temas 4 y 5

GRUPO DE CAPACITADORES INSTITUCIÓN NUEVO HORIZONTE S.A.C. GRUPO DE CAPACITADORES INSTITUCIÓN NUEVO HORIZONTE S.A.C.

TEMA: PRODUCTOS NOTABLES Los productos notables, son productos importantes, cuyos resultados se deben conocer sin necesidad de efectuar operaciones, se les conoce con el nombre de identidades algebraicas o equivalencias algebraicas ya que se cumplen para cualquier valor que se de a la variable.Los productos notables más importantes son: 1.- 2.- 3.- 2bc4.- 5.- 6.- 7.- 8.- 9.- 10.-11.- + bd12.-Identidades de Legendre: a) b) 13.-Identidades de Lagrange:a) b) +

Identidades Condicionales

Si . a + b + c = 0 . Se verifican:

. a2 + b2 + c2 = –2(ab + bc + ac) .

. (ab + bc + ac)2 = (ab)2 + (bc)2 + (ac)2 .

. a3 + b3 + c3 = 3abc .

PROBLEMAS RESUELTOS1.- Si se cumple que: y ,el valor numérico de: , es:a) 28 b) -28 c) -26 d) 26 e) 52Solución:

Respuesta

2.- Efectuar: a) x8-1 b) x8 c) x16 d) x4-1 e) x4

Solución:

Álgebra Álgebra


x8 Rpta.

3.- Calcular: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 8Solución:

22

4 Rpta.

4.- Simplificar:+49

a) x+1 b) x-1 c) 2x d) 4x e) 0Solución:

+49

Hacemos x2 - x = a

0 Rpta.

PROBLEMAS PROPUESTOS1.- Reducir:

a) x6 b) x4 c) x3 d) 4x e) x2

2.- Reducir:

a) x b) 2y c) y d) 2x e) x + y

3.- Si: , calcular el valor de:

a) 49 b) 25 c) 27 d) 47 e) 23

4.- Sabiendo que: x + y = 5, x.y = 2

Calcular el valor de:

a) 1/3 b) 1/4 c) 1/5 d) 1/2 e) 1/8

5.- Reducir:

a) x b) x2 c) 224 d) 144 e) 12

6.- Hallar el valor de: , sabiendo que: a) 23 b) 110 c) 125 d) 133 e) 25

7.- Reducir:

a) a b) a-1 c) 2a d) 4a e) a/2

8.- Efectuar:

Álgebra Álgebra


a) 8 b) 4 c) -4 d) 2 e) 0

9.- Simplificar:

a)0 b)4 c)x d)-3 e)-x

10.- Simplificar :

11.- Efectuar:

12.- Reducir:

13.- Sabiendo que:

Calcular:

14.- Simplificar:

15.- Simplificar:

EVALUACIÓN DEL TEMA PRODUCTOS NOTABLES

Apellidos Y Nombres:……………………………………………………Lugar:……………………………… Nivel:……………………………Especialidad:…………………………………………INSTRUCCIONES: Lee correctamente cada pregunta y marca una de las 5 alternativas que se presentan.

1.- Reducir a su mínima expresión equivalente:

(xn + 8) (xn + 2) – (xn + 3) (xn + 7)

a) xn b) x2n c) 2xn d) – 5 e) –1

2.- Si la suma de dos números es 7 y su producto es 10: Calcular la suma de sus cuadrados.

a) 29 b) 49 c) 39 d) 109 e) 69

3.- Efectuar:

a) 16 b) 8 c) 12 d) 48 e) 24

4.- Efectuar abreviadamente: (x – 2)2 (x + 2)2 (x2 + 4)2 + 32x4 - 256

a) 2x8 b) 128 c) x8 d) 4x8 e) x4

5.- Si a + b = 11 y ab = 4:

Calcular:

Álgebra Álgebra


a) b) c) d) e) 11

6.- Si: ; calcular

a) 32 b) 17 c) 34

d) 36 e) 6

7.- Efectuar:

a) 5 b) 5 c) 25

d) 1/5 e) 4

8.- Si: a3 – b3 = m ; y ; a – b = n

Hallar ab

a) b) m – m3 c) m + n 3

d) e)

DIVISIÓN ALGEBRAICAOperación que se realiza entre polinomios que consiste en hallar dos polinomios llamados COCIENTE y RESIDUO, conociendo otros dos polinomios denominados DIVIDENDO y DIVISOR que se encuentra ligados por la relación:

. D(x) = d(x) Q(x) + R(x).Donde:D(x): Dividendo

d(x) : DivisorQ(x): CocienteR(x): Residuo o RestoPropiedades de la DivisiónGdo. (D(x)) Gdo. (d(x)) Gdo. (Q(x)) = Gdo. (D(x)) – Gdo. (d(x))

Gdo. (R(x)) < Gdo. (d(x))

Además: Máximo Gdo. (R(x)) = Gdo. (d(x)) – 1

PRINCIPALES MÉTODOS DE DIVISIÓNMétodo de William G. Horner

Álgebra Álgebra

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Pasos a seguir:Coeficiente del dividendo ordenado decrecientemente en una variable completo o completado.Coeficiente del divisor ordenado decrecientemente en una variable, completo o completado, con signo contrario salvo el primero.Coeficientes del cociente que se obtienen de dividir la suma de los elementos de cada columna entre el primer coeficiente del divisor. Cada coeficiente del cociente se multiplica por los demás coeficientes del divisor para colocar dichos resultados a partir de la siguiente columna en forma horizontal.Coeficientes del residuo que se obtienen de sumar las columnas finales una vez obtenidos todos los coeficientes.

OBSERVACIÓN:LA LÍNEA DIVISORIA SE COLOCARÁ SEPARANDO TANTOS TÉRMINOS DE LA PARTE FINAL DEL DIVIDENDO COMO GRADO DEL DIVISOR:

Método de Paolo RuffiniPasos a seguir:Coeficientes del dividendo ordenado decrecientemente, completo o completado, con respecto a una variable.Valor que se obtiene para la variable cuando el divisor se iguala a cero.Coeficientes del cociente que se obtienen de sumar cada columna, luego que el coeficiente anterior se ha multiplicado por (2), y colocado en la siguiente columna.Resto de la división que se obtiene de sumar la última columna

OBSERVACIÓN:SI EL COEFICIENTE PRINCIPAL DEL DIVISOR ES DIFERENTE DE LA UNIDAD, EL COCIENTE OBTENIDO SE DEBERÁ DIVIDIR ENTRE ESTE VALOR.

Teorema del RestoSe utiliza para obtener el resto de una división. Consiste en igualar a cero al divisor y despejar la mayor potencia de la variable, para que sea reemplazada en el dividendo.

Álgebra Álgebra

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OBSERVACIÓN:DESPUÉS DE REALIZAR EL REEMPLAZO, DEBE COMPROBARSE QUE EL GRADO DEL POLINOMIO OBTENIDO SEA MAYOR QUE EL GRADO DEL DIVISOR.

Ejemplo:

Resolución:d(x) = x – 2 = 0 x = 2Reemplazo “x” en D(x):R(x) = (2)3 + 2(2) – 10 R(x) = 2

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

1.- Sea R el resto y Q el cociente de la división:

Hallar Q + R

Rpta.

2.- Hallar el residuo al efectuar:

Rpta.

4.- Si al dividir:

Los coeficientes del cociente son iguales, hallar el resto.

Rpta.

5.- El residuo de la división:

Es igual a –32, cuando “y” vale:

3.- Al efectuar la división:

El residuo, es (–6x–7), hallar: (a.b)

Rpta.

7.- En la división exacta:

Hallar: E = a9 + b6

Rpta.

Rpta.

6.- Al realizar una división por Horner, se obtuvo el siguiente cuadro:

8.- Si

Hallar: S = k + m + n + p + q + r

Rpta.

9.- Dividir e indicar el cociente:

Rpta.

10.- Hallar el término independiente del cociente que se obtiene al dividir:3x12 – 4x9 – x6 + 2x3 – 1 entre x3 + 2

Rpta.

11.- Hallar el residuo al dividir:

12.- Calcular “n” si en la división:

Si la suma de los coeficientes es igual al cuadrado del residuo

Rpta.

13.- Hallar el residuo de dividir:

Álgebra Álgebra

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x7 +x6 +x2 + ax + 6 por x + 1

Si la suma de los coeficientes del cociente es 3.

Rpta.

15.- Indicar el residuo de la división6x3 + 9x2 + 2Ax – 1 entre (2x + 1)Sabiendo que la suma de los coeficientes del cociente es 6.

Rpta.

Rpta.

14.- Calcular el residuo que se obtiene al dividir

16.- En la siguiente división:

Deja como resto 13x + 3Determinar: A/B

Rpta.

EVALUACIÓN DEL TEMA DIVISIÓN ALGEBRAICA

Apellidos Y Nombres:……………………………………………………Lugar:……………………………… Nivel:……………………………Especialidad:…………………………………………INSTRUCCIONES: Lee correctamente cada pregunta y marca una de las 5 alternativas que se presentan.

1.- Hallar el residuo de la división:

a)1 b) x c) x2

d) x + 1 e) x2 + 1

4.- Calcular la suma de coeficientes del polinomio cociente, que se obtiene de la siguiente división:

2.- Hallar el valor de (k + m) para que la siguiente división sea exacta:

a) 5 b) 1 c) 6d) 2 e) 4

3.- El polinomioP(x) = 2x6–x5–11x4+4x3+ax2+bx+cEs divisible separadamente entre los binomios (x–1), (x+1) y (x2–3); según esto, ¿Cuánto vale a+2b+3c?

a) 25 b) –17 c) –15d) 20 e) 18

a) –69 b) 69 c) –65d) –63 e) 63

5.- Sabiendo que el resto de la siguiente división:8x5+4x3+mx2+nx+p entre2x3+x2+3, es: R(x) = 5x2–3x–7; calcular el valor de: (m+np)

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

6.- Encontrar la relación entre “p” y “q” para que: x3 – 3px + 2q; sea divisible entre (x+a)2

a) p = q b) p2 = q c)p3 = q2

d)p = 2q e)p = –q

7.- Dar la suma de coeficientes del cociente de la siguiente división indicada:

a) 24 b) 22 c) 20d) 23 e) 26

9.- Calcular: ; sabiendo que al dividir: (ax2 – ax – 2b) entre (ax + b) se obtuvo como resto ”2b” y además el término independiente del cociente es (–4a)

Álgebra Álgebra


8.- Al efectuar la división indicada: se obtiene como residuo (x – 2). Determinar el resto que se obtiene al efectuar:

a) x b) x + 1 c) x – 2d) 3x – 2 e) 11x –2

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

10.-Al dividir el polinomio:P(x) = 2x5–3x4–x3+1entre x3+x2+bx+bSe obtiene del resto R(x). Hallar el resto de dividir dicho resto entre x+1

a) –6 b) –1 c) –3d) 1 e) 4

Álgebra Álgebra

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