ + L22
(v′)2,
∣∣σ′∣∣2 = g(σ′, σ′) =(u′ v′
)·(gij)·(u′
v′
)= g11
(u′)2
+ 2g12u′v′ + g22
(v′)2,
Kn = φ2(T, T ) = φ2
(σ′
|σ′| ,σ′
|σ′|
)=
1
|σ′|2 φ2(σ′, σ′) =
φ2(σ′, σ′)
g(σ′, σ′);
por lo tanto
Kn =L11
(u′)2
+ 2L12u′v′ + L22
(v′)2
g11(u′)2
+ 2g12u′v′ + g22(v′)2 . (3.1)
Definiciones 3.4 Sean un punto P ∈ S y un vector no nulo DP ∈ TPS. Se dice que DP es unadireccion asintotica de la superficie S en el punto P si φ2,P (DP , DP ) = 0 (esto es, si el vectorDP es “ isotropo ” para la metrica φ2,P ). Equivalentemente, DP es una direccion asintotica sila curvatura en P de la seccion plana de S en P segun la direccion DP es nula.
Se dice que la curva σ = σ(t) es una lınea asintotica de la superficie S si el vector tangenteen cada punto de la curva es una direccion asintotica de la superficie en ese punto. Equivalen-temente, σ = σ(t) es una lınea asintotica si su curvatura normal es constantemente nula.
3.5 De la expresion (3.1) obtenida para la curvatura normal se sigue que la condicion necesariay suficiente para que σ(t) = ϕ
(u(t), v(t)
)sea una lınea asintotica es que su vector tangente
σ′ = (u′, v′) cumpla
L11
(u′)2
+ 2L12u′v′ + L22
(v′)2
= 0 . (3.2)
De otro modo, las lıneas asintoticas de S son las curvas sobre la superficie dadas por lassoluciones (u, v) de la ecuacion diferencial (3.2).
104 Capıtulo VI. Teorıa de las superficies
Definicion 3.6 Veamos la curva σ = σ(t) como curva en R3 (independiente de la superficieS). Un campo a soporte en la curva consiste en dar un vector de R3 en cada punto de la curva.Un tal campo se expresara en la forma D = (f1, f2, f3) con fi = fi(t), i = 1, 2, 3, de modo quepara cada t ∈ I, D(t) = (f1(t), f2(t), f3(t)) es un vector de R3 en el punto σ(t). Supondremosen lo que sigue que los campos a soporte en σ son diferenciables, esto es, que las funcionesf1, f2, f3 son diferenciables.
Como ejemplo de campo a soporte en σ tenemos: el vector tangente unitario T , el vectornormal principal N y el vector binormal B (los dos ultimos definidos donde la curvatura de σno se anula). Un campo a soporte a σ puede ser tangente a σ (como T ), o puede ser no tangentea σ (como N o B).
3.7 Igual que derivamos covariantemente campos a soporte en la superficie S respecto de cam-pos tangentes a S, podemos tambien derivar covariantemente campos a soporte en σ respectode campos tangentes a σ. Basta tener en cuenta que la derivada covariante se definıa en cadapunto P respecto de un vector e en ese punto: para calcular e∇PD se elegıa cualquier curvaα = α(t) que cumpliera α(t0) = P y α′(t0) = e para algun valor t0 del parametro, y entonces
e∇PD =((f1◦α)′(t0), (f2◦α)′(t0), (f3◦α)′(t0)
), D = (f1, f2, f3) .
Cuando D es un campo en R3 la curva α no tiene mas restricciones; cuando D es un camposobre la superficie S la curva α debe yacer sobre S. Ahora, para un campo a soporte en σ lacurva α debera estar “ dentro ” de la curva σ.
Sea entonces D = (f1, f2, f3) un campo a soporte en σ. Si en el punto P = σ(t0) conside-ramos el vector e = σ′(t0), entonces para calcular la derivada covariante e∇PD bastara tomarα = σ, en cuyo caso sera (fi◦α)(t) = (fi◦σ)(t) = fi(t), i = 1, 2, 3, y obtenemos
σ′(t0)∇PD =
(f ′1(t), f
′2(t), f
′3(t)).
Haciendo abstraccion del punto P = σ(t0) tenemos
σ′ ∇D =(f ′1, f
′2, f′3
)= D′ ,
es decir, derivar covariantemente campos a soporte en σ respecto del vector tangente σ′ es iguala derivar respecto del parametro t.
Cualquier otro campo tangente a la curva σ sera de la forma D = hσ′ para alguna funciondiferenciable h = h(t), y por lo tanto sera (basta comprobarlo punto a punto):
D∇D =(hσ′)∇D = h
(σ′ ∇D
)= hD′ =
(hf ′1, hf
′2, hf
′3
).
Es facil ver que esta manera de derivar covariantemente campos a soporte en la curva res-pecto de campos tangentes a la curva cumple las mismas propiedades que la derivada covariantesobre una superficie (veanse V.5.23 y V.5.24). Con esta notacion, las formulas de Frenet de lacurva σ se escriben como:
T∇T = κN
T∇N = −κT + τB
T∇B = −τN
.
3. Curvatura normal y curvatura geodesica 105
3.8 Volvamos de nuevo a ver la curva σ = σ(t) sobre la superficie S fijada al comienzo de
la seccion. Ya sabemos que el vector σ′′ =(σ′)∇(
σ′)
no es, en general tangente a la curva, eincluso puede no ser tangente a la superficie.
Dados campos tangentes D1, D2 a la superficie S, D∇1 D2 es un campo de vectores sobre Sque tendra su componente tangente a S y su componente normal a S. La parte tangente a S ladenotaremos D∇1 D2. La parte normal debe ser de la forma hN para cierta funcion h = h(u, v).
Ası, D∇1 D2 y hN son campos a soporte en S tales que
D∇1 D2 = D∇1 D2 + hN ,(D∇1 D2
)·N = 0 .
Por lo tanto
φ2(D1, D2) =(D∇1 D2
)·N =
(D∇1 D2 + hN
)·N =
(D∇1 D2
)·N + h(N ·N) = h ,
y obtenemos la formula
D∇1 D2 = D∇1 D2 + φ2(D1, D2)N . (3.3)
En particular, para el vector σ′ tangente a la curva tenemos
σ′′ =(σ′)∇(
σ′)
+ φ2(σ′, σ′)N . (3.4)
3.9 Interpretemos geometricamente la formula (3.4). Si entendemos σ = σ(t) como la “ trayec-toria de un movil en el tiempo t ”, entonces σ′ y σ′′ son, respectivamente, los vectores velocidady aceleracion del movil, y se dice que σ = σ(t) es una “ trayectoria inercial ” si su aceleraciones constantemente nula: si σ = (σ1, σ2, σ3) es tal que σ′′ = (σ′′1 , σ
′′2 , σ
′′3) = (0, 0, 0), entonces
integrando se obtiene facilmente que existen escalares a1, a2, a3, b1, b2, b3 ∈ R tales que
σ(t) = (a1t+ b1, a2t+ b2, a3t+ b3) = t(a1, a2, a3) + (b1, b2, b3) ,
es decir, σ = σ(t) es (un segmento de) la recta de R3 que pasa por el punto (b1, b2, b3) conla direccion del vector (a1, a2, a3). Como ya sabıamos, las trayectorias inerciales de R3 son lasrectas. Pero notese que son las rectas “ parametrizadas afınmente ”, no vale parametrizarlas decualquier manera: σ(t) = (t3 + t, 0, 0) = (t3 + t)(1, 0, 0) es una parametrizacion regular de larecta y = 0 = z, pero no es una trayectoria inercial porque su aceleracion σ′′ = (6t, 0, 0) no esidenticamente nula.
Ahora, si la curva esta sobre S, para un ser bidimensional que habitara la superficie serıa
σ = σ(t) una trayectoria cuya aceleracion es la parte tangencial(σ′)∇(
σ′)
del vector σ′′ (laparte normal φ2(σ
′, σ′)N es ajena a un tal habitante); es decir, la aceleracion de la trayectoria
σ = σ(t) sobre S que “ verıa un habitante de la superficie ” es(σ′)∇(
σ′). Calculemos esta
ultima aceleracion y veamos que es una propiedad intrınseca de la superficie. Como viene siendohabitual, utilizaremos el triedro movil {ϕu, ϕv, N} sobre S y las formulas de Gauss-Weingarten:
σ(t) = ϕ(u(t), v(t)
), σ′ = u′ϕu + v′ϕv ,
106 Capıtulo VI. Teorıa de las superficies
σ′′ =(u′ϕu + v′ϕv
)′= u′′ϕu + u′
[u′ϕuu + v′ϕuv
]+ v′′ϕv + v′
[u′ϕuv + v′ϕvv
]= u′′ϕu +
(u′)2[
Γ111ϕu + Γ2
11ϕv + L11N]
+ u′v′[Γ112ϕu + Γ2
12ϕv + L12N]
+ v′′ϕv + v′u′[Γ112ϕu + Γ2
12ϕv + L12N]
+(v′)2[
Γ122ϕu + Γ2
22ϕv + L22N]
=[u′′ +
(u′)2
Γ111 + 2u′v′Γ1
12 +(v′)2
Γ122
]ϕu +
[v′′ +
(u′)2
Γ211 + 2u′v′Γ2
12 +(v′)2
Γ222
]ϕv
+[L11
(u′)2
+ 2L12u′v′ + L22
(v′)2]
N ;
por lo tanto la componente de σ′′ que es tangente a S es(σ′)∇(
σ′)
=[u′′ +
(u′)2
Γ111 + 2u′v′Γ1
12 +(v′)2
Γ122
]ϕu
+[v′′ +
(u′)2
Γ211 + 2u′v′Γ2
12 +(v′)2
Γ222
]ϕv .
(3.5)
Como puede verse, las coordenadas del vector(σ′)∇(
σ′)
en la base {ϕu, ϕv} dependen solamentede los sımbolos de Christoffel de S, es decir, de la primera forma fundamental de la superficie.
Definicion 3.10 Con la notacion de los puntos anteriores, diremos que la curva σ = σ(t) es
una geodesica de la superficie S si se cumple(σ′)∇(
σ′)
= 0, es decir, si el vector σ′′ es normala S a lo largo de toda la curva. Las geodesicas de S son las trayectorias inerciales propias dela superficie.
3.11 De la formula (3.5) se sigue que la condicion necesaria y suficiente para que σ(t) =ϕ(u(t), v(t)
)sea una geodesica es que se cumplan
u′′ +(u′)2
Γ111 + 2u′v′Γ1
12 +(v′)2
Γ122 = 0
v′′ +(u′)2
Γ211 + 2u′v′Γ2
12 +(v′)2
Γ222 = 0
. (3.6)
De otro modo, las geodesicas de S son las curvas sobre la superficie dadas por las soluciones(u, v) del sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden (3.6).
3.12 Aunque ya lo hemos dicho, insistimos porque es importante: las geodesicas de S soncurvas parametrizadas, es decir, puede ocurrir que σ = σ(t) sea una geodesica de S, pero quedespues de hacer un cambio de parametro t = t(s) obtengamos una nueva parametrizacionσ(s) = σ(t(s)) de la misma curva que ya no sea geodesica de la superficie.
Sin embargo, tambien es importante conocer “ cuales son las geodesicas ” de la superficie Sen el siguiente sentido: ¿cuales curvas de S admiten una parametrizacion con la que resultanser geodesica? Por ejemplo, si S es un plano de R3, entonces las unicas geodesicas de S sonsus rectas. En efecto, el plano S tendra un vector normal unitario constante N0, y existira unescalar λ ∈ R tal que la ecuacion de S es X ·N0 = λ; si σ = σ(t) es una curva que esta sobreel plano cumplira σ ·N0 = λ, y derivando dos veces tenemos σ′′ ·N0 = 0; si σ es geodesica de
3. Curvatura normal y curvatura geodesica 107
S, entonces σ′′ es proporcional a N0 y por lo tanto debe ser σ′′ = 0, es decir, existen vectorese0, v0 ∈ R3 tales que σ(t) = tv0 + e0.
Otro ejemplo: las geodesicas de una esfera son sus cırculos maximos (lo veremos un pocomas adelante).
El siguiente resultado simplifica el problema de obtener las geodesicas de la superficie S.
Lema 3.13 Sea σ = σ(t) una geodesica de S. Se cumplen:
(i) El modulo del vector tangente σ′ es constante.
(ii) Si σ = σ(s) es otra parametrizacion de la curva dada cuyo vector tangentedσ
dstiene
modulo constante, entonces σ = σ(s) tambien es geodesica de S.
Demostracion. El apartado (i) es sencillo: si el vector σ′′ es proporcional al vector normalunitario N a la superficie, entonces σ′ y σ′′ son ortogonales y por lo tanto(
σ′ · σ′)′
= σ′′ · σ′ + σ′ · σ′′ = 0 ,
es decir, la funcion∣∣σ′∣∣2 = σ′ · σ′ es constante.
Probemos (ii). Sea t = t(s) un cambio de parametro y consideremos la nueva parametriza-
cion σ(s) = σ(t(s)) para la curva. Supuesto que el vectordσ
dstiene modulo constante, veamos
qued2σ
ds2es proporcional a σ′′ (en ese caso
d2σ
ds2serıa normal a la superficie, porque σ′′ lo es, y
por tanto σ = σ(s) serıa geodesica de S). Sean λ, µ ∈ R constantes tales que |σ′| = λ y∣∣∣∣dσds
∣∣∣∣= µ;
tenemosdσ
ds=
dσ
dt
dt
ds=
dt
dsσ′ ⇒ µ =
∣∣∣∣dσds∣∣∣∣ =
∣∣∣∣dtds
∣∣∣∣ ∣∣σ′∣∣ =
∣∣∣∣dtds
∣∣∣∣ λ ,y por lo tanto la funcion
dt
dses constante:
dt
ds= α = ±µ/λ. Entonces obtenemos
d2σ
ds2=
d
ds
(dσ
ds
)=
d
ds
(ασ′
)= α
dσ′
ds= α
(dσ′
dt
dt
ds
)= α2σ′′ ,
que es lo que querıamos demostrar.
Corolario 3.14 Una curva sobre S es una geodesica (i.e., tiene una parametrizacion con laque es una geodesica) si y solo si al parametrizarla por su longitud de arco es geodesica.
Ejemplo 3.15 Veamos que las geodesicas de una esfera S de R3 son sus cırculos maximos(= circunferencias sobre S que tienen su centro en el centro de S).
Consideremos una geodesica σ = σ(t) sobre S ; segun el anterior corolario podemos suponerque esta parametrizada por su longitud de arco. Sabemos que por ser una curva esferica tienecurvatura no nula en todo punto, y por tanto esta definido su triedro de Frenet {T, N , B} alo largo de toda la curva, siendo en este caso σ′ = T y σ′′ = κN . Como σ′′ ∈ 〈N〉 por sergeodesica, la condicion σ′′ = κN implica que la recta normal principal a σ en un punto σ(t)tiene la direccion normal a la esfera en dicho punto; por las propiedades de la esfera, lo anteriorsignifica que todas las rectas normales principales de la curva pasan por el centro de la esfera.Por lo tanto σ = σ(t) es un arco de circunferencia cuyo centro es el centro de S (vease elproblema III.5.2).
108 Capıtulo VI. Teorıa de las superficies
3.16 Terminaremos esta seccion dando otra definicion equivalente de geodesica. Sea σ = σ(t)una parametrizacion natural de una curva que yace sobre la superficie S. Segun la formula (3.3)que hemos probado en la pagina 105, para el vector tangente unitario T = σ′ se cumple
T∇T = T∇T + φ2(T, T )N = T∇T + KnN ,
y como los vectores T∇T y N son ortogonales podemos aplicar el teorema de Pitagoras paraobtener ∣∣T∇T ∣∣2 =
∣∣T∇T ∣∣2 + K2n .
La funcion∣∣T∇T ∣∣ =
∣∣σ′′| = κ es la curvatura de σ como curva de R3 (es independiente de que
se considere σ dentro de la superficie S). La funcion∣∣T∇T ∣∣ se denota Kg y se llama curvatura
geodesica (o curvatura tangencial) de la curva σ (como curva sobre la superficie S); Kg es lacurvatura de σ que verıa un habitante de la superficie. Tenemos la formula
κ2 = K2g + K2
n .
Por definicion, σ es un geodesica de S cuando el vector T∇T es identicamente nulo, es decir,“ una curva sobre una superficie es una geodesica cuando su curvatura geodesica es identica-mente nula ”.
4. Superficies de curvatura constante
4.1 Las superficies de curvatura constante nula son las llamadas “ superficies desarrollables ”.Como ejemplo hemos visto los cilindros, los conos y las desarrollables tangenciales. Puedeprobarse que, esencialmente, una superficie desarrollable es localmente como uno de los trescasos mencionados.
Como ejemplo de superficie de curvatura constante positiva tenemos la esfera. Se cumple elsiguiente resultado:
4.2 (Teorema de Liebmann) Las unicas superficies compactas (conexas) de R3 de curva-tura constante positiva son las esferas.
Mas adelante veremos como construir superficies de R3 de curvatura constante positiva queno son parte de una esfera (vease el punto 4.8); no seran compactas.
Hemos mencionado dos ejemplos de superficies de curvatura constante que tienen ademasla propiedad de que todos sus puntos son umbılicos: el plano y la esfera. Tenemos:
Teorema 4.3 Sea S una superficie (conexa) de R3. Si todos los puntos de S son umbılicos,entonces S es un abierto de un plano o es un abierto de una esfera.
Todos los resultados enunciados hasta ahora en esta seccion tienen demostraciones quepodrıamos hacer con las herramientas con las que contamos. Sin embargo no los demostraremospor falta de tiempo.
4. Superficies de curvatura constante 109
4.4 (Teorema de Hilbert) No existe en R3 ninguna superficie cerrada de curvatura cons-tante negativa.
La demostracion del anterior teorema es difıcil y no esta a nuestro alcance. Un resultadomas debil que sı podrıamos probar nosotros es el siguiente:
Teorema 4.5 Toda superficie compacta de R3 tiene curvatura positiva en alguno de suspuntos. Como consecuencia, no existe en R3 ninguna superficie compacta de curvatura cons-tante negativa.
4.6 Veamos como construir superficies de revolucion de curvatura constante (vease el problemaIV.5.4). Dada en el semiplano {y = 0, x > 0} la curva regular σ(t) = (f(t), 0, h(t)) (conf, h : I → R funciones de clase Cm definidas en un intervalo abierto I, siendo f(t) > 0 paratodo t ∈ I), haciendola girar alrededor del eje z obtenemos la superficie de revolucion S (declase Cm) parametrizada como
ϕ : I × R −→ R3
(t, θ) 7−→(f(t) cos θ , f(t) sen θ , h(t)
).
En la resolucion del problema V.7.11 se obtiene que la curvatura de Gauss de S es
KG =h′(f ′h′′ − f ′′h′
)f((f ′)2
+(h′)2 )2 .
Vamos a considerar curvas que son la grafica de una funcion z = h(x), es decir, σ(t) = (t, 0, h(t))con t > 0, en cuyo caso tenemos
KG =h′h′′
t(1 +
(h′)2 )2 . (4.1)
Supongamos que queremos obtener una funcion z = h(x) tal que la superficie de revolucionS definida por ella tenga curvatura de Gauss constantemente igual a un numero real KG fijado;entonces hay que encontrar una solucion de la ecuacion diferencial ordinaria de segundo orden(4.1); si imponemos a dicha ecuacion condiciones iniciales h(t0) = a0 y h′(t0) = b0, entonces lateorıa de ecuaciones diferenciales nos asegura que existe una unica solucion.
-
6
rr
x
z
t0
a0 QQQQQ
recta de pendiente
igual a b0
Es decir, fijados un punto y una recta (no ver-tical) que pasa por el, existe una unica graficaque pasa por ese punto, cuya recta tangente enel punto es la recta fijada, y tal que la super-ficie de revolucion que genera tiene curvaturaconstante igual al valor KG prefijado.
4.7 Utilizando los calculos del punto anterior, podemos preguntarnos como son las superficiesde revolucion obtenidas a partir de la grafica de una funcion z = h(x) que son desarrollables.Si KG = 0, entonces h′h′′ = 0 y por tanto h′′ = 0, es decir, h(x) = ax+b, de modo que la graficaes una recta y la superficie de revolucion es un cono. (El cilindro tambien es una superficie derevolucion desarrollable, pero la recta x =cte no es la grafica de una funcion.)
110 Capıtulo VI. Teorıa de las superficies
4.8 Veamos, como consecuencia de lo dicho en el punto 4.6, que existen superficies de revo-lucion de curvatura constante positiva que no son parte de una esfera. Fijemos numeros realest0 y R tales que t0 > R > 0, y sea KG = 1/R2 > 0.
Si la superficie de revolucion S obtenida con es-tos datos fuera parte de una esfera S, entonces Stendrıa su centro en el eje z, y por tanto su radioR serıa mayor o igual que la distancia del punto(t0, a0) ∈ S ⊂ S a dicho eje, esto es, R ≥ t0 > R.Pero entonces tendrıamos
-
6
rr
x
z
t0 > R
a0 QQQQ
curvatura de Gauss de S = curvatura de Gauss de S
= 1/R2 < 1/R2 = KG = curvatura de Gauss de S ,
lo cual es absurdo. Por lo tanto S es una superficie de revolucion de curvatura constante positivaigual a 1/R2 que no es parte de una esfera. Segun el teorema 4.2, S no puede ser compacta.
Terminaremos dando un ejemplo de superficie de curvatura constante negativa, la seudoes-fera, que es la superficie de revolucion generada por la curva plana llamada tractriz.
4.9 (Tractriz) En el plano de las coordenadas (x, z), consideremos un carrito que esta sobrela parte positiva del eje x a una distancia R > 0 del origen, y supongamos que en el origenhay un nino que tiene agarrada una cuerda no elastica de longitud R que esta atada al carrito.La tractriz es la curva que describe el carrito cuando el nino comienza a andar en la direccionpositiva del eje z sin soltar la cuerda.
Calculemos la funcion z = h(x) cuya grafica es la trac-triz. Fijemos un valor x0 en el intervalo abierto I = (0, R).Consideremos el punto P0 = (x0, h(x0)) de la tractriz, ysea Q0 el punto corte de la tangente a la tractriz en P0
con el eje z. La ecuacion de la recta tangente a la graficade la funcion z = h(x) en el punto P0 es
z − h(x0) = h′(x0)(x− x0
),
de modo que con un calculo sencillo obtenemos la igual-dad Q0 =
(0 , h(x0) − x0h′(x0)
). Observese que en cada
momento la cuerda que une al nino con el carrito es tan-gente a la trayectoria (cuando el carrito esta en el puntoP0 el nino se encuentra en el punto Q0), y que la distancia
6
6
6
•
•
•
•
x
z
x0
h(x0)
R
P0
Q0
1
entre el carrito y el nino es constantemente igual a R (la distancia de P0 a Q0 es R). Por lotanto tenemos
R2 =[d(P0, Q0)
]2= x20 + x20
[h′(x0)
]2.
Haciendo abstraccion de x0 ∈ I obtenemos R2 = x2 +x2(h′)2
, y como es claro que la pendientede la funcion z = h(x) es negativa, concluimos que h cumple la ecuacion diferencial
h′ = −√R2
x2− 1 =
−√R2 − x2x
.
5. Problemas 111
Integrando obtenemos
h(x) =
∫ R
x
√R2 − t2t
dt + cte , x ∈ (0, R) ; (4.2)
como la funcion h es continua en el intervalo (0, R] si definimos h(R) = 0, concluimos que laconstante que aparece en la igualdad (4.2) debe ser nula.
4.10 (Seudoesfera) Sea h = h(t), 0 < t < R, la funcion que se ha obtenido en el puntoanterior, y cuya grafica es la tractriz. La seudoesfera es la superficie de revolucion que segenera al girar alrededor del eje z la curva σ(t) = (t, 0, h(t)) (vease el punto 4.6).
Para calcular la curvatura KG de la seudoesfera utilizaremos la formula (4.1):
h′ =−√R2 − t2t
, h′′ =R2
t2√R2 − t2
⇒ KG =h′h′′
t(1 +
(h′)2 )2 = − 1
R2< 0 .
Por analogıa (recordemos que una esfera de radio R tiene curvatura constante positiva igual a1/R2), se dice que R es el seudoradio de la seudoesfera.
5. Problemas
5.1 Sea C una curva sobre una superficie S de R3.(a) Si C es una recta, entonces C es lınea asintotica de S y tambien es geodesica de S.(b) Si C es lınea asintotica y es geodesica de S, entonces C es una recta.(c) La condicion necesaria y suficiente para que C sea lınea asintotica de S es que en cada
punto de C de curvatura no nula coincidan el plano osculador a C y el plano tangente a S.(d) La condicion necesaria y suficiente para que C sea geodesica de S es que en cada punto
de C de curvatura no nula el plano osculador a C sea perpendicular al plano tangente a S.
5.2 Sean S1 y S2 superficies de R3 que son tangentes a lo largo de una curva C.(a) Si C es lınea asintotica de una de las superficies, entonces tambien lo es de la otra.(b) Si C es geodesica de una de las superficies, entonces tambien lo es de la otra.
5.3 Estudie las direcciones asintoticas en un punto de una superficie dependiendo de si elpunto es elıptico, hiperbolico, parabolico o plano.
112 Capıtulo VI. Teorıa de las superficies
5.4 La curvatura media km := 12(k1 + k2) de una superficie S de R3 en un punto P es nula
si, y solo si, hay una base ortogonal de TPS con vectores isotropos 1. Ademas, si km(P ) = 0 yKG(P ) 6= 0, entonces hay exactamente dos direcciones asintoticas en TPS, que son ortogonales.
5.5 Sean C1 y C2 curvas que yacen sobre una superficie S de R3 y que se cortan ortogonal-mente en un punto P ∈ S. Pruebe que la suma de las curvaturas normales de C1 y C2 en P esconstante (no depende de las curvas C1 y C2). Claramente, dicha constante debe ser la sumade las curvaturas principales de S en P (i.e., el doble de la curvatura media).
5.6 Sea S una superficie de R3 con todos sus puntos hiperbolicos. Pruebe:(a) S esta recubierta por dos familias de lıneas asintoticos: por cada punto de S pasan
exactamente dos lıneas asintoticas.(b) Si ademas km = 0 en todo punto, entonces las dos familias son ortogonales 2.
5.7 Sea ϕ = ϕ(u, v) una parametrizacion de una superficie S de R3. Pruebe:(a) Las lıneas parametricas son de curvatura ⇔ g12 = 0 = L12 en los puntos no umbılicos.(b) Las lıneas parametricas son asintoticas ⇔ L11 = 0 = L22.(c) Las lıneas parametricas son geodesicas ⇔ Γ1
11 = Γ211 = Γ1
22 = Γ222 = 0.
5.8 Sea S el cilindro circular de radio r > 0 centrado en el eje z, cuya ecuacion es x2+y2 = r2.(a) Estudie las lıneas asintoticas de S.(b) Estudie las geodesicas de S.
5.9 Considere en R3 la superficie S parametrizada del siguiente modo:
ϕ : U −→ R3
(u, v) 7−→ (u cos v, u sen v, v2) ,
siendo U = R2 − {(0, 0)}.(a) Estudie las lıneas asintoticas de S.(b) ¿Son geodesicas las curvas parametricas?
5.10 Sea S la superficie de R3 dada por la ecuacion z =(y2 − x
)2. Pruebe que el lugar
geometrico de los puntos parabolicos de S es una curva que es lınea asintotica de S.
5.11 Teorema de Beltrami-Enneper: Sea C una lınea asintotica de una superficie S deR3. En los puntos de C donde esta definida su torsion (donde la curvatura de C no se anula)se cumple
τ = ±√−KG .
5.12 Teorema de Meusnier: Sean P un punto de una superficie S de R3 y sea DP ∈ TPSuna direccion no asintotica. Si se considera el haz de planos determinado por la recta P + 〈DP 〉(que es una recta tangente a S), entonces los cırculos osculadores de la interseccion de S condichos planos estan sobre una esfera.
1 Ası como el ser ortogonales se refiere siempre a la metrica euclıdea g (la primera forma fundamental de S),el ser isotropo se referira a la metrica simetrica φ2 (la segunda forma fundamental de S).
2 Las superficies en las que km = 0 y KG 6= 0 en todo punto se llaman superficies minimales. Estan caracte-rizadas por ser las superficies sobre las que las lıneas asintoticas son dos familias ortogonales que la rellenan.
5. Problemas 113
5.13 Sea σ = σ(t) una curva sobre una superficie S de R3 y sea N el vector normal unitarioa la superficie. Pruebe: la curva es una geodesica de S si y solo si se cumple [σ′, σ′′, N ] = 0 entodos los puntos de la curva.
5.14 Considere una funcion diferenciable F sobre R3 de clase suficientemente alta y deno-temos J = F (R3), que sera un intervalo de R. Suponga que el campo de vectores gradFsobre R3 no tiene puntos singulares, en cuyo caso tenemos en R3 la familia de superficies{Sα ≡ F (x1, x2, x3) = α}α∈J .
Pruebe que las geodesicas de dicha familia de superficies estan dadas por las ecuacionesdiferenciales
3∑i=1
x′iFxi = 0 ,
∣∣∣∣∣∣∣x′1 x′′1 Fx1
x′2 x′′2 Fx2
x′3 x′′3 Fx3
∣∣∣∣∣∣∣ = 0 .
Es decir, una curva σ : I → R3, σ(t) = (σ1(t), σ2(t), σ3(t)), es geodesica de Sα para algunα ∈ J , si y solo si para todo t ∈ I se cumplen
3∑i=1
σ′i(t)Fxi(σ1(t), σ2(t), σ3(t)
)= 0 ,
∣∣∣∣∣∣∣σ′1(t) σ′′1(t) Fx1(σ(t))
σ′2(t) σ′′2(t) Fx2(σ(t))
σ′3(t) σ′′3(t) Fx3(σ(t))
∣∣∣∣∣∣∣ = 0.
5.15 Obtenga, aplicando el problema 5.14, las geodesicas de una esfera de R3 centrada en elorigen.
5.16 Sea σ = σ(t) una curva sobre una superficie S de R3 y sea N el vector normal unitarioa la superficie. Pruebe: la curva σ es lınea asintotica de S si y solo si se cumple σ′ · N ′ = 0sobre toda la curva.
5.17 Con la notacion fijada en el problema 5.14, pruebe:(a) Las lıneas asintoticas de la familia de superficies {Sα}α∈J estan dadas por las ecuaciones
3∑i=1
x′iFxi = 0 ,
3∑i,j=1
x′ix′jFxixj = 0 .
(b) Las lıneas asintoticas de la familia de superficies {Sα}α∈J estan dadas por las ecuaciones
3∑i=1
x′iFxi = 0 ,3∑i=1
x′′i Fxi = 0 .
5.18 Considere en R3 la superficie S de ecuacion z =x4
a4− y4
b4. Pruebe que las lıneas
asintoticas de S son las curvas en que la superficie es cortada por las familias de cilindros{x2
a2+y2
b2= λ
}λ
,
{x2
a2− y2
b2= µ
}µ
.
114 Capıtulo VI. Teorıa de las superficies
La pasada semana conocimos a la cicloide. Vimos que era una curva muyespecial que se dibuja mecánicamente al moverse una rueda. Hoy tetraemos otra importantísima curva que también se genera de un modomecánico. Nació de la imaginación de Huygens en 1692, quien le pusode nombre tractriz o tractrix. Después, Leibniz y los Bernoulli siguieron es-tudiando sus propiedades en profundidad. A finales del siglo XIX, Bel-trami encontró una aplicación insospechada de ella en la seudoesfera.
AULADE EL MUNDO
8
LA SEUDOESFERA DE BELTRAMI
Desde que Lobachevski demostrara que la Geome-tría Euclídea, en la que la suma de los ángulos deun triángulo es de 180o, no era la única posible,
sino que perfectamente podía existir la GeometríaHiperbólica en la que lostres ángulos de un triángu-lo suman menos de 180o,los matemáticos se pusie-ron a buscar modelos rea-les en los que la nuevageometría ‘funcionara’. Nofue un camino fácil. El ita-liano Beltrami encontró, en1868, que la seudoesferaera un espacio para la geo-metría hiperbólica. Mástarde, Klein encontró otromodelo.
Esta es la imagen de la tractriz. Como ves tiene dos ramas, según elmovimiento se realice hacia la izquierda o hacia la derecha. Larecta en rojo se denomina asíntota de la tractriz, ya que la curva se
aproxima a ella pero nunca llega a contactarla. En el caso del tren dejuguete, la asíntota sería la acera por la que se desplaza la personaque tira de él. Esta curva se hizo famosa por el problema propuestopor Leibniz: ¿Cuál será la curva que dibuje un reloj de bolsillo sobreuna mesa, cuando, manteniendo tensa su cadena, se desplaza elotro de sus extremos por una recta?
EUGENIO BELTRAMI
(1835-1900)
ASÍ SE GENERA LA TRACTRIZ
Un modo mecánico y sen-cillo de generar la tractrizes como sigue: si alguien
tira de un tren de juguete alque lleva sujeto por unacadena tensa y comienza acaminar por el borde deuna acera rectilínea, el tre-necito de juguete se des-plazará tal y como ves en eldiagrama. El juguete dibu-jará una tractriz.
TÚ TAMBIÉN PUEDES HACERLO
Si quieres dibujar mecánicamente una tractriz, sólo necesitas cinta adhesi-va, una chincheta con cabeza grande, un bolígrafo, una tira de cartón condos agujeros, uno en cada uno de sus extremos, y una hoja de papel (ima-
gen 1). Coloca la hoja de papel en la que se dibujará la tractriz sobre unamesa, cuidando de ajustar sus bordes con la hoja. Sujétala a la mesa concinta adhesiva. Coloca la tira de cartón perpendicularmente sobre el papel.
Pincha la chincheta en uno de sus agujeros e introduce el bolígrafo en el otro(imagen 2). Desliza suavemente la chincheta hacia la derecha sin permitirque se separe del borde de la mesa. Al hacerlo, no presiones con el bolígra-fo, déjalo deslizar suavemente según mueves la chincheta (imagen 3). Con-forme deslizas la chincheta, ésta arrastrará la tira de papel y el bolígrafo dibu-jará en la hoja una tractriz (imagen 4).
Si hacemos girar una tractrizalrededor de su asíntota,obtenemos una superficie
de revolución que tiene cur-vatura negativa (se curvahacia adentro) en todossus puntos. Es laseudoesfera.
Si colgamos una cadena por susextremos, la forma que adoptaes de una catenaria. Cortando la
cadena por el punto inferior, supunto medio, el extremo de cada
brazo de la misma dibujará pre-cisamente una tractriz. Ello seproduce porque la tractriz esla evoluta de la catenaria. Laasíntota de la tractriz es portanto la máxima altura que lacadena no alcanza cuandose corta.
AL CORTAR UNA CADENA
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TIRANDO DEL TREN SURGE UNA GEOMETRÍA
La catenaria y la tractrizestán íntimamente ligadas.Se dice que la tractriz es la
evoluta de la catenaria: si encada punto de la tractriz tra-zas su tangente y una rectaperpendicular a ella, la llama-da normal, la curva queenvuelve esas normales es
una catenaria. Al revés, si por cada punto P de la catenaria trazas su tangente y sobre ella llevas la distancia que separa a P delvértice de la catenaria -el extremo inferior-, se traza una tractriz, que es la involuta de la catenaria.
LA TRACTRIZ Y LA CATENARIA
por Lolita Brain