tema de validación de método gauss1

8/17/2019 Tema de Validación de Método Gauss1

1/12

TEMA DE VALIDACION DE METODOS DE GAUSS

Método de gauss:

Aunque este método puede aplicarse a cualquier sistema de ecuaciones

lineales que produzca una matriz (cuadrada, naturalmente pues para que existasolución única, el sistema debe tener tantas ecuaciones como incógnitas) de

coeficientes con los elementos de su diagonal no-nulos, la convergencia del

método solo se garantiza si la matriz es diagonalmente dominante o si es

simétrica y, a la vez, definida positiva

!s un método iterativo, lo que significa que se parte de una aproximación inicial

y se repite el proceso "asta llegar a una solución con un margen de error tan

peque#o como se quiera $uscamos la solución a un sistema de ecuaciones

lineales, en notación matricial%

&or e'emplo%

!n el método de gauss también encontramos unas reglas que nos permitenayudar a una ecuación y estas son

&ermutar

!'emplo es permutación

x - y * z +

x - y * z + -

x - y * z +

!n este momento tenemos la ecuación que nos dan pero no podemos "acerla

porque nos dara el cero que estamos buscando por eso tenemos que cambiarla ecuación que quiere decir las filas y as quedara paras poder "acer el


2/12

e'ercicio

x . y * x + -

x -y *z +

x - * z+

/étodos de gauss reducido%

!ste método de eliminación que "emos aprendido se realiza de formaesquem0tica omitiendo las incógnitas y fi'0ndonos únicamente en loscoeficientes y los términos independientes del sistema sea el sistema deecuación

1x 2 y * z + 1

3x 2 1y * z + 2

x * y 2 z + 2

4mitimos las incógnitas y almacenamos e las dos ca'as matrices loscoeficientes 'untos con los términos independientes de la matriz ampliada5uebrara de esta forma

1 - 1

3 -1 6 -

- 6 -

!scribimos las incógnitas y empezamos a resolver nuestro e'ercicio

1f12f6 1 2 1 1f23f6 1 - 1 7 6 268 211 7 6 -68-11

26 2 7 7 . 69 - 6:

;espués empezamos a resolver la fila 1 de la fila por 7 y obtenemos lamatriz de los coeficientes de forma triangular que estamos resolviente

1 - 1


3/12

!l nuevo sistema se resuelve por sustitución "acia atr0s= de esta formapodemos "allar las respuestas que necesitamos en la ecuación de métodos

reducción y as nos quedan16z+ + z+

> . 68() +-11 + y+ 6

1x . (6) . () +1 +x+-6

Formulaci! de métodos de gauss " algoritmos:

&ara unificar las descripciones algortmica, es conveniente aumentar la matriz

A con el vértice $ pues se debe realizar las mismas operaciones

simult0neamente donde las columnas son coeficientes que se definen enformulación se obtienen directamente del método de gauss ?ord0n en las que

se relacionan de las filas únicamente se puede realizar de la sub@matriz

triangular inferior !sta matriz se transformaciones que se convierte en la matriz

aumentada en la forma triangular superior !ste método de sistema triangular lo

podemos obtener directamente la solución

Algoritmo #$sico de gauss:

!sto es suma matriz de coeficientes, aumentada con los vértices des sistema

de la ecuación lineal damos un e'emplo


4/12

E%icie!te del método de gauss:

!n este método encontramos unas cantidades de operaciones aritméticas que

podemos realizar como son

ormalización esto quiere decir dos ciclos anidados Beducción esto quiere decir tres ciclos anidados

4ptimización de solución esto es dos ciclos anidados

/ediante un recorrido de los ciclos del algoritmo, se puede determinar en forma

m0s precisa que lo que se puede concluir que el método de gauss es las

eficiente que nuestro método gauss ?ord0n

Estrategia de &i'oteo:

!ste método es directo para resolver los sistemas de ecuación lineales esta

operación se puede multiplicación est0 en la sección critica del algoritmo esta

es una estrategia para disminuir el error de redondeo consiste en reducir

Cambién entontamos la estrategia de pivoteo parcial antes de normalizar la fila

e se busca la columna e de cada fila i+ ee*6,, n el cual es el elemento con

mayor magnitud !sta estrategia de búsqueda es diferente de acero, se

concluye en el sistema que no tiene solución única y el algoritmo


5/12

Dnstrumentación computacional del método de gauss con pivoteo%

!sto incluye la formulación descrita y la estrategia de pivoteo parcial

anteriormente en notación matricial en el método de eliminación gauss esto

también en sistema sea singular por los errores de redondeo no sea

exactamente igual de cero

Método de gauss (ord$!:

!l /étodo de Eauss . ?ord0n o también llamado eliminación de Eauss .

?ord0n, es un método por el cual pueden resolverse sistemas de ecuaciones

lineales con números de variables, encontrar matrices y matrices inversas, en

este caso desarrollaremos

!l tema se presenta en secciones% A) sistemas con solución única, $)

sistemas con infinidad de soluciones, F) sistemas sin solución y ;) sistemas

"omogéneos métodos de gauss ?ord0n

!'emplo%

!sto es un sistema de ecuación%

>a &rocedemos al primer paso para encontrar su solución, anotarlo en suforma matricial

&rocedemos al primer paso para encontrar su solución, anotarlo en su forma


6/12

matricial%

Go primero que debemos "acer es transformar el de la nuestra fila 6,de lamatriz original en el 6 de la primera fila de la matriz identidad= para "acer estodebemos multiplicar todo la fila 6 por el inverso de , es decir por H podemoscontener el primer número de nuestra fila primera

Guego debemos obtener los dos ceros de la primera columna de la matriz

identidad% en el caso de la fila , se multiplicara a -1 (opuesto de 1) por cadauno de los elementos de la fila 6 y se sumara su resultado con el número quele corresponda en columna de la segunda fila !n el caso de la fila 1 semultiplicara a -3 (opuesto de 3) por cada uno de los elementos de la fila 6 fila yse sumara su resultado con el número que le corresponda en columna de latercera fila y as podemos encontrar el resultado de los dos ceros quenecesitamos de las columnas que estamos traba'ando

;espués de obtener los dos ceros "acemos lo mismo con la matriz entidad

Adem0s si observamos la tercera fila, nos damos cuenta que todos loselementos poseen el mismo denominador que es , entonces podemoseliminarlos multiplicando todos los elementos de la fila 1 por IeldenominadorI


7/12

A"ora queremos obtener el 7 que se ubica en la fila 1, columna de la matrizidentidad, para "acer esto buscamos el opuesto del número que se ubica en lafila 1, columna de la matriz con la cual estamos operando, en este caso -68,cuyo opuesto ser0 68= lo que "acemos a"ora es multiplicar este número portodos los elementos de la fila y sumar esos resultados con el número que lecorresponde en columna de la fila 1 y as de esta manera vamos a obtener elcero que estamos buscando

;e esta manera empezamos a observar como la matriz con la cual estamos

traba'ando empieza a parecerse a la matriz identidad

uestro siguiente paso es obtener el 6 correspondiente a la fila 1, 1 columna dela matriz identidad, a"ora bien, aplicamos el mismo procedimiento con el queest0bamos traba'ando, es decir que vamos a multiplicar toda la fila 1 por elinverso del número que se encuentre en la posición de la fila 1, 1 columna, eneste caso 9J61, cuyo inverso ser0 61J9

!n este momento ya témenos los unos verticales Guego debemos obtener losdos ceros de la tercera columna de la matriz identidad, para lograr esto,buscamos el opuesto de los números que se ubicaron por encima del 6 de la 1columna de la matriz con la cual estamos operando, en este caso 66J61 y Hcuyos opuestos ser0n - 66J61 y -H, respectivamente

Kna vez "ec"o esto, se proceder0 a multiplicar los opuestos de estos números


8/12

por cada uno de los elemento de la fila 1 y estos se sumaran a los números desu respectiva columna > de esta manera obtenemos los ceros de la columnaque estamos traba'ando en estos momentos

a "ora lo que vamos "acer es realizar es obtener el 7 de la 6 columna, fila de la matriz identidad, para "acer esto buscamos el opuesto del número que seubica en la 6 columna, fila de la matriz con la que estamos operando, en estecaso es 1J, cuyo opuesto ser0 - 1J, lo que "acemos a"ora es multiplicar estenúmero por todos los elementos de la fila y sumar esos resultados con elnúmero que le corresponde en columna de la fila 6

Fomo podemos observar "emos llegado al modelo de la matriz identidad quebusc0bamos, y en la cuarta columna "emos obtenido los valores de lasvariables, correspondiéndose de este modo y as encontramos lo que estamosbuscando%

x+6

y+-6

z+

A) sistemas co! soluci! *!ica+

Besolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales mediante el método deEauss-?ord0n

x * 1y * z + 6

1x- y- z + -1

3x - y - z +


9/12

a) !scribimos la matriz aumentada del sistema

1 6 6

1 - - -1

3 -6 -6

;ebemos llevar a dic"a matriz a su forma escalonada reducida medianteoperaciones elementales en los renglones de la matriz, para esto, escribiremosla matriz y a continuación una flec"a !ncima de esta flec"a indicaremos la(s)operación(es) que estamos efectuando para que el lector pueda seguir eldesarrollo

otación para las operaciones elementales en renglones

uevo renglón i de la matriz aumentada

Dntercambio del renglón i con el renglón '

uevo renglón ' de la matriz aumentada

;esarrollamos para obtener la forma escalonada reducida

SISTEMAS CON INFINIDAD DE SOLUCIONES

6) 4btener la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales

Ga última matriz est0 en su forma escalonada reducida, ya no se puede reducirm0s, de donde obtenemos%

;espe'ando x, y

Guego x, y dependen de z, si z + t, t L B, tenemos

!s decir, el sistema de ecuaciones tiene una infinidad de soluciones ya quepara cada valor de t "abr0 un valor para x, y, z

&or e'emplo%Mi C+7 entonces, es una solución para el sistema de ecuaciones

Mi C+6 entonces es otra solución para el sistema de ecuaciones

Mi C+ entonces también es solución para el sistema de ecuaciones

As una vez m0s, remarcamos, el sistema tiene una infinidad de soluciones

) Besolver el sistema de ecuaciones

Mi N + t, tenemos%

Oay infinidad de soluciones


10/12

C) SISTEMAS SIN SOLUCION

6) Besolver el siguiente sistema de ecuaciones

o "ay necesidad de seguir reduciendo, del segundo renglón se tiene que darla igualdad (contradicción), por lo tanto, el sistema no tiene solución

) Besolver el siguiente sistema de ecuaciones

;el tercer renglón se tiene que dar la igualdad 7+1, luego el sistema no tienesolución

D) SISTEMAS ,OMOGENEOS

Kn sistema de ecuaciones lineales se dice O4/4E!!4 si cada una de lasecuaciones est0 igualada a cero es decir

Gos sistemas "omogéneos MD!/&B! tienen solución ya que

!s solución del sistema, ésta solución es llamada la solución trivial, as unsistema "omogéneo de ecuaciones lineales tiene solución única o tiene unainfinidad de soluciones

6) Besolver el siguiente sistema de ecuaciones

Guego x+y+z+7, el sistema tiene solución única, la solución trivial

Algo m0s para agregar

Oay dos temas adicionales que se deben de mencionar% Ga interpolación con

los datos igualmente espaciados y la !xtrapolación

>a que los métodos de eNton y de GaErange son compatibles con los datosespaciados en forma arbitraria, se debe de preguntar por qué se aborda el casode los datos igualmente espaciados Antes del advenimiento de lascomputadoras digitales, estos métodos tuvieron gran utilidad en la interpolaciónde tablas con datos igualmente espaciados ;e "ec"o se desarrolla unesquema conocido como tabla de diferencias divididas para facilitar laimplementación de estas técnicas

Min embargo, y debido a que las fórmulas son un subcon'unto de los esquemas

de eNton y GaErange compatibles con la computadora y ya que se disponede muc"as funciones tabulares como rutinas de biblioteca, la necesidad depuntos equidistantes se fue perdiendo !n particular, se puede emplear en laderivación de fórmulas de integración numérica que emplean comúnmentedatos equidistantes

Ga extrapolación es el proceso de calcular un valor de f(P) que cae fuera delrango de los puntos base conocidos P7, P6,, Pn Ga interpolación m0s exactausualmente se obtiene cuando las incógnitas caen cerca de los puntos base

4bviamente, esto no sucede cuando las incógnitas caen fuera del rango, y porlo tanto, el error en la extrapolación puede ser muy grande Ga naturalezaabierta en los extremos de la extrapolación representa un paso en la incógnitaporque el proceso extiende la curva m0s all0 de la región conocida Fomo tal,


11/12

la curva verdadera diverge f0cilmente de la predicción &or lo tanto, se debetener cuidado extremo en casos donde se deba extrapolar

&ivotacion parcial%

Besuelve parte de este problema Fomo la aparición en el proceso deeliminación un elemento aQ, Q nulo obliga a intercambiar las ecuaciones, en lapractica un pivote muy peque#o va a producir una considerable inestabilidadnumérica en el sistema Ga pivotacion parcial es la variante del método deeliminación en la cual se elige el pivote como el mayor, en valor absoluto, detodos los coeficientes de una columna

A"ora consideraremos factores que afectan a la precisión de la solución delsistema Ax + b

Algoritmo de elimi!aci! de gauss (ord$!:

Dr a la columna no cero extrema izquierda

Mi la primera fila tiene un cero en esta columna, intercambiarlo con otra que nolo tenga

Guego, obtener ceros deba'o de este elemento delantero, sumando múltiplosadecuados del renglón superior a los renglones deba'o de él

Fubrir el renglón superior y repetir el proceso anterior con la submatrizrestante Bepetir con el resto de los renglones (en este punto la matriz seencuentra en forma escalonada)

Fomenzando con el último renglón no cero, avanzar "acia arriba% para cadarenglón obtener un 6 delantero e introducir ceros arriba de éste sumandomúltiplos correspondientes a los renglones correspondientes

Formas escalo!adas " escalada reducida:

;os formas especiales de matrices son la escalonada y la escalonadareducida Kna matriz puede tener las siguientes propiedades%

Codas las filas 6 est0n en la parte inferior de la matriz

!l elemento delantero de cada fila diferente de cero, éste es llamado IpivoteI=

éstos est0n a la derec"a del elemento delantero de la fila anterior (esto suponeque todos los elementos deba'o de un pivote son cero)

Mi una matriz A cumple con esas propiedades, se dice escalonada Adem0s,cumpliendo estas otras condiciones, decimos que la matriz se encuentra en laforma reducida de renglón escalón o tan solo en forma escalonada reducida

Co!clusio!es

!n este método podemos ver que algunas ecuaciones podemos resolver por


12/12

algunas métodos que como reducción, permutación estas quiere decir quepodemos cambiar las ecuación de la forma que podemos resolver para poderentretener el cero que estamos buscando en las ecuaciones todos los métodostienes sus forma de resolver algunas tiene solución otras no

-i#liogra%.a

esslides"arenetJpepemunozJmtodo-de-gauss-86899

"ttps%JJNNNyoutubecomJNatc"Rv+'?b"sm?Kml7

NNNeduxuntaesJcentrosJiesastelleirasJRq+systemJfilesJunopd

https://www.youtube.com/watch?v=jJbhsmJUml0http://www.edu.xunta.es/centros/iesastelleiras/?q=system/files/uno.pdhttp://www.edu.xunta.es/centros/iesastelleiras/?q=system/files/uno.pdhttps://www.youtube.com/watch?v=jJbhsmJUml0

tema de validación de método gauss1

Documents