Prime t h i c k subcategories a n d s p e c t r a of d e r i v e d a n d singularity categories

of Noe t h e r i a n s c h eme s

Hi rok i M a t s u i (Univ. of Tokyo）

§ 1 I n t roduc t ion .

Tens~Triangular_Ge.my (Balmer 2005）

（T.

!

. I ) itensortriangulatedcateg.org（め -△）

def⇐ > ・ T : t r iavg.cat.

a

!

i T X T - ） J : e x a c t fune t

uM . N） 1 -）

MSN . IT : u n i t object

satisfying

( I LのM）のN E LD(MAN）， M O N E N

"

M ,

I の M E M ， い

e.g.ee.（D'が（X），

!

I , O x )fo r a N o e t h s c h .

"

d e r i v e d C a r . A perfect complexes o n X .

・ （mod_kG@e.k) f o r a finite group a n d a f ield た_ 、 一

S I TT h e s t r u c t u r e o f T i s c o n t r o l l e d by primidealse.AT .

t h i c k s u b c a t P C T satisfying

( idea l ) M G O . N E T ⇒ M の N E O

(prime) M

!

N

E D ⇒ M E A N E P .

B a l m e r d e f i n e d a topology o n .

Spec。（J） - 1prime i d e a s of T I : t h e B a l m e r spectrumof

T . - M I M Rjが（G：た）ヨ o r d e r i s o m . がた ×

｛radical i d e a l s of T | E {Tmtasonsues o fSpec，（T））

a specialization_ c l o s e d s u b s e t s .

M o r e o v e r , Specs(J) i s uniquely d e t e rm i n e d by t h i s c o n d i t i o n .

usingNY・

Spec.（DMX）） E X

s Spec。（make,ER, M a e，" " " " " " " Hopkins-Neeman_Thomason .

- い - Benson-Carlson-Rickard,Benson_Iyengar K r a u s e

n o Specs(T) has S o m e geometric i n fo rm a t i o n .

R o tT e n s o r t r i avg.geo m doesn't w o r k f o r t r iavg.cat wi thou t が S t r .

e.g. . Db(x）：= が（cshX )

A.が8（x）：=叭かGmt(x,

Deve lop "tensor.free" triangulated geometry.

e. I n t r o d u c e prinethieksubcategaies.ee a n d t h e spec t rum of t r iavg.cat.. S t u d y t h e m f o r

DPで（X）， D'（X）. DTX) of a N o e th . S c h e m e .

1 5 . 0 5

§ 2 P r i m e t h i c k subcategories a n d spectra

T : t r ia v g . c a t . （later Thx）. Db(X）. DMX））'

日が主mthicksubcatega_y.tt i s a t h i c k s u bc a t . P S t .

ヨunique m i n i m a l t h i c k s u bc a t . A w i t h P G K C ?

Spec」（T) i =1prime t h i c k s u b c a r . o f T f .

R t

For a

"

- △ c a t . J a n d a r a d i c a l i d e a l P,

P : prime ← ヨunique m i n i m a l r a d i c a l i dea l I with P E I C T .

I ⇒ h o l d s i f Spee。（T) i s Noah.）

に舌： c o m i n . N oe t h . r ing , p E Spee R

⇒ f ( p , i = f M E DPMR） / Mp E O i nD'"は（RP）） E SpeedA T R））

に）By H - N ， ヨo rd e r i s o m f I t s 品.SmhM)

n

{thick s u b c a t . A DMTRY E fsp. d . s u b s e t s o f Spee R I

U V i N o

H I S ( p ) G t I E f W I f g e SpecR 184P IG I NI -U

Suppi ' l lNoしなり く ー > w。vfplun ique minimal unique min ima l sp.cl . Subset?Noth ick s u b c a t Z S(P）

/

D e fT e def ine a t o p . o n Speed？） v i a a c l o s e d b a s i s consisting of

Supp。（M） ：=10 E SpeedT ) I M G Th (MET )

I N C SpeedT） ： closedく⇒ W =？nSupp。（MxI AM ET) W e get t h e t o p o n

Spec , IT ) by replacingI N e c a l l SpeedT ) t h e s p e c t r um of T、 △ w i t h i n t h i s d e t .

I IW e s a y t h a t H e T i s aradidthicksut.cat・Ft

： - へ PK C P G SpeedT )

血（MT）ヨ o rd e r _ i s o n

f rad ica l t h i c k s u bc a t . A T I E f u n i o n s of Supp。（M） （MET) I

型 （rough statement)T : t r iang c a t .

I f a N o e t h s o b e r space X (e.g. underlying top. s p of N o eth . sch.） classif ies t h i c k s u bca t .：

i . e . ヨ o r d e r . i s o m .

I t h i c k s u bc a t . o f THE ftp.d. s u b s e t s o f X I ,

t h e n

X E SpeedT）.

I

X ? N o e t h quasi-affine scheme

い） T h e n X E Spe」（DPが（X））

（2） Assume U x . s e i s hypersurface fo r Hn E X .

Then Sing(X) E Speed D'8（X））

(proof，「Thomason（1997））

I i d e a l s of DPMx）） E fsp.d. s u b s e t s of x）（Stevenson （2014）） Assume Qx . n i s h s . やaEX）

｛ぱりX）- s u bm o d u l e s 昈（X） | E{sp.ee subse ts A Sing(X）/

X : quasi-off ⇒ がりx） - t h i c k U x

⇒ . H t h i c k s u b c a t . of DP"（X) a r e i d e a l s

・ H」、， _ D

!

（x ) a r e DPMX） . s u bmodu les H

§3 . Pr ime t h i c k s u b c a t . G s p e c t r a fo r DPMx），D'（X）， DMX）.

X : N o e t h . scheme.

F e ( B a l m e r )

All P r im e i d e a l s A DPA(X) a r e of t h e form

がた） ：=｛MET h x , I M a E O i n Dmt(Ox,a） 1

条 E f perf, b , sg 1. ，a E X

When i s

が（n) i = f M E が（か I M a E O i n が 1 0 x .がa prime t h i c k s u b c a t . o f D'（X） ？

S t i r s① R e d u c e t o a f f i ne c a s e X・SpecR . P E SpecR

② Lo c a l i z e a t p

③ Study when O i s a prime f o r X - SpeeR u i t h a N oe t h local ring R

1 つ 學T : t r i avg.cat.， K C J i t h i c k s u bc a t . 、 F ' J - ） T kFor K c T k i t h i c k , s e t

だ（ま） i = fM E T / F M ) E K I c T ! t h i c k .

T h e n

A C T K i primeく⇒ F'（K) C T : p r i m eR T RaI n part、， Zdmm

a F : S p e e dた）に Speed？） ⇒に：

!

..した）=

!

't

R

U

a t e . F t

w t h imageI P E SpeedT ) I K e p t .

① Redu c e t o af f ine c a s e .

Prop 3 （ x : sep i f ・ ・ s g )U C - x i a f f . s e p e n , Z s X \ U .

S e t

DE (X） は f M ED"（X) I M n E o ( H r E U ) fT h e n

D"石を（x) EDTし）

⑨ a spent. ： B a l m e r （2002）， T h o m a s o n T o baugh 11990）

@ * - b : Schl i ch ting 12008）， Keller（1999）にユリヒティング）

⑤ め ーな i M a y b e wel l -known t o e x p e r t , Orlov（2004） fo r Z c Reg(X）

（rough sketch) Krause（2005） i n t roduced SIX） ： the s tab le der ived Cat . AQ G h X .

s t .

|・ S I X ) i s Compactly gen. w i t h

S (X） ' EDS8（x）

' S"YSz ( x , E S ( U )

N e eman.Thomason

- たがいが'_は 昈（か1時（x,E プル） /

（一）C

② Lo c a l i z e a t s e

R IR i a m i n N O eth . ring , p E SpeeR

⇒ D'（Ryan E D T Rp）（Sketch）

⑤ HM.NET(R)Hompap，（MN)p E Homily，（MP.Np）

～ゝ○ M R Yip， → ぱ（Rr） ： fully faithful

' general fact for a n R t i n t r iavg .cat . ：

l o c a l i z e a t p = v e r d i e r qwt.by 日ftp.）Cf.

⑨ e s s . surf ? check directly. ： fo r P E M P A Rp）. c o n s t r u c t F E Kb(priR I s t . P E Pm e b m s g

型 （* - pet)X : N oe t h . scheme.， a E X

t h f Min) CDPで（X) i prime t h i c k s u bc a t .

（probHB y Prop 2～ 4，

E I

R : u m m . N o e t h l oca l r ing.

O s S ( m ) e Dat(R） ！ prime

に）By E x i n S 2 . y

地 （ * - b )X ? N o e t h . s c h e m e . n C X .

T h e n

f i n ) LDb(X） ： pr ime O x . n i amplet o i n t e r s e c t i o n

(proofA s above，区点

u m m . N oeth . local ring.

○ C が（R） ：primeく⇒ R i c .で、

い）U s e [Dwyer-Greenlees-Iyengar（2005）， PoH i t z

12019））

R i c . i .

!

O F Hz CBR） ： thick， も n DMR） キ O Y

型 や 一 s g ,X : sep . N oeth. s c h . n E Sing(X)T h e n .

f9、， c D'（X） ：prime ← 0 x . s e i h s .

⇒ ho lds i f O x . n i s e i

(proofA s a b ove

E .、昔asm m . N oeth local ring. ， n o w neg.

OCD"（R) e R i h s .

⇒ ho lds i t R i e . i

（に）cone昈（R)

U s e [Takahash i （2020））i

R : h . s . ⇒（へ A n o n - z e r o t h i c k sube a t . o f

D'（R）） F O

E ho lds i f R i s e . i .

un ique

○ i prime や c o r e D'IR） ： min ima l th ick s e . O F oneが（R） /

Fo r a N oe t h . scheme X .

| Openi t

x i e x c . -：= f n f X | O x , n i c . i . I C Xby G r e c o Mar inar i 119781

a n d Ragusa（1980）H S I X） ：=free Sing(X） 10x，、 i h s . l i C Sing(X)

C o rT : N o e t h s c h eme

ヨ imm. o f top. sp.

い） X L s SpeedDPMx））

（2） C I LX ) l e t SpeedDb(X））

13） HS (X ) h t Speed昈（X）） （ i f X : sep.）

S4 . Re la t ion wi th Ba lmer spectra.

IT！

"

- △ - c a t , P : r a d i c a l i dea l .

P : prime t h i c k s u bc a t . ⇒ P i prime Ud e a l

I n part.， subsp.

Spec。（T） へ｛radical i dea ls of Tf c Spec.（T)

C o rT : N seth . s e n . P C DPMX） ： i d e a l . は ideal a r e radical)

P : pr ime t h i c k s u bcat. P こprime i d e a l .I n part.，

SpeedDPMX）） o f ideals o f Dmt州 = Spey(DMX））つ は T h i n 5

E

k i f i e ld . D'：pri l i n e /た . N o t e i が例 E D P at(P），が（D）=of t h i c k O l i） / i f Zし

Then ヨ o r d e r _ i s o m

t t h i c k s u bc a t . o f Dmt例）Ef i l l」で"

①

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