tema1

IntroducciónExperimentos y sucesos aleatorios

Operaciones con sucesos aleatoriosNoción de probabilidad

Probabilidad condicionadaTeoremas fundamentales del cálculo de probabilidades

Probabilidad

Estadística II

Universidad de Salamanca

Curso 2011/2012

Probabilidad




Outline

1 Introducción

2 Experimentos y sucesos aleatorios

3 Operaciones con sucesos aleatorios

4 Noción de probabilidad

5 Probabilidad condicionada

6 Teoremas fundamentales del cálculo de probabilidades

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Introducción

¿Cuándo se utiliza?Utilizamos el cálculo de probabilidades cuando necesitamosobtener conclusiones generales de los resultados obtenidos encasos particulares

¿Qué nos suministra el cálculo de probabilidades?Nos suministra la reglas para el estudio de experimentosaleatorios o de azar, constituyendo la base para la estadísticainductiva o inferencial

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Experimentos y sucesos aleatorios

Experimentos deterministasSon aquellos que realizados de una misma forma y con lasmismas condiciones iniciales, ofrecen siempre el mismoresultado

ExampleLanzar un objeto de cualquier masa (partiendo del reposo)La velocidad de un objeto al llegar al suelo siempre es

v =√

2gh

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Experimentos aleatoriosSon aquellos que realizados de una misma forma y con lasmismas condiciones iniciales, no ofrecen siempre el mismoresultado

Condiciones experimentos aleatoriosSe puede repetir indefinidamente, siempre bajo lasmismas condicionesNo se puede predecir el resultado del experimentoEl resultado obtenido pertenece a un conjunto deresultados posibles que es conocido previamente

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Espacio muestralEs el conjunto de todos los posibles resultados de unexperimento aleatorio

E = {e1, . . . ,en}

Suceso aleatorioCualquier subconjunto del espacio muestral

A,B ⊂ E

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Tipos de sucesos aleatoriosSuceso seguro: Aquel que se verifica después delexperimento, es decir, el mismo E

E ⊂ E −→ E

Suceso imposible: Aquel que nunca se verifica despuésdel experimento, es decir, el conjunto vacío ∅

∅ ⊂ E −→ ∅

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Tipos de sucesos aleatoriosSuceso contrario o complementario: Es el suceso quese verifica sí, como resultado del experimento aleatorio, nose verifica A

A ⊂ E −→ A = {e ∈ E : e /∈ A}

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ExampleExperimento aleatorio: lanzar un dado al aire y observar elresultado

Sucesos:Sucesos elementales: 1,2,3,4,5,6Espacio muestral: E = {1,2,3,4,5,6}Sucesos aleatorios:

Suceso imposible: ∅Suceso seguro: ESuceso complementario: A = {2,4,6}

A = {1,3,5}

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Operaciones con sucesos aleatorios

UniónDados dos sucesos aleatorios A,B ⊂ E

A ∪ B = {e ∈ E ; e ∈ A o e ∈ B}

ExampleTiramos un dado

A = {1,2,3} y B = {3,4}

A ∪ B = {1,2,3,4}

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IntersecciónDados dos sucesos aleatorios A,B ⊂ E

A ∩ B = {e ∈ E ; e ∈ A y e ∈ B}


A = {1,2,3} y B = {3,4}

A ∩ B = {3}

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DiferenciaDados dos sucesos aleatorios A,B ⊂ E

A− B = {e ∈ E ; e ∈ A y e /∈ B} = A ∩ B


A = {1,2,3} y B = {3,4}

A− B = {1,2}

B − A = {4}

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Leyes de MorganDados dos sucesos aleatorios A,B ⊂ E

A ∪ B = A ∩ B

A ∩ B = A ∪ B

Nota básica

B = B ∩ E = B ∩ (A ∪ A) = (B ∩ A) ∪ (B ∩ A)

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Noción de Probabilidad

Probabilidad de LaplaceDado un suceso aleatorio A ⊂ E

P(A)= no de casos favorables/no de casos posibles

Example

Sea E = {1,2,3,4,5,6} y A = {1,3,5} = ser impar

p(A) =36

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Noción de ProbabilidadProbabilidad frecuencialEn este caso se asigna como probabilidad el límite de lafrecuencia relativa.

Frecuencia relativa de una suceso e:

fe =ne

N

P(e) = l«ımN→∞

fe

Probabilidad subjetivaEs la cuantificación subjetiva que una persona hace de unevento utilizando la información que posee

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Noción de ProbabilidadProbabilidad axiomática

0 ≤ P(A) ≤ 1P(E) = 1La prob. de dos sucesos incompatibles (intersección vacía)

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

P(A ∩ B) ≤ P(A) y P(A ∩ B) ≤ P(B)

P(A ∪ B) ≥ P(A) y P(A ∪ B) ≥ P(B)

P(A) = 1− P(A)

La prob. de dos sucesos no disjuntos

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B)

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Probabilidad condicionada

Definición

P(A/B) =P(A ∩ B)

P(B)

Propiedades

P(A ∩ B) = P(A) P(B/A)

P(A ∩ B) = P(B) P(A/B)

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Teoremas fundamentales del cálculo deprobabilidades

Teorema de la probabilidad total

P(B) =n∑

i=1

P(B/Ai)P(Ai)

Teorema de Bayes

P(Ak/B) =P(Ak )P(B/Ak )∑ni=1 P(B/Ai)P(Ai)

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ExampleTenemos dos urnas: U1 y U2

U1 = {3B,3R}

U2 = {4B,2R}

Tiramos una moneda al aire, si sale cara se elige una bola dela 1o urna y si sale cruz de la segunda, ¿qué probabilidad hayde que la bola que salga sea blanca?

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Example

P(U1) = 1/2 P(U2) = 1/2

P(B/U1) = 3/5 P(B/U2) = 4/6

P(B) = P(U1)P(B/U1) + P(U2)P(B/U2) = 19/30

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