tema7 flexion hiperestaticidad

Tema 7: Flexión: Hiperestaticidad

Tema 7: FLEXIÓN: HIPERESTATICIDAD

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7.1.- INTRODUCCIÓN Según vimos en la sección 4.4 una viga o una estructura se dice que es hiperestática cuando:

2

número de ecuaciones de equilibrio < número de incógnitas de las reacciones

Éstos casos suelen presentarse cuando la viga o la estructura tiene apoyos (ligaduras) de más Se denomina “grado de hiperestaticidad” :a la diferencia entre el número de incógnitas de las reacciones y el número de ecuaciones de equilibrio de la estática. También vimos que para resolver la hiperestaticidad era necesario añadir “ecuaciones de deformación”, tantas como sea el grado de hiperestaticidad, de tal forma que:

nº ecuaciones de equilibrio+ nº ecuaciones de deformación=nº incónitas

El método de resolución será el transformar la viga hiperestática en una viga isostática equivalente, liberándola de sus ligaduras de más y sustituyendo sus acciones por fuerzas o momentos de magnitudes tales que la viga isostática conserve las coacciones que las ligaduras ejercían sobre la viga hiperestática. En este tema estudiaremos las vigas hiperestáticas de un solo tramo y las de dos o mas tramos (vigas continuas), trabajando a flexión. 7.2.-VIGAS DE UN SOLO TRAMO Hagamos su estudio a través del siguiente ejemplo:

nº ecuaciones equilibrio:2 nº incógnitas de las reacciones: 3

s una viga hiperestática de primer grado. Tiene una ligadura de más, pues podríamos

RA, MA, RB Esuprimir en ella el apoyo B o bien sustituir el empotramiento en A por un apoyo articulado fijo, según se muestra a continuación:

)22

..

)1.

LL

L

ABA

BA

(.0 LqMRM =+=∑

(0 qRRF =+=∑MA q

A B

RA RB L Fig.7.1

q

L

A B

L

q

A BFig.7.2

Sección 7.2: Vigas de un solo tramo

3

i suprimimos el apoyo B, la viga isostática que resulta, para que fuera equivalente a la

esolviendo el sistema formado por las ecuaciones: (1), (2) de equilibrio y la ecuación

i hubiésemos optado por suprimir el empotramiento en A por un apoyo articulado fijo,

esolviendo el sistema formado por las ecuaciones: (1), (2) de equilibrio y la ecuación

.3.-VIGAS CONTINUAS

Sdada, deberíamos incluir la fuerza RB e imponer la condición (ecuación de deformación):

L

q

R(3) de deformación obtendríamos las reacciones en los apoyos: RA, MA, RB Sla viga isostática que resulta, para que fuera equivalente a la dada, deberíamos incluir el momento MA e imponer la condición (ecuación de deformación):

R(3) de deformación obtendríamos las reacciones en los apoyos: RA, MA, RB 7

as vigas continuas son vigas que tienen más de dos apoyos. Normalmente se utilizan

un solo tramo a continuación una de otra:

Lcuando los vanos a cubrir son grandes.

No obstante, para cubrir esos vanos grandes, se podría optar por colocar varias vigas de

RBRA

MA

A B

Fig.7.3

0=By

L

q

R

(3)

BRA

A B

MA

Fig.7.4

Fig.7.5

Fig.7.6

0=Aϑ (3)


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entajas de las vigas continuas frente a las varias vigas de un solo tramoV as vigas continuas dan momentos flectores y flechas de menor magnitud que las de un

.a y b., abajo

ientes que presentan las vigas continuas frente a las de un olo tramo, es que aquellas son sensibles a los desplazamientos (asientos) que puedan

ulo de las vigas continuas

Lsolo tramo. Ésto se puede apreciar en el ejemplo de las figuras 7.7representadas, lo que lleva consigo vigas de menor sección transversal y por tanto, más económicas

Por el contrario, los inconvenssufrir los apoyos, lo que proporcionaría nuevos momentos flectores y por consiguiente más tensiones inducidas. Procedimiento para el cálc

as vigas continuas son vigas hiperestáticas y por tanto podremos resolverlas según el a isostática equivalente

quilibrio: 3

Lprocedimiento general, visto en 7.1, a través de la vigEjemplo:

Esta viga tendrá: nº ecuaciones de e

Mz Mz

y y

R1 R2 R3 Rm-1 Rm

H1 1 2 3 m-1 mFig.7.8

)000( === ∑∑ ∑ zyx MFF

Fig.7.7.a Fig.7.7.b

nº incógnitas de las reacciones: m+1 (H1, R1, R2, R3, ……Rm-1, Rm) Es una viga hiperestática de grado m-2.

Sección 7.3: Vigas continuas

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5

tilizando para su cálculo el procedimiento descrito en 7.1, la “viga isostática equivalente”, sería:

y las m-2 ecuaciones de deformación que habrá que añadir a ésta viga isostática para que sea equivalente a la dada serán: Ahora ya con el sistema formado por las 3 ecuaciones de equilibrio y las m-2 ecuaciones de deformación indicadas, podremos resolver las m+1 incógnitas de las reacciones. No obstante para el cálculo de las vigas continuas existe otro procedimiento específico para ellas, que se denomina: “Ecuación de los tres momentos” ECUACIÓN DE LOS TRES MOMENTOS

U

Este método toma como incógnitas hiperestáticas los momentos flectores: M2, M3, Mm-1 que actuan en las secciones transversales correspondientes a los m-2 apoyos intermedios. Método de cálculo: se sustituye la viga continua por m-1 vigas isostáticas equivalentes, simplemente apoyadas, en cuyos extremos se sitúan las ligaduras internas con los tramos contiguos de los que las hemos liberado, es decir, las resultantes y los momentos resultantes de las cargas que quedan a un lado de dichos extremos.: F2, M2, F3, M3, Fm-1, Mm-1

los Momentos Flectores: M2, M3,….Mm-1, se obtienen planteando las siguientes ecuaciones de deformación:

),1()1,2(.,),........4,3()3,2(),3,2()2,1( 13322 mmmm mm −=−−== − ϑϑϑϑϑϑ

M2 M3 M3 Mm-1M2

H1

R2 R2

F2 F2 F3 F3

R3 R3

Fm-1

Rm-1 Rm R1

1 22 3 3 m-1 m

Fig.7.10

R1 R2 R3 Rm-1 Rm

H1 1 2 3 m-1 mFig.7.9

R1 R2 R3 Rm-1 Rm

H1 1 2 3 m-1 m

0;......0;0 132 === −myyy


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Desarrollemos pues a continuación estas ecuaciones de deformación y para ello tomemos dos vigas isostáticas equivalentes, correspondientes a dos tramos consecutivos n y n+1 de la viga continua:

la ecuación de deformación a plantear será: y para el cálculo de estos giros aplicamos el Principio de Superposición: la ecuación de deformación anterior será:

Calculemos a continuación cada uno de estos valores:

Rn-1Rn Rn

Rn+1

Fn-1 Fn Fn Fn+1

Ln Ln+1

Mn-1 Mn Mn Mn+1

n-1 n n n+1

Fig.7.11

Ln Ln+1n-1 n n n+1

θ1n

Ln Ln+1

Mn-1 Mn+1

n-1 n n n+1

Ln Ln+1

Mn

n-1 n n n+1

Mn θ3nθ3

n

θ1n

θ2nθ2

n

)1,(),1( +=− nnnn nn ϑϑ (7.1)

Fig.7.12.a Fig.7.12.b

1 2 3 1 2 3( 1, ) ( 1, ) ( 1, ) ( , 1) ( , 1) ( , 1)n n n n n nn n n n n n n n n n n nϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ− − + − + − = + − + − + (7.2)


• Cálculo de: :)1,(),1( +− nnynn nn ϑϑ 11

θ

7

Por el método de los Teoremas de Mohr:

Por el método de los Teoremas de Mohr:

• Cálculo de:

θ2n θ2

n

n-1 n n n+1

δn-1,n δn+1,n

tag en n tag en n

Mz Mz

Ln Ln+1

Mn-1 Mn+1

Mn-1 Mn+1

Fig.7.14.a Fig.7 .b.14

:)1,(),1( 22 +− nnynn nn ϑϑ

1n

θ1nn n n+1

δn

n-1-1,n δn+1,n

tag en n tag en n

Mz Mz

Ln Ln+1

Fig.7.13.a Fig.7.13.b

(7.3)

(7.4)

1, 1,1 1

1

1, ). .

. .

n n n n

z

Q Qn

, 1 , 11 11 1

1, 1( , 1). ( , 1).

n n n n

z n z

M Mn n

n n n n nz n

1 11, ( 1, ). (

.n n

n n n n nn n L nM M

E I L E I

Q Qn n L n nE I

δ ϑ ϑ+ +

+ ++ += = + → + =

L E I

− −

+

=δ ϑ ϑ− = = − → −− −

1, 12 21 1

1,

12 21 1 1

1, 1

1 1. . . .2 3 ( 1, ). ( 1, ). . 6. .

.( , 1). ( , 1). . 6. .

n nM n n nn n n

n n n n n

n n nn n n n n

z z z

M L LQ M Ln n L n nE I E I E I

M Ln n L n nE I E I E I

δ ϑ ϑ

δ ϑ ϑ

− −− −

−

++ + +

+ +

−= = = − → − =

= = = + → + =

(7.5)

(7.6) , 1 1 1

1 1. . .2 3n n

z z z

M n n nM L LQ + + +−


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• Cálculo de:

evando finalmente todos los valores obtenidos a la ecuación (7.2):

multiplicando todos los término r: ( . y ordenando, quedará finalmente la enominada ECUACIÓN DE LOS TRES MOMENTOS:

oyos sucesivos de la viga continua

θ3n θ3

n

n-1 n n n+1

ll

y s po 6.E Iz) d

stá ecuación se irá aplicando cada tres apE

δn-1,n δn+1,n

tag en n tag en n

Mz z

Ln Ln+1

Mn Mn

M

Mn Mn

Fig.7.15.a Fig.7.15.b

:)1,(),1( 33 +− nnynn nn ϑϑ

⎥⎥⎦

⎤⎡=++

+

++++−

+−

1

11111

1,,1

6.).n

Mn

n

M

nnnnn LQQ

LMLLMnnnn

1,3 31

1,

. . .2 3 ( 1, ). ( 1, )

n nM n n nn

n n n

M L LQ Mn n L n nδ ϑ ϑ−

−−

−= = = − → − =

, 1 1 13 31 1

1, 1

1 2.

. . 3. .1 2. . . .2 3 ( , 1). ( , 1)

. 3. .

n n

n n

z z z

M n n nn n n

n n nz z z

LE I E I E I

M L LQ M Ln n L n nE I E I

ϑ ϑ+ + +

+ ++ +

−= = = + → + =

(7.7)

(7.8)

n n

.E In nδ

⎢⎢⎣

+−1. n

L+.(.2 nn LM

z

nn

z

nn

zn

Mn

z

nn

z

nn

n

Mn

IELM

IELM

IQ

IELM

IELM

ELQ nnnn

..3.

..6

....3

...6.

.111111

1,,1+++

+

+−− −−=+++−

(7.9)

−zI. L E.1


9

ASO DE ASIENTOS EN LOS APOYOSC

Ln Ln+1hn-1 hn hn+1

n-1 n n+1

n

n+1

n-1

separando ambas vigas:

Fig.7.16

Ln+1

hn hn+1

n n+1

n

n+1θ4

n

θ4n

Fig.7.17.b

Ln hn-1 hn n-1 n

n-1n

θ n 4 θ4

planteando de nuevo la ecuación (7.1): )1,(),1( +=− nnnn nn ϑϑ y añadiendo este nuevo término, quedará:

)1+ ,(),1( 432142 +−=−+− ntranntram nnnnn ϑϑϑϑϑ y sustituyendo los valores obtenidos para cada uno de ellos:

y multiplicando po z ordenando, la Ecuación de lo ntos quedará hora, teniendo en cuenta el descenso de los apoyos:

3+ nϑ1 + nn ϑ − ϑ nmoo

r (6.E.I ) y s tres momea

n

Fig.7.17.a

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+

−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+=+++

+

+−

+

+−+++−

+−

1

11

1

111111 66)(2

1,,1

n

nn

n

nnz

n

Mn

n

Mn

nnnnnnn Lhh

LhhEI

LQ

LQLMLLMLM

nnnn

1

111

1

111

..3.

..6

.....3

...6.

..

1,

+

+++

+

+−− −−−=

−+++−

+

n

nn

z

n

z

nn

zn

Mn

n

nn

z

nn

z

nn

zn Lhh

IELM

IELM

IELQ

Lhh

IELM

IELM

IELQ nn

1+ +n1,1

−−M

nnn

4 4 4 41 1

1

n n n nn n n n

n n

h h htagL L

ϑ ϑ ϑ ϑ− +

+

− −≅ = = = (7.10)

(7.11)

(7.12)

htag

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