jjgtModelacin Matemtica

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jjgtPara estudiar el comportamiento de los sistemas se utilizan Modelos Matemticos.Estos modelos describen las relaciones entre la entrada y salida de un sistema.Igualmente se aprovechan para predecir el comportamiento de un sistema en condiciones especficas.

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jjgtEn los sistemas de control se encuentran, comnmente, una diversidad de componentes: mecnicos, hidrulicos, elctricos, qumicos, neumticos, etc.

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jjgtEstos componentes forman subsistemas que se combinan entre s de tal forma que el comportamiento de cada uno de ellos afecta al de los dems.

Por lo tanto es necesario un lenguaje comn para la integracin ptima de todos en el sistema.

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jjgtA nivel de determinar el comportamiento de los sistemas se necesita un modelo independiente de la tecnologa, de tal forma que se puedan tratar con una metodologa comn.

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jjgtUn modelo es cualquier tipo de representacin de tipo matemtico o grfico, que permita deducir el comportamiento de sistemas ante unas condiciones de entrada determinadas.

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jjgtEl hecho de trabajar con sistemas analgicos, es decir sistemas en los cuales la variable toma un valor dado en cualquier instante del tiempo, significa que tenemos que trabajar con sistemas dinmicos.

Estos sistemas dinmicos generalmente se representan a travs de ecuaciones diferenciales.

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jjgtLa modelacin matemtica es un conjunto de ecuaciones que representa la dinmica de un sistema.Seal de control:Presin (P(t))Caudal de Entrada(qe(t))EntradaSalidaModelo Matemtico:qe(s )/P( s) = FT

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jjgtDetermine el modelo matemtico de este sistema:Segn la segunda Ley de Newton:

F=ma

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jjgtLos sistemas dinmicos (en funcin del tiempo) se representan a travs de ecuaciones diferenciales.Debido a la complejidad de los sistemas se utiliza la Transformada de Laplace para simplificar el mtodo de solucin.f(t)F(s)Transformada de Laplace

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jjgtLas ecuaciones diferenciales describen el comportamiento de los sistemas en funcin del tiempo y la transformada de Laplace las convierte en ecuaciones algebraicas sencillas.

[d/dt f(t)] = SF(s) - f(t=0)

[dn/dtn f(t)] = SnF(s) - Sn-1f(t=0) - Sn-2f(t=0) - - Sn-nfn-1(t=0)Transformada de una derivada

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jjgtLa ecuacin matemtica que contiene los parmetros que influyen en el proceso y que relaciona la transformada de la seal de salida con la transformada de la seal de entrada se denomina:

Funcin de Transferencia

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jjgtC(s)=F(s)*R(s)F(s) = C(s)/R(s)

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jjgtCaractersticas de la Funcin de TransferenciaLa FT es una propiedad del sistema, independiente de la magnitud y naturaleza de la seal de entrada.La FT incluye los parmetros necesarios para relacionar la entrada con la salida. (No proporciona informacin de la estructura fsica del sistema).

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jjgtComo los sistemas tienen diversos componentes del tipo mecnico, elctrico, hidrulico, entre otros, es necesario determinar los modelos matemticos para cada uno de los sistemas.

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jjgtA continuacin se presentan los elementos bsicos de los siguientes sistemas:Mecnicos.Elctricos.Hidrulicos y neumticos.Trmicos.

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jjgtSistemas mecnicosResorte.f(t)=K*x(t)F(s)=K*X(s)FT=X(s)/F(s)=1/K

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jjgtAmortiguador.f(t)=c*dx(t)/dtF(s)=c*S*X(s)FT=X(s)/F(s)=1/c*S

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jjgtMasa.f(t)=m*d2x(t)/dt2F(s)=m*S2*X(s)FT=X(s)/F(s)=1/m*S2

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jjgtSistema resorte masa amortiguadorf(t)=m*a(t)f(t)-fr(t)-fa(t)=m*a(t)

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jjgtSistema resorte masa amortiguadorf(t)-K*x(t)-c*dx(t)/dt=m*d2x(t)/dt2FT=X(s)/F(s)=1/(m*S2+c*S+K)F(s)-K*X(s)-c*S*X(s)=m*S2X(s)

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jjgtSistemas Elctricos

RepresentacinElementoEcuacinInductorv(t)=L*di(t)/dtCapacitorv(t)=(1/C)*i(t)Resistenciav(t)=R*i(t)

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jjgtSistema RLCv(t)=L*di(t)/dt + R*i(t) + (1/C)*i(t)dtV(s)=L*S*I(s)+R*I(s)+I(s)/(C*S)FT=I(s)/V(s)=1/(L*S+R+(1/C*S))

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jjgtSistemas Hidrulicos

RepresentacinElementoEcuacinResistencia HidrulicaP1(t)-P2(t)=R*q(t)Capacitancia Hidrulicaq(t)=dvol(t)/dtvol(t)=A*h(t)Continuidadq1(t)-q2(t)=q(t)

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jjgtSistemas Neumticosq

RepresentacinElementoEcuacinResistencia NeumticaP1(t)-P2(t)=R*q(t)Capacitancia Neumticaq(t)=Cf*dp(t)/dtp(t)=q(t)/S*Cf

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jjgtSistemas Trmicosq(t)T1(t)T2(t)RtRi(t)C

RepresentacinElementoEcuacinConduccinq(t)=T1(t)-T2(t)/RtEnerga Trmicaq(t)=C*dT(t)/dtResistencia Elctricaq(t)=R*i2(t)

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jjgtDiagramas de bloquesEs una representacin grfica de las funciones que lleva a cabo cada componente del sistema y del flujo de seales.Esta compuesto por:BloquesPuntos sumasPuntos de ramificacin.

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jjgtC(s)=F(s)*R(s)

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jjgtEjemplo: Obtenga el diagrama de bloque que represente el comportamiento del nivel del fluido cuando existen cambios en el caudal de entrada?

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jjgt1.- Obtener las ecuaciones diferenciales y aplicarles transformada de Laplace.a.- q(t)=qe(t)-qs(t) q(s)=qe(s)-qs(s)b.- q(t)=A*dh(t)/dt q(s)=ASh(s)c.- qs(t)=P(t)/R = h(t)/R = h(t)/R qs(s)=h(s)/R

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jjgt2.- Representar en componentes de diagrama de bloques cada una de las ecuaciones.q(s)=qe(s)-qs(s)q(s)=ASh(s)qs(s)=h(s)/R

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jjgt3.- Construir el diagrama de bloques a partir de los elementos obtenidos en 2.-

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jjgt4.- Reducir el diagrama de bloques. (lgebra de bloques)

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jjgtlgebra de diagramas de bloquesBloques en serie:y=G(s)*xz=H(s)*yz=G(s)*H(s)*x

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jjgtBloques en paraleloa=G1(s)*xb=G2(s)*xy=aby=G1(s)*xG2(s)*xy=x*[G1(s)G2(s)]

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jjgtBloques en retroalimentacinC=a*G(s)b=C*H(s)a=Rb

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jjgtTrasladar punto suma a la izquierdaTrasladar punto suma a la derecha

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jjgtTrasladar punto ramificacin a la izquierdaTrasladar punto ramificacin a la derecha

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jjgtEjemplo: Simplifique el siguiente diagrama de bloques:

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jjgtLinealizacinLa mayora de los sistemas en ingeniera no se comportan en forma lineal en su respuesta dinmica.

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jjgtAlgunos componentes del sistema tienen una relacin no lineal.q(t)=C*[P1(t)-P2(t)]1/2

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jjgtUn sistema es no lineal cuando no cumple los principios de superposicin y homogeneidad.Principio de Superposicin:X1(t) Y1(t) X2(t) Y2(t) X1(t)+X2(t) Y1(t)+Y2(t)

Principio de Homogeneidad:X(t) Y(t) X(t) Y(t)

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jjgtPara linealizar se recurre a las series de Taylor:F[x(t)]=F(X0)+[dF(X0)/dx]*[X(t)-X0] +(1/2!)*[d2F(X0)/dx2]*[X(t)-X0]2 +

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jjgtLa aproximacin lineal consiste en eliminar todos los trminos de la serie con la excepcin de los dos primeros:

F[x(t)]=F(X0)+[dF(X0)/dx]*[X(t)-X0] Y=Y0 +K(X-X0)Y-Y0=K(X-X0)Y=K(X)

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Un termistor es un instrumento que se utiliza para medir temperatura en un sistema de control, la relacin entre la resistencia R y la temperatura T es:R(t)=k*e-cT(t)

El modelo linealizado en torno al punto de operacin To sera:R=K*TDonde: K=dR(t)/dT(t) = -k*c*e-cTo

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jjgtPara el sistema de control de la figura a determine el diagrama de bloques que relaciona el valor real de la altura del fluido dentro del tanque en funcin del valor deseado. Determine igualmente la funcin de transferencia que relaciona ambas variables.* El controlador es neumtico y la relacin entre un error en la altura y su presin de salida es: Pi(s)/he(s)=Kc.* El sensor genera una seal de salida igual al valor real de altura del fluido en el tanque.* La vlvula es neumtica y la relain entre el caudal que pasa a travs de ella y la posicin del vstago es: q(s)=Kv*X(s). La vlvula se muestra en la figura bFigura aFigura bPi

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