tema_arboles_y_ejes

8/2/2019 Tema_Arboles_y_ejes

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Tema: rboles y ejes. Clculos.

Introduccin.

Como es conocido, los rboles y ejes son elementos de mquinas sobre los cualesse montan las partes giratorias de las mquinas, resultando ser los verdaderos ejesgeomtricos de estas partes en rotacin. Los rboles, a diferencia de los ejes,adems de sostener los elementos giratorios trasmiten momentos torsores, porconsiguiente, los rboles resultan cargados, no solo por esfuerzos normales debidoa los momentos flectores, sino tambin, por esfuerzos tangenciales generados pormomentos torsores, en toda la longitud o en sectores aislados del rbol.

Por la forma del eje geomtrico del rbol se distinguen los rboles rectos y losrboles acodados (cigeales). Los rboles cigeales se emplean siempre que serequiera transformar en una mquina el movimiento alternativo en movimientogiratorio o viceversa. Como se comprender, los rboles cigeales son

caractersticos de construcciones especiales, lo que hace que los criterios para eldimensionado previo y su clculo no sean tratados en este curso. Tambin losrboles flexibles con ejes curvilneos constituyen un grupo especial no tratados eneste material.

En cambio la gran difusin de los rboles rectos en la ingeniera mecnica moderna,hace necesario que sean objetos de estudio, con nfasis en el anlisis de loscriterios de dimensionado previo y de comprobacin de la capacidad de carga.


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Diferentes tipos de rboles rectos.

1.Ranura para permitir la salida de la muela de rectificado, o un tallado querequiera diferencia de dimetros entre las secciones contiguas.

2. Muones de apoyo para los cojinetes de rodamiento o deslizamiento .Pueden ser cilndricos o cnicos y generalmente son zonas endurecidas


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superficialmente entre los 48 y 52 HRC. En el caso de muones para cojinetes derodamientos debe tenerse en cuenta que su dimetro debe coincidir con la serie delos dimetros de montaje de los rodamientos, usualmente mltiplos de 5.

3. Escaln de apoyo. Sirve para absorber las cargas axiales en los rboles,

producto de los elementos que se vinculan a el, y trasmitirlas a los apoyos y anclajede las mquinas. Otro objetivo, es el garantizar la correcta disposicin axial de loselementos en el montaje.

4.Zona de ajuste para el montaje. En caso de no estar en un extremo del rbol,se realiza con un dimetro mayor que las secciones contiguas para permitir elmontaje de los elementos. Se recomienda un endurecimiento de la zona entre 48 y52 HRC.

5. Zona de transicin. Son superficies que suavizan los cambios de seccin ydisminuyen los concentradores de tensin. Suelen ser circulares o elpticas. Esrecomendable que sean empleadas superficies con radios mayores al 10 % deldimetro menor de las secciones vinculadas.

6.Biseles. Se emplean para centrar las piezas durante el montaje y tambin paraevitar cortaduras de los operarios durante la manipulacin de los rboles.

7. Chaveteros.

8.Zona de centraje. Esta es una zona del rbol contigua a una zona de montaje,con dimensiones ligeramente menores que la de montaje, para facilitar estaoperacin y el centrado de los elementos.

Los materiales empleados para la construccin de los rboles deben distinguirse porlas caractersticas de: resistencia suficientemente alta, pequea sensibilidad a laconcentracin de tensiones, capacidad de poder ser tratados trmica y qumico -

trmicamente y poseer buena maquinabilidad.Tomando lo anterior en consideracin es indiscutible que el material ms empleadopor su excelencia es el acero. Por ello durante este curso sern tratados conexclusividad los rboles rectos de acero, para los cuales se brindan algunasespecificidades de los materiales empleados.

El acero como material de rboles y ejes.

La seleccin de los materiales es una de las partes que integran el diseo decualquier pieza de las mquinas; en determinados casos no se presta a este asuntotoda la atencin que merece, y hemos de insistir sobre tan fundamental tema

recordando que, antes de decidirse por un material determinado, por sencilla y pocaimportancia que se le conceda a una pieza a construir, se elija el que rena lascaractersticas ms apropiadas, no ya solo por su resistencia, sino por su facilidadde maquinado y tratamiento, y muy especialmente tambin, por el factor econmicoque puede influir notablemente en el costo de fabricacin, por tanto, ha de elegirseel ms apropiado con todo detenimiento.

La resistencia y rigidez son factores clave siempre tomados en cuenta en laseleccin de un material. Igualmente importantes es la confiabilidad relativa y la


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durabilidad de la pieza cuando se consideran alternativas posibles con respecto almaterial.

El acero es el material que se usa con ms frecuencia para la construccin de losrboles y ejes. Variando adecuadamente la composicin, el tratamiento trmico y el

tratamiento mecnico pueden obtenerse propiedades mecnicas que se encuentrenentre mrgenes muy amplios. Para la seleccin apropiada de la composicin delacero son fundamentales tres relaciones bsicas:

1. Todos los aceros tienen esencialmente el mismo mdulo de elasticidad.Entonces, si el requisito decisivo del rbol o eje es la rigidez, como todos losaceros se comportan igual, debe seleccionarse el de menor costo (incluyendo loscostos de fabricacin).

Tabla 1. Composicin qumica de algunos aceros.)

Aceros

Denominacin

GOST

Tratamientotrmico

Composicin qumica

C (%) Mn

(%)

Si

(%)

Cr

(%)

Ni (%)

Al carbono decalidad Normal

CT 3 ST 0,14-0,22

CT 4 ST 0,180,27

CT 5 ST 0,28-0,37

CT 6 ST 0,38-0,49

CT 7 ST 0,50-0,62

10 N 0,07-0,15

15 N 0,12-0,20

Al carbono de

alta calidad

20 N 0,17-0,24

25 N 0,22-0,30

35 TR O,32-0,40

45 TR 0,42-O,50

55 TR

65 TR

15X TR


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20X TR

Aleados alcromo

30X TR

35X TR

40X TRAl cromo

manganeso silicio

20XC TR

30XC TR

Al cromo nquel

50XH TR

Anticorrosivo 1X13 TR

3X13 TR

Para muelles 50C2 M

2. El contenido de carbono, casi por s solo, determina la mxima dureza quepuede desarrollarse en el acero. El mximo potencial de dureza segn elcontenido de carbono puede llegar hasta cerca de 0,7%. Esto significa que sepuede aplicar un tratamiento trmico a las partes con forma regular,relativamente pequeas, hechas con acero simple al carbono para obteneresencialmente la misma dureza y resistencia que se lograra con los aceros dealeacin ms costosa.

3. Los elementos de aleacin (manganeso, molibdeno, cromo, nquel y otros)elevan la templabilidad del acero. Por lo tanto, el potencial de dureza yresistencia (el cual est controlado por el contenido de carbono) puede

obtenerse con tratamientos trmicos menos drsticos usando dichos elementosde aleacin.

Generalmente, los rboles y ejes son hechos de barras circulares de acero al carbnestirado en fro. Son usadas barras de acero aleado cuando se requiere tenacidad,resistencia al impacto y alta resistencia en materiales disponibles de modocomercial. En estos casos, los rboles y ejes pueden tratarse trmicamente paraobtener las propiedades requeridas. Cuando la resistencia al desgaste en lasuperficie es un factor muy importante, puede usarse acero de cierto grado decarburacin. Sin embargo, para no aumentar el costo, el diseador deber tratar de

usar un acero con bajo contenido de carbono, si esto fuera posible, yposteriormente garantizar un endurecimiento local por tratamiento trmico otrmico-qumico.

Las barras de acero estiradas en fro tienen las propiedades fsicas superiores a lasbarras estiradas en caliente del mismo material, destacndose una mayorresistencia a la fluencia, a la fractura y a la fatiga. Sin embargo, los valores defatiga altos a veces son afectados por los esfuerzos residuales de tensin en lasuperficie que son causados por el estirado en fro.


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Prcticamente es aconsejable que las caractersticas mecnicas de los aceros seandeterminadas por el constructor y/o proveedor, mediante ensayos de los materialesempleados y/o disponibles para la fabricacin de los rboles y ejes, con la intencinde conocer exactamente los valores limites de resistencia y realizar clculosprecisos de los coeficientes de seguridad.

Criterios para el dimensionado previo de rboles.

Durante el diseo de rboles de transmisin, se hace necesario asegurar en estoselementos de mquinas: resistencia mecnica, rigidez suficiente y un rgimen deexplotacin no coincidente con el rgimen de resonancia del sistema. La tarea deasegurar las anteriores condiciones es una parte integrante del proceso deproyeccin de los rboles y ejes. Generalmente una etapa importante de esteproceso se vincula a los criterios empleados durante el dimensionado previo, quepermiten determinar aquellas dimensiones bsicas del rbol que garanticen unaadecuada capacidad de trabajo y un costo aceptable segn las exigencias defiabilidad establecidas en el diseo.

Es indiscutible que el criterio de dimensionado previo de los rboles empleado conmayor frecuencia por los proyectistas es el asociado con un clculo clsico deresistencia mecnica. A pesar de ser reconocido en este criterio numerosasconveniencias, debemos de ser conscientes de que no toma en consideracinaspectos tales como: dimensiones necesarias en las secciones que satisfacen lacapacidad de trabajo de otros elementos vinculados a los rboles como los cojinetesde rodamiento y de deslizamiento, la suficiente rigidez de los rboles establecida deacuerdo con las condiciones de explotacin y del funcionamiento normal delconjunto y variacin de las magnitudes de las cargas, entre otros aspectos. Muchasveces, criterios para el dimensionado previo que emplean dependencias empricas oempricas convencionales satisfacen ms convenientemente esta etapa del

proyecto, que aquellos criterios clsicos de resistencia mecnica, que requieren dela suposicin de esquemas de montajes y distancias entre apoyos para el clculo delos momentos flectores en los rboles en la etapa de diseo previo.

A continuacin, sern brindados varios criterios para el dimensionado previo derboles rectos de acero con montaje horizontal, basados en dependencias empricasy frmulas clsicas de Resistencia de Materiales, de forma tal que se disponga de ungrupo de criterios prcticos para el dimensionado previo de las secciones bsicas deestos tipos de rboles.

Dimensionado previo segn dependencias empricas.

La base de este criterio de dimensionado previo es la experiencia obtenida de otras

construcciones, verificadas durante la explotacin y que han demostrado unaseguridad y fiabilidad aceptable. Estos diseos confiables permiten establecerrelaciones practicas entre las dimensiones bsicas del rbol y parmetrosfundamentales del componente o agregado de mquina donde ser empleado elrbol que se disea. Este mtodo debe ser aplicado en rboles donde no es exigidauna optimizacin de las dimensiones y se desea tomar la experiencia prcticaanterior. A continuacin son brindados algunos ejemplos:

a) Reductor de velocidad de una etapa compuesto por engranajes cilndricos:


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( ) m1 d2,1....80,0d y ( ) W2 a35,0....30,0d

b) Reductor de velocidad de una etapa compuesto por engranaje de tornillosinfn:

( ) W2 a40,0....35,0d c) rbol de levas de un motor de combustin interna:

( ) CL D30,0....25,0d

Donde:

:d1 Dimetro del extremo en voladizo del rbol rpido.

:d2 Dimetro del extremo en voladizo del rbol lento.

:dm Dimetro del extremo del eje de un motor con igual momento torsor nominalque el momento torsor nominal del rbol rpido del reductor de velocidad.

:aW Distancia interaxial entre los rboles del reductor de velocidad.

:dL Dimetro del mun del rbol de levas.

:DC Dimetro de los cilindros del motor de combustin interna.

Dimensionado previo segn dependencias semiconvencionales.

De no existir dependencias empricas seguras para el rbol que se desea proyectar,puede ser utilizado un clculo semiconvencional donde solo se considera elmomento torsor y no se requiere de una evaluacin inicial del momento flector, enuna etapa en que an no se han determinado las dimensiones del rbol en longitud,

ni se conoce con precisin la ubicacin exacta de los apoyos.Planteando la condicin de resistencia mecnica a esfuerzos tangenciales debido ala torsin de una seccin circular, puede ser obtenida una fcil ecuacin para eldimensionado previo:

[ ]

d

d1.

16

d.

M4

03

tmt

=

Siendo:

[ ]

[ ]mm

.d

d1.

16.Md3

4

0

t


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Donde:

:MT Momento torsor en la seccin del rbol [ ]mmN

:d Dimetro de la seccin analizada del rbol [ ]mm

:d0 Dimetro interior de la seccin del rbol [ ]mm . En caso de rboles macizos

debe ser tomado 0d0 = . Generalmente la proporcin 6,0...4,0d

d

0

= en rboles

huecos.

[ ] : Esfuerzo tangencial admisible segn ciclo de carga del torsor [ ]MPa .

Generalmente en este clculo, como es despreciado el efecto del momento flector,deben de ser tomados valores muy bajos del esfuerzo tangencial admisible,previendo que posteriormente el rbol garantice una resistencia suficiente a lacombinacin de los esfuerzos normales (debido al momento flector que no ha sido

considerado en la etapa de dimensionado previo) y los esfuerzos tangenciales. Confrecuencia se adoptan coeficientes de seguridad entre 10 y 20, los que reportanvalores de esfuerzos tangenciales admisibles entre 12 y 20 MPa para los acerostpicos de rboles.

Una forma bastante difundida de aplicar este clculo fue la prevista en la normaGOST 12080-66 (ratificada hasta 1985) y tambin asumida por las antiguas normasCAME para extremos de rboles. La referida norma establece un clculo previo muysencillo y con buenos resultados prcticos mediante el empleo de la siguientefrmula:

[ ]mmK

M

d 3CAL

t

extext

Donde:

:Mextt Momento torsor en el extremo del rbol [ ]mmN .

:dext Dimetro del extremo del rbol [ ]mm .

:KCAL Coeficiente de clculo [ ]MPa .

Tabla 3. Coeficiente de clculo [ ]MPaKCAL , en dependencia de ciclo de carga del

momento torsor [ ]mm-MMt y de la fuerza en voladizo [ ]NF , considerando lalongitud mxima del extremo del rbol extext 3dl .

Lmite derotura atraccin

[ ]MPatr

Momento torsor ( )tM puro

Momento torsor ( )tM con fuerza ( )F envoladizo

tM8F tM8F

1 2 3 1 2 1 2


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500 850 8,0 5,6 4,0 5,6 4,0 2,8 2,0

850 1200 11,2 8,0 5,6 8,0 5,6 4,0 2,8

Ms de 1200 16,0 11,2 8,0 11,2 8,0 5,6 4,0

Simbologa:

1. Momento torsor constante.

2. Momento torsor intermitente.

3. Momento torsor alternativo.

Dimensionado previo segn Cdigo ASME.

Este mtodo fue establecido por la Asociacin Americana de Ingenieros Mecnicos

(ASME) en 1927 y fue reconocido hasta principios de los aos 60. Su fundamento estericoemprico y fue empleado para proyectar rboles durante muchos aos y, porello, es una informacin que debe tener en su poder un proyectista mecnico quetrabaje en el rea del diseo de transmisiones.

El Cdigo ASME establece un valor de esfuerzo tangencial admisible,correspondiente a la ms pequea de las dos magnitudes siguientes;

[ ] ctft f..30,0 = [ ] ctrt f..18,0 =

En la cual:

:ft Esfuerzo lmite de fluencia del material [ ]MPa .

:rt Esfuerzo lmite de rotura del material [ ]MPa .

:fct Factor de concentracin de tensiones. Debido a chaveteros o zonas de cambio

de seccin en el rbol, para tales casos 85,0fct = . En caso de no existir

concentradores de tensiones 0,1fct = .

La ecuacin para el dimensionado previo segn el Cdigo ASME est basada en lateora de fallo por el mximo esfuerzo cortante, para la cual es calculado unmomento torsor equivalente:

( ) ( ) [ ]mm-NM.CM.CM 2tT

2

fFte +=

[ ]

[ ]mm

.d

d1.

16.Md3

4

0

te

Donde:


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:Mte Momento torsor equivalente [ ]mmN .

:CF Coeficiente que modifica la flexin.

:CT Coeficiente que modifica la torsin.

Tabla 4. Valores de los coeficientes FC y FC .

Tipo de cargaFC FC

Eje fijo

Carga constante o aplicada gradualmente 1,0 1,0

Carga aplicada de forma repentina 1,5 2,0 1,5 2,0

Eje o rbolque rota

Carga constante o aplicada gradualmente 1,5 1,0

Carga aplicada de forma repentina conchoques ligeros

1,5 2,0 1,0 1,5

Carga aplicada de forma repentina conchoques fuertes

2,0 3,0 1,5 3,0

Dimensionado previo segn criterio convencional de resistencia mecnica.

Como se conoce, para el dimensionado previo de los rboles, segn el criterio deresistencia mecnica, es necesario calcular los momentos de flexin y de torsin enlas secciones del rbol. Por tal motivo, debe ser confeccionado un esquema delrbol que permita su anlisis como una viga montada sobre apoyos, donde estos se

disponen de forma aproximada a la prevista para el diseo final. Deben ser ubicadasconvenientemente las cargas generadas por los elementos que el rbol debesoportar y de aquellos que se vinculan a l. En muchos casos, se puede despreciarla influencia del propio peso de los elementos, como tambin la magnitud delmomento de las fuerzas de friccin en los cojinetes.

Generalmente la forma de la distribucin de la carga por las superficies portantes yde apoyo con frecuencia es desconocida, por lo que la carga calculada puedesuponerse uniformemente distribuida o, mucho ms cmodo, a menudoconcentrada. En caso de que se desee, durante el clculo de los momentosflectores, precisar la ubicacin de los apoyos en los rboles y ejes pueden servircomo referencia los siguientes esquemas.


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Las cargas en los rboles y ejes se trasmiten a travs de las piezas montadas enestos, como son las ruedas dentadas, las poleas, acoplamientos, etc. En caso declculos sin exigencia de gran precisin, se adopta que las piezas acopladas con elrbol trasmiten las fuerzas y momentos exactamente en la mitad de la longitud delencaje. Para casos con mayor exigencia de exactitud, conviene tomar las fuerzas y


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momentos aplicados cercanos a los bordes de la zona de encaje segn se muestraen la figura 4, tomndose los mayores valores para los montajes con interferencia ycubos rgidos y los menores valores para los ajustes deslizantes con cubos flexibles.

El esquema confeccionado posibilitar determinar las magnitudes de los momentosflectores y torsores indispensables para la aplicacin del criterio de resistenciamecnica.

Cuando sobre el rbol actan cargas en distintos planos, stas se descomponen endos planos mutuamente perpendiculares, generalmente conocidos como planos XZy YZ(horizontal y vertical, respectivamente), en los cuales son determinados losmomentos flectores XM y YM . Con el objetivo de hallar el momento resultante, losmomentos de flexin en los planos mutuamente perpendiculares se sumanvectorialmente, aplicando Pitgoras, tal y como se expresa en la siguiente ecuacin:

[ ]mm-NMMM 2Y2Xf +=


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a) Para el caso de ejes, donde solo actan momentos flectores, el criterio deresistencia mecnica permite obtener la siguiente frmula para el dimensionadoprevio de la seccin ms cargada:

[ ]

[ ]mm

.d

d1.

32.Md

3

4

0

f

Donde:

:Mf Momento flector en la seccin del eje [ ]mmN .


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[ ] : Esfuerzo normal admisible por flexin [ ]MPa .

En la anterior frmula, debe de ser considerado el mismo ciclo de carga para elesfuerzo admisible que el del momento flector resultante en la seccin analizada.Para ejes fijos debe de ser empleado el esfuerzo admisible segn el ciclo de la carga

externa que soporta. Para ejes que giran debe ser empleado el esfuerzo admisiblepara una flexin alternativa y simtrica f1 .

b) En rboles donde solo se soportan momentos torsores, caso tpico de losrboles de transmisin, la aplicacin del criterio de resistencia mecnica permiteobtener la siguiente frmula para el dimensionado previo de la seccin mscargada.

[ ]

[ ]mm

.dd1.

16.Md

3

4

0

t

Donde:

:Mt Momento torsor en la seccin del eje [ ]mmN .

[ ] : Esfuerzo tangencial admisible por torsin [ ]MPa . Debe ser considerado elmismo ciclo de carga para el esfuerzo admisible que el del momento torsor en laseccin analizada.

c) Los casos de rboles sometidos a un estado tensional simple son menos

frecuentes en la prctica, pues usualmente los rboles estn sometidos aesfuerzos normales y tangenciales, provocados principalmente por una actuacincombinada de momentos flectores y torsores en la seccin analizada. Aunquepara el anlisis del efecto de los esfuerzos combinados en la resistencia delmaterial existen varios criterios, de ellos, los ms empleados son losestablecidos por la Hiptesis de la Tensin Tangencial Mxima (Mohr, Guest,Coulomb) y la Hiptesis del Trabajo Especfico de la Deformacin de lasTensiones Tangenciales (Mises, Huber y Hencky). Las pruebas demuestran queestas hiptesis ofrecen valores prcticamente aceptables para los rboles deacero que soportan momentos flectores y torsores.

Criterio de Resistencia de Mohr:

[ ] += .4 22eqCriterio de Resistencia de Von Mises:

[ ] .3 22eq +=


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En el caso de una seccin circular, puede ser calculado un momento flectorequivalente, segn los dos criterios anteriores y ser obtenido un dimetro previopara la seccin analizada.

Criterio de Resistencia de Mohr:

[ ]mm-NMMM 2t2ffe +=

Criterio de Resistencia de Von Mises:

[ ]mm-NM75,0MM 2t2ffe +=

De esta forma la ecuacin para el dimensionado previo ser:

[ ]

[ ]mm

.d

d1.

32.Md

3

f1

4

0

fe

Donde:

: Esfuerzo normal en la seccin [ ]MPa .

: Esfuerzo tangencial en la seccin [ ]MPa .:e Esfuerzo normal equivalente en la seccin [ ]MPa .

:Mf Momento flector resultante de los planos rectangulares [ ]mmN .

:Mt Momento torsor en la seccin [ ]mmN .

:Mfe Momento flector equivalente en la seccin [ ]mmN .

[ ] :f1 Esfuerzo admisible por fatiga para una flexin alternativa y simtrica [ ]MPa .

Durante la etapa de dimensionado previo no se evidencian diferencias significativas

en los resultados al emplear el criterio de Mohr o de Von Mises, aunque es unapractica aceptable emplear el criterio de Mohr durante el dimensionado previo y elcriterio de resistencia de Von Mises en la etapa de comprobacin.

Clculo de comprobacin de la resistencia a la fatiga.

Los clculos modernos de la resistencia a la fatiga reflejan el carcter de la variacinde los esfuerzos, las caractersticas estticas y de fatiga de los materiales, laconcentracin de tensiones, el efecto del tamao en la resistencia, el estado de lasuperficie, el efecto de la temperatura, la cantidad de ciclos de carga y la fiabilidad


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exigida en el diseo. El clculo de comprobacin suele llevarse a cabo en forma deverificacin del coeficiente de seguridad. Para el clculo es necesario conocer lascomponentes constantes de los esfuerzos normales m y de los esfuerzos

tangenciales m , as como las componentes variables (amplitud) de los esfuerzos

normales a y los esfuerzos tangenciales a .

Numerosos han sido los ensayos con diferentes combinaciones de esfuerzos medio yde amplitud para determinar el comportamiento a la fatiga de los materiales en elcaso de ejes y rboles de acero. Algunos de los criterios difundidos para considerarla superposicin del efecto de las tensiones de fatiga (cargas de amplitud) con lastensiones estticas (cargas medias) son mostrados en la figura 7. Se ha dicho queel ProfesorJoseph Marin de la Universidad del Estado de Pennsylvania en EUA fue elprimero en proponer que las relaciones de resistencia a la fatiga se expresenmediante una ecuacin en la siguiente forma:


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mp

ft

m

m

f1

a

n

1.N

=

+

Donde::ft Esfuerzo lmite por fluencia a traccin.

:f1 Esfuerzo lmite por fatiga para una flexin alternativa y simtrica.

:a Esfuerzo normal de amplitud.

:m Esfuerzo normal medio.

:n Coeficiente de seguridad a la fatiga.

:N Factor por consideracin de la fluencia o fractura en el criterio de fallo.

Tabla 5. Valores de los exponentes m , p y el factor N, segn los diferentescriterios de resistencia a la fatiga.

Criterios de curvas continuas defallo

N m p

Criterio de Soderberg (EUA, 1930) 1,0 1,0 1,0

Criterio de Goodman (Inglaterra,1899)

rt

ft

1,0 1,0

Criterio de Curva Cuadrtica o

Elptica (ASME, EUA)

1,0 2,0 2,0

Criterio de Kececioglu (Formasemihelptica para acero)

1,0 2,6 2,0

Criterio de Curva Parablica deGerber(Alemania, 1874)

rt

ft

1,0 2,0

Criterio de Bagci 1,0 1,0 4,0

Desde los aos 80 del pasado siglo, el criterio de una curva cuadrtica o elptica,propuesto en un inicio por el estadounidense Sullivan, es una de las hiptesis ms

empleadas para verificar el posible fallo de los rboles de acero con uso industrial.Este es el criterio es recogido en la norma ANSI/ASME B106.1M-1985 y aceptado enla norma AGMA 6001-D97 para el clculo de comprobacin de rboles detransmisin.

Clculo de Comprobacin Segn Norma ASME B106.

La referida norma establece que el clculo de resistencia a la fatiga sea verificadosegn:


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22

ft

me

2

f1

ae

n

1

.k

=

+

Esta relacin permite determinar el coeficiente de seguridad a la fatiga del materialdel rbol, en la seccin analizada, empleando la siguiente ecuacin:

2

ft

me

2

f1

ae

.k

1n

+

=

Donde:

:ae

Esfuerzo de amplitud equivalente segn criterio de Von Mises [ ]MPa .:me Esfuerzo medio equivalente segn criterio de Von Mises [ ]MPa .

:k Coeficiente modificador de la resistencia a la fatiga.

Los valores del esfuerzo lmite por fatiga para un flector alternativo -1f y delesfuerzo lmite por fluencia a traccin ft deben ser precisados para el material delrbol. En caso de rboles de acero, cuando sean desconocidos estos valores (o nose desee emplear la tabla 2), ellos pueden ser estimados segn las siguientesrelaciones, donde HB representa la dureza en Grados Brinelldel ncleo de la seccinanalizada.

[ ]MPaHB.45,3rt = [ ]MPa2,8694,0 rtft =

En caso de: MPa1389rt , entonces debe ser empleado:

( ) [ ]MPa6,0...4,0 rtf1 En caso de: MPa1389rt , entonces debe ser empleado:

MPa690f1 =Clculo del coeficiente modificador de la resistencia a la fatiga.

Como es conocido el lmite de fatiga de la seccin de un rbol puede ser diferentedel encontrado en el ensayo de una probeta con igual dimetro. El rbol, encomparacin con la probeta del ensayo, puede tener diferente estado superficial,entalladuras concentradoras de tensiones o puede que soporte un nmero diferentede ciclos de carga. Por tales motivo, se ha sugerido el empleo de factoresmodificativos para tener en cuenta separadamente estos y otros efectos, los cualesson agrupados en un coeficiente K modificador de la resistencia a la fatiga.

Siendo:


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Ka : factor por acabado superficial.

Kb : factor por tamao.

Kc : factor por fiabilidad.

Kd : factor por temperatura.Ke : factor por durabilidad.

Kf : factor modificador por concentracin de tensiones.

El objetivo final de la evaluacin del coeficiente K es la determinacin de unamagnitud que permita determinar el esfuerzo lmite por fatiga real -1fR, de formaque sean considerados los factores ms importantes en la modificacin del esfuerzolmite de una seccin existente bajo carga, donde influyen condiciones fsicas,ambientales y de explotacin no consideradas en las probetas de ensayo tomadascomo muestra en la determinacin de los valores lmites por fatiga del material -1f.

El coeficiente modificador de la resistencia a la fatiga Kdepende de varios factoresque a veces se escapan de la representacin matemtica simple y exacta. Ladeterminacin de su valor se efecta a travs de varios coeficientes intermedios,que luego son modificadores de otros. Una breve explicacin de cada uno de ellosse brinda a continuacin.

Factor por acabado superficial Ka.

El estado de la superficie de la seccin analizada tiene gran influencia sobre suresistencia a la fatiga. En este sentido, deben ser considerados varios factores queson tenidos en cuenta en el referido coeficiente general de la superficie Ka.

El primer factor, cuya influencia es evidente, es la estructura geomtrica de lasuperficie. Las muescas del maquinado, producidas por las herramientas, actancomo microentalladuras, que provocan concentraciones de esfuerzos de manerasimilar a las macro-entalladuras. Sin embargo, la influencia del maquinado no selimita a la geometra de la superficie; el corte mecnico de metales estacompaado por deformaciones plsticas de la capa superficial.


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Como primera causa puede ser citada las diferencias estructurales que pueden serobservadas en las piezas de materiales laminados o forjados de menor tamao quesufren deformaciones plsticas y mejoran su resistencia. Adicionalmente, loselementos fundidos tienen los cristales tanto mayores, cuanto mayores son sustamaos, y por consiguiente menor resistencia. Tambin en una pieza de mayortamao, la cantidad de lugares localmente debilitados, que pueden dar inicio a lasgrietas de fatigas es mayor, y la probabilidad crece. Valores del factor por tamaoKb pueden ser obtenidos de la figura 9.

(Fig.9)

Analticamente el clculo puede ser efectuado por:Factor por fiabilidad. Kc.

Los ensayos realizados para determinar los valores lmites de esfuerzos no estnlibres de dispersin en sus resultados y debe ser tenida en cuanta estaincertidumbre a la hora de establecer un nivel de fiabilidad en el diseo y/o clculo.Por ello, el factor de fiabilidad Kc es determinado en dependencia del nivel defiabilidad y de dispersin de los valores obtenidos como limites por resistencia delmaterial en los ensayos realizados.

A travs de los resultados de los ensayos de fatiga con probeta rotatoria, secomprueba que las desviaciones standard de las resistencias a la fatiga estncomprendidas entre el 4% al 10% del valor nominal de los esfuerzos. Al menos

que se posea una informacin exacta, es aconsejable tomar un valor de Kc = 0,817correspondiente a una fiabilidad del 99% en los ensayos. La frmula y valores dadosen la figura 10 son determinados considerando una distribucin normal de lavariable y con una desviacin standard de la media del 8%.


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(Fig. 10)Analticamente el clculo puede ser efectuado por:

Factor por temperatura Kd.

Los valores extremos de temperatura de operacin afectan los lmites de fatiga delacero. Sin embargo, para un rango de temperatura de trabajo entre -30C y 120Clas caractersticas de la mayora de los aceros son prcticamente constantes. En

cambio para temperaturas mayores es recomendable disminuir los esfuerzos lmitesdel acero empleando los valores del factor Kddados en la siguiente tabla 6.

Tabla 6.- Factor por temperatura dk .

Temperatura

(oC) 300 350 400 450 500 550 600

dk 0,975 0,927 0,922 0,844 0,766 0,670 0,540

Para T = 30 120 oC tomar 0,1kd =

Factor por durabilidad Ke.Debe ser tenido en cuenta que el esfuerzo lmite por fatiga es determinadogeneralmente para un nmero de ciclos de carga igual a 106 en el caso del acero,valor para el cual se observa la recta asinttica que marca la definicin del limitepor fatiga. Por ello, en aquellos casos donde se prev que los rboles y ejessoporten una cantidad de ciclos de carga inferior al nmero bsico Nb = 106, esconveniente, que sean empleados valores mayores de esfuerzos limites.

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