Probabilidades y Estadística I

3. Distribuciones de variables aleatorias (8/13)

Variable aleatoria continua

a) Representación diferencial: función de densidad, f(x)

CÁLCULO DE PROBABILIDADES CON LA FUNCIÓN DE DENSIDAD

Probabilidades y Estadística I

3. Distribuciones de variables aleatorias (9/13)

Variable aleatoria continua

a) Representación diferencial: origen de f(x)

Histograma para 20 clases

-5 -3 -1 1 3 5 70

100

200

300

400

Histograma para 50 clases

-5 -3 -1 1 3 5 70

40

80

120

160

200

Probabilidades y Estadística I

3. Distribuciones de variables aleatorias (10/13)

Variable aleatoria continua

a) Representación diferencial: función de densidad, f(x) EJEMPLO

X ≡ “proporción de accidentes automovilísticos mortales” Rg X ≡ [0,1]

f(x) =42 x (1-x) 5 0< x ≤ 1

0 en otro caso

x0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

∫=<<3.0

2.0

5 dx x)-(1 x 42 0.3) X P(0.2

Probabilidades y Estadística I

Variable aleatoria continua

3. Distribuciones de variables aleatorias (11/13)

b) Representación integral: función de distribución, F(x) (continua)

PROPIEDADES

Probabilidades y Estadística I

Variable aleatoria continua

3. Distribuciones de variables aleatorias (12/13)

b) Representación integral: función de distribución, F(x)

CÁLCULO DE PROBABILIDADES CON LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

RELACIÓN ESPECIAL ENTRE F(x) Y f(x)

PROPIEDADES

Probabilidades y Estadística I

Variable aleatoria continua

3. Distribuciones de variables aleatorias (13/13)

b) Representación integral: función de distribución, F(x) EJEMPLO

∫ ∞−=<

2.0 5 dx x)-(1 x 42 0.2) P(X

=

)2(F 0.2) P(X =≤

x0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

F(x) = x2(21-70x+105x2-84x3+35x4-6x5) 0< x ≤ 10 x <0

1 x ≥1

Probabilidades y Estadística I

Esquema inicial

1. Variable aleatoria. Concepto

2. Tipos de variables aleatorias

3. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias

4. Medidas características de una variable aleatoria

5. Desigualdad de Tchebychev

Probabilidades y Estadística I

4. Medidas características de una v.a. (1/4)

1'

k

i ii

X f x=

=∑

Esperanza matemática (definición)

[ ] ( )x

E X xp x µ= =∑(caso discreto)

[ ] ( )E X xf x dx µ= =∫(caso discreto)

RELACIÓN CON LA ESTRUCTURA DE LA MEDIA ARITMÉTICA

PROPIEDAD [ ] [ ]E aX b aE X b+ = +

Probabilidades y Estadística I

4. Medidas características de una v.a. (2/4)

Varianza (definición)

[ ] 2 2( ) ( )x

Var X x p xµ σ= − =∑(caso discreto)

[ ] 2 2( ) ( )Var X x f x dxµ σ= − =∫(caso discreto)

PROPIEDAD [ ] [ ]2Var aX b a Var X+ =

Probabilidades y Estadística I

4. Medidas características de una v.a. (3/4)

Mediana F(x) = ½

Moda Max f (x)

Percentiles F(x) = i/100

Cuartiles F(x) = i/4

GENERALIZACIONES DESDE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

Probabilidades y Estadística I

4. Medidas características de una v.a. (4/4)

rr E Xα =

Momento centrado en el origen

[ ]1 E Xα µ= =

Caso especial

Momento centrado en la media

( )rr E Xµ µ = − [ ]2 2

2 ( )E X Var Xµ µ σ = − = =

Caso especial

22 2 1µ α α= −

Probabilidades y Estadística I

Esquema inicial

1. Variable aleatoria. Concepto

2. Tipos de variables aleatorias

3. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias

4. Medidas características de una variable aleatoria

5. Desigualdad de Tchebychev

Probabilidades y Estadística I

5. Relaciones entre media y varianza

Desigualdad de Tchebychev

( ) ( )2 2

1 11P X k P X kk k

µ σ µ σ− > ≤ ⇔ − ≤ > −

( ) 2

11P k X kk

µ σ µ σ− ≤ ≤ + > −

Normalización de una v.a

X µσ−