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www.eltemario.com Oposiciones Secundaria – Física y Química© Antonio Abrisqueta García, 1999 Temario Específico – Tema 22

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TEMAS DE FÍSICA Y QUÍMICA(Oposiciones de Enseñanza Secundaria)

-------------------------------------------------------------------------------TEMA 22

CAMPOS ELÉCTRICOS Y MAGNÉTICOS DEPENDIENTES DEL TIEMPO.LEYES DE MAXWELL. INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA. INDUCCIÓNMUTUA. AUTOINDUCCIÓN.

Esquema

1. Introducción.2. Primera Ley de Maxwell del Campo Electromagnético.

2.1. Teorema de Gauss del Campo Eléctrico.2.1.1. Flujo a través de una superficie.2.1.2. Demostración del Teorema de Gauss.

2.2. El Teorema de Gauss en dieléctricos.3. Segunda Ley de Maxwell del Campo Electromagnético.

3.1. El Campo Magnético es solenoidal.4. Tercera Ley de Maxwell del Campo Electromagnético.

4.1. Fenómenos de Inducción Electromagnética.4.1.1. Demostración experimental

4.2. Ley de Faraday. Ley de Lenz4.3. Tercera Ley de Maxwell del Campo Electromagnético.4.4. F.E.M. inducida en circuitos en movimiento.

5. Inducción mutua y Autoinducción.5.1. Fenómenos de Inducción mutua. Demostración experimental.5.2. Fenómenos de Autoinducción. Demostración experimental.5.3. Determinación de coeficientes de autoinducción.5.4. Autoinducciones en Serie y en Paralelo.5.5. Corrientes de Foucault. Consecuencias.

6. Cuarta Ley de Maxwell del Campo Electromagnético.6.1. Ley de Ampère de la circulación. Teorema Circuital.6.2. Ley de Ampère aplicada a un condensador.

6.2.1. Corrientes de desplazamiento. Interpretación.6.3. Cuarta ecuación de Maxwell del Campo Electromagnético.


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TEMA 22

CAMPOS ELÉCTRICOS Y MAGNÉTICOS DEPENDIENTES DEL TIEMPO.LEYES DE MAXWELL. INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA. INDUCCIÓNMUTUA. AUTOINDUCCIÓN.

1. INTRODUCCION

Al analizar las interacciones electromagnéticas, se introduce el concepto de campoelectromagnético, caracterizado por dos magnitudes vectoriales, el campo eléctrico, E, yel campo magnético, B, tales que la fuerza que se ejerce sobre una carga eléctrica enmovimiento es: ( )BvEqF

rrrr∧+= (1)

ecuación que expresa la llamada Fuerza de Lorentz que actúa sobre una carga el‚ eléc-trica móvil.

Toda la teoría de los campos electromagnéticos está condensada en cuatro ecua-ciones fundamentales, denominadas Ecuaciones de Maxwell, establecidas por el físico ymatemático escocés James Clerk Maxwell (1831-1979), el cual unificó las teorías deelectricidad y magnetismo existentes en su tiempo, al demostrar que se engloban en unaúnica formulación electromagnética. La carga eléctrica q y la intensidad de corrienteeléctrica I, se denominan fuentes del campo electromagnético ya que, a partir de ellas,las ecuaciones de Maxwell nos van a permitir determinar los campos eléctrico E

r y

magnético Br

.

Las dos primeras ecuaciones de Maxwell corresponden a las leyes de Gauss paralos campos eléctricos y magnéticos, y aunque fueron obtenidas para campos estáticos,es decir, independientes del tiempo, siguen siendo válidas cuando se aplican a camposeléctricos y magnéticos dependientes del tiempo. Un campo magnético dependiente deltiempo genera la presencia de un campo eléctrico, e inversamente, un campo eléctricodependiente del tiempo genera un campo magnético. Las leyes que describen estas dossituaciones, son la Ley de Faraday y la Ley de Ampère-Maxwell, que constituyen latercera y la cuarta ecuación de Maxwell respectivamente.

Las ecuaciones de Maxwell se aplican a todos los fenómenos electromagnéticosen el vacío o en medios materiales en reposo y son válidas para medios no homogéneos,no lineales e incluso no isótropos. Las ecuaciones de Maxwell predijeron la existenciade los ondas electromagnéticas corroboradas experimentalmente por Hertz.

2. PRIMERA LEY DE MAXWELL DEL CAMPO ELECTROMAGNETICO

La fuerza entre dos cargas eléctricas puntuales Qa y Qb viene expresada por la leyde Coulomb, que en su forma vectorial es:

urQQ

kF ba rr2= (2)

La fuerza de Coulomb se puede pensar que se debe a la interacción entre una car-ga Qa y el campo eléctrico producido por la carga Qb, o viceversa. La intensidad delcampo eléctrico, E

r, se define entonces, como la fuerza por unidad de carga ejercida


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sobre una carga de prueba colocada en el campo. Según esto, la intensidad del campoeléctrico producido por una carga puntual Qa viene expresada por:

ra

b

aba u

rQ

kQF

Er

rr

2== (3)

En el Sistema Internacional, la constante de proporcionalidad de la Ley de Cou-lomb se expresa así:

04

1πε

=k (4)

siendo ε0 la constante dieléctrica del vacío cuyo valor es:ε0=8’85.10-12 C2/N.m2

En general, si el campo está creado por varias cargas puntuales, se expresará por:

∑∑=

==n

iri

i

iia u

rQ

EE1

204

1 rrr

πε(5)

2.1. Teorema de Gauss del campo eléctrico.

2.1.1. Flujo a través de una superficie.

Como el campo eléctrico depende de 1/r2, el flujo electrostático, o flujo de líneasdel campo electrostático a través de cualquier superficie cerrada S que envuelve a lascargas-fuente creadoras del campo, debe ser siempre el mismo, es decir, si varias super-ficies cerradas envuelven a las cargas, todas serán atravesadas por el mismo flujo elec-trostático. Esto lo expresa matemáticamente el Teorema de Gauss:

∑∫ =•=Φ iSQSdE

0

1ε

rr(6)

Este teorema nos relaciona el flujo del campo Er

a través de una superficie cerra-da (que es el flujo total), con la carga total contenida en su interior.

2.1.2. Demostración del Teorema de Gauss.

Para la demostración del Teorema de Gauss, consideraremos una carga puntual Qy calcularemos el flujo de su campo eléctrico, E

r, a través de una superficie esférica con

centro en la carga puntual. Si el radio de la esfera es r, el campo eléctrico producido porla carga en un punto de la superficie esférica vendrá dado por la expresión (3) y el flujose calculará por la siguiente integral de superficie:

∫∫ =•=ΦSS

dSESdE .cos. θrr

donde θ es el ángulo formado por el vector campo Er

y el vectorSdr

del elemento de superficie. En este caso, como ambos vecto-res tienen la misma dirección y sentido, el ángulo es cero y sucoseno es la unidad cosθ=1. Por otro lado, el campo eléctricotiene la misma magnitud (módulo) en todos los puntos de la su-perficie esférica, siendo su área total S=4πr2.

Se ha elegido la superficie esférica centrada en la cargapuntual como superficie para aplicar el teorema de Gauss (super-

FIG. 1


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ficie gausiana), porque cumple las siguientes condiciones:1. El vector E

r y el vector Sd

r son paralelos y cosθ=1 en todos los puntos de la esfera.

2. El vector Er

tiene el mismo módulo en todos los puntos de la esfera, o sea: cteE =r

.

Por tanto, aplicando la ecuación (7) para determinar el flujo total a través de la su-perficie gausiana, resultará:

( )0

22

0

44

..ε

ππε

Qr

rQ

SEdSEdSESdESSS

=====•=Φ ∫∫∫rr

(8)

Luego, el flujo eléctrico a través de la esfera es pro-porcional a la carga encerrada e independiente del radio dela superficie considerada. Por tanto, si trazamos variassuperficies concéntricas con la carga Q, el flujo eléctrico através de todas ellas es el mismo e igual a Q/ε0. Generali-zando, este flujo es el mismo cualquiera que fuese la su-perficie cerrada que encierra la carga, sea simétrica, nosimétrica, irregular o no centrada en la carga.

Si consideramos una carga Q en el interior de una superficie arbitraria cerrada S,el flujo total del campo eléctrico producido por la carga Q a través de la superficie S, es:

∫∫ ==ΦSS r

dSQdS

rQ

20

20

cos.4

.cos.4

θπε

θπε

pero dS.cosθ/r2 es el ángulo sólido sub-tendido por el elemento dS visto desde lacarga Q, Como el ángulo sólido com-pleto alrededor de un punto es 4π, re-sultará:

0002

0

444

cos.4 ε

ππεπε

θπε

QQd

Qr

dSQSST ==Ω==Φ ∫∫

Este resultado es el mismo que el encontrado previamente para una superficie es-férica centrada en la carga, por lo que es válido para cualquier superficie cerrada, inde-pendientemente de la posición de la carga dentro de la superficie. Si una carga tal comola q', fig.3, está fuera de la superficie gausiana considerada, el flujo eléctrico en ella esnulo, porque el flujo entrante es igual al saliente.

Si hay varias cargas Q1, Q2, Q3,... en el interior de la superficie arbitraria S, elflujo total será la suma de los flujos producidos por cada carga, y si la carga neta es ce-ro, el flujo eléctrico es cero.

0εiQ∑=Φ (9)

Este resultado puede generalizarse a una distribución continua de carga de dens i-dad volúmica de carga ρ:

dVdq .ρ= luego ∫∫∫ ==•=Φτρ

εεdVdqSdE

vS.

11

00

rr(10)

donde τ representa el volumen del recinto encerrado por la superficie gausiana S.

La ley de Gauss puede expresarse en forma diferencial empleando el teorema dela divergencia, que es:


5/23

∫∫ •∇=•τ

dVESdES

.rrr

(11)

y aplicándolo a la expresión (9) resultará: ∫∫ =•∇τρ

ετ

dVdVE0

1.

r

luego se verificará: 0ε

ρ=•∇ Er

(12)

2.2. El Teorema de Gauss en dieléctricos.

Los dieléctricos se diferencian de los conductores en que no tienen electrones li-bres que puedan moverse a través del material cuando se someten a un campo eléctrico.Todos los electrones están ligados a sus átomos, por lo que el único movimiento posiblees un ligero desplazamiento de las cargas positivas y negativas en direcciones opuestas.Este desplazamiento es, en general, muy pequeño com-parado con las distancias atómicas. Un dieléctrico en elque se ha producido este desplazamiento de cargas, sedice que está polarizado y que sus moléculas tienen unMomento Dipolar Inducido, m

r, definido por:lqmrr.=

donde q es la carga inducida de cada dipolo y lr

la distancia entre las dos cargas y consentido de la carga negativa a la positiva.

El dieléctrico polarizado en presencia del campo eléctrico adquiere una carga in-ducida q0 y el estado de polarización se medirá definiendo el Vector Polarización o elmomento dipolar por unidad de volumen. Consideremos un trozo de materia polarizadaen la que existirán dipolos microscópicos moleculares. Un pequeño volumen diferencialdV, pequeño para ser considerado una diferencial y suficientemente grande para quecontenga un número elevado de dipolos moleculares. Dicho elemento tendrá un Mo-mento Dipolar que será la suma de sus momentos dipolares moleculares que designare-mos por md

r, luego el vector polarización es:

dVmd

pr

r = (14)

Supongamos el dieléctrico de la fig.5 en un campoeléctrico uniforme E

r. Si el dieléctrico está totalmente

polarizado, sobre las superficies del bloque apareceráncargas inducidas iguales y opuestas, de valor: q0=σ0Asiendo A el área de la superficie y σ0 la densidad superfi-cial de carga inducida. El bloque entero se comporta co-mo un dipolo único de momento dipolar:

dAdq .00 σ=y el vector Polarización será:

00

.... σ

σ===

dAdA

VolumentotaldipolMomen

pr FIG.5

la polarización es la densidad superficial de carga inducida o carga de polarización.

Al considerar el Teorema de Gauss en presencia de un dieléctrico, se han de teneren cuenta las cargas libres q y las cargas inducidas q0. Si consideramos una superficiegausiana cerrada imaginaria, que encierre cargas libres dispuestas en el interior de un


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dieléctrico, la carga neta total que encierra la superficie debe incluir tanto las cargaslibres como las cargas inducidas. El Teorema de Gauss se formulará así:

00

0

0 εεεtqqq

SdE∑=∑+∑=•=Φ ∫

rr(15)

y si tenemos en cuenta las densidades volúmicas de carga libre e inducida, la carga totalen el caso de una distribución continua, se puede expresar así:

( )∫ +=∑τ

ρρ dVqt 0 (16)

Las cargas inducidas (o ligadas) son las que se acumulan en los desplazamientosque ocurren a escala molecular en el proceso de polarización. Considerando el teoremade la divergencia y aplicándolo para este caso:

( )∫ ∫∫ +=•∇=•=ΦS

dVdVESdEττ

ρρε 0

0

1.

rrr

e igualando los integrando, tendremos para cualquier punto:

( )00

1 ρρε

+=•∇ Er

o bien 0ε

ρtE =•∇r

(17)

siendo ρt=ρ+ρ0 la densidad volúmica de carga neta definida en el punto. Esta ecuación(17) expresa la "forma diferencial" de la Ley de Gauss para el campo electrostático, ensu forma más general y constituye la Primera Ecuación de Maxwell del electromagne-tismo.

3. SEGUNDA LEY DE MAXWELL DEL CAMPO ELECTROMAGNETICO.

3.1. El Campo Magnético es Solenoidal.

El campo magnético, dado por el vector Br

, es un campo solenoidal, es decir, queviene dado por líneas de campo cerradas sobre sí mismas, no existiendo ni fuentes nisumideros de líneas. Esta condición se expresa por la ecuación:

0=•∇ Br

(18)es decir, la divergencia del vector Inducción Magnética es nula y por tanto la densidadde flujo magnético por unidad de volumen es nula, lo que se interpreta diciendo quepara cualquier volumen cerrado del Campo Magnético, el flujo entrante es igual al flujosaliente, y por lo tanto, el flujo neto es nulo.

El campo magnético elemental generado por un elemento de conductor ldr

por elque circula una corriente I, en un punto que dista la distancia r del elemento, viene dadopor la expresión:

20

30

44 ruld

Ir

rldIBd

rrrrr ∧=∧=

πµ

πµ

ó ∫ ∧=b

ur

ldIB

rr

r2

0 .4πµ

(19)

que se conoce como Ley de Biot-Savart.

Si la corriente I se distribuye en el espacio conductor con una densidad de co-rriente J (Amperios/m2), la intensidad de corriente, I, se expresará así:

∫ •=S

SdJIrr

(20)

Para sustituir esta expresión en la ecuación de Biot-Savart, hemos de multiplicarambos miembros de (20) por: ∫ ld

r resultando:


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( ) ( ) ∫∫∫ ∫ ∫∫ ∫ =•=•=•=ττ

τdJldAdJldAdJldAdJldISS

....rrrrrrrrrrr

pues AdJrr

, y ldr

son vectores que tienen la misma dirección y sentido y sustituyendoen la ecuación de Biot-Savart tendremos:

τπ

µτπ

µττ

dr

uJd

rrJ

B ∫∫∧=∧= 2

03

0

44

rrrrr

(21)

y a partir de esta ecuación que se conoce como ley de Biot-Savart en función de la den-sidad de corriente J, cuando ésta es estacionaria, podemos demostrar que el campomagnético es un campo solenoidal, así:

'4

'4 ' 2

0

' 20 τ

πµτ

πµ

ττd

ru

Jdr

uJB ∫∫

∧•∇=∧•∇=•∇

rrrrr

(22)

para resolver la integración hay que desarrollar el integrando, lo que se hace mediante lasiguiente expresión:

( ) ( ) ( )BAABBArrrrrr

∧∇•−∧∇•=∧•∇Aplicando esta expresión a (22) resulta:

( )

∧∇•−∧∇•=

∧•∇

222 ruJJ

ru

ruJ

rrrrrr(23)

se demuestra que este desarrollo es nulo considerando ambos términos del segundomiembro:

El primer término contiene el rotacional de Jr

( )Jr

∧∇ , y es nulo pues Jr

es unafunción exclusiva de los puntos-fuente (coordenadas del elemento de conductor) y eloperador rotacional implica derivadas parciales con respecto al punto campo, y en dichopunto no existe densidad de corriente alguna. Como J

r en el punto-campo (x,y,z) es

cero, resulta 0=∧∇ Jr

(primer término nulo).

El segundo término requiere el desarrollo de 2rur∧∇ o sea:

( ) ( ) ( )=

−−−∂∂

∂∂

∂∂=−+−+−∧∇=∧∇=∧∇

333

332

'''

'''

rzz

ryy

rxx

zyx

kji

rkzzjyyixx

rr

ru

rrrrrrrr

…

El desarrollo de este determinante tendrá tres términos, en jirr

, y kr

y vamos a

calcular cualquiera de ellos, por ejemplo, el correspondiente a ir

, ya que los otros tie-nen idéntico desarrollo:

...''

332 =

−

∂∂−

−

∂∂=

∧∇

ryy

zrzz

yi

ru

X

rr

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] =

−+−+−

−∂∂−

−+−+−

−∂∂=

2/32222/3222 '''

'

'''

'

zzyyxx

yyzzzyyxx

zzy

ir

( ) ( ) ( )[ ] ( )( )

...''2.'''

23

6

2/1222

−

−−−+−+−−=

r

zzyyzzyyxxir


8/23

( ) ( ) ( )[ ] ( )( )

0''2.'''

23

... 6

2/1222

=

−−−+−+−−−

r

yyzzzzyyxx

el desarrollo es nulo, como es evidente, pues ambos términos son idénticos (segundotérmino nulo), resultando finalmente demostrado que:

0=•∇ Br

[Segunda Ecuación de Maxwell] (24)

Por esta expresión, en el Campo Magnético no pueden existir ni fuentes ni sumi-deros de líneas de inducción magnética, porque estas líneas de campo son líneas cerra-das que no empieza ni acaban. El flujo de Inducción Magnética a través de cualquiersuperficie cerrada es nulo, pues todo flujo que entra también sale, por ello:

∫ =•S

AdB 0rr

(25)

ecuación que denominaremos Ley de Gauss para los Campos Magnéticos.

El origen del campo magnético está en las corrientes eléctricas. Esta afirmación esexperimental, pues no se ha encontrado ningún campo magnético que no pueda descri-birse en función de una distribución de corriente, y por ello no existen polos magnéticosaislados.

Esta ley de Gauss para los campos magnéticos no proporciona métodos sencillospara el cálculo de B

r por consiguiente se ha de buscar una alternativa que proporcione

un procedimiento más fácil, y lo tenemos en el Teorema circuital de Ampère (4ª ecua-ción de Maxwell).

Las ecuaciones (24) y (25) son respectivamente las formas diferencial e integralde la Segunda Ecuación de Maxwell del Electromagnetismo.

4. TERCERA LEY DE MAXWELL DEL CAMPO ELECTROMAGNÉTICO

4.1. Fenómenos de Inducción Electromagnética.

Ya hemos estudiado que una carga eléctrica que se mueve en un Campo Magnéti-co estacionario, se verá sometida a una fuerza dada por la ecuación BvqF

rrr∧= , que

desplazará a la carga en dirección perpendicular a su propia velocidad y al campo mag-nético. Análogamente, si sobre una carga eléctrica estacionaria, se mueve un campomagnético, tal que el vector Inducción Magnética B

r varíe en el punto ocupado por la

carga, ésta se verá igualmente sometida a la fuerza anterior, que la desplazará y portanto generará una corriente eléctrica inducida.

4.1.1. Demostración experimental.

Experimentalmente pueden producirse este tipo de corrientes inducidas medianteel dispositivo esquematizado en la figura 6. La bobina 1 se encuentra conectada a ungalvanómetro, simplemente para detectar cualquier posible corriente eléctrica. En estabobina se originarán corrientes eléctricas inducidas cuando se realicen cualquiera de lossiguientes experimentos que vamos a describir:


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A) Aproximamos o separamos un imán (natural oartificial) a la bobina 1, por cualquiera de los polosmagnéticos del imán.

B) Aproximamos o separamos otra bobina ali-mentada por un generador que le produzca una co-rriente continua estacionaria (bobina 2).

C) Estando las bobinas 1 y 2 en posiciones fijas,alimentando la bobina 2 con una corriente que varíemediante un reóstato o resistencia variable que accio-namos con un cursor, o mediante una corriente alterna.

D) Mediante este último procedimiento, el proceso se acentúa considerablementesi ambas bobinas están devanadas una sobre otra, o bien están atravesadas ambas por unnúcleo de hierro u otro material ferromagnético.

En todos estos casos se produce en los puntos de la bobina 1 una variación delcampo magnético. Las cargas eléctricas libres (electrones) situadas en el conductor,están sometidas a la fuerza magnética BvqF

rrr∧= que las desplazarán a todas ellas en la

misma dirección a través del conductor originando la corriente eléctrica inducida.

Esta corriente sólo se produce en el circuito (bobina 1) cuando tiene lugar una va-riación del campo magnético y no cuando el campo magnético permanece estacionario.

4.2. Ley de Faraday. Ley de Lenz.

Vamos a considerar un conductor ab rectilíneo, colocado en el interior de un cam-po magnético, perpendicular a sus líneas de fuerza y que se desplaza con una velocidadvr

constante y perpendicular al campo magnético y alconductor. Las cargas libres (electrones), situadas en elconductor, al verse sometidas a la fuerza magnética, sedesplazarán y se acumularán en el extremo a, creándo-se en el conductor un campo eléctrico que se opondrá aeste desplazamiento de cargas y por tanto apareceráuna cierta resistencia al desplazamiento del conductor.

Si consideramos que el conductor ab, se desplazaapoyado en sus extremos sobre un conductor fijo aoo’b

FIG.7

en forma rectangular, figura 8, el campo eléctrico generado en sus extremos por la sepa-ración magnética de las cargas, da lugar a una fuerza electromotriz inducida E que ori-ginará en el circuito cerrado una corriente inducida

El conductor móvil ab se comporta como un generador de Fuerza Electromotrizinducida y dará lugar a una corriente I=q/t. Las cargas móviles que circulan por el con-ductor ab se verán sometidas a la fuerza magnética BvqF

rrr∧= que origina una resul-

tante 'Fr

en sentido opuesto al movimiento del conductor y tiende a anular dicho movi-miento. Para mantener el movimiento del conductor será, pues, necesario aplicarle unafuerza externa F

r idéntica y opuesta a la anterior, que la neutralice.


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La fuerza sobre la carga será: BvqFF ..'=−=

Cada carga se desplaza dentro del conductor ab conuna velocidad de arrastre dada por la expresión v=l/t luego:

BlIBltq

Btl

qBvqFvrrrr

rrrr

∧=∧=∧=∧= .'

que es la expresión de la fuerza magnética 'Fr

del campo Br

sobre una corriente I en el conductor de longitud lr

y por ellola fuerza que debemos oponer para mantener el movimientouniforme del conductor será:

lBIFFrrrr

∧=−= .'El trabajo realizado por esta fuerza externa al desplazar

el conductor, un desplazamiento rdr

será:dtvlBIrdlBIrdFdW '..

rrrrrrrr•∧=•∧=•=

donde 'vr

es la velocidad con que se desplaza el conductor ab FIG. 8

móvil, sobre el conductor fijo. Considerando que dq=I.dt resulta:dqvlBdW '

rrr•∧=

y la Fuerza Electromotriz E que se genera en el desplazamiento del conductor, será:

'vlBdqdW rrr

•∧==E (26)

En el caso ilustrado en la fig.8, donde el conductor móvil lr

es perpendicular alcampo magnético B

r y se desplaza en dirección perpendicular al propio conductor y al

campo magnético, el desarrollo de la ecuación anterior resulta:'.. vlB=E (27)

En el desplazamiento, el conductor ab corta un flujo magnético dado por:AdBdrr

•−=Φdonde dA es el área barrida ( )dtvlsdlAd '

rrrrr∧=∧= por el conductor en el tiempo dt y el

signo negativo nos indica que el flujo total por el circuito aoo'b disminuye a medida queaumenta el área barrida por el conductor ab, luego:

( )dtvlBAdBd 'rrrrr

∧•−=•−=Φy aplicando la propiedad cíclica del producto mixto de tres vectores, resultará:

( ) dtvlBdtlBvd '.'rrrrrr •∧−=∧•−=Φ y por tanto: E−=•∧−=Φ

'vlBdtd rrr

resultando finalmente: dtdΦ−=E Ley de Faraday (28)

que se interpreta diciendo que "se genera una FEM inducida en el circuito cerradosiempre que se produzca una variación del flujo magnético y esta FEM es igual a larapidez con que varía el flujo, con signo opuesto".

La ecuación de Faraday es una ley empírica deducida de hechos experimentales yno se puede demostrar a partir de otras leyes experimentales. La variación del flujomagnético puede realizarse, bien moviendo o deformando el circuito en un campo mag-nético constante o bien variando el campo magnético sobre un circuito estacionario. Enambos casos los resultados obtenidos son idénticos.


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4.3. Tercera Ley de Maxwell del campo electromagnético.

Ya que por definición, la FEM es: ∫ •= rdErr

E la circulación en trayectoria ce-

rrada del campo eléctrico inducido Er

en el conductor móvil, siendo rdr

un elemento de

dicho circuito y como este circuito es atravesado por un flujo dado por: ∫ •=ΦS

AdBrr

, la

ecuación de Faraday se escribe: ∫∫ •−=•=SC

AdBdtd

rdErrrr

E (29)

siendo C cualquier curva cerrada (circuito o no-circuito) y S la superficie limitada porella. Si no existen fuentes en el circuito que consideramos, la corriente que se genera esigual a la F.E.M. inducida dividida por la resistencia óhmica del circuito., igual que siexistiera una batería del mismo voltaje y polaridad que la F.E.M. inducida.

Si la curva C de integración no varía su forma, la expresión anterior se escribirá:

∫∫ •∂∂−=•

SCAd

tB

rdEr

rrr

(30)

es decir, la circulación del campo eléctrico inducido a lolargo de una trayectoria cerrada C es igual a la componentenormal de la derivada respecto del tiempo (con signoopuesto), del vector inducción magnética B

r integrada sobre

cualquier superficie limitada por el contorno C. FIG. 9

Para poner la Ley de Faraday en forma diferencial, aplicaremos el Teorema deStokes, para trasformar una integral curvilínea en una integral de superficie, así el pri-mer miembro se transformará en:

( )∫∫ •∧∇=•SC

AdErdErrrr

resultando para la ley de Faraday:

( )∫ ∫ •∂∂−=•∧∇

S SAd

tB

AdEr

rrr

(31)

suponiendo que la trayectoria cerrada de integración C es estacionaria los integrandosde ambos miembros serán idénticos y resultará:

tB

E∂∂−=∧∇

rr

Tercera Ecuación de Maxwell (32)

En los experimentos descritos al inicio del tema, se produce en la bobina 1 en to-dos los casos, una variación del flujo magnético por diversas circunstancias, lo que dalugar a una Fuerza Electromotriz inducida que en el caso de un circuito cerrado de re-sistencia óhmica R, dará lugar a una corriente eléctrica inducida I=E/R.

El signo negativo viene interpretado por la Ley de Lenz, que se enuncia así: "Elsentido de la FEM inducida, y por tanto de la corriente que genera, es tal que se opone,por sus efectos magnéticos, a la variación del flujo magnético que lo engendra". Estoquiere decir:

A) Que si el flujo magnético disminuye, se crea una FEM que produce una co-rriente en tal sentido que crea un campo magnético propio cuyo flujo tiene el mismosentido que el flujo menguante externo, en un intento de mantener constante dicho flujomagnético.


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B) Que si el flujo magnético aumenta, se crea una FEM que produce una corrienteen sentido tal que crea un campo magnético propio cuyo flujo se opone al flujo cre-ciente externo, en un intento de mantener constante dicho flujo.

4.4. F.E.M. Inducida en circuitos en movimiento.

Vamos a considerar un circuito conductor que se mueve paralelamente a sí mismoen un campo magnético estacionario B

r. Cualquier elemento diferencial sd

r de dicho

circuito realiza un desplazamiento rdr

en el tiempo dt tal que barre un área dada por: rdsdAd

rrr∧=2 (33)

y la variación del flujo magnético experimentada pordicho elemento de circuito vendrá dada por:

AdBdrr

22 •=Φ (34)La rapidez de variación del flujo magnético en el

tiempo dt será:

BvsdvsdBdt

rdsdB

dtAd

Bdt

d rrrrrrrr

rr

∧•=∧•=∧•=•=Φ−22

FIG.10

el signo negativo significa que en este caso se produce una disminución del flujo mag-nético. La expresión anterior se podrá escribir:

vBsdBvsddt

d rrrrrr ∧•=∧•−=Φ2

(35)

En el caso de que el movimiento del circuito sea de a2 a a1 lo que dará lugar a unaumento del flujo magnético, el área barrida por el elemento de circuito será:

sdrdAdrrr

∧=2

y la variación del flujo respecto del tiempo, positiva en este caso, vendrá dada por:

vBsdsdvBdt

sdrdB

dtAd

Bdt

d rrrrrrrrrr

r∧•=∧•=∧•=•=Φ 22

(36)

ecuación idéntica a la (35). La FEM viene dada por la misma expresión tanto si el des-plazamiento del circuito produce una disminución o un aumento del flujo magnético através del circuito. Aplicando a cualquiera de estas ecuaciones, la definición de FEM,

resulta: vBsddt

dd

rrr ∧•−=Φ−=2

E (38)

Esta es la llamada Ley elemental de la inducción magnética, que indica que:"siempre que el circuito corte líneas de fuerza del campo magnético en su desplaza-miento se originará una Fuerza Electromotriz Inducida".

La FEM inducida total debida al desplazamiento de todo el circuito completo seobtiene integrando la ecuación anterior para sumar las FF.EE.MM. de los distintos ele-mentos ds del circuito:

( )∫ ∫ •∧−=•=a a

sdvBsdErrrrr

E (39)

ecuación de la FEM inducida en un circuito cerrado en movimiento dentro de un campomagnético estacionario.

Para generalizar la ecuación al caso de que también el campo Br

no sea estaciona-rio y varíe con el tiempo, la FEM inducida en el circuito será la suma de la FEM produ-cida por el movimiento del circuito, ecuación (39) mas la FEM producida por la varia-ción del campo B, ecuación (31), de modo que:


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( ) ∫∫ •∂∂−•∧−=

saAd

tB

sdvBr

rrrr

E (40)

donde la primera integral puede ponerse:

∫ •∧ sdBvrrr

al cambiar de signo el producto vectorial, y aplicando el Teorema de Stokes para trans-formar la integral curvilínea en una integral de superficie se transformará en:

( )[ ]∫ •∧∧∇s

AdBvrrr

y el primer miembro E se transformará así:

∫ ∫ •∧∇=•=a s

AdEsdErrrr

E

y sustituyendo ambas en (40) resulta:

( ) ( ) AdtB

BvAdtB

AdBvAdEs s s s

rr

rrrr

rrrrr•

∂∂−∧∧∇=•

∂∂−•∧∧∇=•∧∇∫ ∫ ∫ ∫ (41)

los integrados en ambos miembros resultan iguales, por tanto:

( )tB

BvE∂∂−∧∧∇=∧∇

rrrr

(42)

Donde Er

es el Campo Eléctrico inducido en el circuito (que origina la F.E.M. in-ducida) como consecuencia del movimiento del propio circuito en el Campo Magnéticoy por la propia variación del Campo Magnético.

5. INDUCCION MUTUA Y AUTOINDUCCION

La ley de Faraday nos dice que en un circuito conductor se origina una FEM in-ducida siempre que a través de él se produzca una variación del flujo magnético, inde-pendientemente de la fuente magnética que dé origen al mencionado flujo magnético. Elfenómeno inductor (flujo magnético) y el fenómeno inducido (fuerza electromotriz queorigina una corriente) pueden producirse en dos lugares diferentes e independientesdando lugar a un fenómeno de Inducción Mutua, o bien pueden producirse ambos en elmismo circuito dando lugar a un fenómeno de Autoinducción.

5.1. Fenómenos de Inducción Mutua. Demostración experimental.

Consideremos dos circuitos o bobinaspróximas entre sí y arrolladas sobre un núcleode hierro como se indica en la figura 11. Lacorriente que circula por la bobina 1 debido ala batería de FEM E y regulada por la resis-tencia variable R, genera un campo magnéticocuyo flujo atraviesa parcial o totalmente labobina 2, que está conectada únicamente a ungalvanómetro para detectar la corriente.. FIG.11

En el caso de que la corriente I1 por la bobina 1 varíe, variará el flujo magnéticoque engendra y variará el flujo parcial o total que atraviesa la bobina 2. Ello dar lugar auna FEM inducida en la bobina 2, mientras dura la variación del flujo. El flujo en 2 de-penderá de la corriente en 1, o sea:

12 I∝Φ o bien 12 .Ic=Φ


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siendo c una constante que dependerá de la geometría del sistema.

Aplicando la ley de Faraday al circuito 2 resultará:

dtdI

MdtdI

cNdt

dN 11

22

2 −=−=Φ−=E (43)

siendo M el coeficiente de Inducción mutua, una constante que depende exclusivamentede la geometría del sistema y del número de espiras de la bobina. La expresión anteriorrepresenta la FEM inducida en la bobina 2 por la variación del flujo magnético que laatraviesa originada por la variación de corriente en la bobina 1. El coeficiente de Induc-ción Mutua expresa la FEM engendrada por una variación de corriente de 1 A/s, o sea:

dtdIM

1

2E−=

==== H

AWb

AAJ

sACJ

sAV

././(44)

5.2. Fenómenos de Autoinducción. Demostración experimental.

Este fenómeno de inducción de corriente se produce también en la propia bobina1 donde se origina la variación del flujo magnético. Así, cuando en una bobina de Nespiras circula una corriente I, se origina un campo magnético cuyo flujo total Φ, en lapropia bobina es proporcional a la corriente circulante I y se puede escribir:

I∝Φ o bien Ik.=Φsiendo k una constante que depende de las características geométricas de la bobina.

Cuando varía la corriente I, como ocurre en el cierre o apertura del circuito, o ac-cionando una resistencia variable, se originará una variación de flujo Φ y se induce en lapropia bobina, una F.E.M.:

dtdI

LdtdI

kNdtd

N −=−=Φ−= .E (45)

donde L es el coeficiente de autoinducción (también semide en Henrios) y representa la Fuerza Electromotrizautoinducida por una variación de corriente en el pro-pio circuito correspondiente a 1 Amperio por segundo. FIG. 12

El signo negativo de las expresiones (44) y (45) indica que la FEM inducida ha degenerar una corriente inducida de tal sentido que origine un flujo magnético propio quese oponga a la variación del campo magnético inductor, es decir:

A) si la corriente originaria disminuye, la corriente inducida tendrá su mismo sent i-do, sumándose los flujos magnéticos y

B) si la corriente aumenta, la corriente inducida tendrá sentido contrario y los flujosmagnéticos se restarán.

Las corrientes inducidas, originadas por los fenómenos de inducción mutua o au-toinducción, son débiles en conductores lineales, sin embargo en los solenoides o bobi-nas, cada espira influye por autoinducción sobre ella misma y por inducción mutuasobre las demás espiras próximas y los efectos de la inducción se acrecientan.

Corrientes autoinducidas se producen en el cierre y en la apertura de circuitos, loque puede dar lugar a chispas en los interruptores o enchufes. Los interruptores que co-necten circuitos que posean bobinas (motores) han de construirse de manera que pro-porcione una ruptura instantánea, y así, la fuerte corriente de autoinducción generada


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en la ruptura no se sumará a la corriente principal, ya inexistente, evitando que se alma-cenen valores elevados de intensidad de corriente.

5.3. Determinación de coeficientes de autoinducción.

El coeficiente de autoinducción de una bobina puede determinarse a partir de suscaracterísticas geométricas y eléctricas. La ley de Faraday E=−N.dΦ/dt la sustituimosen la expresión (45) y resulta:

dtdI

Ldtd

N =Φ ⇒ dILdN .. =Φ integrando ∫∫ =Φ

Φ IdILdN

00

resulta finalmente: ILN .. =Φ ⇒ I

NLΦ= (46)

expresión que nos da el Coeficiente de Autoinducción de una bobina de N espiras, ali-mentada por una corriente I y atravesada por un flujo Φ. Considerando que el flujo deuna bobina viene definido por:

SBSdB .=•=Φ ∫rr

para el caso del campo magnético perpendicular a las espiras, la expresión de L será:

I

NBSL = (47)

y como el campo magnético B de una bobina es: lNI

Bµ=

resulta: l

SNL

2µ= (48)

como vemos el coeficiente de autoinducción de la bobina depende de sus característicasgeométricas y físicas. Depende de cómo ha sido construida.

5.4. Autoinducciones en Serie y en Paralelo.

Supongamos N bobinas acopladas en serie, por las que circula una única corrienteI. Si su separación es lo suficientemente grande como para poder despreciar las influen-cias de los flujos mutuos (el efecto de la inducción mutua), por la aplicación de (45) auna cualquiera de ellas:

dtdI

Ldt

d1

1 −=Φ−=E

por lo que la F.E.M. total inducida entre los extremos de las bobinas será:

∑∑ −== ii LdtdI

EE (49)

y por tanto, las bobinas en serie (inductores) equivalen a una única bobina que tuvieraun coeficiente de autoinducción:

∑= iLL (50)

Consideremos ahora los efectos mutuos entre las bobinas, para lo cual considere-mos dos bobinas 1 y 2, conectadas en serie y los suficientemente próximas para cons i-derar en 1 una FEM inducida por 2, E1, y en 2 una FEM inducida por 1, E2. Por razonesde simetría M12=M21=M, por tanto la fem total entre los extremos de ambas bobinas es:

( ) ( )dtdI

MLLdtdI

MMLL 221211221211221 ++−=+++−=+++= EEEEE


16/23

luego el sistema se puede sustituir por una única bobina, cuyo coeficiente de autoinduc-ción sea: MLLL 221 ++= (51)

Si las dos bobinas estuvieran enrolladas en sentidos opuestos y conectadas en se-rie, los flujos magnéticos de autoinducción (autoflujos) serían opuestos a los flujos deinducción mutua, y el conjunto equivaldría a una bobina cuyo coeficiente de autoinduc-ción será: MLLL 221 −+= (52)

Supongamos n bobinas acopladas en paralelo, sin que exista influencia mutua en-tre ellas. Por cada una de ellas circulará una corriente I1, I2, I3,... que verificarán I=ΣIi,siendo I la corriente que circula entre los nudos de la red en paralelo. Como la d.d.p.entre estos nudos es la misma cualquiera que sea la trayectoria elegida, resultará:

...33

22

11 =−=−=−=

dtdI

LdtdI

LdtdI

LE

o bien: dtdI

L1

1

=− E

dtdI

L2

2

=− E

dtdI

L3

3

=− E ….

sumando y sacando factor común:

∑ ==

+++

dtdI

dtdI

LLLi...

111

321

E y finalmente ∑=iLL

11(53)

expresión que sólo es aplicable a los casos donde se desprecien la inducciones mutuasentre las bobinas.

Consideremos ahora dos bobinas 1 y 2 en paralelo, para tener en cuenta no sólo laautoinducción en cada una de ellas sino también la inducción mutua de una en la otra yviceversa. La F.E.M. en cada bobina será:

dtdI

MdtdI

L 211 −−=E y

dtdI

MdtdI

L 122 −−=E (54)

y operando algebraicamente (como se especifica en el anexo):

( )

E221

212121 2MLL

MLLdt

IIddtdI

dtdI

−−+−=+=+ (55)

y como I=I1+I2 resultará entonces:

EELMLL

MLLdtdI 12

221

21 −=−−+−= luego

MLLMLL

L221

221

−+−= (56)

donde L es el valor del coeficiente de inducción equivalente. Hay que observar que loscálculos serían diferentes si se invierte el sentido de arrollamiento de unas de las bobi-nas tal y como se ha indicado en el acoplamiento en serie.

5.5. Corriente de Foucault. Consecuencias.

Cuando una pieza maciza de material férrico se mueve en el interior de un campomagnético estacionario, o bien, un campo magnético variable atraviesa una pieza férri-ca en reposo, se producen unas corrientes inducidas, por la ley de Faraday, que actúancomo corrientes parásitas que pueden provocar un fuerte calentamiento por efecto Jouley por consiguiente una disipación de energía considerable. Son las llamadas corrientesde Foucault.

Consideremos un disco de hierro como el representado en la figura 13, que giraalrededor de un eje fijo horizontal y paralelo a un campo magnético estacionario que lo


17/23

atraviesa parcialmente. Dentro del disco consideremos unsector circular muy estrecho, casi lineal, a modo de con-ductor y, como se mueve normalmente al campo magnéticoBr

, se inducirá en él una corriente radial, como se muestraen la figura, cerrándose el circuito a través de la masa deldisco, originándose unas corrientes turbillonarias que pro-ducen elevadas pérdidas de energía por calor.

Los principales efectos que producen estas corrientesparásitas son:

A) Dada la elevada resistencia óhmica del hierro, se produce un considerable calen-tamiento por efecto Joule.

B) Dichas corrientes parásitas crean unos campos magnéticos, que en su interaccióncon el campo magnético externo, produce una fuerza que se opone al giro del disco,siendo necesario una mayor energía para vencerla (sólo en el caso de piezas móviles).

C) Los efectos disipativos de las corrientes parásitas de Foucault son tanto mayorescuanto mayor sea el volumen de las piezas ferromagnéticas consideradas.

Las corrientes de Foucault se pueden minimizar construyendo los núcleos férricos(motores, dinamos, alternadores, transformadores, etc.) mediante láminas de hierro de-bidamente cortadas y pegadas entre sí por un material aislante.

6. CUARTA LEY DE MAXWELL DEL CAMPO ELECTROMAGNÉTICO

6.1. Ley de Ampère de la circulación (Teorema Circuital).

La Ley de Ampère de la circulación o Teorema Circuital establece que la circula-ción del vector Inducción Magnética B

r, creado por un conjunto de corrientes, a lo largo

de una trayectoria cerrada C, es igual al producto de la permeabilidad magnética µ0 porla suma algebraica de las intensidades de corriente que atraviesan la superficie S arbitra-ria, limitada por la curva cerrada. Se expresa matemáticamente mediante la ecuación:

∫ ∫ ∑ ==•=•S i IISdJldB 000 µµµ

rrrr(57)

En consecuencia el Campo Magnético no es conservativo y no podemos definir encada punto un potencial escalar que nos permita completar el estudio del campo.

Esta ley se aplica solamente al caso de corrientes estacionarias y en medios nomagnéticos y se utiliza para determinar el vector Inducción Magnética B

r en aquellos

casos de perfecta simetría en los que el módulo de Br

es constante a lo largo del caminode integración, a semejanza del teorema de Gauss que se aplica al cálculo del vectorCampo Eléctrico en los casos en que éste tiene módulo constante sobre una superficiecerrada.

En ciertos casos, la misma corriente puede atravesar varias veces la superficie quelimita la curva de integración C. Tal es el caso de un solenoide. En él, el recorrido deintegración pasa por el eje del solenoide y vuelve por el exterior hasta cerrarse. La co-rriente total que atraviesa la superficie limitada por este recorrido, es la corriente de unaespira multiplicada por el número de espiras del solenoide, o sea, el número de Ampe-rios-Vuelta.


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En el caso particular de un solo conductor, el teorema circuital considera la co-rriente única I que pasa por el conductor, independientemente del camino de integraciónque se elija, siempre que dicho camino rodee completamente al conductor. Cuando estono ocurre, la circulación de B

r es nula como ocurre en Electrostática.

6.2. Ley de Ampère aplicada a un condensador.

6.2.1. Corriente de desplazamiento. Interpretación.

Cuando se aplica la ley circuital de Ampère a un circuito de corriente I que ali-menta un condensador, al considerar la superficie S2 limitada por el contorno C, ésta noestá atravesada por la corriente I ya que dicha superficie pasa por el espacio entre lasplacas del condensador, donde I=0, con lo que se llega a una situación contradictoria yla circulación de B

r a lo largo de C resulta diferente según la superficie que considere-

mos limitada por el contorno C.

Maxwell modificó la ley circuital de Ampère para re-solver el problema planteado. Introdujo la corriente de des-plazamiento, Id que se suma a la corriente del conductor I,quedando la ley circuital de la siguiente forma:

( )∫ +=• dIIldB 0µrr

(58)

Vamos a interpretar el significado físico de la corriente FIG. 14

de desplazamiento. La corriente del circuito I, que produce la carga del condensador,aumenta la carga de éste según I=dQ/dt y por ello la Intensidad del Campo Eléctricoencerrado entre las placas. La Ley de Gauss, aplicada al condensador nos expresa que:

∫ =•=ΦSE

QSdE

0ε

rr

y al incrementarse la carga del condensador se incrementa el flujo eléctrico, o sea:

dtdQ

dtd E ⋅=Φ

0

1ε

o sea dE I

dtdQ

dtd ==Φ

0ε (59)

es decir, la variación del flujo eléctrico por unidad de tiempo es producida por una “co-rriente” (variación de carga por unidad de tiempo) a través del condensador que es laque Maxwell llamó corriente de desplazamiento.

En el condensador se produce una variación del flujo magnético ε0.dΦE/dt, produ-cida por la corriente de desplazamiento Id=ε0.dΦE/dt que se incluye, por ello en la LeyCircuital de Ampère, tal como:

( )

Φ+=+=•∫ dt

dIIIldB EdC 000 εµµ

rr(60)

con lo cual la ley se generaliza a todas las posibles situaciones. Esta ecuación representauna forma de la Cuarta Ecuación de Maxwell del Campo Electromagnético.

Consecuencia de esta generalización: se llega a la conclusión de que un campomagnético no sólo es creado por una corriente eléctrica I sino que también puede sercreado por un campo eléctrico que varíe con el tiempo.


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6.3. Cuarta Ecuación de Maxwell del Campo Electromagnético.

Como la corriente real puede ponerse en función de la Densidad de Corriente: ∫ •=

SSdJIrr

(61)

y considerando igualmente el flujo eléctrico se puede expresar:

∫ •=ΦSE SdE

rr

su variación con el tiempo se expresará:

∫ •∂∂=Φ

S

E SdtE

dtd r

r

(62)

por ello la corriente de desplazamiento, ideada por Maxwell, dada por (59) puede escri-

birse: ∫ •∂∂=Φ=

S

Ed Sd

tE

dtd

Ir

r

00 εε (63)

y la ecuación (60) finalmente quedará de la forma siguiente:

∫ ∫∫ ∫ •

∂∂+=

•

∂∂+•=•

C SS SSd

tE

JSdtE

SdJldBr

rrr

rrrrr

0000 εµεµ (64)

que es la forma integral de la Cuarta Ecuación de Maxwell.

Si aplicamos el Teorema de Stokes:( )∫ ∫ •∧∇=•

C SSdBldBrrrr

se obtiene la expresión integral siguiente:

( ) SdtE

JSdBSS

rr

rrr•

∂∂+=•∧∇ ∫∫ 00 εµ

e igualando los integrandos:

∂∂

+=∧∇tE

JB

rrr

00 εµ (65)

que es la forma diferencial de la Cuarta Ecuación de Maxwell del Campo Electromag-nético.

Esta ecuación puede ponerse en función del Vector Campo Magnético o VectorExcitación Magnética, H

r. Este vector representa el campo magnético en cualquier me-

dio material magnético y es tal que su circulación a lo largo de una curva cerrada esigual a la intensidad de corriente convencional que atraviesa el área limitada por la cur-va y no depende para nada de las corrientes de magnetización que puedan existir en elmedio.

Se define así: 0µ

BH

rr

= y cumple ∫ =•L

IldHrr

(66)

luego: ∫Φ+=•dt

dIldH E

0εrr

(67)


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ANEXO

Combinación de las ecuaciones (54):

dtdI

MdtdI

L 211 −−=E y

dtdI

MdtdI

L 122 −−=E

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Despejando dtdI1 en la 1ª :

dtdI

LM

LdtdI 2

11

1 ⋅−−= E y sustituyendo en la 2ª :

.... 2

1

2

1

22

2

11

22 =⋅++−=

⋅−−−−=

dtdI

LM

LM

dtdI

LdtdI

LM

LM

dtdI

LEE

E

1

2

1

221

1

2

1

2

2

.....

LM

dtdI

LMLL

LM

dtdI

LM

LEE +

+−=+

+−=

y despejando: E221

12

MLLML

dtdI

−+−= (a)

Despejando dtdI2 en la 2ª :

dtdI

LM

LdtdI 1

22

2 ⋅−−= E y sustituyendo en la 1ª :

.... 1

2

2

2

11

1

22

11 =⋅++−=

⋅−−−−=

dtdI

LM

LM

dtdI

LdtdI

LM

LM

dtdI

LEE

E

2

1

2

212

2

1

2

2

1

.....

LM

dtdI

LMLL

LM

dtdI

LM

LEE +

+−=+

+−=

y despejando: E212

21

MLLML

dtdI

−+−= (b)

y sumando miembro a miembro ambas ecuaciones (a) y (b) resulta

EEEE 221

212

21

212

21

12

12

221 2MLL

MLLMLL

MLLMLLML

MLLML

dtdI

dtdI

−−+−=

−+−−=

−+−+

−+−=+

----------------------------------------------------------------------------------------------------------


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BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA

Paul LORRAIN y Dale R.CORSON. Campos y Ondas Electromagnéticos. Selec-ciones Científicas. 1972. MADRID.

Francis W.SEARS. Fundamentos de Física II. Electricidad y Magnetismo. Edito-rial Aguilar. 1967. MADRID.

Santiago BURBANO DE ERCILLA, Enrique BURBANO GARCIA y CarlosGRACIA MUÑOZ. Física General. XXXI Edición. Mira Editores. ZARAGOZA.

Jesús RUIZ VAZQUEZ. Física. Editorial Selecciones Científicas. 1972. Madrid.

Robert M.EISBERG y Lawrence S.LERNER. Física: Fundamentos y Aplicacio-nes. Volumen II. Ediciones McGraw-Hill. MADRID.

Emerson M.PUGH y Emerson W.PUGH. Fundamentos de Electricidad y Magne-tismo. Editorial Aguilar. 1965. MADRID.

W.J.DUFFIN. Electricidad y Magnetismo. Ediciones URMO. 1972. BILBAO.

Mario GUERRA, Juan CORREA, Ismael NUÑEZ Y Juan Miguel SCARON. Fí-sica. Elementos Fundamentales. Campo Electromagnético. Campo Gravitatorio. Tomo2. Editorial Reverté. BARCELONA.


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Tratamiento Didáctico----------------------------------------------------------------------------------------------------------OBJETIVOS

Estudio matemático completo del campo electromagnético en todas sus facetas tantolos campos estacionarios como los dependientes del tiempo y en toda clase de mediosmateriales de carácter magnético, para establecer las ecuaciones básicas que regulan sucomportamiento.

Introducir y estudiar el fenómeno importantísimo de la inducción magnética y lasimplicaciones que representan para el desarrollo de la tecnología.UBICACION

El presente tema en el nivel en que está desarrollado currículos de Física y Químicade ESO o Bachillerato. Dado su nivel conceptual, es un tema de Física universitaria porlo que lo ubicaremos en el primer curso de las licenciaturas científicas o técnicas.

En el 2º curso de Bachillerato será necesario la introducción de las ecuaciones deMaxwell para el estudio del campo electromagnético y la Física Moderna.

En los centros de secundaria sólo se explicará parte correspondiente a la Inducciónmagnética y Autoinducción, como base para la generación de la Corriente alterna, sinhacer alusión alguna a las ecuaciones de Maxwell.TEMPORALIZACION

Puede desarrollarse el tema en un periodo de 4 horas para explicar todos sus puntos ydebe completarse con 1 hora para la resolución de problemas numéricos relacionadoscon los fenómenos de inducción electromagnética.METODOLOGIA

Debido a la dificultad conceptual y matemática, el tema debe explicarse con sumocuidado, exhaustivamente, paso a paso y comprobando la comprensión por parte de losalumnos. En la explicación deben incluirse problemas numéricos relacionados con eltema, que ilustren la teoría, ciertamente árida del tema.

Resulta difícil recurrir a ejemplos prácticos de la vida diaria para ayudarnos en la ex-plicación, por lo que el profesor debe hacer participar al alumno en el planteamiento desus dudas para su resolución.

Pueden demostrarse los fenómenos de inducción electromagnética mediante la reali-zación de prácticas sencillas de laboratorio utilizando electroimanes, bobinas, galvanó-metros, motores, etc.CONTENIDOS MINIMOS

Ley de Gauss. Densidad de carga. Dieléctricos. Polarización en dieléctricos.Campo magnético solenoidal. Condición.Inducción electromagnética. Corriente inducida.Inducción Mutua. Autoinducción.Coeficientes de Inducción Mutua y de Autoinducción. Unidades.Ley de Faraday. Ley de Lenz. Interpretación.Ley circuital de Ampère. Corriente de desplazamiento.

MATERIALES Y RECURSOS DIDACTICOSLibros de Electromagnetismo, complementado con apuntes de clase.Materiales de laboratorio: Equipos de magnetismo escolar para prácticas de induc-

ción electromagnética: imanes, bobinas, agujas magnéticas, fuentes de alimentación dec/c, polímetros, electroimanes, etc.

Libros de problemas de electromagnetismo y aplicaciones sencillas de las leyes deMaxwell.


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EVALUACIONPruebas escritas de carácter objetivo sobre conceptos teóricos fundamentales relacio-

nados con el tema valorando la comprensión y razonamiento de conceptos.Pruebas escritas de problemas numéricos que incluya campos creados por corrientes

y fuerzas sobre corrientes y sobre cargas.Pruebas de opción múltiple con preguntas de varias respuestas que obligue al alumno

al razonamiento.

temas de fÍsica y quÍmica (oposiciones de enseñanza...

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