tema iii. diseño y operación de filtros clásicos de ondas eléctricas

7/21/2019 Tema III. Diseño y Operación de Filtros Clásicos de Ondas Eléctricas.

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TEMA I

1.0 DISEÑO Y OPERACIÓN DE FILTROS CLÁSICOSDE ONDAS ELÉCTRICAS

1.1 INTRODUCCIÓN

El filtro es una red que se diseña para que deje pasar corrientes o voltajes en un rangodeterminado de frecuencias con un mínimo de atenuación, denominada banda pasante,mientras que en otro rango de frecuencias la atenuación es elevada, denominada bandarechazada, conformándose por tanto las modalidades de filtros de ondas eléctricas: pasa bajo,pasa alto, pasa banda, elminador de banda pasa todo! seg"n que banda de frecuenciasdejen pasar#

$a teoría de filtros se puede clasificar en teoría clásica o convencional de la apro%imación#En este &aterial de 'eferencia sólo se aborda la teoría clásica, aplicando los conceptos deparámetros imágenes, vistos en el &aterial de 'eferencia ()'*&E+'- .E 'E. E/ $)- 'E.E-.E .- ()'E- .E +E'&0/)$E- +E'&0/).)- E/ 0&(E.)/10) .E 1)'2)# .0-E3 .E

.E-4)-).'E-, )+E/5).'E-, 6 )''E2$- .E 15).'0($-# El desarrollo de la teoríaclásica de los filtros de ondas el7ctricas se origina de los trabajos iniciales de 2# )# 1ampbell # 8# 9obel# En cuanto al diseño con la teoría de la apro%imación es tema de otro material dereferencia, además de los desarrollos de las bases conceptuales polinomios matemáticos,para el diseño de los mismos#

$a forma general de los filtros clásicos, consiste de una cone%ión en cascada de redes de dospares de terminales tipo $; idénticas, también denominadas secciones $;, como se muestraen la fig#<#<#<#

En la fig#<#<#<, cada una de las impedancias 9<, se dividen en dos impedancias de valores 9< =>Ω , las impedancias en derivación 9> igualmente se dividen en dos impedancias de valores>9>Ω. En el primer proceso se origina una cone%ión en cascada de secciones simétricas +;idénticas, como se muestra en la fig#<#<#>, mientras que en el segundo proceso se origina unacone%ión en cascada de secciones Π; simétricas idénticas, como se muestra en la fig#<#<#?#



$as secciones +; Π; no son redes equivalentes entre sí, ellas son redes relacionadas entre

sí, es el resultado de recombinar impedancias#

Z1 Sección “L” Z1 Z1 Z1

Z1

Viene Z2 Z2 Z2 Z2

Sigue

Fig. 1.1.1. Forma general de los filtros de Campbell. Conexión en cascada de secciones idnticas “L”

Z1!2 Z1!2 Z1!2 Sección “"” Z1!2 Z1!2 Z1!2

VieneSigue Z2 Z2 Z2

Fig. 1.1.2. Conexión en cascada de secciones “"” simtricas obtenidas de la conexión “L”.

Z1 Sección Ð Z

1

Z1

Viene 2Z2 2Z

2 2Z

2 2Z

2 2Z

2 2Z

2

Sigue

Fig. 1.1.#. Conexión en cascada de secciones “ Ð” simtricas obtenidas de la conexión “L”



1.2PARÁMETROS IMÁGENES DE LA SECCIÓN T

$os parámetros imágenes, definidos en el &aterial de 'eferencia a citado, para el caso de unasección +;, como las que componen a la fig# <#<#>, se transforman en parámetroscaracterísticos, originan la adaptación por impedancia imagen en adaptación por impedanciacaracterística, puesto que la sección +; es simétrica# -e obtiene de la ec#<#@#<, del material dereferencia a citado, la e%presión de la impedancia característica 9A+, dada por:

$1.2.1%..........

&2

2

22

2

121

21

21

12

1'(22(11 Ω+=

+

+Ζ

+==== −− Z

Z Z

Z Z

Z Z

Z Z

Z Z Z Z Z scocT

1omo la red es simétrica, de los parámetros de transmisión A, B, C D, se tiene que porsimetría los parametros A D, son iguales, del &aterial de 'eferencia a citado se tiene:

$2.2.1.......%....................212

22

2

1

1

'22

1

Z

Z

Z

Z Z

V

V

D A I

+=

+

=== =

.e donde:

$#.2.1...%..........2

12

1

Z

Z D A ADCosh T +====θ



<#?PARÁMETROS IMAGEN DE LA SECCIÓN “Π”

$os parámetros imágenes, definidos en el &aterial de 'eferencia a citado, para el caso de unasección Π;, como las que componen a la fig# <#<#?, se transforman en parámetros

característicos, originan la adaptación por impedancia imagen en adaptación por impedanciacaracterística, puesto que la sección Π; es simétrica# -e obtiene nuevamente de la ec#<#@#<,del &aterial de 'eferencia a citado, la e%presión de la impedancia característica 9AΠ , dada por:

( )

$1.#.1......%..................................................

&

&2

2

&

22

'

21

2

121

21

21

2

21

21

21

21

221'(22(11

T

scoc

Z

Z Z

Z Z Z

Z Z

Z Z

Z Z

Z Z

Z Z

Z Z

Z Z Z Z Z Z Z Z

=Ω

+

=

+4

=

+

+

+==== −− π

.e donde:

$2.#.1...%..............................2

12

1

Z

Z D A ADCosh +====

π θ

-e observa de las ecs#<#>#> <#?#>, que las funciones coshθΤ, coshθΠ, son funciones idénticas

para las dos redes +; Π; respectivamente, por lo que ambas secciones poseen idénticasfunciones de atenuación α de fase β, lo que permite trabajar con cualesquiera de ellas, si sonterminadas en forma apropiada# .e la ec#<#?#<, se observa:

$#.#.1.....%..............................'

21'

T Z

Z Z Z =

π

$a ec#<#?#?, indica que no e%iste adaptación por impedancia imagen en la unión al colocar en

cascada una sección +; con una sección Π;, por lo que e%iste la necesidad de diseñar unainterface entre ellas para que haga la respectiva adaptación#



1.4 SECCIÓN “L”

+ambién se le conoce como media sección o hemiBsección, la cual se obtiene al hacer labisección a las redes +; o Π;, lo que origina cuatro redes $;, todas iguales, cada una de

ellas como la que se muestra en la fig#<#C#<# (ara determinar la función de propagación imagense usa la e%presión de la ec#<#>#?, se obtiene:

$1.&.1...%..........&

12

1

Z

Z ADCosh L +==θ

.onde θ$ representa la función de propagación imagen de la sección $;#

$2.&.1%..........&22

'

2

121

12

1111(11 T scoc I Z

Z Z Z Z

Z Z Z Z Z =Ω+=

Ζ

2+===−

Z1 !2

12

2Z2

1)

2)Z

*1

Z*2

Fig. 1.&.1 +ed “L”



[ ] $#.&.1........%

&2

2

2 ..'2

121

21

21

212222(22 π Z

Z Z Z

Z Z

Z Z

Z Z Z Z Z Z Z scoc I =Ω

+=

+===−

<# -e observa de las ecs#<#C#> <#C#?, que del lado de la rama serie 9< =>, en los terminales<B<D, de la red $; se obtiene la impedancia de una red +; del lado de la rama enderivación >9>, en los terminales >B>D, de la red $;, se obtiene una red Π;, por lo quela red $; se puede usar como interfaz para adaptar una red +; a una red Π;, como seobserva en la fig#<#C#>#

Ej!"#$ 1.4.1% allar la relación que e%iste entre las funciones de propagación de las redes +; Π;, las cuales son iguales, seg"n las ecs#<#>#? <#?#>, la función de propagación de lared $;#

S$#&'()*% .e la ec#<#C#<, se tiene:

$&.&.1.........%&

12

12

Z

Z ADCosh L +==θ

En general:

Z1!2 Z

1 !2 Z

1 !2 Z

1!2

Z2 2Z

2 2Z

2 2Z

2

+ed “"” +ed “L” +ed “π”

Z'"

Z'"

Z'"

Z'"

Fig. 1.&.2 *nterconexión de secciones “"” , “π” con impedancia imagen entre sus uniones.



$-.&.1.%....................12

2122

22222222

222

22

−=−+=

+=+=

+=

θ θ θ

θ θ θ θ θ θ θ θ θ

CoshCoshCosh

SenhCoshSenhSenhCoshCoshCoshCosh

.e la ec#<#C#@, se tiene:

$.&.1.........%2

1

2

2 += θ θ Cosh

Cosh

.e las ecs#<#>#? o <#?#>, se tiene:

$/.&.1%..........&

12

1

2

1

Z

Z Cosh +=+θ

0gualando las ecs#<#C#F <#C#G, se tiene:

$0.&.1.%..........&

12

1

2 2

12

Z

Z CoshCosh +=+= θ θ

0gualando las ecs#<#C#C <#C#H, se obtiene:

$.&.1.........%..........&

12

1

2 2

12

LCosh Z

Z CoshCosh θ

θ θ =+=+=

(or lo que de las ec#<#C#I, se obtiene:

$1'.&.1.....%..........2

θ θ = L



$a ec#<#C#<A, indica que, la función de propagación imagen de la red $; tiene la mitad de laatenuación la mitad de desfasaje de una red +; o una red Π;#

1.+ FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA IMAGEN DE UNA SECCIÓN “T”

O DE UNA SECCIÓN “Π” SIN DISIPACIÓN

) continuación se estudia el caso de las redes cuas componentes resistivas de impedanciasson nulas, debido a que las bandas de transmisiJn de no transmisión en los filtros de ondaseléctricas se debe al comportamiento eléctrico con respecto a la frecuencia, no a que e%istadisipación en dichas redes, por lo que, se hace:

9< K jL<, 9> K jL>#

.e la ec#<#>#? o <#?#>, se tiene:

$1.-.1%............................................................

21

21

21$%

2

1

2

1

2

1 β α β α β α θ Sen jSenhCosCosh X

X

X j

jX

Z

Z jCoshCosh +=+=+=+=+=

0gualando partes reales partes imaginarias de la ec# ?#@#<, se obtiene:

$#.-.1.....%..........'.......$......2.-.1.....%..........2

12

1 ==+ β α β α SenSenh yCosCosh X

X

$&.-.1.%..........&2

1

2

1

X

X CosCosh=

−β α

(ara que la ec#<#@#? se cumpla se originan dos situaciones: senhα K A senβ K A, esta "ltima origina dos posibilidades#



0#B -i senhα K A, la ecuación <#@#?, se cumple, entonces α K A, coshα K coshA K <#

'eeplazando este valor en la ec#<#@#C, se obtiene:

$-.-.1.%..........&2

.1

2

1

X

X Cos =−β

'2

1cos1.......3...11 ≤

−≤−+≤≤−

β β dondedeCOS

(or lo que:

π β ±≤≤≤≤− '...........$..........-.1.%..........'&

12

1 y X

X

1omo α K A, se tiene que se está en banda pasante, en el rango MB< a AN, como lo indica laec#<#@#F, β, de la ec#<#@#@:

$0.-.1%..........2

1cos..........$......./.-.1.%..........'2

11

+==

−

X

X y β α

00#B .e la ec#<#@#?, si senβ K A, dicha ecuación se cumple, originándose dos soluciones:

<#B β K A, por lo que, cosβ K <# .e la ec#<#@#C se obtiene:

$.-.1.%..........

&2

.1

2

1

X

X Cosh=

−α

(ero: O< ≤ coshα ≤ O ∞! de donde:



$1'.-.1.......%&

'...................2

1'

2

1+ ∞≤≤+ ∞≤

−≤

X

X dondede

Coshα

1omo α ≠ 0, se origina banda rechazada o atenuada, para el intervalo MA a ∞)#

$12.-.1...%..........'............$.........11.-.1...%..........2

1cos42

11 =

+= − β α y

X

X

2.− β K 5π, por lo que, cosβ K B<# .e la ec#<#@#C se obtiene:

$1#.-.1.%..................................................&2

.1

2

1

X

X Cosh=

−− α

(ero:

..3.......cos41 dondede− ∞≥−≥− α

$1&.-.1.......%&

1...................2

11

2

1− ∞≥≥−− ∞≥

−−≥−

X

X dondede

Coshα

1omo α≠0 se origina banda rechazada o atenuada para el intervalo MB∞ α −1)#

$1.-.1...%......................$.........1-.-.1...%..........2

1cos42

11 π β α ±=

+−= −

y X

X



.e las ecs#<#@#G <#@#H! , <#@#<< <#@#<>! , <#@#<@ <#@#<F, se dibujan las curvas deatenuación fase contra L< =CL>, como se muestra en la fig#<#@#<# .e esta gráfica no se debeconcluir que una banda pasante siempre está comprendida entre dos bandas atenuadas, aque la situación depende sobre la razón L< =CL># .e allí que e%isten cinco categorías de filtros:pasa bajos, pasa altos, pasa banda, eliminador de banda pasa todo los cuales corresponden alos ecualizadores de fase, seg"n la gráfica sólo e%istiría el pasa banda, se nota enparticular, que a pesar de ser reactivos puros, cada uno de ellos tienen bandas pasantes bandas atenuadas, hecho que se origina eléctricamente#



/o pueden e%istir dos valores de β en una misma banda, sea esta pasante o atenuada# En estecaso el valor de β que se escoge es el de Bπ, a que, la pendiente de β intervalo MB< a AN, espositiva# -e deja al lector que e%plique este argumento#

1 6 USO DE LAS CUR,AS DE REACTANCIAS CONTRA FRECUENCIAPARA DETERMINAR EL COMPORTAMIENTO DE LOS FILTROS DE

ONDAS ELÉCTRICAS

.e la ec#<#@#F, se observa que una banda pasante e%iste siempre que L< =CL> esté entre A B<,una banda pasante e%iste siempre que L< esté entre A B CL># Este hecho origina las siguientestécnicas "tiles para determinar el comportamiento de una sección de filtro:

<#B .ibujar la curva de L< contra frecuencia#

>#B .ibujar la curva de BCL> contra frecuencia#

?#B -ombrear el área entre la curva BCL> el eje de frecuencia#

C#B 5na banda pasante e%iste siempre que la curva L< esté dentro del área sombreada# $as velocidades angular de corte son aquellas en las cuales la

curva L< entre o salga de la región sombreada#

1.-FILTRO PASA BAO T /CONSTANTE

$a característica de amplitud atenuación ideal real contra frecuencia de un filtro pasa bajose muestra en la fig# ?#G#< ?#G#>, respectivamente#

$a frecuencia de corte ocurre cuando las dos curvas se cruzan, esto es:

L< K B CL> M<#G#<N

'emplazando en la ec#<#G#<, los valores de la fig#<#G#?, se obtiene:Pc$< K B CMB<=Pc1>N, de donde:



Pc K >=M$<1>N<=> M<#G#>N



$a fig#<#G#?, muestra una sección de filtro pasa bajo +, QBconstante la fig#<#G#C, muestra elcomportamiento del filtro por medio de las curvas de reactancias contra frecuencia, aplicandolos pasos del apartado <#F#

-e denomina filtro QBconstante porque de la ec#<#>#<, la impedancia caracterRstica 9A+ es:

9A+ K M9<9>N<=>M< O 9< =C9>N<=> K ' $M< O 9< =C9>N<=> M<#G#?N

sea, que:

' $ K M9<9>N

<=>

Ω M<#G#CN

$a ec#<#G#C, es la condición de filtro QBconstante, porque ella origina una constanteindependiente de la frecuencia#

(ara el caso particular del filtro de la fig#<#G#?, se tiene que:

R L=

L1

C 2

Ω M<#G#@N

X1/2Ω X

1/2Ω

$< => $< => 1>f L>Ω

4ig# <#G#? 4iltro pasa bajo +; QBconstante#

-4X2

X

1

f

cf

Fig. 1.7.4 Curvas de reactancias contra w



$as ecs#<#G#> <#G#@, son las ecuaciones de diseño del filtro pasa bajo +; QBconstante, puestoque ' $ Pc son conocidas, determinándose $< 1>:

L1

= R

L

f c M<#G#FNC 2=

1

f c R L M<#G#GN

1. IMPEDANCIA CARACTERSTICA A TRA,ÉS DE LA BANDA PASANTE Y A TRA,ÉS DE LA BANDA ATENUADA DEL FILTRO

PASA BAO T /CONSTANTE

.e la ec#<#>#<, se obtiene:

9A+ K MBL<L> S L<> =CN<=> K ML< =CL>N<=>MBCL>

>BL<L>N<=>

K ML< =CL>N<=>MB<BL< =CL>N<=>CL>> M<#H#<N

.e la ec#<#H#<, se observa que:

9A+ K A para: A K L< =CL> K B< M<#H#>N

9A+ es real para:

B< < L< =CL> < 0 (1.8.3)

9A+ es imaginario para los demás rangos de L< =CL>:

B∞ ≤ L< =CL> < B< (1.8.4) A < L< =CL> ≤ ∞ (1.8.5)

$a ec#<#H#?, indica que la impedancia característica es resistiva pura dentro de la bandapasante, las ecs#<#H#C <#H#@, indican que la impedancia característica es de naturalezareactiva dentro de la banda atenuada#



1omo la terminación de los filtros clásicos son de naturaleza resistiva pura los diseños deellos se basan sobre el criterio de adaptación por impedancia imagen, en este caso porimpedancia característica, es claro que la "nica forma de la factibilidad de estos diseños es queen la banda pasante la impedancia característica 9A+, sea resistiva pura#

) pesar de lo anterior e%iste desadaptación en los terminales de entrada salida, puesto que,las impedancias del generador carga son resistivas puras e independientes de la frecuencia,mientras que 9A+ depende de la frecuencia como se muestra a continuación para el filtro +; dela fig#<#G#?#

9A+ K M9<9> O 9<> =CN<=> K MjP$< =jP1> O j>P>$<

> =CN<=> K M$< =1> S P>$<> =CN<=>

K M$< =1>N<=>M< S P>$<1> =CN<=> K ' $M< S P> =Pc>N<=> M<#H#FN

-e observa de la ec#<#H#F, que para:

<N P K A: 9A+ K ' $ M<#H#GN

>N P K Pc! 9A+ K A M<#H#HN

?N P < Pc! 9A+ K 'eal M<#H#IN

CN P > Pc! 9A+ K 0maginario M<#H#<AN

) pesar que el filtro está compuesto de elementos reactivos él no presenta unas pérdidas nulaspara todas las frecuencias, sino sólo en algunos rangos, por lo que se puede establecer quecuando su impedancia característica es reactiva, la impedancia de carga también lo es, debidoal criterio de adaptación por impedancia característica, por lo que la carga no aprovecha laenergía sino que la almacena retornándola al transmisor posteriormente, lo cual es como si nollegara a la carga, obteniéndose la banda atenuada, mientras que cuando la impedanciacaracterística es real, la carga es real aprovechando la energía, originándose la banda pasante,pero esta sólo se aprovecha completamente a la frecuencia cero# .ebido a esto, se hace

necesario colocar una interfaz entre el filtro la carga, al igual que entre el transmisor elfiltro, para obtener má%ima transferencia de potencia en la maor parte del rango detransmisiJn del filtro#



1.3FILTRO PASA BAO T ! DERI,ADO

1omo se observa de la fig#<#@#<, la sección QBconstante, alrededor de los cortes, B < A, lavelocidad de atenuación es lenta, siendo la deseada a los valores B ∞ O∞, por lo que rangos

de frecuencias no deseadas no se atenuan completamente# .ebido a esto, se diseña un filtropasa bajo +; mBderivado, para que al colocarlo en cascada con el +; QBconstante solucione elcambio lento alrededor del corte# -e denomina mBderivado porque se define un n"mero:

m K 9<m =9< M<#I#<N

1omo ellos se colocan en cascada sus impedancias características deben ser iguales para quese cumpla el criterio de adaptación por impedancia imagen, pero para estos casos adaptaciónpor impedancia característica#

9A+KM9<9> O9<> =CN<=>K9A+mKM9<m9>mO9<m

> =CN<=>KMm9<9>mOm>9<> =CN<=> M<#I#>N

Elevando al cuadrado la ec#<#I#>, se obtiene:

9>m K 9> =m O 9<M< S m>N=Cm M<#I#?N

$a ec#<#I#?, corresponde a la rama en derivación del filtro +; mBderivado pasa bajo, donde lasramas en serie son dadas por la ec#<#I#<, por lo que el mBderivado queda como se ve en lafig#<#I#<#

1omo 9< corresponde a la impedancia de un inductor en el filtro pasa bajo +, QBconstante, enla ec#<#I#?, para que el segundo término de la derecha siga correspondiendo a la impedanciade un inductor se necesita que el paréntesis sea positivo, por lo que dicha ecuación

corresponde a un inductor en serie con un capacitor#



.e la ec#<#I#?, para para que el término que contiene a 9< se mantenga inductivo, se necesita:

M< S m>N=Cm > A M<#I#CN m < < M<#I#@N

mL1/2H mL

1/2H

mX1/2 Ω mX

1/2Ω

mC2f X2/mΩ

L1(1-m2)/4mH X

1(1-m2)/4mΩ

Fig. 1..1 Fi!tro " m- derivado #asa $a%o



1.10 FRECUENCIA DE CORTE DEL FILTRO T !DERI,ADO PASA BAO

(ara determinar la e%presión de frecuencia de corte de un filtro pasa bajo + mBderivado, seaplica la ec#<#G#<, pero adecuándola a este filtro:

9<m K B C9>m M<#<A#<N

'emplazando las ecs#<#I#< <#I#? en la ec#<#<A#<:

m9< K B CM9> =m O 9<M< S m>N=CmN! de donde:

L< K B CL> M?#<A#>N

$a ec#<#<A#>, es idéntica a la ec#<#G#<, lo que indica que ambos filtros tienen la mismae%presión de frecuencia de corte, esto mismo es lo indica la gráfica <#I#>#

1.11 FRECUENCIA DE ATENUACIÓN INFINITA DEL FILTRO T !

DERI,ADO PASA BAO

$a frecuencia de atenuación infinita se determina cuando a la carga del filtro no llegaabsolutamente ning"n nivel de señal, esto se logra observando del filtro mBderivado que si9>m K A, toda la señal circula por ese corto circuito en derivación ninguna señal llega a lacarga#

(ara que 9>m, sea nulo, se necesita que esa impedancia entre en resonancia sea igual a P K

Pr K P∞, en donde el subíndice ∞, indica no una frecuencia infinita, sino la frecuencia donde laatenuación es infinita#



9>m K 9> =m O 9<M< S m>N=Cm K A K <=jmP∞1> O jP∞$<M< S m>N=Cm! de donde:

P∞ K M>=M$<1>N<=>N=M<Bm>N<=> K Pc =M<Bm>N<=> M<#<<#<N

$a e%presión para m se obtiene de la ec#<#<<#<:

m K M< S Pc> =P∞

>N<=> M<#<<#>N

$o que indica la ec#<#<<#>, que P∞, debe ser maor que Pc, la fig#<#I#>, lo muestra en formagráfica#

)l colocar en cascada una sección de filtro +, QBconstante con una sección de filtro +, mBderivado, se soluciona la variación lenta de la atenuación con la frecuencia alrededor de lafrecuencia de corte! haciendo la frecuencia de atenuación infinita P∞ lo mas cercana posible ala frecuencia de corte Pc o haciendo la frecuencia de atenuación infinita P∞ igual a unafrecuencia no deseada como lo muestra la fig#<#<<#<# )demás esta figura muestra que lacaracterística de atenuación de la cascada de los filtros QBconstante mBderivado se apro%imaa un filtro pasa bajo ideal#



1.12 IMPEDANCIA CARACTERSTICA DE UNA SECCIÓN DE FILTRO !DERI,ADA PASA BAO T

.e la fig#<#I#< de la ec#<#I#>, se tiene:

9A+m K M9<m9>m O 9<m> =CN<=> K Mm9<9>m O m>9<

> =CN<=>

K MB mL<ML> =mOL<M<Bm>N=CmNBm>L<> =CN<=> K MBL<L> S L<

> =CN<=> K 9A+ M<#<>#<N



-e observa de la ec#<#<>#<, que 9A+m es independiente de m;, remplazando:

9A+mK M$< =1>N<=>M< S P>$<1> =CN<=> K ' $M< S P> =Pc>N<=> K ' $M< S f > =f c>N<=> M<#<>#>N

.e la ec#<#C#?, la impedancia característica de la sección Π, mBderivada, puesto que 9A+mK 9A+es:

9AΠm K 9<m9>m =9A+mK9<m9>m =M9<m9>m O 9<m> =CN<=> K 9<m9>m =9A+

K M$< =1>N<=>M< S P>M< S m>N=Pc>N=M< S P> =Pc

>N<=>

K ' $M< S P>M< S m>N=Pc>N=M< S P> =Pc

>N<=> M<#<>#?N

$a ec#<#<>#?, indica que 9AΠm, depende de m;, si m se hace igual a la unidad se encuentraun prototipo QBconstante Π, mientras que si m K A, se obtiene un QBconstante +;#

.ibujando la ec#<#<>#? contra la frecuencia normalizada P=Pc, se obtiene la gráfica de la

fig#<#<>#<, en donde se observa que para todas las impedancias características sólo e%isteacoplamiento a la frecuencia cero, como se estableció anteriormente, a que el filtro se terminacon ' $ no con 9A, debido a esto, e%iste la necesidad de diseñar una interfaz para que adapte ala carga ' $ en casi todo el rango de frecuencias de la banda pasante no sólo al valorimpráctico de P K A# -eg"n la gráfica <#<>#<, esa interface es una red Π−derivada con m KA#F, pero esta interfaz debe tener también la propiedad de ver hacia la red +; una impedancia9A+ mientras que hacia la carga ' $ ver 9AΠ# 1omo se vio en el apartado <#C, fig#<#C#<, estainterface es una red $;, por lo que se divide la red +; mBderivada de fig#<#I#<, como semuestra en la fig#<#<>#>, a que 9A+mK 9A+, en los terminales seccionados se obtiene 9AΠm, quees lo necesario#

$a media sección de la fig#<#<>#>, se diseña para m K A#F, originando los valores de la ramaserie de A#?$<, de la rama en derivación A#?1>4 A#@??$<#



Ej5'('($ 1.12.1% .emostrar que la curva de 9A+, dentro de la banda pasante que se muestraen la fig#<#<>#<, es un arco de circunferencia#



1.16 FILTRO COMPUESTO CLÁSICO PASA BAO CON SECCIONES T Y L

El filtro compuesto consta de una cone%ión en cascada de secciones +; $;, con igualesvalores de frecuencias de corte con diferentes funciones de atenuación como se observa enla fig#<#<<#<, en donde vemos que alrededor de la frecuencia de corte la sección mBderivada esla que predomina para que haa un cambio abrupto entre la banda pasante la bandaatenuada viceversa, mientras que para las altas frecuencias en la banda atenuada quien

predomina es la sección QBconstante para mantener la atenuación en un valor alto# En lafig#<#<?#<, se observa el filtro compuesto, en donde la sección $; se conecta para haceradaptación imagen entre la carga la sección +; mBderivada que tiene una impedancia 9A+mK9A+, esto es, la impedancia de carga se refleja al otro lado de la sección $; como 9A+mK 9A+ enun H@T de la banda pasante, para m K A#F#

Ej!"#$ 1.16.1% .iseñar un filtro compuesto pasa bajo con secciones + $, si ' $ K <Ω Pc

K < rps, si e%iste una frecuencia no deseada de <#C rps#

S$#&'()*%

mL1/2H

mX1/2Ω

mC2/2F 2X2/mΩ

$<M<Bm>N=>m L<M<Bm>N=>mΩ

Ζ 0ΤmK9A+ 9AΠm≠9AΠ

Fig#<#<>#> -ección $ pasa bajo mBderivada



(ara diseñar el pasa bajo + QBconstante, se utilizan las ecs#<#G#>, <#G#@: Pc K >=M$<1>N<=> K <!' $ K M$< =1>N<=> K <Ω, de donde: $<K> 1> K>4, la rama en serie de la sección + es < K $<Q/, 1> K >4 K 1>Q/, valores normalizados en amplitud, a que la impedancia de carga es <Ω enfrecuencia puesto que la frecuencia de corte es < rps#

(ara diseñar el pasa bajo + mBderivado, se utiliza la ec#<#<<#>, para hallar m:

m K M< S Pc> =P∞

>N<=>KM< S <> =<#C>N> K M< S <=<#C>N> K M<B A#@<A>N<=> K A#FIIH@#

(ara diseñar la sección +, mBdrivada, se remplazan los valores en las e%presiones dadas en lafig#<#I#<, obteniéndose:

la rama en serie es: m$< => K $<sm/ K A#FIIH@#

$a rama en derivación es: $<pm/ K $<M<Bm>N=Cm K A#<H>>@, 1>pm/ K m1> K <,?IIG4#

(ara diseñar el pasa bajo $, mBderivado, se utilizan las e%presiones que se muestran en lafig#<#<>#>, pero con m K A#F puesto que se demostró en la ec#<#<>#? que 9AΠm es igual alH@T' $ para este valor de m, obteniéndose:

(ara la rama serie, $<s$/ K m$< => K A#F! para la rama en derivación se obtiene: 1>p$/ K m1> =>K A#F4 $<p$/ K $<M<Bm>N=>m K <,AFFFF#

& t'

seccin seccin seccin seccin

L " *-constante " m-derivado L

& L

+

t'm , . m , .

-

Fig. 1.1.1 0iagrama en $!oue de un fi!tro com#uesto #asa $a%o con secciones " L con ada#tacin imagen.



El filtro compuesto pasa bajo se muestra en la fig#<#<?#>#

Ej5'('($ 1.16.1% .emostrar que la sección $; mBderivada tiene la misma frecuencia de corte la misma frecuencia donde la atenuación es infinta como la de las secciones QBconstante mB

derivada#

/otar que al sumar los valores de los inductores en serie de las ramas series, la red de lafig#<#<?#>, queda como la red de la fig#<#<#<, o sea una cascada de redes en $;, que es dedonde se ha partido#

+odos los filtros que se han diseñado para hacer el filtro compuesto, al igual que éste, estannormalizados, por lo que ellos son prototipos a los cuales para determinar un filtro pasa bajopara cualesquier frecuencia de corte cualesquier nivel de impedancia, ellos se debendesnormalizar en ambas, frecuencia e impedancia#

Ej5'('($ 1.16.2% .iseñar paso a paso un filtro compuesto con secciones Π, donde 9>m K

9> =m#

1.14 NORMALI7ACIÓN DE MAGNITUD Y FRECUENCIA

asta aquí se han diseñado los filtros pasa bajo normalizados, puesto que Pc K < rps ' $ K <Ω, por lo que ha que determinar métodos para desnormalizarlos, así poder hacer diseñospara cualesquier valor de frecuencia de corte de nivel de impedancia# -e designa sn a la

frecuencia variable normalizada, a los elementos normalizados por $n, 1n, ' n# $a frecuenciavariable normalizada sn se relaciona con la frecuencia verdadera s; por la relación:

1Ω '.6 16 16 '.#6 '.#6 '.6

'.F './2F .F

2F

1Ω

U <,AFF 132H 1.H

-

Fig. 1.1.2 Fi!tro com#uesto #asa $a%o norma!i5ado en frecuencia am#!ituid.



sn K s=PA K s=Pc M<#<C#<N

.onde PA, es la constante de normalización, es adimensional generalmente corresponde a lafrecuencia de corte verdadera para cada caso particular de diseño#

(. D8*$5!9#(:9'()* ; <5'&*'(9

(uesto que la impedancia de un elemento permanece invariable bajo normalización defrecuencia, se determinan los valores verdaderos de los valores normalizados al igualar lasimpedancias entre sí en ambos casos# Esto es:

1. I*;&'=$5.

9$/ K sn$n K 9$ K s$ K PAsn$ M<#<C#>N

.e la ec#<#<C#>, se obtiene:

$ K $n =PA K $n =Pc M<#<C#?N

2. C9"9'(=$5.

91/ K <=sn1n K 9c K <=s1 M<#<C#CN

.e la ec#<#<C#C, se obtiene:

1 K 1n =PA K 1n =Pc M<#<C#@N

(uesto que idealmente los resistores, son independientes de la frecuencia, o sea sin tener en

cuenta el efecto sQin, ellos no se afectan por normalización de frecuencia#



2(. D8*$5!9#(:9'()* * 9!"#(=&;

(ara la desnormalización de amplitud o de impedancia, se considera que el valor verdadero deimpedancia es ' AΩ en lugar de <Ω, por lo que una impedancia desnormalizada 7 se relaciona a

una impedancia normalizada 7* por:

7 > ' A7n M<#<C#FN

.onde ' A es adimensional#

1. R8(8=$5. )plicando la ec#<#<C#F, el valor verdadero del resistor es:

' K ' A' n M<#<C#GN

2. I*;&'=$5. )plicando la ec#<#<C#F, el valor verdadero del inductor es:

s$ K ' AMs$nN, de donde:

$ K ' A$n M<#<C#HN

6. C9"9'(=$5. )plicando la ec#<#<C#F, el valor verdadero del capacitor es:

<=s1 K' AM<=s1nN K ' A =Ms1nN, de donde:

1 K 1n =' A M<#<C#IN

(ara la desnormalización combinada de frecuencia magnitud, simplemente se combinan losdos conjuntos de ecuaciones dadas en los subapartados i >i, obteniéndose de este apartado:



' K ' A' n M<#<C#<AN 1 K 1n =' APc M<#<C#<<N $ K ' A$n =Pc M<#<C#<>N

Ej5'('($ 1.14.1% .iseñar un filtro pasa bajo compuesto con secciones + $, sí ' $ K @AAΩ, Pc K <AC rps, con el prototipo de la fig#<#<?#>#

Ej5'('($ 1.14.2% .iseñar un filtro pasa bajo compuesto con secciones Π $, sí ' $ K @AAΩ, Pc K <AC rps, con el prototipo que origina el ejercicio <#<?#>#

1.1+ TRANSFORMACIÓN DE FRECUENCIA

asta ahora sólo se han diseñado los filtros pasa bajo clásicos, faltando los pasa altos, pasabanda eliminadores de banda, los cuales en este apartado se diseñan, pero aplicando lastransformaciones de frecuencias#

)nalíticamente, la trasformación de frecuencia cambia una función de punto de e%citación $B1,en otra función de punto de e%citación $B1, a que se intercambia inductor por capacitor viceversa, por lo que la red sigue siendo $1#

)l partir de un filtro pasa bajo normalizado, la ecuaciones de transformación pueden o noincluir factores para desnormalizar automáticamente en frecuencia, por lo que la red resultantesólo queda normalizada en amplitud o nivel de impedancia#

I. T59*8<$5!9'()* ; "989 ?9j$ 9 "989 9#=$% $a ecuación mas simple de

transformación es la transformación de pasa bajo a pasa alto, la cual es:

s K PA =sn K Pc =sn M<#<@#<N

.onde sn representa la frecuencia variable normalizada del filtro pasa bajo, s es frecuenciavariable regular, PA es la frecuencia de corte del filtro pasa alto# El objetivo es determinarcomo la transformaciones cambian los elementos de la red# $os elementos de la red pasa bajonormalizada se denotan con el subíndice n, los elementos del pasa alto con el bubíndice h, loselementos del pasa banda con el subíndice b, los elementos del eliminador de banda con elsubíndice e# (ara el caso de pasa bajo a pasa alto la ec#<#<@#<, indica que una impedancia

inductiva se transforma en una impedancia capacitiva viceversa, por lo que dicha ecuaciónintercambia inductores por capacitores viceversa, esto es:



1. C9"9'(=$5% $a impedancia del capacitor del filtro pasa bajo normalizado, aplicándole laec#<#<@#< de transformación es:

<=1nsn K s=PA1n ≡ $Vhs, donde:

$Vh K <=PA1n M<#<@#>N

2. I*;&'=$5% $a impedancia del capacitor del filtro pasa bajo normalizado, aplicándole laec#<#<@#< de transformación es:

$nsn K $nPA =s ≡ <=1Vhs, de donde:

1Vh K <=PA$n M<#<@#?N

El superíndice es para indicar que los elementos en el filtro pasa alto están normalizados enamplitud, por lo que de las ecs#<#<C#<< <#<C#<>, se devide el capacitor se multiplica elinductor por ' A, respectivamente para desnormalizarlos en amplitud:

$h K ' A =PA1n M<#<@#CN 1h K <=' APA$n M<#<@#@N

Ej5'('($ 1.1+.1% .eterminar como el eje jPn se transforma en el eje jP, dibuje larespectivas bandas atenuadas pasante, en la transformación de pasa bajo pasa alto#

Ej5'('($ 1.1+.2% .iseñar un filtro + pasa alto, si PAKPcK<AF rps ' $K@AAΩ,

dibujar las curvas de atenuación fase contra frecuencia el filtro#

Ej5'('($ 1.1+.6% (or medio de las curvas de reactancia contra frecuencia, demostrar que elfiltro del ejercicio <#<@#>, es pasa alto#Ej5'('($ 1.1+.4% )plicando las ecuaciones de transformación al filtro pasa bajo +, mBderivado, disenar un filtro pasa alto +, mBderivado#

Ej5'('($ 1.1+.+% )plicando las ecuaciones de transformación a la sección $ pasa bajo, disenaruna sección $ pasa alto#



Ej5'('($ 1.1+.@% )plicando las ecuaciones de transformación diseñar un filtro compuestopasa alto con secciones + $#

Ej5'('($ 1.1+.-% )plicando las ecuaciones de transformación diseñar un filtro compuestopasa alto con secciones Π $#

Ej5'('($ 1.1+.% )plicar las curvas de reactancias contra frecuencia a cada una de las etapasdel filtro del ejercicio <#<@#G, para demostrar que corresponde a un filtro pasa alto#

II. T59*8<$5!9'()* ; "989 ?9j$ 9 "989 ?9*;9% $a transformación pasa bajo a pasabanda, también una función $B1, es:

sn=w

-

BW [ s

w-

w

-

s ]=

w-

w[ s

w-

w

-

s ] M<#<@#FN

.onde:

WX K ∆P K Pc> B Pc< M<#<@#GN PA K MPc>Pc<N<=> M<#<@#HN

bserve que la ec#<#<@#F, indica que la impedancia de un inductor se transforma en laimpedancia de inductor en serie con un capacitor#

1. I*;&'=$5% $a impedancia del inductor del filtro pasa bajo normalizado, aplicándole laec#<#<@#F de transformación es equivalente para el pasa banda a:

$nsn K $ns=∆P O PA>$n =s∆P ≡ $Vb<s O <=1Vb<s M<#<@#IN

.e la ec#<#<@#I, se ontienen las e%presiones de los inductores capacitores en seriedesnormalizados automáticamente en frecuencia# .esnormalizándolos inmediatamente enmagnitud, se obtiene:

$b<s K $n' A =∆P M<#<@#<AN 1b<s K ∆P=PA>' A$n M<#<@#<<N



2. C9"9'(=$5% $a impedancia del capacitor del filtro pasa bajo normalizado, aplicándole laec#<#<@#F de transformación es equivalente para el pasa banda a:

$b>p K ∆P=PA>1n, 1b>p K 1n =∆P#

.esnormalizando estas e%presiones en magnitud o impedancia se obtiene:

$b>p K ' A∆P=PA>1n M<#<@#<>N 1b>p K 1n =' A∆P M<#<@#<?N

Ej5'('($ 1.1+.3% .emostrar las ecs#<#<@#<A <#<@#<<, determinar que el inductor

capacitor están en serie# .emostrar las ecs#<#<@#<> <#<@#<?, determinar que el inductor capacitor están en paralelos#

Ej5'('($ 1.1+.10% .etermine la condición para el filtro +; pasa banda QBconstante, pormedio de las curvas de reactancia contra frecuencia para esta condición, demostrar que el filtroes un pasa banda#

Ej5'('($ 1.1+.11% ) partir del filtro pasa bajo +, QBconstante normalizado, determine losvalores de los elementos de un filtro pasa banda, si ' $ K >AAΩ, ∆P K F%<AC rps, la frecuencia

central PA K C%<AC

rps# .ibujar el filtro#

Ej5'('($ 1.1+.12% )plicando las ecuaciones de transformación diseñar un filtro compuestopasa banda con secciones Π $#

Ej5'('($ 1.1+.16% )plicar las curvas de reactancias contra frecuencia a cada una de lasetapas del filtro del ejercicio <#<@#<>, para demostrar que corresponde a un filtro pasa banda#

III. T59*8<$5!9'()* ; "989 ?9j$ 9 #(!(*9;$5 ; ?9*;9% +ambién se puede partir de

un prototipo pasa alto aplicar la ecuación de transformación <#<@#F#

$a transformación pasa bajo a eliminador de banda, también una función $B1, es el inverso dela ec#<#<@#F:



sn=

BW

w-[ s

w-

w

-

s]

= w

w-[ s

w-

w

-

s]

M<#<@#<CN

1. I*;&'=$5% $a impedancia del inductor del filtro pasa bajo normalizado, aplicándole laec#<#<@#<C de transformación es equivalente a:

$e<p K $n' A∆P=PA M<#<@#<@N 1e<p K <=∆P' A$n M<#<@#<FN

2. C9"9'(=$5% $a impedancia del capacitor del filtro pasa bajo normalizado, aplicándole laec#<#<@#<C de transformación es equivalente a:

$e>s K ' A =∆P1n M<#<@#<GN 1e>s K 1n∆P=' APo> M<#<@#<HN

Ej5'('($ 1.1+.14% .emostrar las ecs#<#<@#<@ <#<@#<F, determinar que el inductor capacitor están en paralelos# .emostrar las ecs#<#<@#<G <#<@#<H, determinar que elinductor capacitor están en serie#

Ej5'('($ 1.1+.1+% .etermine la condición para que el filtro del ejercicio <#<@#G, seaeliminador de banda QBconstante, por medio de las curvas de reactancia contra frecuenciapara esta condición, demostrar que el filtro es un eliminador de banda#

Ej5'('($ 1.1+.1@% ) partir del filtro pasa bajo +, QBconstante normalizado, determine losvalores de los elementos de un filtro eliminador de banda, si ' $ K >AAΩ, ∆P K F%<AC rps, lafrecuencia central PA K C%<AC rps# .ibujar el filtro#

Ej5'('($ 1.1+.1-% .iseñe un filtro pasa banda +, QBconstante un elinador de banda +, QBconstante, a partir del filtro pasa bajo +, QBconstante normalizado, si Pc< K >%<AC rps Pc> KH%<AC rps#



Ej5'('($ 1.1+.1% )plicando las ecuaciones de transformación diseñar un filtro compuestoeliminador de banda con secciones Π $#

Ej5'('($ 1.1+.13% )plicar las curvas de reactancias contra frecuencia a cada una de lasetapas del filtro del ejercicio <#<@#<H, para demostrar que corresponde a un filtro eliminador debanda#

Ej!"#$ 1.1+.1% 1on los criterios de diseño paso a paso de los filtros +, QBconstante,determine las ecuaciones de diseño <#<@#C <#<@#@, del filtro +, pasa alto, determinadas através de las transformaciones de frecuencia, $h K ' A =PA1n 1h K <=' APA$n respectivamente, la e%presión de la impedancia característica#

S$#&'()*% .e la transformación de frecuencia se obtuvo que los elementos en el pasa alto seintercambian con respecto a los del pasa bajo, por lo que:

Z 1= jX 1=− j

wC 1 Z

2= jX

2= jwL

2 de la ec#<#G#C, se obtiene:

' $ K M9<9>N<=>

Ω K

1

jwC 1 jwL2=

L 2

C 1 M<#<@#<IN

(ara determinar la frecuencia de corte, se usa la ec#<#G#<, 9< K B C9>#

'eemplazando las e%presiones de 9< 9>, se obtiene: 1

jwC 1=−4%wL2 , de donde:

wc= 1

2 L2C 1 M<#<@#>AN



.e las ecs#<#<@#<I <#<@#>A, se obtienen las ecuaciones de diseño:

L2

= R

-

4 f c............ 1.16.21 ..........C

1

= 1

4 f c R-

.................. 1.16.22

.e la ec#<#C#>, se obtiene:

Z -"=

jwL2

jwC 1

1

j

2

w

2

C

2

1

= R- 1− f c

f

2

M<#<@#>?N

Ej5'('($ 1.1+.20% .ibujar la ec#<#<@#>?, para toda frecuencia, determinar a que frecuenciade la banda pasante e%iste adaptación, sabiendo que la impedancia de carga del filtro pasa alto+, es ' A demostrar que en la banda pasante la curva de 9o+ es una circunferencia#

Ej5'('($ 1.1+.21% acer el ejemplo <#<@#<, para el filtro pasa alto Π, QBconstante#

Ej!"#$ 1.1+.2% 1on los criterios de diseño paso a paso de los filtros +, mBderivado,

determine las ecuaciones de diseño para un filtro pasa alto +, mBderivado#S$#&'()*% El objetivo de diseñar el filtro mBderivado pasa alto, es el mismo establecido parael pasa bajo mBderivado, esto es, velocidad de atenuación alrededor de la frecuencia de cortemu lenta, por tanto, se igualan las 9A+ 9A+m: 9A+KM9<9>

O9<> =CN<=>K9A+mKM9<m9>mO9<m

> =CN<=>KMm9<9>mOm>9<> =CN<=>! de donde, 9>m K 9> =m O 9<M< S

m>N=Cm, reemplazando las impedancias del pasa alto se obtiene:

Z 2m=

jwL2

m

1

jwC 1 [

1−m2

4m ]= jX 2m de donde:



X 2m=wL

2

m −

1

wC 1[1−m

2

4m] ...................... 1.16.24

.e la ec#<#<@#>C, para que el segundo término de la derecha siga siendo capacitivo se necesitaque el corchete sea maor que la unidad, de donde:

< S m> > <, de donde:

m < < M<#<@#>@N

$o que origina que las e%presiones de los elementos del pasa alto mBderivado sean: ramasserie >1< =m! rama en derivación $> =m Cm1< =M< S m>N en series#

(ara determinar la frecuencia donde la atenuación es infinita se iguala a cero la ec#<#<@#>C,obteniéndose:

X 2m=w∞

L2

m−

1

w∞C 1[1−m

2

4m]=- ,de donde se obtienen las e%presiones P∞ m:

w∞= 1

2 L2C 1 1−m2=wc 1−m2 M<#<@#>FN

m= 1−[w∞

wc

]2

M<#<@#>GN

.e la ec#<#C#?, la impedancia característica de la sección Π, mBderivada, puesto que 9A+mK 9A+

es:

9AΠm K 9<m9>m =9A+mK 9<m9>m =M9<m9>m O 9<m> =CN<=> K 9<m9>m =9A+



K M$> =1<N<=>M< S Pc>M< S m>N=P>N=M< S Pc

> =P>N<=>

K ' $M< S Pc>M< S m>N=P>N=M< S Pc

> =P>N<=> M<#<@#>HN

Ej!"#$ 1.1+.6% 1on los criterios de diseño paso a paso de los filtros $, mBderivado,determine las ecuaciones de diseño para un filtro pasa alto $, mBderivado: 90< K 9A+ 90> K 9AΠm#

S$#&'()*%

90<K9$<B<VK9A+K Z -"= jwL2

jwC 1

1

j 2w

2C 2

1

= R- 1− f c

f

2

M<#<@#>IN

90> K 9$>B>V K 9AΠm K ' $M< S Pc>M< S m>N=P>N=M< S Pc

> =P>N<=> M<#<@#?AN

$a ec#<#<@#?A, para m K A#F es igual al H@T de 9A+# $os valores de la red $, son: >1< =m para larama serie! >$> =m >m1< =M< S m>N para la rama en derivación#

Ej5'('($ 1.1+.22% acer las gráficas de la ec#<#<@#>I la de la ec#<#<@#?A, para m K A#F#

Ej5'('($ 1.1+.26% (or de las curvas de reactancias contra frecuencia demostrar del ejemplo?#<@#>, corresponde a un filtro pasa alto visualizar cual es maor entre Pc P∞#

Ej!"#$ 1.1+.4% 1on los criterios de diseño paso a paso de los filtros +, QBconstante,

determine las ecuaciones de diseño para un filtro pasa banda +, QBconstante#S$#&'()*% .e las ec#<#<@#F, de transformación se obtuvo que el inductor en serie setransforma en un circuito serie $1, de valores $< => >1<, para las ramas serie un circuito



paralelo en derivación con $> 1>, el cual es más sencillo económico que colocar en cascadaun filtro pasa bajo con otro pasa alto, con Pc$ > Pch#

(ara que sea QBconstante se tiene que cumplir la ec#?#G#C#

R L= Z 1Z 2=

j wL1−

1

wC 1

1

j wC 2− 1

wL2

= L2

C 1

[w

2 L1C 1−1

w2 L2C 2−1

]

R L=

L2

C 1

= L1

C 2

M<#<@#?<N

(ara determinar la ec#<#<@#?<, se debe cumplir que: MP>$<1< B <NKMP>$>1> B <N, para que ' $, enla ec#<#<@#?<, sea independiente de la frecuencia, la cual es la condición para filtro QBconstante,de donde:

$<1< K <=Pr> K $>1> K <=PA

> M<#<@#?>N

$a ec#<#<@#?>, indica que para que el filtro sea QBconstante se necesita que la rama serieresuene a la misma frecuencia que la rama en derivación#

.e la ec#<#G#<, se tiene la condición de la frecuencia de corte, de donde:

9< K B C9>, entonces, 9<> K B C9<9> K B C' $>, de donde:

9< K ± j>' $ M<#<@#??N wL1− 1

wC 1=±2& L M<#<@#?CN



$a ec#<#<@#?C, indica que e%isten dos soluciones con respecto a la frecuencia, donde ' $ tieneque ser positiva, por lo que:

∣wL1− 1wC 1

∣=2& L M<#<@#?@N

(ara P K P< < Pr, la naturaleza de L< es capacitiva, por lo que se obtiene:

w1132=− R L

L1

± R L

L1

2

1

L1C 1 M<#<@#?FN

1omo P< tiene que ser positiva sólo e%iste un valor de la ec#<#<@#?F:

w1=

− R L

L1

R L

L1

2

1

L1C 1 M<#<@#?GN

(rocediendo de la misma forma para la frecuencia P K P> > Pr, se obtiene:

w2= R L

L1

R L

L1

2

1

L1C 1

M<#<@#?HN

-e define el ancho de banda como la diferencia de P> S P<#



∆P K WX K P> S P< K 2&

L

L1

M<#<@#?IN

.e la ec#<#<@#?I, se obtiene la ecuación de diseño:

L1= R

L

f 2− f 1 M<#<@#CAN

aciendo el producto de las ecs#<#<@#?H <#<@#?G:

P>P< K 1

L1C 1K Pr

>, que es la misma ec#<#<@#?>, de donde:

wr = w2w1 M<#<@#C<N

.e la ec#<#<@#?>, se obtiene:

C 1= f

2− f

1

4 R L f 1 f 2 M<#<@#C>N

.e la ec#<#<@#?<, se obtiene:

L2

= R L

2C

1

= f

2− f

1

4 f 1 f 2 R

L M<#<@#C?N



C 2= L

1

R L

2=

1

R L f 2− f 1 M<#<@#CCN

$as ecs#<#<@#CA, <#<@#C>, <#<@#C? <#<@#CC, son las ecuaciones de diseño del filtro pasa banda+, QBconstante#

Ej5'('($ 1.1+.24% .eterminar las ecs#<#<@#C? <#<@#CC, partiendo de la ec#<#G#C#

Ej5'('($ 1.1+.2+% )plicando la ec#<#<@#?>, demuestre por medio de las curvas dereactancias que el ejemplo <#<@#C, corresponde a un filtro pasa banda# Y (ara que sea QBconstante que condición se debe cumplirZ#

Ej!"#$ 1.1+.+% (ara corregir las deficiencias del pasa banda QBconstante a establecidas,

diseñar un pasa banda +, mBderivado para corregirlas#

S$#&'()*% .e la ec#<#<@#F de transformación la cual origina las ecs#<#<@#<A, <#<@#<<, <#<@#<> <#<@#<? se obtiene que el filtro pasa bajo +, mBderivado de la fig#<#I#<, se transforma en unfiltro pasa banda +, mBderivado, con las ramas serie dadas por un inductor m$< => en serie conun capacitor >1< =m la rama en derivación dada por un inductor M<Bm>N$< =Cm en serie con uncapacitor Cm1< =M<Bm>N en serie con tanque paralelo dado por, $> =m m1>#

(ara determinar la e%presión que origina la condición de atenuación infinita, se hace:

Z 2m=-= jw∞

1−m2

4m L1− j

1−m2

4mw∞C 1− j

1

mw∞C 2− m

w∞ L2

= jX 2m M<#<@#C@N

'emplazando en la ec#<#<@#C@, la ec#<#<@#?>, se obtiene:



f ∞2− f

2− f

1 f

∞

1−m2

− f 1 f 2=- M<#<@#CFN

$a ec#<#<@#CF, indica que e%isten dos valores de de frecuencias donde la atenuación es infinita,lo que es de esperarse, puesto que e%isten dos frecuencias de corte que tienen que sermodificadas sus respectivas velocidades de variación alrededor de ellas, las cuales son:

f ∞132= f 2− f 1

2 1−m2±

f 2− f 12

4 1−m2 f 1 f 2 M<#<@#CGN

-e observa de la ec#<#<@#CG, que de los términos de la derecha el radical es maor que eltérmino independiente, por lo que estos términos se invierten, obteniéndose los dos valores defrecuencia de atenuación infita positivos:

f ∞1=− f 2− f 1

2 1−m2

f 2− f 12

4 1−m2 f 1 f 2 M<#<@#CHN

f ∞2= f 2− f 1

2 1−m2

f 2− f 12

4 1−m2 f 1 f 2 M<#<@#CIN

.e la ec#<#<@#CF, se obtiene la e%presión de m:



m=

1−

f 2− f 12 f ∞

2

f ∞2− f 1 f 2

2= f ∞

2− f 12 f ∞

2− f 22

f ∞2− f 1 f 2 M<#<@#@AN

El valor de m, se escoge para obtener cualquiera de las dos frecuencias de atenuación infinita,en el punto deseado, la otra frecuencia de atenuación infinita se puede fijar o determinar de lae%presión que se origina al hacer el producto de las ecs#<#<@#CH <#<@#CI, obteniéndose:

f -= f r = f ∞1 f ∞2 M<#<@#@<N

-e observa de la ec#<#<@#@<, que f A K f r, es la media geométrica de las frecuencias deatenuación infinitas, así como la ec#<#<@#C<, es la media geométrica de las frecuencias de corte#

Ej5'('($ 1.1+.2@% .emuestre por medio de las curvas de reactancias que el ejemplo <#<@#@,corresponde a un filtro pasa banda#

Ej5'('($ 1.1+.2-% .iseñar la sección pasa banda $, para adaptar la impedancia de carga ' $,en un H@T dentro de la banda pasante#

Ej5'('($ 1.1+.2% 1on los criterios de diseño paso a paso de los filtros +, QBconstante,determine las ecuaciones de diseño para un filtro eliminador de banda +, QBconstante#

L1= f

2− f

1

f 1 f 2

R L M<#<@#@>N L2= R

L

4 f 2− f 1

M<#<@#@?N



C 1= 1

4 R L f 2− f 1 M<#<@#@CN C 2=

f 2− f

1

R L f 1 f 2 M<#<@#@@N

Ej5'('($ 1.1+.23% (ara corregir las deficiencias del eliminador de banda QBconstante delejercicio <#<@#>G, diseñar un eliminador de banda +, mBderivado#

Ej5'('($ 1.1+.60% .iseñar la sección eliminador de banda $, para adaptar la impedancia decarga ' $, en un H@T dentro de la banda pasante, en los ejercicios <#<@#>G <#<@#>H#



B I B L I O G R A F A

1)--E$$, X)$$)1E $# $0/E)' E$E1+'01 10'150+-,X0$E6 0/+E'/)+0/)$ E.0+0/# 8/X0$E6 )/. -/-, 0/1#, /EX 6'[B$/./B-6./E6

8)&E- $# (++E' )/. -6$U)/ 8 401# +E'6 4 /E+X'[- )/. $0/E-# ('E/+01EB)$$4 0/.0) $+.# /EX .E$0#

-[0$$0/2, # # E$E1+'01)$ E/20/EE'0/2 10'150+-, 8/X0$E6 \ -/-, 0/1#,/EX 6'[, <I@G#

0/2E/EE'0/2 1&&5/01)+0/ EUE'0++ )/. )//E'

/E+X'[-, $0/E- )/. 40E$.- 8/ .# '6.E'

$]/E)- .E +')/-&0-0^/ '# )# 10(&)/

E$E1+'/01 +')/-&0--0/ $0/E- .0-+'0W5+E. -[0$$0/2



1 / + E / 0 .

(*20/)-

CARÁTU LA

PRESENTACIÓN

NDICE

1.0 DISEÑO Y OPERACIÓN DE FILTROS DE ONDASELÉCTRICAS CLÁSICOS 01

1.1 INTRODUCCIÓN 01

1.2 PARÁMETROS IMAGEN DE LA SECCIÓN T 06

1.6 PARÁMETROS IMAGEN DE LA SECCIÓN “Π” 06

1.4 SECCIÓN “L” 041.+ FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA IMAGEN DE UNA

SECCIÓN “T” O “Π” SIN DISIPACIÓN 0-

1.@ USO DE LAS CUR,AS DE REACTANCIAS PARADETERMINAR LA ECUCIÓN DE LOS FILTROS

DE ONDAS ELÉCTRICAS 11

1.- FILTRO PASA BAO T /CONSTANTE 11

1. IMPEDANCIA CARACTERSTICA A TRA,ÉS DE UNABANDA PASANTE Y A TRA,ÉS DE UNA BANDA ATENUADA DEL FILTRO PASA BAO T /CONSTANTE 14



1.3 FILTRO PASA BAO T ! DERI,ADO 1+

1.10 FRECUENCIA DE CORTE DEL FILTRO T !DERI,ADO PASA BAO 1-

1.11 FRECUENCIA DE ATENUACIÓN INFINITA DEL FILTRO T ! DERI,ADO PASA BAO 1

1.12 IMPEDANCIA CARACTERSTICA DE UNA SECCIÓN DE FILTRO !DERI,ADA PASA BAO T 13

1.16 FILTRO COMPUESTO CLÁSICO PASA BAOCON SECCIONES T Y L 21

1.14 NORMALI7ACIÓN DE MAGNITUD Y FRECUENCIA 24

1. D8*$5!9#(:9'()* ; <5'&*'(9 24

2(. D8*$5!9#(:9'()* ; 9!"#(=&; 2+

1.1+ TRANSFORMACIÓN DE FRECUENCIA 2@

I. T59*8<$5!9'()* ; "989 ?9j$ 9 "989 9#=$ 2@

II. T59*8<$5!9'()* ; "989 ?9j$ 9 "989 ?9*;9 2

III. T59*8<$5!9'()* ; "989 ?9j$ 9 #(!(*9;$5 ; ?9*;9 23Ej5'('($8 95($8 60

Ej!"#$ 1.1+.1% D(8$ "98$ 9 "98$ ;# <(#=5$ T'$*8=9*= "989 9#=$ 60

Ej!"#$ 1.1+.2% D(8$ "98$ 9 "98$ ;# <(#=5$ T !;5(9;$"989 9#=$ 62

Ej!"#$ 1.1+.6% D(8$ "98$ 9 "98$ ;# <(#=5$8 L

!;5(9;$ "989 9#=$ 66

Ej!"#$ 1.1+.4% D(8$ "98$ 9 "98$ ;# <(#=5$ T'$*8=9*= "989 ?9*;9 64



Ej!"#$ 1.1+.+% D(8$ ;# <#=5$ "989 ?9*;9 T !;5(9;$ 6-

Ej5'('($ 1.1+.2-% D(8$ ; #9 8''()* "989 ?9*;9 L 63

Ej5'('($ 1.1+.2% D(8$ ;# <(#=5$ #(!(*9;$5 ;?9*;9 T '$*8=9*= 63

Ej5'('($ 1.1+.23% D(8$ ; &* #(!(*9;$5 ; ?9*;9 T !;5(9;$ 63

Ej5'('($ 1.1+.60% D(8$ ; #9 8''()* L #(!(*9;$5 ; ?9*;9 63

BIBLIOGRAFA 40

DISEÑO Y OPERACIÓN DE FILTROS CLÁSICOS DE ONDASELÉCTRICAS. NOTAS DE CLASE

PUBLICACIONES IMPRESAS A NI,EL UNI,ERSITARIO DE CARÁCTER DI,ULGATI,O

O DE SISTEMATI7ACIÓN DEL CONOCIMIENTO

ENRIUE CARLOS SALGADO ACOSTA



DEPARTAMENTO DE TRANSMISIÓN

FACULTAD DE INGENIERA ELECTRÓNICA Y TELECOMUNICACIONES

UNI,ERSIDAD DEL CAUCA

2001

tema iii. diseño y operación de filtros clásicos de ondas eléctricas

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