tema3

Probabilidades y Estadística I

TEMA 3

Concepto de probabilidad


Esquema inicial

1. Introducción 2. Interpretaciones de la probabilidad 3. Definición axiomática de la probabilidad 4. Cuantificación de la probabilidad 5. Anexo: Métodos de conteo para determinación de probabilidades


Esquema inicial

1. Introducción 2. Interpretaciones de la probabilidad 3. Definición axiomática de la probabilidad 4. Cuantificación de la probabilidad 5. Anexo: Métodos de conteo para determinación de

probabilidades


1. Introducción (1/2)

POSIBLE PROBABLE

EXPERIMENTO ALEATORIO


1. Introducción (2/2)

SERIE 1, 2, 1, 1, 2, 2, 3, 2, 1, 1, ?

a) Basándonos en el proceso de generación (p.e. un dado):

c) Infiriendo resultados compatibles con la muestra:

1, 2, 3, 4, 5, 6

15, -4, π

b) Basándonos en la información empírica: 1, 2, 3

Muestra


Esquema inicial

1. Introducción 2. Interpretaciones de la probabilidad 3. Definición axiomática de la probabilidad 4. Cuantificación de la probabilidad 5. Anexo: Métodos de conteo para determinación de

probabilidades


2. Interpretación de la probabilidad (1/3)

INTERPRETACIÓN CLÁSICA

SERIE 1, 2, 1, 1, 2, 2, 3, 2, 1, 1, ?

Basándonos en el proceso de generación (p.e. un dado):

1, 2, 3, 4, 5, 6



INTERPRETACIÓN FRECUENTISTA

SERIE 1, 2, 1, 1, 2, 2, 3, 2, 1, 1, ?

Basándonos en la información empírica

1, 2, 3



INTERPRETACIÓN BAYESIANA

SERIE 1, 2, 1, 1, 2, 2, 3, 2, 1, 1, ?

Basándonos en creencias a priori

1, 2, Π


Esquema inicial



Ω = , , , , , , , , ,

3. Definición axiomática (1/8)

CONCEPTOS BÁSICOS

Experimento aleatorio, E

Espacio muestral, Ω



CONCEPTOS BÁSICOS

Sucesos, S ⊆ Ω

A= , , , B= , , , , , Extraer bola clara Extraer bola oscura

C=

Ω = , , , , , , , , ,

Extraer bola amarilla

Suceso elemental



ALGEBRA DE BOOLE DE SUCESOS (℘(Ω), ∪ , ∩)




Ω



AXIOMÁTICA

Axioma 1

Axioma 2

Axioma 3



PROPIEDADES ADICIONALES

Propiedad 1

Propiedad 4 P(A)∈[0,1]

Propiedad 3 Regla de cálculo potente

Propiedad 2 aditividad n n

i jA A∩ =∅



PROPIEDADES ADICIONALES

Propiedad 6

Propiedad 5 monotonía


Esquema inicial



4. Cuantificación (1/3)

REGLA DE LAPLACE

Interpretación clásica

1 2, ,..., ns s sΩ =

( ) ( ) ( )11

1 1( )n n

i ii iii

P S P s P P sn

s n P s i==

= = = = × =⇒ ∀

∑



REGLA DE LAPLACE

1 2 1 2, ...., , ,...,k nA s s s s s s′ ′ ′= ⊆ Ω =

( ) ( )11

( )k k

i i iii

k AP A P s P s k P sn==

#′ ′ ′= = = × = = #Ω ∑

A

Ω (casuística)



RUEDA DE LA FORTUNA

Aα

Opción 1

Si cae en A 6.000 €

Si no cae en A 0 €

Si ocurre S 6.000 €

Si no ocurre S 0 €

Opción 2

Interpretación bayesiana


Esquema inicial

1. Introducción 2. Interpretaciones de la probabilidad 3. Definición axiomática de la probabilidad 4. Cuantificación de la probabilidad 5. Métodos de conteo para determinación de probabilidades


5. Combinatoria (1/5)

Sea un espacio muestral de cardinal n, Deseamos extraer una muestra de tamaño k, en diferentes supuestos:

1,..., ns sΩ =

1) Se tiene en cuenta el orden de extracción y se produce reemplazamiento 2) Se tiene en cuenta el orden de extracción y no se produce reemplazamiento 3) No se tiene en cuenta el orden de extracción y no se produce reemplazamiento 4) No se tiene en cuenta el orden de extracción y se produce reemplazamiento



Caso 1

1ª 2ª kª

s1

(con orden y con reemplazamento)

s2

….

sn

s1 s2

….

sn

s1 s2

….

sn

n n n x x …………. x k

= nk

knVR

Caso 2 (con orden y sin reemplazamento)

!( 1) ( 2) ( 1)( )!

... nn n n n kn k

× × × × =− − − +−

knV



Caso 2 (con orden y sin reemplazamento)

!( 1) ( 2) ( 1)( )!

... nn n n n kn k

× × × × =− − − +−

knV

Cuando k=n tendremos el concepto de permutación de n elementos

!nnV n=

Las permutaciones entre elementos de la misma naturaleza son excluidas mediante el factorial en el cociente (permutaciones con repetición)

nP

1 2

!! !.... !t

nk k k

1 2, ,.., tk k knPR



Caso 3 (sin orden y sin reemplazamento)

knC

Número de subconjuntos con k elementos

knCR

!! !( )!

kn nV n

kk k n k

= = −

Caso 4 (sin orden y con reemplazamento)

1n kk

+ −



Paradoja de los cumpleaños

k p

5 0.027 10 0.117 15 0.253 20 0.411 23 0.507 30 0.706

40 0.891

50 0.970

60 0.994

tema3

Documents